Μέχριτώραηµελέτητωντυχαίωνδιαδικασιώνέγινεστοπεδίοτουχρόνου (µέσητιµή, συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης, αµοιβαίου συσχετισµού και συµµεταβολής).

Transcript

1 Μέχριτώραηµελέτητωντυχαίωνδιαδικασιώνέγινεστοπεδίοτουχρόνου (µέσητιµή, συναρτήσεις αυτοσυσχέτισης, αµοιβαίου συσχετισµού και συµµεταβολής. Στη συνέχεια οι τυχαίες διαδικασίες θα µελετηθούν στο πεδίο συχνότητας. Για ένα νοµοτελειακό σήµα x ( οι φασµατικές ιδιότητες περιγράφονται από το µετασχηµατισµό Fourier ( x( j π e d ( είναιηφασµατικήπυκνότητατάσης (volage densiy specrum Το σήµα x( µπορεί να ανακτηθεί µε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό Fourier x ( ( e j π d Η περιγραφή τυχαίας διαδικασίας µέσω του φάσµατος πυκνότητας τάσης δεν είναι πάντα εφικτή. Γιατολόγοαυτόχρησιµοποιούµετηφασµατικήπυκνότηταισχύος.

2 Φασµατικά Χαρακτηριστικά Τυχαίας ιαδικασίας Ηµέσηισχύς µιαςτυχαίαςδιαδικασίας (δίνεται + [ ] + [ ( ] E ( d lim lim E d Ορίζουµε τη Φασµατική Πυκνότητας Ισχύος της τυχαίας διαδικασίας ως ( E lim [ ( ] οπότε η µέση ισχύς της διαδικασίας βρίσκεται µε το ολοκλήρωµα + ( d 4-

3 Ιδιότητες της Φασµατικής Πυκνότητας Ισχύος ( ( ( όταν η είναι πραγµατική 3 Η είναι πραγµατική ( [ [ ] 4 ( d A E ( + 5 F A[ R (, +τ ] ( ( Αν η ( είναι τουλάχιστον στατική (µε την ευρεία έννοια τότε R F ( τ ( R ( τ ( e j π τ dτ ( R τ e j π τ ( dτ 4-3

4 Παράδειγµα (συνηµιτονοειδές κύµα µε τυχαία φάση Για τη τυχαία διαδικασία ( A cos ( π + Θ όπου Θ τυχαία µεταβλητή οµοιόµορφα κατανεµηµένη στο διάστηµα [ π να βρεθεί η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης και η φασµατική πυκνότητα ισχύος της τυχαίας διαδικασίας. Απάντηση x ( ; ϑ A cos( π + ϑ x ( ; ϑ A cos( π + ϑ x ( ; ϑ 3 Acos( π + ϑ3 x ( ; ϑ 4 A cos( π + ϑ4 Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της τυχαίας διαδικασίας είναι A R ( τ cos( π τ Η φασµατική πυκνότητα ισχύος της τυχαίας διαδικασίας είναι A 4 δ ( + A ( δ + 4 R (τ A [ δ( + ( ] ( A 4 ( Τυχαίες διαδικασίες στο πεδίο συχνοτήτων δ τ 4-4

5 Παράδειγµα (τυχαίο δυαδικό κύµα ίνεται η τυχαία διαδικασία της οποίας τα δείγµατα συνάρτησης είναι η έξοδος ενός ψηφιακού διαµορφωτή ο οποίος στα δυαδικά ψηφία και αντιστοιχεί ορθογώνιους παλµούς µε πλάτη A και A αντίστοιχα και χρονικής διάρκεια. Ναβρεθείησυνάρτησηαυτοσυσχέτισηςκαιηφασµατικήπυκνότηταισχύοςτηςδιαδικασίας. x k ( A A d είγµα συνάρτησης τυχαίου δυαδικού κύµατος Τοχρονικόδιάστηµα d είναιδείγµατυχαίαςµεταβλητής d οµοιόµορφακατανεµηµένηςστο διάστηµα [, Τ (, d d d, αλλιώς Υποθέτοντας ότι τα δυαδικά ψηφία και είναι ισοπίθανα έχουµε E[(]. 4-5

6 x ( Αν > οιτυχαίεςµεταβλητέςλαµβάνονταισεδιαφορετικάχρονικάδιαστήµαταπαλµών και λόγω της ανεξαρτησίας είναι [ ( ( ] E[ ( ] E[ ( ] R (, E x ( d x 3( d ( ( 4-6

7 Αν < και <, οιτυχαίεςµεταβλητές ( καιχ( λαµβάνονταιστοίδιοχρονικό διάστηµαπαλµούανκαιµόνοαντοχρονικόδιάστηµα d ικανοποιείτην < d d < < τ d x ( x ( d x 3( d ( ( 4-7

8 Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της τυχαίας διαδικασίας είναι [ ] ( (, ( E R Αν > οιτυχαίεςµεταβλητέςλαµβάνονταισεδιαφορετικάχρονικάδιαστήµαταπαλµών και λόγω της ανεξαρτησίας είναι [ ] [ ] [ ] ( ( ( (, ( E E E R Αν < και <, οιτυχαίεςµεταβλητές ( καιχ( λαµβάνονταιστοίδιοχρονικό διάστηµαπαλµούανκαιµόνοαντοχρονικόδιάστηµα d ικανοποιείτην d <. Η υποσυσθήκηµέσητιµή E[( ( d ] δίνεταιως [ ] < αλλιώς,, ( ( A E d d Ολοκληρώνονταςγιαόλεςτιςτιµέςτηςµεταβλητής d έχουµε [ ] ( d A d d A d d A E d ( ( ( 4-8

9 Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της τυχαίας διαδικασίας είναι R ( τ A ( τ,, τ < τ R (τ A τ Χρησιµοποιώντας το µετασχηµατισµό Fourier του τριγωνικού παλµού η φασµατική πυκνότητα ισχύος της τυχαίας διαδικασίας είναι ( A sinc ( ( A

10 Η Gaussian τυχαία µεταβλητή Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι ( x m ( σ x e πσ όπου mείναιηµέσητιµήκαισ ηδιασπορά ( x πσ,67 πσ,68 m σ m m+ σ Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Gaussian τυχαίας µεταβλητής x 4-

11 Μέσο Τετραγωνικό Εύρος Ζώνης της Φασµατικής Πυκνότητας Ισχύος Γνωρίζουµε ότι η διασπορά είναι ένα µέτρο του ανοίγµατος της συνάρτησης πυκνότηταςπιθανότητας. Η ανάλογη ποσότητα για την κανονικοποιηµένη φασµατική πυκνότητα ισχύος µίαςτυχαίαςδιαδικασίαςείναιτοµέσοτετραγωνικόεύροςζώνης rms (roo mean squared bandwidh η οποία συµβολίζεται ως W rms ( rad/sec Αν η διαδικασία είναι βασικής ζώνης το µέσο τετραγωνικό εύρος ζώνης δίνεται από W rms ω ( ω ( ω dω dω 4-

12 Παράδειγµα ίνεται η τυχαία διαδικασία που έχει τη φασµατική πυκνότητα ισχύος ( ω [ + ( ω / ] Να προσδιοριστεί το µέσο τετραγωνικό εύρος ζώνης Λύση W rms ω ( ω ( ω dω dω + ω + ( ω ( ω dω dω ω [ ( ω / ] [ ( ω / ] dω dω 5π 5π 5 π W rad rms 5π sec (ω 5 4 W rms ω rad sec 4-

13 Ορίζουµεως διαφασµατική πυκνότητα ισχύοςγια τις τυχαίες διαδικασίες ( και Y( ( F[ ( τ ] Y R Y Επειδή ισχύει R Y ( τ R ( τ h ( έχουµε τ Y ( ( H ( Ενώ επειδή ισχύει Y R Y ( τ R ( έχουµε τ Y ( ( ( H( Y 4-3

14 Τυχαίες ιαδικασίες και Γραµµικά Συστήµατα ( H ( ( Y Γιατηµέσητιµήσυνόλουτηςεξόδουέχουµε m H ( m Y m H ( Για τις συναρτήσεις φασµατικής πυκνότητας ισχύος έχουµε H ( Y ( ( H ( ( H ( ( ( H( Y H ( ( ( H( Y 4-4

15 Φασµατική Πυκνότητα Ισχύος του Αθροίσµατος ιαδικασιών ίνονται οι W τυχαίες διαδικασίες ( και Y( και ορίζεται η τυχαία διαδικασία Z ( ( + Y ( Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της Z( είναι R ( τ R ( τ + R ( τ + R ( τ + R ( τ ZZ και η φασµατική πυκνότητα ισχύος της Z( είναι Z YY ( ( + ( + Re[ ( ] Y Y Y Y Αν οι δύο διαδικασίες είναι ασυσχέτιστες τότε R Y (τ m m Y τουλάχιστον από τις διαδικασίες έχει µέση τιµή ίση µε το µηδέν τότε και αν µία ( ( ( Z + Y 4-5

16 Μίξη τυχαίας διαδικασίας µε συνηµιτονοειδή τυχαία διαδικασία R YY, Πολλαπλασιατής ( ( ( A cos( ( A cos π Η συνάρτηση αυτoσυσχέτισης της εξόδου είναι Y π ( + τ E[ Y( Y( +τ ] E [ A ( ( + τ cos( π cos( π + τ ] π [ cos( π τ + cos( π + τ ] A R ( τ π παρατηρούµεότιηr (, + τ εξαρτάταιαπότο έτσι A A [ R ( + τ ] lim R (, τ YY, + YY d lim A ( π τ d+ lim R ( τ cos( 4π + τ A R ( τ cos π d A R π ( ( τ cos τ 4-6

17 Γνωρίζουµε για τη φασµατική πυκνότητα ισχύος Εποµένως η φασµατική πυκνότητα ισχύος της εξόδου του πολλαπλασιαστή είναι A F [ R (, +τ ] ( YY YY ( 4 + ( [ ] A A F R ( τ cos( π τ [ + ( ] YY ( ( YY ( A 4 YY (

18 Λευκός Θόρυβος Μία συνάρτηση δείγµατος n( µίας W τυχαίας διαδικασίας N( ονοµάζεται λευκός θόρυβος αν N N ( Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης της διαδικασίας είναι ( N δ ( R ( τ τ NN R NN (τ N ( N δ ( τ N τ 4-8

19 Παρατηρούµε N ( d Ο θερµικός θόρυβος έχει φασµατική πυκνότητα ισχύος N ( ( e h h k h k e h k h N ( h k k Όπου h 6,6 k, joule secείναι η σταθερά του lanck και joule/kelv inη σταθερά του olzmann Ο θερµικός θόρυβος αποτελεί µία καλή προσέγγιση λευκού θορύβου αφού διατηρεί σταθερή τιµή για µία µεγάλη σχετικά περιοχή συχνοτήτων, πράγµατι N N (,9 N (,9 4-9

20 Θερµικός Θόρυβος (Θόρυβος Johnson Αν n( είναι η στιγµιαία τάση στα άκρα µίας αντίστασης R λόγω θερµικής κίνησης των ηλεκτρονίων, η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της n( ακολουθεί στατιστική Gausse, µε µέση τιµή ίση µε µηδέν, δηλαδή, ( υ e σ π υ σ Η διακύµανση του θερµικού θορύβου είναι ίσηµε (υ π m σ σ [ ] n ( n ( 4 k R d Vols E υ H n ( ισούται αριθµητικά µε την ισχύ του θορύβου ανά µονάδα αντίστασης Έχουµε τα δύο Ισοδύναµα Θορύβου κυκλώµατα µίας αντίστασης. Ισοδύναµο θορύβου της αντίστασης R κατά hevenin Ισοδύναµο θορύβου της αντίστασης R κατά Noron 4-

21 Πηγές θερµικού θορύβου Κάθε φυσική αντίσταση µπορεί να µοντελοποιηθεί µε µία πηγή θορύβου σε σειρά µε µία αθόρυβη αντίσταση. n( R (ενθόρυβη R L R (αθόρυβη E n ( R L Η έξοδος n( της πηγής θορύβου χαρακτηρίζεται ως δείγµα συνάρτησης της τυχαίας διαδικασίας N(. Η φασµατική πυκνότητα ισχύος του θερµικού θορύβου που εµφανίζεται στα άκρα αντίστασης R είναι R h V R ( h k e Hz Σε θερµοκρασία δωµατίου αποδεικνύεται ότι φασµατική πυκνότητα ισχύος είναι περίπου R ( k R V Hz e h k h k +, εποµένως, η 4-

22 Αν η αντίσταση αυτή συνδεθεί µε αντίσταση φόρτου R L µεταφερόµενη ισχύ (προσαρµογή όταν η µέγιστη µεταφερόµενη ισχύς είναι R E [ N 4 R L R L ( ] τότε έχουµε µέγιστη Εποµένως η φασµατική πυκνότητα ισχύος του θορύβου στην αντίσταση φόρτου είναι k n ( Το kσυµβολίζεταισυνήθωςµεν,εποµένωςηφασµατικήπυκνότηταισχύοςτου θερµικού θορύβου γενικά εκφράζεται ως ( N n W Hz W Hz 4-

23 Ιδανικά φίλτρα H ( Ζώνη αποκοπής c Ζώνη διέλευσης c Ζώνη αποκοπής Ιδανικό βαθυπερατό φίλτρο H ( Ζώνη αποκοπής Ζώνη διέλευσης Ζώνη αποκοπής Ζώνη διέλευσης Ζώνη αποκοπής Ιδανικό ζωνοπερατό φίλτρο 4-3

24 Αν λευκός θόρυβος διέλθει µέσα από ένα ιδανικό φίλτρο βασικής ζώνης (χαµηλοπερατό η έξοδός του θα είναι λευκός θόρυβος περιορισµένου εύρους ζώνης µε φασµατική πυκνότητα ισχύος, < <, αλλιως ɺ N ( και συνάρτηση αυτοσυσχέτισης ή N, < <, αλλιως ɺ ( N R NN ( τ / / N e j π τ d R NN ( τ sin ( π τ π τ R NN (τ N N ( τ 4-4

25 Αν λευκός θόρυβος διέλθει µέσα από ένα ιδανικό φίλτρο διέλευσης ζώνης (ζωνοπερατό συχνοτήτων η έξοδος θα είναι λευκός ζωνοπερατός θόρυβος µε φασµατική πυκνότητα ισχύος και συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R, < < +, αλλιως ɺ N ( sin ( π τ ( τ cos (π NN π τ τ R NN (τ N ( τ

26 Παράδειγµα Μία τυχαία διαδικασία θορύβου είναι στατική µε την ευρεία έννοια (W και έχει συνάρτηση αυτοσυσχέτισης R NN ( τ e a τ Να προσδιοριστεί η φασµατική πυκνότητα ισχύος της τυχαίας διαδικασίας θορύβου. Λύση a a + (π Από το γνωστό ζευγάρι µετασχηµατισµού Fourier F NN ( a a + (π e a R (τ a,5 a, 9 ( a a 5 5 τ (sec, 5, 5 ( Hz 4-6

27 Ισοδύναµο Εύρος Ζώνης Θορύβου Ορίζουµεωςισοδύναµοεύροςζώνηςθορύβουτοεύροςζώνης neq ενόςιδανικού φίλτρου που αφήνει να περάσει την ίδια ολική ισχύ θορύβου µε την πραγµατική διάταξη, αν στην είσοδό του δεχόταν τον ίδιο λευκό θόρυβο. Η ισχύς θορύβου στην έξοδο του πραγµατικού φίλτρου πραγ N H ( d N H ( d Η ισχύς θορύβου στην έξοδο του ιδανικού φίλτρου ιδαν neq neq N H ( d N H ( neq Το ισοδύναµο εύρος ζώνης θορύβου H ( d H ( neq 4-7

28 Η συνάρτηση µεταφοράς ισχύος (power ranser uncion πραγµατικού και του ιδανικού του φίλτρου H ( H max neq neq Το τετράγωνο του µέτρου της απόκρισης συχνότητας του πραγµατικού φίλτρου H I ( Ίσα εµβαδά H max neq neq Το τετράγωνο του µέτρου της απόκρισης συχνότητας του ιδανικού φίλτρου 4-8

29 Θερµικός Θόρυβος από κύκλωµα RC R C y ( x ( ( k R R C y ( Y ( Κύκλωµα RC Ισοδύναµο θορύβου Απόκριση συχνότητας του κυκλώµατος RC H ( H ( Z C Z + C Z R + j π RC + j Απόκριση ισχύος του κυκλώµατος RC 4-9

30 Η συνάρτηση φασµατικής πυκνότητας ισχύος της εξόδου του κυκλώµατος Y k ( R Y ( ( H ( Y ( k R + ( Η συνάρτηση αυτοσυσχέτισης εξόδου (τ R YY k C R Y ( τ k C e τ RC k C Ηισχύςτηςέξοδου RC RC τ y RY ( k C 4-3

31 Ενεργός θερµοκρασία θορύβου Στα συστήµατα επικοινωνίας, όταν χρησιµοποιούµε ενισχυτές για να ανυψώσουµε τη στάθµη ενόςσήµατος, ενισχύεταιεπίσηςκαι οθόρυβοςπουδιαβρώνειτοσήµα. Επειδή κάθε ενισχυτής έχει πεπερασµένο εύρος-ζώνης, µπορούµε να αναπαραστήσουµε έναν ενισχυτή ως ένα φίλτρο µε απόκριση συχνότητας H(. Ας υπολογίσουµε την έξοδο ενός ενισχυτήότανστηνείσοδότουσυνδεθείπηγήθερµικούθορύβου. Πηγή θερµικού θορύβου Προσαρµογή Ενισχυτής H( Προσαρµογή Φόρτος Θερµικός θόρυβος που εφαρµόζεται σε φόρτο µέσω ενισχυτή. Η ισχύς του θορύβου στην έξοδο του τετραπόλου (ενισχυτής είναι + N nos N ( H ( + d H ( d neq N H ( max όπου H ( max είναι η µέγιστη διαθέσιµη απολαβή ισχύος του τετραπόλου Ενεργός θερµοκρασία θορύβου Εικόνα θορύβου 4-3

32 Κάθε τετράπολο στην πράξη παρέχει επιπρόσθετο θόρυβο στην έξοδό του εξαιτίας θορύβου που δηµιουργείται εσωτερικά. Εποµένως η ισχύς του θορύβου στην έξοδό του ενισχυτή µπορεί να εκφρασθεί ως + no neq N H ( max + noi neq ks H ( max όπου nοi είναι η ισχύς της εξόδου του ενισχυτή εξαιτίας του θορύβου που παράγεται εσωτερικά. Εποµένως, no Ας ορίσουµε την ποσότητα noi neq k H ( max s + neq k H ( max ενερ neq noi k H ( ως ενεργό θερµοκρασία θορύβου (eecive noise του τετραπόλου (ενισχυτή. Τότε ισχύει max no neq k H ( max s+ ( Έτσι, ερµηνεύουµε το θόρυβο εξόδου ως προερχόµενον από µία πηγή θερµικού θορύβου σε θερµοκρασία s + ενερ στηνείσοδοενόςισοδύναµουιδανικούτετραπόλου. ενερ noi Ενεργός θερµοκρασία θορύβου Εικόνα θορύβου 4-3

33 Θερµοκρασία θορύβου ενός τετραπόλου Πηγή ενεργού θερµοκρασίας Ενθόρυβο Τετράπολο + no nos noi Ωςενεργόθερµοκρασίαενόςτετραπόλου, ορίζουµε την θερµοκρασίατ ενερ µίας θερµικής πηγής θορύβου που θα έπρεπε να βάλουµε στην είσοδο του τετραπόλου αν ήταν αθόρυβο, για ναδώσειστηνέξοδότουισχύ noi ίσηµετηνπρόσθετηισχύτουτετραπόλου. k neq Αθόρυβο Τετράπολο + no nos noi k ενερ neq + ενερ Αθόρυβο Τετράπολο + no nos noi 4-33

34 Μίαπηγήσήµατος µεισχύ si στηνείσοδοενός ενισχυτήδηµιουργεί ισχύεξόδου Πηγή σήµατος si Προσαρµογή Ενισχυτής H( so Προσαρµογή Φόρτος Σήµα που εφαρµόζεται σε φόρτο µέσω ενισχυτή. so H ( max si Έτσι το NR της εξόδου του ενισχυτή είναι N εξοδ so no N H ( H ( max max neq si (+ ενερ / s N neq si (+ ενερ / s (+ ενερ / s N εισοδ Παρατηρείστεότιτο NR εξόδου υποβαθµίζεται κατάτο συντελεστή ( + ενερ / s. Έτσιτο ενερ είναιέναµέτροτουθορύβουπουεισάγειοενισχυτής. Ιδανικόςενισχυτήςείναιεκείνος γιατονοποίοισχύει ενερ. Ενεργός θερµοκρασία θορύβου Εικόνα θορύβου 4-34

35 Λειτουργική Εικόνα Θορύβου Λειτουργική εικόνα θορύβου ενός τετραπόλου ορίζεται ο λόγος της ισχύος του θορύβου στην έξοδο no προςτηνισχύτουθορύβουστηνέξοδοενόςιδανικού (αθόρυβου τετραπόλου. F op F op Εναλλακτικός ορισµός της λειτουργικής εικόνας θορύβου τετραπόλου είναι ( ( N N no nos εισοδ εξοδ Λογαριθµίζοντας και τα δύο µέλη της Εξίσωσης, λαµβάνουµε εξοδ F op log log + log F N N Εποµένως το log F παριστά τις απώλειες στο NR εξαιτίας του επιπρόσθετου θορύβου που εισάγει ο ενισχυτής. Σε πολλούς ενισχυτές χαµηλού θορύβου, όπως οι λυχνίες διαδιδόµενου κύµατος, η εικόνα θορύβου έχει τιµή κάτω από 3d. Οι συµβατικοί ενισχυτές ολοκληρωµένων κυκλωµάτων παρουσιάζουν εικόνα θορύβου µεταξύ 6-7 d. εισοδ 4-35

36 Η λειτουργική εικόνα θορύβου και η ενεργός θερµοκρασία τετραπόλου συνδέονται µε την F op no nos nos + nos noi noi + + nos ενερ s ΑνυποθέσουµεότιτοτετράπολοοδηγείταιαπόπηγήµεενεργόθερµοκρασίαθορύβουΤ ο 9 Κ τότε ορίζεται η εικόνα θορύβου αναφοράς F + ενερ 4-36

37 Θόρυβος από γραµµή µεταφοράς ή υποβιβαστή Ορίζουµε ως απώλεια L το λόγο της ισχύος εξόδου προς την ισχύ εισόδου G L εξοδ εισοδ Αποδεικνύεται ότι η ενεργός θερµοκρασία προσαρµοσµένης γραµµής µεταφοράς που βρίσκεταισεθερµοκρασίατ περ είναι ενερ L ( περ Η εικόνα θορύβου της προσαρµοσµένης γραµµής µεταφοράς που βρίσκεται σε θερµοκρασία Τ περ είναι F L 4-37

38 Θερµοκρασία Θορύβου Συστήµατος Τετραπόλων σε Σειρά k s neq G Τετράπολο G G3 Τετράπολο Τετράπολο 3 nos+ noi k ενερ neq k ενερ neq k ενερ 3 neq k s neq G ολικ Τετράπολο + nos noi k ενερ ολικ neq Η συνολική ενεργός θερµοκρασία θορύβου για συνδεδεµένα σε σειρά τετράπολα είναι ενερ ενερ oλ ενερ + + G G ενερ 3 G 4-38

39 Θερµοκρασία Συστήµατος Ορίζουµε ως θερµοκρασία συστήµατος Τ Συσ το άθροισµα της ολικής θερµοκρασίας θορύβουτ ενερολικ. όλουτουδέκτησυντηνθερµοκρασίαθορύβουτηςκεραίαςτ κερ + Συσ κερ ενερ ολικ κερ Κεραία G κερ in RF Γραµµή µεταφοράς ενερ ολικ έκτης G in G k ( κερ + ενερολικ neq N ολικ G k( G + in κερ ενερ ολικ k in neq Συσ neq 4-39

40 Άσκηση Σ' ένασύστηµαεπικοινωνίαςτοσήµαλήψης r( s( + n( διέρχεταιµέσααπόέναιδανικό LF µε εύρος-ζώνης W και µοναδιαία απολαβή. Η συνιστώσα του σήµατος s( έχει φασµατική πυκνότητα ισχύος s ( + ( όπου είναι το 3-d εύρος-ζώνης. Η συνιστώσα θορύβου n( έχει φασµατική πυκνότητα ισχύος N / γιαόλεςτιςσυχνότητες. α Υπολογίστεκαισχεδιάστετο NR ωςσυνάρτησητουλόγου W/. β Ποιο είναι το εύρος-ζώνης W του φίλτρου το οποίο δίνει µέγιστο NR; 4-4

41 Άσκηση Η είσοδος στο σύστηµα είναι η κυµατοµορφή του αθροίσµατος σήµατος και θορύβου r( A c cos(π c + n( όπου n( είναι συνάρτηση δείγµα µιας διαδικασίας λευκού θορύβου µε φασµατική πυκνότητα ισχύος N /. α Υπολογίστε και σχεδιάστε την απόκριση συχνότητας του φίλτρου RC. β Σχεδιάστε την απόκριση συχνότητας του συνολικού συστήµατος. γ Υπολογίστετο NR στηνέξοδοτουιδανικού LF υποθέτονταςότι W > c. Σχεδιάστε το NR ως συνάρτηση του W για σταθερές τιµές των R και C. r ( C R Ιδανικό LF Έξοδος 4-4

42 4-4

43 Άσκηση Ένα τηλεφωνικό κανάλι συνεστραµµένου ζεύγους µε χαρακτηριστική σύνθετη αντίσταση Z c 3 Ωτερµατίζεταισεφορτίο Z L 3 Ω. Ητηλεφωνικήγραµµήέχειµήκος Kmκαι παρουσιάζει απώλειες d/km. α Ανηµέσηεκπεµπόµενη ισχύς είναι dm, υπολογίστε την ισχύ λήψης R, ανη τηλεφωνική γραµµή δεν περιλαµβάνει επαναλήπτες. β Αν χρησιµοποιηθούν επαναλήπτες µε απολαβή d για την ενίσχυση του σήµατος στο κανάλι και αν κάθε επαναλήπτης απαιτεί στην είσοδο στάθµη ισχύος dm, υπολογίστε τον αριθµότωνεπαναληπτώνκαιτηναπόστασηµεταξύτους. Η εικόνα θορύβου κάθε επαναλήπτη είναι 6d. 4-43

44 Άσκηση Μία κεραία προσανατολισµένη προς µια κατεύθυνση στον ουρανό έχει ενεργό θερµοκρασία θορύβου 5Κ. Η κεραία οδηγεί το λαµβανόµενο σήµα στον προενισχυτή ο οποίος έχει απολαβή 35dσ' έναεύρος-ζώνης MHz, καιεικόναθορύβουαναφοράς d. α Υπολογίστε την ενεργό θερµοκρασία θορύβου στην είσοδο του προενισχυτή. β Βρείτε την ισχύ θορύβου στην έξοδο του προενισχυτή. 4-44

45 Άσκηση Μία κεραία έχει ενεργό θερµοκρασία θορύβου 5 Κ. Η κεραία οδηγεί το λαµβανόµενο σήµα στο δέκτη µέσω γραµµής µεταφοράς η οποία βρίσκεται σε φυσική θερµοκρασία 8Κ και έχει απώλεια ίση µε,76d. Ο δέκτης έχει ισοδύναµο εύρος ζώνης θορύβου ίσο µε 6 Hz και ενεργό θερµοκρασία θορύβου ίση µε 7 Κ. Να υπολογιστούν α ηενεργόθερµοκρασίαθορύβουτουσυστήµατος, β η λειτουργική εικόνα θορύβου του συστήµατος και γ η ισχύ θορύβου στην έξοδο του συστήµατος. 4-45