ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. α) του αριθμού των αγοριών προς τον αριθμό των κοριτσιών:... β) του αριθμού των κοριτσιών προς τον αριθμό των αγοριών:...

Transcript

1 ΑΝΑΛΟΓΙΕΣ Μι νθοδέσμη έχει 5 λευκά κι 15 κόκκιν γρύφλλ. Τι μπορούμε ν πρτηρήσουμε; ότι τ κόκκιν είνι κτά δέκ περισσότερ πό τ λευκά, λλά κι ότι τ κόκκιν γρύφλλ είνι τρεις φορές περισσότερ πό τ λευκά Η μέτρηση δύο ομοειδών μεγεθών με την ίδι μονάδ μέτρησης δίνει δύο ριθμούς. Ένς τρόπος ν συγκρίνουμε τους ριθμούς υτούς είνι η διφορά τους, ένς άλλος όμως είνι χρησιμοποιώντς τη πράξη της διίρεσης, πίρνοντς το κλάσμ τους. Το κλάσμ υτό λέγετι λόγος των δύο ριθμών. Στο πράδειγμά μς ο λόγος του ριθμού των κόκκινων γρύφλλων προς τον ριθμό των ΚΟΚΚΙΝΑ ΓΑΡΥΦΑΛΛΑ 15 λευκών είνι: = ΛΕΥΚΑ ΓΑΡΥΦΑΛΛΑ 5 = 3. Αντίστροφ ο λόγος του ριθμού των λευκών γρύφλλων προς τον ριθμό των κόκκινων ΛΕΥΚΑ ΓΑΡΥΦΑΛΛΑ 5 1 είνι: = = ΚΟΚΚΙΝΑ ΓΑΡΥΦΑΛΛΑ Τ λευκά γρύφλλ είνι το 1 των κόκκινων 3 γρύφλλων. ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Σε έν σχολείο φοιτούν 70 κορίτσι κι 80 γόρι. Ποιος είνι ο λόγος: ) του ριθμού των γοριών προς τον ριθμό των κοριτσιών:... β) του ριθμού των κοριτσιών προς τον ριθμό των γοριών:... γ) του ριθμού των γοριών προς τον ριθμό των πιδιών του σχολείου:... δ) του ριθμού των πιδιών του σχολείου προς τον ριθμό των κοριτσιών: Ο πτέρς ζυγίζει 80 kg κι ο γιος του 40 kg. Ν σχημτίσετε τους πρκάτω λόγους κι ν συμπληρώσετε τις ισότητες: ΒΑΡΟΣ ΠΑΤΕΡΑ ) = ΒΑΡΟΣ ΓΙΟΥ βάρος πτέρ = (βάρος γιου) ΒΑΡΟΣ ΓΙΟΥ β) = ΒΑΡΟΣ ΠΑΤΕΡΑ βάρος γιου = (βάρος πτέρ)

2 3. Το μήκος του Αχελώου είνι 219 km κι του Μόρνου 73 km. Ν σχημτίσετε τους πρκάτω λόγους κι ν συμπληρώσετε τις ισότητες: ΜΗΚΟΣ ΑΧΕΛΩΟΥ ) = ΜΗΚΟΣ ΜΟΡΝΟΥ μήκος Αχελώου = (μήκος Μόρνου) ΜΗΚΟΣ ΜΟΡΝΟΥ β) = ΜΗΚΟΣ ΑΧΕΛΩΟΥ μήκος Μόρνου = (μήκος Αχελώου) 4. Έν βρέλι είνι γεμάτο με 145 kg κρσιού. Αν φιρεθούν 55 kg κι το βρέλι συμπληρωθεί με νερό, ποι είνι η νλογί του νερού στο κρσί στο τελικό μείγμ; 5. Ο λόγος του ριθμού των γιδιών προς τον ριθμό 3 των προβάτων ενός κοπδιού είνι. Αν τ 5 πρόβτ είνι 250, πόσ είνι τ γίδι; 6. Ένς σοβτζής, γι ν φτιάξει λάσπη, νκτεύει 3 κροτσάκι σβέστη με 7 κροτσάκι άμμο. Αν χρησιμοποιήσει 56 κροτσάκι άμμο, πόσ κροτσάκι σβέστη θ χρειστεί; 7. Η λεμονάδ γίνετι με μι νλογί 3 φλιτζάνι νερό με 2 φλιτζάνι χυμό λεμονιών. ) Πόσ φλιτζάνι χυμό λεμονιών θ χρειάζοντι γι 12 φλιτζάνι νερού; Β) Αν τέσσερ φλιτζάνι μς κάνουν έν λίτρο, πόσ φλιτζάνι χυμού χρειάζοντι γι δέκ λίτρ λεμονάδς; 2

3 ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ Έν υτοκίνητο τρέχει με στθερή τχύτητ 90 χιλιομέτρων την ώρ. Πόσ χιλιόμετρ θ κλύψει, διτηρώντς υτή τη τχύτητ, σε 2, 3, 4, 5, ώρες; Χρόνος σε ώρες (h) Απόστση σε χιλιόμετρ (km) Πρτηρούμε ότι ότν διπλσιάζετι τριπλσιάζετι, τετρπλσιάζετι κ.λ.π. η τιμή του χρόνου, τότε, ντίστοιχ, διπλσιάζετι τριπλσιάζετι, τετρπλσιάζετι κ.λ.π. η τιμή της πόστσης. Κι ντίστροφ, ότν διπλσιάζετι τριπλσιάζετι, τετρπλσιάζετι κ.λ.π. η τιμή της πόστσης, τότε, ντίστοιχ, διπλσιάζετι τριπλσιάζετι, τετρπλσιάζετι κ.λ.π. η τιμή του ντίστοιχου χρόνου. Αυτό συμβίνει γιτί οι τιμές της πόστσης που δινύετι είνι νάλογες προς τον χρόνο που πιτήθηκε. Δύο ποσά λέγοντι νάλογ ότν πολλπλσιάζοντς (ή διιρώντς) με ένν ριθμό, τις τιμές που μπορεί ν πάρει το έν ποσό, πολλπλσιάζοντι (ή διιρούντι) οι ντίστοιχες τιμές του άλλου ποσού με τον ίδιο ριθμό. Διπιστώνουμε κόμη ότι οι ντίστοιχες τιμές που πίρνουν τ ποσά χρόνος (σε ώρες) κι πόστση (σε χιλιόμετρ) έχουν τον ίδιο λόγο: ΧΡΟΝΟΣ 1 ΑΠΟΣΤΑΣΗ 90 Σς θυμίζει = = κάτι πό ΑΠΟΣΤΑΣΗ 90 ΧΡΟΝΟΣ 1 ισοδύνμ κλάσμτ; ΧΡΟΝΟΣ 2 1 = = ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΧΡΟΝΟΣ 3 1 = = ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ = = ΧΡΟΝΟΣ 2 1 ΑΠΟΣΤΑΣΗ = =.. ΧΡΟΝΟΣ 3 1 Γρφική πράστση νάλογων ποσών πόστση σε χιλιόμετρ Ότν τ ποσά είνι νάλογ τ σημεί που ορίζοντι πό τ ζευγάρι των τιμών βρίσκοντι πάντ πάνω σε ευθεί γρμμή! χρόνος σε ώρες 3

4 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ανφέρτε πρδείγμτ πό την κθημερινή ζωή, όπου συνντάμε νάλογ ποσά Πράδειγμ 1:... Πράδειγμ 2:... Πράδειγμ 3:... Πράδειγμ 4: Ποι πό τ πρκάτω ποσά είνι νάλογ; Δικιολογήστε τις πντήσεις σς. ) Η ξί ενός εμπορεύμτος κι το βάρος του... β) Το μήκος ενός υφάσμτος κι η τιμή του... γ) Το βάρος κι η ηλικί ενός τόμου... δ) Ο ριθμός των εργτών κι ο χρόνος που πιτείτι γι την ολοκλήρωση ενός έργου... ε) Η μοιβή κι χρόνος εργσίς ενός εργάτη... στ) Ο ριθμός των εργτών κι το έργο που εκτελούν σε ορισμένο χρόνο ζ) Το βάρος κι το ύψος ενός τόμου... η) Το εμβδόν ενός τοίχου κι η ποσότητ της μπογιάς που θ χρειστεί γι ν βφεί... θ) Το εμβδόν ενός τοίχου κι τ χρήμτ που θ χρειστούν γι ν βφεί... ι) Ο τόκος που δίνει έν ορισμένο κεφάλιο σε 10 χρόνι κι το επιτόκιο στο οποίο τοκίζετι... ι) Ο τόκος που δίνει έν ορισμένο κεφάλιο με στθερό επιτόκιο κι ο χρόνος γι τον οποίο τοκίζετι... ιβ) Ο τόκος που δίνει έν ορισμένο κεφάλιο με στθερό επιτόκιο κι γι ορισμένο χρόνο κι το ποσό του κεφλίου... ιγ) Η προχή νερού κι ο χρόνος γι το γέμισμ μις δεξμενής... Είνι Δεν είνι 3. Ν εξετάσετε ν οι πρκάτω πίνκες τιμών είνι πίνκες νάλογων ποσών κι ν πρστήσετε γρφικά τ σημεί σε τετργωνισμένο χρτί (μιλιμετρέ):

5 ,6 3,2 9, Ανλογίες 4. Με τη βοήθει του Excel ν εξετάσετε ν κι οι πρκάτω πίνκες είνι πίνκες νάλογων ποσών: 10, ,5 4 5,3 11 2,73 2,08 11, , ,21 4,77 11, ,7 31,5 16,8 10,05 3, , ,697 78,5 5. Γι ν υπολογίσουμε την περίμετρο του τετργώνου ρκεί ν πολλπλσιάσουμε το μήκος της πλευράς του επί 4. Γι ν υπολογίσουμε το εμβδόν του τετργώνου πολλπλσιάζουμε το μήκος της πλευράς με τον ευτό του. Δηλδή: Πλευρά τετργώνου Περίμετρος τετργώνου Εμβδόν τετργώνου Περίμετρος = 4 Εμβδόν =. = 2 1 1,5 2 2,5 3 ) Είνι η πλευρά κι η περίμετρος νάλογ ποσά; β) Είνι η πλευρά κι το εμβδόν νάλογ ποσά; Δικιολογήστε τις πντήσεις σς. 6. Ο Μιχάλης πίρνει 1,5 φορές περισσότερο μεροκάμτο πό τον Ηλί. Είνι οι μισθοί τους νάλογ ποσά; Δικιολογήστε την πάντησή σς. Απάντηση: 7. Έν κτάστημ ποφάσισε ν υξήσει τις τιμές των προϊόντων του κτά 0,75. Είνι οι πλιές με τις νέες τιμές νάλογ ποσά; Δικιολογήστε την πάντησή σς. Απάντηση: 5

6 ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΑΝΑΛΟΓΑ ΠΟΣΑ Πρόβλημ: Τ 25 κιλά λεύρι δίνουν 32,5 κιλά ψωμί. Τ 100 κιλά λεύρι πόσ κιλά ψωμί θ δώσουν; 1 ος τρόπος: Με νγωγή στη μονάδ 25 κιλά λεύρι δίνουν 32,5 κιλά ψωμί 1 κιλό λεύρι δίνει 32,5 : 25 = 1,3 κιλά ψωμί τ 100 κιλά λεύρι θ δώσουν 100!1,3 = 130 κιλά ψωμί 2 ος τρόπος: Με νλογί Ποσά Τιμές Αλεύρι σε kg Ψωμί σε kg 32,5 x 4 Τ ποσά κιλά λεύρι κι κιλά ψωμί είνι νάλογ (π.χ. διπλάσι κιλά λεύρι δίνουν διπλάσι κιλά ψωμί), κι οι λόγοι των ντίστοιχων τιμών τους σχημτίζουν νλογί = άρ x = 32,5. 4 = ,5 x ή κόμη: = 25! x = 32,5! ,5 x 25! x = x = : 25 x = 130 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ta 3 κιλά ελιές δίνουν 1 λίτρο λάδι. Πόσο λάδι θ δώσουν 15 τόνοι ελιές; 2. Έν οικόπεδο 400 m 2 πουλιέτι Πόσο πρέπει ν πουληθεί το διπλνό οικόπεδο που είνι 517 τετργωνικά μέτρ; 6

7 3. Η οικογένει της Γιώτς κτνλώνει 2,1 λάδι την εβδομάδ. Πόσ λίτρ θ κτνλώσει το μήν; 4. Έν υτοκίνητο γι 10 km κίει 1 βενζίνη. ) Πόσ λίτρ βενζίνη θ κάψει σε 17 km; β) Πόσ χιλιόμετρ θ δινύσει με 70 βενζίνη; 5. Ο Νικολάκης έχει ύψος 1,5 m κι το μήκος της σκιάς του είνι 0,75 m. Την ίδι στιγμή το μήκος της σκιάς του Στέλιου είνι 0,80 m. Πόσο είνι το νάστημ του Στέλιου; 6. 2 κουτλιές της σούπς περιέχουν 30 m ενός φρμάκου. ) Ν βρείτε πόσες κουτλιές είνι τ 120 m του φρμάκου. β) Πόσες μέρες θ χρειστούν γι ν κτνλώσουμε φάρμκο 240 ml, ν η ημερήσι δόση είνι 3 κουτλιές της σούπς; 7. Έν υτοκίνητο κινείτι κι διτηρεί επί 7 ώρες τχύτητ 67,5 km/h. Πόσ 3 χιλιόμετρ θ δινύσει με υτή τη τχύτητ κινούμενο σε 32 9 ώρες; 8. Έν ύφσμ ότν πλυθεί κι στεγνώσει, 5 χάνει τ πό το μήκος του. Πόσο 29 ύφσμ πρέπει ν γοράσουμε ώστε ότν πλυθεί κι στεγνώσει, ν φτάνει γι 12 πντελόνι, ν κάθε πντελόνι χρειάζετι ύφσμ, πλυμένο κι στεγνό, που έχει μήκος 3,2 m; 7

8 ΚΛΙΜΑΚΕΣ Κλίμκ σχεδίου ή χάρτη ονομάζουμε τον λόγο της πόστσης δύο σημείων στον χάρτη προς την πργμτική πόστση των ντίστοιχων σημείων. Έτσι λοιπόν, ότν σε ένν χάρτη η κλίμκ είνι 1 : , υτό σημίνει ότι πόστση 1 cm στο χάρτη ντιστοιχεί στην πργμτικότητ σε πόστση εκτοστά (cm) ή μέτρ (m) ή 1 χιλιόμετρο (km). Στον ίδιο χάρτη τώρ μι πόστση 2,5 εκτοστών (cm) ντιστοιχεί σε: Απόστση στον χάρτη Πργμτική πόστση 1 2, x 1 2,5 = 1! x = 2,5! x x = cm = 2500 m = 2,5 km Ενώ μι πργμτική πόστση 15 χιλιομέτρων (km) στον χάρτη είνι: Απόστση στον χάρτη Πργμτική πόστση 1 x x = ! = x! = x! x = : = 0,15 m = 15 cm Συνοπτικά μπορούμε ν πούμε τ εξής: Κλίμκ 1 : = 1 = ΑΠΟΣΤΑΣΗ ΣΧΕΔΙΟΥ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΠΟΣΤΑΣΗ a πόστση σχεδίου = 1! πργμτική πόστση a πργμτική πόστση =. πόστση σχεδίου 8

9 ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Δύο χάρτες έχουν ντίστοιχες κλίμκες 1: κι 1: ποιος πό τους δύο πίνκες δείχνει μεγλύτερη λεπτομέρει; Απάντηση: 2. Στο διπλνό σχήμ φίνετι η κάτοψη ενός δωμτίου ενός διμερίσμτος. Ν βρεθούν οι πργμτικές διστάσεις ΑΔ κι ΑΒ. 3. Το διπλνό σχήμ δείχνει το σχέδιο ενός οικοπέδου. Αν είνι ΑΒ = 2 cm, ΒΓ = 4 cm, ΓΔ = AE = 5 cm κι ΔΕ = 3 cm, ν βρείτε τις πργμτικές διστάσεις του οικοπέδου. Α Β Γ Ε Δ Κλίμκ 1 : Ν συμπληρώστε τον πρκάτω πίνκ: Κλίμκ Μήκος στο σχέδιο Πργμτικό μήκος 1 : 3 4 cm 2 cm 8 cm 2 : 5 9,2 cm 9

10 ΕΡΓΑΣΙΑ ΣΕ ΟΜΑΔΕΣ Εργσί 1 Σε τετργωνισμένο χρτί (μιλιμετρέ) σχεδιάστε: ) το τετράγωνο Α με κλίμκ 2 : 1 β) το ορθογώνιο Β με κλίμκ 3 : 1 γ) το τρίγωνο Α με κλίμκ 1 : 2 Α Β Γ Εργσί 2 ) Προσδιορίστε στο χάρτη Α τη πργμτική πόστση (σε ευθεί) μετξύ δύο πόλεων ή χωριών του νησιού, της επιλογής σς. β) Προσδιορίστε με βάση τις πργμτικές ποστάσεις που βρήκμε στο προηγούμενο βήμ τη κλίμκ του χάρτη Β που σς δίνετι. 10

11 ΜΕΡΙΣΜΟΣ ΣΕ ΜΕΡΗ ΑΝΑΛΟΓΑ (ΜΟΙΡΑΖΟΥΜΕ ΕΝΑ ΠΟΣΟ ΣΕ ΜΕΡΗ ΑΝΑΛΟΓΑ) Πρόβλημ: Τρεις συνιδιοκτήτες ενός κτιρίου πλήρωσν γι το βάψιμο κοινόχρηστων χώρων Πόσο θ πληρώσει ο κθένς, ν η ιδιοκτησί του πρώτου είνι 130 m 2, του δεύτερου 120 m 2 κι του τρίτου 110 m 2 ; 1 ος τρόπος: Με νγωγή στη μονάδ = 360 m 2 Γι τ 360 m 2 πλήρωσν Γι το 1 m 2 πλήρωσν Γι τ 130 m πλήρωσν 130! = Γι τ 120 m πλήρωσν 120! = Γι τ 110 m πλήρωσν 110! = ος τρόπος: Με νλογίες = 360 m 2 ) Ποσά Τιμές Εμβδόν σε τ.μ Έξοδ σε x ψ ω = β) x = γ) ψ Τ ποσά είνι νάλογ = ω 360! x = 2.088! ! ψ = 2.088! ! ω = 2.088! ! x = ! ψ = ! ω = x = : 360 x = : 360 ω = : 360 x = 754 x = 696 ω = Ένς γεωργός πούλησε kg πτάτες κι kg κρεμμύδι με την ίδι τιμή κι εισέπρξε πό όλ. Πόσο πήρε πό τις πτάτες κι πόσο πό τ κρεμμύδι; ΑΣΚΗΣΕΙΣ 11

12 2. Τρεις συνέτιροι έφτιξν μι επιχείρηση βάζοντς κεφάλιο ο πρώτος , ο δεύτερος κι ο τρίτος Τον πρώτο χρόνο κέρδισν Πόσο είνι το μερίδιο του κθενός πό το κέρδος της επιχείρησης; 3. Ένς πτέρς δίνει στ τρί πιδιά του 153, γι ν τ μοιρστούν νάλογ με τη βθμολογί τους. Πόσ ευρώ θ πάρει ο κθένς τους, ν η βθμολογί του πρώτου είνι 13, του δεύτερου 15,5 κι του τρίτου 16,5; 4. Πέντε εργάτες γι μι εργσί πήρν Ο ένς που ήτν επικεφλής του συνεργείου, πήρε 2 τ του ποσού υτού. Τ 3 υπόλοιπ τ μοιράστηκν: ο εργάτης που εργάστηκε 5 ημέρες πό 8 ώρες, ο β εργάτης που εργάστηκε 6 ημέρες πό 7 ώρες, ο γ εργάτης που εργάστηκε 3 ημέρες πό 6 ώρες, κι ο δ εργάτης που εργάστηκε 2 ημέρες πό 8 ώρες. Πόσ ευρώ πήρε ο κθένς τους; Προσέξτε: = = = 7. Ισχύει όμως υτό πάντ; Γι όσους θέλουν ν προσπθήσουν περισσότερο: Στο διπλνό ορθογώνιο ο λόγος του μήκους προς το πλάτος β είνι 5 2. Αν η περίμετρος είνι 140 cm, ν υπολογίσετε το εμβδόν του. Εμβδόν =.β β 12

13 ΠΟΣΑ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΩΣ ΑΝΑΛΟΓΑ (ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ) Πρόβλημ: Τέσσερις εκσκφείς δούλεψν 12 ημέρες γι ν νοίξουν τ θεμέλι ενός εργοστσίου. Αν εργάζοντν 6 εκσκφείς της ίδις πόδοσης, σε πόσες ημέρες θ άνοιγν τ θεμέλι του εργοστσίου; Με νγωγή στη μονάδ 4 εκσκφείς σκάβουν τ θεμέλι σε 12 ημέρες 1 εκσκφές σκάβει τ θεμέλι σε 4!12 = 48 ημέρες 6 εκσκφείς σκάβουν τ θεμέλι σε 48 : 6 = 8 ημέρες ΑΣΚΗΣΕΙΣ 1. Ανφέρτε πρδείγμτ πό την κθημερινή ζωή, όπου συνντάμε τ ντιστρόφως νάλογ ποσά Πράδειγμ 1:... Πράδειγμ 2:... Πράδειγμ 3:... Πράδειγμ 4: Έξι εργάτες μάζεψν τις ελιές ενός ελιών σε 12 ημέρες. Σε πόσες ημέρες θ μάζευν τις ελιές 9 εργάτες της ίδις πόδοσης; 3. Έν υτοκίνητο δινύει την πόστση νάμεσ σε δυο πόλεις σε 4 ώρες, ότν τρέχει με μέση τχύτητ 90 km/h. Σε πόσες ώρες θ δινύσει την ίδι πόστση, ν τρέχει με τχύτητ 120 km/h; 13

14 4. Το «Μυτιλήνη» κλύπτει την πόστση Μυτιλήνη - Πειριάς σε 12 ώρες, ότν τξιδεύει με στθερή τχύτητ 20 μίλι την ώρ. Πόσο πρέπει ν υξήσει την τχύτητά του γι ν κλύψει την πόστση σε 10 ώρες; 5. Μι οικογένει ότν ξοδεύει την εβδομάδ 2 kg 100 g λάδι, περνά με το λάδι ενός δοχείου 2 μήνες. Πόσο πρέπει ν ξοδεύει την εβδομάδ, γι ν περάσει με την ίδι ποσότητ 2 μήνες κι 15 ημέρες; 6. Οι 4 εκσκφείς ότν εργάζοντι 8 ώρες την ημέρ, κθρίζουν την κοίτη ενός ποτμού σε 10 ημέρες. Πόσοι εκσκφείς, της ίδις πόδοσης, θ κθρίσουν την κοίτη του ίδιου ποτμού, ν εργάζοντν 8 ώρες την ημέρ γι 8 ημέρες; 7. Το πάτωμ του σπιτιού κλύφθηκε με 252 μρμάρινες πλάκες διστάσεων 0,5 m επί 0,3 m. Αν το πάτωμ κλύπτοντν με πλκάκι διστάσεων 0,3 m επί 0,3 m, πόσ πλκάκι θ χρησιμοποιούσν; 8. Ένς οινοποιός χρησιμοποίησε μπουκάλι του 1,5 γι ν συσκευάσει μι ποσότητ κρσιού. Αν συσκεύζε την ίδι ποσότητ σε μπουκάλι του 1,250, πόσ μπουκάλι θ χρησιμοποιούσε; Αυτό μπορείτε ν το λύσετε; Γι ν πλκοστρώσει ο δήμος μι πλτεί, διστάσεων 50m επί 40 m, πλήρωσε Πόσο θ πληρώσει γι μι άλλη πλτεί διστάσεων 45m επί 35 m; 14