Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
|
|
|
- Βαρ-ιησούς Κηφάς Ζέρβας
- 8 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η απεικόνιση των εκβάσεων ενός πειράµατος τύχης στην ευθεία των πραγµατικών αριθµών οδηγεί στην τυχαία µεταβλητή ( ω ω Τααποτελέσµαταενόςπειράµατοςτύχηςορίζουνµιατυχαίαµεταβλητή (rdom vrible. Συνεχείς - ιακριτές τυχαίες µεταβλητές
2 ΑΘΡΟΙΣΤΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗΣ Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής (cumultive distributio uctio (DF µίας τυχαίας µεταβλητής ορίζεται ως F ( ω Ω : ( ( P ω F ( F ( F ( N P ( u ( -
3 Ιδιότητες της Αθροιστικής Συνάρτησης Κατανοµής ( F Η F (είναιµηφθίνουσα F ( df ( df P [ d ] ( < + + d lim ( F και lim ( + F F ( F ( αν < P ( < F F ( ( -3
4 F ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ( d F ( ( d F ( Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας (probbility desity uctio (PDF µίας τυχαίας µεταβλητής ορίζεταιωςηπαράγωγοςτης F ( δηλαδή ( 6 ( N ( P ( δ ( -4
5 Για διακριτές τυχαίες µεταβλητές συνηθίζεται να ορίζουµε τη συνάρτηση πιθανότητας µάζας (probbility mss uctio (PMFηοποίαορίζεταιως {. p i } όπου p P.. i ( i Προφανώςγιακάθε iισχύει p i και i pi -5
6 Ιδιότητες της Συνάρτησης Πυκνότητας Πιθανότητας F ( ( γιακάθε F df ( ( P + d ( ( P( d F ( d ( d dp( [ < ] F F ( ( + F P ( ( d (ξ dξ ( < df ( ( d ( d [ < + d] P dp( + d dp ( ( d Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας -6
7 Συναρτήσεις Τυχαίων Μεταβλητών Μίασυνάρτησηµίαςτυχαίαςµεταβλητής έστω Yg(είναιεπίσηςµίατυχαίαµεταβλητή. Για την οποία η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής είναι F Y Y ( ω Ω : g ( ( y ( y P ω g ( ( ( y Y Y Στην ειδική περίπτωση για την οποία για κάθε y η εξίσωση g( y έχει αριθµήσιµο σύνολολύσεων { i } και γιαόλεςαυτέςτιςλύσειςυπάρχειηπαράγωγος g ( i καιείναιµη µηδενική τότε Y ( y ( i g ( i i -7
8 Παράµετροι κατανοµής τυχαίας µεταβλητής Η κατανοµή πιθανότητας µιας τυχαίας µεταβλητής όπως έχουµε ήδη αναφέρει δύναται να εκφραστεί είτε από την αθροιστική συνάρτηση κατανοµής είτε από τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας. Στησυνέχειαθαπεριγραφούνοιβασικέςπαράµετροιτηςκατανοµήςµιαςτυχαίαςµεταβλητής. Οι βασικές αυτές παράµετροι της κατανοµής δίδουν µία περιληπτική περιγραφή της πιθανοθεωρητικής συµπεριφοράς µιας τυχαίας µεταβλητής. -8
9 Στατιστικοί Μέσοι Όροι Η αναµενόµενη τιµή ή µαθηµατική ελπίδα ή απλά µέση τιµή µιας διακριτής τυχαίας µεταβλητής ορίζεται ως E [ ] i P( i i όπου p i P( i είναι η συνάρτηση πιθανότητα µάζας της διακριτής τυχαίας µεταβλητής. Ηµέσητιµήσυνήθωςδηλώνεταιµε m ή. Η αναµενόµενη τιµή ή µαθηµατική ελπίδα ή απλά µέση τιµή µιας συνεχούς τυχαίας µεταβλητής ορίζεται ως E[ ] ( d όπου ( είναιησυνάρτησηπυκνότηταςπιθανότητας. Ηµέσητιµήσυνήθωςδηλώνεται µε m ή. -9
10 Μέση τιµή συνάρτησης τυχαίας µεταβλητής Ας θεωρήσουµε τη τυχαία µεταβλητή Y οι τιµές της οποίας ορίζονται από την πραγµατική συνάρτηση y g( όπου είναιοιτιµέςµιαςτυχαίαςµεταβλητής. Η µέση τιµή της διακριτής τυχαίας µεταβλητής Y g( δίνεται από τη E( Y E [ ] g ( g( P( Η µέση τιµή της συνεχούς τυχαίας µεταβλητής Y g( δίνεται από τη [ g ( ] E( Y E g ( ( d -
11 ιασπορά και Τυπική Απόκλιση Η ύπαρξη κατανοµών οι οποίες έχουν την ίδια µέση τιµή και των οποίων οι τιµές είναι περισσότερο ή λιγότερο διασπαρµένες και αποµακρυσµένες από αυτήν καθιστά αναγκαία την εισαγωγή της διακύµανσης η οποία είναι ένα µέτρο του βαθµού συγκέντρωσης ή του βαθµού µεταβολής της κατανοµής µιας τυχαίας µεταβλητής. Η διακύµανση (vrice ή η διασπορά της τυχαίας µεταβλητής είναι η µέση τιµή του τετραγώνουτηςαπόκλισης g( ( m τηςτυχαίαςµεταβλητής απότηµέσητηςτιµής m E(. Ηδιακύµανσηήηδιασποράτης συµβολίζεταιµε VAR( ήσ τη σχέση ήαπλάσ καιορίζεταιαπό σ E ( m Ηθετικήτετραγωνικήρίζατηςδιασποράςσ καλείταιτυπικήαπόκλιση (stdrd devitio της τυχαίας µεταβλητής. -
12 Για τη διακύµανση έχουµε σ ( E E E ( E E + E ( E Γιακάθεσταθερά cέχουµετιςακόλουθεςσχέσειςγιατηµέσητιµή. E c c E. E c c 3. E + c E + c και τις ακόλουθες σχέσεις για τη διακύµανση. VAR ( c c VAR (. VAR ( c 3. VAR ( + c VAR ( -
13 Χαρακτηριστική συνάρτηση τυχαίας µεταβλητής Ηχαρακτηριστικήσυνάρτησηµίαςτυχαίαςµεταβλητής δηλώνεταιωςψ (ν καιορίζεταιως Ψ ορισ. ( ν ( e jν d Ηχαρακτηριστικήσυνάρτησητυχαίαςµεταβλητής συνδέεταιµετοµετασχηµατισµό Fourier (διαφέρει στο πρόσηµο στον εκθετικό όρο της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητάς της. Η χαρακτηριστική συνάρτηση τυχαίας µεταβλητής παρέχει ένα εύκολο τρόπο υπολογοσµού των ροπών της τυχαίας µεταβλητής. Για να προσδιορίσουµε την -στη ροπή της τυχαίας µεταβλητής χρησιµοποιούµε τη σχέση m ( ορισ. d j dν ν ( d Ψ ( ν Η χαρακτηριστική συνάρτηση τυχαίας µεταβλητής είναι φραγµένη από την τιµή της στο µηδέν Ψ ( Ψ ( ν -3
14 Πολλαπλές Έστω και Y δύο τυχαίες µεταβλητές. Για τις δύο αυτές τυχαίες µεταβλητές ορίζουµε τη συνδυασµένηαθροιστικήσυνάρτησηκατανοµής (joit (DF F Y ( y P ( ω Ω : ( ω Y ( ω y ήπιοαπλά F Y ( y P ( Y y και τη συνδυασµένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ( joit (PDF Y ( y ϑ F Y ( y ϑϑ y -4
15 Βασικές ιδιότητες των συνδυασµένων και περιθώριων (mrgil DF και PDF F F Y ( F ( Y ( y F ( y Y ( y Y ( dy Y ( y y Y ( d Y ( y d dy F Y ( y y ( u υ du dυ Y -5
16 εσµευµένη ή υποσυνθήκη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Η δεσµευµένη ή υποσυνθήκη PDF της τυχαίας µεταβλητής υπό την προϋπόθεση ότι η τιµή της τυχαίας µεταβλητής Y είναι ίση µε y ορίζεται ως Y Y ( ( y ( y Y y Y ( y αλλιως ɺ Ησυνάρτηση Y ( y µπορείναθεωρηθείωςσυνάρτησητηςµεταβλητής µετηµεταβλητή y αυθαίρετη αλλά σταθερή συνεπώς ικανοποιεί όλες τις ιδιότητες της συνάρτησης πυκνότητας πιθανότητας Y ( y Y ( y d F Y ( y Y P ( < y ( ξ y dξ Y ( ξ y dξ -6
17 Αν συµβαίνει η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας µετά την γνωστοποίηση της Y να είναι η ίδια µε τη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας πριν τη γνωστοποίηση της Y τότε οι τυχαίες µεταβλητές ονοµάζονται στατιστικά ανεξάρτητες (sttisticl idepedet και ισχύει Y ( y ( Y ( y Αν οι τυχαίες διαδικασίες και Y είναι στατιστικά ανεξάρτητες τότε η έκβαση της Y δεν επηρεάζει την κατανοµή της. Η υποσυνθήκη πιθανότητα Y ( y απλοποιείται στην περιθώρια συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Y ( y ( -7
18 Μία συνάρτηση δύο τυχαίων µεταβλητών και Y g(y είναι επίσης τυχαία µεταβλητή. Η αναµενόµενη τιµή της g( Y δίνεται από την [ g ( Y ] E g ( y Y ( y d dy Στην ειδική περίπτωση όπου g( Y Y λαµβάνουµε την E[ Y] που ονοµάζεται συσχέτιση (correltio των και Yκαισυµβολίζεταιµε R Y R Y E[ Y] y y Y ( d dy Αν η συσχέτιση γράφεται ως R Y E[] E[Y] τότε οι τυχαίες µεταβλητές λέγονται ασυσχέτιστες (ucorrelted. Αν οι τυχαίες µεταβλητές και Y είναι στατιστικά ανεξάρτητες τότε είναι και ασυσχέτιστες. Το αντίθετο δεν ισχύει γενικά. Ανησυσχέτισηγράφεταιείναιίσηµεµηδέν R Y ορθογώνιες (orthogol. τότεοιτυχαίεςµεταβλητέςλέγονται -8
19 Στην περίπτωση κατά την οποία g(y ( m (Y m Υ λαµβάνουµε την E[( m (Y m Y ] ηοποίακαλείταισυµµεταβολή (covrice - OV των και Y ηοποίασυµβολίζεταιµε Y ή µε OV(Y και είναι Y E [( m ( Y m ] αποδεικνύεταιότι Y R Y - E[] E[Y] ( m ( y m Y Y Y ( y d dy Ανοι και Yείναιανεξάρτητεςήασυσχέτιστες (R Y E[] E[Y] τότεησυµµεταβολήτους είναιίσηµεµηδέν Y. Ανοι και Yείναιορθογώνιες (R Y τότεησυµµεταβολήτουςείναι Y - E[] E[Y]. Ανεπιπλέονµίατουλάχιστοναπότις και Yέχειµέσητιµήίσηµεµηδέντότεησυµµεταβολή τουςείναιίσηµεµηδέν Y. -9
20 Ηκανονικοποηµένηµορφήτηςσυµµεταβολήςκαλείταισυντελεστήςσυσχέτισης (correltio coeiciet συµβολίζεταιµερ Y καιορίζεταιως ρ Y Y σ σ Y m E σ Y m σ Y Y αποδεικνύεταιότι ρ Y -
21 Σηµαντικές Οι συχνότερα χρησιµοποιούµενες τυχαίες µεταβλητές είναι Οµοιόµορφη τυχαία µεταβλητή Η Gussi τυχαία µεταβλητή ιωνυµική (Biomil Τυχαία µεταβλητή Beroulliτυχαίαµεταβλητή Poissoτυχαίαµεταβλητή Εκθετική τυχαία µεταβλητή Ryleighτυχαίαµεταβλητή -
22 Οµοιόµορφη Τυχαία Μεταβλητή Οµοιόµορφη τυχαία µεταβλητή είναι µία συνεχής τυχαία µεταβλητή που λαµβάνει τιµές µεταξύ και bµείσεςπιθανότητεςσεδιαστήµατατιµώνπουέχουνίσαµήκη. Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας F ( b b < b < b ( < < b αλλιώς b F ( ( b b b -
23 Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι Η Gussi Τυχαία Μεταβλητή ( m ( e σ πσ όπου mείναιηµέσητιµήκαισητυπικήαπόκλιση ( πσ 67 πσ mσ m m+ σ Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Gussi τυχαίας µεταβλητής -3
24 Η συνάρτηση κατανοµής είναι F ( πσ e ( ξm σ dξ F ( mσ m m+σ Η συνάρτηση κατανοµής της Gussi τυχαίας µεταβλητής -4
25 Ησυνάρτηση κατανοµής της Gussi τυχαίας µεταβλητής για m καισ δηλώνεται µε Φ( και δίνεται από τη σχέση Η συνάρτηση Q του Mrcum ορίζεται ως π ξ Φ( P ( e dξ Q( y P π ( > y e d y ( e π Εµβαδɺ ο Q( y y -5
26 ιάφορες παρουσιάσεις του ολοκληρώµατος αυτού δίνονται σε µορφή εύχρηστων πινάκων ή διαγραµµάτων. y Q ( y y Q ( y y Q ( y 5e e e-7 467e e e-7 474e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e-9 56e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e e- 75e e e- 7864e e e- 393e- 46 4e e- 3 74e e-6-6
27 Παρατηρούµε ότι Q ( Φ ( και m P ( > Q σ -7
28 BeroulliΤυχαίαΜεταβλητή Αυτή είναι µια διακριτή τυχαία µεταβλητή που παίρνει δύο τιµές το ένα και το µηδέν µε πιθανότητες p και - p. Η τυχαία µεταβλητή Beroulli είναι ένα καλό µοντέλο για µια γεννήτριαδυαδικώνδεδοµένων. Όταν δυαδικά δεδοµένα µεταβιβάζονται µέσω ενός καναλιού επικοινωνίας και µερικά bits λαµβάνονται εσφαλµένα µπορούµε να µοντελοποιήσουµε ένα σφάλµα µε µία πρόσθεση modulo- του στο bitεισόδου µεταβάλλονταςέτσιτο σε καιτο σε. Η τυχαία µεταβλητή Beroulli χρησιµοποιείται για τη µοντελοποίηση των σφαλµάτων καναλιού. -8
29 Beroulli trils Σύνολο έχει στοιχεία. Ο ολικός αριθµός των υποσυνόλων µε στοιχεία είναι ( ( +!!(! Παράδειγµα.Ταστοιχείαενόςσυνόλουείναι b cκαι d. Ποιοςοαριθµόςτωνυποσυνόλων µε δύο στοιχεία; Έχουµε 4 και εποµένως το πλήθος των υποσυνόλων µε στοιχεία είναι Πράγµατιέχουµετασύνολα b c d bc bdκαι cd 6 Το παραπάνω συµπέρασµα χρησιµοποιείται για να βρεθεί η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί ένα γεγονός φορές σε ανεξάρτητες πραγµατοποιήσεις ενός πειράµατος τύχης. Το πρόβληµα αυτό είναι βασικά το ίδιο µε το πρόβληµα να έχουµε φορές κεφάλι σε στριψίµατα ενός νοµίσµατος. -9
30 Παράδειγµα. Ανστρίψουµεένανόµισµαηπιθανότηταναέχουµεκεφάλιείναι P(K p. Σχηµατίζεται µία ακολουθία από N στριψίµατα του νοµίσµατος. Ηπιθανότηταστηνακολουθίανα έχουµε φορέςκεφάλικαι N φορέςγράµµαταθα είναι λόγω της ανεξαρτησίας P( K P( K P( K P( Γ P( Γ P( Γ p ( p εδοµένου ότι οι πιθανές ακολουθίες µήκους N στις οποίες παρουσιάζονται κεφάλια ανεξαρτήτου θέσης είναι έχουµε τη πιθανότητα P N N!!( N! N N ( K νασυµβεί ακριβώς φορές p ( p N -3
31 ιωνυµική (Biomil Τυχαία Μεταβλητή όπου < p < και. Αυτήείναιµίαδιακριτήτυχαίαµεταβλητήπουδίνειτοπλήθοςτων σεµίαακολουθίααπό ανεξάρτητα πειράµατα Beroulli. Η PMF δίνεται από αλλιώς ( ( p p P και η αθροιστική διωνυµική συνάρτηση κατανοµής u p p F ( ( ( Αυτή η τυχαία µεταβλητή µοντελοποιεί για παράδειγµα τον ολικό αριθµό των bits τα οποία λαµβάνονται εσφαλµένα όταν µια ακολουθία από bits µεταβιβάζεται µέσα από ένα κανάλι µε πιθανότητα σφάλµατος-bit ίση µε p. p p ( ( ( δ Η διωνυµική συνάρτηση πυκνότητα πιθανότητας είναι -3
32 Αυτή είναι µία διακριτή τυχαία µεταβλητή της οποίας η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι b ( e δ (! όπου b > πραγµατικήσταθερά. Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής PoissoΤυχαίαΜεταβλητή F ( e b b b u(! Αυτήητυχαίαµεταβλητήεφαρµόζεταισεπολλέςεφαρµογέςσυνεχούςχρόνου. Μοντελοποιεί για παράδειγµα τον αριθµό των τηλεφωνικών κλήσεων που πραγµατοποιούνται σε ένα τηλεφωνικό κέντρο κατά τη διάρκεια µιας χρονικής περιόδου. Αν το χρονικό διάστηµα ενδιαφέροντος έχει διάρκεια T και τα γεγονότα τα οποία καταµετρώνται πραγµατοποιούνται µε µέσο ρυθµό λ και ακολουθούν κατανοµή Poisso τότε εποµένως ( e λ T b λt ( λ T! δ ( -3
33 Παράδειγµα: Σε ένα τηλεφωνικό κέντρο δηµιουργείται ουρά όταν φτάνουν τηλεφωνικές κλήσεις ενώ όλες οι γραµµές είναι απασχοληµένες. Υποθέτοντας ότι οι τηλεφωνικές κλήσεις σε ένα τηλεφωνικό κέντρο ακολουθούν κατανοµή Poisso και πραγµατοποιούνται µε µέσο ρυθµό 5 κλήσεις/h. Το τηλεφωνικό κέντρο έχει τη δυνατότητα να εξυπηρετήσει µόνο ένα συνδροµητή και κάθε τηλεφωνική κλήση διαρκεί ένα λεπτό. Ποια είναι η πιθανότητα να πραγµατοποιηθεί ουρά αναµονής στο τηλεφωνικό κέντρο; Η ουρά αναµονής θα πραγµατοποιηθεί αν δύο ή περισσότερη συνδροµητές εκδηλώσουν επιθυµία να πραγµατοποιήσουν κλήση σε χρονικό διάστηµα ενός λεπτού. Η πιθανότητα πραγµατοποιηθεί ουρά αναµονής στο τηλεφωνικό κέντρο είναι ένα µείον την πιθανότητα να έχουµε περισσότερες από µία τηλεφωνικές κλήσεις. Έχουµε λ 5/6 τηλεφωνικέςκλήσεις / miκαιτ miέτσι b 5/6. Έχουµελοιπόν P( πραγµατοπο ιηθεί ουρά F 5 e 6 3 ( 5 ( + Αναµένεται λοιπόν να υπάρχει ουρά στο τηλεφωνικό κέντρο περίπου κατά το 3% του χρόνου. 6-33
34 Εκθετική τυχαία µεταβλητή για πραγµατικούς αριθµούς και b για του οποίους ισχύει < < και b >. ( F b e ( b b e b Γιαα καιλ /bέχουµε < > ( e F λ < > ( e λ λ < > e F b ( Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής < > e b b ( Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας -34
35 Αποδεικνύεται ότι E[ ] Vr[ ] λ λ Η εκθετική συνάρτηση είναι η µοναδική συνάρτηση µε έλλειψη µνήµης δηλαδή ικανοποιεί τη ( s+ t > t P( s P > > γιακάθε sκαι t > Αυτή η τυχαία µεταβλητή µοντελοποιεί για παράδειγµα τους χρόνου εξυπηρέτησης σε ένα τηλεφωνικόκέντρο. Αντυχαίαµεταβλητή παριστάνειτοχρόνοµεταξύδύοδιαδοχικώντηλεφωνικώνκλήσεων ακολουθείεκθετικήκατανοµήκαιθεωρήσουµεότιµίακλήσηέφτασετηχρονικήστιγµή t τότε η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας του χρόνου µέχρι την επόµενη κλήση θα είναι ( t e λ λ t Επίσης η τυχαία µεταβλητή µοντελοποιεί τη διακύµανση της ισχύος του σήµατος που λαµβάνει το rdr για τους διάφορους τύπους αεροσκαφών. -35
36 Παράδειγµα: Η ισχύς που ανακλάται από αεροσκάφος σύνθετης µορφής και η οποία λαµβάνεται από διάταξη rdr µοντελοποιείται από εκθετική τυχαία µεταβλητή P. Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότηταςείναι P ( p P όπου P είναιηµέσητιµήτηςλαµβανοµένηςισχύος. e p P p> p< Σεκάποιαδεδοµένηχρονικήστιγµή Pέχειτιµήδιάφορηαπότηµέσητηςτιµή. Ποιαείναιη πιθανότητα η λαµβανόµενη ισχύς να είναι µεγαλύτερη από τη ισχύ που λαµβάνει κατά µέσο όρο; P( P > P P( P P FP ( P 368 P ( / P e Αναµένεταιλοιπόν η µέση ισχύς να είναι µεγαλύτερη της µέσης τιµής κατά το 368% του χρόνου. -36
37 F ( e Ryleighτυχαίαµεταβλητή Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής Η συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας ( b < b ( για πραγµατικούς αριθµούς και b για του οποίους ισχύει < < και b >. ( ( e b < F ( 393 e ( b 67 ( b e b b + b Αυτή η τυχαία µεταβλητή έχει πολλές εφαρµογές στα κανάλια επικοινωνίας τα οποία παρουσιάζουν διαλείψεις. Επίσης περιγράφει την περιβάλλουσα του θορύβου όταν αυτός διέρχεται από bdpss φίλτρα. Επίσης βρίσκει εφαρµογή στην ανάλυση των λαθών στα συστήµατα µέτρησης + b -37
38 PoissoΤυχαία ιαδικασία P ( λ t e! λ t ( ( t... ( ( λ t e! δ ( όπουλονοµάζεταιρυθµόςτηςδιαδικασίας (rte o the process. H αθροιστική συνάρτηση κατανοµής της τυχαίας διαδικασίας είναι λ t F ( ( λ t e! λ t u( Η µέση τιµή και η διασπορά της τυχαίας µεταβλητής είναι [ ( t ] Vr[ ( t] ( d t E λ και η µέση τιµή του τετραγώνου της τυχαίας διαδικασίας είναι [ ( t ] ( dλ t( + t E λ -38
39 Η χρονική στιγµή που πραγµατοποιείται ένα γεγονός αντιστοιχεί σε ένα σηµείο στον άξονα των χρόνων. Έχουµε λοιπόν τη γραφική παράσταση Αριθµός εξυπηρετού- µενων συνδροµητών t t t 3 t4 t 5 t6 t 7 t 8 t 9 t Μέγιστος αριθµός εξυπηρετούµενων συνδροµητών t Οι τυχαίες χρονικές στιγµές κατά τις οποίες πραγµατοποιούνται και διακόπτονται τηλεφωνικές κλήσεις οι οποίες δηµιουργούν την τυχαία διαδικασία t t t 3 t4 t 5 t6 t 7 t 8 t 9 t t Ένα δείγµα συνάρτησης της διακριτής τυχαίας διαδικασίας Poisso - Παρατηρούµε ότι η συνάρτηση (t που παριστάνει τον αριθµό των εξυπηρετούµενων συνδροµητών αυξάνεται κατά ένα για κάθε νέα τηλεφωνική κλήση και ελαττώνεται επίσης κατά ένα όταν µία κλήση τελειώνει. Η ένταση της κίνησης για χρονικό διάστηµα T είναι T λ ( t dt λ s µέσος ρυθµός άφιξης µέσος χρόνος κατάληψης T µ -39
40 Πολλαπλές Συναρτήσεις Πολλαπλών Τυχαίων Μεταβλητών ( ( Y h W Y g Z να είναι µη µηδενική i i i i i Y ZW y y w z ( det ( ( J και στα σηµεία αυτά η ορίζουσα του Jcobi πίνακα y w w y z z y ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ ϑ J ( η συνδυασµένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας είναι w y h z y g ( ( όπου { i y i } είναι ένααριθµήσιµοπλήθοςλύσεωντουσυστήµατος -4
41 Συνδυασµένεc Gussi ΤυχαίεςΜεταβλητές Οι συνδυασµένες Gussi ή δικανονικές τυχαίες µεταβλητές και Y ορίζονται από τη συνδυασµένη συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας Y ( y ( m ρ( m ( y m ( y m ep + πσ σ ( ρ ρ σ σ σ σ Όταν οι δύο τυχαίες µεταβλητές και Y κατανέµονται σύµφωνα µε την δικανονική κατανοµή τότε η κατανοµή κάθε µίας από αυτές ( και Y (y και οι υποσυνθήκη πυκνότητες πιθανότητας Y ( y και Y (y είναι Gussiκατανοµές. Η ιδιότητα αυτή είναι η κύρια διαφορά µεταξύ δύο συνδυασµένα Gussi τυχαίων µεταβλητώνκαιδύοτυχαίωνµεταβλητώνηκάθεµίααπότιςοποίεςέχει Gussiκατανοµή. Αν οι και Y είναι συνδυασµένες Gussi της πιο πάνω µορφής τότε η είναι Gussi µε µέσητιµή m καιδιακύµανσησ καιηyείναι Gussiµεµέσητιµή m καιδιακύµανσησ οδεσυντελεστήςσυσχέτισηςµεταξύτων και Yείναιρ. -4
42 ( ( ( t m m ep det( ( π Ο ορισµός των δύο συνδυασµένων Gussi τυχαίων µεταβλητών µπορεί να επεκταθεί σε τυχαίεςµεταβλητές. m m m m όπου mκαι mείναιταδιανύσµατα ] [ ] [ ] [ E E E m -4 και είναι ο πίνακας συµµεταβολής
43 και είναι ο πίνακας συµµεταβολής ( ( [ ] j i j i E j i i j j i i ij σ ρσ σ m m µε στοιχεία σ σ ρσ σ ρσ σ Για την περίπτωση στην οποία είναι ( σ σ σ ρ σ σ ρ σ ρ ( ρ σ σ και ο αντίστροφος πίνακας είναι τελικά -43
44 Αθροίσµατα Τυχαίων Μεταβλητών Αν έχουµε µια ακολουθία τυχαίων µεταβλητών ( που έχουν βασικά τις ίδιες ιδιότητες τότε αναµένεται ότι η µέση τιµή i i νασυµπεριφέρεται λιγότεροτυχαία απόκάθε i. Y Ο νόµος των µεγάλων αριθµών και το θεώρηµα του κεντρικού ορίου αποτελούν µια ακριβή διατύπωση του διαισθητικού αυτού γεγονότος. Οασθενήςνόµοςτωνµεγάλωναριθµών δηλώνειότιανοιτυχαίεςµεταβλητές είναιασυσχέτιστεςµετηνίδιαµέσητιµή m καιδιακύµανσησ < τότεγιακάθεε> ( Y > ε lim P m Αυτό σηµαίνει ότι η µέση τιµή του αθροίσµατος συγκλίνει (ως προς την πιθανότητα στην αναµενόµενη τιµή. -44
45 Το θεώρηµα του κεντρικού ορίου όχι µόνο διατυπώνει τη σύγκλιση της αναµενόµενης τιµής προς τη µέση τιµή αλλά επίσης δίνει κάποια πληροφορία για την κατανοµή του µέσου αυτού όρου. Τοθεώρηµααυτόδηλώνειότιαν είναιανεξάρτητεςτυχαίεςµεταβλητές είναι ανεξάρτητεςτυχαίεςµεταβλητέςµεαναµενόµενεςτιµές m m m καιδιακυµάνσειςσ σ σ τότεηαθροιστικήσυνάρτησηκατανοµήςτηςτυχαίαςµεταβλητής Y m i i σ i i συγκλίνει στην αθροιστική συνάρτηση κατανοµής µίας Gussi τυχαίας µεταβλητής µε µέση τιµή καιδιακύµανση δηλαδή συµπεριφέρεται ασυµπτωτικά σαν κανονική µεταβλητή. Με άλλα λόγια ισχύει lim P S m σ b π b e u du όπου S (3 τυχαίαδιαδικασίαµεµέσητιµή m m +m + +m -45
46 Στην ειδική περίπτωση στην οποία οι i είναι ανεξάρτητες και όµοια κατανεµηµένες (idepedet d ideticlly distributed-i.i.d. το θεώρηµα του κεντρικού ορίου λέει ότι η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής της συγκλίνει στην αθροιστική συνάρτηση κατανοµής της µιας Gussi τυχαίας µεταβλητής µε µέσητιµή mκαιδιακύµανσησ / N(m σ /. Y i i Για να ισχύει το θεώρηµα του κεντρικού ορίου πρέπει οι τυχαίες µεταβλητές να είναι ανεξάρτητες ενώ ο νόµος των µεγάλων αριθµών ισχύει κάτω από λιγότερο περιοριστικές συνθήκες δηλαδή της µη συσχέτισης των τυχαίων µεταβλητών. -46
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Σεραφείµ Καραµπογιάς Η απεικόνιση των εκβάσεων ενός πειράµατος τύχης στην ευθεία των πραγµατικών αριθµών οδηγεί στην τυχαία µεταβλητή. 9 3 6 ( ω ω 9 36 44 Τααποτελέσµαταενόςπειράµατοςτύχηςορίζουνµιατυχαίαµεταβλητή
Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων
Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Τυχαίες μεταβλητές Σεραφείμ Καραμπογιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η απεικόνιση των εκβάσεων ενός πειράματος
( x) Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ. Βασικά αξιώµατα και ιδιότητες της πιθανότητας. Σεραφείµ Καραµπογιάς
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ - ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Βασικά αξιώµατα και ιδιότητες της πιθανότητας Σεραφείµ Καραµπογιάς Η αθροιστική συνάρτηση κατανοµής cumulaive diribuio ucio CDF µίας τυχαίας µεταβλητής X ορίζεται
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ Η απεικόνιη των εκβάεων ενός πειράµατος τύχης την ευθεία των πραγµατικών αριθµών οδηγεί την τυχαία µεταβλητή. 9 3 6 ( ω ω 9 36 44 Τα αποτελέµατα ενός πειράµατος τύχης ορίζουν
Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων
Η έννοια του Πειράµατος Τύχης. 9 3 6 Το σύνολο των πιθανών εκβάσεων ενός πειράµατος τύχης καλείται δειγµατοχώρος ή δειγµατικόςχώρος (sample space)καισυµβολίζεταιµεωήµε S.Έναστοιχείοωήsτου δειγµατικού χώρου
3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ
20 3. ΠΑΡΑΜΕΤΡΟΙ ΚΑΤΑΝΟΜΩΝ ΟΡΙΣΜΟΣ ΤΗΣ ΜΕΣΗΣ ΤΙΜΗΣ Μια πολύ σηµαντική έννοια στη θεωρία πιθανοτήτων και τη στατιστική είναι η έννοια της µαθηµατικής ελπίδας ή αναµενόµενης τιµής ή µέσης τιµής µιας τυχαίας
Ορισµός. (neighboring) καταστάσεων. ηλαδή στην περίπτωση αλυσίδας Markov. 1.2 ιαµόρφωση µοντέλου
200-04-25. ιαδικασίες γεννήσεων-θανάτων. Ορισµός Οι διαδικασίες γεννήσεων-θανάτων (birth-death rocesses) αποτελούν µια σπουδαία κλάση αλυσίδων Markov (διακριτού ή συνεχούς χρόνου). Η ιδιαίτερη συνθήκη
3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών
3 ο Μέρος Χαρακτηριστικά τυχαίων μεταβλητών Βασικά χαρακτηριστικά τυχαίας μεταβλητής: Μέση Τιμή (Me Vlue) Διακύμανση (Vrice) Γενικά χαρακτηριστικά: Ροπές μεταβλητών / Ροπογεννήτριες Χαρακτηριστικές συναρτήσεις
Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων
Περίληψη ϐασικών εννοιών στην ϑεωρία πιθανοτήτων 6 Απριλίου 2009 1 Συνδυαστική Η ϐασική αρχή µέτρησης µας λέει ότι αν σε ένα πείραµα που γίνεται σε δύο ϕάσεις και στο οποίο υπάρχουν n δυνατά αποτελέσµατα
Βασικά στοιχεία της θεωρίας πιθανοτήτων
Η έννοια του Πειράµατος Τύχης. 9 3 Το σύνολο των πιθανών εκβάσεων ενός πειράµατος τύχης καλείται δειγµατοχώρος ήδειγµατικόςχώρος (sample space)καισυµβολίζεταιµεωήµε S.Έναστοιχείοω ή s του δειγµατικού χώρου
Η Έννοια της τυχαίας ιαδικασίας
Η Έννοια της τυχαίας ιαδικασίας Η έννοια της τυχαίας διαδικασίας, βασίζεται στην επέκταση της έννοιας της τυχαίας µεταβλητής, ώστε να συµπεριλάβει το χρόνο. Σεκάθεαποτέλεσµα s k ενόςπειράµατοςτύχης αντιστοιχούµε,
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuig Systems Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@etmode.tua.gr 7/3/2018 1 Η ΔΙΑΔΙΚΑΣΙΑ ΚΑΤΑΜΕΤΡΗΣΗΣ ΓΕΓΟΝΟΤΩΝ POISSON Η τυχαία εμφάνιση παλμών περιγράφεται σαν
cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]
![cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]](/thumbs/52/30692583.jpg "cov(x, Y ) = E[(X E[X]) (Y E[Y ])] cov(x, Y ) = E[X Y ] E[X] E[Y ]")
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-317: Εφαρµοσµένες Στοχαστικές ιαδικασίες-εαρινό Εξάµηνο 2016 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Συνδιασπορά - Συσχέτιση Τυχαίων Μεταβλητών Επιµέλεια : Κωνσταντίνα
Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:
Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών. HY-217: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 2015 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-27: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 205 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 8 Επιµέλεια : Κατερίνα Καραγιαννάκη Ασκηση. Η τυχαία µεταβλητή X έχει αθροιστική
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ -ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ(τελικές εξετάσεις πλη12)
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ -ΤΥΧΑΙΕΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΕΣ(τελικές εξετάσεις πλη) Για διακριτή τυχαία μεταβλητή ισχύει μία συνάρτηση πιθανότητας ικανοποιεί τις ακόλουθες δύο ιδιότητες: (α) ( ) 0, για κάθε i,, i (β) ( i ) i S Παράδειγμα
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 9 Νοεµβρίου 2009 ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ ΠΥΚΝΟΤΗΤΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ Ορισµός Μία τυχαία µεταβλητή X καλείται διακριτή ή απαριθµητή αν παίρνει
3. Κατανομές πιθανότητας
3. Κατανομές πιθανότητας Τυχαία Μεταβλητή Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε σημείο (ω) ενός δειγματικού χώρου (Ω) αντιστοιχεί έναν πραγματικό αριθμό. Ω ω X (ω ) R Διακριτή τ.μ.
1.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων.
.4 Λύσεις αντιστρόφων προβλημάτων. Ο τρόπος παρουσίασης της λύσης ενός αντίστροφου προβλήµατος µπορεί να διαφέρει ανάλογα µε τη «φιλοσοφία» επίλυσης που ακολουθείται και τη δυνατότητα παροχής πρόσθετης
Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας
Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2014 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής Με λόγια, η f ( x, y) δίνει την πιθανότητα να εμφανισθεί
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια)
ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ Ι ΙΑΣΤΑΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΜΕΤΑΒΛΗΤΩΝ (Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 11 Ιανουαρίου 21 Η δεσµευµένη µέση τιµή µιας τυχαίας µεταβλητής Y σε δεδοµένο σηµείο µιας άλλης τυχαίας µεταϐλητής X = x, συµϐολιϲόµενη
Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου
Πανεπιστήμιο Πελοποννήσου Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Τυχαία Μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) ονομάζεται η συνάρτηση που απεικονίζει το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος στο σύνολο
Ο Βέλτιστος Φωρατής. Σεραφείµ Καραµπογιάς
Ο Βέλτιστος Φωρατής Ο φωρατής σήµατος, µε τη βοήθεια ενός κανόνα απόφασης, βασιζόµενος στην παρατήρηση του διανύσµατος, λαµβάνει µία απόφαση ως προς το µεταδιδόµενο σύµβολο, έτσι ώστε να µεγιστοποιείται
ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07)
ΤΕΙ ΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕ ΟΝΙΑΣ ΠΑΡΑΡΤΗΜΑ ΚΑΣΤΟΡΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΑΣ ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΩΝ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗΣ ΑΝΑΛΥΣΗΣ Ι (2006-07) Επιµέλεια Σηµειώσεων : Βασιλειάδης Γεώργιος Καστοριά, εκέµβριος 2006
Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες
Αναλογικές και Ψηφιακές Επικοινωνίες Ενότητα : Βέλτιστος δέκτης για ψηφιακά διαμορφωμένα σήματα Σεραφείμ Καραμπογιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Επικοινωνιών Η ΕΝΝΟΙΑ ΤΗΣ ΤΥΧΑΙΑΣ ΜΕΤΑΒΛΗΤΗΣ
ιωνυµική Κατανοµή(Binomial) ~B(n,p) n N και 0 200, δηλαδή : 1 p Y (y) = 0, αλλού
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες - Χειµερινό Εξάµηνο 05 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 6 ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Επιµέλεια : Σοφία Σαββάκη Ασκηση. Η εταιρεία
Ενδεικτικές Ασκήσεις Μάθηµα : Στατιστική 1
Ενδεικτικές Ασκήσεις Μάθηµα : Στατιστική Τµήµα Τεχνολογίας και Συστηµάτων Παραγωγής Θέµα ον α) Έστω Ακαι Β δύο ενδεχόµενα ενός πειράµατος και έστω ότι ισχύει : (Α).5, (Α Β).6, (Β) q i)γιαποιατιµήτου qταακαιβείναιξένα;
Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.)
Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) Τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μια συνάρτηση X ( ) με πεδίο ορισμού το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος και πεδίο τιμών ένα υποσύνολο πραγματικών αριθμών που συμβολίζουμε συνήθως
0. Σύντοµη επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων
. Σύντοµη επισκόπηση θεωρίας πιθανοτήτων Α. Τυχαίες µεταβητές Τυχαία µεταβητή καείται µια µεταβητή η τιµή της οποίας καθορίζεται από το αποτέεσµα κάποιου στοχαστικού πειράµατος. Αν Ω ο δειγµατικός χώρος
ρ. Ευστρατία Μούρτου
ΑΝΩΤΑΤΟ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΟ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΟ Ι ΡΥΜΑ ΠΑΤΡΩΝ ΣΧΟΛΗ ΕΠΑΓΓΕΛΜΑΤΩΝ ΥΓΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΡΟΝΟΙΑΣ ΤΜΗΜΑ ΝΟΣΗΛΕΥΤΙΚΗΣ ΕΞΑΜΗΝΟ : Ε ΑΚΑ ΗΜΑΪΚΟ ΕΤΟΣ : - ΜΑΘΗΜΑ «ΒΙΟΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ» ΚΕΦ. ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ ρ. Ευστρατία Μούρτου
MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Y= g( X1, X2,..., Xn)
MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ g( Έστω τυχαίες µεταβλητές οι οποίες έχουν κάποια από κοινού κατανοµή Ας υποθέσουµε ότι επιθυµούµε να προσδιορίσουµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής g( Η θεωρία των ένα-προς-ένα
Στατιστική Επιχειρήσεων Ι
ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΔΗΜΟΚΡΑΤΙΑ Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Πειραιά Στατιστική Επιχειρήσεων Ι Ενότητα 4: Πολυδιάστατες Τυχαίες Μεταβλητές Μιλτιάδης Χαλικιάς, Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων Άδειες
Περιεχόµενα. Πρόλογος Ιστορική εξέλιξη της πιθανοκρατικής αντίληψης... 13
Περιεχόµενα Πρόλογος... 11 Ιστορική εξέλιξη της πιθανοκρατικής αντίληψης... 13 1.1 Εισαγωγή...13 1.2 ειγµατοχώρος και γεγονότα...18 1.3 Τεχνικές απαρίθµησης...20 1.4 Μεταθέσεις στοιχείων διαφορετικών ειδών
X = συνεχης. Είναι εμφανές ότι αναγκαία προϋπόθεση για την ύπαρξη της ροπογεννήτριας
Ροπογεννήτριες (mome geerig fucios), πιθανογεννήτριες (robbiliy geerig fucios) και χαρακτηριστικές συναρτήσεις (chrcerisic fucios) Η ροπογεννήτρια συνάρτηση της τμ είναι η πραγματική συνάρτηση πραγματικής
Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ. M. Kούτρας
Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 Επισκόπηση ύλης Πιθανοτήτων: Μέρος ΙΙ M. Kούτρας Πειραιάς, 2015 1 Από κοινού συνάρτηση πιθανότητας μιας δισδιάστατης διακριτής τυχαίας μεταβλητής
Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές Ι
Στατιστική Ι-Θεωρητικές Κατανομές Ι Γεώργιος Κ. Τσιώτας Τμήμα Οικονομικών Επιστημών Σχολή Κοινωνικών Επιστημών Πανεπιστήμιο Κρήτης 12 Δεκεμβρίου 2012 Περιγραφή 1 Θεωρητικές Κατανομές Η Χρήση των Θεωρητικών
Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ
Χρονικές σειρές 5 Ο μάθημα: Γραμμικά στοχαστικά μοντέλα (1) Αυτοπαλίνδρομα μοντέλα Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 Τμήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή,
ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ
- - ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ Πρόγραμμα Σπουδών: ΔΙΟΙΚΗΣΗ ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΕΩΝ και ΟΡΓΑΝΙΣΜΩΝ Θεματική Ενότητα: ΔΕΟ3 Ποσοτικές Μέθοδοι Ακαδημαϊκό Έτος: 009-0 ΤΥΠΟΛΟΓΙΟ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ - - ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ ΣΥΝΟΨΗΣ
Θεωρία Πιθανοτήτων & Στατιστική
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ & Στατιστική Ενότητα 4 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών & Μηχανικών Υπολογιστών Α.Π.Θ.
ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ. Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος.
3. ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΠΤΥΓΜA - ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER ΑΝΑΛΟΓΙΚΩΝ ΣΗΜΑΤΩΝ Περιγράψουµε τον τρόπο ανάπτυξης σε σειρά Fourier ενός περιοδικού αναλογικού σήµατος. Ορίσουµε το µετασχηµατισµό Fourier ενός µη περιοδικού
Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.)
Τυχαίες Μεταβλητές (τ.µ.) Τυχαία Μεταβλητή (τ.µ.) : συνάρτηση Χ (.) µε πεδίο ορισµού τον δειγµατικό χώρο Ω και πεδίο τιµών ένα σύνολο πραγµατικών αριθµών. X (.) : Ω D ιακριτές τ.µ. Συνεχείς τ.µ. Η πιθανοτική
Στατιστική Συμπερασματολογία
Στατιστική Συμπερασματολογία Διαφάνειες 1 ου κεφαλαίου Βιβλίο: Κολυβά Μαχαίρα, Φ. & Χατζόπουλος Στ. Α. (2016). Μαθηματική Στατιστική, Έλεγχοι Υποθέσεων. [ηλεκτρ. βιβλ.] Αθήνα: Σύνδεσμος Ελληνικών Ακαδημαϊκών
Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές
Χρονικές σειρές 2 Ο μάθημα: Εισαγωγή στις χρονοσειρές Εαρινό εξάμηνο 2018-2019 μήμα Μαθηματικών ΑΠΘ Διδάσκουσα: Αγγελική Παπάνα Μεταδιδακτορική Ερευνήτρια Πολυτεχνική σχολή, Α.Π.Θ. & Οικονομικό μήμα, Πανεπιστήμιο
Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία
Τυχαία Διανύσματα και Ανεξαρτησία Θα γενικεύσουμε την έννοια της τυχαίας μεταβλητής από συνάρτηση στο R σε συνάρτηση στο R n. Ακολούθως, θα επεκτείνουμε τις έννοιες με τις οποίες ασχοληθήκαμε μέχρι τώρα
Στατιστική. Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 3 η : Χαρακτηριστικά Τυχαίων Μεταβλητών Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας για Διακριτή Τυχαία Μεταβλητή Γεώργιος Ζιούτας Άδειες
3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής.
3. Προσομοίωση ενός Συστήματος Αναμονής. 3.1. Διατύπωση του Προβλήματος. Τα συστήματα αναμονής (queueing systems), βρίσκονται πίσω από τα περισσότερα μοντέλα μελέτης της απόδοσης υπολογιστικών συστημάτων,
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ
ΣΥΝΔΥΑΣΤΙΚΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ 1.Έστω ο δειγματικός χώρος Ω = { 1,,, K,10} με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Να 4 βρείτε την πιθανότητα ώστε η συνάρτηση f ( x ) = x 4x + λ να
Βιομαθηματικά BIO-156
Βιομαθηματικά BIO-156 Τυχαίες μεταβλητές Κατανομές Πιθανοτήτων Ντίνα Λύκα Εαρινό Εξάμηνο, 013 lika@biology.uoc.gr Τυχαία Μεταβλητή τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) (X) είναι μια συνάρτηση που σε κάθε απλό ενδεχόμενο
Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή
Γνωστές κατανομές συνεχών μεταβλητών (συν.) (Δ). Γάμμα κατανομή Συνάρτηση Γάμμα: Ιδιότητες o d Γ(α+)=αΓ(α) - αναδρομική συνάρτηση Γ(α+) = α! αν α ακέραιος. Πιθανότητες & Στατιστική 5 Τμήμα Μηχανικών Η/Υ
( ) log 2 = E. Σεραφείµ Καραµπογιάς
Παρατηρούµε ότι ο ορισµός της Η βασίζεται στη χρονική µέση τιµή. Για να ισχύει ο ορισµός αυτός και για µέση τιµή συνόλου πρέπει η πηγή να είναι εργοδική, δηλαδή H ( X) ( ) = E log 2 p k Η εντροπία µιας
x. Αν ισχύει ( ) ( )
ΛΥΣΕΙΣ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΓΕΝΙΚΗΣ 000 ΘΕΜΑ Α Α. Να αποδείξετε ότι η παράγωγος τις συνάρτησης c f είναι ίση με c f Θεωρία σχολικό σελίδα 0 Β. Έστω μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού το Α και Β το σύνολο
Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής. 1 η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5/12/08 Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ. 3 ο Θέµα
Εργαστήριο Μαθηµατικών & Στατιστικής Α ΣΕΙΡΑ ΘΕΜΑΤΩΝ η Πρόοδος στο Μάθηµα Στατιστική 5//8 ο Θέµα To % των ζώων µιας µεγάλης κτηνοτροφικής µονάδας έχει προσβληθεί από µια ασθένεια. Για τη διάγνωση της συγκεκριµένης
Πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων και διάµεσος µιας τυχαίας µεταβλητής ρ. Παναγιώτης Λ. Θεοδωρόπουλος πρώην Σχολικός Σύµβουλος ΠΕ03 e-mail@p-theodoropoulos.gr Πρόλογος Στην εργασία αυτή αναλύονται
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ
ΕΛΛΗΝΙΚΟ ΑΝΟΙΚΤΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΡΟΓΡΑΜΜΑ ΣΠΟΥ ΩΝ «ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ» ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΙΑ ΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ (ΘΕ ΠΛΗ ) ΠΡΟΤΕΙΝΟΜΕΝΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ TEΛΙΚΗΣ ΕΞΕΤΑΣΗΣ 7 Ιουνίου 8 Θέµα ο ( µονάδες) α) ( µονάδες) yz yz του διανυσµατικού
Τυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου
Τυχαίες Μεταβλητές Γεώργιος Γαλάνης Κωνσταντίνα Παναγιωτίδου Σχολή Ναυτικών οκίµων Ακ. Ετος 2018-2019 Τυχαίες Μεταβλητές Συνάρτηση Κατανοµής ιακριτές Τυχαίες Μεταβλητές Παράµετροι τ.µ. Συνεχείς Τυχαίες
ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ
Τµ. Επιστήµης των Υλικών ειγµατοληψία Με ιάταξη ειγµατοληψία Χωρίς ιάταξη Χωρίς Επανατοποθέτηση (n)k Με Επανατοποθέτηση n k Χωρίς Επανατοποθέτηση ( n k) Με Επανατοποθέτηση ( n+k 1 ) k ειγµατοληψία Με ιάταξη
Α. α) ίνεται η συνάρτηση F(x)=f(x)+g(x). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F (x)=f (x)+g (x).
Νίκος Σούρµπης - - Γιώργος Βαρβαδούκας ΘΕΜΑ ο Α. α) ίνεται η συνάρτηση F()=f()+g(). Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες, να αποδείξετε ότι: F ()=f ()+g (). β)να γράψετε στο τετράδιό σας τις παραγώγους
2. Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών
Στοιχεία Πολυδιάστατων Κατανοµών Είναι φανερό ότι έως τώρα η µελέτη µας επικεντρώνεται κάθε φορά σε πιθανότητες που αφορούν µία τυχαία µεταβλητή Σε αρκετές όµως περιπτώσεις ενδιαφερόµαστε να εξετάσουµε
Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων
Επεξεργασία Στοχαστικών Σημάτων Σεραφείμ Καραμπογιάς Σχολή Θετικών Επιστημών Τμήμα Πληροφορικής και Τηλεπικοινωνιών Η Έννοια της τυχαίας Διαδικασίας Η έννοια της τυχαίας διαδικασίας βασίζεται στην επέκταση
εξαρτάται από το θ και για αυτό γράφουµε την σ.π.π. στην εξής µορφή: ( θ, + ) θ θ n 2n (θ,+ ) 1, 0, x θ.
Άσκηση : Έστω Χ,,Χ τυχαίο δείγµα µεγέους από την κατανοµή µε σππ 3 p (,, >, > 0 α είξτε ότι η στατιστική συνάρτηση Τ( Χ : Χ ( m είναι επαρκής για την παράµετρο και πλήρης κ β Βρείτε ΑΕΕ του α Το στήριγµα
X(t) = A cos(2πf c t + Θ) (1) 0, αλλού. 2 cos(2πf cτ) (9)
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-5: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 05-6 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις - Τυχαίες ιαδικασίες Ασκηση. Εστω
Είδη Μεταβλητών. κλίµακα µέτρησης
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Κεφάλαιο 1 Εισαγωγικές Έννοιες 19 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 Η Μεταβλητότητα Η Στατιστική Ανάλυση Η Στατιστική και οι Εφαρµοσµένες Επιστήµες Στατιστικός Πληθυσµός και Δείγµα Το στατιστικό
Τυχαίες Μεταβλητές. Ορισμός
Τυχαίες Μεταβλητές Ορισμός Μία τυχαία μεταβλητή (τ.μ.) είναι μία συνάρτηση (ή μία μεταβλητή) η οποία καθορίζει αριθμητικές τιμές σε μία ποσότητα που σχετίζεται με το αποτέλεσμα ενός πειράματος, όπου μία
ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΜΕΡΟΣ Α (Σ. ΧΑΤΖΗΣΠΥΡΟΣ) . Δείξτε ότι η στατιστική συνάρτηση T = X( n)
ΛΥΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι ΜΕΡΟΣ Α (Σ. ΧΑΤΖΗΣΠΥΡΟΣ) Θέμα ο (Παρ..3.4, Παρ..4.3, Παρ..4.8.) Εάν = ( ) τυχαίο δείγμα από την ομοιόμορφη ( 0, ) X X,, X. Δείξτε ότι η στατιστική συνάρτηση T = X = το δειγματικό
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2005
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 005 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόµενα Α και Β ενός δειγµατικού χώρου Ω ισχύει: P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Τα απλά ενδεχόµενα
Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 19/5/2017
Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση και Συσχέτιση 2 Εισαγωγή Η ανάλυση παλινδρόμησης περιλαμβάνει το σύνολο των μεθόδων της στατιστικής που αναφέρονται σε ποσοτικές σχέσεις μεταξύ μεταβλητών Πρότυπα παλινδρόμησης
Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Πρόλογος 75 Κεφ. Ιο ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ 1.1. Τυχαία γεγονότα ή ενδεχόμενα 17 1.2. Πειράματα τύχης - Δειγματικός χώρος 18 1.3. Πράξεις με ενδεχόμενα 20 1.3.1. Ενδεχόμενα ασυμβίβαστα
Μέση Τιµή. Έστω Χ τ.µ. και f Χ (x) ησ.π. ήσ.π.π. της Χ Μέση ή αναµενόµενη τιµή της Χ είναι ο αριθµός: αν η Χ είναι διακριτή, και αν η Χ είναι συνεχής.
Μέση Τιµή Έστω Χ τ.µ. και f Χ (x) ησ.π. ήσ.π.π. της Χ Μέση ή αναµενόµενη τιµή της Χ είναι ο αριθµός: E( ) µ xf ( x) E( ) µ xf ( x) dx Παραδείγµατα: = = x = = αν η Χ είναι διακριτή, και αν η Χ είναι συνεχής.
ιαφορική εντροπία Σεραφείµ Καραµπογιάς
ιαφορική εντροπία Σεραφείµ Καραµπογιάς Για πηγές διακριτού χρόνου µε συνεχές αλφάβητο, των οποίων οι έξοδοι είναι πραγµατικοί αριθµοί, ορίζεται µια άλλη ποσότητα που µοιάζει µε την εντροπία και καλείται
Ευκλείδειοι Χώροι. Ορίζουµε ως R n, όπου n N, το σύνολο όλων διατεταµένων n -άδων πραγµατικών αριθµών ( x
Ευκλείδειοι Χώροι Ορίζουµε ως R, όπου N, το σύνολο όλων διατεταµένων -άδων πραγµατικών αριθµών x, x,, x ) Tο R λέγεται ευκλείδειος -χώρος και τα στοιχεία του λέγονται διανύσµατα ή σηµεία Το x i λέγεται
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ ΛΑΘΟΥΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ Γ ΓΕΝΙΚΗΣ 1 ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ 1. Ένα σηµείο Α(χ, ψ) ανήκει στη γραφική παράσταση της f αν f(ψ)=χ. 2. Αν µια συνάρτηση είναι γνησίως αύξουσα σε ένα διάστηµα A,
pdf: X U(a, b) 0, x < a 1 b a, a x b 0, x > b
Πιθανότητες και Αρχές Στατιστικής (8η Διάλεξη) Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής, Πανεπιστήμιο Πατρών Ακαδημαϊκό Ετος 2018-2019 Σωτήρης Νικολετσέας, καθηγητής 1 / 41 Περιεχόμενα
0 x < (x + 2) 2 x < 1 f X (x) = 1 x < ( x + 2) 1 x < 2 0 x 2
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 6-7 ιδάσκων : Π. Τσακαλίδης Φροντιστήριο 9 Επιµέλεια : Γιαννόπουλος Μιχάλης Ασκηση Εστω X συνεχής Τ.Μ. µε Συνάρτηση Πυκνότητας
ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές
ΠΟΣΟΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ στη Ναυτιλία και τις Μεταφορές ΠΜΣ στη «Ναυτιλία» Τμήμα Β art time Χαράλαμπος Ευαγγελάρας hevangel@unipi.gr Η έννοια της Πιθανότητας Ο όρος πιθανότητα είναι συνδέεται άμεσα με τη μελέτη
ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 11 ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ - ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΤΥΧΑΙΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ Θα εισαγάγουμε την έννοια του τυχαίου αριθμού με ένα παράδειγμα. Παράδειγμα: Θεωρούμε μια τυχαία μεταβλητή με συνάρτηση πιθανότητας η οποία σε
Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας
Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Α. ΔΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ α) Διακριτή Ομοιόμορφη κατανομή β) Διωνυμική κατανομή γ) Υπεργεωμετρική κατανομή δ) κατανομή Poisson Β. ΣΥΝΕΧΕΙΣ
10ο Φροντιστηριο ΗΥ217 - Επαναληπτικό
ο Φροντιστηριο ΗΥ7 - Επαναληπτικό Επιµέλεια : Γ. Καφεντζής 7 Ιανουαρίου 4 Ασκηση. Το σήµα s µεταδίδεται από ένα δορυφόρο αλλά λόγω της επίδρασης του ϑορύβου το λαµβανόµενο σήµα έχει τη µορφή X s + W. Οταν
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 2015 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ & ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ ΕΙΑΣ 05 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑ Α Α. Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιµες στο R, να αποδείξετε ότι: f + g ' = f ' + g ', R Μονάδες 7 Α. Πότε λέµε ότι µια συνάρτηση
Pr(10 X 15) = Pr(15 X 20) = 1/2, (10.2)
Κεφάλαιο 10 Συνεχείς τυχαίες μεταβλητές Σε αυτό το κεφάλαιο θα εξετάσουμε τις ιδιότητες που έχουν οι συνεχείς τυχαίες μεταβλητές. Εκείνες οι Τ.Μ. X, δηλαδή, των οποίων το σύνολο τιμών δεν είναι διακριτό,
Markov. Γ. Κορίλη, Αλυσίδες. Αλυσίδες Markov
Γ. Κορίλη, Αλυσίδες Markov 3- http://www.seas.upe.edu/~tcom5/lectures/lecture3.pdf Αλυσίδες Markov Αλυσίδες Markov ιακριτού Χρόνου Υπολογισµός Στάσιµης Κατανοµής Εξισώσεις Ολικού Ισοζυγίου Εξισώσεις Λεπτοµερούς
x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ. ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv. Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΡΟΛΟΓΟΣ... vii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ... ix ΓΕΝΙΚΗ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ... xv Κεφάλαιο 1 ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΑΠΟ ΤΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 1.1 Πίνακες, κατανομές, ιστογράμματα... 1 1.2 Πυκνότητα πιθανότητας, καμπύλη συχνοτήτων... 5 1.3
Στοχαστικές Ανελίξεις (2) Αγγελική Αλεξίου
Στοχαστικές Ανελίξεις (2) Αγγελική Αλεξίου alexiou@unipi.gr 1 Στοχαστικές Διαδικασίες 2 Στοχαστική Διαδικασία Στοχαστικές Ανελίξεις Α. Αλεξίου 3 Στοχαστική Διαδικασία ως συλλογή από συναρτήσεις χρόνου
ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ
ΑΝΤΙΚΕΙΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ Χρήση τυχαίων µεταβλητών για την απεικόνιση εκβάσεων τυχαίου πειράµατος Κατανόηση της έννοιας κατανοµής πιθανοτήτων τυχαίας µεταβλητής Υπολογισµός της συνάρτηση κατανοµής πιθανοτήτων
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Λέκτορας v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Εκτίμηση Διαστήματος
f(y) dy = b a dy = b a x f(x) dx = b a dx = x 2 = b2 a 2 2(b a) b a dx = = (a2 + ab + b 2 )(b a) 3(b a)
Κεφάλαιο 11 Συνεχείς κατανομές και ο Ν.Μ.Α. Στο προηγούμενο κεφάλαιο ορίσαμε την έννοια της συνεχούς τυχαίας μεταβλητής, και είδαμε τις βασικές της ιδιότητες. Εδώ θα περιγράψουμε κάποιους ιδιαίτερους τύπους
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 5
ΣΤΟΧΑΣΤΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ & ΕΠΙΚΟΙΝΩΝΙΕΣ 1o Τμήμα (Α - Κ): Αμφιθέατρο 4, Νέα Κτίρια ΣΗΜΜΥ Θεωρία Πιθανοτήτων & Στοχαστικές Ανελίξεις - 5 5.10 Θόρυβος (Noise) καθ. Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@etmode.tua.gr www.etmode.tua.gr
HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών. Χρόνου (Ι)
HMY 429: Εισαγωγή στην Επεξεργασία Ψηφιακών Σημάτων Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Διάλεξη 5: Στοχαστικά/Τυχαία Σήματα Διακριτού Χρόνου (Ι) Στοχαστικά σήματα Στα προηγούμενα: Ντετερμινιστικά
Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα
Τμήμα Τεχνολόγων Γεωπόνων-Κατεύθυνση Αγροτικής Οικονομίας Εφαρμοσμένη Στατιστική Μάθημα 4 ο :Τυχαίες μεταβλητές Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Ορισμός τυχαίας μεταβλητής Τυχαία μεταβλητή λέγεται η συνάρτηση
Στατιστική. Ενότητα 4 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Διακριτής και Συνεχούς Τυχαίας Μεταβλητής. Γεώργιος Ζιούτας Τμήμα Χημικών Μηχανικών Α.Π.Θ.
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Ενότητα 4 η : Θεωρητικές Κατανομές Πιθανότητας Διακριτής και Συνεχούς Τυχαίας Μεταβλητής Γεώργιος Ζιούτας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό
ΒΑΣΙΚΕΣ ΙΑΚΡΙΤΕΣ ΚΑΤΑΝΟΜΕΣ (Συνέχεια)
(Συνέχεια) Χαράλαµπος Α. Χαραλαµπίδης 23 Νοεµβρίου 2009 Γεωµετρική κατανοµή Ορισµός Εστω X ο αριθµός των δοκιµών µέχρι την πρώτη επιτυχία σε µια ακολουθία ανεξαρτήτων δοκιµών Bernoulli µε πιθανότητα επιτυχίας
P(200 X 232) = =
ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ. Το μέγεθος ενός αναλογικού σήματος, που λαμβάνεται από έναν ανιχνευτή και μετράται σε microvolts, είναι τυχαία μεταβλητή που ακολουθεί την Κανονική κατανομή Ν(00, 6) σε συγκεκριμένη
ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ
ΠΕΡΙΓΡΑΦΙΚΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΑΤΑΞΙΝΟΜΗΜΕΝΑ Ε ΟΜΕΝΑ Αριθµητικός Μέσος: όπου : αριθµός παρατηρήσεων ιάµεσος: εάν άρτιος εάν περιττός M + + M + Παράδειγµα: ηλ.: Εάν :,,, M + + 5 + +, 5 Εάν :,, M + Επικρατούσα Τιµή:
Ορισμός και Ιδιότητες
ΚΑΝΟΝΙΚΗ ΚΑΤΑΝΟΜΗ Ορισμός και Ιδιότητες H κανονική κατανομή norml distriution θεωρείται η σπουδαιότερη κατανομή της Θεωρίας Πιθανοτήτων και της Στατιστικής. Οι λόγοι που εξηγούν την εξέχουσα θέση της,
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΤΗΛΕΦΩΝΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ
ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ Ι ΙΟΤΗΤΕΣ ΤΗΣ ΤΗΛΕΦΩΝΙΚΗΣ ΚΙΝΗΣΗΣ Τέλεια δέσµη: όλες οι γραµµές της είναι προσπελάσιµες από οποιαδήποτε είσοδο. Ατελής δέσµη: όλες οι γραµµές της δεν είναι προσπελάσιµες από οποιαδήποτε είσοδο
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΑΝΑΜΟΝΗΣ Queuing Systems Επισκόπηση Γνώσεων Πιθανοτήτων Κατανομή Poisson & Εκθετική Κατανομή Διαδικασία Markov Γεννήσεων Θανάτων (Birth Death Markov Processes) Βασίλης Μάγκλαρης maglaris@netmode.ntua.gr
MAJ. MONTELOPOIHSH II
MAJ MONTELOPOIHSH II ΤΜΗΜΑ ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΕΑΡΙΝΟ ΕΞΑΜΗΝΟ 009 ΦΥΛΛΑΔΙΟ ΑΣΚΗΣΕΩΝ ΙV Οι ασκήσεις είναι από το βιβλίο του Simon Haykin Θα ακολουθήσει ακόμη ένα φυλλάδιο τις επόμενες μέρες Άσκηση
12xy(1 x)dx = 12y. = 12 y. = 12 y( ) = 12 y 1 6 = 2y. x 6x(1 x)dx = 6. dx = 6 3 x4
Πανεπιστήµιο Κρήτης - Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών ΗΥ-7: Πιθανότητες-Χειµερινό Εξάµηνο 5 ιδάσκων: Π. Τσακαλίδης Λύσεις 6ης Σειρά Ασκήσεων Ασκηση. α) Η περιθωριακή σ.π.π. της f X,Y για την τ.µ X γίνεται:
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα