Μαθηματική Μοντελοποίηση

Transcript

1 1 Δυναμική φορτίων σε ηλεκτρικό και μαγνητικό πεδίο Μέρος 1 ο Μαθηματική Μοντελοποίηση Μάθημα 13

2 ΦΟΡΤΙΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Ex ( ) q FE Φορτισμένο σωμάτιο με θετικό φορτίο q (olomb)και μάζα m Για θετικά φορτισμένο σωμάτιο (q>) η διεύθυνση του πεδίου είναι η διεύθυνση της δύναμης. + - F E qe Μάθημα 13 2

3 ΦΟΡΤΙΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ + Ex ( ) - Ex ( ) + + q F E - - F E + - q F E qe Μάθημα 13 3

4 ΦΟΡΤΙΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Ηλεκτρικό Πεδίο E E( x) Φορτισμένο σωμάτιο με φορτίο q (olomb)και μάζα m Δύναμη που ασκείται στο σωμάτιο F E qe Ταχύτητα σωμάτιου Νόμος Νεύτωνα F E m d dt qe Η Δύναμη που ασκείται στο σωμάτιο δεν εξαρτάται από την ταχύτητά του Μάθημα 13 4

5 ΦΟΡΤΙΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ B : Μαγνητικό Πεδίο Εξισώσεις Maxwell Β E B t Για Μαγνητικό πεδίο σταθερό ως προς το χρόνο E Μάθημα 13 5

6 ΦΟΡΤΙΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Για Μαγνητικό πεδίο σταθερό ως προς το χρόνο E Ορίζουμε Δυναμικό Φ(x) E Θα μελετήσουμε το πρόβλημα στο πεδίο x,y ( xy, ) Μάθημα 13 6

7 ΦΟΡΤΙΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ F ( F, F, F ) x y z xˆ yˆ zˆ F ˆ ˆ yx xy x y z F F F x y z xˆ yˆ zˆ x y z Μάθημα 13 7

8 ΦΟΡΤΙΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Εξισώσεις Κίνησης Έχουμε δει ότι F E d m qe dt E ( xˆ, yˆ) x y mx q x my q y Μάθημα 13 8

9 ΦΟΡΤΙΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Εξισώσεις Κίνησης mx q x my q y Δυναμική Ενέργεια V q( x, y) Συνολική Ενέργεια 1 ( 2 2 ) (x, y) Etot m x y q 2 Μάθημα 13 9

10 ΦΟΡΤΙΟ ΣΕ ΗΛΕΚΤΡΙΚΟ ΠΕΔΙΟ Παραγωγίζοντας de tot m( xx yy) q x q y dt x y x( mx q ) y( my q ) x y αφού mx q x my q y Η ολική ενέργεια παραμένει σταθερή Μάθημα 13 1

11 z Β y Θεωρούμε μαγνητικό πεδίο Β κάθετο στο επίπεδο x,y x B ˆ Bz Μάθημα 13 11

12 z Β y F B Θεωρούμε μαγνητικό πεδίο Β κάθετο στο επίπεδο x,y x B B ˆ Bz F qb Μάθημα 13 12

13 B ˆ Bz Δύναμη που ασκείται στο φορτίο λόγω του μαγνητικού πεδίου F qb B Νόμος Νεύτωνα d d qb m q zˆ zˆ dt F B dt m qb m Κυκλική Συχνότητα Μάθημα 13 13

14 Πως θα υπολογίσουμε το zˆ xˆ yˆ zˆ zˆ xˆ yˆ d dt x y y x 1 zˆ ( xˆ yˆ) Επομένως y x x y y x Μάθημα 13 14

15 Υπολογισμός των τροχιών κίνησης x y y x Υπολογισμός των ταχυτήτων επιλύοντας το σύστημα To μέτρο της ταχύτητας δεν μεταβάλλεται κατά την κίνηση του φορτίου d dt ( xˆ yˆ) y x 2 d d 2 2 ( ˆ ˆ yx x y) dt dt 2qB ˆ ˆ ˆ ˆ x x y y y x x y m Μάθημα 13 15

16 Υπολογισμός των τροχιών κίνησης x y y x Θεωρούμε i x i i i ( i ) x y y x x y y i i i Μάθημα 13 16

17 Υπολογισμός των τροχιών κίνησης i Η λύση είναι i( t) t Ce e e e () i t i i t i( t ) e {os( t ) i sin( t )} ( t) i ( t) x y ( t) os( t ) x ( t) sin( t ) y, Μάθημα 13 17

18 Υπολογισμός των τροχιών κίνησης ( t) os( t ) x ( t) sin( t ) y, δ καθορίζει την κατεύθυνση της αρχικής ταχύτητας για tan y x () () y () (,) () os() x y () sin() () x x Μάθημα 13 18

19 Υπολογισμός των τροχιών κίνησης dx os( t) dt dy sin( t ) dt Ολοκληρώνοντας x t t x ( ) sin( ) y t t y ( ) os( ) Κυκλική κίνηση γύρω από το και ακτίνα R Μάθημα o x, με κυκλική συχνότητα yo

20 Υπολογισμός των τροχιών κίνησης x, y 1, 2 2 2, 3 R 2 3 x( t) Rsin( t ) x y( t) R os( t ) y o 2 x( t) sin( t 2) y( t) os( t 2) 2 3 Μάθημα 13 2

21 () R x( t) sin( t 2) y( t) os( t 2) x() sin(2) y() os(2) x y () 2 os(2).8323 () 2sin(2) Μάθημα 13 21