i Είναι εξίσωση δευτερου βαθµού µε τη διαφορά ότι της λείπει ο σταθερός όρος ( ) ( ) ( ) ( )
|
|
- Ανδώνιος Κούνδουρος
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΔΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ Εξίσωση ου θµού Εξίσωση µε πολυώνυµο P( x) ου θµού που περιέχει τον άνωστο x κι έχει την µορφή P( x) Μορφή : x + x+, όπου,, στθεροί πρµτικοί ριθµοί, µε Π.χ : x + 3x+ ( 1, 3, ) x + x+ (,, ) 1 1 x 3x+ 1, 3, 3x x ( 3,, ) x 1 1,, 1 9 9,, : Συντελεστές της εξίσωσης : συντελεστής δευτεροάθµιου όρου : συντελεστής πρωτοάθµιου όρου : στθερός όρος Η εξίσωση x + x, µε i Είνι εξίσωση δευτερου θµού µε τη διφορά ότι της λείπει ο στθερός όρος π.χ: x + 3x, 5x + 6x, 7 x, x x 3 i Γι ν ρούµε τις λύσεις σε µι τέτοι εξίσωση χρησιµοποιούµε την εξής σική ιδιότητ : Α Β Α ή Β ν κι µ όνο ν Πράδειµ 1 Πράδειµ 3 3 Πράδειµ x ή x 3 x ( x ) ( x ) Πράδειµ x + x ( x ) x ( x+ 3) 5 6 x x 3 ( x 3 + 6) 5 ( x ) ( x ) + x x 3 x 6 ( x ) ή ( x ) x ή x 3 x 3 ή x 6 x ή x ( ιπλή ρίζ) x ή x 3 / x 3 ή x 6 / Επιμέλει: Περδικούρης Θεμιστοκλής Ζωοδόχου Πηής 8 Σλμίν Μθημτικός Τηλ /165 1
2 ιπλή ρίζ δευτεροάθµις εξίσωσης Με φορµή το Πράδειµ ότν οι λύσεις της δευτεροάθµις εξίσωσης είνι ίδιες, τότε λέµε ότι η εξίσωση έχει µι διπλή ρίζ. Η εξίσωση x +, µε iείνι κι υτή εξίσωση δευτέρου θµού µε τη διφορά ότι της λείπει ο πρωτοάθµιος όρος του x. π.χ : 6x + 3, 8x +, 18 x i Τέτοιες εξισώσεις λύνοντι µε τρόπους : 1ος Προντοποιούµε το πρώτο µέλος χρησιµοποιώντς την σική µς ( ) ( ) τυτότητ : + π.χ : x x x x+ 3x ή 3x+ x ή x 3 3 ς Τον τρόπο υτό µπορούµε ν τον χρησιµοποιούµε πάντ σε τέτοιου είδους εξισωσεις.ερζόµστε ως εξής : Χωρίζουµε νωστούς πό νώστους κι σν νωστο θεωρούµε το x.έπειτ διιρούµε µε τον συντελεστή του δεττεροάθµιου όρου x κι φθάνουµε στην λύση της µορφής : x ( i) H λύση x εξρτάτι µόνο πό τ πρόσηµ του κι του ικρίνουµε περιπτώσεις : Γενικά ότν, είνι οµόσηµοι. >, > ή <, < x x x τότε < το οποίο είνι δύντο, διότι το πάντ είνι. Άρ η εξίσωση είνι δύντη 1 x + x x 5 1 x x x 8 π.χ : Αδύντη π.χ : 8 8 Aδύντη Επιμέλει: Περδικούρης Θεμιστοκλής Ζωοδόχου Πηής 8 Σλμίν Μθημτικός Τηλ /165
3 ( ii) Γενικά ότν, είνι ετερόσηµοι >, < ή <, > τότε η εξίσωση έχει λύσεις τις εξής : x ή x π.χ : 6x 5 6x 5 x 9 x± 9 x 3 ή x Λύση εξίσωσης x x Μέθοδος Συµπλήρωσης Τετρώνου 1 6 x x 1 µε κι τ της εξίσωσης Πολλπλσιάζουµε δύο µέλη x x Mετφέρουµε το 6x 16x 96 στθερό όρο στο µέλος λλάζοντς µέλος, λλάζει κι πρόσηµο 3 T µέλος το ράφουµε σε µορφή : Α + ΑΒ ή Α - ΑΒ Προσθέτουµ ε κι στ µέλη το Β ( x) x x 8 8x 1 96 ( x) ( x ) 5 Προντοποιούµε το µέλος: ± + + Β 1 Άρ : 8 8x Aν το µέλος είνι 8x ή 8x ριθµός ρνητικός τότε 8x 1 1 ή 8x 1 1 η εξίσωση είνι Α ΥΝΑΤΗ 8x 1+ 1 ή 8x 1 1 ενώ ν είνι θετικός η εξίσωση έχει λύσεις : x ή x 8 8 x x ή x - Επιμέλει: Περδικούρης Θεμιστοκλής Ζωοδόχου Πηής 8 Σλμίν Μθημτικός Τηλ /165 3
4 Επίλυση Εξισώσεων ου θµού µε την οήθει τύπου Έστω η εξίσωση : µε. : Συντελεστής ευτεροάθµιου Ό ρου x, y, z,... : Συντελεστής Π ρωτοάθµιου Ό ρου x, y, z,... : Στθερός Συντελεστής x + x+ ( x x) (,...) Ότν µπροστά πό την µετλητή δεν υπάρχει ριθµός ( x x) σ συντελεστή λµάνουµε το 1 ι π.χ:, το -1 ι π.χ:, Ότν σε µι εξίσωση τότε σν συντελεστή λµάνουµε το ( x + 5 ή x + x+ 5) Πράδειµ : λείπει ένς όρος ( άθµιος,1 άθµιος, στθερός ) x + x+ x + x x + + x : 3 : 1 : : : + 6 : + 5 : :8 : + 5 : 5 : + 6 : + x x 5 3 7!!!!T - 7 του λλάζουµε µέλος, άρ κι δηλδή πρόσηµο + 7 ώστε ν έχουµε την µορφή x + x + : 3 : + 5 : + 7 Επιμέλει: Περδικούρης Θεμιστοκλής Ζωοδόχου Πηής 8 Σλμίν Μθημτικός Τηλ /165
5 ικρίνουσ Έστω η εξίσωση τον ριθµό : + + ορίζουµε σν ΙΑΚΡΙΝΟΥΣΑ x x Ανάλο µε το πρόσηµο της ικρίνουσς συµπερίνουµε τ πρκάτω : Πρόσηµο ικρίνουσς ( - ) ( π χ ) Πλήθος Ριζών Λύσεις + δύο πρµτικές x1 > ( π. χ : 9) x1, λύσεις ( άνισες) x κµί λύση <. : ( εξίσωσηείνι δύντη) µί λύση( διπλή) x ετερόσηµων ρνη τικός πρόσηµο ( ) οµόσηµων θετικός Γινόµενο +,,εκτός του µηδενός ριθµός Γινόµενο +, + ή,,εκτός του µηδενός ριθµός πρόσηµο + ετερόσηµοι + + Αν οι συντελεστές, είνι τότε η εξίσωση x x έχει δύο άνισες λύσεις, δηλδή έχει ικρίνουσ: >. Λ > όω ότι : κι Αν κι, οµόσηµοι, τότε δεν έχουµε λύσεις, ιτί η εξίσωση x x Λόω ότι : κι + + είνι δύντη, πό το οποίο κτλίνουµε ότι <. < ΠΡΟΣΟΧΗ!!!!! Την ικρίνουσ την χρησιµοποιούµε µόνο ότν Επιμέλει: Περδικούρης Θεμιστοκλής Ζωοδόχου Πηής 8 Σλμίν Μθημτικός Τηλ /165 5
6 Προντοποίηση Τριωνύµου x + x + µε Πρόσηµο Πλήθος Ριζών Μορφή Προντοποίησης ( x ) ( x ) > ρίζες άνισες : ρ, ρ ρ ρ 1 1 < κµί ρίζ 1 ρίζ διπλή : ρ ρ ρ χ ρ ( x ) ( x ) ( ) Πράδειµ x + x Ν λυθεί η εξίσωση : ήµ : Φέρνουµε την εξίσωση στην µορφή : + + x + x + ( µέλος πρόσηµο) 1 16 λλάζουµε,λλάζουµε κι x + x 1 1 ήµ : Ορίζουµε όπου :, + 1, 1 x x 3 ήµ : Βρίσκουµε την ικρίνουσ : > Άρ θ έχει άνισες λύσεις. ήµ : x 1, x1 ± ( ) x ( ) 5 ήµ : Ν προντοποιηθέι η εξίσωση. Επιμέλει: Περδικούρης Θεμιστοκλής Ζωοδόχου Πηής 8 Σλμίν Μθημτικός Τηλ /165 6
7 ΑΘΡΟΙΣΜΑ ΚΑΙ ΓΙΝΟΜΕΝΟ ΡΙΖΩΝ ΤΥΠΟΙ VIETA 'Εστω η εξίσωση x + x +, µε κι έστω x, x οι ρίζες της. Αν S x + x κι P x x τότε : S x1 + x + ( ) ( + ) + P x1 x ( ) ( + ) ( ) ( ) Άρ S κι P Τύποι Vieta Επίσης ισχύει ότι : x x 1 Λόω των τύπων του Vieta η εξίσωση x + x + ράφετι ισοδύνµ : x x + + x + x + x Sx + P Ισχύουν οι εξής σχέσεις : κι 3 3 x + x x + x xx x + x x + x xx x + x Επιμέλει: Περδικούρης Θεμιστοκλής Ζωοδόχου Πηής 8 Σλμίν Μθημτικός Τηλ /165 7
Η ΕΞΙΣΩΣΗ :α x+β=0. Μοναδική λύση. α=0 και β 0 Αδύνατη. α=0 και β=0 Αληθεύει για κάθε τιμή του x Ταυτότητα
Η ΕΞΙΣΩΣΗ :α x+= ου Η εξίσωση αx+ = είναι μια εξίσωση 1 αθμού. Όπου x ο άγνωστος της εξίσωσής μας, όπου α ο συντελεστής του πρωτοάθμιου όρου, όπου ο σταθερός όρος. Για να έχει νόημα η εξίσωση θα πρέπει:
Διαβάστε περισσότεραΓ.3. Εξισώσεις 2ου βαθμού. Απαραίτητες γνώσεις Θεωρίας 3.3. Θεωρία 5. θεωρία 6.
Γ.3 3.3 Εξισώσεις ου θμού Απρίτητες νώσεις Θεωρίς Θεωρί 5. Τι ονομάζουμε εξίσωση δευτέρου θμού (ή δευτεροάθμι εξίσωση) μ ένν άνωστο κι τι δικρινουσά της; Ονομάζουμε εξίσωση δευτέρου θμού μ ένν άνωστο κάθε
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΕΠΊΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΜΕ ΤΗ ΧΡΗΣΗ ΠΑΡΑΓΟΝΤΟΠΟΙΗΣΗΣ
ΜΑΘΗΜΑ 13 Κεφάλιο o : Αλγερικές Πρστάσεις Υποενότητ.: Εξισώσεις ου Βθµού ( γ, ). Θεµτικές Ενότητες: 1. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει της πργοντοποίησης.. Επίλυση εξισώσεων ου θµού µε τη οήθει τύπου.
Διαβάστε περισσότερα3.3 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ
. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ. Η γενική µορφή της β βάθµις εξίσωσης + β + γ 0, 0. Οι λύσεις της β βάθµις εξίσωσης β 4γ Η εξίσωση + β + γ 0, 0 Ότν > 0 Έχει δύο ρίζες άνισες, τις, Ότν 0 Έχει µί διπλή ρίζ,
Διαβάστε περισσότεραΕπαναληπτικές Έννοιες
Επιμέλει: Ροκίδης Μιχάλης Μθημτικός M.Sc ) ΣΥΝΟΛΑ 0,,,, Φυσικοί,,,0,,, Ακέριοι,, 0 Ρητοί \ Άρρητοι Πργμτικοί ) ΔΥΝΑΜΕΙΣ Ορισμοί Επνληπτικές Έννοιες, ν 0. ν, ν, ν, ν πράγοντες.., 0 Ιδιότητες Κοινής Βάσης
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f( x ), ( ) σύνολο Α ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ g x είνι δύο πρστάσεις µις µετλητής x πού πίρνει τιµές στο Ανίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε σχέση της µορφής f( x) g( x) f( x) g( x)
Διαβάστε περισσότερα2.1 Πολυώνυμα. 1 η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βασικές έννοιες του πολυωνύμου. 1. Ποιες από τις παρακάτω παραστάσεις είναι πολυώνυμα του x i.
. Πολυώνυμ η Μορφή Ασκήσεων: Ασκήσεις στις βσικές έννοιες του πολυωνύμου. Ποιες πό τις πρκάτω πρστάσεις είνι πολυώνυμ του i. ii. iii. iv. v. vi. 5 Σύμφων με τον ορισμό πολυώνυμ του είνι οι πρστάσεις i,
Διαβάστε περισσότερα4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ
1 4. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ ΘΕΩΡΙΑ 1. Η γενική µορφή του τριωνύµου µε µεταβλητή x R i) α x + βx + γ, α 0 ii) β α x + α 4α, α 0. Ειδικές µορφές του τριωνύµου Όταν > 0 τότε α x + βx + γ α(x x 1 )(x x ), όπου
Διαβάστε περισσότερα1. Κάθε πολυώνυµο που µετά από αναγωγή οµοίων όρων και διάταξη κατά τις φθίνουσες
Εξίσωση ο υ βθµού Σελ. 8 Ορισµοί - πρτηρήσεις. Κάθε πολυώνυµο που µετά πό νγωγή οµοίων όρων κι διάτξη κτά τις φθίνουσες δυνάµεις του έχει πάρει την µορφή βγ όπου,β,γ πργµτικοί ριθµοί κι λέγετι τριώνυµο
Διαβάστε περισσότεραΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
Μθηµτικά Γ Γυµνσίου ** Άρης Νικολΐδης ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ. ίνετι η εξίσση Πόσες λύσεις έχει η εξίσση υτή; Σε ποι σηµεί η ευθεί, τέµνει τους άξονες; Ν κάνετε τη ρφική πράστση της προηούµενης ευθείς..
Διαβάστε περισσότερα1. Δίνεται το τριώνυμο f x 2x 2 2 λ
0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου 0 Επνληπτικές Ασκήσεις Άλγεβρς Α Λυκείου Δίνετι το τριώνυμο λ 5 λ 5, όπου λ Ν ποδείξετε ότι η δικρίνουσ του τριωνύμου ισούτι με Δ 4λ 5λ 3 β Ν βρείτε γι ποιες τιμές
Διαβάστε περισσότεραf (x) = g(x) p(x) = q(x). ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΕ ΕΝΑΝ ΑΓΝΩΣΤΟ Έστω f (x), g(x) είνι δύο πρστάσεις µις µετβλητής x πού πίρνει τιµές στο σύνολο Α. Εξίσωση µε ένν άγνωστο λέγετι κάθε ισότητ της µορφής f (x) =
Διαβάστε περισσότεραΛύσεις 1 ης Εργασίας 1. Γράψτε και σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγραµµα καθένα από τα επόµενα
Λύσεις ης Εργσίς. Γράψτε κι σχεδιάστε ποιοτικά στο ίδιο διάγρµµ κθέν πό τ επόµεν v δινύσµτ στη µορφή x y : () Το διάνυσµ που συνδέει την ρχή του συστήµτος συντετγµένων µε το σηµείο Ρ(,-). () Το διάνυσµ
Διαβάστε περισσότεραΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ 1. ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ. α,α,,α, ή συνοπτικά με. * n. α α λ, για κάθε. n και υπάρχει. (αντ. αn αn 1
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΒΑΣΙΚΟΙ ΟΡΙΣΜΟΙ Ακολουθί στοιχείων ενός συνόλου Ε ονομάζετι κάθε πεικόνιση : Ε Στην πεικόνιση υτή η εικόν του θ σηιώνετι κι θ ονομάζετι γενικός ή -οστός όρος της κολουθίς Η κολουθί υτή θ σηιώνετι
Διαβάστε περισσότεραΕ ι σ α γ ω γ ι κ ά Μ α θ η µ α τ ι κ ά. γ ι α Γ Ε Π Α. Λ.
Ε ι σ α ω ι κ ά Μ α θ η µ α τ ι κ ά ι α Γ Ε Π Α. Λ. ΑΞΙΟΣΗΜΕΙΩΤΕΣ ΤΑΥΤΟΤΗΤΕΣ a b a ab b. Τετράωνο αθροίσµατος. Τετράωνο διαφοράς. ιαφορά τετραώνων a b a ab b a b a b a b ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Α' ΒΑΘΜΟΥ Εξίσωση α αθµού
Διαβάστε περισσότεραΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ
1 ΘΕΩΡΗΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ 1. ) Πότε µι συνάρτηση µε Πεδίο ορισµού το Α ονοµάζετι περιοδική; β) Ποιο είνι το πεδίο ορισµού κι η περίοδος των συνρτήσεων ηµx, συνx, εφx κι σφx;. Περιοδική ονοµάζετι
Διαβάστε περισσότεραΘεωρία 1 Αποδείξτε ότι η διανυσματική ακτίνα του αθροίσματος των μιγαδικών α+βi και γ+δi είναι το άθροισμα των διανυσματικών ακτίνων τους.
Θεωρί - Αποδείξεις Θεωρί Αποδείξτε ότι η δινσμτική κτίν το θροίσμτος των μιδικών κι δ είνι το άθροισμ των δινσμτικών κτίνων τος. Αν Μ κι Μ δ είνι οι εικόνες των κι δ ντιστοίχως στο μιδικό επίπεδο τότε
Διαβάστε περισσότερα2.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ
1.1 ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ & ΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ 1. Ιδιότητες των πράξεων ( β ι γ δ) + γ β + δ ( β ι γ δ) γ βδ β + γ β + γ Αν γ 0, τότε : β 0 0 ή β 0 β γ βγ. Ιδιότητες των δυνάµεων λ +λ β ( β ( ) λ λ ) λ β λ
Διαβάστε περισσότεραΕ π ι μ έ λ ε ι α Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ
Ε π ι μ έ λ ε ι Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ Κεφάλιο ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ Ο Ρ Ι Σ Μ Ο Σ Τι ονομάζετι ορισμένο ολοκλήρωμ μις συνεχούς συνάρτησης f: [, ] πό το έως κι το κι πώς συμολίζετι ; Αν F είνι πράγουσ
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 2ου ΒΑΘΜΟΥ
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού; o Εξίσωση ου βαθμού με ένα άγνωστο ονομάζουμε κάθε εξίσωση που γράφεται ή μπορεί να γραφεί στη μορφή με α π.χ 5 6 Τι ονομάζουμε εξίσωση ου βαθμού ελλιπούς
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΗΝ ΑΛΓΕΒΡΑ ΤΗΣ Α ΛΥΚΕΙΟΥ 1. Ν χρκτηρίσετε τις πρκάτω προτάσεις με Σωστό ( Σ ) ή Λάθος ( Λ ) i. ( - ) =- ii. ( 1- ) =1- iii. Αν χ < 1 τότε χ -χ + 1 = χ - 1 iv. Ισχύει: χ = Û χ = v.
Διαβάστε περισσότεραΠραγματικοί αριθμοί Οι πράξεις & οι ιδιότητες τους
0 Πργμτικοί ριθμοί Οι πράξεις & οι ιιότητες τους Βρέντζου Τίν Φυσικός Μετπτυχικός τίτλος ΜEd: «Σπουές στην εκπίευση» 0 1 Πργμτικοί ριθμοί : Αποτελούντι πό τους ρητούς ριθμούς κι τους άρρητους ριθμούς.
Διαβάστε περισσότερααριθμών Ιδιότητες της διάταξης
Ανισότητες Διάτξη πργμτικών ριθμών Ιδιότητες της διάτξης Διάτξη (σύγκριση) δύο ριθμών. Πώς μπορούμε ν συγκρίνουμε δύο ριθμούς κι ; Απάντηση Ο ριθμός είνι μεγλύτερος του (συμολικά > ), ότν η διφορά είνι
Διαβάστε περισσότερα( ) = 2. f x α(x x )(x x ) f x α(x ρ) x1,2. 1, x
ΜΟΡΦΕΣ ΤΡΙΩΝΥΜΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Β ΒΑΘΜΟΥ Τριώνυµο λέγεται ένα πολυώνυµο της µορφής : f x = αx + βx+ γ, όπου α, β, γ R µε α. ( ) ιακρίνουσα και ρίζες του τριωνύµου f( x) = αx + βx+ γ λέγεται η διακρίνουσα και
Διαβάστε περισσότεραΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ. Αγγελική Βλάχου Αργύρης Φελλούρης ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΤΡΙΩΝΥΜΟ
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΛΓΕΒΡΑΣ Αγγελική Βλάχου Αργύρης Φελλούρης ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΤΡΙΩΝΥΜΟ 1. Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΣΤΟ ΣΥΝΟΛΟ 1.1. Κάθε πρότση της μορφής f(x) = φ(x), όπου f κι φ είνι λγερικές πρστάσεις της μετλητής
Διαβάστε περισσότερα3.4 Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ. Ορισμός Υπερβολής
6 3. Η ΥΠΕΡΒΟΛΗ Ορισμός Υπερολής Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου. Ονομάζετι υπερολή με εστίες τ σημεί E κι Ε ο εωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων
Διαβάστε περισσότεραΑλγεβρα Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. α Rκαι. Rτότε
Αλγεβρ Β Λυκείου Πετσιάς Φ.- Κάτσιος. ΕΚΘΕΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΤΥΠΟΙ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΥΝΑΜΕΩΝ I. ν... ν πράγοντες, ν, ν ν> ν Rκι ν Ν II. ν, ν µ, ν Ν µ ν ν µ, >, µ Ζ, µ ν ν Ν κι εάν Ορισµός : Αν > κι
Διαβάστε περισσότερα1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού. Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : = 0 1. Μεταφέρουμε το σταθερό όρο στο δεύτερο μέλος δηλ.
1 Εξισώσεις Β Βαθμού Εξίσωση 2 ου βαθμού μ έναν άγνωστο, είναι η εξίσωση με μορφή : αx²+βx+γ=0 με α, β, γ R και α 0. 1) Μέθοδος επίλυσης οποιασδήποτε εξίσωσης Β Βαθμού Έστω η δευτεροβάθμια εξίσωση : =
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ. Ενότητα 6 ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ
ΜΙΓΑ ΙΚΟΙ Ενότητ 6 ΑΡΙΘΜΟΙ ΘΕΩΡΙΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΩΝ Ορισµό ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ Έστω f µί συνάρτηση ορισµένη σε έν διάστηµ. Αρχιή συνάρτηση ή πράουσ f στο ονοµάζετι άθε συνάρτηση F που είνι πρωίσιµη στο ι ισχύει
Διαβάστε περισσότεραjust ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον
just f ( u) du it Πτρόκλου 66 Ίλιον 637345 6944 www.group group-aei aei.gr Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βρδούκς Ν χρκτηρίσετε τ πρκάτω, σηµειώνοντς Σ (σωστό) ή Λ (λάθος). Αν z, z C, τοτε zz = zz. Η εξίσωση
Διαβάστε περισσότεραα έχει μοναδική λύση την x α
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 ο ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Να εξετάσετε ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές και ποιες είναι λάθος.. H εξίσωση ( α)( β) ( β)( γ) έχει τις ίδιες λύσεις με την εξίσωση α γ για οποιεσδήποτε τιμές των
Διαβάστε περισσότερα1 και β = 0,001 να υπολογίσετε την παράσταση: 2 3(2α 3β) 4[ 3α + 2(α + 2β 1)]
Γι ποιες τιμές του ορίζοντι οι πρστάσεις ; δ 9 7 ε Ν υπολογιστούν οι πρκάτω πρστάσεις : Α = 7 Ν γίνουν οι πράξεις: Β = 7 γ στ [ ( ) ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] [ ( ) ] Αν = 9 0 8 κι = 0,00 ν υπολογίσετε την
Διαβάστε περισσότεραΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις Α Ψ του σχολικού βιβλίου [1]
ΛΓΕΒΡ ΛΥΚΕΙΟΥ Οι ερωτήσεις του σχολικού βιβλίου [] Εισγωγικό Κεφάλιο. 9 3 Γι = - 3, η υπόθεση είνι ληθής, ενώ το συμπέρσμ ψευδές Το σύνολο λήθεις της υπόθεσης είνι το = 3, 3, ενώ του συμπεράσμτος είνι
Διαβάστε περισσότεραΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ
ΚΩΝΙΚΕΣ ΤΟΜΕΣ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΜΕΘΟΔΟΛΟΓΙΑ ΑΣΚΗΣΕΩΝ η ΜΟΡΦΗ ΑΣΚΗΣΕΩΝ: Μς ζητούν ν βρούμε την εξίσωση ενός κύκλου Ν βρεθεί η εξίσωση του κύκλου που έχει κέντρο το σημείο: Κ (3, 3) κι τέμνει πό την ευθεί
Διαβάστε περισσότεραΕ Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η. 1. Τα σύνολα των αριθµών: 2. Η Απόλυτη τιµή ενός πραγµατικού αριθµού α είναι ίση µε την µε την απόστασή του από το
Ε Π Α Ν Α Λ Η Ψ Η Σελ.. Τ σύνολ των ριθµών:. Ν: οι Φυσικοί ριθµοί Ν = {0,,,, 4,.. } β. Ζ: οι Ακέριοι ριθµοί Ζ = {. -, -, -, 0 +, +, +,. } γ. Q: οι Ρητοί ριθµοί Q = / Ζ κι β Ζ µε β 0 β δ. Q : οι Άρρητοι
Διαβάστε περισσότεραΕΦΑΡΜΟΓΕΣ. είναι ακέραιος.
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ ΕΥΚΛΕΙΔΕΙΑ ΔΙΑΙΡΕΣΗ ΕΦΑΡΜΟΓΕΣ Αν ο είνι κέριος κι ο ( ) είνι κέριος ΑΠΟΔΕΙΞΗ Επειδή τ δυντά υπόλοιπ του με τον είνι 0,,, ο κέριος έχει μί πό τις μορφές κ ή κ, κ Z Αν κ, κ Z ) κ (κ ) κ(9κ
Διαβάστε περισσότεραΕρωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα, τότε λάθος είναι
Ερωτήσεις πολλπλής επιλογής 1. * Αν η γρφική πράστση µις συνάρτησης f είνι υτή που φίνετι στο σχήµ, τότε λάθος είνι Α. lim f () = 4 B. lim f () = 1 1 1 Γ. lim f () =. f ( 1) = 1 4 0 1 1 1 E. f (1) = 4.
Διαβάστε περισσότερα4.2 ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 2 ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 112 114
1. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 11 11 A Ομάδας 1. Να μετατρέψετε σε γινόμενα παραγόντων τα τριώνυμα: x 3x + x 3x Δ ( 3). 1. 9 8 1 > 0 Ρίζες: x Άρα ( 3) 1.1 3 1 3 1 ή 31 x 3x +
Διαβάστε περισσότεραΑσκήσεις σχ. βιβλίου σελίδας
1 ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ( ΟΜΑ ΑΣ) Ασκήσεις σχ. ιλίου σελίδς 19 19 1. Ν λύσετε την η εξίσωση ηµ ηµσυν συν ηµ ηµσυν συν ηµ ηµσυν συν (ηµ + συν ) ηµ ηµσυν συν + ηµ + συν 0 (1 + )ηµ ηµσυν + ( 1)συν 0 Αν συν
Διαβάστε περισσότεραΠολλαπλασιασμός-Διαίρεση ρητών παραστάσεων
ΜΕΡΟΣ Α.0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ. 0 ΠΡΑΞΕΙΣ ΡΗΤΩΝ ΠΑΡΑΣΤΑΣΕΩΝ Πολλπλσισμός-Διίρεση ρητών πρστάσεν Πολλπλσισμός Γι ν πολλπλσιάσουμε ένν κέριο ριθμό με έν κλάσμ ή ι ν πολλπλσιάσουμε δύο κλάσμτ, χρησιμοποιούμε
Διαβάστε περισσότεραΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ 2013
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ε_.ΜλΓΑ() ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: ΘΕΜΑ Α Α.. Α.. Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου
Διαβάστε περισσότερατριώνυμο Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι:
κεφάλαιο 4 Α τριώνυμο επίλυση της εξίσωσης δευτέρου βαθμού Η εξίσωση δευτέρου βαθμού στην πλήρη της μορφή ονομάζεται τριώνυμο, γιατί αποτελείται από τρία μονώνυμα. Η γενική μορφή της είναι: αx + βx + γ
Διαβάστε περισσότερα1. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 2. Nα λυθούν οι ανισώσεις. 3. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: 4. Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων:
ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 ο ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΓΙΑ ΛΥΣΗ. Nα λυθούν οι ανισώσεις α) 4 β) 4. Nα λυθούν οι ανισώσεις ( )( ) α) + > - (+) β). Nα βρεθούν οι κοινές λύσεις των ανισώσεων: ( ) ( ) 8 4 8 και
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ Ι. Σε κθεμιά πό τις πρκάτω περιπτώσεις ν κυκλώσετε το γράμμ Α, ν ο ισχυρισμός είνι ληθής κι το γράμμ Ψ, ν ο ισχυρισμός είνι ψευδής δικιολογώντς συγχρόνως την
Διαβάστε περισσότερα) = 0. Λύσεις/Ρίζες της εξίσωσης. Ακριβώς δύο άνισες πραγματικές λύσεις, τις: Η εξίσωση δεν έχει πραγματικές λύσεις
4. Εξισώσεις 2ου βαθμού αx 2 + βx + γ = 0, α 0 α, β, γ παράμετροι και x η μεταβλητή Αν ρ ρίζα/λύση της εξίσωσης, τότε αρ 2 + βρ + γ = 0 Αν ρ 1, ρ 2 ρίζες/λύσεις της εξίσωσης, τότε το τριώνυμο γράφεται
Διαβάστε περισσότεραΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ
ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ Γ ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ. Ν κάνετε ένν άξον Ο κι ν τοποθετήσετε πάνω σ υτόν τους ριθμούς: 0,, -, π, -π,,, Ν υπολογίσετε τις πόλυτες τιμές των πρπάνω ριθμών γ Ν υπολογίσετε
Διαβάστε περισσότεραμε x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής,
Μθημτικά κτεύθυνσης Γ Λυκείου ο Διγώνισμ διάρκεις ωρών στις Συνρτήσεις κι τ Όρι Οκτώβριος Θέμ Α Α. Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο
Διαβάστε περισσότεραΤάξη Β Θετική και Τεχνολογική Κατεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίας και απαντήσεις από το σχολικό βιβλίο Καθηγητής: Ν.Σ. Μαυρογιάννης
Τάξη Β Θετική κι Τεχνολογική Κτεύθυνση Ερωτήσεις Θεωρίς κι πντήσεις πό το σχολικό ιλίο Κθηγητής: ΝΣ Μυρογιάννης Πότε δύο µη µηδενικά δινύσµτ AB κι Γ λέγοντι πράλληλ ή συγγρµµικά; Απάντηση: Ότν έχουν τον
Διαβάστε περισσότερα12. ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ Α ΒΑΘΜΟΥ. είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής x πού παίρνει τιμές στο
ΓΕΝΙΚΑ ΠΕΡΙ ΑΝΙΣΩΣΕΩΝ Έστω f σύνολο Α, g Α ΒΑΘΜΟΥ είναι δύο παραστάσεις μιας μεταβλητής πού παίρνει τιμές στο Ανίσωση με έναν άγνωστο λέγεται κάθε σχέση της μορφής f f g g ή, η οποία αληθεύει για ορισμένες
Διαβάστε περισσότερα, οπότε α γ. y x. y y άξονες. τα σημεία της υπερβολής C βρίσκονται έξω από την ταινία των ευθειών x α
YΠΡΒΛΗ ρισμός: Υπερολή με εστίες κι λέγετι ο γεωμ. τόπος των σημείων του επιπέδου των οποίων η πόλυτη τιμή της διφοράς των ποστάσεων πό τ κι είνι στθερή κι μικρότερη του Έ. Τη στθερή υτή διφορά τη συμολίζουμε
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνία: Κυριακή 7 Απριλίου 2013 ιάρκεια Εξέτασης: 2 ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΤΑΞΗ: ΜΑΘΗΜΑ: Β ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ / ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ Ηµεροµηνί: Κυρική 7 Απριλίου ιάρκει Εξέτσης: ώρες ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α.. Βλέπε πόδειξη () σελ.75 σχολικού βιβλίου Α.. ) Βλέπε τον ορισµό στη σελίδ
Διαβάστε περισσότερα1) Ποια είναι η αρχική ή παράγουσα; Τι σχέση έχει µε την f. 3) Υπάρχει µια παράγουσα για κάθε συνάρτηση ή περισσότερες;
ΛΟΓΙΣΜΟΣ ) Ποι είνι η ρχική ή πράγουσ; Τι σχέση έχει µε την f. Έστω f µι συνάρτηση ορισµένη σ έν διάστηµ. Αρχική ή πράγουσ της f στο θ ονοµάζετι κάθε συνάρτηση F που είνι πργωγίσιµη στο κι ισχύει F ()
Διαβάστε περισσότεραβ ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ Σ Λ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ - Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη σωστό ή λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση
Διαβάστε περισσότεραΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ [Κεφ..7 Μέρος Β του σχολικού ιλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. Ν ρεθεί το εμδόν του χωρίου Ω που περικλείετι πό τη γρφική πράστση
Διαβάστε περισσότεραΟΡΙΖΟΥΣΕΣ. άθροισµα του δείκτη (θέση) του στοιχείου είναι άρτιο ή περιττό δηλαδή ( 1) = ( + ), στο στοιχείο α 32 είναι ( 1)
ΟΡΙΖΟΥΣΕΣ ΈΝΝΟΙ ΤΗΣ ΟΡΙΖΟΥΣΣ Γι ένν ν ν τετρωνικό πίνκ, έµε ορίζουσ του πίνκ κι ράφουµε deta A, τον πρµτικό ριθµό που προκύπτει πό µί συκεκριµένη διδικσί υποοισµού ν ο είνι πίνκς η ορίζουσά του υποοίζετι
Διαβάστε περισσότεραΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ : Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F( = (d [Kεφ:.5 H Συνάρτηση F( = (d Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β Πράδειγμ. lim e d. Ν υπολογίσετε το όριο: ( Έχουμε ( e d
Διαβάστε περισσότερα1 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ η ΕΚΑ Α. ίνετι η συνάρτηση f () ( ) κι το σηµείο Α(, 0) µε > 0 Ν µελετηθεί η f ως προς την µονοτονί, τ κρόττ, την κυρτότητ, τ σηµεί κµπής κι τις σύµπτωτες. Γι τις διάφορες τιµές
Διαβάστε περισσότερα1 ο ΓΕΛ ΚΑΡΔΙΤΣΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 2013 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α
1 ο ΓΕΛ ΚΑΡΔΙΤΣΑΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΜΑΙΟΥ-ΙΟΥΝΙΟΥ 013 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΑΛΓΕΒΡΑ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΘΕΜΑ Α Α1. Ν ποδείξετε ότι ηµ + συν = 1. Α. Ν σημειώσετε το σωστό Σ ή το λάθος Λ
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ 1 Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Β ΓΥΜΝΑΣΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΑΠΟ ΤΟ Ο ΚΕΦΑΛΑΙΟ Μονώ νυμ - Πολυώ νυμ Λέμε λγερική πράστση κάθε πράστση που περιέχει μετλητές. π.χ., +, 5, ( + ), +. Λέμε ριθμητική τιμή ( ή πλά τιμή )
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)
ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α) Ν ποδείξετε ότι ν µι συνάρτηση f
Διαβάστε περισσότερα1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς:
1. Ν σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους πρκάτω ισχυρισμούς: 1. Αν γι την συνεχή στο συνάρτηση f ισχύουν: f(0) f(2) 0 κι f(0) f(5) 0 τότε η εξίσωση ( ) 0 f έχει τουλάχιστον δύο ρίζες. 2. Αν ισχύει
Διαβάστε περισσότεραΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ! ΤΑΞΗΣ
78 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 1. Τι ονοµάζετε δύνµη ν ; Ονοµάζετι δύνµη ν µε άση τον ριθµό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινό- µενο πό ν πράγοντες ίσους µε. Ορίζουµε κόµ ότι: 1 0 1 µε 0 - ν. Ποιες
Διαβάστε περισσότερα3. Να δειχτει οτι α α. Ποτε ισχυει το ισον; 2. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ
ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 1 Α ν ι σ ω σ η 1 ο υ β α θ μ ο υ 3. Να δειχτει οτι α + 110 0α. Ποτε ισχυει το ισον; Μορφη: αx + β > 0 με α,β. Aν α, β θετικοι, να συγκρινεται τους αριθμους Α = βα + β, Β = α β + αβ Αν α > 0
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ
ΘΕΜΑΤΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Δίνεται η συνάρτηση f ( x) x ( 1) x 3 με 0 Γ1. Να λυθεί η εξίσωση f ( x) 0 για λ = -1 Γ. Για λ=3, να λυθεί η ανίσωση f ( x) 0 Γ3. Να αποδείξετε ότι στην
Διαβάστε περισσότεραΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ - ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΚΕΦΑΛΑΙΟ Ο : ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ Ιδιότητες πρόσθεσης δινυσµάτων () + = + () ( + ) + γ = + ( + γ) (3) + = (4) + ( ) =. Αν Ο είνι έν σηµείο νφοράς, τότε γι κάθε διάνυσµ ΑΒ έχουµε: AB = OB OA
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
0 Υπερολή Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Oρισµός Υπερολή ονοµάζετι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου, των οποίων η διφορά των ποστάσεων πό δύο στθερά σηµεί Ε κι Ε είνι στθερή κι µικρότερη πο
Διαβάστε περισσότεραΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ
ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ Λ. ΑΙΔΗΨΟΥ ΣΧΟΛ. ΕΤΟΣ 01-013 ΓΡΑΠΤΕΣ ΠΡΟΑΓΩΓΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ ΠΕΡΙΟΔΟΥ ΜΑΪΟΥ ΙΟΥΝΙΟΥ ΑΛΓΕΒΡΑ Α ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Θέμα 1 ο Α. Έστω a ένας πραγματικός αριθμός. Να δώσετε τον ορισμό της απόλυτης
Διαβάστε περισσότεραβ=0 Η εξίσωση (λ-2)χ=2λ-4 για λ=2 είναι αδύνατη. Σ Λ Αν η εξίσωση αχ+β=0 έχει δύο διαφορετικές λύσεις τότε είναι αόριστη. Σ Λ
3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ου ΒΑΘΜΟΥ 3. ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ α 0 Η εξίσωση έχει μία μοναδική λύση την x= - αx+β=0 α=0 β 0 β=0 Η εξίσωση είναι αδύνατη, δηλαδή δεν έχει λύση. Η εξίσωση είναι αόριστη ή ταυτότητα, δηλαδή επαληθεύεται
Διαβάστε περισσότερα( 0) = lim. g x - 1 -
ν ν ΘΕΜΑ Η πολυωνυµική συνάρτηση ν + ν + + + έχει όριο στο R κι ισχύει lim ν ν Έχουµε lim + + + lim ν ν ν ν lim ν + lim ν + ν ν ν lim + ν lim + + lim + lim ν ν ν + ν + + Εποµένως, lim ΘΕΜΑ Η ρητή συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
Κεφάλιο o : Πργµτικοί Αριθµοί ΜΑΘΗΜΑ 6 Υποενότητ.1: Τετργωνική Ρίζ Θετικού Αριθµού Θεµτικές Ενότητες: 1. Τετργωνική ρίζ θετικού ριθµού.. Ιδιότητες της τετργωνικής ρίζς. Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
Διαβάστε περισσότεραΒρέντζου Τίνα Φυσικός Μεταπτυχιακός τίτλος ΜEd: «Σπουδές στην εκπαίδευση» Email : stvrentzou@gmail.com www.ma8eno.gr
1 Πρόσημο τριωνύμου - λύση ανίσωσης ου βαθμού Έστω το τριώνυμο f(x) = x - 4x - 1. Θέλουμε να εξετάσουμε για ποιες τιμές της μεταβλητής x το τριώνυμο f(x) γίνεται θετικό, για ποιες τιμές του x γίνεται αρνητικό,
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)
θ) (5 + ) + 5 = (...).(...) ι) + (5 ) 5 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 5 0 (Μονάδες ) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7 = (0 + ) (Μονάδες,5) Θέμ ο Ν πργοντοποιήσετε τις πρστάσεις
Διαβάστε περισσότερα2.1 ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ
ΜΕΡΟΣ Α. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ 7. ΤΕΤΡΑΓΩΝΙΚΗ ΡΙΖΑ ΘΕΤΙΚΟΥ ΑΡΙΘΜΟΥ ΟΡΙΣΜΟΣ Ονομάζουμε τετργωνική ρίζ ενός θετικού ριθμού τον θετικό ριθμό (ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ: ) που ότν υψωθεί στο τετράγωνο μς δίνει
Διαβάστε περισσότεραπ.χ. 2, 3, π=3,14... Αναλογία λέγεται κάθε ισότητα κλασµάτων και έχουµε τις παρακάτω ιδιότητες : α = 4) β = δ και δ γ β
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ ΒΑΣΙΚΩΝ ΕΝΝΟΙΩΝ ) ΣΥΝΟΛΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τ σύολ τω ριθµώ είι τ εξής : ) Οι φυσικοί ριθµοί : Ν {0,,,,... } ) Οι κέριοι ριθµοί : Ζ {...,,,, 0,,,,... } ) Οι ρητοί ριθµοί : Q ρ / κ ρ, κ Z, Z 0 4) Οι άρρητοι
Διαβάστε περισσότερα5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ
5.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΠΡΩΤΟΥ ΒΑΘΜΟΥ Για να επιλύσουμε μία παραμετρική εξίσωση ακολουθούμε τα παρακάτω βήματα: i) Βγάζω παρενθέσεις ii) Κάνω απαλοιφή παρανομαστών iii) Χωρίζω γνωστούς από αγνώστους (άγνωστος είναι
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ)
ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ - ΘΕΩΡΙΑ & ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Β ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ο ΙΑΝΥΣΜΑΤΑ ( ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΜΕΘΟ ΟΛΟΓΙΑΣ) ε (ρχή) φορές (πέρς) 1. Τι ορίζετι ως διάνυσµ ; Το διάνυσµ ορίζετι ως έν προσντολισµένο
Διαβάστε περισσότεραίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη και δεύτερη παράγωγο και g(x) f(α) g(α) f(x) g (x) για κάθε x { α}
1997 ΘΕΜΑΤΑ 1 ίνοντι οι πργµτικές συνρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη κι δεύτερη πράγωγο κι πργµτικός ριθµός Θέτουµε Α f() g(), που γι κάθε Έστω κι Β f () Α g () Αν φ g() είνι πργµτική συνάρτηση
Διαβάστε περισσότεραΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - 2 ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. 9). Να λυθούν οι εξισώσεις :
ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ - ου ΒΑΘΜΟΥ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ). Να λυθούν οι εξισώσεις: α). + ( 3 ) 6 = 0 β). 4 ( 3 ) + 3 = 0 γ). + ( ) = 0 δ). 5 + 5 = 0 ε). 4( 3) + 5 + 6 6 = 0 στ).( + 3 ) ( 3 + ) ( 3 ) = 0 η). + (3 ) + (4 3 ) = 0
Διαβάστε περισσότεραΑ. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ
9 Έλλειψη Α. ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΕΣ ΓΝΩΣΕΙΣ ΘΕΩΡΙΑΣ Ορισµός Έλλειψη ονοµάζετι ο γεωµετρικός τόπος των σηµείων του επιπέδου, των οποίων το άθροισµ των ποστάσεων πό δύο στθερά σηµεί Ε κι Ε είνι στθερό κι µεγλύτερο
Διαβάστε περισσότεραΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ
Φ4 ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΛΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΥ ΚΕΝΤΡΙΚ 3ο ΓΕΝΙΚ ΛΥΚΕΙ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ ΘΕΩΡΙΑ ΣΩΣΤ-ΛΑΘΣ ΠΛΛΑΠΛΗΣ ΕΠΙΛΓΗΣ ΣΥΜΠΛΗΡΩΣΗΣ ΚΕΝΥ ΠΑΡΑΤΗΡΗΣΕΙΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α &
Διαβάστε περισσότερα4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης
1 4 η δεκάδα θεµάτων επανάληψης 31. Έστω Α, Β δύο ενδεχόµενα του ίδιου δειγµατικού χώρου. Αν Ρ(Α ) 0,8 και Ρ(Β ) 0,71 δείξτε ότι Ρ( Α Β) 1,01 Ρ( Α Β) i Το ενδεχόµενο Α Β δεν είναι το κενό. Έχουµε Ρ( Α
Διαβάστε περισσότεραΗ θεωρία στα μαθηματικά της
Η θεωρί στ μθημτικά της Γ γυμνσίου ΕΡΩΤΗΣΕΙΙΣ ΘΕΩΡΙΙΑΣ ΑΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ((ΑΛΓΕΒΡΑ)) ο ΚΕΦΑΛΑΙΙΟ 1 Αλγγεεριικέέςς Πρσττάσεειιςς Α. 1. 1 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν με άση τον πργμτικό κι εκθέτη το φυσικό
Διαβάστε περισσότεραΜέρος Α - Kεφάλαιο 7ο - Θετικοί και Αρνητικοί Αριθμοί Α.7.8. Δυνάμεις ρητών αριθμών με εκθέτη φυσικό
Μέρος Α - Kεφάλιο 7ο - Θετικοί κι Αρνητικοί Αριθμοί - 37 - Α.7.8. Δυνάμεις ρητών ριθμών με εκθέτη φυσικό ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ Ένς υπολογιστής μολύνθηκε πό κάποιο ιό, ο οποίος είχε την ιδιότητ ν κτστρέφει τ ηλεκτρονικά
Διαβάστε περισσότεραΈνα εξαιρετικό υποψήφιο 3 ο ή 4 ο θέµα. Να µελετηθεί προσεκτικά. µιγαδικό επίπεδο είναι σηµεία του κύκλου. z z z z
Έν εξιρετικό υποψήφιο ο ή 4 ο θέµ Ν µελετηθεί προσεκτικά ίνοντι οι µη µηδενικοί µιγδικοί ριθµοί,, των οποίων οι εικόνες A, Β, Γ στο µιγδικό επίπεδο είνι σηµεί του κύκλου y ( ( ( Ν ποδείξετε ότι Ν ποδείξετε
Διαβάστε περισσότεραΣελ. 1. Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος Μαθηµατικά Γ Γυµνασίου ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ
Ι. Σωτηρόπουλος - Φ. Πετσιάς -. Κάτσιος ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Φυσικοί ριθµοί (Ν :,,,,... Ακέριοι ριθµοί (Ζ :...,,,,,... Ρητοί (Q λέγοντι οι ριθµοί που µπορούν ν γρφούν µε τη µορφή κλάσµτος δηλδή, στη µορφή
Διαβάστε περισσότεραΒασικό θεώρηµα της παράγουσας Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης
ΜΑΘΗΜΑ.5 Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F() ΘΕΩΡΙΑ. Θεώρηµ f ()d Βσικό θεώρηµ της πράγουσς Θ.Θ του ολοκληρωτικού λογισµού Μέθοδοι ολοκλήρωσης Θεωρί - Σχόλι - Μέθοδοι Ασκήσεις Αν η f είνι µι συνεχής συνάρτηση σε διάστηµ κι
Διαβάστε περισσότεραa = f( x ) =. (Μονάδες 8) 2 = =,από όπου προκύπτει ( υψώνοντας στο τετράγωνο ), x =, επομένως x = 0 x = ή Άσκηση 4679 Δίνεται η συνάρτηση:
Άσκηση 4679 Δίνεται η συνάρτηση: a = + 4 f( x) x x α) Να βρείτε τις τιμές του πραγματικού αριθμού α, ώστε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f να είναι το σύνολο. (Μονάδες 0) β) Αν είναι γνωστό ότι η γραφική
Διαβάστε περισσότερα4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ
1 4.4 ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ & ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ ΠΟΥ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ ΣΕ ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ Ασκήσεις σχολικού βιβλίου σελίδας 1 14 A Οµάδας 1.i) Να λύσετε την εξίσωση 1 + = 1 Είναι = ( 1) Ε.Κ.Π = ( 1) 0 0 και 1 0 0 και 1 (περιορισµοί)
Διαβάστε περισσότερα1.1 A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ
. A. ΟΙ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ ΚΑΙ ΟΙ ΠΡΑΞΕΙΣ ΤΟΥΣ ΘΕΩΡΙΑ. Τα σύνολα των αριθµών Το σύνολο των φυσικών αριθµών. Το σύνολο των ακεραίων αριθµών. N {0,,, 3 } Z { 3,,, 0,,, 3 } Το σύνολο των ρητών αριθµών. Q
Διαβάστε περισσότεραΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ 13 ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ 2015 ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΥΡΙΑΚΗ ΔΕΚΕΜΒΡΙΟΥ ΘΕΜΑ A Α Λάθος β Σωστό γ Λάθος δ Σωστό ε Σωστό Α Έστω ότι υπάρχουν Τότε ισχύουν: ) ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ, ΙR τέτοι ώστε ) κι g ) g ) ) + ln +
Διαβάστε περισσότεραΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. (Μονάδες 7) α) Να παραγοντοποιήσετε την παράσταση 5x 3 20x. (Μονάδες 3) β) Να λύσετε την εξίσωση 7x 3 = 2(10x + x 3 ) (Μονάδες 6,5)
θ) x (5 + 3)x + 5 3 = (...).(...) ι) x + (5 3)x 5 3 = (...).(...) (Μονάδες 7) Θέμ ο ) Ν πργοντοποιήσετε την πράστση 3 0x (Μονάδες 3) β) Ν λύσετε την εξίσωση 7x 3 = (10x + x 3 ) (Μονάδες 3,5) Θέμ 3ο Ν πργοντοποιήσετε
Διαβάστε περισσότεραΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ 6 Α) Αν η συνάρτηση f είνι πργωγίσιµη σε έν σηµείο του πεδίου ορισµού της, ν γρφεί η εξίσωση της εφπτοµένης της γρφ πρ/σης της f στο σηµείο A(,f ( )) Α)
Διαβάστε περισσότεραΔηλαδή, α ν = α α α α ν παράγοντες. Για δυνάμεις, με εκθέτες γενικά ακέραιους αριθμούς, ισχύουν οι επόμενες ιδιότητες. μ+ν. μ ν. α = μ ν. ν ν.
367 ΡΩΤΗΣΙΣ ΘΩΡΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ! ΤΞΗΣ 368 ΡΩΤΗΣΙΙΣ ΘΩΡΙΙΣ ΠΟ ΤΗΝ ΥΛΗ ΤΗΣ!! ΤΞΗΣ 1. Τι ονομάζετε δύνμη ν ; Ονομάζετι δύνμη ν με άση τον ριθμό κι εκθέτη το φυσικό ν > 1, το γινόμενο πό ν πράγοντες ίσους
Διαβάστε περισσότεραΕΡΓΑΣΤΗΡΙ ΑΛΓΕΒΡΑΣ ΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ
ΙΑΤΑΞΗ ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ ΑΣΚΗΣΕΙΣ Α. ΣΩΣΤΟ - ΛΑΘΟΣ. Ν χρκτηρίσετε κθεµιά πό τις πρκάτω προτάσεις ως Σωστή (Σ) ή Λάθος (Λ).. Αν 0 κι > 0 τότε + > 0. Αν > > 0 τότε ² - ² > 0 γ. Αν τότε > 0 δ. Αν = τότε
Διαβάστε περισσότεραΣυστήματα Αυτομάτου Ελέγχου II
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Ανώττο Εκπιδευτικό Ίδρυμ Πειριά Τεχνολογικού Τομέ Συστήμτ Αυτομάτου Ελέγχου II Ενότητ #3: Ευστάθει Συστημάτων - Αλγεβρικό Κριτήριο Routh Δημήτριος Δημογιννόπουλος Τμήμ Μηχνικών Αυτομτισμού
Διαβάστε περισσότερα1.1.Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΔΥΝΑΜΕΩΝ
Ζωοδόχου Πηγς Σλμί Τηλ 466- /4644..Οι πράξεις ι οι ιδιότητές τους i Στο προομστεός λάσμτος ΑΠΑΓΟΡΕΥΕΤΑΙ έχουμε το μηδέ γιτί το λάσμ δε ορίζετι.,.π.χ: δε ορίζετι i Ότ ο ριθμητς εός λάσμτος είι ίσος με το
Διαβάστε περισσότεραγια την εισαγωγή στο Λύκειο
Τυπολόγιο 1 Μθημτικά γι την εισγωγή στο Λύκειο Νίκος Κρινιωτάκης ΠΡΓΜΤΙΚΟΙ ΡΙΘΜΟΙ Σύνολ ριθμών Φυσικοί ριθμοί Ν {,1,,3,...,} Οι φυσικοί δικρίνοντι σε: Άρτιους είνι της μορφής ν κ, κ Ν (διιρούντι με το
Διαβάστε περισσότεραΑ. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης 2. f(x) = α x 2 + β x + γ, α 0. f (x) x. Παράδειγμα. Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε.
Περιοδικό ΕΥΚΛΕΙΔΗΣ Β Ε.Μ.Ε. (τεύχος 55) Μαθηματικά για την Α τάξη του Λυκείου Το τριώνυμο f(x) = α x + β x + γ, α Κώστα Βακαλόπουλου, Νίκου Ταπεινού Α. Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f(x) αx βx γ,
Διαβάστε περισσότερα3.3 Η ΕΛΛΕΙΨΗ. Ορισμός Έλλειψης
0 33 Η ΕΛΛΕΙΨΗ Ορισμός Έλλειψης Έστω E κι Ε δύο σημεί ενός επιπέδου Ονομάζετι έλλειψη με εστίες τ σημεί E κι Ε ο εωμετρικός τόπος C των σημείων του επιπέδου των οποίων το άθροισμ των ποστάσεων πό τ E κι
Διαβάστε περισσότεραΑ) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές
. ίνετι η συνάρτηση f() e. Α) Ν ποδείξετε ότι η νιοστή πράγωγος της συνάρτησης f µπορεί ν πάρει τη µορφή (ν) f () ( + ν + ν )e όπου ν ν είνι συντελεστές εξρτηµένοι πό το ν τους οποίους κι ν υπολογίσετε.
Διαβάστε περισσότερα