ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 17 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ

Transcript

1 ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 7 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 7 ΘΕΜΑ A Α α Σωστό β Σωστό γ Σωστό δ Σωστό ε Λάθος ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Αα Είναι ΑΓΒ 8 ο 5 ο 5 ο και ΑΒΓ 9 ο Άρα το ΑΒΓ είναι ορθογώνιο και ισοσκελές Επομένως f () AB ΒΓ ΟΓ ΟΒ 5 ο Επίσης f () λ λ εφ5 εφ β Είναι ( g f ) () [ g( f ())] g ( f ()) f () ΑΓ g f () g f () f () g () ( ) g ( Άρα ( ) ( ) ) Όμως g () ( 5) 6, ΙR Άρα g () g f () g () Επομένως ( ) f () f () f () γ Είναι f ( ) f () Θέτουμε κ() f () ( ) κ() f () ( ) κ() Άρα ( )( ( ) ( ) κ() ( ) ( ) κ() ) ( )( ) ( )( ) κ() ΘΕΜΑ Β Βα Αρκεί να δείξουμε ότι [ f () ( ) ]

2 Θέτουμε f () ημ g() f () g() ημ και g() g() ημ ημ ω ημω Όμως ημ ω ω Επομένως [ f () ] Άρα [ f () ] g() ημ α β 5 α β 5 β Είναι f () (α ) (β ) (α ) Αν α α τότε [ f () ], α > (α ) f (), α < (β ) Αν α α τότε f () (β ) i) Αν β τότε [ f () ] β (απορρίπτεται) ii) Αν β β τότε f () και [ f () ] (δεκτό) Άρα α και β Βi) Είναι (λ ) f () ln, > ( Απορρίπτεται γιατί [ ] )

3 (λ ) Θέτουμε ω, ω > Αν λ > λ > τότε (λ ) (λ ) (λ ) Άρα f () lnω (απορρίπτεται) ω (λ ) Αν λ τότε και Άρα f () lnω ln ΙR (δεκτό) ω Επομένως f () ΙR όταν λ ii) α Για λ f () ln, (, ) Είναι f () ln ln, > Έστω, (, ) με < < > < < f () < f () Άρα η f είναι γνησίως αύξουσα στο (, ) Επειδή είναι και συνεχής έχει σύνολο τιμών το P(A) f (), f () (,) γιατί f () και f () ω ω (από το ερώτημα (i)) lnω β Επειδή f () η ευθεία είναι κατακόρυφη ασύμπτωτη της c f Επειδή f () c f γ Είναι f () α f () α η ευθεία y είναι οριζόντια ασύμπτωτη της

4 Όμως α α > α < Άρα α f (A) (,) Επομένως η εξίσωση f () α έχει μία τουλάχιστον λύση για κάθε α, που είναι μοναδική, γιατί η f είναι γνησίως αύξουσα ΘΕΜΑ Γ Γ Είναι f (), (,] Θα δείξουμε ότι η εξίσωση f () f () έχει ακριβώς μία ρίζα στο, Θεωρούμε τη συνάρτηση g() f (), (,] Η g είναι συνεχής στο (,] άρα και στο, (,] ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων g f > g () f () < Άρα g g() < Επομένως σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano, υπάρχει ένα τουλάχιστον o, τέτοιο ώστε g( o ),, με > > Έστω ( ] > () και > < < () Με πρόσθεση κατά μέλη των () και () έχουμε: > g() > g() Άρα η g είναι γνησίως φθίνουσα συνάρτηση και το o είναι μοναδικό Γ Αρκεί να δείξουμε ότι o < o () Όμως < o < o > και o < Άρα () o < o o < o <

5 Είναι 5 Άρα το είναι το μέσο του διαστήματος, Επομένως το o είναι πιο κοντά στο από ότι στο Γ Είναι g (o) f (o) o f (o) o () (από το ερώτημα Γ) () o o o) Όμως f ( ) f ( Γi) f () [( ) ] DLH 7 ( 5 ) ( ) ( ) ( 5) 7 8 ( ) ( ) ( ) f () f () ii) ( ) γιατί γιατί f () f () Άρα ΘΕΜΑ Δ Δ Θέτουμε f () g(), ΙR Είναι > () f () g f ()

6 6 και f () f () i) Αν f () f () τότε g() είναι το ή (απορ) ii) Αν f () f () τότε έχουμε ( ) και g() Άρα g() Επομένως f () και f () f () f () Δi) Θέτουμε Φ() f () Φ(), () και Φ() f () Άρα f () ( Φ() ) f () f () γιατί η f είναι συνεχής (ως παραγωγίσιμη) Επομένως η c f τέμνει τον στο σημείο Ο(,) που είναι μοναδικό, γιατί η f είναι γνησίως φθίνουσα ii) Για > f f () < f () f () < f () f ( ) iii) Η εξίσωση είναι στο (,) ισοδύναμη με την εξίσωση f () ( )f ( ) Θεωρούμε τη συνάρτηση K() f () ( )f ( ), ΙR Η Κ() είναι συνεχής στο ΙR, άρα και στο [,] ΙR ως πράξεις συνεχών συναρτήσεων K() f ( ) K () f () Είναι f () < αφού f () < για κάθε > f Επίσης < f ( ) f () f ( ) > Άρα K () > και K () <, δηλαδή K () K() < Σύμφωνα με το θεώρημα Bolzano υπάρχει ένα τουλάχιστον o (,) ώστε K( ) f ( ) ( )f ( ) o o o o o

7 ημ f () f () f () f () f () f () f () ημf () Δ Είναι ( ) ημf () f () ημω ω ημf () Άρα f () > f () ημf () Συνεπώς f () > κοντά στο f () Επίσης f() < για κάθε > ημf () Άρα f () f () f () και ημf () f () f () < f () κοντά στο Άρα ημf () f () Δ Επειδή η f είναι γνησίως φθίνουσα, είναι και, άρα αντιστρέφεται Είναι f () f () Επίσης f ( f ()) για κάθε A f Άρα [ f ( f ())] () f ( f ())( f ()) 7, A f Για είναι f ( f ())( f ()) f ()( f ()) ( f ()) ( f ()) Εξίσωση εφαπτομένης: y f () ( f ()) ( ) y ΚΟΥΡΤΟΓΛΟΥ ΘΕΑΓΕΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΣ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΣ SCIENCE PRESS