Κεφάλαιο 1 Αποταµιεύσεις, Επενδύσεις και Οικονοµική Μεγέθυνση

Transcript

1 Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2014 Κεφάλαιο 1 Αποταµιεύσεις, Επενδύσεις και Οικονοµική Μεγέθυνση Στο κεφάλαιο αυτό πραγµατευόµαστε την σχέση µεταξύ αποταµιεύσεων, επενδύσεων, συσσώρευσης του κεφαλαίου και οικονοµικής µεγέθυνσης. Το υπόδειγµα που χρησιµοποιούµε για την ανάλυση αυτής της διαδικασίας είναι το υπόδειγµα του Solow (1956). Το υπόδειγµα αυτό βασίζεται σε µία νεοκλασσική συνάρτηση παραγωγής και στην υπόθεση ενός σταθερού ποσοστού αποταµίευσης. Δεδοµένου ότι σε µία κλειστή οικονοµία οι αποταµιεύσεις ισούνται µε τις επενδύσεις σε φυσικό κεφάλαιο, η διαδικασία της συσσώρευσης του κεφαλαίου εξαρτάται από το ποσοστό αποταµίευσης. 1 Στο υπόδειγµα αυτό, η συσσώρευση κεφαλαίου ανά εργαζόµενο συνεχίζεται έως ότου οι αποταµιεύσεις ανά εργαζόµενο εξισωθούν µε τις αποσβέσεις και τις επιπλέον επενδύσεις που απαιτούνται για να διατηρηθεί σταθερός ο λόγος κεφαλαίου εργασίας. Όταν υπάρχει εξωγενής τεχνολογική πρόοδος, που αυξάνει την αποδοτικότητα της εργασίας, αυτό που σταθεροποιείται στην ισορροπία δεν είναι ο λόγος κεφαλαίου εργασίας, αλλά ο λόγος του κεφαλαίου προς τη συνολική αποδοτικότητα της εργασίας. Στην µακροχρόνια ισορροπία αυτού του υποδείγµατος, η οικονοµική µεγέθυνση είναι εξωγενής, και ισούται µε το ρυθµό αύξησης του πληθυσµού συν τον ρυθµό αύξησης της αποδοτικότητας της εργασίας. Ουσιαστικά, στη µακροχρόνια ισορροπία, το κατά κεφαλήν προϊόν αυξάνεται µε τον εξωγενή ρυθµό αύξησης της αποδοτικότητας της εργασίας, που εξαρτάται από την τεχνολογική πρόοδο. Στη διαδικασία της προσαρµογής, για οικονοµίες που έχουν αρχικά κεφάλαιο χαµηλότερο από το κεφάλαιο ισορροπίας, ο ρυθµός οικονοµικής µεγέθυνσης υπερβαίνει το µακροχρόνιο ρυθµό µεγέθυνσης, καθώς το κεφάλαιο συσσωρεύεται µε ρυθµό που ξεπερνά το άθροισµα του ρυθµού αύξησης του πληθυσµού και της αποδοτικότητας της εργασίας. Για οικονοµίες που έχουν αρχικά κεφάλαιο υψηλότερο από το κεφάλαιο ισορροπίας, ο ρυθµός οικονοµικής µεγέθυνσης υστερεί του µακροχρόνιου ρυθµού µεγέθυνσης, καθώς το κεφάλαιο συσσωρεύεται µε ρυθµό που υπολείπεται του αθροίσµατος του ρυθµού αύξησης του πληθυσµού και της αποδοτικότητας της εργασίας. Το υπόδειγµα αυτό προβλέπει µία διαδικασία σύγκλισης των οικονοµιών. Μία φτωχή σε κεφάλαιο οικονοµία και µία πλούσια σε κεφάλαιο οικονοµία συγκλίνουν προς την ίδια ισορροπία, µε την προϋπόθεση βέβαια ότι έχουν το ίδιο ποσοστό αποταµίευσης και τις ίδιες τεχνολογικές και πληθυσµιακές παραµέτρους. Αν όµως δύο οικονοµίες χαρακτηρίζονται από διαφορετικό ποσοστό αποταµίευσης και επενδύσεων, διαφορετική συνολική παραγωγικότητα των συντελεστών, διαφορετική αρχική αποδοτικότητα της εργασίας, διαφορετικό ρυθµό αύξησης του πληθυσµού ή διαφορετικό ποσοστό απόσβεσης του κεφαλαίου, θα συγκλίνουν προς διαφορετικές πορείες ισόρροπης µεγέθυνσης. 1 Το υπόδειγµα αυτό αναφέρεται συχνά και ως υπόδειγµα Solow-Swan, καθώς ένα παρόµοιο υπόδειγµα είχε αναπτυχθεί και από τον Swan (1956).

2 Το υπόδειγµα αυτό προβλέπει ότι όσο µεγαλύτερο είναι το ποσοστό αποταµίευσης (και επενδύσεων), τόσο µεγαλύτερο θα είναι το κεφάλαιο και το προϊόν ανά εργαζόµενο στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης. Επιπλέον, προβλέπει θετικές επιπτώσεις στο κεφάλαιο και το προϊόν ανά εργαζόµενο από µεγαλύτερη συνολική παραγωγικότητα των συντελεστών και αρχική αποδοτικότητα της εργασίας, και αρνητικές επιπτώσεις από το ρυθµό αύξησης του πληθυσµού και το ποσοστό απόσβεσης του κεφαλαίου. Το υπόδειγµα του Solow αποτελεί σήµερα το σηµείο εκκίνησης στη θεωρία της οικονοµικής µεγέθυνσης. Παρότι οι ρίζες του βρίσκονται σε παλαιότερα υποδείγµατα, και παρότι έχει θεωρητικές και εµπειρικές αδυναµίες, το υπόδειγµα αυτό παρέχει ένα εξαιρετικά χρήσιµο, απλό και ευέλικτο πλαίσιο ανάλυσης των προβληµάτων της µεγέθυνσης. Ωστόσο, η διαδικασία της συσσώρευσης φυσικού κεφαλαίου, που είναι η βασική ατµοµηχανή της οικονοµικής µεγέθυνσης στο υπόδειγµα του Solow, δεν επαρκεί για να εξηγήσει ούτε τη µακροχρόνια αύξηση του προϊόντος ανά εργαζόµενο που έχει παρατηρηθεί στις αναπτυγµένες οικονοµίες, αλλά ούτε και τις µεγάλες διαφορές στο προϊόν ανά εργαζόµενο µεταξύ των αναπτυγµένων και λιγότερο αναπτυγµένων οικονοµιών. Μικρό µόνο µέρος αυτών των φαινοµένων εξηγείται από τη συσσώρευση φυσικού κεφαλαίου. Το µεγαλύτερο µέρος οφείλεται στην αύξηση της συνολικής παραγωγικότητας των συντελεστών και της αποδοτικότητας της εργασίας (τεχνολογική πρόοδο), που για το υπόδειγµα του Solow θεωρούνται εξωγενείς παράµετροι. Με την έννοια αυτή, το υπόδειγµα του Solow, και όλα τα υποδείγµατα που κάνουν παρόµοιες µε αυτό υποθέσεις για την τεχνολογία και την τεχνολογική πρόοδο, µας υποδεικνύει πως να ξεπεράσουµε τις αδυναµίες του και να επιχειρήσουµε να εξηγήσουµε την τεχνολογική πρόοδο. Αυτό είναι η βασική διαφορά του υποδείγµατος αυτού, και όλων των υποδειγµάτων εξωγενούς µεγέθυνσης, από τα υποδείγµατα ενδογενούς µεγέθυνσης. 1.1 Ορισµοί Το υπόδειγµα του Solow επικεντρώνεται σε τέσσερεις µεταβλητές. Το συνολικό προϊόν (Υ), το συνολικό φυσικό κεφάλαιο (K), τον αριθµό των εργαζοµένων (L), και την αποδοτικότητα της εργασίας (h). Ο ρυθµός αύξησης του αριθµού των εργαζοµένων (n) θεωρείται εξωγενής, όπως και ο ρυθµός αύξησης της αποδοτικότητας της εργασίας (g). Έτσι, το υπόδειγµα εξηγεί το ύψος και το ρυθµό µεγέθυνσης του συνολικού προϊόντος και του φυσικού κεφαλαίου, ως συνάρτηση των εξωγενών αυτών παραγόντων, του ποσοστού αποταµίευσης (s), το οποίο επίσης θεωρείται εξωγενές, και του εξωγενούς ποσοστού απόσβεσης του κεφαλαίου (δ). Οι ορισµοί των µεταβλητών συνοψίζονται ως εξής: Y K L h t n g s δ Συνολικό Προϊόν Συνολικό (Φυσικό) Κεφάλαιο Αριθµός Εργαζοµένων γνώση, ή αποδοτικότητα της εργασίας χρόνος (θεωρείται συνεχής µεταβλητή) ποσοστό αύξησης του αριθµού των εργαζοµένων (εξωγενές) ποσοστό αύξησης της αποδοτικότητας της εργασίας (εξωγενές) ποσοστό αποταµίευσης (εξωγενές) ποσοστό απόσβεσης (φυσικού) κεφαλαίου (εξωγενές) 2

3 1.2 Συνάρτηση Παραγωγής Σε οποιαδήποτε χρονική στιγµή t, η οικονοµία έχει κάποιο απόθεµα κεφαλαίου, εργασίας και γνώσης, που συνδυάζονται προκειµένου να υπάρχει παραγωγή. Η συνάρτηση παραγωγής έχει τη µορφή, Y(t) = F( K(t), h(t)l(t) ) (1.1) Σε σχέση µε τη συνάρτηση παραγωγής αξίζει να σηµειωθούν τα εξής: Πρώτον, ο χρόνος εισέρχεται στη συνάρτηση παραγωγής µόνο µέσω των συντελεστών παραγωγής. Διαχρονικά το προϊόν µπορεί να µεταβληθεί µόνο µέσω µεταβολών στους συντελεστές παραγωγής. Δεύτερον, η τεχνολογική πρόοδος αυξάνει µόνο την αποδοτικότητα της εργασίας. Η υπόθεση αυτή καλείται τεχνολογική πρόοδος επαυξάνουσα της εργασίας (labour augmenting) ή ουδέτερη κατά Harrod. Τρίτον, η συνάρτηση παραγωγής θεωρείται ότι χαρακτηρίζεται από σταθερές αποδόσεις κλίµακας. Πολλαπλασιασµός των συντελεστών παραγωγής µε οποιαδήποτε σταθερά, πολλαπλασιάζει το συνολικό προϊόν κατά την ίδια σταθερά. Λόγω της τελευταίας αυτής υπόθεσης, η συνάρτηση παραγωγής µπορεί να γραφεί ως y(t) = f(k(t)) (1.2) όπου y = Y/hL k = K/hL f(k) = F(k, 1) προϊόν ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας συνάρτηση παραγωγής ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας Η (1.2) αναφέρεται ως συνάρτηση παραγωγής σε εντατική µορφή (βλ. Διάγραµµα 1.1) Η ένταση της παραγωγής (προϊόν ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας) εξαρτάται από την κεφαλαιακή ένταση (κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητα της εργασίας). Τέταρτον, υποτίθεται ότι η συνάρτηση παραγωγής ικανοποιεί τις ακόλουθες ιδιότητες: f (0) = 0, f = f > 0, k f = 2 f k < 0 2 Το οριακό προϊόν της κεφαλαιακής έντασης είναι θετικό αλλά φθίνον. Επιπλέον, υποτίθεται ότι, lim k 0 f (k) =,lim k f (k) = 0 Οι τελευταίες αυτές υποθέσεις καλούνται συνθήκες Inada (Inada 1964), και είναι ισχυρότερες από ότι απαιτείται για τις κεντρικές προβλέψεις του υποδείγµατος. Οι συνθήκες Inada διασφαλίζουν ότι 3

4 το οριακό προϊόν του κεφαλαίου είναι πολύ µεγάλο όταν η κεφαλαιακή ένταση είναι χαµηλή, και πολύ µικρό όταν η κεφαλαιακή ένταση είναι υψηλή. Μία σύναρτηση παραγωγής που συχνά χρησιµοποιείται στη θεωρία της µεγέθυνσης είναι η συνάρτηση παραγωγής Cobb Douglas. Αυτή παίρνει τη µορφή, F(K(t),h(t)L(t)) = AK(t) α (h(t)l(t)) 1 a, A > 0,0 < α < 1 (1.3) Το A ορίζεται ως η συνολική παραγωγικότητα των συντελεστών (total factor productivity), και το α ως η σχετική συµβολή (µερίδιο) του κεφαλαίου στην παραγωγή. Αντίστοιχα, το 1-α είναι η σχετική συµβολή (µερίδιο) της εργασίας. Η εντατική µορφή της συνάρτησης Cobb Douglas έχει τη µορφή, y(t) = f (k(t)) = Ak(t) α (1.4) Μπορεί εύκολα κανείς να διαπιστώσει ότι η συνάρτηση παραγωγής Cobb Douglas ικανοποιεί όλες τις ιδιότητες τις οποίες έχουµε υποθέσει. Το οριακό προϊόν είναι θετικό αλλά φθίνον, και οι συνθήκες Inada ικανοποιούνται. Επιπλέον, για τη συνάρτηση παραγωγής Cobb Douglas, η τεχνολογική πρόοδος που είναι επαυξάνουσα της εργασίας (ουδέτερη κατά Harrod), δεν διαφέρει από την τεχνολογική πρόοδο που είναι επαυξάνουσα του κεφαλαίου ή και των δύο συντελεστών ταυτοχρόνως (ουδέτερη κατά Hicks). Ο λόγος είναι ότι στη συνάρτηση παραγωγής Cobb Douglas οι συντελεστές παραγωγής εισέρχονται πολλαπλασιαστικά, και δεν έχει σηµασία ποιον συντελεστή πολλαπλασιάζει η τεχνολογική πρόοδος. 1.3 Η Συσσώρευση του Κεφαλαίου και η Διαδικασία της Μεγέθυνσης Πριν προχωρήσουµε στην ανάλυση της συσσώρευσης του κεφαλαίου και της διαδικασίας της µεγέθυνσης, πρέπει να αναφερθούµε στην εξέλιξη των εξωγενών µεταβλητών. Το υπόδειγµα είναι σε συνεχή χρόνο, και όλες οι µεταβλητές ορίζονται σε κάθε χρονική στιγµή. Τα αρχικά επίπεδα κεφαλαίου, αριθµού εργαζοµένων και αποδοτικότητας της εργασίας είναι δεδοµένα. Ο αριθµός των εργαζοµένων αυξάνεται µε εξωγενή ρυθµό n, και η αποδοτικότητα της εργασίας αυξάνεται µε εξωγενή ρυθµό g. Κατά συνέπεια υποθέτουµε ότι, L(t) = L(0)e nt (1.5) h(t) = h(0)e gt (1.6) όπου L(0) και h(0) είναι ο αριθµός των εργαζοµένων και το απόθεµα γνώσης τη στιγµή 0, και e είναι η βάση των φυσικών (νεπερείων) λογαρίθµων. 4

5 Από τις (1.5) και (1.6) προκύπτει ότι, L (t) = dl(t) dt = nl(t) (1.7) h (t) = dh(t) dt = gh(t) (1.8) Μία τελεία πάνω από µία µεταβλητή υποδηλώνει την πρώτη παράγωγο της µεταβλητής ως προς το χρόνο, δηλαδή τη µεταβολή της στο χρόνο. Η παραγωγή αποτελεί εισόδηµα, που είτε καταναλώνεται είτε αποταµιεύεται. Στο υπόδειγµα του Solow, το ποσοστό του εισοδήµατος που αποταµιεύεται, s, θεωρείται σταθερό. Οι αποταµιεύσεις επενδύονται. Οι επενδύσεις είτε οδηγούν σε αύξηση του αποθέµατος κεφαλαίου, είτε αντικαθιστούν κεφάλαιο που αποσβένεται. Το στιγµιαίο ποσοστό απόσβεσης του κεφαλαίου υποδηλώνεται µε δ. Με τις παραπάνω υποθέσεις, η εξίσωση της συνολικής ζήτησης µε τη συνολική παραγωγή συνεπάγεται την ακόλουθη συνάρτηση ζήτησης, Y(t) = (1-s)Y(t) + K (t) + δk(t) (1.9) Από την (1.9), η συσσώρευση του φυσικού κεφαλαίου προσδιορίζεται από, K (t) = sy(t) δk(t) (1.10) Διαιρώντας την (1.10) µε το hl, και λαµβάνοντας υπόψη ότι ο ρυθµός αύξησης του h είναι g και του L είναι n, καθώς και ότι y = f(k), k (t) = sf(k(t)) (n+g+δ)k(t) (1.11) Η διαφορική εξίσωση (1.11) είναι η εξίσωση-κλειδί του υποδείγµατος του Solow. Δείχνει ότι ο ρυθµός µεταβολής της κεφαλαιακής έντασης (του φυσικού κεφαλαίου ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας) προσδιορίζεται από τη διαφορά δύο όρων. Τις τρέχουσες επενδύσεις (αποταµιεύσεις) ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας (επενδυτική ένταση), µείον τις επενδύσεις ισορροπίας, οι οποίες απαιτούνται για να διατηρηθεί σταθερό το κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας. Το κεφάλαιο ισορροπίας k* προσδιορίζεται από τη λύση της εξίσωσης (1.11) για k (t) = 0. Το υπόδειγµα του Solow προβλέπει ότι ανεξάρτητα από το σηµείο εκκίνησης, η οικονοµία συγκλίνει σε µια πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης, στην οποία το προϊον, το κεφάλαιο και η κατανάλωση ανά εργαζόµενο αυξάνονται µε ρυθµό g, τον εξωγενή ρυθµό αύξησης της αποδοτικότητας της εργασίας. Η σύγκλιση στο υπόδειγµα του Solow παρίσταται στο Διάγραµµα 1.2. Η ευθεία γραµµή παριστάνει τις επενδύσεις ισορροπίας. Η καµπύλη sf(k) παριστάνει τις τρέχουσες αποταµιεύσεις και επενδύσεις. Στο σηµείο (k*,y*) οι τρέχουσες αποταµιεύσεις (επενδύσεις) ισούνται µε τις επενδύσεις 5

6 ισορροπίας. Αριστερά του k* οι τρέχουσες επενδύσεις είναι µεγαλύτερες από τις επενδύσεις ισορροπίας και το κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας αυξάνεται. Η αύξηση του κεφαλαίου ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας προκαλεί αύξηση και του προϊόντος ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας. Δεξιά του k* συµβαίνει το αντίθετο. Στο σηµείο της µακροχρόνιας ισορροπίας (k*) οι αποταµιεύσεις ισούνται µε τις επενδύσεις ισορροπίας, αυτές δηλαδή που απαιτούνται προκειµένου το κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας να παραµένει σταθερό. Το συνολικό προϊόν και το συνολικό κεφάλαιο αυξάνονται µε ρυθµό n+g, ενώ το κατά κεφαλήν προϊόν και το κατά κεφαλήν κεφάλαιο αυξάνονται µε ρυθµό g. Κατά συνέπεια, στη µακροχρόνια ισορροπία το υπόδειγµα αυτό δεν ερµηνεύει τη διαδικασία της µακροχρόνιας (ισόρροπης) µεγέθυνσης, καθώς αυτή είναι εξωγενής. Αυτό που τελικά ερµηνεύει το υπόδειγµα του Solow είναι η διαδικασία της σύγκλισης προς την πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης. Η σύγκλιση είναι αποτέλεσµα της συσσώρρευσης (ή αποσυσσώρευσης) φυσικού κεφαλαίου, και στην πορεία της ο ρυθµός µεγέθυνσης της οικονοµίας διαφέρει από το µακροχρόνιο ρυθµό µεγέθυνσης n+g Επιπτώσεις του Ποσοστού Αποταµίευσης Για το υπόδειγµα του Solow µπορεί κανείς να αποδείξει ότι µία αύξηση του ποσοστού αποταµίευσης προκαλεί αύξηση τόσο του κεφαλαίου, όσο και του προϊόντος ανά εργαζόµενο. Ο ρυθµός αύξησης του προϊόντος και του κεφαλαίου ανά εργαζόµενο αυξάνεται προσωρινά πάνω από τον εξωγενή ρυθµό αύξησης της αποδοτικότητας της εργασίας. Η σχετική ανάλυση παρουσιάζεται στο Διάγραµµα 1.3. Υποθέτουµε ότι η αρχική ισορροπία είναι στο σηµείο (k*,y*). Μία αύξηση του ποσοστού αποταµίευσης από το s στο s µετακινεί την καµπύλη αποταµιεύσεων προς τα επάνω. Στο επίπεδο κεφαλαιακής έντασης k* οι αποταµιεύσεις ξεπερνούν τις επενδύσεις ισορροπίας και αρχίζει µία διαδικασία συσσώρευσης κεφαλαίου που αυξάνει την κεφαλαιακή ένταση και την ένταση της παραγωγής. Η οικονοµία σταδιακά προσαρµόζεται προς τη νέα ισορροπία (k**,y**). Στη διάρκεια της προσαρµογής οι αποταµιεύσεις και οι επενδύσεις υπερβαίνουν τις επενδύσεις ισορροπίας, και ο ρυθµός οικονοµικής µεγέθυνσης υπερβαίνει το µακροχρόνιο ρυθµό µεγέθυνσης. Η διαχρονική διαδικασία της σύγκλισης προς τη νέα ισορροπία παρουσιάζεται στο Διάγραµµα 1.4, που δείχνει πως συσσωρεύεται προς τη νέα ισορροπία το κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας ως συνάρτηση του χρόνου. Η αύξηση του ποσοστού αποταµίευσης οδηγεί σε συσσώρευση κεφαλαίου που υπερβαίνει αυτή που απαιτείται για τη διατήρηση του κεφαλαίου στο παλαιό επίπεδο ισορροπίας k*. Αρχίζει να συσσωρεύεται κεφάλαιο, το οποίο οδηγεί σε αύξηση του κατά κεφαλήν προϊόντος, και η διαδικασία συνεχίζεται έως ότου η οικονοµία φθάσει στην νέα ισορροπία k**. Η διαδικασία της σύγκλισης είναι ασυµπτωτική. 1.5 Ποσοστό Αποταµίευσης, Κατανάλωση και Χρυσός Κανόνας Μία αύξηση του ποσοστού αποταµίευσης προκαλεί προσωρινή µείωση της κατανάλωσης ανά εργαζόµενο. Το αν στη νέα πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης η κατανάλωση ανά εργαζόµενο θα είναι µικρότερη ή µεγαλύτερη εξαρτάται από τη διαφορά του οριακου προϊόντος του κεφαλαίου από το (n+g+δ), το οποίο είναι η απαιτούµενη αύξηση των επενδύσεων ανά µονάδα αύξησης του κεφαλαίου, ώστε η αύξηση του κεφαλαίου να είναι διατηρήσιµη. 6

7 Στην πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης, ισχύει, c* = f (k*) (n + g + δ )k * (1.12) Κατά συνέπεια, η επίπτωση µιας µεταβολής του ποσοστού αποταµίευσης, την κατανάλωση ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας, δίδεται από, c * s = f (k*) (n + g + δ ) ( ) k * s (1.13) Δεδοµένου ότι ο τελευταίος όρος είναι θετικός, η επίπτωση της αύξησης του ποσοστού αποταµίευσης στην κατανάλωση εξαρτάται από τη διαφορά του καθαρού οριακού προϊόντος του κεφαλαίου f (k*)-δ, από το µακροχρόνιο ρυθµό µεγέθυνσης n+g. Εάν το καθαρό οριακό προϊόν του κεφαλαίου είναι µικρότερο από το µακροχρόνιο ρυθµό µεγέθυνσης, τότε το οριακό προϊόν από το αυξηµένο κεφάλαιο δεν επαρκεί για να διατηρήσει στο υψηλότερο επίπεδο το απόθεµα του κεφαλαίου, και η ιδιωτική κατανάλωση θα µειωθεί ως αποτέλεσµα της αύξησης του ποσοστού αποταµίευσης. Στην αντίθετη περίπτωση η κατανάλωση θα αυξηθεί. Στην ειδική περίπτωση που το καθαρό οριακό προϊόν του κεφαλαίου ισούται µε (n+g), η κατανάλωση παραµένει στο αρχικό επίπεδο ισορροπίας. Σε αυτή την περίπτωση η κατανάλωση βρίσκεται στο µέγιστο δυνατό της σηµείο και η τιµή του k* που αντιστοιχεί σε αυτό το επίπεδο είναι γνωστή ως το επίπεδο του χρυσού κανόνα της συσσώρευσης του κεφαλαίου. Ο χρυσός κανόνας ορίζεται από το επίπεδο της κεφαλαιακής έντασης που µεγιστοποιεί την κατανάλωση ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας. Αν στόχος της πολιτικής είναι να µεγιστοποιεί την κατανάλωση στην πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης, γιατί η ευηµερία των νοικοκυριών εξαρτάται από την κατανάλωση, τότε, από την (1.12), οι συνθήκες πρώτης τάξης για µεγιστοποίηση της κατανάλωσης απαιτούν, f (k*) = n + g + δ f (k*) δ = n + g (1.14) Κατά συνέπεια, το κεφάλαιο ισορροπίας που µεγιστοποιεί την κατανάλωση στην πορεία ισόρροπης µεγέθυνσης είναι εκείνο το οποίο συνεπάγεται καθαρό οριακό προϊόν του κεφαλαίου (οριακό προϊόν στην παραγωγή µείον ποσοστό απόσβεσης) το οποίο ισούται µε το µακροχρόνιο ρυθµό ανάπτυξης της οικονοµίας n+g. 1.6 Ελαστικότητα του Προϊόντος ως προς το Ποσοστό Αποταµίευσης Η µακροχρόνια ελαστικότητα της αύξησης του προϊόντος σε σχέση µε το ποσοστό αποταµίευσης ισούται µε το λόγο του µεριδίου του κεφαλαίου προς το µερίδιο της εργασίας στο συνολικό προϊόν. Για να το αποδείξουµε ξεκινούµε από τη µεταβολή του προϊόντος σε σχέση µε τη µεταβολή του ποσοστού αποταµίευσης. y * s = f (k*) k * s (1.15) 7

8 Το k* ορίζεται από, sf (k*) = (n + g + δ )k * (1.16) Από την διαφοροποίηση της (1.16) ως προς s, προκύπτει ότι, k * s = f (k*) (n + g + δ ) s f (k*) (1.17) Αντικαθιστώντας την (1.17) στην (1.15), έχουµε, y * s = f (k*) f (k*) (n + g + δ ) s f (k*) (1.18) Από την (1.18), η µακροχρόνια ελαστικότητα της αύξησης προϊόντος σε σχέση µε το ποσοστό αποταµίευσης ορίζεται από, s y * y * s = s f (k*) f (k*) f (k*) (n + g + δ ) s f (k*) = (n + g + δ )k * f (k*) f (k*)(n + g + δ )[1 k * f (k*) / f (k*)] (1.19) Η (1.19) απλοποιείται σε, s y * y * s = k * f (k*) / f (k*) 1 [k * f (k*) / f (k*)] = α K (k*) 1 α K (k*) (1.20) όπου a K (k*) είναι η ελαστικοτητα του συνολικού προϊόντος σε σχέση µε το φυσικό κεφάλαιο στο σηµείο k=k*. Με ανταγωνιστικές αγορές, οι συντελεστές παραγωγής αµείβονται µε το οριακό τους προϊόν. Στην περίπτωση αυτή, η ελαστικότητα του συνολικού προϊόντος σε σχέση µε το φυσικό κεφάλαιο ισούται µε το µερίδιο του κεφαλαίου στο συνολικό προϊόν. Μία γενικά αποδεκτή εκτίµηση για το µερίδιο του κεφαλαίου στο συνολικό προϊόν είναι 1/3. Κατά συνέπεια, η µακροχρόνια ελαστικότητα της αύξησης του προϊόντος σε σχέση µε το ποσοστό αποταµίευσης είναι ½. 1.7 Η Ταχύτητα της Σύγκλισης Κοντά στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης, η ταχύτητα της σύγκλισης του k προς το k* είναι ανάλογη της απόστασης τους. Με βάση ρεαλιστικές εκτιµήσεις για τις παραµέτρους του υποδείγµατος, εκτιµάται ότι η ταχύτητα της σύγκλισης είναι περίπου 4% το χρόνο. Κατά συνέπεια, απαιτούνται περίπου 18 χρόνια για να κλείσει το µισό της όποιας διαφοράς µεταξύ k και k*. Συνεπώς, µε βάση τις παραµέτρους του υποδείγµατος, η σύγκλιση είναι µάλλον αργή. Η βασική εξίσωση στο υπόδειγµα του Solow είναι η ακόλουθη, 8

9 k (t) = sf(k(t)) (n+g+δ)k(t) (1.21) Το κεφάλαιο ισορροπίας k* προσδιορίζεται από την (1.21) για k (t) = 0. Για να προσδιορίσουµε την ταχύτητα µε την οποία το k(t) προσεγγίζει το k* γραµµικοποιούµε την (1.21) στην περιοχή της ισορροπίας k*. Από την προσέγγιση πρώτης τάξης της σειράς κατά Taylor, έχουµε, k (t) k k k= k* ( k(t) k* ) (1.22) όπου η παράγωγος λαµβάνεται από την (1.21). Η (1.22) µπορεί να γραφεί ως, k (t) - λ ( k(t) k* ) (1.23) όπου λ = - k / k k= k*. Η (1.23) συνεπάγεται ότι κοντά στην ισορροπία k*, το k µετακινείται προς το k* µε µια ταχύτητα ανάλογη της απόστασής του από το k*. Δηλαδή, συνεπάγεται ότι ο ρυθµός µείωσης του k(t) k* (η ταχύτητα της σύγκλισης) είναι κατά προσέγγιση σταθερός και ίσος µε λ. Κατά συνέπεια η (1.23) συνεπάγεται ότι, k(t) k* + e λt [ k(0) k* ] (1.24) όπου το k(0) είναι η αρχική τιµή του k. Για να βρούµε το λ λαµβάνουµε την πρώτη παράγωγο του σε σχέση µε το k από την εξίσωση (1.21). λ = - k k k= k* = - [ sf (k*) (n+g+δ) ] = (n+g+δ) - sf (k*) = (n+g+δ)[ 1 k* f (k*)/f(k*) ] = (n+g+δ)[ 1-a K (k*)] (1.25) όπου a K (k*) είναι το µερίδιο του κεφαλαίου στο συνολικό προϊόν στην ισορροπία k*. Για να φθάσουµε στην (4) χρησιµοποιήσαµε το ότι στην ισορροπία sf(k*) = (n+g+δ)k*, ώστε να αντικαταστήσουµε το s. 9

10 Ρεαλιστικές εκτιµήσεις του (n+g+δ) το προσδιορίζουν περίπου στο 6% το χρόνο. Για παράδειγµα µε n = 1%, g = 2% και δ = 3%. Με το µερίδιο του κεφαλαίου περίπου στο 1/3, η (1.25) µας δίνει µία ετήσια ταχύτητα προσαρµογής περίπου 4%. Από την (1.24) µπορούµε να βρούµε πόσα χρόνια χρειάζονται µε αυτή την ταχύτητα για να καλυφθεί ένα οποιοδήποτε ποσοστό της διαφοράς µεταξύ k(0) και k*. Για να καλυφθεί το µισό, e λt = 0,5 Κατά συνέπεια, t = - ln(0,5)/λ = 0,69/λ = 0,69/0,04 = 17,3. Για να καλυφθούν τα 2/3, e λt = 0,33 Κατά συνέπεια, t = - ln(0,33)/λ = 1,1/λ = 1,1/0,04 = 27,5 1.8 Ανταγωνιστικές Αγορές, Επιτόκια και Μισθοί στο Υπόδειγµα του Solow Όπως το έχουµε παρουσιάσει µέχρι τώρα, στο υπόδειγµα του Solow η παραγωγή γίνεται από µία και µόνη εγχώρια επιχείρηση και ένα και µόνο εθνικό νοικοκυριό στο οποίο ανήκει αυτή η επιχείρηση. Ωστόσο, λόγω της υπόθεσης των σταθερών υποθέσεων κλίµακας, όλες οι ιδιότητες του υποδείγµατος αυτού παραµένουν αν υποθέσουµε πολλές ανταγωνιστικές επιχειρήσεις και πολλά νοικοκυριά. Τα νοικοκυριά κατέχουν κεφάλαιο και εργασία. Το επιτόκιο είναι r(t) και ο πραγµατικός µισθός (ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας) είναι w(t). Κάθε επιχείρηση χρησιµοποιεί κεφάλαιο και εργασία και παράγει µε βάση µία συνάρτηση παραγωγής η οποία σε εντατική µορφή δίνεται από την (1.2). Κάθε επιχείρηση πληρώνει την απόδοση του κεφαλαίου στα νοικοκυριά που κατέχουν τις µετοχές της, και τους πραγµατικούς µισθούς στους εργαζοµένους σε αυτήν. Από τις συνθήκες µεγιστοποίησης των κερδών της επιχείρησης θα ισχύει ότι το οριακό προϊόν του κεφαλαίου θα ισούται µε το κόστος χρήσης του κεφαλαίου (το πραγµατικό επιτόκιο συν το ποσοστό απόσβεσης), και ότι το οριακό προϊόν της εργασίας θα ισούται µε τον πραγµατικό µισθό. Κατά συνέπεια θα ισχύει ότι, f (k(t)) = r(t) + δ (1.26) f (k(t)) k(t) f (k(t) = w(t) (1.27) Μπορεί κανείς εύκολα να συνάγει ότι όταν ικανοποιούνται οι (1.26) και (1.27), οι επιχειρήσεις έχουν µηδενικά κέρδη. Το συνολικό εισόδηµα των νοικοκυριών, ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας, ισούται µε το εγχώριο εισόδηµα και δίνεται από, 10

11 (r(t)+δ)k(t)+w(t) Η εξίσωση αποταµιεύσεων και συσσώρευσης του κεφαλαίου ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας δίνεται από, k (t) = s[(r(t)+δ)k(t)+w(t)] (n+g+δ)k(t) (1.28) Αντικαθιστώντας τις (1.26) και (1.27) στην (1.28), έχουµε τη βασική εξίσωση συσσώρευσης του υποδείγµατος του Solow. k (t) = sf(k(t) (n+g+δ)k(t) Κατά συνέπεια, η συµπεριφορά του υποδείγµατος του Solow, όπως το αναλύσαµε ως τώρα, είναι συµβατή µε την ύπαρξη ανταγωνιστικών αγορών για αγαθά, εργασία και κεφάλαιο. Αξίζει να σηµειωθεί ότι στη διαδικασία της προσαρµογής προς την πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης από αριστερά, όταν δηλαδή το αρχικό κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας είναι µικρότερο από το κεφάλαιο ισορροπίας, οι πραγµατικοί µισθοί ανεβαίνουν και τα πραγµατικά επιτόκια µειώνονται, καθώς παρακολουθούν την εξέλιξη του οριακού προϊόντος του κεφαλαίου και του οριακού προϊόντος της εργασίας. Στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης ο πραγµατικός µισθός (ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας) παραµένει σταθερός και το ίδιο συµβαίνει µε το πραγµατικό επιτόκιο. Ωστόσο, ο πραγµατικός µισθός ανά εργαζόµενο, όπως και όλα τα κατά κεφαλήν µεγέθη, αυξάνεται µε ρυθµό g, το ρυθµό µεγέθυνσης της αποδοτικότητας της εργασίας. 1.9 Η Διαδικασία της Οικονοµικής Μεγέθυνσης και το Υπόδειγµα του Solow Το υπόδειγµα του Solow, όπως και κάθε οικονοµικό υπόδειγµα, βασίζεται σε σχετικά απλές και σε µεγάλο βαθµό µη ρεαλιστικές υποθέσεις. Ωστόσο, αποτελεί σηµαντική βελτίωση σε σχέση µε προηγούµενα υποδείγµατα τα οποία δεν χρησιµοποιούσαν τη νεοκλασσική συνάρτηση παραγωγής. Τέτοιο ήταν για παράδειγµα των υπόδειγµα των Harrod (1939) και Domar (1946) που βασίζονταν σε συναρτήσεις παραγωγής µε σταθερές αναλογίες, όπως αυτή του Leontieff (1941). Το ερώτηµα που τίθεται είναι αν το υπόδειγµα του Solow (και όλα τα υποδείγµατα που βασίζονται σε ανάλογες υποθέσεις για την τεχνολογία της παραγωγής) εξηγεί ικανοποιητικά τα βασικά χαρακτηριστικά της διαδικασίας της οικονοµικής µεγέθυνσης στον πραγµατικό κόσµο. Για να απαντήσουµε σε αυτό το ερώτηµα, θα πρέπει να δούµε ποια είναι αυτά τα βασικά χαρακτηριστικά. Μια σηµαντική πρώτη κωδικοποίηση αυτών των βασικών χαρακτηριστικών είχε γίνει από τον Kaldor (1963). Σύµφωνα µε τον Kaldor, µια θεωρία οικονοµικής µεγέθυνσης θα πρέπει να είναι συνεπής µε τα εξής έξι (6) βασικά χαρακτηριστικά: 1. Το κατά κεφαλήν προϊόν µεγεθύνεται διαχρονικά, και ο ρυθµός µεγέθυνσής του δεν παρουσιάζει πτωτική τάση. 2. Το φυσικό κεφάλαιο ανά εργαζόµενο διαχρονικά µεγεθύνεται. 3. Ο ρυθµός απόδοσης του κεφαλαίου είναι µακροχρόνια σταθερός. 4. Ο λόγος κεφαλαίου προϊόντος είναι µακροχρόνια σταθερός. 11

12 5. Τα µερίδια της εργασίας και του κεφαλαίου στο εγχώριο προϊόν δεν παρουσιάζουν µακροχρόνια τάση. 6. Ο ρυθµός µεγέθυνσης της παραγωγικότητας της εργασίας διαφέρει ουσιωδώς µεταξύ χωρών. Αυτά τα βασικά χαρακτηριστικά εξακολουθούν και είναι κατά βάση παραδεκτά και σήµερα, µε την εξαίρεση αυτού για το ρυθµό απόδοσης του κεφαλαίου, για τον οποίο σε ορισµένες περιπτώσεις και σε ορισµένες περιόδους παρατηρείται µία ελαφρά πτωτική τάση καθώς οι οικονοµίες αναπτύσσονται. Το υπόδειγµα του Solow είναι συνεπές µε όλα αυτά τα εµπειρικά χαρακτηριστικά. Ωστόσο, η διαδικασία της συσσώρευσης φυσικού κεφαλαίου, που είναι η βασική ατµοµηχανή της οικονοµικής µεγέθυνσης στο υπόδειγµα του Solow, δεν επαρκεί για να εξηγήσει ούτε τη µακροχρόνια αύξηση του προϊόντος ανά εργαζόµενο που έχει παρατηρηθεί ιστορικά σε όλες σχεδόν τις οικονοµίες του κόσµου, αλλά ούτε και τις µεγάλες διαφορές στο προϊόν ανά εργαζόµενο µεταξύ των αναπτυγµένων και των λιγότερο αναπτυγµένων οικονοµιών. Μικρό µόνο µέρος αυτών των φαινοµένων εξηγείται από τη συσσώρευση φυσικού κεφαλαίου. Το µεγαλύτερο µέρος φαίνεται να οφείλεται σε διαφορές στη συνολική παραγωγικότητα των συντελεστών και διαφορές στην αποδοτικότητα της εργασίας, που για το υπόδειγµα του Solow θεωρούνται εξωγενείς. Το υπόδειγµα του Solow εντοπίζει δύο πηγές διαφορών στο προϊόν ανά εργαζόµενο µεταξύ χωρών ή µεταξύ χρονικών περιόδων: Πρώτον, διαφορές στο κεφάλαιο ανά εργαζόµενο και, δεύτερον, διαφορές στην συνολική παραγωγικότητα των συντελεστών και στην αποδοτικότητα της εργασίας. Προκειµένου να αναλύσουµε τις επιπτώσεις αυτών των διαφορών, θα χρησιµοποιήσουµε το υπόδειγµα του Solow, υποθέτοντας µια συνάρτηση παραγωγής Cobb Douglas Διαφορές µεταξύ Οικονοµιών στην Πορεία της Ισόρροπης Μεγέθυνσης Στο υπόδειγµα του Solow, µε βάση τη συνάρτηση παραγωγής Cobb Douglas, το κεφάλαιο ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης ορίζεται από τη συνθήκη, sa( k *) α = (n + g + δ )k * (1.29) Από την (1.29) προκύπτει ότι, k* = sa n + g + δ 1 1 α (1.30) Από την (1.30), το προϊόν ανά µονάδα αποδοτικότητας της εργασίας δίνεται από, y* = A k * ( ) α = A sa n + g + δ α 1 α (1.31) Το κατά κεφαλήν προϊόν στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης δίνεται από, 12

13 y (t) = Y (t) L(t) = y *h(t) = A( k * )α h(0)e gt = A K(t) L(t) α ( h(0)e gt ) 1 α = A k (t) α h(0)e gt ( ) 1 α (1.32) όπου η περισπωµένη (~) πάνω από µία µεταβλητή συµβολίζει το κατά κεφαλήν µέγεθος. Με βάση την (1.32), οι διαφορές στο κεφάλαιο ανά εργαζόµενο, για ρεαλιστικές εκτιµήσεις των παραµέτρων του υποδείγµατος, δεν µπορούν να εξηγήσουν τις διαφορές στο προϊόν ανά εργαζόµενο που παρατηρούµε στον πραγµατικό κόσµο. Για παράδειγµα, ας πούµε ότι θέλουµε να εξηγήσουµε µία αναλογία x στο προϊόν ανά εργαζόµενο µεταξύ δύο χωρών, την 1 (αναπτυγµένη) και την 2 (λιγότερο αναπτυγµένη). Από την (1.32), αν υποθέσουµε ότι όλες οι άλλες παράµετροι πλην του κεφαλαίου είναι ίδιες µεταξύ των δύο χωρών, θα ισχύει ότι, y (t) 1 = A k 1(t) α h(0)e gt y (t) 2 A k 2(t) α h(0)e gt ( ) 1 α ( ) = k 1 α 1(t) k 2(t) α = x (1.33) Για να εξηγήσουµε αυτή την αναλογία, το κεφάλαιο ανά εργαζόµενο θα πρέπει να διαφέρει κατά x στη δύναµη 1/α, όπου α είναι το µερίδιο του κεφαλαίου στο εγχώριο εισόδηµα. Δεδοµένου ότι το α είναι της τάξης του 1/3, για να εξηγήσεις ότι το προϊόν ανά εργαζόµενο είναι σήµερα στις αναπτυγµένες χώρες 10 φορές υψηλότερο από ό,τι στις λιγότερο αναπτυγµένες χώρες, το κεφάλαιο ανά εργαζόµενο θα πρέπει να είναι 1000 φορές (10 στην τρίτη) µεγαλύτερο. Κάτι τέτοιο όµως δεν συµβαίνει. Στις αναπτυγµένες οικονοµίες το κεφάλαιο ανά εργαζόµενο είναι µόλις 20 έως 30 φορές µεγαλύτερο από ό,τι στις λιγότερο αναπτυγµένες οικονοµίες. Αυτό µπορούµε να το πιστοποιήσουµε και µε έµµεσο τρόπο. Αν οι διαφορές στο προϊόν ανά εργαζόµενο οφείλονταν µόνο σε διαφορές στο φυσικό κεφάλαιο ανά εργαζόµενο, τότε θα έπρεπε να υπάρχουν τεράστιες διαφορές στο ποσοστό απόδοσης του κεφαλαίου µεταξύ περιόδων και µεταξύ χωρών. Τέτοιες διαφορές όµως δεν υπάρχουν. Για να εξηγήσουµε τις µεγάλες διαφορές µεταξύ αναπτυγµένων και µη αναπτυγµένων χωρών στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης, θα πρέπει να επιτρέψουµε διαφορές στη συνολική παραγωγικότητα των συντελεστών και στην αρχική αποδοτικότητα της εργασίας. Επιτρέποντας τέτοιες διαφορές στην (1.33), έχουµε ότι, y (t) 1 = A k 1 1(t) α h 1 (0)e gt y (t) 2 A 2 k 2(t) α h 2 (0)e gt ( ) 1 α ( ) = A k 1 1 α 1(t) α h 1 (0) 1 α A 2 k 2(t) α h 2 (0) 1 α = x (1.34) Οι διαφορές στην συνολική παραγωγικότητα των συντελεστών και στην αποδοτικότητα της εργασίας, µαζί µε τις διαφορές στο φυσικό κεφάλαιο ανά εργαζόµενο, µπορούν να εξηγήσουν το σύνολο σχεδόν των διαφορών στο προϊόν ανά εργαζόµενο που παρατηρούµε στον πραγµατικό κόσµο. Για παράδειγµα, αν οι αναπτυγµένες χώρες 1 έχουν κεφάλαιο ανά εργαζόµενο 20 φορές υψηλότερο από τις λιγότερο αναπτυγµένες χώρες 2, διπλάσια συνολική παραγωγικότητα των 13

14 συντελεστών (Α1=2Α2) και τριπλάσια αρχική αποδοτικότητα της εργασίας (h1(0)=3h2(0)), τότε η (1.34) προβλέπει ότι στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης θα έχουν κατά περίπου 10 φορές υψηλότερο κατά κεφαλήν εισόδηµα. Ωστόσο, η συνολική παραγωγικότητα των συντελεστών και η αποδοτικότητα της εργασίας δεν εξηγούνται από το υπόδειγµα του Solow, αλλά θεωρούνται εξωγενείς. Εποµένως, θα µπορούσε κανείς να πει ότι το υπόδειγµα αυτό δεν εξηγεί τη διαδικασία της µεγέθυνσης, αλλά κατά βάση την υποθέτει. 2 Για αυτό και το υπόδειγµα αυτό, όπως και άλλα υποδείγµατα που βασίζονται σε αντίστοιχες υποθέσεις για την τεχνολογία της παραγωγής, κατατάσσεται στην κατηγορία των υποδειγµάτων εξωγενούς µεγέθυνσης, καθώς υποθέτει ότι η συνολική παραγωγικότητα των συντελεστών A, η αρχική αποδοτικότητα της εργασίας h(0), και η τεχνολογική πρόοδος που αυξάνει την αποδοτικότητα της εργασίας µε ρυθµό g, είναι εξωγενείς παράµετροι Σύγκλιση Υπό Προϋποθέσεις Η προηγούµενη ανάλυσή µας καθιστά σαφές ότι η διαδικασία της σύγκλισης που προβλέπει το υπόδειγµα του Solow δεν είναι σύγκλιση στο ίδιο κατά κεφαλήν εισόδηµα για όλες τις οικονοµίες. Το κατά κεφαλήν εισόδηµα στο οποίο συγκλίνει µια οικονοµία προσδιορίζεται από την (1.31) ως y sa *(t) = A(k*) α = A n + g + δ α 1 α h(0)e gt (1.35) Στο βαθµό που παράµετροι όπως το ποσοστό αποταµίευσης και επενδύσεων s, η συνολική παραγωγικότητα των συντελεστών A, ο ρυθµός αύξησης του πληθυσµού n, το ποσοστό απόσβεσης δ και το αρχικό ανθρώπινο κεφάλαιο (αποδοτικότητα της εργασίας) h(0) διαφέρουν µεταξύ δύο οικονοµιών, τότε οι οικονοµίες θα συγκλίνουν προς διαφορετικά επίπεδα κατά κεφαλήν εισοδήµατος, ακόµη και αν στην πορεία της ισόρροπης µεγέθυνσης το κατά κεφαλήν εισόδηµά τους µεγεθύνεται µε τον ίδιο ρυθµό τεχνολογικής προόδου (αύξησης της αποδοτικότητας της εργασίας) g. Η σύγκλιση προς διαφορετικά επίπεδα κατά κεφαλήν εισοδήµατος, τα οποία εξαρτώνται από τις παραµέτρους που χαρακτηρίζουν τη διάρθρωση των οικονοµιών, ονοµάζεται σύγκλιση υπό προϋποθέσεις (conditional convergence). Το κατά κεφαλήν εισόδηµα στο οποίο συγκλίνουν οι οικονοµίες στο υπόδειγµα του Solow, αλλά και στα υπόλοιπα υποδείγµατα εξωγενούς µεγέθυνσης τα οποία θα αναλύσουµε στα επόµενα κεφάλαια, εξαρτάται από τα ιδιαίτερα χαρακτηριστικά τους. Η σύγκλιση που προβλέπει το υπόδειγµα του Solow είναι σύγκλιση προς το κατά κεφαλήν εισόδηµα το οποίο προσδιορίζεται από τις διαρθρωτικές παραµέτρους της κάθε οικονοµίας. Δεν συγκλίνουν όλες οι οικονοµίες προς το ίδιο κατά κεφαλήν εισόδηµα. Κάθε οικονοµία συγκλίνει προς το κατά κεφαλήν εισόδηµα που προσδιορίζεται από τις δικές της τεχνολογικές, πληθυσµιακές και αποταµιευτικές παραµέτρους. 2 Οι Mankiw, Romer και Weil (1992) γενίκευσαν το υπόδειγµα του Solow, εξηγώντας τις διαφορές στην αποδοτικότητα της εργασίας µεταξύ των χωρών στη βάση των επενδύσεων που κάνουν σε ανθρώπινο κεφάλαιο (εκπαίδευση εργατικού δυναµικού). Διατήρησαν όµως την υπόθεση ότι η συνολική παραγωγικότητα των συντελεστών αυξάνεται µε εξωγενή ρυθµό g. Το γενικευµένο υπόδειγµα του Solow στο οποίο κατέληξαν δείχνει να εξηγεί αρκετά ικανοποιητικά την µεταπολεµική εµπειρία 98 µη πετρελαιοπαραγωγών χωρών µετά το

15 1.10 Συµπεράσµατα Το υπόδειγµα του Solow αποτελεί σήµερα το σηµείο εκκίνησης στη θεωρία της οικονοµικής µεγέθυνσης. Παρότι οι ρίζες του βρίσκονται σε παλαιότερα υποδείγµατα, και παρότι έχει θεωρητικές και εµπειρικές αδυναµίες, το υπόδειγµα αυτό παρέχει ένα εξαιρετικά χρήσιµο, απλό και ευέλικτο πλαίσιο ανάλυσης των προβληµάτων της µεγέθυνσης. Ωστόσο, η διαδικασία της συσσώρευσης φυσικού κεφαλαίου, που είναι η βασική ατµοµηχανή της οικονοµικής µεγέθυνσης στο υπόδειγµα του Solow, δεν επαρκεί για να εξηγήσει ούτε τη µακροχρόνια αύξηση του προϊόντος ανά εργαζόµενο που έχει παρατηρηθεί στις αναπτυγµένες οικονοµίες, αλλά ούτε και τις µεγάλες διαφορές στο προϊόν ανά εργαζόµενο µεταξύ των αναπτυγµένων και λιγότερο αναπτυγµένων οικονοµιών. Μικρό µόνο µέρος αυτών των φαινοµένων εξηγείται από τη συσσώρευση φυσικού κεφαλαίου. Το µεγαλύτερο µέρος οφείλεται στην αύξηση της συνολικής παραγωγικότητας των συντελεστών και της αποδοτικότητας της εργασίας (τεχνολογική πρόοδο), που για το υπόδειγµα του Solow θεωρούνται εξωγενείς παράµετροι. Με την έννοια αυτή, το υπόδειγµα του Solow, και όλα τα υποδείγµατα που κάνουν παρόµοιες µε αυτό υποθέσεις για την τεχνολογία και την τεχνολογική πρόοδο, µας υποδεικνύει πως να ξεπεράσουµε τις αδυναµίες του και να επιχειρήσουµε να εξηγήσουµε την τεχνολογική πρόοδο. Αυτό είναι η βασική διαφορά του υποδείγµατος αυτού, και όλων των υποδειγµάτων εξωγενούς µεγέθυνσης, από τα υποδείγµατα ενδογενούς µεγέθυνσης. Μία άλλη θεωρητική αδυναµία του υποδείγµατος του Solow είναι η υπόθεση ότι το ποσοστό αποταµίευσης είναι εξωγενές. Παρότι την εποχή που παρουσιάστηκε το υπόδειγµα του Solow αυτή ήταν µία διαδεδοµένη υπόθεση στα πλαίσια των κεϋνσιανών οικονοµικών, η υπόθεση αυτή δεν είναι ικανοποιητική, καθώς δεν λαµβάνει υπόψη τους βαθύτερους προσδιοριστικούς παράγοντες της αποταµιευτικής συµπεριφοράς των νοικοκυριών. Στα επόµενα δύο κεφάλαια εξετάζουµε δύο εναλλακτικά υποδείγµατα αποταµιευτικής συµπεριφοράς, στα οποία οι αποταµιεύσεις είναι αποτέλεσµα της ορθολογικής συµπεριφοράς των νοικοκυριών. Τα δύο αυτά υποδείγµατα, τα οποία αποτελούν τη βάση της διαχρονικής µακροοικονοµικής σήµερα, είναι αφενός το υπόδειγµα του αντιπροσωπευτικού νοικοκυριού και, αφετέρου, το υπόδειγµα των επαλλήλων γενεών. 15

16 Παράρτηµα Κεφαλαίου 1 Το Υπόδειγµα του Solow σε Διακριτό Χρόνο Στο παράρτηµα αυτό παρουσιάζουµε το υπόδειγµα του Solow σε διακριτό χρόνο. Αντί για συνεχής µεταβλητή, ο χρόνος τώρα µετράται ως διαδοχικές χρονικές περίοδοι, όπου t=0,1,2,.... Η µεταβλητή xt, υποδεικνύει τη µεταβλητή x κατά τη χρονική περίοδο t. Ο πληθυσµός και η αποδοτικότητα της εργασίας αυξάνονται µε ρυθµούς n και g ανά περίοδο αντίστοιχα. Συνεπώς έχουµε, L t = L 0 (1+ n) t (Π1.1) h t = h 0 (1+ g) t (Π1.2) Η συνάρτηση παραγωγής δίδεται από, Y t = F(K t,h t L t ) (Π1.3) και χαρακτηρίζεται από σταθερές αποδόσεις κλίµακας και φθίνουσες αποδόσεις των επί µέρους συντελεστών. Υποθέτουµε, όπως και στην περίπτωση του συνεχούς χρόνου, ότι η συνάρτηση κατανάλωσης χαρακτηρίζεται από ένα σταθερό ποσοστό αποταµίευσης s. C t = (1 s)y t = (1 s)f(k t,h t L t ) (Π1.4) Η συσσώρευση του κεφαλαίου ακολουθεί, K t+1 K t = F(K t,h t L t ) C t δ K t = sf(k t,h t L t ) δ K t (Π1.5) Με τις υποθέσεις αυτές, µπορούµε να εκφράσουµε όλα τα µεγέθη ανά µονάδα αποτελεσµατικότητας της εργασίας. y t = f (k t ) (Π1.6) c t = (1 s)y t = (1 s) f (k t ) (Π1.7) 1 k t+1 = (1+ n)(1+ g) ( ) (Π1.8) f (k t ) c t + (1 δ )k t 16

17 Αντικαθιστώντας την (Π1.7) στην (Π1.8) έχουµε την βασική εξίσωση της συσσώρευσης του κεφαλαίου στο υπόδειγµα του Solow σε διακριτό χρόνο. k t+1 = 1 ( (1+ n)(1+ g) sf (k ) + (1 δ )k t t ) (Π1.9) Το κεφάλαιο ισορροπίας προσδιορίζεται από τη σχέση, sf (k*) = (n + g + δ + ng)k * (Π1.10) Η δυναµική προσαρµογή προς την ισορροπία µέσω της (Π1.9) περιγράφεται στο Διάγραµµα 1.5. Η ισορροπία είναι µοναδική και σταθερή, και η οικονοµία συγκλίνει προς αυτήν από οποιοδήποτε αρχικό σηµείο. 17

18 Διάγραµµα 1.1 Η Συνάρτηση Παραγωγής σε Εντατική Μορφή y k 18

19 Διάγραµµα 1.2 Η Ισορροπία στο Υπόδειγµα του Solow y, sy f(k) y* (n+g+δ)k sf(k) k 0 k* k 1 k 19

20 Διάγραµµα 1.3 Οι Επιπτώσεις µιας Αύξησης στο Ποσοστό Αποταµίευσης y, sy f(k) y** y* (n+g+δ)k s'f(k) sf(k) k* k** k 20

21 Διάγραµµα 1.4 Η Διαδικασία της Σύγκλισης προς µία Νέα Ισορροπία k k** k* t 21

22 Διάγραµµα 1.5 Η Ισορροπία του Υποδείγµατος του Solow σε Διακριτό Χρόνο k t+1 k t+1 =(sf(k t )+(1-δ)k t )/(1+n)(1+g) A 45 o k 0 k * k 1 k t 22

23 Παραποµπές Domar E.D. (1946), Capital Expansion, Rate of Growth and Employment, Econometrica, 14, pp Harrod R.F. (1939), An Essay in Dynamic Theory, Economic Journal, 49, pp Inada K. (1964), Some Structural Characteristics of Turnpike Theorems, Review of Economic Studies, 31, pp Kaldor N. (1963), Capital Accumulation and Economic Growth, in Lutz F.A. and Hague D.C. (eds), Proceedings of a Conference Held by the International Economic Association, London, Macmillan. Leontieff W. (1941), The Structure of the American Economy, , Cambridge MA, Harvard University Press. Mankiw G., Romer D. and Weil D. (1992), A Contribution to the Empirics of Economic Growth, Quarterly Journal of Economics, 107, pp Solow R.M. (1956), A Contribution to the Theory of Economic Growth, Quarterly Journal of Economics, 70, pp Swan T.W. (1956), Economic Growth and Capital Accumulation, Economic Record, 32, pp