Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

Transcript

1 Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής

2 Στερεοσκοπική Αντιστοίχιση Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής 2

3 Επισκόπιση Μαθήµατος Στερεοσκοπική Αντιστοίχιση q Ανασταλτικοί Παράγοντες q Βασικές Υποθέσεις q Μοντέλο κάµερας q Προβολική Γεωµετρία q Τεχνικές Στερεοσκοπικής Αντιστοίχισης 3

4 Στερεοσκοπική Αντιστοίχιση Γενικό πρόβληµα: Αντιστοίχισε το προφίλ αναφοράς I(x,y) µε τo προφίλ εισόδου J(x,y) Πρόβληµα I(x,y) J(x,y) Σκοπός Στερεοσκοπική Αντιστοίχιση (Stereo Correspondence) Αριστερή εικόνα L(x,y) Δεξιά εικόνα R(x,y) Χάρτης Ανοµοιότητας 4

5 Βασικό ερώτηµα (Γενική Περίπτωση) Δοθέντων δύο εικόνων, ποια είναι τα αντίστοιχα σηµεία τους; Αντίστοιχα σηµεία: προβολές του ίδιου σηµείου της σκηνής στις εικόνες ποιος είναι ο µετασχηµατισµός, που εφαρµοζόµενος στη µία εικόνα, παρέχει την άλλη; Η γεωµετρία του χώρου και ο προσανατολισµός του(ων) αισθητήρα(ων) όρασης δεν είναι γνωστά Μόνη πηγή πληροφορίας: η ένταση φωτεινότητας των εικόνων 5

6 Ανασταλτικοί παράγοντες Ψηφιακή Εικόνα Θόρυβος καταγραφής 1 εικονοστοιχείο αντιστοιχεί σε πολλά σηµεία της σκηνής Προοπτίκη Προβολή Προβολή 3D σε 2D (απώλεια πληροφορίας) Κίνηση Κάµερας/Σκηνής Παραµόρφωση αντικειµένων Μη οµοιόµορφος (φυσικός) φωτισµός -Μη λαµπερτιανές επιφάνειες Ασυνέχειες Βάθους Ηµι-αποκλεισµένες περιοχές Παραµόρφωση φακού Ευθείες µετατρέπονται σε καµπύλες 6

7 Ανασταλτικοί παράγοντες Ψηφιακή Εικόνα Θόρυβος καταγραφής 1 εικονοστοιχείο αντιστοιχεί σε πολλά σηµεία της σκηνής Προοπτίκη Προβολή Προβολή 3D σε 2D (απώλεια πληροφορίας) Κίνηση Κάµερας/Σκηνής Παραµόρφωση αντικειµένων Μη οµοιόµορφος (φυσικός) φωτισµός -Μη λαµπερτιανές επιφάνειες Ασυνέχειες Βάθους Ηµι-αποκλεισµένες περιοχές Παραµόρφωση φακού Ευθείες µετατρέπονται σε καµπύλες

8 Ανασταλτικοί παράγοντες Ψηφιακή Εικόνα Θόρυβος καταγραφής 1 εικονοστοιχείο αντιστοιχεί σε πολλά σηµεία της σκηνής Προοπτίκη Προβολή Προβολή 3D σε 2D (απώλεια πληροφορίας) Κίνηση Κάµερας/Σκηνής Παραµόρφωση αντικειµένων Μη οµοιόµορφος (φυσικός) φωτισµός -Μη λαµπερτιανές επιφάνειες Ασυνέχειες Βάθους Ηµι-αποκλεισµένες περιοχές Παραµόρφωση φακού Ευθείες µετατρέπονται σε καµπύλες Περιοχή pixel Τιµή Pixel 8

9 Ανασταλτικοί παράγοντες Ψηφιακή Εικόνα Θόρυβος καταγραφής 1 εικονοστοιχείο αντιστοιχεί σε πολλά σηµεία της σκηνής Προοπτίκη Προβολή Προβολή 3D σε 2D (απώλεια πληροφορίας) Κίνηση Κάµερας/Σκηνής Παραµόρφωση αντικειµένων Μη οµοιόµορφος (φυσικός) φωτισµός -Μη λαµπερτιανές επιφάνειες Ασυνέχειες Βάθους Ηµι-αποκλεισµένες περιοχές Παραµόρφωση φακού Ευθείες µετατρέπονται σε καµπύλες Λαµπερτιανή επιφάνεια Μη λαµπερτιανή επιφάνεια 9

10 Ανασταλτικοί παράγοντες Ψηφιακή Εικόνα Θόρυβος καταγραφής 1 εικονοστοιχείο αντιστοιχεί σε πολλά σηµεία της σκηνής Προοπτίκη Προβολή Προβολή 3D σε 2D (απώλεια πληροφορίας) Κίνηση Κάµερας/Σκηνής Παραµόρφωση αντικειµένων Μη οµοιόµορφος (φυσικός) φωτισµός -Μη λαµπερτιανές επιφάνειες Ασυνέχειες Βάθους Ηµι-αποκλεισµένες περιοχές Παραµόρφωση φακού Ευθείες µετατρέπονται σε καµπύλες 10

11 Ανασταλτικοί παράγοντες Ψηφιακή Εικόνα Θόρυβος καταγραφής 1 εικονοστοιχείο αντιστοιχεί σε πολλά σηµεία της σκηνής Προοπτίκη Προβολή Προβολή 3D σε 2D (απώλεια πληροφορίας) Κίνηση Κάµερας/Σκηνής Παραµόρφωση αντικειµένων Μη οµοιόµορφος (φυσικός) φωτισµός -Μη λαµπερτιανές επιφάνειες Ασυνέχειες Βάθους Ηµι-αποκλεισµένες περιοχές Παραµόρφωση φακού Ευθείες µετατρέπονται σε καµπύλες 11

12 Υπολογιστική Όραση Βασική Υπόθεση Σταθερή ένταση φωτεινότητας (Brightness Constancy Assumption) [Horn and Schunk 81] Ένα σηµείο της σκηνής απεικονίζεται µε την ίδια ένταση φωτεινότητας σε όλες τις διαθέσιµες εικόνες Ix (, y, t) = Ix ( +Δ xy, +Δyt, ) Αδυναµία ισχύος σε πρακτικές εφαρµογές Καλή προσέγγιση αν t2-t1à 0 Δxà 0 Δyà 0 Video µε µεγάλο fps I (x, y,t 1 )! I (x +!x, y +!y,t 2 ) "(x, y ) # ROI x 0,y 0 Δy Δx ROI I( x, y, t1) I( x, y, t2) 12

13 Μοντέλο Κάµερας 13

14 Προβολική Γεωµετρία f X P Y Z = x p y f = x p y f = 14

15 Συµβολισµοί O Εστιακό Κέντρο π Επίπεδο Εικόνας Z Οπτικός Άξονας f Εστιακή Απόσταση (Χ,Υ,Ζ) π 15

16 Προβολή y (Χ,Υ,Ζ) f x Y Z x y f = = X Y Z X 16

17 Συστήµατα Δύο Αισθητήρων Τυχαίος Προσανατολισµός Αισθητήρων Επιπολικές γραµµές 17

18 Κανονικό Στερεοσκοπικό Σύστηµα Παράλληλοι οπτικοί άξονες Οι οριζόντιοι άξονες (x) των δύο συστηµάτων ταυτίζονται Επιπολικές γραµµές Κανονικός Προσανατολισµός Οι επιπολικές γραµµές ταυτίζονται µε τις γραµµές των εικόνων 18

19 Κανονική Διάταξη Αισθητήρων Η Αρχή του Σ.Σ. στο µέσο του Ε.Τ. που ενώνει τα οπτικά κέντρα f ( X + b / 2) fy xl =, yl = Z Z f ( X b / 2) fy xr =, yr = Z Z fb xl xr = Z bx ( l + xr) by ( l + yr) fb X =, Y = Z = 2 x x 2 x x x x ( ) ( ) l r l r l r 19

20 Ανοµοιότητα (Disparity) Z = x l fb x r Η διαφορά d = x x l ονοµάζεται ανοµοιότητα Το d είναι αντιστρόφως ανάλογο του Ζ Το d είναι ανάλογο του b r 20

21 Στερεοσκοπική Αντιστοίχιση Υπολογισµός ανοµοιότητας ως προς την εικόνα αναφοράς (π.χ. αριστερή) Ανοµοιότητα: η απόσταση σε εικονοστοιχεία συζυγών ζευγών όταν τοποθετήσουµε τη µία εικόνα πάνω από την άλλη Αναζήτηση συζυγών ζευγών (αντιστοίχων σηµείων) κατά µήκος των επιπολικών γραµµών Επιλογή κανονικού συστήµατος dy I ( x, y) = I ( x dx, y dy) left = 0 I ( x, y) = I ( x dx, y) left right dx > 0 right 21

22 Μέθοδοι Στερεοσκοπικής Αντιστοίχισης Τοπικές µέθοδοι (pixel-wise) Απαραίτητη χρήση παραθύρου (window-based) Επιλογή αντίστοιχου σηµείου από πολλά υποψήφια (winner takes all) Ηµι-ολικές µέθοδοι Δυναµικός προγραµµατισµός (row by row) Αναζήτηση βέλτιστου µονοπατιού στο επίπεδο Ολικές µέθοδοι Αναζήτηση βέλτιστης επιφάνειας στο χώρο ανοµοιότητας (disparity space image) (-) Οµαλότητα (+) Χάρτης Ανοµοιότητας (+) Ακρίβεια (-) (-) Πολυπλοκότητα (+) 22

23 L Τοπικές µέθοδοι R d(100,50)=4è L(100,50)=R(96,50) E(d) Ελάχιστοè d(100,50)=4 23

24 Περιορισµοί Υπολογιστική Όραση Περιορισµοί και Υποθέσεις Μοναδικότητα: κάθε σηµείο της αριστερής εικόνας έχει µοναδικό αντίστοιχο στη δεξιά Υποθέσεις Σειρά προβολής: η σειρά εµφάνισης δύο σηµείων στην αριστερή και δεξιά εικόνα δεν αλλάζει. Η ανοµοιότητα σε γειτονικά σηµεία δεν µπορεί να ποικίλει έντονα Η υϊοθέτηση περιορισµών και υποθέσεων :-) :-( µειώνει το χώρο αναζήτησης αντίστοιχων σηµείων µπορεί να προκαλέσει διάδοση σφαλµάτων 24

25 Περιορισµοί και Υποθέσεις Υπόθεση: Σειράς προβολής 25

26 Υπόθεση Σειράς Προβολής 26

27 Προβλήµατα-Ανασταλτικοί Παράγοντες Περιοχές µη έντονης υφής Ασυνέχειες Βάθους Φωτοµετρικές Παραµορφώσεις Περιοδικότητες 27

28 Ακρίβεια χάρτη ανοµοιότητας (-) (+) Παρεµβολή στη συνάρτηση έντασης φωτεινότητας Δηµιουργία εικόνων υψηλότερης ανάλυσης Αντιστοίχιση στο πεδίο συχνοτήτων Χρήση πληροφορίας φάσης Παρεµβολή στη συνάρτηση κόστους Πολυωνυµική παρεµβολή Διαφορική αντιστοίχηση Χρήση πληροφορίας παραγώγου/κλίσης (+) (-) 28

29 Παρεµβολή και Διαφορική Αντιστοίχιση Παρεµβολή της συνάρτηση κόστους [Anandan 89] π.χ. παρεµβολή 2 ου βαθµού Cd ( 0 + 1) Cd ( 0 1) t = 4 Cd ( 0) 2 Cd ( 0 + 1) 2 Cd ( 0 1) Βέλτιστη ανοµοιότητα: d 0 +t C(d) d 0 +1 t d 0 d 0-1 Διαφορική αντιστοίχιση [Lucas-Kanade 81] Χρήση Taylor expansion IR( x+ d) IL(, x y) = IR( x+ d +Δd, y) IR( x+ d, y) + Δ d + hot... x επαναληπτική διαδικασία ενηµέρωση θέση ελαχίστου Αρχικοποίηση: Εκτίµηση: 29

30 Τροποποιηµένος συντελεστής συσχέτισης-ecc " W % Συντελεστής συσχέτισης $ n!3,m!3 ' ρ ˆ ˆ, ( ) t nm d = w L( n, m) w R( n, m d) $ W ' w(n,m) = $ n!2,m!3 ' n W 7x7 Ακρίβεια εικονοστοιχείου $! ' $ W ' max ρnm, ( d) # n+3,m+3 & 0 d D m Πυρήνας παρεµβολής w(n,m)! w(n,m) ŵ(n,m) = wr( n, m+ τ) wr( n, m) + τ( wr( n, m) wr( n, m 1) ) w(n,m)! w(n,m) 2 Ενσωµάτωση πυρήνα στο συντελεστή συσχέτισης ρ ˆ ˆ, (, ) t nm d τ = wl( n, m) wr( n, m d + τ) Πρόβληµα Βελτιστοποίησης Ακρίβεια µικρότερη του εικονοστοιχείου 0 d D Ανεξαρτησία από γραµµικές φωτοµετρικές παραµορφώσεις max max ρ ( d, τ) τ nm, 30

31 Βελτιστοποίηση ECC Συνάρτηση κόστους: ρ ( τ) = d ( ) ρ + τ ρ λρ d d d (1 + λ 2 λr) τ + 2(1 λr) τ + 1 όπου! = w (n,m! d!1)!w (n,m! d!1) R R t 2, r = wˆ ( n, m d) wˆ (, 1) w R (n,m! d )!w R (n,m! d ) R R n m d 2 Δοθέντος d 0, max ρ ( τ) τ Κλειστού τύπου λύση οδηγεί σε µηδαµινή αύξηση της πολυπλοκότητας d 0 31

32 Θεώρηµα: Υπολογιστική Όραση Υπολογισµός Βέλτιστης Λύσης Η συνάρτηση ρ ( ) d 0 τ τ παρουσιάζει µοναδικό ακρότατο στη θέση ρd 1 r ο ρd = Το ακρότατο αυτό αντιστοιχεί σε ολικό µέγιστο, αν και µόνο αν ο ο παρανοµαστής του τ είναι αρνητικός. Στην περίπτωση αυτή, η µέγιστη τιµή της συνάρτησης είναι: ρ + ρ 2rρ ρ ο ρ ( τ ) = d λ( rρ ρ ) + rρ ρ d 1 d d d d0 d0 1 d0 d0 1 2 (1 r ). 32

33 Αποτελέσµατα Προσοµοίωσης Form I Τεχνητές εικόνες Ri (, j) = 120sinc( k( i 50,1))sinc( k( j 50,1)) Li (, j) = Ri (, j tj ) Form II πi π j Ri (, j) = + cos + cos 2 4 P P Li (, j) = Ri (, j t) j x y NCC t i = ENCC t i = Ολική Μετατόπιση Εικόνων 33

34 Αριστερή εικόνα Υπολογιστική Όραση Στερεοσκοπικές Εικόνες Δεξιά εικόνα Χάρτης Ανοµοιότητας Ασυνέχειες Αποκλεισµοί Venus Map Sawtooth 34

35 %B R Τύπος µέτρησης σφάλµατος 1 BR = dc(, c y) dg(, x y) > δ N R ( xy, ) R Περιοχή ενδιαφέροντος: Υπολογιστική Όραση Αποτελέσµατα Προσοµοίωσης R = DI O d (, ) C x y d (, ) G x y : εκτίµηση ανοµοιότητας : πραγµατική ανοµοιότητα NR : µέγεθος περιοχής ενδιαφέροντος : περιοχή ασυνεχειών D O : περιοχή αποκλεισµών NCC %B R Αρχικές Εικόνες Λανθασµένες αντιστοιχίσεις (δ=1) χωρίς τη διόρθωση τ ENCC Φωτοµετρικά παραµορφωµένες εικόνες 35

36 Αποτελέσµατα Προσοµοίωσης Pixel locking effect (Shimizu-Okutomi 01) Η τάση της κατανοµής εκτιµήσεων να δηµιουργεί λοβούς γύρω από ακέραιες τιµές Μερική ακύρωση του φαινοµένου µε πρωθύστερη δράση Ground NCC ENCC SOM Κατανοµή εκτιµήσεων ανοµοιότητας στην περιοχή [15-,17+] για την εικόνα Sawtooth SOM: Shimizu-Okutomi Modification 36

37 Συµπεράσµατα Εύρωστη σε φωτοµετρικές παραµορφώσεις Παροχή ανοµοιοτήτων µε ακρίβεια µικρότερη του εικονοστοιχείου Μικρό υπολογιστικό κόστος Κλειστού τύπου λύση Απαλλαγή από το pixel locking effect Χρήση της βέλτιστης λύσης ως ανιχνευτή προβληµατικών σηµείων (ηµι-αποκλεισµένες περιοχές) 37

38 Παραµετρικές Τεχνικές Area-based (direct) τεχνικές Αντιστοίχιση βασισµένη στην ένταση φωτεινότητας όλων των εικονοστοιχείων της ROI Απευθείας αναζήτηση παραµετρικού µοντέλου Featured-based τεχνικές Αντιστοίχιση βασισµένη σε επιλεγµένα χαρακτηριστικά (γωνίες, ακµές) της ROI Χρήση τελεστή αναγνώρισης χαρακτηριστικών Αντιστοίχιση κοινών χαρακτηριστικών Χρήση παραµετρικού µοντέλου για τη συνολική αντιστοίχιση δοθείσης της αντιστοίχισης χαρακτηριστικών Παραµετρικό µοντέλο Αντιστοίχιση Αντιστοίχιση Παραµετρικό µοντέλο 38

39 Area-based παραµετρικές τεχνικές Ορισµός παραµετρικού µοντέλου Βάσει της φύσης και των απαιτήσεων του προβλήµατος W Παράδειγµα p p p x (;) xp =, p4 p5 p 6 y [, ] t t x= xy, p= [ p, p,..., p] Ορισµός συνάρτησης κόστους ( ) ( ) 2 E( p) = I x I W( x; p) x ROI 1 2 Βελτιστοποίηση συνάρτησης κόστους Υπολογισµός των παραµέτρων που βελτιστοποιούν τη συνάρτηση κόστους min E( p) p 39

40 Τεχνικές Βελτιστοποίησης Μέθοδοι πλήρους αναζήτησης (full search) Αναλυτική αναζήτηση των Ν παραµέτρων στον Ν-D χώρο (-) Υψηλό υπολογιστικό κόστος (-) Πεπερασµένη ακρίβεια (+) Αντιστάθµιση µεγάλων µετατοπίσεων Μέθοδοι βασισµένες στην κλίση της έντασης των εικόνων (gradient-based) (+) Μεγαλύτερη ακρίβεια (θεωρητικά ίση µε το eps της µηχανής) (+) Μικρό υπολογιστικό κόστος (+) Δυνατότητα χρήσης επαναληπτικού σχήµατος εγκλωβισµός (-) Αδυναµία διαχείρισης µεγάλων µετατοπίσεων Χρήση πυραµιδικού σχήµατος Υβριδικές µέθοδοι 40

41 Γενικό πρόβληµα Ευθυγράµµισης εικόνων Ορισµός παραµετρικού µοντέλου W(x;p) x=[x,y] t, p=[p 1,p 2,,p n ] t Ορισµός µέτρου οµοιότητας µεταξύ εικόνας αναφοράς I R (reference image) και γεωµετρικά παραµορφωµένης εικόνας I W (warped image) Αντιστάθµιση φωτοµετρικών παραµορφώσεων 41

42 Αντιστάθµιση φωτοµετρικών παραµορφώσεων Lucas Kanade 81 (contrast-brightness) E ( a, a, p) ( a I ( x) a I ( T( x; p)) ) 2 = + LK r 2 w x ROI min E ( a, a, p) a, a, p 1 2 LK 1 2 Επαναληπτικός αλγόριθµος Fuh Maragos 91 ECC 08 ( ) 2 E ( a, a, p) = I ( x) a I ( T( x; p)) a FM 1 2 r 1 w 2 x ROI min E ( a, a, p) a, a, p 1 2 FM 1 2 ˆt iw ( T ( x; p)) ρ ( p) = ir ( x) i ( T ( x ; p )) max ρ( p) p w Αναλυτική Αναζήτηση Επαναληπτικός αλγόριθµος 42

43 Σχέση µεταξύ αλγορίθµων Ελαχιστοποίηση ως προς τις φωτοµετρικές παραµορφώσεις (separable variables) LK: FM: min E ( a, a, p) min ˆi ( p) 1 ρ( p) a, a, p 1 2 a, a, p 1 2 LK 1 2 min E ( a, a, p) min ˆi 1 ρ( p) FM 1 2 p p w r 2 2 ( 2 ) ( 2 ) Κανένα από τα δύο προβλήµατα δεν είναι ισοδύναµο µε το max ρ( p) p Μόνη περίπτωση ισοδυναµίας: min E ( a, a, p) max ρ( p) a 0, a, p 1 2 FM 1 2 p 43

44 Αλγόριθµος ECC Βασική ιδέα Κανόνας ενηµέρωσης: p= p0 +Δp Προσέγγιση ρ( p) ; ρ( Δ p; p ) = G i ( p) i ( p ) + G( p ) Δp 0 w η Ιακωβιανή µήτρα του ως προς τις παραµέτρους Ακολουθία υποδεέστερων µη γραµµικών προβληµάτων βελτιστοποίησης 2 ˆt ii r w ˆt + igδp r t t t i + 2i GΔ p+δpg GΔp w w i w 0 0 max ρ( Δp ; p ) Δp j j w j 1 44

45 Η συνάρτηση Υπολογιστική Όραση Υπολογισµός βέλτιστης λύσης ρ( Δp ; p ) j j 1 ΘΕΩΡΗΜΑ µεγιστοποιείται για t 1 t ( ) ( λˆ ) r w ο Δ = p GG G i i Αν ˆ t ( ) 0 ο ir IN PG iw > τότε το Δp είναι ολικό µέγιστο για λ = i ˆt ii 2 t i P i ˆt ipi w w G w r w r G w t όπου ( ) 1 t PG = G G G G Αν ˆ ο i t r ( IN PG ) iw 0 τότε το Δp είναι το άκρο ενός διαστήµατος και το λ µπορεί να πάρει οποιαδήποτε τιµή ικανοποιεί τους o περιορισµούς ρ( Δ pj; pj 1) > ρ( 0; pj 1) o ρ( Δp ; p ) 0 j j 1 45

46 Υπολογισµός βέλτιστης λύσης ΛΗΜΜΑ Μια ικανή συνθήκη για να ισχύουν οι περιορισµοί είναι: όπου λ max λ, λ { } 1 2 t w 1 ˆt r λ = i P i G w ip i G r, λ = 2 ˆt ˆt ip i ii ˆt ip i r G w r w r G r 46

47 Βήµατα Αλγορίθµου FA-ECC Αρχικοποίηση p 0 j=1 Επαναληπτική διαδικασία 1. Υπολόγισε την εικόνα I w (W(x;p j-1 )) 2. Υπολόγισε την Ιακωβιανή µήτρα G(p j-1 ) 3. Υπολόγισε τη βέλτιστη λύση Δp j σύµφωνα µε το θεώρηµα και το λήµµα 4. Ενηµέρωσε τις παραµέτρους p j =p j-1 +Δp j Αν Δp j >ε, τότε j++ και πήγαινε στο 1. Διαφορετικά σταµάτα. 47

48 Αντίστροφο πρόβληµα Σύνθεση µετασχηµατισµών Αντίστροφο πρόβληµα [Hager-Belhumeur 98] Υπολόγισε πως πρέπει να µετασχηµατίσεις την I R για να αντιστοιχιστεί µε την I W Εφάρµοσε τον αντίστροφο µετασχηµατισµό στην I W Σύνθεση µετασχηµατισµών [Shum-Szeliski 00] Κανόνας ενηµέρωσης W(x;p j )=W(x;p j-1 )ow(x;δp j ) H Hessian µήτρα της βέλτιστης λύσης γίνεται ανεξάρτητη των παραµέτρων H Ιακωβιανή του µετασχηµατισµού γίνεται ανεξάρτητη των παραµέτρων 48

49 Βήµατα Αλγορίθµου IC-ECC Αρχικοποίηση p 0 j=1 Υπολόγισε την Ιακωβιανή µήτρα G r (p j-1 ) και τον αντίστροφο (G rt G r ) -1 Επαναληπτική διαδικασία 1. Υπολόγισε την εικόνα I w (W(x;p j-1 ) 2. Υπολόγισε τη βέλτιστη λύση Δp j σύµφωνα µε το θεώρηµα και το λήµµα 3. Ενηµέρωσε τo µοντέλο W(x;p j )=W(x;p j-1 )ow(x;δp j ) -1 Αν Δp j >ε, τότε j++ και πήγαινε στο 1. Διαφορετικά σταµάτα. 49

50 Επαναληπτικοί Αλγόριθµοι-Σύγκριση Πολυπλοκότητα (Ν: αριθµός παραµέτρων Δυνατότητα Εφαρµογής Ευαισθησία στο θόρυβο Κ: αριθµός εικ/χίων) Lucas-Kanade 81 (Forwards Additive LK) O(KN 2 ) Οποιοδήποτε µοντέλο Μικρή Haager-Belhumeur 98 (Inverse Additive LK) Shum-Szeliski 00 (Forwards Compositional LK) Baker-Matthews 04 (Inverse Compositional LK) O(KN) Γραµµικό 2D Μεγάλη O(KN 2 ) Ηµι-οµάδα Μικρή O(KN) Οµάδα Μεγάλη FA-ECC (2007) O(KN 2 ) Οποιοδήποτε µοντέλο Μικρή IC-ECC (2008) O(KN) Οµάδα Μεγάλη 50