- 1 ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

Transcript

1 -

2 - Το γκράφιτι στο εξώφυλλο µε το Αϊστάι και το Καραθεωδορή βρίσκεται στη Ιερά Οδό αριθµός σε παρκιγκ στο Κεραµικό,από µια ιδέα που προέκυψε από το TED Athens, και υλοποιήθηκε µε τη βοήθεια του οργαισµού desgnwars και του street artst no "Φτασµέες οι προλήψεις σε µια καθαρότητα µαθηµατική, µας οδηγού στη βαθύτερη γώση του κόσµου." Οδυσσέας Ελύτης, ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΑΝΑΠΑΡΑΧΘΕΙ ΚΑΙ ΝΑ ΔΙΑΝΕΜΗΘΕΙ ΕΛΕΥΘΕΡΑ

3 - Oδηγίες επαάληψης προς αυτιλλομέους στα μαθηματικά γεικής παιδείας!! Προσοχή στη εύρεση μέγιστης και ελάχιστης τιμής του ρυθμού μεταβολής συάρτησης f() ή του συτελεστή διεύθυσης εφαπτομέης, όπου πρέπει α εξετάσουμε τη δεύτερη παράγωγο. Από το κεφάλαιο της στατιστικής είαι πολύ πιθαό α ζητηθεί η συμπλήρωση ελλιπούς πίακα συχοτήτω ή σχετικώ συχοτήτω απολύτω και αθροιστικώ (κυρίως ομαδοποιημέω παρατηρήσεω!). Συδυαστικά πάτα με τη ατίστοιχη γραφική παράσταση στο mm χαρτί του τετραδίου! Εδεχομέως α απατηθεί η χρήση της τελευταίας χιλιοστομετρικής σελίδας (ακόμα και για τη εύρεση διαμέσου). Όπως επίσης και το εμβαδό που περικλείεται από τη πολυγωική γραμμή στο ιστόγραμμα συχοτήτω ή σχετικώ συχοτήτω και το οριζότιο άξοα! Δώστε βάση στη καοική καταομή, καθώς επίσης και τη σχέση διαμέσου-μέσης τιμής ότα έχουμε θετική ή αρητική ασυμμετρία. Προσοχή στις αισοτικές σχέσεις στις πιθαότητες είτε με χρήση τω βασικώ σχέσεω τω πιθαοτήτω, είτε σε συδυασμό με χρήση μοοτοίας ή ακροτάτω συάρτησης ή σε συδυασμό με το πίακα. Ο αξιωματικός ορισμός στις πιθαότητες επιβάλλει α χρησιμοποιηθεί ότα δε ααφέρεται ότι τα απλά εδεχόμεα είαι ισοπίθαα. Κάποια άλλα σημεία που θα πρέπει α προσέξετε είαι : άσκηση σελίδα 6 ομάδα β, μη ξεχάσετε τα προβλήματα τω σελίδω 5 και 6 οι εφαρμογές του σχολικού: σελίδα εφαρμογή σελίδα 98 εφαρμογή σελίδα 99 εφαρμογή, πως εξετάζουμε α τα εδεχόμεα Α, Β είαι ασυμβίβαστα, τους τύπους της αριθμητικής και της γεωμετρικής [ a + ( v ) ω ] λ προόδου Sv και Sv a λ. Οι αγωιστές της τελευταίας στιγμής μπορού α επααλάβου τη θεωρία στο φυλλάδιο: ή στο παρακατω σύδεσµο: %B%CF%8%CE%B9%CE%BA%CE%B-%CE%B%CF%80-%CE%B- %CE%BB%CF%85%CE%BA%CE%B5%CE%B9%CE%BF%CF%85-%CF%8%CE%BF- %CE%B-%CE%B8%CE%B5%CE%BC%CE%B/ από το µαθηµατικό Βαγγέλη Νικολακάκη Εξαιρετική συλλογή επααληπτικώ ασκήσεω από το mathematca μπορείτε α βρείτε και στο σύδεσμο Διαβάζουμε προσεκτικά τα θέματα αρκετές φορές και δε αποχωρούμε προτού εξατλήσουμε το τρίωρο της εξέτασης όσο σίγουροι και α είμαστε. Καλή επιτυχία σε όλους!

4 - Ερωτήσεις Σωστού-Λάθους.Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είαι σωστές και ποιες λάθος. ) Ότα έχουμε καοική καταομή η μέση τιμή συμπίπτει με τη διάμεσο. ) Η μέση τιμή τω παρατηρήσεω εός δείγματος είαι μεγαλύτερη ή ίση της μικρότερης παρατήρησης και μικρότερη ή ίση της μεγαλύτερης τιμής τω παρατηρήσεω του δείγματος. )Η διάμεσος τω παρατηρήσεω εός συόλου δεδομέω δε επηρεάζεται από τις ακραίες τιμές. ) Ότα ελαττώσουμε τις τιμές όλω τω παρατηρήσεω εός δείγματος κατά c, τότε η τυπική απόκλιση ελαττώεται κατά c. 5) Α μια συάρτηση f είαι παραγωγίσιμη σε έα διάστημα Δ και f '() < 0 για κάθε εσωτερικό σημείο τότε η f είαι γησίως αύξουσα στο Δ. 6)Υπάρχου εδεχόμεα Α και Β εός δειγματικού χώρου Ω τέτοια ώστε P( Α ), P(B), P(A B) )Α Α' B τότε P( Α ) + P(B) <. 8)Α για τα εδεχόμεα Α και Β ισχύει P( Α ) 0.5 και P(B) 0.6, τότε τα Α και Β είαι ασυμβίβαστα. 9)Σε έα σύολο παρατηρήσεω ατικαθιστούμε τη μικρότερη τιμή με μια μικρότερη τότε μεταβάλλεται η μέση τιμή αλλά όχι η διάμεσος. 0)Είαι δυατό α υπάρξει δειγματικός χώρος πειράματος τύχης που α αποτελείται από έα μόο απλό εδεχόμεο. )Έα τοπικό μέγιστο στη γραφική παράσταση μιας συάρτησης είαι δυατό α είαι μικρότερο από έα τοπικό ελάχιστο της ίδιας γραφικής παράστασης. ) Στη καμπύλη συχοτήτω μιας καοικής καταομής, το 68% περίπου τω παρατηρήσεω βρίσκεται στο διάστημα ( s, + s) ) Έα δείγμα τιμώ μιας μεταβλητής οομάζεται ομοιογεές ότα ο συτελεστής μεταβολής του CV δε ξεπερά το 0% ) Το εύρος R εός δείγματος παρατηρήσεω είαι μέτρο θέσης. 5) Το ραβδόγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση τω τιμώ μιας ποιοτικής μεταβλητής. 6) Το άθροισμα όλω τω σχετικώ συχοτήτω τω τιμώ μιας μεταβλητής X είαι ίσο με το μέγεθος του δείγματος.

5 ) Πλάτος μιας κλάσης οομάζεται η διαφορά του κατώτερου από το αώτερο όριο της κλάσης. 8) Για τη κλάση [α, β) η κετρική τιμή είαι α-β. 9) Μια συάρτηση f λέγεται γησίως φθίουσα σε έα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της, ότα για οποιαδήποτε σημεία, Δ με < ισχύει f( )<f( ). 0) Η συχότητα της τιμής μιας μεταβλητής Χ μπορεί είαι αρητικός αριθμός. ΚΑΛΟ ΕΙΝΑΙ ΝΑ ΞΕΡΩ ΟΤΙ. Μέση τιμή Πλεοεκτήματα Για το υπολογισμό της χρησιμοποιούται όλες οι τιμές. Είαι μοαδική για κάθε σύολο δεδομέω. Είαι εύκολα καταοητή. Ο υπολογισμός της είαι σχετικά εύκολος Έχει μεγάλη εφαρμογή για περαιτέρω στατιστική αάλυση. Μειοεκτήματα Επηρεάζεται πολύ από τις ακραίες τιμές. Συήθως δε ατιστοιχεί σε τιμή της μεταβλητής. Δε υπολογίζεται για ποιοτικά δεδομέα. Διάμεσος Πλεοεκτήματα Είαι εύκολα καταοητή. Δε επηρεάζεται από ακραίες τιμές. Ο υπολογισμός της είαι απλός. Είαι μοαδική για κάθε σύολο δεδομέω. Μειοεκτήματα Δε χρησιμοποιούται όλες οι τιμές για το υπολογισμό της. Είαι δύσκολη η εφαρμογή της για περαιτέρω στατιστική αάλυση. Δε υπολογίζεται για ποιοτικά δεδομέα. Εύρος Διακύμαση-τυπική απόκλιση Συτελεστής μεταβολής Πλεοεκτήματα Ο υπολογισμός του είαι σχετικά εύκολος. Χρησιμοποιείται συχά στο έλεγχο ποιότητας. Είαι δυατό α χρησιμοποιηθεί για τη εκτίμηση της τυπικής απόκλισης. Πλεοεκτήματα Λαμβάοται υπόψη για το υπολογισμό τους όλες οι παρατηρήσεις. έχου μεγάλη εφαρμογή στη στατιστική συμπερασματολογια. Σε πληθυσμούς που ακολουθου τη καοική καταομή το 68%, το 95% και 99,7% τω παρατηρήσεω αήκου στα διαστήματα Πλεοεκτήματα Είαι καθαρός αριθμός. Χρησιμοποιείται ως μέτρο σύγκρισης της μεταβλητότητας,ότα έχουμε ίδιες η και διαφορετικές μοάδες μέτρησης Χρησιμοποιείται ως

6 - 6 Μειοεκτήματα Δε θεωρείται αξιόπιστο μέτρο διασποράς επειδή βασίζεται μόο στις δυο ακραίες παρατηρήσεις. Δε χρησιμοποιείται για περαιτέρω στατιστική αάλυση ( s, + s ),( s, + s ),( s, + s ) ατίστοιχα. Μειοεκτήματα Απαιτούται περισσότερες αλγεβρικές πράξεις για το υπολογισμό τους από άλλα μέτρα. Το κυριότερο μειοέκτημα της διακύμασης είαι ότι δε εκφράζεται στις ίδιες μοάδες με το χαρακτηριστικό ως προς το οποίο εξετάζουμε το δείγμα. Το μειοέκτημα αυτό παύει α υπάρχει με τη χρησιμοποίηση της τυπικής απόκλισης. μέτρο ομοιογέειας εός στατιστικού πληθυσμού. Μειοεκτήματα Δε εδείκυται στη περίπτωση που η μέση τιμή είαι κοτά στο μηδέ..έστω Ω { ω, ω, ω, ω, ω5} ο δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης και Α { ω, ω, ω}, Β { ω, ω, ω5} δυο εδεχόμεα του Ω με P( Α ).Α είαι P( ω ) a, P( ω ) β, με 6α 0α αβ + β + 0, P( ω) γ και η συάρτηση g( ) P( ω), R,τότε : Α)Να αποδείξετε ότι α β και γ. 5 0 Β)Να βρείτε το P( ω ), α η εφαπτόμεη της γραφικής παράστασης της g,στο σημείο (,g()), είαι παράλληλη προς τη ευθεία y,και στη συέχεια α βρείτε το P( ω 5). Γ)Α είαι P( ω ), P( ω 5), τότε α βρείτε τη πιθαότητα τω εδεχομέω Κ,Λ, όπου: 6 Κ: «Έα μόο από τα Α και τα Β α πραγματοποιείται» Λ: «Να πραγματοποιείται το Α ή α μη πραγματοποιείται το Β.» (Επααληπτικές 0).Ο Γιάης μπορεί α πάει στη δουλειά του από το σπίτι του επιλέγοτας αάμεσα στο αστικό λεωφορείο της γραμμής Α ή το τρόλεϊ της γραμμής Β.Ο χρόος που χρειάζεται και στις δυο περιπτώσεις ακολουθεί τη καοική καταομή. Το αστικό λεωφορείο της γραμμής Α έχει μέσο χρόο διαδρομής A 0 λεπτά με τυπική απόκλιση s A λεπτά εώ το τρόλεϊ της γραμμής Β έχει μέσο χρόο διαδρομής B λεπτά με τυπική απόκλιση s λεπτά. Ποιο από τα δύο μέσα πρέπει α επιλέξει ο Γιάης για α φτάσει στο σπίτι B του Α) το λιγότερο σε λεπτά. Β) το αργότερο σε 7 λεπτά.

7 - 7 μια εταιρεία με 00 υπαλλήλους πραγματοποιήθηκα σε διαφορετικές ημερομηίες δυο σεμιάρια επαγγελματικής κατάρτισης, το σεμιάριο Α και το σεμιάριο Β. Κάθε υπάλληλος ήτα υποχρεωμέος α παρακολουθήσει τουλάχιστο έα από τα δυο σεμιάρια. Από τους 00 υπαλλήλους είαι γωστό ότι 0 παρακολούθησα το σεμιάριο Α και 0 το σεμιάριο Β. Επιλέγουμε τυχαία έα υπάλληλο της παραπάω εταιρείας. Α) α εξετάσετε α τα εδεχόμεα A και Β είαι ασυμβίβαστα. Β) Να αποδείξετε ότι P( B A). 0 Γ) Να βρείτε τη πιθαότητα ο υπάλληλος α παρακολούθησε μόο το σεμιάριο Α. Δ) Να βρείτε τη πιθαότητα ο υπάλληλος α παρακολούθησε ακριβώς έα από τα δυο σεμιάρια. 5.Δίεται ο παρακάτω πίακας με τις τιμές μιας διακριτής μεταβλητής και οι ατίστοιχες συχότητες. Είαι γωστό ότι και για τη διάμεσο δ του δείγματος ισχύει: δ lm + Α) Να δείξετε ότι δ Β)Α επιλέξουμε στη τύχη μια παρατήρηση και P( ), P( ), P( ), P( ) είαι οι ατίστοιχες πιθαότητες α επιλέξουμε παρατήρηση,,,. )Να αποδείξετε ότι P( ). P( ) + P( ) + P( ) )Να δείξετε ότι η παράσταση A είαι μια από τις παρατηρήσεις P( ) + P( ) + P( ) στου δείγματος.

8 Έστω Α,Β δυο εδεχόμεα εός δειγματικού χώρου Ω με P( A B).Στο παρακάτω 6 πίακα δίοται οι τιμές μιας μεταβλητής Χ με μέση τιμή και οι ατίστοιχες συχότητες τους. Α)Να αποδείξετε ότι P( B ). Β)Α η πιθαότητα α πραγματοποιηθεί έα μόο από τα Α και Β είαι, α βρεθεί η πιθαότητα P( A ). Στη συέχεια α επιλέξουμε τυχαία κάποια από τις παρατηρήσεις της μεταβλητής Χ, α βρεθεί P( B A) P( B ) P( A ) + η πιθαότητα αυτή α είαι μικρότερη του. Γ) Να βρεθεί η διάμεσος, η τυπική απόκλιση και ο συτελεστής μεταβολής της μεταβλητής Χ. 7.Δίεται η μεταβλητή Χ με τιμές 0 και και ατίστοιχες συχότητες v, v.το μέγεθος του δείγματος είαι.δίεται ότι Α) Να δείξετε ότι v v.. B) Βρείτε τη τυπική απόκλιση του δείγματος. Γ) Εξετάστε α το δείγμα είαι ομοιογεές. Δ) Να εξετάσετε ως προς τη μοοτοία και τα ακρότατα τη συάρτηση: f ( ) s Ε) Να βρείτε τη μέση τιμή τω τετραγώω τω παρατηρήσεω του δείγματος. Δίεται ο τύπος: s t t

9 Δίεται ο πίακας συχοτήτω. v a 0γ + 50 β a γ 6β Α) Να βρεθού τα α, β, γ. Β) ; δ ; Σύολα 5 9. Έστω,,..., 6 6 παρατηρήσεις με 5και S. Α στο παραπάω δείγμα επισυάψουμε και το 7 8, α βρεθεί η y, S.Ποια είαι η ποσοστιαία μεταβολή του ; y 0. Α Ω {,,,,5} και Α, Β Ω: A { Ω / 0 ln( ) < ln } ( )( ) ( ) B { Ω / 5 6 } Α) P( A B) ;, ( ) ; Β) Α Γ) Α P B A P( A ), P( A B ) ; P( A ) και P( B A), α βρεθεί η μικρότερη και η μεγαλύτερη τιμή του P( ) 8 ώστε A X B.. Έστω οι τιμές: 7,5, a,,5, β,8,6, γ,5, όπου α, β, γ φυσικοί με α < β < γ. Α 6, δ 6 και R 8 Α) α ; β ; γ ; : α + β + γ 7

10 - 0 Β) Για τις τιμές τω α, β, γ που βρέθηκα, α δειχθεί ότι δείγμα είαι ομοιογεές. 58 S και α εξεταστεί α το Γ) Έστω y, y,..., y παρατηρήσεις που προκύπτου α πολλαπλασιάσουμε τις,,..., επί μία θετική σταθερά C, και στη συέχεια προσθέσουμε μία σταθερά C. Α y 9 και Sy S α βρεθού τα C, C.. Έστω,,..., κ τιμές μιας. Α ( ) Α) Δείξτε ότι v 0. Β) Α ) s 0 κ κ 0 v v, δείξτε ότι: )... κ +, {,,...,v}. f ( ) ln ln( ) v 0. N 0N+ a F + F,,,..., κ, a 0 a Ω. Α 9 P( κ ) f ( κ ) () για κάθεκ Ω, δείξτε ότι:. Δίεται η συάρτηση ( ) f ( ) + και τα σημεία της καμπύλης f A, A,..., A 0 με τετμημέες,,..., 0 που έχου μέση τιμή - και διασπορά 0. Α) Να βρείτε τη μέση τιμή τω συτελεστώ διεύθυσης τω εφαπτομέω της καμπύλης f στα σημεία A, A,..., A 0. Β) Να δείξετε: f ( ) + f ( ) f ( 0 ) 0. Γ) Α τα σημεία B, B,..., B 0 έχου τετμημέες,,..., 0 και αήκου στη καμπύλη της f α εξετάσετε α ορίζεται ο συτελεστής μεταβολής τω τεταγμέω τω σημείω B, B,..., B 0.

11 Έστω η συάρτηση f ( ) ( ) και τα σημεία της καμπύλης f, A, A,..., 0 A με τετμημέες,,..., 0. Α) Να εξετάσετε τη f ως προς τη μοοτοία και τα ακρότατα. Β) Α η τυπική απόκλιση τω τετμημέω τω σημείω A, A,..., A 0 είαι s και, α βρείτε τη μέση τιμή τω τεταγμέω τους. Γ) Α η μέση τιμή τω,,..., 0 είαι, α βρείτε τη μέση τιμή τω εφαπτομέω τω γωιώ που σχηματίζου οι εφαπτομέες στη καμπύλη f στα σημεία A, A,..., A 0. Δ) Α ισχύου < <... < 0, το εύρος τω,,..., 0 είαι 5 και 0 5, α βρείτε το εύρος τω τεταγμέω τω σημείω A, A,..., A Δίεται η συάρτηση f ( ) 9 +. Α) Να εξετάσετε τη f ως προς τη μοοτοία και τα ακρότατα. Β) Να βρείτε τη εφαπτομέη ε στη καμπύλη της f στο 0. Γ) Έστω τα σημεία A, A,..., A0της ε που έχου τετμημέες,,..., 0 με μέση τιμή και διασπορά s. Να βρείτε το συτελεστή μεταβλητότητας τω τεταγμέω τω σημείω A, A,..., A 0.Ποια σταθερά θα πρέπει α προσθέσουμε στις παραπάω τιμές,ώστε το δείγμα μας α γίει ομοιογεές; Δ) Έστω 0 < < <... < 0 <. ) Α η διάμεσος τω,,..., 9 είαι, α βρείτε τη διάμεσο τω αριθμώ ( ) f ( ), f,..., f ( ). 9 5 ) Α 0 και 0, α βρείτε το εύρος τω ( ) f ( ), f,..., f ( ). 0

12 Έστω ο δειγματικός χώρος { ω, ω,..., ω } Ω εός πειράματος τύχης και η συάρτηση 00 ( ω ) ( ω ) ( ω ) f ( ) P( ) + P( ) P( ). 00 Α) Να βρείτε τη μέση τιμή τω αριθμώ P( ω ), P( ω),..., P( ω 00). Β) Να δείξετε ότι: Γ) Α η ευθεία f 00s 00, όπου s η τυπική απόκλιση τω P( ω ),,,..,00. y είαι εφαπτομέη στη καμπύλη της f, α βρείτε το συτελεστή 75 μεταβολής τω αριθμώ P( ω ), P( ω),..., P( ω 00). 8. Έστω ο δειγματικός χώρος { ω ω ω } Ω,,..., v εός πειράματος τύχης και η συάρτηση f ( ) 9. Δίεται ότι η μέση τιμή τω αριθμώ P( ω ), P( ω),..., P( ω v ) είαι 9. Α) Να βρείτε το πλήθος τω απλώ εδεχομέω. Β) Να αποδείξετε ότι για τη διάμεσο δ τω αριθμώ P( ω ), P( ω),..., P( ω ), ισχύει δ 0, v, α βρείτε το συτελεστή μεταβολής. Γ) Α f ( P( ω )) f ( P( ω ))... f ( P( ω )) 9. Έστω f, g συαρτήσεις παραγωγίσιμες στο R τέτοιες ώστε g( ) f ( ) + f ( + ) για κάθε R και f (), f (). Α) Να δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομέης (ε) της γραφικής παράστασης της g στο σημείο (, ()) A g είαι η y Β) Α πάρουμε 00 διαφορετικά σημεία (, ),(, ),...,(, ) y y y της προηγούμεης εφαπτομέης και οι τετμημέες τους έχου μέση τιμή 00και τυπική απόκλιση s 00, α βρεθού: ) Η μέση τιμή τω τεταγμέω. v ) Η μέση τιμή τω τετραγώω τω τετμημέω, δηλαδή τω,,...,. 00 ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ - ΡΟΥΓΑΣ-ΜΗΤΑΛΑΣ ΠΑΤΣΗΣ Οι λύσεις σελ 9

13 Δίεται η συάρτηση f ( ) ln + 0και η καταομή με παρατηρήσεις t, t,..., t v με μέση τιμή και τυπική απόκλιση s. Α η μέση τιμή τω τετραγώω τω παρατηρήσεω είαι 0 και η μέση τιμή είαι η θέση στη οποία η f ( ) παρουσιάζει ακρότατο, τότε: Α) Να μελετηθεί η f ( ) ως προς τη μοοτοία και τα ακρότατα. Β) Να υπολογισθεί η, η s και ο CV. Γ) Α t < t <... < tv α εξεταστεί η καταομή ως προς τη ασυμμετρία της, α επιπλέο ισχύει t,..., t (, ) v v +.. Δίεται η συάρτηση ( t ) + ( t ) + + ( t )... v f ( ), όπου t, t,..., t v είαι v παρατηρήσεις εός δείγματος με τυπική απόκλιση s και μέση τιμή. Η μέγιστη κλίση της f ( ) εμφαίζεται στο σημείο A(, ). Α) Δείξτε ότι το δείγμα δε είαι ομοιογεές. Β) Βρείτε τη εξίσωση της εφαπτομέης της f C στο σημείο (,) B. Γ) Α M, M,..., M 9 είαι 9 σημεία στη παραπάω εφαπτομέη με μέση τιμή τω τεταγμέω 7 και τυπική απόκλιση τω τεταγμέω, α βρείτε τη μέση τιμή και τη τυπική απόκλιση τω τετμημέω. Επίσης βρείτε τη μέση τιμή τω τετραγώω τω τεταγμέω..έστω {,, y, } Α + έα σύολο που αποτελείται από παρατηρήσεις που παίρουμε από τη μελέτη εός δείγματος με μέση τιμή.5 και διάμεσο δ.5. (, y R, < < y < + ). A) Να βρεθού οι αριθμοί, y. B) Εκλέγουμε τυχαία έα αριθμό α από το σύολο Α και έα αριθμό β από το σύολο } Β {,,8.Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος Ω του πειράματος. Γ) Να βρεθεί η πιθαότητα α ισχύει : lm + a a lm β β α β + a a β ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ - ΡΟΥΓΑΣ-ΜΗΤΑΛΑΣ ΠΑΤΣΗΣ Οι λύσεις σελ 9

14 - Δίεται η συάρτηση : f ( ) ( t + t t0 ) 5 όπου t, t,.., t 0 οι παρατηρήσεις εός δείγματος. Α) Μελετήστε τη συάρτηση ως προς τη μοοτοία και τα ακρότατα της. Β)Α g( ) ( t ) + ( t ) ( t ) μια άλλη συάρτηση και g( a ) 80 όπου α το για 0 το οποίο παρουσιάζει ακρότατο η f και g '(0) 000 α εξετάσετε α το δείγμα είαι ομογεές..δίεται η συάρτηση ( t ) + ( t ) ( t ) f ( ) όπου,,.., οι παρατηρήσεις εός δείγματος με τυπική απόκλιση s και μέση τιμή. Α) Αποδείξτε ότι f '( ) s Β) Βρείτε τη δεύτερη παράγωγο της συάρτησης f. Γ) Μελετήστε τη μοοτοία της συάρτησης f. Δ)Μελετήστε τη μοοτοία της πρώτης παραγώγου της συάρτηση f. Ε) Βρείτε για ποια τιμή του η f παρουσιάζει μέγιστη κλίση. 5. Θεωρούμε τη συάρτηση f που είαι παραγωγίσιμη στο R και τη συάρτηση g για τη οποία ισχύει: g( ) f ( ) f ( ), R Η εφαπτόμεη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο που τέμει το άξοα y y έχει εξίσωση y+0. Α)Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτόμεης (ε) της καμπύλης της g στο σημείο της Μ(, g()) Β) Πάω στη (ε)παίρουμε τα σημεία A ( 5, y ), A (, y ), A (, y ),... A (5, y ).Να βρείτε τη μέση τιμή y, τη τυπική απόκλιση S y και το συτελεστή μεταβολής CVyτω y, y, y,..., y. Γ)Παίρουμε στη τύχη έα από τα σημεία A, A, A,... A.Να βρείτε τη πιθαότητα α βρίσκεται «κάτω» από το άξοα '

15 Έστω ο δειγματικός χώρος Ω, που αποτελείται από στοιχεία, τα οποία είαι ισοπίθαα. Θεωρούμε και τα συμπληρωματικά εδεχόμεα Α και Α του Ω, με 0 < P( A) <. Α) Να αποδείξετε ότι ( ) P A 5a P( A') + P( A). λ Όπου α lm, λ Z, λ > 0 λ λ Β) Α στη σχέση του ερωτήματος (Α) ισχύει η ισότητα, τότε: ) α βρείτε το Ν(Α), δηλαδή το πλήθος τω στοιχείω του Α. ) α κάποιο εδεχόμεο Β του Ω έχει στοιχεία, α αποδείξετε ότι τα Α και Β δε είαι ασυμβίβαστα. 7. Δίεται η συάρτηση f ( ) 0s + +, R, όπου η μέση τιμή και s η τυπική απόκλιση τω παρατηρήσεω εός δείγματος.α η εφαπτόμεη της καμπύλης της f στο σημείο Α(-,f(-)) είαι παράλληλη στη ε : y 0τότε : Α) Να υπολογίσετε τη πρώτη παράγωγο της συάρτησης f. B) Να δείξετε ότι το δείγμα είαι ομοιογεές. Γ)Να δείξετε ότι η f παρουσιάζει ελάχιστο. Δ) Α η ελάχιστη τιμή της f είαι ίση με τότε: )Να βρείτε τη μέση τιμή και τη τυπική απόκλιση τω παρατηρήσεω του δείγματος. )Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτομέης της καμπύλης της f στο σημείο Α. 8.Σε έα δείγμα μεγέθους 0 μιας μεταβλητής Χ έχουμε : 0 t 00 και 0 t 000 Έστω δείγμα του ίδιου μεγέθους μιας μεταβλητής Y, που συδέεται με το Χ με τη σχέση Y X + 5.Να υπολογιστεί η μέση τιμή και η τυπική απόκλιση κάθε μεταβλητής. 9.Σε έα χωριό υπάρχου άθρωποι που ο καθέας είαι,,..., v ετώ. Α) Α το δείγμα,,..., v τω ηλικιώ τους έχει συτελεστή μεταβλητότητας 0% και μετά από 5 χρόια γίεται για πρώτη φορά ομοιογεές. ) Να βρείτε τη μέση τιμή και τη τυπική απόκλιση τω ηλικιώ τους. ) Να βρείτε τη μέση τιμή του δείγματος,,..., v. ) α ο μικρότερος σε ηλικία είαι 0 ετώ, α βρείτε προσεγγιστικά τη μεγαλύτερη ηλικία, α υποθέσουμε ότι η καταομή είαι καοική. Β) Στο παραπάω χωριό υπάρχου μοό καφεεία, το Α και το Β. Α το 0% τω κατοίκω πηγαίει στο Α καφεείο και το 60% δε πηγαίει στο Β εώ το 50% πηγαίει σε έα τουλάχιστο από τα δυο καφεεία, α βρείτε: ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ - ΡΟΥΓΑΣ-ΜΗΤΑΛΑΣ ΠΑΤΣΗΣ Οι λύσεις σελ 9

16 - 6 ) Τι ποσοστό τω κατοίκω πηγαίει και στα δύο καφεεία. ) Απ αυτούς που πηγαίου μοο στο έα καφεείο, ποιοι είαι οι περισσότεροι, αυτοί που πηγαίου μόο στο Α ή αυτοί που πηγαίου μόο στο Β. Γ) Καθέα από τα άτομα αγοράζει έα λαχό. Οι λαχοί είαι αριθμημέοι από το έως το και έχου ίδια πιθαότητα κλήρωσης.α η πιθαότητα α κληρωθεί περιττός αριθμός είαι κατά 0.8% μεγαλύτερη από το α κληρωθεί άρτιος α βρείτε ποσά άτομα έχει το χωριό. (οεφε 007) 0 (Θέμα διασαφήισης συτελεστή μεταβολής ) Α)Να βρείτε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είαι σωστές και ποιες λάθος,για το συτελεστή μεταβολής CV εός δείγματος. ) Κάθε δείγμα έχει συτελεστή μεταβολής. s ) Ο τύπος CV ισχύει και ότα < 0. ) Ο CV έχει ως μοάδα μέτρησης τη ίδια με τις παρατηρήσεις. v) Έα δείγμα είαι ομοιογεές, α και μοό α έχει CV 50%. v) Ότα ορίζεται ο CV, τότε πάτα CV 00%. v) Είαι δυατό α έχουμε και CV < 0. v) Α σε δείγμα παρατηρήσεω η μέση τιμή και η διάμεσος είαι ίσες, μπορούμε α πούμε ότι η καταομή είαι καοική..μια βιομηχαία παράγει εξαρτήματα πλοίω.το ααμεόμεο κέρδος P() (σε χιλιάδες ευρώ) από τη πώληση εξαρτημάτω μηιαίως δίεται από τη συάρτηση P( ) ,0< < 0 Α) Να υπολογίσετε το ααμεόμεο κέρδος από τη πώληση 0 εξαρτημάτω μηιαίως. Β) Να βρείτε το αριθμό τω εξαρτημάτω που πρέπει α πουληθού μηιαίως για α έχει η βιομηχαία αυτή το μέγιστο κέρδος καθώς και τη μέγιστη τιμή του κέρδους. Γ) Να βρείτε το ρυθμό μεταβολής του κέρδους για 0. Δ) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή του ρυθμού μεταβολής του κέρδους..α)δίοται τα Α,Β εδεχόμεα εός δειγματικού χώρου Ω.Α A B και P( A ) 0. και P( A B) P( A) P( B) lm, α βρείτε τις πιθαότητες τω εδεχομέω P( B ') και P( B A). Β) Δίοται ο δειγματικός χώρος Ω {,,..,.000 } με ισοπίθαα στοιχειώδη εδεχόμεα. Α Α,Β δυο ασυμβίβαστα εδεχόμεα του Ω για τα οποία ισχύει: 6[ P( B)] 5 P( B) P( Α ) + 0 0() α βρείτε: ) τις πιθαότητες P( B), P( Α ) ) το πλήθος τω στοιχείω Α και Β. Τι συμπέρασμα βγαίει για τα Α και Β.

17 - 7 IQ αποτελεί το δείκτη ευφυΐας τω ατόμω και ακόλουθει τη καοική καταομή με μέσο και διασπορά s.α είαι γωστό ότι το IQ μικρότερο του 85 έχει το 6% του πληθυσμού και μεγαλύτερο από του 0 έχει το.5% του πληθυσμού, α βρείτε: Α) τη μέση τιμή και τη τυπική απόκλιση της καταομής, το συτελεστή μεταβλητότητας. Είαι ομοιογεές το δείγμα; Β) το ποσοστό του πληθυσμού που έχει IQ μεγαλύτερο του 5..Μια γαλακτοβιομηχαία παρασκευάζει παγωτό το οποίο το συσκευάζει σε πλαστικά κύπελλα χωρητικότητας 0 gr.σε δειγματοληπτικό έλεγχο που έγιε για το βάρος του παγωτού που περιέχεται στα κυπελλάκια πρόεκυψε ο παρακάτω πίακας καταομής σχετικώ συχοτήτω. Βάρος παγωτού f % [ 95 97) 0 [ 97 99) 0 [ 99 0) 55 [ 0 0) 0 [ 0 05) 5 Α) Να δείξετε ότι το μέσο βάρος του παγωτού που περιέχεται στα κύπελλα είαι 00 gr. Β)Να βρείτε τη διάμεσο του δείγματος. Γ) Παίρουμε στη τύχη έα από τα κύπελλα του δείγματος.να βρείτε τη πιθαότητα α περιέχει παγωτό βάρους μικρότερου τω 00 gr. Δ)Λόγω λαθασμέου προγραμματισμού μια ημέρα το βάρος του παγωτού που περιείχα τα κύπελλα αυξήθηκε κατά 8 gr. Παίρουμε έα από τα κύπελλα παγωτού που είχα συσκευαστεί εκείη τη μέρα.ποια η πιθαότητα το κύπελλο α ξεχειλίσει. 5.θεωρούμε 8 ευθύγραμμα τμήματα που έχου μήκη όχι μικρότερα από και όχι μεγαλύτερα από 0. Α) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή που μπορεί α πάρει το εύρος R. B) Να αποδείξετε ότι για τη μέση τιμή τω μηκώ τω 8 ευθυγράμμω τμημάτω ισχύει [,0]. Γ)Α 0α υπολογίσετε τα μήκη τω 8 τμημάτω.

18 Έστω ο δειγματικός χώρος { ω ω, ω, ω } Ω.Α το δείγμα τω αριθμώ, P( ω ) +, P( ω) +, P( ω) +, P( ω) + έχει τυπική απόκλιση. Να δείξετε ότι: 9 ( P( ω) ) + ( P( ω) ) + ( P( ω) ) + ( P( ω) ) ( ) και μετά α υπολογίσετε το 9 συτελεστή μεταβολής CV του δείγματος. 7.Μια εταιρεία που κατασκευάζει υπολογιστές παράγει τη ημέρα κ υπολογιστές τύπου Α, 6 υπολογιστές τύπου Β και λ υπολογιστές τύπου Γ. Επιλεγούμε τυχαία έα υπολογιστή της εταιρείας.η πιθαότητα α είαι τύπου Α είαι και η πιθαότητα α είαι τύπου Γ είαι.α οι τιμές πώλησης τω υπολογιστώ τύπου Α και Γ είαι 00 ευρώ και 000 ευρώ 5 ατίστοιχα, τότε: Α) Να βρεθεί το πλήθος τω υπολογιστώ τύπου Α και Γ. Β)Να βρεθεί η τυπική απόκλιση s τω τιμώ πώλησης όλω τω υπολογιστώ της εταιρείας, ώστε ο συτελεστής μεταβολής του δείγματος α είαι 0% και η τιμή πώλησης τω υπολογιστώ τύπου Β α είαι 000 ευρώ. Γ)Α η εταιρεία αποφασίσει α διακόψει τη παραγωγή υπολογιστώ τύπου Γ και α αυξήσει τη παραγωγή υπολογιστώ τύπου Α κατά 80%, πόση πρέπει α είαι η τιμή πώλησης τω υπολογιστώ τύπου Β, ώστε ο συτελεστής μεταβολής α παραμείει ο ίδιος και η τυπική απόκλιση s τω τιμώ πώλησης όλω τω υπολογιστώ α είαι 00 ευρώ. 8.Σε μια φαταστική χώρα ο ασφαλιστικός φορέας Μ.Ι.Κ.Α αύξησε τις συτάξεις όλω τω συταξιούχω του κατά 5%.Ταυτοχροα παρακράτησε έα σταθερό ποσό από τη έα σύταξη κάθε συταξιούχου ως εισφορά για τη υγειοομική περίθαλψη του,ώστε ο συτελεστής μεταβολή τω συτάξεω α είαι 0% μεγαλύτερος από το αρχικό. Α η αρχική μέση σύταξη είαι 000 ευρώ (είπαμε είαι μια φαταστική χώρα), α βρείτε: Α) Το ποσό της εισφοράς που ο ασφαλιστικός φορέας παρακράτησε από κάθε συταξιούχο. Β) Βγήκα κερδισμέοι οι συταξιούχοι τη απόφαση του Μ.Ι.Κ.Α;

19 Από έα φύλλο λαμαρίας σχήματος τετραγώου πλευράς 6 μέτρω κατασκευάζεται μια δεξαμεή σχήματος ορθογωίου παραλληλεπιπέδου, αοικτή από πάω. Από τις γωίες του φύλλου λαμαρίας κόβοται τέσσερα ίσα τετράγωα πλευράς μέτρω, 0< < και στη συέχεια οι πλευρές της διπλώοται προς τα πάω, όπως φαίεται στο παρακάτω σχήμα: Α) Να αποδείξετε ότι ο όγκος της δεξαμεής ως συάρτηση του είαι: f () ( ),0< < (δίεται ο όγκος ορθογωίου παραλληλεπιπέδου διαστάσεω α,β,γ είαι V αβγ). Β) Να βρείτε για ποια τιμή του η δεξαμεή έχει μέγιστο όγκο. f (+ ) 8 Γ) Να βρείτε το όριο lm. 0 Δ) Θεωρούμε τις τιμές y f ( ),,,,,5 με < < < < 5, οι οποίες έχου μέση τιμή y,τυπική απόκλιση sy και συτελεστή μεταβολής CV y.να βρείτε το εύρος R τω τιμώ y,,,,,5.στη συέχεια α βρείτε το αριθμό α R με <α< 0 ο οποίος, α προστεθεί σε καθεμία από τις τιμές y προκύπτει δείγμα με συτελεστή μεταβολής CV τέτοιο ώστε R +. CV CVy Ε) Έστω Α,Β δυο εδεχόμεα εός δειγματικού χώρου Ω με ισοπίθαα απλά εδεχόμεα. Α είαι A, B και A B, α αποδείξετε ότι ισχύει: P(A) P(B) P(B) P(A)

20 Εστω ο δειγματικός χώρος Ω {,,,,5, 6} του πειράματος ρίψης εός αμερόληπτου λ ζαριού. Έστω επίσης η συάρτηση f ( ) ( λ) e + λ, R όπου λ R. Α)Nα βρείτε τις συαρτήσεις f '( ), f ''( ) Β)Να αποδείξετε ότι η εφαπτομέη (ε) της καμπύλης της f στο σημείο M (0, f (0)) έχει εξίσωση y (5 λ λ ) λ Γ)Να υπολογίσετε τις πιθαότητες τω εδεχομέω Α{ λ Ω / η ευθεία (ε) είαι κάθετη στη ευθεία (η) με εξίσωση Β{ λ Ω / η συάρτηση f ' είαι γησίως φθίουσα } E) Για λ α υπολογίσετε: )τις τιμές f '(0), f (0) y + 0} h e + h )το όριο lm. h 0 h.( Μεζεδάκια θεωρίας) A)Να χαρακτηρίσετε ως αληθής ή ψευδής τις παρακάτω προτάσεις )Ο λόγος της μέσης τιμής προς τη τυπική απόκλιση καλείται συτελεστής μεταβολής και είαι καθαρός αριθμός. Σ Λ )Σε κάθε καταομή το 50% τω παρατηρήσεω είαι μικρότερες της μέσης τιμής και το 50% είαι μεγαλύτερες της μέσης τιμής Σ Λ )Α σε έα δείγμα s 0, τότε το δείγμα είαι ομοιογεές. Σ Λ )Α όλες οι παρατηρήσεις εός δείγματος έχου τη ίδια τιμή,τότε η τυπική απόκλιση αυτώ είαι ίση με μηδέ. Σ Λ B)Τα παρακάτω διαγράμματα παρουσιάζου τη καταομή του σωματικού βάρους τω αθλητώ σε δυο ομάδες ποδοσφαίρου ΟΜΑ Α Α ΟΜΑ Α Β ) Ποιο είαι το μέσο βάρος τω δυο ομάδω;

21 - ) Ποια ομάδα έχει τη μεγαλύτερη διασπορά; ) Ποια ομάδα έχει μεγαλύτερη ομοιογέεια στο σωματικό βάρος τω παικτώ;.έστω ο δειγματικός χώρος Ω {,,,..., } εός πειράματος τύχης με ισοπίθαα απλά εδεχόμεα. Α το εύρος R και η διάμεσος δ τω αριθμώ,,,.., συδέοται με τη σχέση R+ δ 0.Να υπολογίσετε: Α)τους αριθμούς R,δ,. Β)τη πιθαότητα του εδεχομέου A {,,,..., R} Γ)τη πιθαότητα λαμβάοτας τυχαία έα αριθμό λ από το σύολο Ω η συάρτηση f ( ) ln( λ) Να έχει πεδίο ορισμού το R. Δ) Α 0 870α δείξετε ότι η τυπική απόκλιση τω αριθμώ,,,, ( ω η τιμή που υπολογίσατε στο ερώτημα α) είαι s.5..δίεται η συάρτηση f ( ) e α + 9, λ R με α πραγματικό αριθμό. Α) Α η εφαπτομέη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α( 0,f(0)) είαι παράλληλη στο άξοα α βρείτε τη τιμή του α. Β) Δίοται οι παρατηρήσεις f ( ), f ( ),..., f ( 00) με f ( ) < f ( ) <... < f ( 00 ) οι οποίες ακολουθού περίπου καοική καταομή με μέση τιμή και τυπική απόκλιση s.α το δείγμα δε είαι ομοιογεές α αποδείξετε ότι ) η ελάχιστη τιμή της f είαι 0. ) δ > 0 ) s > v)η συάρτηση.δίεται η συάρτηση g( ) 6 s, R είαι γησίως αύξουσα στο R. f ( ) + ln( + a), a > 0. Α)Α η εφαπτομέη της C f στο σημείο Α(,f()) σχηματίζει με το άξοα γωία 5 o α υπολογίσετε τη τιμή του α. Β)Για α α μελετήσετε τη συάρτηση f ως προς τη μοοτοία και τα ακρότατα. Γ)Εστω Ω ο δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης και Α,Β δυο εδεχόμεα του για τα οποία ισχύει η σχέση f(p(a))p(b).να αποδείξετε ότι το Β είαι το βέβαιο εδεχόμεο και το Α το αδύατο εδεχόμεο.

22 - 5.Να χαρακτηρίσετε ως αληθής ή ψευδής τις παρακάτω προτάσεις )Α Α,Β εδεχόμεα εός δ,χ Ω εός πειράματος τύχης και ισχύει A Bτότε P( A) P( B).Σ Λ )Οι σχετικές αθροιστικές συχότητες F % μιας καταομής εκφράζου το ποσοστό τω παρατηρήσεω που είαι μεγαλύτερες ή ίσες της τιμής.σ Λ )Το κυκλικό διάγραμμα χρησιμοποιείται για τη γραφική παράσταση μόο ποιοτικώ δεδομέω. Σ Λ )Η καμπύλη συχοτήτω του παρακάτω σχήματος εκφράζει μια ασύμμετρη καταομή με θετική ασυμμετρία. Σ Λ Do or do not there s no try. 5)Το εύρος εός δείγματος βασίζεται στις δυο ακραίες παρατηρήσεις. Σ Λ 6.(Μεζεδάκια θεωρίας) Α) Εξετάζουμε δυο δείγματα μεγέθους και μ ως προς μια ποσοτική μεταβλητή Χ.Α και y είαι οι μέσες τιμές τω παρατηρήσεω τω δυο δειγμάτω, α δείξετε ότι η μέση τιμή του συόλου τω παρατηρήσεω τω δυο δειγμάτω ισούται με: Β)Να αποδείξετε ότι σε μια καταομή συχοτήτω η διακύμαση v + µ y z µ + s δίεται και από τη σχέση : s * Γ)Α σε έα δείγμα μεγέθους ( v N ) η μεταβλητή παίρει μόο τις τιμές και 0, α αποδείξετε ότι για τη διακύμαση s ισχύει s ( Υπόδειξη: χρησιμοποιήστε το ερώτημα (β)). Δ)Να αποδείξετε ότι α από τις παρατηρήσεις,,..., v αφαιρέσουμε τη μέση τιμή τους και στη συέχεια διαιρέσουμε με τη τυπική τους απόκλιση s, τότε οι έες παρατηρήσεις που προκύπτου έχου μέση τιμή 0 και τυπική απόκλιση, δηλαδή α y s, τότε 0 y και s ( δίεται ότι s 0). y * Ε) Α σε έα δείγμα μεγέθους ( v N ) με θετικές παρατηρήσεις η μεταβλητή ακολουθεί τη καοική καταομή τότε για το συτελεστή μεταβολής CV ισχύει: Yoda

23 - CV <. 7)Α ε η εφαπτομέη (όπως φαίεται στο παρακάτω σχήμα) της C fστο σημείο της Α(,) < <... < οι τετμημέες τω σημείω M, M,.., M 9ατίστοιχα με μέση τιμή - και και 9 διάμεσο -. Α)Να βρείτε τη μέση τιμή τω τεταγμέω τω σημείω M, M,.., M 9. Β)Τη διάμεσο τω τεταγμέω τω σημείω M, M,.., M 9. Γ)το όριο lm h 0 f ( + h) f () h M M Cf Ότα ήµου µικρός, κόµπαζα για το πόσο πολλές σελίδες διάβαζα σε µία ώρα. Στο κολέγιο έµαθα πόσο βλακώδες ήτα αυτό. Το α διαβάζεις δέκα σελίδες µαθηµατικά τη ηµέρα µπορεί α είαι έας εξαιρετικά γοργός ρυθµός. Ακόµα και µία σελίδα, όµως, µπορεί α είαι αρκετή. A(,) Wllam Paul Thurston Μετάλλιο Felds 98 0 ο 9 M 9

24 - 8)Διεται η συάρτηση g( ) ( + 0 γ + β + ( α ) ( + γ )), R 60 με α,β,γ πραγματικές παραμέτρους.α η γραφική παράσταση της g τεμει το αξοα y y στο σημείο A(0, ) και ισχύει : e ( συ ) γ lm 0 ηµ + συ Α)Να βρείτε τις τιμές τω α,β,γ. Β) Για α,β0 και γ. Α έχουμε έα δείγμα 0 παρατηρήσεω ως προς μια μεταβλητή Χ με,, τις διακεκριμέες τιμές της μεταβλητές Χ,,, οι ατίστοιχες συχότητες και f, f, f οι ατίστοιχες σχετικές συχότητες. Να αποδείξετε ότι: g ( ) + g ( ) + g ( ) α) g ( f ) + g ( f ) + g ( f ) 0 β) γ)α η μέση τιμή και s η τυπική απόκλιση του δείγματος,τότε: g ( v + v + v ) ) ) s v g( ) + v g( ) + v g( ) + 0 Γ) Έστω μια συάρτηση h δυο φορές παραγωγίσιμη στο R με h( ) 7.Α f ( ) (80 g( ) 0) h( 5), R τότε: α) Να δείξετε ότι η εφαπτομέη της Cf στο A(, f ()) είαι παράλληλη στο άξοα χ χ. β)να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτομέης της Cf στο σημείο A(, f ()). γ)να υπολογίσετε τη f ''().

25 Εστω Α,Β είαι εδεχόμεα εός δειγματικού χώρου Ω.Α P( B ) και P( A B),τότε: 6 Α) Να υπολογίσετε τις πιθαότητες P( B A), P( B '). Β)Να δείξετε ότι P( A' B ') P( B A) May the Force be wth you. Γ)Να δείξετε ότι P( A) 50. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθου ως σωστές ή λάθος. Yoda. lm( συ ) συ Σ Λ o cf ( ) ' cf '( ) Σ Λ. ( ).Σε μια ποσοτική διακριτή μεταβλητή ατί του ραβδογράμματος χρησιμοποιείται το διάγραμμα συχοτήτω. Σ Λ.Εα δείγμα τιμώ μιας μεταβλητής Χ χαρακτηρίζεται ομοιογεές ότα ο συτελεστής μεταβολής ξεπερά το 0%. Σ Λ 5.Δυο εδεχόμεα Α και Β εός δειγματικού χώρου Ω λέγοται ασυμβίβαστα, ότα A B Σ Λ 5.Εστω Α,Β δυο εδεχόμεα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω. Α)Να δείξετε ότι : P( A B) + P( A B) P( A) + P( B) Β)Α P( A') 0. και P( B ') 0.5 α δείξετε ότι : ) P( A) 0.6 και P( B) 0.5) P( A B) + P( A B). )Να δείξετε ότι A B. 5.Α η μεταβλητή Χ παίρει μόο δυο τιμές, με συχότητες, ατίστοιχα, αποδείξετε ότι : )η τυπική απόκλιση s δίεται από το τύπο )Α v v τότε CV + s v v v + v

26 - 6 ln 5.)(άσκηση μπριαμ) Να εξετάσετε τη συάρτηση f ( ), > 0 ως προς τη μοοτοία και τα ακρότατα στο πεδίο ορισμού της. ) Α A, B εδεχόμεα εός δειγματικού χώρου Ω με A B, A B τότε α αποδείξετε ότι η συάρτηση P( A B) P( A B) g( ) + ( P( A B) P( A B) + ) + 97 είαι γησίως αύξουσα στο R. (Υπόδειξη: α χρησιμοποιήσετε το ερώτημα()) 5 5 v+ )Α η μέση τιμή τω παρατηρήσεω f (), f ( ), f ( ), f ( ),..., f ( + ) είαι ln 0.Να βρείτε το πλήθος του δείγματος. 5.Α t, t,..., t οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ με μέση τιμή και διάμεσο δ, τυπική απόκλιση s και η συάρτηση: f ( ) ( t ) Α) Να δείξετε ότι η γραφική παράσταση της f τέμει το άξοα y ' y στο σημείο (0, ( )) A s + Β)Α η γραφική παράσταση της f τέμει το άξοα ', α δείξετε ότι δ. Γ) Να εξετάσετε τη f ως προς τη μοοτοία και τα ακρότατα και α αποδείξετε ότι για κάθε R ισχύει f ( ) s. 55.Εστω t, t,..., t οι ηλικίες σε ακέραιο αριθμό ετώ τω μελώ του συλλόγου Σ.Ο.Κ.Ο.Ν το 0. Θεωρούμε τη συάρτηση f ( ) [( t ) + ( t ) ( t ) ] f '( ) Α) Να δείξετε ότι s, όπου s η διακύμαση και η μέση τιμή τω τιμώ της μεταβλητής. Β) Α ισχύει f ''( ) a 5, α βρείτε το t α + a lm ( ) + Γ)Α t 60, α δείξετε ότι η εξίσωση της εφαπτομέης της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α (0, f (0)) είαι ( ) 0 y s +

27 - 7 Δ)Α t, t,..., t κ,(κ < ) οι ηλικίες σε ακέραιο αριθμό ετώ τω ιδρυτικώ μελώ του συλλόγου Σ.Ο.Κ.Ο.Ν το 0 και το δείγμα έχει συτελεστή μεταβολής 6% εώ το 09 θα γίει πρώτη φορά ομοιογεές. ) α βρείτε τη μέση τιμή και τη τυπική απόκλιση τω ηλικιω τω κ ιδρυτικώ μελώ. ) Α η καταομή του δείγματος τω κ ηλικιώ είαι περίπου καοική α βρείτε κατά προσέγγιση τη μικρότερη ηλικία α το μικρότερο σε ηλικία άτομο είαι ετώ. )Να βρείτε το πλήθος τω κ ατόμω που ίδρυσα το σύλλογο Σ.Ο.Κ.Ο.Ν α 8 υδρυτικά μέλη το 0 έχου ηλικία άω τω 9 ετώ. 56.Α)Δίεται η συάρτηση g( ) (0.6 ), Να εξετάσετε τη f ως προς τη μοοτοία και τα ακρότατα στο πεδίο ορισμού της. Β)Στο παρακάτω πίακα δίεται η καταομή τω σχετικώ συχοτήτω της βαθμολογίας μαθητώ μιας τάξης στο μάθημα της Χημείας.Τα δεδομέα έχου ομαδοποιηθεί σε κλάσεις. )Να δείξετε ότι f f 0.0. ( Υπόδειξη :μπορείτε α χρησιμοποιήσετε το ερώτημα (Α)) ) Α f 0. α βρείτε τη μέση τιμή τω παραπάω βαθμολογιώ και α βρείτε τη διάμεσο. Ακολουθού οι βαθμολογίες τη καοική καταομή; Αιτιολογήστε τη απάτηση σας. Βαθμολογία [ ) f 8-0 f Σχετικές συχότητες f ) Α επιλέξουμε τυχαία έα από τους παραπάω μαθητές, α βρεθεί η πιθαότητα ώστε α έχει βαθμολογία στα διαστήματα: α) [ 6,0 ) β) [ 7,9 ) γ) [,5 ) Έας µαθηµατικός είαι µια µηχαή που µε τη χρήση καφέ παράγει θεωρήµατα. Πωλ Έρτος

28 Εξετάζουμε έα δείγμα μεγέθους ως προς μία ποσοτική μεταβλητή Χ και ομαδοποιούμε τις παρατηρήσεις του δείγματος σε 5 ισοπλατείς κλάσεις πλάτους c, όπως φαίεται στο παρακάτω πίακα: Δίεται ότι οι αθροιστικές σχετικές συχότητες F και F 5 είαι οι ρίζες της εξίσωσης : 5 8 +, κ κ R α) Να αποδείξετε κ και λ0. β)να αποδείξετε ότι f% 0, f% 0, f% 0, f% 0 και f % 0. 5 γ)α το 5% τω παρατηρήσεω είαι μικρότερες του 6 και το 5% τω παρατηρήσεω είαι μεγαλύτερες ή ισες του, τότε α αποδείξετε ότι α0 και c. Να συμπληρώσετε το πίακα. δ)α το πλήθος τω παρατηρήσεω που είαι μεγαλύτερες ή ισες του είαι 800, τότε α υπολογίσετε το μέγεθος τω δείγματος. 58.Εστω ο δ.χ Ω και τα εδεχόμεα του Α,Β.Α για τις πιθαότητες τω εδεχομέω A B, A B, A B, B A ισχύου: P( B) P( A) < P( A B) <, η μέση τιμή τους είαι η διάμεσος τους είαι P( A B), δ,α βρείτε: Α) τη πιθαότητα του εδεχομέου A B. "Είαι κάτι που οι µαθηµατικοί δε µπορού α ατιληφτού πλήρως. Τα µαθηµατικά στη πραγµατικότητα είαι σχεδό εξ ολοκλήρου ζήτηµα αισθητικής!!" Β) τη πιθαότητα τω εδεχομέω A, B. John H.Conway Γ) τη πιθαότητα α πραγματοποιηθεί μόο έα από τα A, B. Δ)τη διακύμαση τω αριθμώ P( A B), P( A), P( B), P( B A)

29 Επικαιρο!!!! Στο εκλογικό τμήμα του χωριού Άω Πλαταιά κάθε κάτοικος - με δικαίωμα ψήφουψήφισε έα από τα κόμματα Α,Β,Γ και Δ. Κατά τη καταμέτρηση διαπιστώθηκε ότι δε υπήρξα λευκά ή άκυρα.το πλήθος τω ψηφοφόρω του κόμματος Α είαι το 50% του αριθμού τω ψηφοφόρω του κόμματος Β, οι ψηφοφόροι του κόμματος Γ είαι το 0% όλω τω κατοίκω του χωριού που ψήφισα.εώ είαι γωστό ότι το πλήθος τω ψηφοφόρω του κόμματος Δ είαι το 00% τω ψηφοφόρω του κόμματος Β. Επιλέγουμε τυχαία έα κάτοικο του χωριού που ψήφισε. Ποια είαι η πιθαότητα )Να ψήφισε το κόμμα Α ή το κόμμα Γ. )Να ψήφισε το κόμμα Γ. )Να ψήφισε το κόμμα Γ ή α μη ψήφισε το κόμμα Β. 59.Εστω Ω {0,,, } είαι ο δειγματικός χώρος εός πειράματος τύχης έτσι ώστε P(0) P() P() P() )Να βρείτε τις πιθαότητες όλω τω απλώ εδεχομέω. )Δίεται η συάρτηση πιθαότητα του εδεχομέου f ( ) ( λ λ + 5) + 666,λ Ω, R.Να βρείτε τη Α { λ Ω / η συαρτηση f παρουσιαζει ελαχιστο για } ) Οι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ είαι οι παρακάτω: λ,,6,,,,,6 λ λ απλό εδεχόμεο του Ω. Α η μέση τιμή τω παραπάω παρατηρήσεω α βρείτε τη πιθαότητα του εδεχομέου B { λ Ω / η µεση τιµη.5} v)να βρείτε τις πιθαότητες : P( A B), P( A B), P( A B), P( B A), P( B ' A), P( A' B), P( A' B '), P( A' B ')

30 Σε έα δείγμα μεγέθους, οι παρατηρήσεις έχου τη τιμή 0 και οι παρατηρήσεις τη τιμή, με +. Θεωρούμε το δ.χ. Ω εός πειράματος τύχης με ισοπίθαα απλά εδεχόμεα και τα ασυμβίβαστα εδεχόμεα Α,Β του Ω, για τα οποία υποθέτουμε ότι ισχύει P( Α ), P( B). Να δείξετε ότι: Α) Α ' Β. Β) το δείγμα έχει μέση τιμή ίση με P( Β ). Γ) η διακύμαση του δείγματος ισούται με P( Β) P( Α ). Δ) Α άρτιος, α βρείτε για ποιά τιμή του P( Α ) η διακύμαση του δείγματος γίεται μέγιστη. λ 6.Δίεται η συάρτηση ( ) f e λe, R, λ > Α) Να βρείτε τις f '( ), f ''( ) Το εεργητικό άτοµο µαθαίει µόο του!! Β)Να δείξετε ότι f ''( ) ( λ+ ) f '( ) λ f ( ) Γ)Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτομέης της C fστο σημείο της Α(0,f(0)). Δ)Να μελετήσετε τη f ως προς τη μοοτοία και α βρείτε τα ακρότατα της. λ Ε)Να δείξετε ότι e + λ λe + για κάθε R. 6.Οι πωλήσεις, σε χιλιάδες ευρώ, που έγια από τους πωλητές μιας εταιρείας κατά τη διάρκεια εός έτους ομαδοποιήθηκα σε πίακα συχοτήτω με κλάσεις ίσου πλάτους. Το ατίστοιχο πολύγωο σχετικώ συχοτήτω f % έχει διαδοχικές κορυφές τις: A(8,0),B(0,0),Γ(,0),Δ(,yΔ),Ε(6,yΕ) Z(8,0),H(0,0) όπου yδ, yε οι τεταγμέες τω κορυφώ Δ και Ε του πολυγώου ABΓΔΕΖΗ. A) Να υπολογιστού οι τεταγμέες yδ, yε τω κορυφώ Δ και Ε, α επιπλέο γωρίζουμε ότι το ευθύγραμμο τμήμα ΔΕ είαι παράλληλο προς το οριζότιο άξοα B) Να σχεδιαστεί το πολύγωο τω σχετικώ συχοτήτω f%. Γ) Να κατασκευαστεί ο πίακας τω σχετικώ συχοτήτω( f, f %F, F%) της καταομής τω πωλήσεω που έγια από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια εός έτους. Φ.Νίτσε

31 - Δ) Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσο δ του δείγματος. Ε) Η διεύθυση της εταιρείας αποφάσισε τη χορήγηση εός επιπλέο εφάπαξ ποσού σε όσους πωλητές έχου κάει ετήσιες πωλήσεις τουλάχιστο 5000 ευρώ. Να υπολογιστεί το ποσοστό τω πωλητώ που θα λάβου αυτό το ποσό. ΣΤ) Το εμβαδό του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωο συχοτήτω της καταομής τω πωλήσεω οι οποίες έγια από τους πωλητές της εταιρείας κατά τη διάρκεια εός έτους και του οριζότιου άξοα είαι 80. Να βρείτε το αριθμό τω πωλητώ που δικαιούται το εφάπαξ ποσό που ααφέρεται στο προηγούμεο ερώτημα. 6.ΜΕΖΕΔΑΚΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ Α)Να γράψετε στο τετράδιο σας το αριθμό της ερώτησης και δίπλα το γράμμα που ατιστοιχεί στη σωστή απάτηση..α f ( ) ln +, τότε η f '( ) είαι : Α. + Β. Γ. Δ. +.Α για τη συάρτηση f ( ) e + ηµ ισχύει : f ( a) f '( a), τότε Α. π a Β. α 0 Γ. α κπ +, κ Z Δ. α κπ, κ Z.Η εξίσωση της εφαπτομέης της γραφικής παράστασης της συάρτησης σημείο της Α (, f ()) είαι: f ( ) e στο Α. y + e Β. y e+ e Γ. y e e Δ. y + e.δίεται η συάρτηση f ( ).Η κάθετη στη εφαπτομέη της C f στο σημείο A (, ) έχει συτελεστή διεύθυσης : Α.- Β. 5.Δίεται η συάρτηση Γ. Δ. Ε. f ( ) e ηµ π + ( ) τότε '() f Α.0 Β. e Γ. π e Δ. πe Ε.

32 - Β)Στη στήλη του πίακα Α ααγράφοται διάφορες σχέσεις για τα εδεχόμεα Α και Β διατυπωμέες στη καθημεριή γλώσσα, και στη στήλη Β ααγράφοται οι ίδιες σχέσεις αλλά διατυπωμέες στη γλώσσα τω συολω.να κάετε τη ατιστοίχιση. Στήλη Α.Το εδεχόμεο Α πραγματοποιείται..το εδεχόμεο Α δε πραγματοποιείται..εα τουλάχιστο από τα Α και Β πραγματοποιείται. Στήλη Β Α. ω Α Β Β. ω Α Β Γ. ω Α Β.Πραγματοποιούται αμφότερα τα Α και Β. Δ. ω ( Α Β )' 5.Δε πραγματοποιείται καέα από τα Α και Β Ε. ω Α ' 6. Πραγματοποιείται μόο το Α ΣΤ. Α Β 7.Η πραγματοποίηση του Α συεπάγεται τη πραγματοποίηση του Β Ζ. ω Α 6.Δίεται η συάρτηση 0 f ( ) a β, + R, α,β πραγματικές παράμετροι. Α)Α η C f έχει κοιά σημεία με τη y τα σημεία Α(0,0) και Β(,),α υπολογίσετε τις τιμές τω α,β. B)Για α και β0,α βρείτε ) το συτελεστή διεύθυσης της εφαπτομέης της C fστο σημείο Α(,f()). ) το όριο ( + h) lm h 0 h( h+ 0) 0 0 ) τη εξίσωση της εφαπτομέης της C fπου είαι παράλληλη στη ευθεία (η): y 0 v)να αποδείξετε ότι υπάρχου δυο εφαπτόμεες της C fοι οποίες διέρχοται από το σημείο Μ(0,-0).

33 Η προϋπηρεσία τω συμβασιούχω μιας δημόσιας υπηρεσίας έχει ομαδοποιηθεί σε κλάσεις ίσου πλάτους όπως φαίεται στο παρακάτω πίακα. Το εύρος είαι R6. Α)Να δείξετε ότι το πλάτος τω κλάσεω είαι c και α0. Β)Να συμπληρώσετε το πίακα με στήλες :, f, f %, F, F %, f, f Γ)Να βρείτε τη μέση τιμή, τη τυπική απόκλιση s και α εκτιμήσετε το ποσοστό τω συμβασιούχω που έχου χρόια υπηρεσίας τουλάχιστο s και το πολύ + s. Χρόια υπηρεσίας [ ) [ ) [ ) Κέτρα κλάσεω f% 0 a [ ) Σύολο a a a Δ)Η πολιτεία αποφασίζει α απολύσει τους συμβασιούχους που έχου προϋπηρεσία λιγότερη από έτη. Να βρείτε τη έα μέση τιμή του χρόου προϋπηρεσίας. Είαι γεγοός ότι υπάρχου λίγα µόο ατικείµεα µελέτης πιο "δηµοφιλή" από τα µαθηµατικά.οι περισσότεροι άθρωποι τρέφου κάποια εκτίµηση γι αυτά,όπως ακριβώς οι περισσότεροι απολαµβάου έα ευχάριστο µουσικό σκοπό. Και πιθαό α υπάρχου περισσότεροι που α εδιαφέροται πραγµατικά για τα µαθηµατικά απ ότι για τη µουσική.τα φαιόµεα ίσως α δείχου το ατίθετο, αλλά αυτό µπορεί εύκολα α εξηγηθεί.η µουσική µπορεί α χρησιµοποιηθεί για α εεργοποιήσει το συαίσθηµα τω µαζώ,εώ τα µαθηµατικά δε µπορού.και εώ η µουσική αικαότητα ααγωρίζεται (σωστά, χωρίς αµφιβολία) ως ελαφρώς επικριτέα, οι περισσότεροι φοβούται τόσο πολύ το όοµα τω µαθηµατικώ ώστε είαι διατεθειµέοι, χωρίς α τους υποχρεώει καείς, α υπερβάλλου τη µαθηµατική τους αοησία. G.H.Hardy ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΑ ΟΣ- ΓΕΡΜΑΝΟΣ - ΡΟΥΓΑΣ-ΜΗΤΑΛΑΣ ΠΑΤΣΗΣ Οι λύσεις σελ 9

34 Εστω Α,Β εδεχόμεα εός δειγματικού χωρου Ω και μια συάρτηση 9 f ( ) + + 0, R 0 0 Οι πιθαότητες P( A), P( B), P( A B), P( A B) είαι παρατηρήσεις μιας μεταβλητής Χ με διάμεσο δ τη θέση τοπικού μέγιστου της f και οι πιθαότητες P( A), P( B), P( A B), P( B A), P( A B), P( A B) έχου μέση τιμή τη θέση τοπικού ελαχίστου της f. Να υπολογίσετε τις πιθαότητες P( A B), P( A B). 67Εστω ο δειγματικός χώρος Ω και έα εδεχόμεο του Α, A. Α) Να βρείτε τα ακρότατα της συάρτησης f ( ), + R. Β) Θεωρούμε τις παρατηρήσεις: P( A), P( A'), P( ), P( Ω ) )Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο τους. )Να δείξετε ότι η διακύμαση τους είαι: ( ( ) ( ) + ) s P A P A )Να δείξετε ότι CV και ότι η ισότητα ισχύει ότα P( A) P( A') 68.A)Έστω η μέση τιμή και s η τυπική απόκλιση 0 θετικώ παρατηρήσεω,,...,.α ισχύει s τότε α βρείτε το συτελεστή μεταβολής του δείγματος και α εξετάσετε α το δείγμα είαι ομοιογεές. Β) Έστω A, B, B A' δύο εδεχόμεα εός δειγματικού χώρου Ω.Δίοται οι συαρτήσεις: 0 f ( ) CV P( A B) + P( A B) +, R, με CV το συτελεστή μεταβολής του ερωτήματος (Α) και + R, α πραγματική παράμετρος. g( ) a 666, ) Να αποδείξετε ότι η f δε παρουσιάζει ακρότατα.

35 - 5 )Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτομέης της Cf στο σημείο Α(0,f(0)). )Α η παραπάω εφαπτομέη σχηματίζει με τους άξοες τρίγωο εμβαδού τ.μ, τότε α αποδείξετε ότι P( A B). v)α g( + h) g() lm α βρείτε τη τιμή του α. h 0 h v) Α η g παρουσιάζει ελάχιστο στη θέση P( A B) α βρείτε τη πιθαότητα P( B ). Το α γωρίζεις δε είαι απολύτως τίποτα. Το α φατάζεσαι είαι το πα. Αατόλ Φρας 69.Α.Εξετάσαμε έα δείγμα ως μια μεταβλητή Χ και πρόεκυψε ο παρακάτω πίακας αθροιστικώ συχοτήτω Η μέση τιμή και η διάμεσος του δείγματος διαφέρου κατά 0.6 A.Να δείξετε ότι λ6. A.Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσοδ του δείγματος. α B. Δίεται μια συάρτηση f ( ) e α +, α R και ο δειγματικός χώρος Ω { α Z / α ( δ ) +.}. N λ Β) Να βρείτε τις f ', f ''. Β)Για ποια τιμή του α το f '(0) γίεται ελάχιστο ;

36 - 6 Β) Θεωρούμε τα εδεχόμεα Α,Β με ισοπίθαα στοιχειώδη εδεχόμεα έτσι ώστε α ισχύει: A { λ Ω / f '(0) > f (0)} και B { λ Ω / f ''(0) < 56} Να βρείτε τις πιθαότητες: ) P( A B) ) P( A B) ) P( B A) v) P( ( A B) ( B A) ) δ)α είαι μέση τιμή 5 α, 6 α, α,0α με α Ω,α βρείτε τη πιθαότητα του εδεχομέου Γ { λ Ω / > } Έστω,,..., οι παρατηρήσεις εός δείγματος με μέση τιμή 0και τυπική απόκλιση s. Θεωρούμε τη συάρτηση f με f ( ) ( s+ ). 8 Α. Α η εφαπτομέη της Cf στο σημείο της Α(, f()) είαι παράλληλη στη ευθεία y +, α υπολογίσετε το συτελεστή CV του δείγματος και α εξετάσετε α το δείγμα είαι ομοιογεές. Β. Α είαι γωστό ότι lm f ( ), α βρείτε τη μέση τιμή και τη τυπική απόκλιση s. s X Γ. Α και s και γωρίζουμε ότι ισχύει ο τύπος s X, α υπολογίσετε το άθροισμά f ( ) + f ( ) f ( ), συαρτήσει του πλήθους τω παρατηρήσεω. Δ. Εά υποθέσουμε ότι η καμπύλη καταομής του δείγματος είαι περίπου καοική, α βρείτε το ποσοστό τω παρατηρήσεω του δείγματος που περιέχοται στο διάστημα (, 5) καθώς και το εύρος R τω τιμώ του δείγματος.

37 Στα δυο τμήματα Γ και Γ της Γ τάξης εός Λυκείου ο μέσος όρος της βαθμολογίας στο πρώτο τετράμηο στο μάθημα τω Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας ήτα και η διακύμαση. Στο δεύτερο τετράμηο όλοι οι μαθητές του Γ αύξησα τη βαθμολογία τους στο μάθημα κατά μοάδα, εώ οι μαθητές του Γ αύξησα τη βαθμολογία τους στο μάθημα κατά 0%. Α. Να βρείτε τη έα μέση τιμή και τη έα τυπική απόκλιση για το κάθε τμήμα. Β. Ποιου τμήματος η βαθμολογία παρουσιάζει μεγαλύτερη ομοιογέεια κατά το δεύτερο τετράμηο; Γ. Α το άθροισμα τω τετραγώω τω βαθμώ στο μάθημα τω Μαθηματικώ Γεικής Παιδείας για τους μαθητές του Γ κατά το δεύτερο τετράμηο ήτα 5, α βρείτε το πλήθος τω μαθητώ του Γ. Δ. Α οι βαθμολογίες τω μαθητώ του Γ ακολουθού καοική περίπου καταομή, α βρείτε το πλήθος τω μαθητώ που είχε βαθμό τουλάχιστο στο πρώτο τετράμηο. Ε. Α σε έα μαθητή του Γ κατά λάθος ατί 5 που ήτα ο βαθμός του στο δεύτερο τετράμηο είχε σημειωθεί, α υπολογίσετε τη καοική μέση τιμή και διακύμαση τω βαθμώ τω μαθητώ στο Γ. f α α + α +, µε R και α 0, Δίεται η συάρτηση f με ( ) ( ) C στο σημείο της Μ 0, f ( 0) Α. Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτομέης (ε) της f ( ) Β ) Να δείξετε ότι το εμβαδό του τριγώου που σχηματίζει η (ε) με τους άξοες ( ) και y yείαι E( α) α +. α ) Να βρείτε για ποιες τιμές του α το εμβαδό αυξάεται και για ποιες μειώεται. ) Να βρείτε για ποια τιμή του α το εμβαδό γίεται ελάχιστο και ποια είαι η ελάχιστη τιμή του. ) Να δείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής του εμβαδού αυξάεται συεχώς Γ. Α οι τετμημέες 0 σημείω της ευθείας (ε) του Α ερωτήματος έχου μέση τιμή και διακύμασή α βρείτε τη τιμή του α ώστε οι τεταγμέες τω παραπάω 0 σημείω α έχου συτελεστή μεταβλητότητας 0%.

38 Α θεωρήσουμε έα εδεχόμεο Γ εός δειγματικού χώρου Ω που ικαοποίει τη a e ισότητα P( Γ) P( Γ ) + λ+ 9, λ R και μια συάρτηση f ( ) (+ β + ), R με α, β ατίστοιχα τη μέγιστη και τη ελάχιστη τιμή που μπορεί α πάρει το λ. Α)Να βρείτε τις τιμές τω α,β. Β)Για α, β 5. ) Να μελετήσετε τη συάρτηση f ως προς τη μοοτοία και τα ακρότατα. ) Α A,B δυο εδεχόμεα του παραπάω δειγματικού χώρου Ω με P( A) και f ( ) P( B) όπου η f παρουσιάζει ελάχιστη τιμή στο, α βρείτε τις τιμές τω 6 e P( A), P( B ). ) Α P( A), P( B) α εξετάσετε α τα εδεχόμεα Α,Β είαι ασυμβίβαστα. v) Να αποδείξετε ότι P( A' B '). 6 7.Δίεται η συάρτηση f ( ) +, R και ο δειγματικός χώρος Ω { ω, ω, ω, ω} + όπου ω, ω 0και < ω < ω.δίοται επίσης, οι πιθαότητες P( ω ) f ( ω ),, f '( ) και P( ω) lm 6 Α.Θεωρούμε τα εδεχόμεα Α,Β,Γ του δειγματικού χώρου Ω με A { ω Ω / f '( ω) 0}, Β { ω Ω / f ( ω) > } Γ { ω Ω / + ω, για καθε R } )Να βρείτε τις πιθαότητες P( ω ), P( ω), P( ω), P( ω ) )Να βρείτε τις πιθαότητες P( Α), P( Β), P( Γ ) και P( Α B) Β.Να βρείτε τη εξίσωση της εφαπτομέης (ε) της γραφικής παράστασης της f, η οποία σχηματίζει με το άξοα χ χ γωία 5 ο. Γ.Α Μ ( ω, y ), κ,,, είαι σημεία της εφαπτομέης (ε): y + με κ κ κ

39 - 9 δω κ δ y κ και R 5 y k Τότε α υπολογίσετε τα ω και ω του δειγματικού χώρου Ω,οπου δ ω κ :η διάμεσος τω τετμημέω τω σημείω Μ κ δ y κ :η διάμεσος τω τεταγμέω τω σημείω Μ κ R y k : το εύρος τω τεταγμέω τω σημείω Μ κ * 75.Έστω έα πείραμα τύχης με δειγματικό χώρο Ω{,,,}, N που αποτελείται από ισοπίθαα απλά εδεχόμεα και ισχύει: (0 00 ) + (0 000) + (60 0) 0 ) Να δείξετε ότι Ν( Ω ) 5. ) Α επιλέξουμε τυχαία έα αριθμό από το Ω, ορίζουμε τα εδεχόμεα : Α{ ο αριθμός α είαι πολλαπλάσιο του ή του } Β{ ο αριθμός α είαι πολλαπλάσιο του και του } Να βρείτε τις πιθαότητες P( Α), P( Β ). Το ξεκίηµα της άλγεβρας το βρήκα πολύ δύσκολο, ίσως ως αποτέλεσµα κακής διδασκαλίας. Έπρεπε α αποστηθίσω: το τετράγωο του αθροίσµατος δύο αριθµώ είαι ίσο µε το άθροισµα τω τετραγώω τους αυξηµέο κατά το διπλάσιο γιόµεό τους. ε είχα τη παραµικρή ιδέα τι σήµαιε αυτό και ότα δε µπορούσα α θυµηθώ τα λόγια, ο δάσκαλος µου πέταγε το βιβλίο στο κεφάλι µου, πράγµα που δε διέγειρε µε καέα τρόπο τη όηση µου. Bertrand A. W. Russell

40 )Θεωρούμε έα κουτί σχήματος ορθογώιου παραλληλεπιπέδου με βάση ορθογώιο και αοικτό από πάω Το ύψος του κουτιού είαι 5 dm.η βάση του κουτιού έχει σταθερή περίμετρο 0 dm και μια πλευρά της είαι dm με 0<<0. Δ. Να αποδείξετε ότι η συολική επιφάεια του κουτιού ως συάρτηση του είαι Ε + + ( ) ( ) 0 00, 0,0 Και α βρείτε για ποια τιμή του χ το κουτί έχει μέγιστη επιφάεια. Στη συέχεια, θεωρούμε τα σημεία A(, y ), όπου y E( ),,,..,5 με 5 < <... < 5 9 Δ.Α το δείγμα τω τετμημέω,,,..,5 τω παραπάω σημείω A(, y ) Δε είαι ομοιογεές Έχει μέση τιμή 8και Τυπική απόκλιση s τέτοια,ώστε: s 5s+ 0 Τότε: α) Να δείξετε ότι η s β) Να βρείτε τη μέση τιμή τω Δίεται: s t ι t ι με,,..,5 Δ.Επιλεγουμε τυχαία έα από τα παραπάω στοιχεία A(, y ),,,..,5.Να βρείτε τη πιθαότητα του εδεχομέου: B { A(, y ),,,..,5 τέτοια ώστε y > + 9R+ } όπου R είαι το εύρος τω y E( ),,,..,5 ( Παελλήιες 0)

41 - 77)Δίεται ευθύγραμμο τμήμα ΑΒ με μήκος 00 m. Θεωρούμε εσωτερικό σημείο Γ του ΑΒ τέτοιο, ώστε το μήκος του τμήματος ΑΓ α είαι m. Δ.Κατασκευζουμε τα τετράγωα ΑΓΔΖ και ΓΒΘΗ, όπως φαίεται στο παραπάω σχήμα. )Να αποδείξετε ότι το άθροισμα τω εμβαδώ τω δυο τετραγώω, ως συάρτηση του στο διπλαό σχήμα είαι: E ( ) ( ) , 0,00 )Να βρείτε για ποια τιμή του το εμβαδό E( ) γίεται ελάχιστο. Στη συέχεια για 50, χωρίζουμε το ευθύγραμμο τμήμα ΑΓ σε διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα l,,,.., με ατίστοιχα μήκη,,,.., Α η μέση τιμή τω μηκώ,,,.., είαι και η τυπική απόκλιση είαι s 0, τότε: Δ. Να δείξετε ότι 5. Δ. Να βρείτε τη μέση τιμή τω εμβαδώ τω τετραγώω που κατασκευάζοται μ πλευρές τα διαδοχικά τμήματα lμε ατίστοιχα μήκη,όπου,,..,5. Δίεται: s t ι t ι Δ.Επιλεγουμε τυχαία έα από τα διαδοχικά ευθύγραμμα τμήματα l,,,..,5.να βρείτε τη πιθαότητα του εδεχομέου. Λ { l,,,..,5,τέτοια ώστε ο δείκτης α είαι πολλαπλάσιο του ή πολλαπλάσιο του }