ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΩΝ ΕΥΚΑΜΠΤΩΝ ΟΔΟΣΤΡΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΚΙΝΟΥΜΕΝΑ ΟΧΗΜΑΤΑ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ

Transcript

1 ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΠΑΤΡΩΝ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΠΟΛΙΤΙΚΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΠΟΚΡΙΣΗ ΤΡΙΣΔΙΑΣΤΑΤΩΝ ΕΥΚΑΜΠΤΩΝ ΟΔΟΣΤΡΩΜΑΤΩΝ ΣΕ ΚΙΝΟΥΜΕΝΑ ΟΧΗΜΑΤΑ ΜΕ ΜΕΘΟΔΟ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ ΔΙΔΑΚΤΟΡΙΚΗ ΔΙΑΤΡΙΒΗ ΝΙΚΗ Δ. ΜΠΕΣΚΟΥ Πτυχιούχος Πολιτικός Μηχανικός Τ.Ε., M.Sc. ΠΑΤΡΑ 2016

2 ΠΡΟΛΟΓΟΣ Η παρούσα διδακτορική διατριβή αποτελεί το επιστέγασμα προσπαθειών πέντε ετών και εκπονήθηκε στο Εργαστήριο Συγκοινωνιακών Έργων του Τμήματος Πολιτικών Μηχανικών του Πανεπιστημίου Πατρών. Θα ήθελα αρχικά να ευχαριστήσω τον Επιβλέποντα Καθηγητή μου κ. Δημήτριο Δ. Θεοδωρακόπουλο, Διευθυντή του Εργαστηρίου Συγκοινωνιακών Έργων, για την επιστημονική, τεχνική και ηθική υποστήριξή του σε όλα τα στάδια της εργασίας. Αμέσως μετά θα ήθελα να ευχαριστήσω τους Αναπληρωτές Καθηγητές κκ. Γεώργιο Δ. Χατζηγεωργίου και Αθανάσιο Π. Χασιακό, μέλη της τριμελούς συμβουλευτικής επιτροπής μου, για την επιστημονική και ηθική βοήθειά τους. Θα ήθελα επίσης να απευθύνω ιδιαίτερες ευχαριστίες στον Επίκουρο Καθηγητή κ. Στέφανο Β. Τσινόπουλο για την πολύτιμη επιστημονική και τεχνική βοήθειά του σε θέματα σχετικά με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων. Ευχαριστίες επίσης απευθύνονται στα μέλη της εξεταστικής μου επιτροπής Καθηγητές κκ. Γεώργιο Στεφανίδη, Δημήτριο Καράμπαλη και Δημοσθένη Πολύζο και Επίκουρο Καθηγητή κ. Μανώλη Σφακιανάκη για τη συμμετοχή τους και τις χρήσιμες υποδείξεις τους. Επίσης θα ήθελα να ευχαριστήσω το Ίδρυμα Κρατικών Υποτροφιών (Ι.Κ.Υ.) για την οικονομική του στήριξη κατά την διάρκεια της εκπόνησης της παρούσας διατριβής μέσω του προγράμματος Υποτροφίες Αριστείας Ι.Κ.Υ. για Μεταπτυχιακές Σπουδές στην Ελλάδα-Πρόγραμμα Siemens. Τέλος θα ήθελα να ευχαριστήσω τους γονείς μου Δημήτριο Μπέσκο και Γεωργία Γεώργα για την αμέριστη ηθική και υλική βοήθειά τους καθ όλα τα έτη των μεταπτυχιακών σπουδών μου καθώς και τον σύντροφό μου Γεώργιο Κομπούγια για την μεγάλη ηθική του στήριξη και υπομονή. ii

3 ΠΕΡΙΛΗΨΗ Στην παρούσα εργασία παρουσιάζεται μία ολοκληρωμένη μεθοδολογία για τον προσδιορισμό της δυναμικής απόκρισης τρισδιάστατων εύκαμπτων οδοστρωμάτων σε κινούμενα με σταθερή ταχύτητα οχήματα. Η ανάλυση πραγματοποιείται με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων στο πεδίο του χρόνου μέσα στο πλαίσιο του εμπορικού προγράμματος ANSYS. Ο πεπερασμένος χώρος της κατασκευής του οδοστρώματος καθορίζεται από τέσσερα επίπεδα με ιξωδοελαστικούς απορροφητήρες ή απλές κυλίσεις, την οριζόντια επιφάνεια του οδοστρώματος και το επίπεδο συμμετρίας που διέρχεται από τον άξονα της οδού. Η διακριτοποίηση του χώρου αυτού γίνεται με ορθογώνια παραλληλεπίπεδα στοιχεία. Τα κινούμενα φορτία (τροχοί) του οχήματος προσομοιώνονται με τον καθορισμό τιμών φορτίου συναρτήσει του χρόνου σε όλους τους κόμβους της επιφάνειας κατά μήκος του άξονα κίνησης του οχήματος, οι οποίες ενεργοποιούνται στο χρόνο που χρειάζεται κάθε φορτίο να διανύσει την απόσταση από την αρχή της κίνησης μέχρι τον κάθε κόμβο του άξονα. Μελετώνται τόσο συγκεντρωμένα όσο και διανεμημένα κινούμενα φορτία. Αρχικά γίνεται η υπόθεση ότι το οδόστρωμα αποτελείται από ομογενές γραμμικά ελαστικό υλικό για το οποίο υπάρχουν αναλυτικές λύσεις για συγκεντρωμένο και διανεμημένο κινούμενο φορτίο. Έτσι είναι δυνατόν μέσω μελετών σύγκρισης και σύγκλισης να προσδιορισθεί εκείνος ο χώρος, εκείνη η διακριτοποίησή του, εκείνο το είδος συνοριακών συνθηκών και εκείνο το χρονικό βήμα ολοκλήρωσης των εξισώσεων κίνησης, ώστε να επιτευχθεί απόκριση αποδεκτού λάθους με λογικό υπολογιστικό φορτίο. Αυτές οι μελέτες σύγκρισης και σύγκλισης επαναλαμβάνονται και στην περίπτωση οδοστρωμάτων που αποτελούνται από τρεις ελαστικές στρώσεις και διατυπώνονται τελικές υποδείξεις για την βέλτιστη εφαρμογή της μεθόδου. Ακολούθως προσδιορίζεται η απόκριση οδοστρώματος αποτελούμενου από τρεις ή περισσότερες στρώσεις με ανελαστική συμπεριφορά υλικού σε κινούμενο διανεμημένο φορτίο με διάφορες ταχύτητες. Εξετάζονται οι περιπτώσεις η επιφανειακή στρώση να είναι ελαστική ή ιξωδοελαστική ή ιξωδοπλαστική και οι υπόλοιπες στρώσεις ελαστικές ή ελαστοπλαστικές τύπου Drucker-Prager με επιφάνεια διαρροής κωνικής μορφής. Η απόκριση περιλαμβάνει κυρίως την κατακόρυφη μετατόπιση στην επιφάνεια της ασφαλτικής στρώσης και τάσεις και παραμορφώσεις στην κάτω επιφάνεια της ασφαλτικής στρώσης και στην άνω επιφάνεια της στρώσης του υπεδάφους, που είναι απαραίτητες για iii

4 σχεδιαστικούς σκοπούς. Γίνονται συγκρίσεις με άλλες αριθμητικές λύσεις και με πειραματικά αποτελέσματα πεδίου και αποδεικνύεται ότι η ανωτέρω μεθοδολογία είναι ικανή να προσεγγίσει με ικανοποιητική ακρίβεια την πραγματικότητα. Εκτελούνται επίσης διάφορες παραμετρικές μελέτες και βρίσκεται ότι οι μέγιστες τιμές της ανελαστικής απόκρισης μειώνονται με αύξηση της ταχύτητας σε συμφωνία με το πείραμα και σε αντιδιαστολή με την περίπτωση που όλες οι στρώσεις είναι ελαστικές για την οποία συμβαίνει ακριβώς το αντίθετο. Επί πλέον παρατηρείται ότι οι μέγιστες τιμές της ανελαστικής απόκρισης είναι πάντα μεγαλύτερες από τις αντίστοιχες τιμές της περίπτωσης για την οποία όλες οι στρώσεις είναι ελαστικές. Τέλος, η αναπτυχθείσα μεθοδολογία εφαρμόζεται στη δημιουργία εμπειρικών σχέσεων κόπωσης ασφαλτικού υλικού οδοστρωμάτων με τη βοήθεια υπαρχουσών μετρήσεων σε εύκαμπτα οδοστρώματα. iv

5 ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΠΡΟΛΟΓΟΣ...ii ΠΕΡΙΛΗΨΗ...iii ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ...v ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ...vii ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ...xi 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΑΤΙΚΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Μέθοδοι αναλυτικοί Μέθοδοι αριθμητικοί Μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων (ΜΠΣ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΟΡΤΙΩΝ ΟΧΗΜΑΤΩΝ Φορτία οχημάτων Προσομοίωση κινούμενων φορτίων ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Προσομοίωση οδοστρώματος κατά την ΜΠΣ Επίλυση εξισώσεων ΜΠΣ στο πεδίο του χρόνου Αριθμητικές μελέτες δυναμικής απόκρισης Επίδραση ιξώδους απόσβεσης Συμπεράσματα ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΝΕΛΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Προσομείωση ΜΠΣ στα πεδία χώρου και χρόνου Προσομείωση συμπεριφοράς υλικών των στρώσεων Συγκρίσεις με υπάρχουσες λύσεις και πειράματα πεδίου Συγκρίσεις μεταξύ ανελαστικών και ελαστικών προσομοιωμάτων Συμπεράσματα ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ Κριτήρια αστοχίας στο σχεδιασμό Ανάπτυξη κριτηρίου αστοχίας σε κόπωση..103 v

6 7. ΓΕΝΙΚΑ ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ ΠΡΟΤΑΣΕΙΣ ΓΙΑ ΜΕΛΛΟΝΤΙΚΗ ΕΡΕΥΝΑ ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ 113 vi

7 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΣΧΗΜΑΤΩΝ Σχήμα 2.1: Ορθές και διατμητικές τάσεις σε ελαστικό ημίχωρο λόγω αξονοσυμμετρικής στατικής φόρτισης (από Huang, 2004)...7 Σχήμα 2.2: Σύστημα n στρώσεων υπό διανεμημένο στατικό φορτίο σε κυκλική επιφάνεια (από Huang, 2004).10 Σχήμα 2.3: Κατανομή κατακόρυφων τάσεων σ z σε σύστημα δύο ελαστικών στρώσεων κατά Burmister (1958)...11 Σχήμα 2.4: Κατακόρυφη μετατόπιση στην επιφάνεια συστήματος δύο ελαστικών στρώσεων κατά Burmister (1958).12 Σχήμα 2.5: Μετασχηματισμός συστήματος ελαστικών στρώσεων κατά Odemark (1949)..12 Σχήμα 2.6: Τάσεις στις διεπιφάνειες ενός συστήματος τριών ελαστικών στρώσεων λόγω στατικής φόρτισης (από Huang, 2004)..14 Σχήμα 2.7: Διακριτοποίηση οδοστρώματος σε αξονοσυμμετρικά πεπερασμένα στοιχεία (από Ullidtz, 1998)..16 Σχήμα 2.8: Κόμβοι και επικόμβιες μετατοπίσεις σε τριγωνικό επίπεδο πεπερασμένο στοιχείο (από Ullidtz, 1998)...17 Σχήμα 3.1: Ίχνη τροχών τυπικού Αμερικανικού φορτηγού οχήματος τριών αξόνων (από Huang, 2004)...21 Σχήμα 3.2: Διαστάσεις επιφάνειας επαφής ενός τροχού με επιφάνεια οδοστρώματος και ισοδύναμες ορθογωνικές και κυκλικές προς αυτήν επιφάνειες (από Huang, 2004)..24 Σχήμα 3.3: Διαδοχή ισοδύναμων επιφανειών των ιχνών διπλών τροχών μονού άξονα βάρους 18kip = 80kN (από Huang, 2004).25 Σχήμα 3.4: Τυπικό βαρύ φορτηγό όχημα με 4 άξονες και βάρος 80kN 26 Σχήμα 3.5: Άνω διακριτοποιημένο μέρος επιφάνειας οδοστρώματος με 4 διαδοχικούς κόμβους κατά μήκος του άξονα κίνησης x.27 Σχήμα 3.6: Φόρτιση κόμβου i+1 με φορτίο P D...28 Σχήμα 3.7: Φόρτιση κόμβου i+1 με ολικό φορτίο οχήματος τεσσάρων αξόνων...29 Σχήμα 4.1: Γενική γεωμετρία της μισής κατασκευής οδοστρώματος (συμμετρία ως προς το επίπεδο x-z): (OR) = m, (OA) = (BR) =13.20 m, (AQ) = (QB) = 1.80 m, (OC) = m, (CD) = 0.15 m, (DF) = 0.30 m, (FG) = m 31 vii

8 Σχήμα 4.2: Διακριτοποίηση του προσομοιώματος του Σχ.4.1 σε πεπερασμένα στοιχεία με κόμβους 32 Σχήμα 4.3: Οκτάκομβο τρισδιάστατο πεπερασμένο στοιχείο (SOLID185, με 24 βαθμούς ελευθερίας)..33 Σχήμα 4.4: Κατακόρυφο τεχνητό σύνορο (εξωτερική πλευρά του τρισδιάστατου πεπερασμένου στοιχείου) και ιξώδεις αποσβεστήρες 34 Σχήμα 4.5: Τεχνητό σύνορο κάτω οριζόντιας επιφάνειας του χωρίου με επικόμβια ελατήρια εδάφους...35 Σχήμα 4.6: Απλές συνοριακές συνθήκες: (a) κυλίσεις στις τρεις κατακόρυφες πλευρές και στην κάτω οριζόντια του χωρίου, (b) κυλίσεις μόνο στην κάτω οριζόντια πλευρά του χωρίου και ελευθερία κινήσεων στις τρεις κατακόρυφες πλευρές του..36 Σχήμα 4.7: Κατακόρυφη μετατόπιση u z συναρτήσει του χρόνου σε βάθος z = -1.00m κάτω από το σημείο Q του ελαστικού ημιχώρου λόγω συγκεντρωμένου φορτίου P = 80kN κινούμενου με ταχύτητα V = 10, 20, 35, 50m/s (προσομοίωμα χωρίου Β με κυλίσεις παντού και Δt = 0.3*10-3 secs )...42 Σχήμα 4.8: Κατακόρυφη μετατόπιση u z συναρτήσει του χρόνου σε βάθος z = 0.00m λόγω διανεμημένου φορτίου p = MPa κινούμενου με ταχύτητα V = 20, 50m/s στον ελαστικό ημίχωρο με στρώσεις (προσομοίωμα χωρίου Β με κυλίσεις παντού και Δt = 0.3*10-3 secs ).49 Σχήμα 4.9: Παραμόρφωση ε x συναρτήσει του χρόνου σε βάθος z = -0.15m λόγω διανεμημένου φορτίου p = MPa κινούμενου με ταχύτητα V = 20, 50m/s στον ελαστικό ημίχωρο με στρώσεις (προσομοίωμα χωρίου Β με κυλίσεις παντού και Δt = 0.3*10-3 secs ).49 Σχήμα 4.10: Τάση σ z συναρτήσει του χρόνου σε βάθος z = -0.45m λόγω διανεμημένου φορτίου p = MPa κινούμενου με ταχύτητα V = 20, 50m/s στον ελαστικό ημίχωρο με στρώσεις (προσομοίωμα χωρίου Β με κυλίσεις παντού και Δt = 0.3*10-3 secs) 50 Σχήμα 5.1: Ελαστοπλαστική σχέση τάσης σ - παραμόρφωσης ε...57 Σχήμα 5.2: Επιφάνεια διαρροής ελαστοπλαστικού προσομοιώματος Drucker-Prager σε συντεταγμένες κυρίων τάσεων...59 Σχήμα 5.3: Μέτρο ελαστικότητας συναρτήσει συχνότητας ασφαλτικού υλικού (Nilsson et al, 2002)..62 viii

9 Σχήμα 5.4: Γεωμετρικές και φυσικές ιδιότητες εύκαμπτου οδοστρώματος υπό κινούμενο φορτίο..63 Σχήμα 5.5: Μέτρο διάτμησης ασφαλτικού υλικού συναρτήσει του χρόνου..64 Σχήμα 5.6: Μέγιστη εγκάρσια παραμόρφωση στην κάτω επιφάνεια ασφαλτικής στρώσης συναρτήσει της ταχύτητας..65 Σχήμα 5.7: Διάταξη δίδυμων αξόνων φορτηγού 61 και ισοδύναμου συστήματος με a=0.316m και b=0.218m 67 Σχήμα 5.8: Μεταβολή μέτρου διάτμησης με το χρόνο για ιξωδοελαστικό υλικό.68 Σχήμα 5.9: Επιφανειακή κατακόρυφη μετατόπιση οδοστρώματος Νο 333 συναρτήσει ταχύτητας 69 Σχήμα 5.10: Μεταβολή μέτρου διάτμησης με το χρόνο για ιξωδοελαστικό υλικό...71 Σχήμα 5.11: Κατακόρυφη μετατόπιση συναρτήσει του χρόνου για z=0.00, και -0.45m, V=5.0m/s και προσομοιώματα 0 (ελαστικό) και 1 (ιξωδοελαστικό)...72 Σχήμα 5.12: Παραμορφώσεις ε x, ε y, ε z συναρτήσει του χρόνου για z= και -0.45m, V=5.0m/s και προσομοιώματα 0 (ελαστικό) και 1 (ιξωδοελαστικό) 74 Σχήμα 5.13: Τάσεις σ x, σ y, σ z συναρτήσει του χρόνου για z= και -0.45m, V=5.0m/s και προσομοιώματα 0 (ελαστικό) και 1 (ιξωδοελαστικό)..75 Σχήμα 5.14: Μέγιστη μετατόπιση u z συναρτήσει ταχύτητας για z=0.00m και προσομοιώματα 0 (ελαστικό) και 1 (ιξωδοελαστικό) 76 Σχήμα 5.15: Μέγιστες σ y, ε y συναρτήσει ταχύτητας για z= -0.15m και προσομοιώματα 0 (ελαστικό) και 1 (ιξωδοελαστικό)..76 Σχήμα 5.16: Μέγιστες σ z, ε z συναρτήσει ταχύτητας για z= -0.45m και προσομοιώματα 0 (ελαστικό) και 1 (ιξωδοελαστικό)..77 Σχήμα 5.17: Κατακόρυφη μετατόπιση u z συναρτήσει του χρόνου για z=0.00, -0.15, -0.45m, V=5.0m/s και προσομοιώματα 0 (ελαστικό) και 2 (ιξωδοπλαστικό)..79 Σχήμα 5.18: Παραμορφώσεις ε x, ε y, ε z συναρτήσει του χρόνου για z= και -0.45m, V=5.0m/s και προσομοιώματα 0 (ελαστικό) και 2 (ιξωδοπλαστικό)..81 Σχήμα 5.19: Τάση σ z συναρτήσει του χρόνου για z= -0.45m, V=5.0m/s και προσομοιώματα 0 (ελαστικό) και 2 (ιξωδοπλαστικό) 82 Σχήμα 5.20: Μέγιστη μετατόπιση u z συναρτήσει ταχύτητας για z=0.00m και προσομοιώματα 0 (ελαστικό) και 2 (ιξωδοπλαστικό) 82 Σχήμα 5.21: Μέγιστες παραμορφώσεις ε x, ε y, ε z συναρτήσει ταχύτητας για z= και m και προσομοιώματα 0 (ελαστικό) και 2 (ιξωδοπλαστικό)...83 ix

10 Σχήμα 5.22: Μέγιστες τάσεις σ x, σ y, σ z συναρτήσει ταχύτητας για z= και -0.45m και προσομοιώματα 0 (ελαστικό) και 2 (ιξωδοπλαστικό) 84 Σχήμα 5.23: Κατακόρυφη μετατόπιση u z συναρτήσει του χρόνου για z=0.00m, V=5.0m/s και προσομοιώματα 0 (ελαστικό) και 3 (VE/DP)...86 Σχήμα 5.24: Παραμορφώσεις ε x, ε y, ε z συναρτήσει του χρόνου για z= και -0.45m, V=5.0m/s και προσομοιώματα 0 (ελαστικό) και 3 (VE/DP) 86 Σχήμα 5.25: Τάσεις σ x, σ y, σ z συναρτήσει του χρόνου για z= και -0.45m, V=5.0m/s και προσομοιώματα 0 (ελαστικό) και 3 (VE/DP) 88 Σχήμα 5.26: Μέγιστη μετατόπιση u z συναρτήσει ταχύτητας για z=0.00m και προσομοιώματα 0 (ελαστικό) και 3 (VE/DP).89 Σχήμα 5.27: Μέγιστες παραμορφώσεις ε x, ε y, ε z συναρτήσει ταχύτητας για z= και m και προσομοιώματα 0 (ελαστικό) και 3 (VE/DP) 89 Σχήμα 5.28: Μέγιστες τάσεις σ x, σ y, σ z συναρτήσει ταχύτητας για z= και -0.45m και προσομοιώματα 0 (ελαστικό) και 3 (VE/DP).91 Σχήμα 5.29: Κατακόρυφη μετατόπιση u z συναρτήσει του χρόνου για z=0.00m, V=5.0m/s και προσομοιώματα 0 (ελαστικό) και 4 (VP/DP)...93 Σχήμα 5.30: Παραμορφώσεις ε x, ε y, ε z συναρτήσει του χρόνου για z= και -0.45m, V=5.0m/s και προσομοιώματα 0 (ελαστικό) και 4 (VΡ/DP) 93 Σχήμα 5.31: Τάσεις σ x, σ y, σ z συναρτήσει του χρόνου για z= και -0.45m, V=5.0m/s και προσομοιώματα 0 (ελαστικό) και 4 (VΡ/DP) 95 Σχήμα 5.32: Μέγιστη μετατόπιση u z συναρτήσει ταχύτητας για z=0.00m και προσομοιώματα 0 (ελαστικό) και 4 (VΡ/DP).96 Σχήμα 5.33: Μέγιστες παραμορφώσεις ε x, ε y, ε z συναρτήσει ταχύτητας για z= και m και προσομοιώματα 0 (ελαστικό) και 4 (VΡ/DP)...96 Σχήμα 5.34: Μέγιστες τάσεις σ x, σ y, σ z συναρτήσει ταχύτητας για z= και -0.45m και προσομοιώματα 0 (ελαστικό) και 4 (VΡ/DP).97 Σχήμα 6.1: Διάταξη φορτίου μονού άξονα με διπλούς τροχούς και ισοδύναμου συστήματος με a=0.335m και b=0.231m.106 Σχήμα 6.2: Συντελεστής προσδιορισμού R 2 για τις εμπειρικές σχέσεις (6.9)-(6.11) 107 x

11 ΚΑΤΑΛΟΓΟΣ ΠΙΝΑΚΩΝ Πίνακας 3.1: Μέγιστα επιτρεπτά αξονικά φορτία οχημάτων σε διάφορες χώρες (από Νικολαῒδη 2002).22 Πίνακας 3.2: Τυπικές κατηγορίες εμπορικών οχημάτων και κατανομή φορτίου στους άξονές τους (από Νικολαῒδη, 2002) 23 Πίνακας 4.1: Μέγιστη κατακόρυφη μετατόπιση u z συναρτήσει του χρόνου σε βάθος z = m κάτω λόγω ενός συγκεντρωμένου φορτίου P = 80kN κινούμενου με ταχύτητα V = 20, 50m/s στην επιφάνεια του ελαστικού ημίχωρου (προσομοίωμα χωρίου Β) για τρία είδη συνοριακών συνθηκών και τρεις τιμές του Δt...39 Πίνακας 4.2: Μέγιστες τιμές τάσεων σ x, σ y, σ z σε βάθος z = -1.00m λόγω ενός κατακόρυφου συγκεντρωμένου φορτίου P = 80kN κινούμενου με ταχύτητα V = 20, 50m/s στην επιφάνεια του ελαστικού ημίχωρου με κυλίσεις σε όλα τα τεχνητά σύνορα. Τιμές σε παρένθεση αναφέρονται σε % λάθη. Θετικά και αρνητικά πρόσημα αντιστοιχούν σε εφαλκυστικές και θλιπτικές τάσεις, αντίστοιχα...40 Πίνακας 4.3: Μέγιστη κατακόρυφη μετατόπιση u z σε m και βάθος z = -1.00m, κάτω από το επιφανειακό σημείο Q λόγω διανεμημένου φορτίου p = MPa κινούμενου με ταχύτητα V = 20, 50m/s στην επιφάνεια του ελαστικού ημίχωρου για τρία είδη συνοριακών συνθηκών και τρεις τιμές του Δt 44 Πίνακας 4.4: Κατακόρυφη μετατόπιση και τάσεις σε βάθος z = -1.00m λόγω διανεμημένου φορτίου p=0.5926mpa που δρα σε κυκλική επιφάνεια ακτίνας α= m στην επιφάνεια του ελαστικού ημίχωρου. Θετικά και αρνητικά πρόσημα αντιστοιχούν σε εφελκυστικές και θλιπτικές τάσεις, αντίστοιχα...46 Πίνακας 4.5: Ελαστικές ιδιότητες χωρίου με στρώσεις (d 1, d 2, d 3 είναι πάχη στρώσεων)..47 Πίνακας 4.6: Μέγιστες κατακόρυφες μετατοπίσεις, τάσεις και παραμορφώσεις σε ελαστική στρωσιγενή κατασκευή λόγω διανεμημένου κινούμενου φορτίου p=0.5926mpa για V=20, 50m/s. Τάσεις και παραμορφώσεις με θετικά πρόσημα είναι εφελκυστικές και αυτές με αρνητικά είναι θλιπτικές..47 Πίνακας 4.7: Μετατοπίσεις, τάσεις και παραμορφώσεις σε ελαστική στρωσιγενή κατασκευή οδοστρώματος λόγω στατικού διανεμημένου φορτίου p=0.5926mpa xi

12 (προσεγγιστικές αναλυτικές τιμές είναι σε παρένθεση). Θετικά και αρνητικά πρόσημα αντιστοιχούν σε εφελκυσμό και θλίψη, αντίστοιχα...48 Πίνακας 5.1: Γεωμετρικές και μηχανικές ιδιότητες οδοστρώματος Νο 333 του AASHO Road Test (1962).66 Πίνακας 6.1: Αριθμός επαναλήψεων φόρτισης και μέγιστες εφελκυστικές παραμορφώσεις διατομών οδοστρωμάτων AASHO στην κάτω επιφάνεια ασφαλτικής στρώσης 105 xii

13 1 1. ΕΙΣΑΓΩΓΗ Ο προσδιορισμός της απόκρισης εύκαμπτων και δύσκαμπτων οδοστρωμάτων σε κυκλοφοριακά φορτία αποτελεί βασική συνιστώσα της διαδικασίας σχεδιασμού των οδοστρωμάτων αυτών καθώς και του τρόπου εκτίμησης των βλαβών τους. Γενική πληροφόρηση επί των οδοστρωμάτων και των τρόπων κατασκευής τους μπορεί να ευρεθεί στα βιβλία των Yoder and Witczak (1975), Huang (2004), Ullidtz (1998), Cebon (1999), Κοφίτσα (2001) και Νικολαῒδη (2002) καθώς και στα διάφορα εγχειρίδια-οδηγούς για σχεδιασμό οδοστρωμάτων, όπως αυτούς του AASHTO (1993) των Η.Π.Α. ή Τμημάτων Συγκοινωνιακών Έργων διαφόρων πολιτειών των Η.Π.Α. (Caltrans 2015, TXDOT 2011, WSDOT 2015, SCDOT 2008). Ειδική πληροφόρηση επί των εύκαμπτων και δύσκαμπτων οδοστρωμάτων ξεχωριστά μπορεί να βρεθεί στα βιβλία των Hunter (2000) και Delatte (2008), αντίστοιχα, καθώς και σε διάφορα εγχειρίδια Τμημάτων Συγκοινωνιακών Έργων διαφόρων πολιτειών των Η.Π.Α., όπως π.χ., FDOT (2015) και FDOT (2009) για εύκαμπτα και δύσκαμπτα οδοστρώματα, αντίστοιχα. Από τις ανωτέρω δύο κατηγορίες οδοστρωμάτων, συντριπτικά μεγαλύτερη εφαρμογή στην πράξη (περίπου 90%) βρίσκουν τα εύκαμπτα οδοστρώματα, τα οποία και αναλύονται στην παρούσα διατριβή. Μία πρόσφατη και εμπεριστατωμένη ανασκόπηση της βιβλιογραφίας επί της ανάλυσης και σχεδιασμού εύκαμπτων οδοστρωμάτων είναι αυτή του Monismith (2012). Τα διάφορα οχήματα, τα οποία και αποτελούν τα φορτία που καλούνται να αναλάβουν τα οδοστρώματα, μπορεί να θεωρούνται για σχεδιαστικούς σκοπούς, ως ακίνητα ή κινούμενα. Ακίνητα φορτία μπορεί να είναι σταθερά ή να μεταβάλλονται με τον χρόνο. Σταθερά ακίνητα φορτία χρησιμοποιούνται στο σχεδιασμό λόγω της απλούστερης διαχείρισής τους, αλλά δεν παύουν να αποτελούν μία προσέγγιση. Μεταβαλλόμενα με το χρόνο ακίνητα φορτία χρησιμοποιούνται για την προσομοίωση πειραμάτων πίπτοντος φορτίου. Κινούμενα φορτία έχουν σταθερό μέγεθος και κινούνται με σταθερή ή μεταβαλλόμενη ταχύτητα. Είναι προφανές ότι προσομοίωση της φόρτισης οδοστρωμάτων με κινούμενα φορτία είναι η πλέον αξιόπιστη αν και απαιτεί αυξημένη δυσκολία προσομοίωσης και υπολογισμών. Αυτή η προσομοίωση υιοθετείται στην παρούσα διατριβή. Μία πρόσφατη και εμπεριστατωμένη ανασκόπηση της βιβλιογραφίας επί του προσδιορισμού της απόκρισης οδοστρωμάτων (εύκαμπτων και δύσκαμπτων) σε κινούμενα φορτία είναι αυτή των Beskou and Theodorakopoulos (2011). Η ανωτέρω ανασκόπηση

14 2 περιλαμβάνει 181 βιβλία και άρθρα τα οποία αναλύονται με βάση τις ακόλουθες πέντε κατηγορίες: προσομοίωση του οδοστρώματος, προσομοίωση της συμπεριφοράς υλικού, μέθοδος επίλυσης του προβλήματος, χαρακτηριστικά της φόρτισης και σχετικές άλλες κατηγορίες, όπως π.χ. κινούμενα φορτία σε σιδηροδρομικές τροχιές. Κατά τη διάρκεια των τελευταίων 35 περίπου ετών συντελέστηκε εκτεταμένη έρευνα επί της ανάλυσης και σχεδιασμού εύκαμπτων οδοστρωμάτων υπό την επίδραση ακίνητων ή κινούμενων φορτίων οχημάτων και μέσα στα πλαίσια ρεαλιστικών γεωμετριών και συμπεριφορών υλικών (Huang 2004, Cebon 1999, Monismith 2012, Beskou and Theodorakopoulos 2011). Αυτό επιτεύχθηκε αρχικά με την κατασκευή προγραμμάτων Η/Υ για τις ήδη υπάρχουσες ελαστικές θεωρίες τύπου Boussinesq (1885), Burmister (1943, 1945, 1958) και Odemark (1949) για εύκαμπτα οδοστρώματα με πολλές στρώσεις υπό την δράση συγκεντρωμένων και διανεμημένων στατικών φορτίων. Αργότερα κατασκευάστηκαν προγράμματα Η/Υ για την εφαρμογή αριθμητικών μεθόδων ανάλυσης, όπως η μέθοδος πεπερασμένων στοιχείων (ΜΠΣ), οι οποίες ήσαν ικανές να διαχειριστούν οδοστρώματα πολλών στρώσεων ελαστικής ή ανελαστικής συμπεριφοράς υλικού υπό την δράση πολύπλοκων δυναμικών φορτίων (ακίνητων ή κινούμενων, συγκεντρωμένων ή διανεμημένων) μέσα στα πλαίσια συνθηκών επίπεδης παραμόρφωσης ή τριών διαστάσεων. Οι περισσότερες εργασίες που έχουν εκπονηθεί στο θέμα του προσδιορισμού της απόκρισης εύκαμπτων οδοστρωμάτων σε στατικά ή δυναμικά (ακίνητα ή κινούμενα) φορτία αναφέρονται σε ελαστική συμπεριφορά υλικού, η οποία περιλαμβάνει γραμμική ιξωδοελαστικότητα και ποροελαστικότητα (Huang 2004, Beskou and Theodorakopoulos 2011). Λόγω της πολυπλοκότητας της προσομοίωσης οχημάτων και οδοστρωμάτων, ακόμη και στην περίπτωση ελαστικής συμπεριφοράς του υλικού, η χρήση αριθμητικών μεθόδων επίλυσης είναι επιτακτική. Έτσι μπορεί να μνημονεύσει κανείς την εργασία των Wang et al (2011) που αναφέρεται σε στατική φόρτιση και χρήση θεωριών συστήματος πολλών στρώσεων μητρωϊκής μορφής, τις εργασίες των Cho et al (1996), Jooste (2002) και Mulungye et al (2007) που αναφέρονται σε στατική φόρτιση και χρήση της ΜΠΣ, αυτές των Mamlouk and Davies (1984), Tu (2007) και Lu et al (2012) που αναφέρονται σε ακίνητο δυναμικό φορτίο και χρήση θεωριών συστήματος πολλών στρώσεων μητρωϊκής μορφής και τις εργασίες των Nazarian and Boddapati (1995) και Shoukry and William (1999) που αναφέρονται σε ακίνητο δυναμικό φορτίο και χρήση της ΜΠΣ. Επί πλέον μπορεί κανείς να μνημονεύσει τις εργασίες των Sousa et al (1988), Zafir et al (1994),

15 3 Siddharthan et al (1998), Grundmann et al (1999), Chatti et al (1999), Lefeuve-Mesgouez et al (2002) και Lee et al (2013) που αναφέρονται σε κινούμενα φορτία και χρήση θεωριών συστήματος πολλών στρώσεων μητρωϊκής μορφής, τις εργασίες των Yang and Hung (2001), Elseifi et al (2006), Yin et al (2007), Yoo and Al-Qadi (2007), Al-Qadi et al (2010), Ju (2009), Kang et al (2010), Liao and Sargand (2010) και Khavassefat et al (2012) που αναφέρονται σε οιονεί-στατικά και κινούμενα φορτία και χρήση της ΜΠΣ, τις εργασίες των Hirose (2000) και de Barros and Luco (1994) που αναφέρονται σε κινούμενα φορτία και χρήση της μεθόδου συνοριακών στοιχείων (ΜΣΣ) και τέλος τις εργασίες των Cebon (1999) και Chen (2009) που αναφέρονται σε κινούμενα φορτία και χρήση της μεθόδου της απόκρισης παλμού. Η κατάστρωση των εξισώσεων κίνησης των ανωτέρω μεθόδων έγινε στο πεδίο συχνοτήτων ή στο πεδίο του χρόνου. Παρατηρώντας τις ανωτέρω εργασίες για εύκαμπτα οδοστρώματα με γραμμικά ελαστική ή ιξωδοελαστική συμπεριφορά του υλικού μπορεί κανείς να διαπιστώσει ότι i) καμία εργασία δεν θεωρεί όλες τις παραμέτρους που επηρεάζουν την ακρίβεια και αξιοπιστία των αποτελεσμάτων απόκρισης και ii) σε πολλές περιπτώσεις δεν υπάρχει γενική συμφωνία μεταξύ των συγγραφέων για το είδος και το μέγεθος της επίδρασης που έχει κάθε παράμετρος επί της απόκρισης, όπως, π.χ., η επίδραση του είδους των συνοριακών συνθηκών, ή η φύση της φόρτισης. Η παρούσα διατριβή εφαρμόζει τη ΜΠΣ στο πεδίο του χρόνου για τον αριθμητικό προσδιορισμό της απόκρισης εύκαμπτων οδοστρωμάτων που αποτελούνται από τρεις στρώσεις σε παραμορφώσιμο έδαφος σε οχήματα κινούμενα με σταθερή ταχύτητα μέσα στα πλαίσια τριών διαστάσεων. Η συμπεριφορά των στρώσεων και του εδάφους υποτίθεται γραμμικά ελαστική με ή χωρίς ιξώδη απόσβεση. Η ΜΠΣ χρησιμοποιείται στο πεδίο του χρόνου με τη βοήθεια του εμπορικού προγράμματος ANSYS (2010). Τα φορτία του συστήματος υποτίθενται ότι είναι συγκεντρωμένα ή διανεμημένα που κινούνται με σταθερή ταχύτητα. Προσομοιώνονται με τον καθορισμό τιμών φορτίου εξαρτώμενου από τον χρόνο σε όλους τους κόμβους της τροχιάς του οχήματος, οι οποίοι ενεργοποιούνται το χρόνο που χρειάζεται για κάθε φορτίο να διανύσει την απόσταση από την αρχή της διαδρομής μέχρι την θέση του κάθε κόμβου. Αυτός ο τρόπος προσομοίωσης των κινούμενων φορτίων είναι πιο ορθολογικός από αυτόν που υποθέτει τα φορτία οιονείστατικά γιατί είναι καθαρά δυναμικός και λαμβάνει υπόψη του την αδράνεια και απόσβεση του οδοστρώματος. Πιο συγκεκριμένα, μέσα στα πλαίσια γραμμικά ελαστικής ανάλυσης με τη ΜΠΣ, η παρούσα ανάλυση θεωρεί i) γεωμετρικές παραμέτρους (ελαστικό

16 4 ημίχωρο έναντι συστήματος στρώσεων, διαστάσεις χώρου κατασκευής οδοστρώματος, απορροφητικά σύνορα έναντι συνόρων με κυλίσεις και υποβαστάζον έδαφος έναντι άκαμπτου βράχου), ii) παραμέτρους φόρτισης (συγκεντρωμένο έναντι διανεμημένου φορτίου, ακίνητο έναντι κινούμενου φορτίου και απλού φορτίου έναντι σειράς φορτίων), iii) παραμέτρους υλικού (γραμμικά ελαστικό υλικό με ή χωρίς ιξώδη απόσβεση) και iv) παραμέτρους διακριτοποίησης (κατάλληλο συνδυασμό μεγέθους πεπερασμένων στοιχείων και χρονικού βήματος για αποδεκτό λάθος υπολογισμών ως προς υπάρχουσες αναλυτικές ή και αριθμητικές λύσεις). Με βάση όλα τα ανωτέρω χαρακτηριστικά, ελπίζεται ότι το ανωτέρω μέρος της διατριβής θα αποτελέσει μία χρήσιμη πηγή πληροφόρησης πάνω στο θέμα της ελαστοδυναμικής ανάλυσης εύκαμπτων οδοστρωμάτων υπό κινούμενα φορτία με χρήση της ΜΠΣ, το οποίο παρουσιάζεται υπό νέα ενοποιημένη και γενικευμένη μορφή, και μια βάση για περαιτέρω ανάπτυξη στην περιοχή της πλέον ρεαλιστικής ανελαστικής συμπεριφοράς των υλικών. Ελαστική συμπεριφορά των υλικών απλοποιεί το πρόβλημα προσδιορισμού της απόκρισης εύκαμπτων οδοστρωμάτων, παρέχει την δυνατότητα βαθύτερης κατανόησης του φαινομένου και μάλιστα ακόμη και τη δυνατότητα υπολογισμών με το χέρι εάν το φορτίο είναι ακίνητο και στατικό (Huang 2004, Ullidtz 1998, Beskou and Theodorakopoulos 2011). Παρ όλα αυτά, ελαστικές λύσεις αποτελούν μία προσέγγιση και συνήθως δεν συμφωνούν με πειραματικά αποτελέσματα. Είναι φανερό ότι απαιτείται η χρήση ανελαστικών προσομοιωμάτων συμπεριφοράς των υλικών για την επίτευξη πιο ρεαλιστικών αναλύσεων και απόκτηση αποτελεσμάτων απόκρισης που να είναι κοντά στα αντίστοιχα πειραματικά. Χρήση της γραμμικής ιξωδοελαστικής συμπεριφοράς για την ασφαλτική στρώση του οδοστρώματος και της γραμμικής ελαστικής για τις υπόλοιπες στρώσεις, βελτίωσε σημαντικά τα αποτελέσματα (Elseifi et al 2006, Yin et al 2007, Chabot et al 2009, Liao and Sargand 2010, Khavassefat et al 2012) με τη μέγιστη διαφορά μεταξύ αριθμητικών και πειραματικών αποτελεσμάτων να είναι περίπου 15%. Στις ανωτέρω εργασίες έγινε χρήση της ΜΠΣ σε τρεις διαστάσεις με τα φορτία να είναι κινούμενα ή οιονεί-στατικά. Οιονείστατικά φορτία είναι συναρτήσεις του χρόνου αλλά ακίνητα με αποτέλεσμα η προσομοίωση να είναι απλούστερη αλλά να μην λαμβάνεται έτσι υπόψη η αδράνεια και η απόσβεση του οδοστρώματος. Περαιτέρω βελτιώσεις των αποτελεσμάτων απόκρισης επιτεύχθηκαν με τη χρήση ιξωδοελαστικής συμπεριφοράς του ασφαλτικού υλικού στην κορυφαία στρώση και μη-

17 5 γραμμικά ελαστικής στις υπόλοιπες στρώσεις του οδοστρώματος. Πιο συγκεκριμένα, αυτή η μη-γραμμικά ελαστική συμπεριφορά του υλικού προσομοιώθηκε με χρήση ελαστικού μέτρου που είναι συνάρτηση των τάσεων και εφαρμογή διαδοχικών προσεγγίσεων για την απόκτηση συγκλινόντων αποτελεσμάτων. Εδώ μπορεί να μνημονεύσει κανείς τις εργασίες των Huang (2004), Duncan et al (1968), Taylor (1971), Elliott and Thompson (1985), Harichandran et al (1990), Balay and Kabre (1996), Guezouli et al (1996), Van Schelt et al (1996), Gomes Correia and de Almeida (1998), Helwany et al (1998), Hadi and Bodhinayake (2003), Kim (2007), Kim et al (2008), Steven et al (2007) και Al-Qadi et al (2010). Σε όλες σχεδόν τις ανωτέρω εργασίες έγινε χρήση της ΜΠΣ σε δύο ή τρεις διαστάσεις και το φορτίο ήταν ακίνητο και στατικό με εξαίρεση την εργασία των Helwany et al (1998) όπου το φορτίο ήταν κινούμενο και αυτές των Steven et al (2007) και Al-Qadi et al (2010) όπου το φορτίο ήταν δυναμικό αλλά ακίνητο (φορτίο παλμού). Σύγκριση των αποτελεσμάτων απόκρισης εύκαμπτων οδοστρωμάτων με γραμμικά ελαστική και μηγραμμικά ελαστική συμπεριφορά των υλικών μπορεί να βρεθεί στην εργασία των Chen et al (1995). Ένας πλέον ορθολογικός τρόπος προσομοίωσης μη-γραμμικής συμπεριφοράς υλικών είναι αυτός που χρησιμοποιεί θεωρίες πλαστικότητας και ιξωδοπλαστικότητας. Έτσι οι Zaghloul and White (1993), Zaghloul et al (1994) και White et al (1997) υπέθεσαν γραμμικά ιξωδοελαστική συμπεριφορά της ασφαλτικής άνω στρώσης και ελαστοπλαστική Drucker-Prager και Cam-Clay τύπου για τις δύο επόμενες στρώσεις, ενώ οι Sukumaran et al (2004) γραμμικά ελαστική για την άνω στρώση και ελαστοπλαστική του τύπου Mohr- Coulomb για τις άλλες στρώσεις. Οι αναλύσεις στις ανωτέρω εργασίες έγιναν με την ΜΠΣ στις τρεις διαστάσεις και στο πεδίο του χρόνου ενώ τα φορτία ήταν κινούμενα, εκτός απο την εργασία των Zaghloul et al (1994), όπου το φορτίο ήταν δυναμικό αλλά στάσιμο. Weissman and Sousa (1996), Fang et al (2004, 2007), Shen and Kirkner (2001), Saad et al (2005), Johnson et al (2007), Ali et al (2008) και Huang et al (2011) επίσης θεώρησαν μηγραμμική συμπεριφορά υλικών (ιξωδοπλαστική ή ελαστική άνω στρώση και ιξωδοπλαστική ή ελαστοπλαστική τύπου Drucker-Prager και Cam-Clay στις άλλες στρώσεις) και χρησιμοποίησαν την ΜΠΣ σε δύο ή τρεις διαστάσεις με οιονεί-στατική φόρτιση. Η παρούσα διατριβή ασχολείται με την ανάπτυξη μιας μεθοδολογίας ΜΠΣ τριών διαστάσεων μέσα στα πλαίσια του εμπορικού προγράμματος ANSYS (2010) για τον προσδιορισμό στο πεδίο του χρόνου της απόκρισης ανελαστικών εύκαμπτων

18 6 οδοστρωμάτων σε κινούμενα φορτία. Η ασφαλτική άνω στρώση προσομοιώνεται ως ιξωδοελαστικό ή ιξωδοπλαστικό υλικό, ενώ οι άλλες δύο στρώσεις ως ελαστικό ή ελαστοπλαστικό υλικό τύπου Drucker-Prager. Σημειώνεται ότι ο όρος ανελαστικός χρησιμοποιείται εδώ υπό την διευρυμένη του έννοια (μη-ελαστικός) και περιλαμβάνει και γραμμική ιξωδοελαστική συμπεριφορά. Οι διαστάσεις του χώρου του οδοστρώματος, ο βαθμός διακριτοποίησης του χώρου αυτού, το είδος των συνοριακών συνθηκών και το κατάλληλο χρονικό βήμα ολοκλήρωσης επιλέγονται με βάση τα συμπεράσματα που προέκυψαν από τις γραμμικά ελαστικές αναλύσεις της παρούσας διατριβής με ορισμένες επιπλέον τροποποιήσεις, ώστε να επιτευχθεί αποδεκτό λάθος χωρίς μεγάλο υπολογιστικό φόρτο. Οι μεθοδολογίες ΜΠΣ της παρούσας διατριβής τόσο για ελαστική όσο και για ανελαστική συμπεριφορά υλικών επαληθεύονται με την βοήθεια αποτελεσμάτων αναλυτικών ελαστικών, αριθμητικών ανελαστικών και πειραμάτων πεδίου και από την σύγκριση αυτών συνάγονται χρήσιμα πρακτικά συμπεράσματα. Τέλος, η αναπτυχθείσα μεθοδολογία εφαρμόζεται στη δημιουργία εμπειρικών σχέσεων κόπωσης ασφαλτικού υλικού οδοστρωμάτων με τη βοήθεια υπαρχουσών μετρήσεων του AASHO Road Test (1962).

19 7 2. ΣΤΑΤΙΚΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ 2.1 ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΝΑΛΥΤΙΚΟΙ Η απλούστερη προσομοίωση της μηχανικής συμπεριφοράς εύκαμπτων οδοστρωμάτων σε φορτία οχημάτων επιτυγχάνεται με ένα γραμμικά ελαστικό ομογενή και ισότροπο ημίχωρο που φορτίζεται στατικά με ένα συγκεντρωμένο ή διανεμημένο φορτίο που δρα στην επιφάνειά του. Ο ελαστικός ημίχωρος έχει μία επίπεδη οριζόντια επιφάνεια και ένα βάθος τα οποία εκτείνονται στο άπειρο. Το πρόβλημα της απόκρισης ενός ελαστικού ημιχώρου σε ένα κατακόρυφο συγκεντρωμένο φορτίο πάνω στην επιφάνειά του, επιλύθηκε από τον Boussinesq (1885), ο οποίος εξήγαγε αναλυτικές εκφράσεις για μετατοπίσεις, τάσεις και ανηγμένες παραμορφώσεις (ή απλά παραμορφώσεις) για κάθε σημείο του ημιχώρου. Σχήμα 2.1 Ορθές και διατμητικές τάσεις σε ελαστικό ημίχωρο λόγω αξονοσυμμετρικής στατικής φόρτισης (από Huang, 2004).

20 8 Με βάση το Σχ.2.1 μπορεί κανείς να καταγράψει τις παρακάτω εκφράσεις για τις μημηδενικές τάσεις, παραμορφώσεις και μετατοπίσεις σε κυλινδρικές συντεταγμένες: σ z = cos 3 θ (2.1) σ r = (3cosθ sin 2 θ ) (2.2) σ t = (-cosθ + ) (2.3) τ rz = cos 2 θ sinθ (2.4) ε z = (3cos 3 θ 2ν cosθ ) (2.5) ε r = [-3cos 3 θ + (3-2ν) cosθ ] (2.6) ε t = (-cosθ + ) (2.7) u z = [2(1-ν) + cos 2 θ] (2.8) u r = [cosθ sinθ ] (2.9) όπου P είναι το συγκεντρωμένο φορτίο, Ε είναι το μέτρο ελαστικότητας, ν είναι ο λόγος του Poisson και θ η γωνία μεταξύ της επιβατικής ακτίνας και του κατακόρυφου άξονα z (Σχ.2.1). Θετική σήμανση τάσεων και παραμορφώσεων υπονοεί θλίψη και αρνητική εφελκυσμό. Σε σημεία επί του άξονα του φορτίου (άξονα z) όπου θ=0 και R=z, οι ανωτέρω σχέσεις λαμβάνουν τις απλούστερες εκφράσεις: σ z = (2.10) σ r = σ t = - (2.11) τ rz = 0 (2.12) ε z = (2.13)

21 9 ε r = ε t = - (2.14) u z = (2.15) u r = 0 (2.16) Η κατακόρυφη μετατόπιση στην επιφάνεια του ελαστικού ημίχωρου, όπου R=r και θ=90, λαμβάνει τη μορφή u z = (2.17) Ας σημειωθεί ότι στο σημείο εφαρμογής της δύναμης P, όπου z=0, τάσεις, παραμορφώσεις και μετατοπίσεις απειρίζονται. Όταν το φορτίο είναι διανεμημένο σε μία κυκλική επιφάνεια ακτίνας α και έχει τιμή p, τότε οι τάσεις, παραμορφώσεις και μετατοπίσεις πάνω στον άξονα z έχουν τη μορφή σ z = p [1-(1+(α/z) 2 ) -1.5 ] (2.18) σ r = σ t = p [ - (1+ν)(1+(α/z) 2 ) (1+(α/z) 2 ) -1.5 ] (2.19) ε z = [(z/α)(1+(z/α) 2 ) -1.5 (1-2ν)((z/α)(1+(z/α) 2 ) )] (2.20) ε r = ε t = - [(z/α)(1+(z/α) 2 ) (1-2ν)((z/α)(1+(z/α) 2 ) )] (2.21) u z = [(1+(z/α) 2 ) (1-2ν)((1+(z/α) 2 ) (z/α))] (2.22) Στην πραγματικότητα ένα εύκαμπτο οδόστρωμα δεν μπορεί να προσομοιωθεί με τον ομογενή ελαστικό ημίχωρο αφού αποτελεί ένα σύστημα στρώσεων. Μάλιστα οι στρώσεις αυτές διατάσσονται κατά τέτοιο τρόπο ώστε η δυσκαμψία και πυκνότητα των στρώσεων να αυξάνεται από τα κάτω προς τα πάνω με την καλύτερη ποιότητα υλικού να αντιστοιχεί στην κορυφαία στρώση. Ο στρωσιγενής ελαστικός ημίχωρος υπό τη δράση ενός στατικού διανεμημένου φορτίου p, που δρα σε κυκλική επιφάνεια ακτίνας α, αποτελεί ένα καλύτερο προσομοίωμα για να περιγράψει τη συμπεριφορά ενός εύκαμπτου οδοστρώματος. Ένα τέτοιο προσομοίωμα με n στρώσεις, εκ των οποίων η νιοστή αποτελεί ουσιαστικά έναν ελαστικό ημίχωρο, φαίνεται στο Σχ.2.2. Η στατική επίλυση ενός συστήματος ελαστικών

22 10 στρώσεων είναι πολύ δύσκολη και δεν μπορεί να καταλήξει σε αναλυτικές εκφράσεις όπως στην περίπτωση του ελαστικού ημίχωρου. Το πρόβλημα επιλύεται συνήθως με αριθμητικές μεθόδους, όπως η ΜΠΣ την οποία θα αναφέρουμε στο τέλος του κεφαλαίου αυτού. Σχήμα 2.2 Σύστημα n στρώσεων υπό διανεμημένο στατικό φορτίο σε κυκλική επιφάνεια (από Huang, 2004) Ο Burmister (1943, 1945) πρώτος ανέπτυξε αναλυτική λύση βασισμένη στη θεωρία ελαστικότητας για ένα σύστημα δύο στρώσεων και κατόπιν επεξέτεινε αυτή για ένα σύστημα τριών στρώσεων. Η λύση επιτυγχάνεται με τη βοήθεια νομογραφημάτων για την πρώτη περίπτωση και νομογραφημάτων και πινάκων για τη δεύτερη. Τα νομογραφήματα επίλυσης για την περίπτωση των δύο στρώσεων είναι εύχρηστα και γι αυτό μερικά εξ αυτών παρατίθενται στην παρούσα διατριβή για λογους πληρότητας. Αντίθετα οι πίνακες και τα νομογραφήματα των τριών στρώσεων είναι εξαιρετικά δύσχρηστα και δεν συνιστώνται για πρακτική χρήση. Για τη περίπτωση τριών (αλλά και δύο) στρώσεων συνιστάται η χρήση προσεγγιστικών αναλυτικών εκφράσεων που έχουν προταθεί από τον Odemark (1949). Για την περίπτωση δύο στρώσεων, όπως αυτή του Σχ.2.2 με n=2, μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει εύκολα τα νομογραφήματα του Burmister (1943, 1945, 1958),

23 11 όπως αυτά των Σχ.2.3 και 2.4 και να προσδιορίσει την τάση σ z και την μετατόπιση u z σε οποιοδήποτε βάθος z πάνω στον άξονα των z. Σχήμα 2.3 Κατανομή κατακόρυφων τάσεων σ z σε σύστημα δύο ελαστικών στρώσεων κατά Burmister (1958) Όπως αναφέρθηκε παραπάνω, η μέθοδος Odemark (1949) αποτελεί ένα υπολογιστικά αποδοτικό αλλά προσεγγιστικό τρόπο προσδιορισμού τάσεων, παραμορφώσεων και μετατοπίσεων συστήματος ελαστικών στρώσεων λόγω στατικού διανεμημένου φορτίου που δρα σε κυκλική επιφάνεια. Η μέθοδος αυτή βασίζεται στην υπόθεση ότι οι τάσεις και παραμορφώσεις κάτω από μία στρώση εξαρτώνται μόνο από τη δυσκαμψία αυτής της στρώσης. Εάν το πάχος και οι ελαστικές σταθερές Ε και ν αυτής της στρώσης αλλάξουν, αλλά η δυσκαμψία της παραμείνει αμετάβλητη, οι τάσεις και παραμορφώσεις κάτω από αυτή τη στρώση θα παραμείνουν επίσης σχετικά αμετάβλητες.

24 12 Σχήμα 2.4 Κατακόρυφη μετατόπιση στην επιφάνεια συστήματος δύο ελαστικών στρώσεων κατά Burmister (1958) Η δυσκαμψία μιας στρώσης, σύμφωνα με την καμπτική θεωρία λεπτών πλακών σε κάμψη, είναι ανάλογη προς την καμπτική δυσκαμψία h 3 E / (1 - ν 2 ) (2.23) όπου h είναι το πάχος της στρώσης. Σχήμα 2.5 Μετασχηματισμός συστήματος ελαστικών στρώσεων κατά Odemark (1949) Έτσι ο μετασχηματισμός που περιγράφεται στο Σχ.2.5 δεν επηρεάζει τάσεις και παραμορφώσεις στη στρώση 2 υπό την προϋπόθεση ότι

25 13 = (2.24) από όπου μπορεί να υπολογιστεί το ισοδύναμο πάχος h e = h 1 (2.25) Το μετασχηματισμένο σύστημα του Σχ.2.5 είναι ένας ελαστικός ημίχωρος για τον οποίο μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει τις εξισώσεις του Boussinesq (1885), αλλά μόνο για τάσεις και παραμορφώσεις κάτω από τη διεπιφάνεια. Η ακρίβεια της μεθόδου Odemark (1949) μπορεί να βελτιωθεί με τη χρήση ενός διορθωτικού συντελεστή f, ο οποίος πολλαπλασιάζει το δεξιό μέλος της εξίσωσης (2.25). Ο συντελεστής αυτός είναι 0.8, εκτός από την περίπτωση της πρώτης διεπιφάνειας, για την οποία είναι 0.9 για σύστημα δύο στρώσεων και 1.0 για σύστημα πολλών στρώσεων. Ακόμα συνιστάται όπως όταν h 1 < α, η οριζόντια εφελκυστική τάση στο κάτω όριο της πρώτης στρώσης πρέπει να πολλαπλασιάζεται με ένα συντελεστή 1.1(α/h 1 ) 0.3. Τέλος, επειδή ο λόγος του Poisson ν κυμαίνεται μεταξύ 0.30 και 0.45 και στην πράξη σπάνια προσδιορίζεται με κάποιο βαθμό ακρίβειας, συνίσταται ο λόγος αυτός να λαμβάνεται ο ίδιος σε όλες τις στρώσεις. Στην περίπτωση αυτή ο λόγος (1- ) / (1- ) στο δεξιό μέλος της σχέσης (2.25) είναι ίσος με τη μονάδα και αν ληφθεί υπόψη και ο διορθωτικός συντελεστής f η σχέση αυτή λαμβάνει τη μορφή h e = f h 1 (2.26) Έτσι για ένα σύστημα πολλών στρώσεων, όπως αυτό του Σχ.2.2, το ισοδύναμο πάχος των άνω n-1 στρώσεων ως προς το μέτρο ελαστικότητας της στρώσης n υπολογίζεται από h e,n = f (2.27) Στρώσεις κάτω από τη στρώση n υποτίθενται ότι έχουν ως μέτρο ελαστικότητας Ε n στο μετασχηματισμένο σύστημα του Σχ.2.5. Μετατοπίσεις υπολογίζονται ως το άθροισμα των συνθλίψεων των στρώσεων συν τη μετατόπιση της τελευταίας στρώσης (ελαστικός ημίχωρος). Η σύνθλιψη κάθε στρώσης υπολογίζεται ως η διαφορά μεταξύ της μετατόπισης της άνω και κάτω επιφάνειας της

26 14 στρώσης αυτής στο μετασχηματισμένο σύστημα. Για την άνω (κορυφαία) στρώση το μετασχηματισμένο σύστημα είναι ο ελαστικός ημίχωρος με μέτρο ελαστικότητας Ε 1. Η μέθοδος Odemark (1949) δίνει λογικά αποτελέσματα (κοντά σε αυτά της θεωρίας ελαστικότητας) υπό τις ακόλουθες προϋποθέσεις: i) τα μέτρα ελαστικότητας των στρώσεων ελαττώνονται με το βάθος (E i / E i+1 >2) και ii) το ισοδύναμο πάχος κάθε στρώσης είναι μεγαλύτερο από την ακτίνα α της φορτιζόμενης επιφάνειας. Γενικά η μέθοδος δίνει ικανοποιητικά αποτελέσματα για τις κατακόρυφες τάσεις αλλά οχι τόσο καλά αποτελέσματα για τις οριζόντιες τάσεις. Παραδείγματα εφαρμογής της μεθόδου Odemark (1949) μπορούν να βρεθούν στις σημειώσεις οδοστρωμάτων του Λοῒζου (2011). Τις περισσότερες φορές στην πράξη το σύστημα στρώσεων ενός οδοστρώματος αποτελείται από τρεις στρώσεις με την τρίτη στρώση να είναι ελαστικός ημίχωρος, όπως φαίνεται στο Σχ Η στρώση 1 περιλαμβάνει τις ασφαλτικές στρώσεις, η στρώση 2 τη βάση και υπόβαση και η στρώση 3 το έδαφος. Από τις διάφορες τάσεις και αντίστοιχες παραμορφώσεις που απεικονίζονται στο Σχ.2.6, οι πλέον σημαντικές από πλευράς σχεδιασμού είναι η εφελκυστική οριζόντια παραμόρφωση ε r1 στη βάση των ασφαλτικών στρώσεων, η οποία πρέπει να είναι μικρότερη από την επιτρεπόμενη ώστε να μην δημιουργούνται ρωγμές και η κατακόρυφη θλιπτική τάση σ z2 στο άνω μέρος της εδαφικής στρώσης, η οποία πρέπει να είναι μικρότερη από την εδαφική αντοχή σε θλίψη. Σχήμα 2.6 Τάσεις στις διεπιφάνειες ενός συστήματος τριών ελαστικών στρώσεων λόγω στατικής φόρτισης (από Huang, 2004)

27 ΜΕΘΟΔΟΙ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΟΙ Λόγω της πολυπλοκότητας των νομογραφημάτων και πινάκων της θεωρίας Burmister (1943, 1945, 1958) για ένα στρωσιγενές ελαστικό σύστημα υπό στατική φόρτιση, αναπτύχθηκαν προγράμματα Η/Υ βασισμένα στην ανωτέρω θεωρία τα οποία και παρέχουν αριθμητικά την ακριβή λύση του προβλήματος. Από αυτά μπορεί να αναφέρει κανείς το BISAR (De Jong et al, 1973) που αναπτύχθηκε από την εταιρεία Shell, το ELSYM5 (Kopperman et al, 1986) που αναπτύχθηκε αρχικά στο Πανεπιστήμιο Berkeley των Η.Π.Α. και το KENLAYER (Huang, 2004) που αναπτύχθηκε αρχικά στο Πανεπιστήμιο του Kentucky των Η.Π.Α. Το πρόβλημα αντιμετωπίστηκε επίσης με τη μέθοδο των πεπερασμένων στοιχείων (ΜΠΣ), η οποία έχει ορισμένα βασικά πλεονεκτήματα, όπως γενικότητα, ευελιξία και δυνατότητα επέκτασης σε μη-γραμμική συμπεριφορά του υλικού. Από τα πλέον γνωστά προγράμματα ΜΠΣ για στατική ελαστική ανάλυση εύκαμπτων οδοστρωμάτων, μπορεί κανείς να αναφέρει τα ILLI-PAVE (Raad and Figueroa, 1980) που αναπτύχθηκε στο Πανεπιστήμιο του Illinois των Η.Π.Α. και MICH-PAVE (Harichandran et al, 1989) που αναπτύχθηκε στο Πανεπιστήμιο Michigan State των Η.Π.Α. Τα τρισδιάστατα προγράμματα KENLAYER, ILLI-PAVE και MICH-PAVE έχουν τη δυνατότητα να αντιμετωπίσουν και περιπτώσεις μη-γραμμικής συμπεριφοράς των υλικών στις διάφορες στρώσεις του οδοστρώματος, ενώ το KENLAYER μπορεί επί πλέον να αντιμετωπίσει και γραμμικά ιξωδοελαστική συμπεριφορά των υλικών. Η μη-γραμμική συμπεριφορά αντιμετωπίζεται με την υπόθεση ότι το μέτρο ελαστικότητας εξαρτάται μηγραμμικά από τις τάσεις και επομένως η σωστή κατανομή των τάσεων προσδιορίζεται με σειρά ελαστικών αναλύσεων και διαδοχικές προσεγγίσεις μέχρι την επίτευξη σύγκλισης ώστε να ικανοποιείται κάποιο κριτήριο αστοχίας, όπως, π.χ., αυτό των Mohr-Coulomb. Τα τελευταία έτη, ο συνήθης τρόπος στατικών ή και δυναμικών αναλύσεων εύκαμπτων οδοστρωμάτων με τη ΜΠΣ, όπως αυτές περιγράφονται και στην εισαγωγή της παρούσας διατριβής, γίνεται με τη βοήθεια προγραμμάτων ΜΠΣ γενικού σκοπού. Τα πλέον δημοφιλή τέτοια προγράμματα είναι το ANSYS (2010) και το ABAQUS (2013) στα οποία ο χρήστης μπορεί να προσθέτει ειδικές υπορουτίνες για την αντιμετώπιση ειδικών προβλημάτων του. Η παρούσα διατριβή κάνει χρήση του προγράμματος ANSYS, όπως περιγράφεται στα κεφάλαια 4 και 5 της διατριβής.

28 16 Για λόγους πληρότητας, το κεφάλαιο αυτό κλείνει με μία σύντομη περιγραφή της ΜΠΣ για στατική ελαστική ανάλυση ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Η παρακάτω συνοπτική περιγραφή της ΜΠΣ για στατική ελαστική ανάλυση εύκαμπτων οδοστρωμάτων, θεωρούμενων ως αξονοσυμμετρικών τρισδιάστατων στρωσιγενών σωμάτων, βασίζεται στην εργασία των Duncan et al (1968), η οποία και αποτελεί την πρώτη εφαρμογή της μεθόδου σε εύκαμπτα οδοστρώματα. Θεωρείται στρωσιγενές αξονοσυμμετρικό χωρίο, όπως αυτό του Σχ.2.7, το οποίο προσομοιώνει ένα εύκαμπτο οδόστρωμα. Το χωρίο αυτό διακριτοποιείται σε αξονοσυμμετρικά στοιχεία και επομένως η διακριτοποίηση αφορά ουσιαστικά σε ένα ακτινικό επίπεδο zr του χωρίου αυτού. Κάθε αρχικά ορθογωνικό στοιχείο υποδιαιρείται σε τέσσερα τριγωνικά στοιχεία, όπως φαίνεται στο Σχ.2.7 και έτσι το πρόβλημα ανάγεται στην κατασκευή του μητρώου δυσκαμψίας [Κ] μεγέθους 6*6 Σχήμα 2.7 Διακριτοποίηση οδοστρώματος σε αξονοσυμμετρικά πεπερασμένα στοιχεία (από Ullidtz, 1998) ενός τριγωνικού στοιχείου για το οποίο ισχύει η σχέση {f} = [K] {δ} (2.28)

29 17 όπου {f} = {H i, H j, H k, V i, V j, V k } T και {δ}= {u i, u j, u k, v i,v j, v k } T είναι τα διανύσματα εξωτερικών δυνάμεων και επικόμβιων μετατοπίσεων που αναφέρονται στους κόμβους i, j και k του στοιχείου, όπως φαίνεται στο Σχ.2.8. Σχήμα 2.8 Κόμβοι και επικόμβιες μετατοπίσεις σε τριγωνικό επίπεδο πεπερασμένο στοιχείο (από Ullidtz, 1998) Το τυχόν στοιχείο K mn (m,n=1,2,...6) του μητρώου [Κ] παριστάνει την δύναμη στον βαθμό ελευθερίας m εξ αιτίας μίας μοναδιαίας τιμής μετατόπισης στο βαθμό ελευθερίας n, όταν οι τιμές των μετατοπίσεων στους υπόλοιπους βαθμούς ελευθερίας είναι μηδέν. Για τον προσδιορισμό των στοιχείων του μητρώου [Κ] απαιτείται αρχικά η επιλογή μίας συνάρτησης μετατόπισης. Επιλέγοντας μία γραμμική ως προς r και z τέτοια συνάρτηση, έχει κανείς u (r,z) = α 1 + α 2 r + α 3 z v (r,z) = α 4 + α 5 r +α 6 z (2.29) ή σε μητρωϊκή μορφή {U}= [A] {α} (2.30) όπου {U}= {u, v} και {α} = { α 1, α 2, α 3, α 4, α 5, α 6 } Τ

30 18 Χρησιμοποιώντας τη σχέση (2.30) σε κάθε ένα από τους τρεις κόμβους του τριγωνικού στοιχείου του Σχ.2.8 προκύπτει η σχέση {δ} = [Ā] {α} (2.31) όπου το μητρώο [Ā] προκύπτει από τα μητρώο [Α] υπολογισμένο στους τρεις κόμβους του τριγωνικού στοιχείου. Μεταξύ των σχέσεων (2.30) και (2.31) γίνεται απαλοιφή του διανύσματος {α} και προκύπτει {U}= [A] [Ā] -1 {δ} = [N] {δ} (2.32) Χρησιμοποιώντας τις σχέσεις παραμορφώσεων-μετατοπίσεων της θεωρίας ελαστικότητας ε r =, ε θ = ε z =, γ rz = + (2.33) μετά από κατάλληλη διαφόριση της σχέσης (2.32) μπορεί κανείς να λάβει τη σχέση {ε}= [Ν ] {δ} (2.34) όπου {ε}= {ε r, ε θ, ε z, γ rz } Τ και [Ν ] είναι το μητρώο που προκύπτει από το [Ν] μετά από διαφορίσεις σύμφωνα με τη σχέση (2.33). Η ελαστική συμπεριφορά του υλικού περιγράφεται σύμφωνα με τον νόμο του Hooke ως (2.35) ή συμβολικά ως {σ} = [Ε] {ε} (2.36) όπου το [Ε] καλείται μητρώο ελαστικότητας. Το μητρώο δυσκαμψίας υπολογίζεται τώρα από τη σχέση

31 19 [k] = [E] [N ] dv (2.37) όπου V είναι ο όγκος του αξονοσυμμετρικού στοιχείου. Δοθέντος ότι dv= rdrdθdz, η ανωτέρω σχέση μπορεί να λάβει την απλούστερη μορφή [k] = [E] [N ] rdrdz (2.38) όπου S είναι η επιφάνεια του τριγωνικού στοιχείου του Σχ.2.8. Η ολοκλήρωση στην (2.38) γίνεται αριθμητικά. Έχοντας το μητρώο δυσκαμψίας [k] ενός αξονοσυμμετρικού στοιχείου, μπορεί κανείς να κατασκευάσει το μητρώο [Κ] όλου του οδοστρώματος με κατάλληλη επαλληλία των δυσκαμψιών όλων των στοιχείων στα οποία έχει διακριτοποιηθεί. Έτσι για την όλη κατασκευή μπορεί κανείς να έχει {F} = [K] {Δ} (2.39) όπου {F} και {Δ} είναι τα διανύσματα των επικόμβιων δυνάμεων και μετατοπίσεων της όλης κατασκευής. Μετά την εφαρμογή των συνοριακών συνθηκών του προβλήματος στην (2.39) η προκύπτουσα εξίσωση επιλύεται αριθμητικά και δίνει τις άγνωστες συνιστώσες μετατοπίσεων του διανύσματος {Δ}. Έχοντας αυτές μπορεί κανείς να προσδιορίσει παραμορφώσεις και τάσεις σε οποιοδήποτε σημείο κάθε στοιχείου με τη βοήθεια των εξισώσεων (2.34) και (2.36), αντίστοιχα.

32 20 3. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΦΟΡΤΙΩΝ ΟΧΗΜΑΤΩΝ 3.1. ΦΟΡΤΙΑ ΟΧΗΜΑΤΩΝ Κατά την κατασκευή ενός οδοστρώματος, η αποτίμηση του κυκλοφοριακού φόρτου αποτελεί μία από τις βασικές παραμέτρους της κατασκευής αυτής, αφού για τον καθορισμό του πάχους του οδοστρώματος πρέπει κανείς να γνωρίζει τον αριθμό και το βάρος του κάθε οχήματος. Τα οχήματα που κυκλοφορούν σε μία οδό είναι μίγμα από επιβατικά, λεωφορεία, φορτηγά, νταλίκες κλπ. με διαφορετικό αριθμό αξόνων και διαφορετικό φορτίο το καθένα από αυτά. Ανάλογα με το φορτίο κάθε οχήματος και την κατανομή του σε άξονες, προκύπτει και η καταστροφική του ικανότητα έναντι του οδοστρώματος. Επειδή η καταστροφική ικανότητα των επιβατικών οχημάτων είναι αμελητέα σε σχέση με αυτή των εμπορικών, τα φορτία που χρησιμοποιούνται για τον σχεδιασμό οδοστρωμάτων συνήθως αναφέρονται σε εμπορικά οχήματα. Έτσι ένα εμπορικό όχημα μπορεί να έχει μονούς άξονες με μονούς ή διπλούς τροχούς και δίδυμους άξονες με διπλούς τροχούς, όπως φαίνεται στο Σχ.3.1, που έχει ληφθεί από το βιβλίο του Huang (2004). Στο σχήμα αυτό φαίνονται και οι διάφορες αποστάσεις μεταξύ τροχών και αξόνων. Το αξονικό φορτίο ενός οχήματος είναι αυτό που σχετίζεται άμεσα με τον σχεδιασμό οδοστρωμάτων, αφού οι αποστάσεις μεταξύ των αξόνων του οχήματος ειναι αρκετά μεγάλες ώστε οι τάσεις και παραμορφώσεις που δημιουργούνται στο οδόστρωμα απο τα φορτία των αξόνων αυτών μπορούν να θεωρηθούν ανεξάρτητα.

33 21 Σχήμα 3.1 Ίχνη τροχών τυπικού Αμερικανικού φορτηγού οχήματος τριών αξόνων (από Huang, 2004) Τα μέγιστα επιτρεπτά αξονικά βάρη διαφόρων τύπων οχημάτων, όπως αυτά έχουν θεσπιστεί σε διάφορες χώρες δίνονται στον Πίνακα 3.1, που έχει ληφθεί από το βιβλίο του Νικολαῒδη (2002). Το μέγιστο μικτό βάρος διαφόρων εμπορικών οχημάτων, όπως και η κατανομή του στους άξονες των οχημάτων αυτών δίνεται σε τόνους (1tn= N= lbs) στον Πίνακα 3.2, που επίσης έχει ληφθεί από το βιβλίο του Νικολαῒδη (2002).

34 Πίνακας 3.1 Μέγιστα επιτρεπτά αξονικά φορτία οχημάτων σε διάφορες χώρες (από Νικολαῒδη 2002) 22

35 Πίνακας 3.2 Τυπικές κατηγορίες εμπορικών οχημάτων και κατανομή φορτίου στους άξονές τους (από Νικολαῒδη, 2002) 23

36 24 Στη μηχανιστική μέθοδο σχεδιασμού, είναι απαραίτητη η γνώση της επιφάνειας επαφής μεταξύ του ελαστικού τροχού και του οδοστρώματος, έτσι ώστε το αξονικό φορτίο να μπορεί να ληφθεί ως ομοιόμορφα διανεμημένο επί της επιφάνειας επαφής. Το μέγεθος της επιφάνειας επαφής εξαρτάται από την πίεση επαφής, η οποία για τον σχεδιασμό υποτίθεται ίση με την εσωτερική πίεση του ελαστικού τροχού. Επειδή στην πραγματικότητα η πίεση επαφής είναι μικρότερη από την εσωτερική πίεση του ελαστικού τροχού, ο σχεδιασμός είναι από την πλευρά της ασφάλειας. Το Σχ.3.2 δείχνει το προσεγγιστικό σχήμα της επιφάνειας επαφής ενός τροχού με το οδόστρωμα, το οποίο αποτελείται από ένα ορθογώνιο και δύο ημικύκλια. Σχήμα 3.2 Διαστάσεις επιφάνειας επαφής ενός τροχού με επιφάνεια οδοστρώματος και ισοδύναμες ορθογωνικές και κυκλικές προς αυτήν επιφάνειες (από Huang, 2004) Υποθέτοντας μήκος L και πλάτος 0.6L, η επιφάνεια επαφής A c = π(0.3l) 2 + (0.4L)(0.6L) = L 2, οπότε L = (3.1) όπου η A c υπολογίζεται διαιρώντας το φορτίο σε κάθε τροχό με την εσωτερική πίεση του τροχού. Σε τρισδιάστατες αναλύσεις με τη ΜΠΣ, οι άνω επιφανειακές πλευρές των συνήθως χρησιμοποιούμενων στοιχείων σχήματος ορθογωνίου παραλληλεπιπέδου είναι ορθογωνικές και επομένως συμφέρει η επιφάνεια επαφής ενός τροχού με το οδόστρωμα να είναι ορθογωνική. Επίσης, σε τρισδιάστατες στατικές αναλύσεις με τη μέθοδο του συστήματος στρώσεων, η επιφάνεια επαφής τροχού με οδόστρωμα είναι κυκλική.

37 25 Γι αυτούς τους λόγους, η επιφάνεια επαφής ορθογωνίου-δύο ημικυκλίων μετατρέπεται σε ισοδύναμη ορθογωνική ή ισοδύναμη κυκλική, όπως φαίνεται στο Σχ.3.2. Βαριά αξονικά φορτία, όπως αυτό των 18kip (80kN), εφαρμόζονται πάντοτε σε διπλούς τροχούς. Θεωρώντας το μονο-αξονικό φορτίο 18kip (80kN) επί τεσσάρων τροχών με εσωτερική πίεση τροχού 80psi (552kPa), μπορεί κανείς να προσδιορίσει για κάθε τροχό την επιφάνεια επαφής του με το οδόστρωμα και τις ισοδύναμες προς αυτήν ορθογωνική και κυκλική επιφάνεια, όπως φαίνεται στο Σχ.3.3 (Huang 2004) για την περίπτωση των δύο από τους τέσσερεις τροχούς του άξονα. Αυτό επιτυγχάνεται με τον προσδιορισμό αρχικά της επιφάνειας A c = (18000/4)/80 = in 2 και κατόπιν του L = 10.37in από τη σχέση (3.1). Ας σημειωθεί τέλος ότι οι δύο κυκλικές επιφάνειες επαφής των δύο τροχών μπορούν να αντικατασταθούν με μία ισοδύναμη κυκλική επιφάνεια επαφής, όπως φαίνεται στο Σχ.3.3. Σχήμα 3.3 Διαδοχή ισοδύναμων επιφανειών των ιχνών διπλών τροχών μονού άξονα βάρους 18kip = 80kN (από Huang, 2004) Όπως προαναφέρθηκε, κατά τον σχεδιασμό οδοστρωμάτων, το θέμα της φόρτισης διευκολύνεται με τη χρήση ενός φορτίου 18kip (80kN) που αντιστοιχεί σε ένα τυπικό άξονα με διπλούς τροχούς. Για τον άξονα αυτό θεωρείται ότι η προκαλούμενη στο οδόστρωμα βλάβη από μία διέλευσή του είναι ίση με τη μονάδα. Έτσι η προκαλούμενη βλάβη από αξονικά φορτία με μεγαλύτερη ή μικρότερη τιμή από αυτή των 18kip (80kN) μπορεί να εκφραστεί με ισοδύναμους συντελεστές μεγαλύτερους ή μικρότερους,

38 26 αντίστοιχα, της μονάδας. Με τη χρήση των συντελεστών αυτών μπορεί κανείς να εκφράσει τον κυκλοφοριακό φόρτο με τα διάφορα αξονικά φορτία με μία μεταβλητή, αυτή του ισοδύναμου φορτίου τυπικού άξονα (equivalent single axle load=esal) (Νικολαῒδης, 2002) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΚΙΝΟΥΜΕΝΩΝ ΦΟΡΤΙΩΝ Το παρόν υποκεφάλαιο αποτελεί πρωτότυπο τμήμα της παρούσας διατριβής. Θεωρείται ένα τυπικό βαρύ όχημα (φορτηγό DAF, μοντέλο FAD CF75), όπως φαίνεται στο Σχ.3.4, με τέσσερεις άξονες φορτίων P A =P B =P C =16kN και P D =32kN και αποστάσεις αξόνων μεταξύ τους L AB =1.40m, L BC =2.95m και L CD =2.05m. Έτσι η απόσταση του άξονα D από τον άξονα Α είναι L=6.40m και το ολικό βάρος του φορτηγού είναι P=80kN. Το τρισδιάστατο αυτό όχημα προσομοιώνεται ως ένα σύστημα τεσσάρων συγκεντρωμένων φορτίων. Σχήμα 3.4 Τυπικό βαρύ φορτηγό όχημα με 4 άξονες και βάρος 80kN. Ακολούθως θεωρείται ο κατά μήκος άξονας x επί της επιφάνειας ενός οδοστρώματος με τέσσερεις διαδοχικούς κόμβους, ο οποίος συμπίπτει με τον άξονα κίνησης του οχήματος, όπως φαίνεται στο Σχ.3.5. Υποτίθεται ότι η απόσταση α μεταξύ δύο διαδοχικών κόμβων είναι μικρότερη ή ίση του 1.00m, έτσι ώστε α<l AB και ότι στον χρόνο t=0 το φορτίο P D βρίσκεται στον κόμβο i, οπότε P i =P D και P i+1 =P i+2 =P i+3 =0. Το όχημα κινείται με σταθερή ταχύτητα V και έτσι για να διανύσει απόσταση α, απαιτείται χρόνος t α =α/v.

39 27 Επομένως το φορτίο P D θα βρίσκεται πάνω στους κόμβους i+1, i+2 και i+3 σε χρόνους t α, 2t α και 3t α, αντίστοιχα. Σχήμα 3.5 Άνω διακριτοποιημένο μέρος επιφάνειας οδοστρώματος με 4 διαδοχικούς κόμβους κατά μήκος του άξονα κίνησης x Στην περίπτωση αυτή έχει κανείς P i+1 =P D σε χρόνο t=t α, P i+2 =P D σε χρόνο t=2t α P i+3 =P D σε χρόνο t=3t α (3.2) Χωρίς απώλεια της γενικότητας, η ακόλουθη ανάλυση επικεντρώνεται στον κόμβο i+1. Τη χρονική στιγμή t=0 ο κόμβος i+1 υποτίθεται αφόρτιστος. Ακολούθως, ο κόμβος i+1 αρχίζει να φορτίζεται αφού το φορτίο P D αφήνει τον κόμβο i και κινείται με σταθερή ταχύτητα V προς τον κόμβο i+1. Κατά το χρονικό διάστημα 0 t t α, το φορτίο P D διανέμεται στους κόμβους i και i+1 κατά τρόπο γραμμικό και το ίδιο συμβαίνει για τους κόμβους i+1 και i+2 κατά το χρονικό διάστημα t α t 2t α, όπως φαίνεται στο Σχ.3.6. Η πλήρης αποφόρτιση του κόμβου i+1 συμβαίνει τη χρονική στιγμή κατά την οποία το φορτίο P D έχει φτάσει στον κόμβο i+2. Αυτή η τριγωνική μεταβολή του κινούμενου φορτίου με το χρόνο, όπως φαίνεται στο Σχ.3.6, είναι λίαν παραπλήσια με αυτή μίας ημιτονοειδούς μεταβολής που χρησιμοποιείται συνήθως στη βιβλιογραφία (Huang, 2004) αλλά πολύ απλούστερη.

40 28 Σχήμα 3.6 Φόρτιση κόμβου i+1 με φορτίο P D Συμπερασματικά, ένα συγκεντρωμένο φορτίο που κινείται με σταθερή ταχύτητα προσομοιώνεται με τον καθορισμό τιμών φορτίου εξαρτώμενου από τον χρόνο σε όλους τους κόμβους της τροχιάς του φορτίου, οι οποίοι ενεργοποιούνται το χρόνο που χρειάζεται το φορτίο να διανύσει την απόσταση από την αρχή της διαδρομής μέχρι τη θέση του κάθε κόμβου. Αυτός ο τρόπος προσομοίωσης κινούμενων φορτίων είναι πιο ορθολογικός από αυτόν που υποθέτει τα φορτία οιονεί-στατικά γιατί είναι καθαρά δυναμικός και λαμβάνει υπόψη του την αδράνεια και απόσβεση του οδοστρώματος. Λαμβάνοντας υπόψη ότι το θεωρούμενο εδώ όχημα έχει τέσσερεις άξονες, η ολική φόρτιση θα είναι το αποτέλεσμα επαλληλίας των φορτίων P A, P B, P C και P D, όπως φαίνεται στο Σχ.3.7. Η διάταξη φορτίων του Σχ.3.7 για τον κόμβο i+1 επαναλαμβάνεται για κάθε άλλο κόμβο της επιφάνειας του οδοστρώματος με τη μόνη διαφορά να έγκειται στο ότι ο χρόνος αρχής του φαινομένου να είναι διαφορετικός από κόμβο σε κόμβο γι αυτό το τετραπλό φορτίο. Η ανωτέρω διαδικασία εφαρμογής των φορτίων στο πεδίο του χρόνου έχει προγραμματιστεί και το κατασκευασμένο πρόγραμμα Η/Υ έχει κατάλληλα ενσωματωθεί στο εμπορικό πρόγραμμα πεπερασμένων στοιχείων ANSYS (2010), το οποίο και αποτελεί το βασικό εργαλείο αναλύσεων της παρούσας διατριβής, όπως περιγράφεται αναλυτικότερα στα κεφάλαια 4 και 5.

41 29 Σχήμα 3.7 Φόρτιση κόμβου i+1 με ολικό φορτίο οχήματος τεσσάρων αξόνων Στην πραγματικότητα, τα σταθερά ή κινούμενα φορτία των οχημάτων που δρουν πάνω στα οδοστρώματα, όπως περιγράφηκε και στο υποκεφάλαιο 3.1, είναι διανεμημένα και όχι συγκεντρωμένα και αναφέρονται σε ένα μεμονωμένο τροχό ή σε ομάδα τροχών ενός οχήματος σε επαφή με το οδόστρωμα. Η επιφάνεια επαφής ενός μεμονωμένου τροχού ή ομάδας τροχών, όπως περιγράφηκε στο υποκεφάλαιο 3.1, μπορεί να υποτεθεί ότι έχει σχήμα ορθογωνικό μήκους l και πλάτους b κατά τις διευθύνσεις x και y, αντίστοιχα, της επιφάνειας του οδοστρώματος με την x διεύθυνση να συμπίπτει με αυτήν του κατά μήκος άξονα του οδοστρώματος που θεωρείται και ως άξονας της κίνησης. Αυτό είναι συμβατό, όπως προαναφέρθηκε, με το γεγονός ότι οι πλευρές των πεπερασμένων στοιχείων στην επιφάνεια του οδοστρώματος είναι ορθογωνικές. Το διανεμημένο ομοιόμορφα φορτίο στην επιφάνεια επαφής προσομοιώνεται με ένα στατικά ισοδύναμο σύστημα συγκεντρωμένων φορτίων τα οποία τοποθετούνται συμμετρικά εκατέρωθεν του άξονα συμμετρίας x. Αυτά τα φορτία διατάσσονται ως μία σειρά συγκεντρωμένων φορτίων παράλληλων προς τον άξονα x και αντιμετωπίζονται όπως περιγράφηκε στα παραπάνω. Γίνεται χρήση 28 αξόνων για μία σχεδόν τέλεια προσομοίωση.

42 30 4. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΕΛΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Το παρόν κεφάλαιο αποτελεί πρωτότυπο τμήμα της παρούσας διατριβής. Περιγράφει τη χρήση της ΜΠΣ για τον αριθμητικό προσδιορισμό της απόκρισης εύκαμπτων οδοστρωμάτων αποτελούμενων από τρεις στρώσεις σε κινούμενα με σταθερή ταχύτητα φορτία υπό συνθήκες τριών διαστάσεων. Η συμπεριφορά των στρώσεων του οδοστρώματος και του υποκείμενου εδάφους υποτίθεται γραμμικά ελαστική με ή χωρίς ιξώδη απόσβεση. Η ΜΠΣ εφαρμόζεται στο πεδίο του χρόνου με τη βοήθεια του εμπορικού προγράμματος γενικού σκοπού ANSYS (2010). Το παρόν κεφάλαιο, μέσα στα πλαίσια της γραμμικά ελαστικής δυναμικής ανάλυσης με τη ΜΠΣ, θεωρεί: i) γεωμετρικές παραμέτρους (ελαστικό ημίχωρο έναντι συστήματος στρώσεων, διαστάσεις χώρου κατασκευής οδοστρώματος, απορροφητικά σύνορα έναντι συνόρων με κυλίσεις και υποβαστάζον έδαφος έναντι άκαμπτου βράχου), ii) παραμέτρους φόρτισης (συγκεντρωμένο έναντι διανεμημένου φορτίου, ακίνητο έναντι κινούμενου φορτίου και απλού φορτίου έναντι σειράς φορτίων), iii) παραμέτρους υλικού (γραμμικά ελαστικό υλικό με ή χωρίς ιξώδη απόσβεση) και iv) παραμέτρους διακριτοποίησης (κατάλληλο συνδυασμό μεγέθους πεπερασμένων στοιχείων και χρονικού βήματος για αποδεκτό λάθος υπολογισμών ως προς υπάρχουσες αναλυτικές ή και αριθμητικές λύσεις). Με βάση όλα τα ανωτέρω χαρακτηριστικά, ελπίζεται ότι το ανωτέρω μέρος της διατριβής θα αποτελέσει μία χρήσιμη πηγή πληροφόρησης πάνω στο θέμα της ελαστοδυναμικής ανάλυσης ευκάμπτων οδοστρωμάτων υπό κινούμενα φορτία με χρήση της ΜΠΣ, το οποίο παρουσιάζεται υπό νέα ενοποιημένη και γενικευμένη μορφή, και μια βάση για περαιτέρω ανάπτυξη στην περιοχή της πλέον ρεαλιστικής ανελαστικής συμπεριφοράς των υλικών. Η διάρθρωση του παρόντος κεφαλαίου περιλαμβάνει τα κάτωθι υποκεφάλαια: i) Προσομοίωση οδοστρώματος κατά την ΜΠΣ, ii) Επίλυση εξισώσεων ΜΠΣ στο πεδίο του χρόνου, iii) Αριθμητικές μελέτες δυναμικής απόκρισης, iv) Επίδραση ιξώδους απόσβεσης και v) Συμπεράσματα ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΟΔΟΣΤΡΩΜΑΤΟΣ ΚΑΤΑ ΤΗΝ ΜΠΣ Η προσομοίωση ενός τυπικού εύκαμπτου οδοστρώματος μέσα στα πλαίσια της ΜΠΣ και τρισδιάστατης γεωμετρίας απαιτεί την επιλογή των κατάλληλων διαστάσεων ενός πεπερασμένου χωρίου και του κατάλληλου βαθμού διακριτοποίησης του χωρίου αυτού,

43 31 ώστε να προσομοιωθεί μία επαρκώς ακριβή δυναμική συμπεριφορά του οδοστρώματος με λογικό υπολογιστικό κόστος. Το προσομοίωμα της κατασκευής οδοστρώματος που τελικά επιλέχτηκε, προέκυψε εξελικτικά με μία διαδικασία δοκιμής και λάθους με στόχο την επίτευξη συνδυασμού ρεαλισμού, ακρίβειας και υπολογιστικής αποδοτικότητας. Δοκιμάστηκαν διάφοροι συνδυασμοί μήκους, πλάτους και ύψους του πεπερασμένου χωρίου χωρίς και με θεώρηση συμμετρίας. Βρέθηκε ότι το χωρίο πρέπει να προσομοιάζει μάλλον με κύβο παρά με δοκό ή πλάκα και να έχει διάσταση πλευράς μεγαλύτερη από το διπλάσιο της διαδρομής του κινούμενου φορτίου. Πιο συγκεκριμένα, βρέθηκε ότι το πλέον κατάλληλο πεπερασμένο χωρίο για την προσομοίωση της κατασκευής οδοστρώματος είναι αυτό που φαίνεται στο Σχ.4.1, στο οποίο έχει εφαρμοστεί και θεώρηση συμμετρίας. Το προσομοίωμα έχει διαστάσεις 29.45m κατά την κατακόρυφη z διεύθυνση, 15.00m κατά την εγκάρσια y διεύθυνση και 30.00m κατά τη διαμήκη x διεύθυνση. Αποτελείται από τρεις στρώσεις, οι οποίες δεν ολισθαίνουν μεταξύ τους και με το υποβαστάζον αυτές έδαφος. Η άνω στρώση είναι από ασφαλτικό υλικό πάχους 0.15m, η ενδιάμεση στρώση ή βάση από κοκκώδες υλικό πάχους 0.30m και η τρίτη στρώση ή υπόβαση από εδαφικό υλικό πάχους 29.00m. Σχήμα 4.1 Γενική γεωμετρία της μισής κατασκευής οδοστρώματος (συμμετρία ως προς το επίπεδο x-z): (OR) = m, (OA) = (BR) =13.20 m, (AQ) = (QB) = 1.80 m, (OC) = m, (CD) = 0.15 m, (DF) = 0.30 m, (FG) = m

44 32 Για το ανωτέρω πεπερασμένο χωρίο θεωρήθηκαν και συγκρίθηκαν ως προς την ακρίβεια και αποδοτικότητα της επίλυσης, τρία είδη διακριτοποιήσεων με αύξοντα κατά σειρά βαθμό διακριτοποίησης. Αποφασίστηκε η υιοθέτηση της διακριτοποίησης Β ενδιαμέσου βαθμού, ως ένας συμβιβασμός μεταξύ ακρίβειας και υπολογιστικής αποδοτικότητας. Η διακριτοποίηση αυτή, η οποία φαίνεται στο Σχ. 4.2, αντιστοιχεί σε οκτάκομβα τρισδιάστατα πεπερασμένα στοιχεία, τα οποία αναφέρονται ως SOLID185 με 24 βαθμούς ελευθερίας (τρεις σε κάθε κόμβο μετατοπίσεις κατά x, y, z) στο εμπορικό πρόγραμμα ΜΠΣ ANSYS (2010), όπως φαίνεται στο Σχ.4.3. Επειδή οι τρεις κατακόρυφες πλευρές (η τέταρτη είναι το επίπεδο συμμετρίας x-z) και η κάτω οριζόντια πλευρά του προσομοιώματος του οδοστρώματος αποτελούν τεχνητά σύνορα, κύματα που δημιουργούνται από την κίνηση του οχήματος πάνω στην άνω οριζόντια πλευρά του προσομοιώματος, ανακλώνται σε αυτά τα τεχνητά Σχήμα 4.2 Διακριτοποίηση του προσομοιώματος του Σχ.4.1 σε πεπερασμένα στοιχεία με κόμβους

45 33 Σχήμα 4.3 Οκτάκομβο τρισδιάστατο πεπερασμένο στοιχείο (SOLID185, με 24 βαθμούς ελευθερίας) σύνορα και επιστρέφοντα στα σημεία ενδιαφέροντος μολύνουν την εκεί απόκριση. Γι αυτό το λόγο, εισάγονται απορροφητικοί μηχανισμοί σε αυτά τα τεχνητά σύνορα. Στην παρούσα εργασία γίνεται χρήση των συνήθων ιξωδών συνόρων των Lysmer and Kuhlemeyer (1969), όπως αυτά περιγράφονται για την τρισδιάστατη περίπτωση στους Hatzigeorgiou and Beskos (2010). Αυτά τα ιξώδη σύνορα, αν και δεν είναι απολύτως απορροφητικά, χρησιμοποιούνται ευρύτατα (ιδιαίτερα σε εμπορικά προγράμματα) λόγω της απλότητάς τους. Η βασική ιδέα της θεωρίας αυτών των συνόρων είναι η εφαρμογή συνοριακών συνθηκών ως προς τα διανύσματα τάσεων σε αυτά τα τεχνητά σύνορα, οι οποίες εξουδετερώνουν τα διανύσματα τάσεων που δημιουργούνται από κυματικές ανακλάσεις. Έτσι έχει κανείς ότι στα τεχνητά σύνορα t n + αρv P n =0, t s + βρv S s =0 (4.1) όπου t n και t s είναι τα κάθετα και διατμητικά, αντίστοιχα, διανύσματα τάσεων στο σύνορο, ρ είναι η πυκνότητα μάζας, n και s είναι η κάθετη και εφαπτομενική, αντίστοιχα, ταχύτητα ως προς το σύνορο, α και β είναι αδιάστατοι παράμετροι εξαρτώμενοι από τον λόγο του Poisson ν που συνήθως λαμβάνονται ίσοι με 1 και V P και V S είναι η διαμήκης και διατμητική, αντίστοιχα, ταχύτητα των ελαστικών κυμάτων που ορίζονται ως V P =, V S = (4.2) με Ε να είναι το μέτρο ελαστικότητας. Τα τεχνητά κατακόρυφα και οριζόντια σύνορα του προσομοιώματος του Σχ.4.2 διακριτοποιούνται με ορθογωνικά κατακόρυφα και οριζόντια στοιχεία, αντίστοιχα, τα οποία είναι στην πραγματικότητα οι πλευρές των τρισδιάστατων πεπερασμένων στοιχείων

46 34 (Σχ.4.3) που χρησιμοποιούνται για διακριτοποίηση του χωρίου. Οι διαστάσεις αυτών των στοιχείων/πλευρών είναι a*b, όπως φαίνεται στο Σχ.4.4. Σε κάθε κόμβο του συνόρου έχει κανείς ένα κάθετο και δύο εφαπτομενικούς αποσβεστήρες με τιμές ιξώδους c p = (a*b)ρ V P, c s = (a*b)ρ V S (4.3) όπως φαίνεται στο Σχ.4.4. Στην κάτω επιφάνεια του χωρίου/προσομοιώματος πρέπει κανείς να εισαγάγει ελαστικά ελατήρια και ιξώδεις αποσβεστήρες σε κάθε κόμβο για Σχήμα 4.4 Κατακόρυφο τεχνητό σύνορο (εξωτερική πλευρά του τρισδιάστατου πεπερασμένου στοιχείου) και ιξώδεις αποσβεστήρες να προσομοιώσει το υποβαστάζον εδαφικό μέσο. Οι δύο οριζόντιες σταθερές ελατηρίου Κ Η και η κατακόρυφη σταθερά ελατηρίου Κ V σε κάθε κόμβο της κάτω επιφάνειας του χωρίου, όπως φαίνεται στο Σχ.4.5, παρέχονται από τις εκφράσεις των Mulliken and Karabalis (1998) ως K H =, K V = (4.4) όπου D είναι το ήμισυ της πλευράς ενός ισοδύναμου τετραγώνου προς το ορθογώνιο a*b του Σχ.4.4 και δίνεται ως D = (4.5)

47 35 Σχήμα 4.5 Τεχνητό σύνορο κάτω οριζόντιας επιφάνειας του χωρίου με επικόμβια ελατήρια εδάφους Οι ανωτέρω αποσβεστήρες και ελατήρια εισάγονται κατάλληλα στο εμπορικό πρόγραμμα ANSYS (2010). Επί πλέον των προαναφερθέντων απορροφητικών συνόρων, δύο πολύ απλούστεροι τύποι συνόρων χρησιμοποιούνται κατά την πρώτη συγκριτική μελέτη της παρούσας εργασίας για να εκτιμηθεί η αποτελεσματικότητά τους, αφού έχουν χρησιμοποιηθεί με επιτυχία από διάφορους ερευνητές (Yin et al 2007, Liao and Sargand 2010, Khavassefat et al 2012) και είναι ελκυστικοί λόγω του χαμηλού υπολογιστικού κόστους τους. Αυτά είναι σύνορα με κυλίσεις στην κάτω οριζόντια και τις τρεις κατακόρυφες επιφάνειες του χωρίου καθώς και σύνορα με ελεύθερες τις τρεις κατακόρυφες επιφάνειες και με κυλίσεις στην κάτω οριζόντια επιφάνεια του χωρίου, όπως φαίνεται στο Σχ.4.6. Φυσικά, κύματα που φτάνουν σε αυτά τα σύνορα ανακλώνται και κανείς αναμένει η απόσταση των σημείων ενδιαφέροντος από αυτά τα σύνορα να είναι επαρκώς μεγάλη ώστε αυτά τα ανακλώμενα κύματα να μην έχουν τον χρόνο να επηρεάσουν σημαντικά τις μέγιστες τιμές της απόκρισης. Αυτή η απόσταση μπορεί να επιλεγεί κατά τη διάρκεια του καθορισμού των διαστάσεων του χωρίου ώστε το λάθος υπολογισμού της απόκρισης, συγκρινόμενο με την ακριβή λύση, να είναι σε αποδεκτή στάθμη.

48 36 (a) (b) Σχήμα 4.6 Απλές συνοριακές συνθήκες: (a) κυλίσεις στις τρεις κατακόρυφες πλευρές και στην κάτω οριζόντια του χωρίου, (b) κυλίσεις μόνο στην κάτω οριζόντια πλευρά του χωρίου και ελευθερία κινήσεων στις τρεις κατακόρυφες πλευρές του ΕΠΙΛΥΣΗ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ ΜΠΣ ΣΤΟ ΠΕΔΙΟ ΤΟΥ ΧΡΟΝΟΥ Με βάση τη χωρική προσομοίωση της κατασκευής του οδοστρώματος, όπως εκτέθηκε στο υποκεφάλαιο 4.1., το πρόγραμμα ANSYS (2010) διατυπώνει τις εξισώσεις κίνησής του σε μητρωϊκή μορφή ως [M]{ } + [C]{ } + [K]{u} = {F} (4.6) όπου [M], [C] και [Κ] είναι τα μητρώα μάζας, απόσβεσης και δυσκαμψίας, αντίστοιχα, {u} και {F} είναι τα διανύσματα των επικόμβιων μετατοπίσεων και επικόμβιων εξωτερικών δυνάμεων, αντίστοιχα και τελείες πάνω στο {u} σημαίνουν διαφόριση ως προς το χρόνο t. Εξωτερικές δυνάμεις αναφέρονται σε κόμβους που βρίσκονται πάνω στην

49 37 επιφάνεια z=0 της κατασκευής οδοστρώματος που προέρχονται από τα κινούμενα φορτία των τροχών του οχήματος. Το κινούμενο φορτίο αρχίζει την κίνησή του από το σημείο Α υπό μηδενικές αρχικές συνθήκες και τελειώνει στο σημείο Β, όπως φαίνεται στο Σχ.4.1. Η απόσβεση υλικού για την κατασκευή υποτίθεται ότι είναι ιξώδης τύπου Rayleigh που σημαίνει ότι (Bathe 1996) [C] = α d [M] + β d [K] (4.7) όπου οι συντελεστές α d και β d υπολογίζονται συναρτήσει δύο από τις ιδιοσυχνότητες της κατασκευής ω i και ω j και τους αντίστοιχους λόγους ιξώδους απόσβεσης ξ i και ξ j. Υποθέτοντας ότι ξ i =ξ j =ξ, οι συντελεστές α d και β d λαμβάνουν τη μορφή (Bathe 1996) α d = 2 ω i ω j ξ / (ω i + ω j ), β d = 2ξ / (ω i + ω j ) (4.8) Η εξίσωση (4.6) επιλύεται στο πεδίο του χρόνου για τον άμεσο προσδιορισμό της απόκρισης {u} του οδοστρώματος στα κινούμενα φορτία του οχήματος. Στην παρούσα εργασία, χρησιμοποιείται γι αυτό το σκοπό, ο βηματικός στο χρόνο αλγόριθμος του Newmark (Bathe 1996) του τύπου της σταθερής επιτάχυνσης υπό μηδενικές αρχικές συνθήκες. Ο αλγόριθμος αυτός είναι άνευ όρων ευσταθής και παρέχει αποτελέσματα υψηλής ακρίβειας υπό την προϋπόθεση ότι χρησιμοποιείται ένα κατάλληλο χρονικό βήμα Δt, συμβατό με τη διακριτοποίηση του χωρίου και τη δεσπόζουσα συχνότητα των κινούμενων φορτίων, η οποία είναι μία αύξουσα συνάρτηση της ταχύτητας. Η επιλογή του κατάλληλου χρονικού βήματος Δt γίνεται αρχικά με βάση τις οδηγίες στον Bathe (1996) και ANSYS (2010). Έτσι, αν L el είναι η ελάχιστη διάσταση των πεπερασμένων στοιχείων και V p η ταχύτητα διάδοσης των διαμήκων κυμάτων, όπως δίνεται από τη σχέση (4.2), έχει κανείς ότι Δt L el / V p (4.9) Μία εμπειρική σχέση δίνει το Δt άμεσα ως (ANSYS 2010) Δt 1/ 20f (4.10) όπου f είναι η υψηλότερη συχνότητα του φορτίου σε Hz. Παραδείγματος χάριν, για L el =0.15m (στοιχεία κατά τη διεύθυνση του άξονα κίνησης x στο Σχ.4.1) και V p =500 m/s (μία μέση τιμή για οδοστρώματα) έχει κανείς από τη σχέση (4.9) ότι Δt 0.3*

50 sec. Εξ άλλου, υποθέτοντας ότι για ένα φορτίο φορτηγού οχήματος f=20hz, μπορεί κανείς να βρει από τη σχέση (4.10) ότι Δt 2.5*10-3 sec. Έτσι, οι υπολογισμοί μπορούν να αρχίσουν με Δt 0.6*10-3 sec και να συνεχίσουν με μικρότερες και μικρότερες τιμές του Δt μέχρι να επιτευχθεί σύγκλιση των μεγίστων τιμών της απόκρισης ή ένα αποδεκτό λάθος στη σύγκλιση αν η ακριβή λύση της απόκρισης είναι διαθέσιμη ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΕΣ ΜΕΛΕΤΕΣ ΔΥΝΑΜΙΚΗΣ ΑΠΟΚΡΙΣΗΣ Στο παρόν υποκεφάλαιο παρουσιάζονται μελέτες εγκυρότητας της προταθείσας προσομοίωσης του προβλήματος της δυναμικής συμπεριφοράς οδοστρωμάτων συναρτώμενης με τη γεωμετρία, συνοριακές συνθήκες, φόρτιση και αλγόριθμους επίλυσης. Αυτές οι μελέτες έχουν να κάνουν με συγκρίσεις αναφερόμενες στον ομογενή ελαστικό ημίχωρο υπό συγκεντρωμένο ή διανεμημένο κινούμενο ή ακίνητο και σταθερό φορτίο μεταξύ αριθμητικών και αναλυτικών λύσεων. Επίσης έχουν να κάνουν με συγκρίσεις αναφερόμενες στον ελαστικό ημίχωρο με στρώσεις υπό διανεμημένο κινούμενο ή ακίνητο και σταθερό φορτίο μεταξύ αριθμητικών και προσεγγιστικών αναλυτικών λύσεων για την περίπτωση ακίνητου και σταθερού φορτίου. Γίνονται επί πλέον και συγκρίσεις μεταξύ των αριθμητικά υπολογισμένων αποκρίσεων σε ένα μόνο κινούμενο συγκεντρωμένο φορτίο, ένα μόνο κινούμενο διανεμημένο φορτίο και σε μία σειρά από κινούμενα συγκεντρωμένα φορτία. Τέλος, διερευνάται η επίδραση της ιξώδους απόσβεσης επί της δυναμικής απόκρισης ενός ελαστικού ημίχωρου ή ενός ημίχωρου με ελαστικές στρώσεις σε κινούμενα συγκεντρωμένα ή διανεμημένα φορτία Ελαστικός ημίχωρος υπό κινούμενα και ακίνητα φορτία Θεωρείται η κατασκευή οδοστρώματος του Σχ.4.1 με τις ίδιες φυσικές ιδιότητες σε όλες τις τρεις στρώσεις, δηλαδή, με Ε=50*10 6 N/m 2, ν=0.25 και ρ=2000 kg/m 3, τιμές που έχουν ληφθεί από τον Eason (1965). Το προκύπτον χωρίο είναι ένας περιορισμένος ελαστικός ημίχωρος με ταχύτητες ελαστικών κυμάτων V P =173.20m/s και V S =100m/s, όπως προκύπτουν μετά από χρήση των εξισώσεων (4.2). Γι αυτόν τον ελαστικό ημίχωρο, η ταχύτητα διάδοσης ελαστικών κυμάτων Rayleigh V R =92m/s είναι η ταχύτητα συντονισμού για ένα κινούμενο συγκεντρωμένο φορτίο. Σε οδοστρώματα, ρεαλιστικές ταχύτητες των οχημάτων δεν ξεπερνούν την ταχύτητα V=50m/s (180km/h) και επομένως

51 39 έχει κανείς να κάνει με την υποηχητική περίπτωση (V<V R ) και έτσι δεν υπάρχει κανένα πρόβλημα συντονισμού. Στην παρούσα εργασία, θεωρούνται τέσσερεις ταχύτητες οχημάτων στην υποηχητική περιοχή, δηλαδή, V=10m/s (36km/h), V=20m/s (72km/h), V=35m/s (126km/h) και V=50m/s (180km/h). Πίνακας 4.1 Μέγιστη κατακόρυφη μετατόπιση u z συναρτήσει του χρόνου σε βάθος z = m κάτω λόγω ενός συγκεντρωμένου φορτίου P = 80kN κινούμενου με ταχύτητα V = 20, 50m/s στην επιφάνεια του ελαστικού ημίχωρου (προσομοίωμα χωρίου Β) για τρία είδη συνοριακών συνθηκών και τρεις τιμές του Δt Eason V=20m/s u z = m Eason V=50m/s u z = m Δt (sec) Κυλίσεις στον πυθμένα u z = e=4.38% u z = e=7.59% u z = e=7.72% u z = e=4.82% u z = e=8.07% u z = e=8.26% Κυλίσεις παντού u z = e=1.22% u z = e= -1.56% u z = e= -2.29% u z = e=2.13% u z = e= -3.72% u z = e= -3.34% Απορροφητικά σύνορα u z = e=0.08% u z = e= -1.59% u z = e= -2.40% u z = e=1.52% u z = e= -3.67% u z = e= -3.32% Ο Πίνακας 4.1 παρέχει τις μέγιστες τιμές της κατακόρυφης μετατόπισης u z σε βάθος z= -1.00m κάτω από το επιφανειακό σημείο Q(15, 0, 0) του Σχ.4.1 λόγω ενός συγκεντρωμένου φορτίου P=80kN κινούμενου πάνω στον άξονα x με ταχύτητα V=20m/s και V=50m/s. Τα αποτελέσματα αντιστοιχούν σε τρία είδη συνοριακών συνθηκών και τρεις τιμές του Δt για την διακριτοποίηση Β του Σχ.4.2 και έχουν αποκτηθεί αριθμητικά με το πρόγραμμα ANSYS (2010) και αναλυτικά από τον Eason (1965). Η περίπτωση του μοναδικού συγκεντρωμένου φορτίου P πραγματοποιείται δίνοντας τις τιμές P D =P= =80kN και P A =P B =P C =0 στην γενική περίπτωση των τεσσάρων φορτίων του Σχ.4.7. Ο ανωτέρω πίνακας καταγράφει επίσης το σχετικό % λάθος e που ορίζεται ως e = [(u app u ex ) / u ex ] 100 (4.11)

52 40 των προσεγγιστικών αριθμητικών τιμών u app ως προς τις ακριβείς αναλυτικές τιμές u ex του Eason (1965). Από τα αποτελέσματα του Πίνακα 4.1 μπορεί κανείς να παρατηρήσει ότι επιτυγχάνεται σύγκλιση των αριθμητικών αποτελεσμάτων για Δt=0.3*10-3 sec για όλα τα είδη συνοριακών συνθηκών. Τα λάθη για τις περιπτώσεις των συνθηκών παντού κυλίσεις (maximum e=3.72%) και απορροφητικών συνόρων (maximum e=3.67%) θεωρούνται αποδεκτά για τις μετατοπίσεις. Φυσικά, περιμένει κανείς ότι το λάθος θα είναι μεγαλύτερο για τάσεις και παραμορφώσεις. Ο Πίνακας 4.2 παρέχει τις μέγιστες τιμές των τάσεων σ x, σ y, σ z για την περίπτωση των συνοριακών συνθηκών με παντού κυλίσεις και Δt=0.15*10-3 sec και 0.30*10-3 και τις συγκρίνει με τις αναλυτικές τιμές του Eason (1965). Πίνακας 4.2 Μέγιστες τιμές τάσεων σ x, σ y, σ z σε βάθος z = -1.00m λόγω ενός κατακόρυφου συγκεντρωμένου φορτίου P = 80kN κινούμενου με ταχύτητα V= 20, 50m/s στην επιφάνεια του ελαστικού ημίχωρου με κυλίσεις σε όλα τα τεχνητά σύνορα. Τιμές σε παρένθεση αναφέρονται σε % λάθη. Θετικά και αρνητικά πρόσημα αντιστοιχούν σε εφελκυστικές και θλιπτικές τάσεις, αντίστοιχα V=20m/s V=50m/s Τάση (Pa) Αναλυτική: Eason Αριθμητική: ΜΠΣ Δt= sec Αριθμητική: ΜΠΣ Δt= sec σ x (-0.71%) 3778 (7.54%) σ y (14.23%) 3814 (17.50%) σ z (-6.63%) (-7.03%) σ x (4.05%) 6685 (13.25%) σ y (17.14%) 3828 (8.63%) σ z (-4.68%) (-6.30%) Παρατηρείται ότι, αν και το μέγιστο λάθος για τις δύο περιπτώσεις είναι 17.50%, για σχεδόν όλες τις άλλες περιπτώσεις το μέγιστο λάθος είναι 8.63%, το οποίο μπορεί κανείς να το θεωρήσει ως αποδεκτό για σκοπούς σχεδιασμού. Οι ίδιες ανωτέρω παρατηρήσεις που αφορούν τις ταχύτητες V=20 και 50m/s ισχύουν και για τις άλλες δύο ταχύτητες V=10 και 35m/s που θεωρούνται στην παρούσα εργασία. Το Σχ.4.7 απεικονίζει τη χρονική μεταβολή της μετατόπισης σε βάθος z= -1.00m κάτω από το επιφανειακό σημείο Q(Σχ.4.1) για την περίπτωση συνόρων με παντού

53 41 κυλίσεις, Δt=0.3*10-3 sec και V=10,20, 35 και 50m/s, όπως αυτή υπολογίστηκε από το πρόγραμμα ANSYS (2010). Παρατηρείται ότι η μέγιστη μετατόπιση αυξάνεται για αυξανόμενη ταχύτητα και συμβαίνει κάτω από το κινούμενο φορτίο και σε χρόνο, ο οποίος ελαττώνεται με αυξανόμενη ταχύτητα. Θεωρείται τώρα η περίπτωση ενός διανεμημένου κινούμενου φορτίου πάνω στην επιφάνεια του ελαστικού ημίχωρου. Η επιφάνεια επί της οποίας δρα το φορτίο P=80kN έχει διαστάσεις l και b κατά τις διευθύνσεις x και y, αντίστοιχα. Επειδή οι διαστάσεις των άνω επιφανειών των τρισδιάστατων στοιχείων της διακριτοποίησης, οι οποίες αποτελούν την επιφάνεια του οδοστρώματος, είναι τετράγωνα 0.15m*0.15m, μπορεί κανείς να υποθέσει l=3*0.15=0.45m και b=2*0.15=0.30m με αποτέλεσμα μία επιφάνεια δράσης φορτίου Α=l*b=0.45*0.30=0.135m 2. Έτσι η κινούμενη πίεση p=p/α=0.5926μpa, η οποία και αποτελεί μία τυπική τιμή (Huang 2004).

54 u z (x 10-4 ) [m] V = 10 m/s V = 20 m/s -9.0 V = 35 m/s V = 50 m/s Time [sec] Σχήμα 4.7 Κατακόρυφη μετατόπιση u z συναρτήσει του χρόνου σε βάθος z = -1.00m κάτω από το σημείο Q του ελαστικού ημιχώρου λόγω συγκεντρωμένου φορτίου P = 80kN κινούμενου με ταχύτητα V = 10, 20, 35, 50m/s (προσομοίωμα χωρίου Β με κυλίσεις παντού και Δt = 0.3*10-3 sec)

55 43 Ο Πίνακας 4.3 παρέχει τις μέγιστες τιμές της κατακόρυφης μετατόπισης u z σε ένα βάθος z= -1.00m κάτω από το επιφανειακό σημείο Q(Σχ.4.1) για δύο τιμές της ταχύτητας V(20 και 50m/s) του ανωτέρω διανεμημένου φορτίου p κινούμενου κατά μήκος του άξονα x, τρία είδη συνοριακών συνθηκών στα τεχνητά σύνορα και τρεις τιμές του Δt για το χωρίο του Σχ.4.2, όπως αυτές υπολογίστηκαν αριθμητικά με το πρόγραμμα ANSYS (2010) και αναλυτικά με μία προσεγγιστική τροποποίηση των αποτελεσμάτων του Eason (1965), όπως επεξηγείται αμέσως παρακάτω. Από τα αποτελέσματα του Πίνακα 4.3 μπορεί κανείς να παρατηρήσει ότι επέρχεται σύγκλιση των αριθμητικών αποτελεσμάτων για Δt=0.3*10-3 sec για όλα τα είδη συνοριακών συνθηκών, όπως και στην περίπτωση του συγκεντρωμένου φορτίου (Πίνακας 4.1). Εδώ όμως, το λάθος για σύνορα με παντού κυλίσεις είναι μικρότερο και σχεδόν το ίδιο (μέγιστο e=2.65%) με αυτό για απορροφητικά σύνορα, το οποίο δείχνει ότι για διανεμημένο φορτίο μπορεί άνετα κανείς να χρησιμοποιεί σύνορα με παντού κυλίσεις τα οποία μειώνουν το υπολογιστικό κόστος χωρίς να επιτυγχάνεται αυτό εις βάρος της ακρίβειας. Για τον προσδιορισμό των προσεγγιστικών τροποποιημένων αποτελεσμάτων μετατοπίσεων u z του Eason (1965) που εμφανίζονται στον Πίνακα 4.3, θεωρεί κανείς τις στατικές περιπτώσεις ενός συγκεντρωμένου φορτίου P και ενός διανεμημένου φορτίου p=p/πα 2 επί κυκλικής επιφάνειας ακτίνας α, που δρουν και τα δύο κατακόρυφα επί της επιφάνειας ενός ελαστικού ημίχωρου.

56 44 Πίνακας 4.3 Μέγιστη κατακόρυφη μετατόπιση u z σε m και βάθος z = -1.00m, κάτω από το επιφανειακό σημείο Q λόγω διανεμημένου φορτίου p = MPa κινούμενου με ταχύτητα V= 20, 50m/s στην επιφάνεια του ελαστικού ημίχωρου για τρία είδη συνοριακών συνθηκών και τρεις τιμές του Δt Τροποποιημένος Eason V=20m/s u z = m Κυλίσεις στον πυθμένα u z = e= -1.86% u z = e=1.90% u z = e=2.48% Κυλίσεις παντού u z = e= -6.05% u z = e= -1.96% u z = e= -1.84% Απορροφητικά σύνορα u z = e= -6.49% u z = e= -2.49% u z = e= -2.25% Δt (sec) Τροποποιημένος Eason V=50m/s u z = e= -2.50% u z = e=2.15% u z = e= -5.96% u z = e= -2.15% u z = e= -6.71% u z = e= -2.52% u z = m u z = e=2.84% u z = e= -2.20% u z = e= -2.65% Η κατακόρυφη μετατόπιση u z κάτω από το φορτίο σε βάθος z δίνεται ως (Boussinesq 1885, Huang 2004) = (4.12) = [(1+(z/α) 2 ) (1-2ν)((1+(z/α) 2 ) -0.5 (z/α))] (4.13) για τις περιπτώσεις του συγκεντρωμένου φορτίου P και διανεμημένου φορτίου p, αντίστοιχα. Για την ιδιαίτερη περίπτωση της παρούσας εργασίας, ν=0.25, z= -1.00m και α=(0.45*0.30/π) 0.5 = m, μπορεί κανείς να λάβει από τις ανωτέρω σχέσεις / = (4.14) Έτσι υποθέτοντας ότι η σχέση (4.14) ισχύει επίσης για τη δυναμική περίπτωση, το οποίο είναι αληθές για V<50m/s και z/α >1 (Eason, 1965), μπορεί κανείς να αποκτήσει τις μέγιστες δυναμικές μετατοπίσεις για διανεμημένο φορτίο πολλαπλασιάζοντας απλά αυτές

57 45 του Eason (1965) για το συγκεντρωμένο φορτίο με τον συντελεστή Με τον τρόπο αυτό υπολογίστηκαν οι αναλυτικές τιμές του u z του Πίνακα 4.3 που χαρακτηρίζονται ως προσεγγιστικές τροποποιημένες τιμές του Eason (1965). Από τον Πίνακα 4.3, σε συμφωνία με τα παραπάνω, μπορεί κανείς να παρατηρήσει ότι οι μετατοπίσεις λόγω του διανεμημένου φορτίου που υπολογίστηκαν αριθμητικά είναι ελαφρά μικρότερες αυτών του Πίνακα 4.1 λόγω του συγκεντρωμένου φορτίου. Αυτό άλλωστε αναμενόταν, καθώς το διανεμημένο φορτίο δρα σε μία πεπερασμένη επιφάνεια και όχι σε ένα σημείο, όπως στην περίπτωση του συγκεντρωμένου φορτίου. Κάτι παρόμοιο συμβαίνει μεταξύ ενός μοναδικού συγκεντρωμένου φορτίου και μίας σειράς (συρμού) συγκεντρωμένων φορτίων με συνιστώσα ίση προς το μοναδικό συγκεντρωμένο φορτίο. Πράγματι, θεωρείται η μετατόπιση u z σε βάθος 1.00m κάτω από το επιφανειακό σημείο Q(Σχ.4.1) όπως υπολογίζεται αριθμητικά για τις περιπτώσεις ενός μοναδικού φορτίου P=80kN και μίας σειράς τεσσάρων συγκεντρωμένων φορτίων P A =P B =P C =16kN και P D =32kN, όπως φαίνεται στο Σχ.3.4. Βρέθηκε ότι για τις ταχύτητες V=20m/s και V=50m/s και χρήση απορροφητικών συνόρων και Δt=0.3*10-3 sec, οι τιμές των μέγιστων μετατοπίσεων u z λόγω της κινούμενης σειράς φορτίων του Σχ. 3.4 είναι *10-3 m και *10-3 m, αντίστοιχα, δηλαδή, μικρότερες από τις αντίστοιχες τιμές μετατόπισης του μοναδικού συγκεντρωμένου φορτίου. Όπως αναφέρθηκε στο κεφάλαιο 2 της παρούσας διατριβής, ο σχεδιασμός εύκαμπτων οδοστρωμάτων χρησιμοποιεί στατικές αναλυτικές λύσεις για τον ομογενή ελαστικό ημίχωρο και τον ελαστικό ημίχωρο με στρώσεις υπό την επίδραση διανεμημένου φορτίου (Huang 2004). Γι αυτό μερικές συγκρίσεις αριθμητικών στατικών λύσεων με ακριβείς ή προσεγγιστικές αναλυτικές στατικές λύσεις κρίνονται επιβεβλημένες. Το πρόγραμμα ANSYS (2010) μπορεί εύκολα να εκτελέσει στατικές ελαστικές αναλύσεις, δηλαδή, να επιλύσει την εξίσωση (4.6) με { }={ }={0}. Χρήση του προσομοιώματος του Σχ.4.1 με ομογενές ελαστικό υλικό αυτό του Eason (1965) και παντού κυλίσεις συνοριακές συνθήκες υπό ένα στατικό κατακόρυφο διανεμημένο φορτίο p=0.5926mpa που δρα στην επιφάνειά του, οδηγεί σε αριθμητικά αποτελέσματα για την κατακόρυφη μετατόπιση u z και τις τάσεις σ z, σ x και σ y κάτω από το φορτίο σε βάθος z= -1.00m, τα οποία καταχωρούνται στον Πίνακα 4.4. Στον πίνακα αυτό, αναλυτικά αποτελέσματα από τη θεωρία Boussinesq (1885) για u z (εξίσωση (4.13)) και σ z = p [1- (1+(α/z) 2 ) -1.5 ] (4.15)

58 46 σ x = σ y = p [ - (1+v)(1+(α/z) 2 ) (1+(α/z) 2 ) -1.5 ] (4.16) δίνονται επίσης για λόγους σύγκρισης. Παρατηρείται ότι το λάθος για την μετατόπιση είναι σχεδόν το ίδιο με αυτό της δυναμικής περίπτωσης (Πίνακας 4.1), ενώ το λάθος για τις τάσεις είναι μεγαλύτερο από αυτό των μετατοπίσεων, όπως αναμενόταν. Επί πλέον, κάποιος μπορεί να παρατηρήσει ότι στα αριθμητικά αποτελέσματα σ x σ y, όπως αναμενόταν, αφού δεν υπάρχει αξονοσυμμετρία στο αριθμητικό προσομοίωμα. Πίνακας 4.4 Κατακόρυφη μετατόπιση και τάσεις σε βάθος z = -1.00m λόγω διανεμημένου φορτίου p=0.5926mpa που δρα σε κυκλική επιφάνεια ακτίνας α= m στην επιφάνεια του ελαστικού ημίχωρου. Θετικά και αρνητικά πρόσημα αντιστοιχούν σε εφελκυστικές και θλιπτικές τάσεις, αντίστοιχα Αναλυτικές Αριθμητικές λάθος % u z m m σ z MPa MPa σ x MPa MPa σ y MPa MPa Ελαστικός ημίχωρος με στρώσεις υπό κινούμενα και ακίνητα φορτία Θεωρείται το προσομοίωμα της κατασκευής οδοστρώματος του Σχ.4.1 με τρεις ελαστικές στρώσεις και τιμές των σταθερών Ε, ν και ρ όπως στον Πίνακα 4.5, υπό ένα διανεμημένο κινούμενο φορτίο p=0.5926mpa, όπως καθορίστηκε στο προηγούμενο υποκεφάλαιο Χρησιμοποιώντας το προσομοίωμα του Σχ.4.2 με παντού κυλίσεις συνοριακές συνθήκες και Δt=0.3*10-3 sec, μπορεί κανείς να υπολογίσει σε z=0.00m, m και -0.45m κάτω από το επιφανειακό σημείο Q (Σχ.4.1) τις μέγιστες δυναμικές τιμές της κατακόρυφης μετατόπισης u z, των τάσεων σ z, σ x, σ y και των παραμορφώσεων ε z, ε x. ε y για δύο τιμές της ταχύτητας V(20 και 50m/s), όπως φαίνεται στον Πίνακα 4.6. Παρατηρείται ότι, όπως και στην περίπτωση του ελαστικού ημίχωρου (Πίνακας 4.3), η απόκριση αυξάνει με την ταχύτητα, αλλά όχι τόσο πολύ.

59 47 Πίνακας 4.5 Ελαστικές ιδιότητες χωρίου με στρώσεις (d 1, d 2, d 3 είναι πάχη στρώσεων) Στρώσεις E (Pa) v ρ (kg/m 3 ) Άσφαλτος d 1 =0.15m Βάση d 2 =0.30m Υπόβαση d 3 =29.00m Πίνακας 4.6 Μέγιστες κατακόρυφες μετατοπίσεις, τάσεις και παραμορφώσεις σε ελαστική στρωσιγενή κατασκευή λόγω διανεμημένου κινούμενου φορτίου p=0.5926mpa για V=20, 50m/s. Τάσεις και παραμορφώσεις με θετικά πρόσημα είναι εφελκυστικές και αυτές με αρνητικά είναι θλιπτικές V z (m) u z σ z σ x σ y ε z ε x ε y (m/s) ( 10-3 m) (MPa) (MPa) (MPa) ( 10-3 ) ( 10-3 ) ( 10-3 )

60 48 Θεωρείται τώρα η κατασκευή οδοστρώματος της προηγούμενης περίπτωσης υπό το ίδιο διανεμημένο φορτίο αλλά εφαρμοζόμενο στατικά. Οι υπολογισθείσες αριθμητικά στατικές τιμές για τα u z, σ z, σ x, σ y, ε z, ε x, ε y στα z=0.00m, και -0.45m έχουν καταχωρηθεί στον Πίνακα 4.7 μαζί με τις αναλυτικές τιμές της μεθόδου Odemark (1949), η οποία χρησιμοποιείται για σχεδιαστικούς σκοπούς. Πίνακας 4.7 Μετατοπίσεις, τάσεις και παραμορφώσεις σε ελαστική στρωσιγενή κατασκευή οδοστρώματος λόγω στατικού διανεμημένου φορτίου p=0.5926mpa (προσεγγιστικές αναλυτικές τιμές είναι σε παρένθεση). Θετικά και αρνητικά πρόσημα αντιστοιχούν σε εφελκυσμό και θλίψη, αντίστοιχα z u z ( 10-3 m) ( ) ( ) ( ) σ z σ x σ y (MPa) (MPa) (MPa) ( 10-3 ) ( 10-3 ) ( 10-3 ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ε z ( ) ( ) ε x ( ) ( ) ε y ( ) ( ) Από τον Πίνακα 4.7 μπορεί κανείς να παρατηρήσει ότι, ενώ οι τιμές του Odemark (1949) για μετατοπίσεις και παραμορφώσεις είναι μεγαλύτερες από τις αντίστοιχες αριθμητικές (οι μετατοπίσεις είναι μάλιστα μεγαλύτερες και από τις δυναμικές του Πίνακα 4.6), οι τιμές του Odemark (1949) για τάσεις είναι μικρότερες από τις αριθμητικές. Από τις μετατοπίσεις, παραμορφώσεις και τάσεις των Πινάκων 4.6 και 4.7 στις δυναμικές και στατικές τους εκδοχές, αντίστοιχα, u z στο z=0.00m, ε x και ε y στο z= -0.15m και σ z στο z= m είναι οι πλέον σημαντικές από άποψη σχεδιασμού (Huang 2004). Για αυτές τις μετατοπίσεις, παραμορφώσεις και τάσεις οι χρονοϊστορίες τους για V=20m/s και 50m/s απεικονίζονται στα Σχ

61 u z (x 10-4 ) [m] V = 20 m/s V = 50 m/s Time [sec] Σχήμα 4.8 Κατακόρυφη μετατόπιση u z συναρτήσει του χρόνου σε βάθος z = 0.00m λόγω διανεμημένου φορτίου p = MPa κινούμενου με ταχύτητα V = 20, 50m/s στον ελαστικό ημίχωρο με στρώσεις (προσομοίωμα χωρίου Β με κυλίσεις παντού και Δt = 0.3*10-3 sec) v = 20 m/s v = 50 m/s x (x 10-3 ) Time [sec] Σχήμα 4.9 Παραμόρφωση ε x συναρτήσει του χρόνου σε βάθος z = -0.15m λόγω διανεμημένου φορτίου p = MPa κινούμενου με ταχύτητα V = 20, 50m/s στον ελαστικό ημίχωρο με στρώσεις (προσομοίωμα χωρίου Β με κυλίσεις παντού και Δt = 0.3*10-3 sec)

62 50 z [MPa] V = 20 m/s V = 50 m/s Time [sec] Σχήμα 4.10 Τάση σ z συναρτήσει του χρόνου σε βάθος z = -0.45m λόγω διανεμημένου φορτίου p = MPa κινούμενου με ταχύτητα V = 20, 50m/s στον ελαστικό ημίχωρο με στρώσεις (προσομοίωμα χωρίου Β με κυλίσεις παντού και Δt = 0.3*10-3 sec) 4.4. ΕΠΙΔΡΑΣΗ ΙΞΩΔΟΥΣ ΑΠΟΣΒΕΣΗΣ Στον ελαστικό ημίχωρο (ομογενή ή με στρώσεις) υπό δυναμική φόρτιση υπάρχουν δύο είδη απόσβεσης: η γεωμετρική απόσβεση και η απόσβεση υλικού. Η γεωμετρική απόσβεση προέρχεται από τα κύματα που δημιουργούνται στην πηγή (κινούμενο φορτίο) και διαδίδονται από εκεί προς όλες τις κατευθύνσεις οδεύοντα προς το άπειρο μετά από ανακλάσεις και διαθλάσεις στις διεπιφάνειες των διαφόρων στρωμάτων. Αυτή η φυγή των κυμάτων προς το άπειρο ισοδυναμεί με απώλεια ενέργειας και επομένως με απόσβεση. Όταν υπάρχουν τεχνητά σύνορα, τα κύματα αυτά ανακλώνται εκεί και εμποδίζονται να φύγουν προς το άπειρο και γι αυτό τοποθετούνται απορροφητικά σύνορα. Η απόσβεση υλικού προέρχεται από την τριβή των μορίων του υλικού και συνήθως υποτίθεται ότι είναι ιξώδους μορφής γιατί αυτή η προσομοίωση είναι μαθηματικά η απλούστερη. Στο παρόν υποκεφάλαιο μελετάται η επίδραση της ιξώδους απόσβεσης στην απόκριση οδοστρωμάτων σε κινούμενα φορτία, συγκεντρωμένα και διανεμημένα. Πιο συγκεκριμένα, εξετάζεται η επίδραση της ιξώδους απόσβεσης για τις περιπτώσεις του ομογενούς ελαστικού ημίχωρου υπό κινούμενο συγκεντρωμένο φορτίο και του ελαστικού

63 51 ημίχωρου με στρώσεις υπό κινούμενο διανεμημένο φορτίο. Και στις δύο περιπτώσεις το προσομοίωμα είναι αυτό του Σχ.4.2 με συνοριακές συνθήκες παντού κυλίσεις. Θεωρείται πρώτα η περίπτωση του ομογενούς ελαστικού ημιχώρου με ξ=2% υπό κινούμενο συγκεντρωμένο φορτίο P με V=20m/s και 50m/s. Οι πέντε πρώτες ιδιοσυχνότητες του προσομοιώματος του Σχ.4.2.b με ελαστικές ιδιότητες κατά Eason (1965), προσδιορίζονται με το πρόγραμμα ANSYS (2010) και βρίσκονται να έχουν τις τιμές ω 1 = , ω 2 = , ω 3 = , ω 4 = , ω 5 = rad/sec (4.17) Με ξ=0.02 για όλες τις ιδιομορφές και ακολουθώντας τον Bathe (1996), μπορεί κανείς να υπολογίσει τις 1 = και 2 = rad/sec ως τους μέσους όρους των τριών πρώτων και των δύο τελευταίων ιδιοσυχνοτήτων της σχέσης (4.17), αντίστοιχα και μετά τους συντελεστές α d και β d από τη σχέση (4.8) υποθέτοντας i=1, j=2. Το αποτέλεσμα είναι α d = , β d = (4.18) και επομένως το μητρώο απόσβεσης [C] μπορεί να υπολογιστεί στο πρόγραμμα ANSYS (2010) με τη βοήθεια της εξίσωσης (4.7). Χρησιμοποιώντας αυτό το μητρώο απόσβεσης μπορεί κανείς τελικά να υπολογίσει με Δt=0.3*10-3 sec τις μέγιστες κατακόρυφες μετατοπίσεις για V=20m/s και 50m/s σε βάθος z= -1.00m κάτω από το επιφανειακό σημείο Q ως u z = *10-3 m, u z = *10-3 m (4.19) αντίστοιχα. Οι ανωτέρω τιμές είναι μικρότερες από τις αντίστοιχες τιμές χωρίς απόσβεση u z = *10-3 m και *10-3 m του Πίνακα 4.1. Τα αποτελέσματα της σχέσης (4.19) μπορούν να συγκριθούν με τα αριθμητικά αποτελέσματα των Hung and Yang (2001), τα οποία για τα παρόντα δεδομένα είναι u z = * 10-3 m και u z = *10-3 m για V=20m/s και 50m/s, αντίστοιχα. Η συμφωνία των αποτελεσμάτων είναι ικανοποιητική. Θεωρείται τώρα η περίπτωση ενός ελαστικού ημίχωρου με στρώσεις και ξ=2% υπό ένα διανεμημένο φορτίο p=0.5926mpa κινούμενο με ταχύτητα V=20m/s και 50m/s.

64 52 Ακολουθώντας την ίδια διαδικασία όπως στην προηγούμενη περίπτωση, μπορεί κανείς να υπολογίσει τις ιδιοσυχνότητες ω 1 = , ω 2 = , ω 3 = , ω 4 = , ω 5 = rad/sec (4.20) τους συντελεστές απόσβεσης α d = , β d = (4.21) και τις μέγιστες κατακόρυφες μετατοπίσεις στο z=0.00m u z = *10-3 m, u z = *10-3 m (4.22) για V=20m/s και 50m/s, αντίστοιχα. Οι ανωτέρω τιμές των μετοπίσεων είναι μικρότερες από τις αντίστοιχες τιμές χωρίς απόσβεση u z = *10-3 m και u z = *10-3 m του Πίνακα ΣΥΜΠΕΡΑΣΜΑΤΑ Με βάση τα αποτελέσματα όλων των προηγούμενων δυναμικών ελαστικών αναλύσεων εύκαμπτων οδοστρωμάτων υπο κινούμενα φορτία, μπορεί κανείς να καταλήξει στα ακόλουθα συμπεράσματα: 1) Μελέτες συγκρίσεων αποτελεσμάτων απόκρισης του ελαστικού ομογενούς ή στρωσιγενούς ημίχωρου σε κινούμενα φορτία μεταξύ αυτών απο χρήση της ΜΠΣ και απο αναλυτικές λύσεις σε συνδυασμό με μελέτες σύγκλισης, οδήγησαν στον προσδιορισμό της γεωμετρίας του χωρίου ανάλυσης, του βαθμού διακριτοποίησής του, των συνοριακών συνθηκών του (στηρίξεις σε κυλίσεις) και της τιμής του χρονικού βήματος της ανάλυσης, ώστε να έχει κανείς αποδεκτή ακρίβεια με λογικό υπολογιστικό κόστος. 2) Η δυναμική απόκριση βρέθηκε οτι ειναι πάντα υψηλότερη της αντίστοιχης στατικής και οτι αυξάνει για αυξανόμενη ταχύτητα (περισσότερο στην περίπτωση του ομογενούς και λιγότερο σε αυτή του στρωσιγενούς ημίχωρου). Επι πλέον, βρέθηκε οτι η απόκριση σε ενα συγκεντρωμένο κινούμενο φορτίο είναι μεγαλύτερη απο αυτή σε μια ισοδύναμη ομαδα φορτίων ή σε ενα ισοδύναμο διανεμημένο φορτίο. Τέλος βρέθηκε οτι η επίδραση της ιξώδους απόσβεσης συνίσταται σε μείωση της απόκρισης.

65 53 5. ΔΥΝΑΜΙΚΗ ΑΝΕΛΑΣΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ Το παρόν κεφάλαιο αποτελεί πρωτότυπο τμήμα της παρούσας διατριβής. Περιγράφει τη χρήση της ΜΠΣ για τον αριθμητικό προσδιορισμό της απόκρισης εύκαμπτων οδοστρωμάτων αποτελούμενων από τρεις στρώσεις σε κινούμενα με σταθερή ταχύτητα φορτία υπό συνθήκες τριών διαστάσεων. Η συμπεριφορά των στρώσεων του οδοστρώματος και του υποκείμενου εδάφους υποτίθεται ανελαστική με την γενική έννοια του όρου ώστε να περιλαμβάνει και συμπεριφορά γραμμικής ιξωδοελαστικότητας. Επιπλέον αυτής, η συμπεριφορά μπορεί να είναι ιξωδοπλαστική ή και ελαστοπλαστική. Η ΜΠΣ εφαρμόζεται στο πεδίο του χρόνου με τη βοήθεια του εμπορικού προγράμματος γενικού σκοπού ANSYS (2010). Η διάρθρωση του παρόντος κεφαλαίου περιλαμβάνει τα κάτωθι υποκεφάλαια: i) Προσομοίωση ΜΠΣ στα πεδία χώρου και χρόνου, ii) Προσομοίωση της συμπεριφοράς υλικών των στρώσεων, ii) Συγκρίσεις με υπάρχουσες λύσεις και πειράματα πεδίου και iii) Συγκρίσεις μεταξύ ανελαστικών και ελαστικών προσομοιωμάτων ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΜΠΣ ΣΤΑ ΠΕΔΙΑ ΧΩΡΟΥ ΚΑΙ ΧΡΟΝΟΥ Αυτό το υποκεφάλαιο ασχολείται με την προσομοίωση της κατασκευής του οδοστρώματος κατά την ΜΠΣ, την προσομοίωση των κινούμενων φορτίων και την επίλυση των εξισώσεων κίνησης του οδοστρώματος στο πεδίο του χρόνου. Τα δύο πρώτα θέματα του παρόντος υποκεφαλαίου αποτελούν ουσιαστικά σύντομη περίληψη των αντίστοιχων υποκεφαλαίων 4.1 και 3.2, αντίστοιχα, ενώ το τρίτο θέμα αποτελεί επέκταση του υποκεφαλαίου 4.2 της επίλυσης των εξισώσεων κίνησης από την ελαστική στην ανελαστική περίπτωση. Όλα τα ανωτέρω αναφέρονται σε σύντομη περίληψη για λόγους πληρότητας και ομαλής ροής της ύλης του παρόντος κεφαλαίου. Η τυπική τρισδιάστατη κατασκευή εύκαμπτου οδοστρώματος τριών στρώσεων, που χρησιμοποιήθηκε στο κεφάλαιο 4 για δυναμικές γραμμικά ελαστικές αναλύσεις, υιοθετείται και εδώ για τις παρούσες δυναμικές ανελαστικές αναλύσεις. Η γεωμετρία του προσομοιώματος του οδοστρώματος και η διακριτοποίησή του παρέχονται στα Σχ.4.1 και 4.2. Το προσομοίωμα αυτό στηρίζεται στον πυθμένα και στις τρεις πλευρικές επιφάνειές του (η τέταρτη είναι το επίπεδο συμμετρίας zx) σε κυλίσεις όπως περιγράφεται λεπτομερώς στο κεφάλαιο 4. Η διακριτοποίηση του προσομοιώματος αυτού γίνεται με

66 54 χρήση τρισδιάστατων πεπερασμένων στοιχείων 8 κόμβων με 3 βαθμούς ελευθερίας σε κάθε κόμβο [SOLID 185 in ANSYS (2010)]. Έτσι το διακρτιτοποιημένο προσομοίωμα έχει πεπερασμένα στοιχεία και κόμβους (3*88257= βαθμούς ελευθερίας). Το τυπικό βαρύ φορτηγό των 80kN που χρησιμοποιήθηκε στις δυναμικές γραμμικές ελαστικές αναλύσεις του κεφαλαίου 4, χρησιμοποιείται και εδώ υπό την διανεμημένη του μορφή, η οποία είναι ουσιαστικά μία επαλληλία πολλών συγκεντρωμένων φορτίων που βρίσκονται πολύ κοντά μεταξύ τους. Η κίνηση ενός συγκεντρωμένου φορτίου με σταθερή ταχύτητα γίνεται κατά μήκος του διαστήματος ΑΒ του Σχ.4.1 και προσομοιώνεται με τον καθορισμό τιμών φορτίου που είναι συναρτήσεις του χρόνου και ενεργοποιούνται τη χρονική στιγμή που χρειάζεται το φορτίο να διανύσει την απόσταση από το Α σε κάποιον άλλο κόμβο του ΑΒ. Όπως έχει επεξηγηθεί στο κεφάλαιο 4, το φορτίο των 80kN δρα σε μια επιφάνεια 0.45m μήκους και 0.30m πλάτους έτσι ώστε να δημιουργεί πίεση p= MPa. Για λόγους συμμετρίας, μόνο η μισή ανωτέρω πίεση ενεργεί στο προσομοίωμα του οδοστρώματος. Χρησιμοποιώντας γνωστές διαδικασίες της ΜΠΣ (Bathe, 1996), μπορεί κανείς να διατυπώσει την εξίσωση κίνησης του οδοστρώματος των Σχ.4.1 και 4.2 σε μητρωϊκή μορφή ως [M]{ } + [C]{ } + {R (u,, )} = {F} (5.1) όπου [Μ] και [C] είναι τα μητρώα μάζας και απόσβεσης, αντίστοιχα, {u} και {F} είναι τα διανύσματα των επικόμβιων μετατοπίσεων και εξωτερικών δυνάμεων, αντίστοιχα, {R} είναι το διάνυσμα των επικόμβιων εσωτερικών δυνάμεων αντίστασης, οι οποίες είναι μηγραμμικές συναρτήσεις των {u}, { } και { } και οι τελείες πάνω στο {u} δηλώνουν διαφόριση ως προς τον χρόνο t. Οι εσωτερικές δυνάμεις αντίστασης {R} για γραμμικά ελαστική ή ιξωδοελαστική συμπεριφορά του υλικού, λαμβάνουν τη μορφή [Κ]{u}, όπου [Κ] είναι το μητρώο δυσκαμψίας της κατασκευής. Οι εξωτερικές δυνάμεις {F} αναφέρονται σε επιφανειακούς κόμβους (z=0) της κατασκευής του οδοστρώματος και προέρχονται από τα κινούμενα με σταθερή ταχύτητα φορτία. Η ιξώδης απόσβεση στην Εξ.(5.1) είναι τύπου Rayleigh και επομένως [C] = α d [M] + β d [K] (5.2)

67 55 όπου οι συντελεστές α d και β d προσδιορίζονται συναρτήσει δύο από τις ιδιοσυχνότητες της κατασκευής και την γνωστή τιμή του λόγου απόσβεσης, όπως επεξηγείται στο κεφάλαιο 4. Ας σημειωθεί ότι στις εφαρμογές του κεφαλαίου αυτού δεν λαμβάνεται υπόψη ιξώδης απόσβεση θεωρώντας την επίδρασή της στην απόκριση αμελητέα έναντι των απωλειών ενέργειας που προέρχονται από την ανελαστική παραμόρφωση των υλικών. Η βηματική στο χρόνο αριθμητική ολοκλήρωση της Εξ.(5.1) γίνεται με τον αλγόριθμο του Newmark (Bathe, 1996) της σταθερής επιτάχυνσης υποθέτοντας μηδενικές αρχικές συνθήκες, όπως στην περίπτωση γραμμικά ελαστικής συμπεριφοράς των υλικών του κεφαλαίου 4. Εδώ όμως, λόγω της μη-γραμμικότητας της Εξ.(5.1) που προέρχεται από την παρουσία του {R}, χρειάζονται διαδοχικές προσεγγίσεις σε κάθε χρονικό βήμα, οι οποίες εκτελούνται με τη βοήθεια του τροποποιημένου αλγόριθμου των Newton-Raphson (Bathe, 1996). Η ανωτέρω πορεία επίλυσης γίνεται στα πλαίσια του προγράμματος ANSYS (2010). Η επιλογή μιας κατάλληλης τιμής του χρονικού βήματος Δt, για να χρησιμοποιηθεί για την ανωτέρω διαδικασία επίλυσης της (5.1) στο πεδίο του χρόνου, αποσκοπεί στην εξασφάλιση ευστάθειας και αποδεκτής ακρίβειας και βασίζεται στους κανόνες που περιγράφονται για την περίπτωση της γραμμικά ελαστικής περίπτωσης στο κεφάλαιο 4. Έτσι, στο παρόν κεφάλαιο, η τιμή Δt=0.3*10-3 sec του κεφαλαίου 4 υιοθετείται και εδώ και βρίσκεται να δίνει ευσταθή και συγκλίνοντα αποτελέσματα αποδεκτής ακρίβειας ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ ΣΥΜΠΕΡΙΦΟΡΑΣ ΥΛΙΚΩΝ ΤΩΝ ΣΤΡΩΣΕΩΝ Αυτό το υποκεφάλαιο περιγράφει περιληπτικά τους τρεις τύπους ανελαστικής συμπεριφοράς υλικών, οι οποίοι χρησιμοποιούνται για τις τρεις στρώσεις της κατασκευής οδοστρώματος του Σχ.4.1. Αυτοί είναι η γραμμική ιξωδοελαστική, η ελαστοπλαστική και η ιξωδοπλαστική συμπεριφορά. Σημειώνεται ότι η γραμμική ιξωδοελαστική συμπεριφορά υλικού εντάσσεται στην κατηγορία των ανελαστικών συμπεριφορών υλικών υπό την ευρεία έννοια του όρου ανελαστικός που σημαίνει μη-ελαστικός, αν και η ιξωδοελαστικότητα διέπεται από γραμμικές εξισώσεις και όχι μη-γραμμικές, όπως στις περιπτώσεις της ελαστοπλαστικότητας και ιξωδοπλαστικότητας. Οι παρακάτω σύντομες περιγραφές ανελαστικής συμπεριφοράς υλικού προέρχονται από το εγχειρίδιο του ANSYS (2010) και το βιβλίο του Bathe (1996).

68 Γραμμική ιξωδοελαστικότητα Γραμμική ιξωδοελαστική συμπεριφορά υλικού συνήθως υποτίθεται για την ασφαλτική στρώση του οδοστρώματος. Αυτή η συμπεριφορά προσομοιώνεται από ένα σύστημα ελατηρίων και αποσβεστήρων που αντιστοιχούν στον ελαστικό και ιξώδη χαρακτήρα του συστήματος, αντίστοιχα. Στο πρόγραμμα ANSYS (2010), η γραμμική ιξωδοελαστικότητα στο πεδίο του χρόνου περιγράφεται από την καταστατική εξίσωση σ(t) = dτ + I dτ (5.3) όπου σ είναι ο τανυστής τάσεων, e είναι το αποκλίνον μέρος του τανυστή παραμόρφωσης ε, Δ είναι η διόγκωση, t και τ δηλώνουν παρόντα και παρελθόντα χρόνο, αντίστοιχα, I είναι ο μοναδιαίος τανυστής, G(t) είναι η διατμητική συνάρτηση χαλάρωσης και Κ(t) είναι η διογκωτική συνάρτηση χαλάρωσης. Αυτές οι συναρτήσεις μπορούν να εκφραστούν με βάση το γενικευμένο προσομοίωμα Maxwell σε μορφή σειρών Prony ως G(t) = G + K(t) = K + (5.4) όπου G, K, G i, και K i είναι σταθερές του υλικού σε Pa και και είναι σταθερές του υλικού σε sec. Σε ασφαλτικά υλικά, οι ιξωδοελαστικές επιρροές είναι αμελητέες σε κατάσταση διόγκωσης και επομένως όλη η ιξωδοελαστική παραμόρφωση είναι διατμητικού τύπου (Khavassefat et al, 2012). Έτσι η συνάρτηση Κ υποτίθεται ότι είναι μια σταθερά. Η θερμοκρασία παίζει έναν πολύ σημαντικό ρόλο στην ιξωδοελαστικότητα. Στην παρούσα εργασία όμως, οι ανωτέρω σταθερές του υλικού υποτίθενται ανεξάρτητες της θερμοκρασίας ως αντιστοιχούσες σε καθορισμένη θερμοκρασία (συνήθως 20 C). Στο πρόγραμμα ANSYS (2010), η G(t) της Εξ.(5.4) εκφράζεται ως όπου g(t) = G(t) / G(0) = a + (5.5) a = G / G(0), a i = G i / G(0), a + = 1 (5.6)

69 Ελαστοπλαστικότητα Ελαστοπλαστική συμπεριφορά του υλικού συνήθως υποτίθεται για τις στρώσεις της βάσης και του υπεδάφους. Αυτή η συμπεριφορά μπορεί να προσομοιωθεί από ένα σύστημα ελατηρίων και στοιχείων τριβής που αντιστοιχούν στον ελαστικό και πλαστικό χαρακτήρα του συστήματος, αντίστοιχα. Για την περίπτωση μονοαξονικής παραμόρφωσης, η απλούστερη ελαστοπλαστική σχέση τάσης-παραμόρφωσης είναι αυτή του Σχ.5.1, που ορίζει ελαστοπλαστικότητα με ενδυνάμωση παραμόρφωσης. Σχήμα 5.1: Ελαστοπλαστική σχέση τάσης σ - παραμόρφωσης ε Εδώ η τάση διαρροής σ y αποτελεί το τέλος της ελαστικής και την αρχή της πλαστικής παραμόρφωσης. Για τη γενική τρισδιάστατη κατάσταση τάσεων, η διαρροή ορίζεται από την επιφάνεια διαρροής, που εκφράζεται ως F(σ, κ) = 0 (5.7) όπου σ είναι ο τανυστής τάσεων και κ το έργο πλαστικοποίησης. Στην πλαστικότητα συνηθίζεται η χρήση αυξήσεων ή ρυθμού αυξήσεων των τανυστών τάσης σ και παραμόρφωσης ε. Υποθέτοντας μη-συνδεδεμένη πλαστικότητα, μπορεί κανείς να εκφράσει την αύξηση της πλαστικής παραμόρφωσης p ως p = ( ) (5.8)

70 58 όπου Q είναι το πλαστικό δυναμικό (συνάρτηση των τάσεων) και είναι μια προσδιοριστέα παράμετρος. Διαφόριση της Εξ.(5.7) και χρήση της σχέσης = σ Τ p καταλήγουν στη σχέση ( ) T + ( ) σ Τ p = 0 (5.9) Επιπλέον υποτίθεται ότι = e + p (5.10) όπου και e είναι η ολική αύξηση παραμόρφωσης και η ελαστική αύξηση παραμόρφωσης, αντίστοιχα. Χρησιμοποιώντας τον νόμο του Hooke για την ελαστική αύξηση παραμόρφωσης και τις Εξ.(5.8) και (5.9), έχει κανείς = D e = D - D ( ) (5.11) όπου D είναι το μητρώο ελαστικότητας. Συνδυάζοντας τις Εξ.(5.8)-(5.11) μπορεί κανείς να προσδιορίσει το ως (ANSYS, 2010) = (5.12) και επομένως να εκφράσει την της Εξ.(5.11) υπό την μορφή = D ep (5.13) όπου D ep είναι το ελαστοπλαστικό μητρώο. Όταν η πλαστικότητα είναι συνδεδεμένη, τότε Q=F και η σχέση (5.8) γίνεται η συνθήκη καθετότητας. Για τα περισσότερα εδαφικά υλικά το p δεν είναι κάθετο στην επιφάνεια F και επομένως πρέπει να γίνεται χρήση της μησυνδεδεμέης πλαστικότητας. Η συνάρτηση Q έχει συνήθως τη μορφή της συνάρτησης F με διαφορετική τιμή μιας σταθεράς του υλικού, όπως θα ορισθεί στα παρακάτω. Η επιφάνεια ή συνάρτηση διαρροής είναι ο γεωμετρικός τόπος των σημείων συνδυασμού τιμών τάσεων στο χώρο των κυρίων τάσεων (σ 1, σ 2, σ 3 ) για τις οποίες συμβαίνει διαρροή του υλικού. Τα εδάφη χαρακτηρίζονται από μία κατάσταση τάσεων, η οποία εξαρτάται από την υδροστατική κατάσταση τάσεων (σ 1 =σ 2 =σ 3 ) και την διόγκωση. Για την περίπτωση αυτή μια κατάλληλη επιφάνεια διαρροής είναι αυτή των Drucker-

71 59 Prager (DP) που έχει μορφή ενός όρθιου κώνου με άξονα την ευθεία σ 1 =σ 2 =σ 3, όπως φαίνεται στο Σχ.5.2. Σχήμα 5.2 Επιφάνεια διαρροής ελαστοπλαστικού προσομοιώματος Drucker-Prager σε συντεταγμένες κυρίων τάσεων Οι παράμετροι του υλικού για το ελαστοπλαστικό προσομοίωμα DP είναι το μέτρο ελαστικότητας Ε, ο λόγος του Poisson ν, η γωνία τριβής μεταξύ των κόκκων θ, η γωνία διόγκωσης θ f και η συνεκτικότητα μεταξύ των κόκκων c, η οποία σχετίζεται με το θ και το σ y σύμφωνα με τη σχέση (ANSYS, 2010) c = σ y (3-sinθ) / 6cosθ (5.14) Επειδή η F μπορεί να εκφραστεί συναρτήσει της θ, η Q μπορεί να προκύψει από την F με απλή αντικατάσταση της θ με θ f. Έτσι για θ=θ f προκύπτει ότι Q=F και η μη-συνδεδεμένη πλαστικότητα γίνεται μια συνδεδεμένη πλαστικότητα. Στο πρόγραμμα ANSYS (2010), δεν πρέπει να γίνεται χρήση του βασικού DP ελαστοπλαστικού προσομοιώματος, που συνδέεται με την ιδεατή πλαστικότητα (μηδέν ενδυνάμωση παραμόρφωσης), αλλά του επεκτεταμένου (EDP), που αντιστοιχεί σε μησυνδεδεμένη πλαστικότητα με ενδυνάμωση παραμόρφωσης για να αποφεύγονται προβλήματα υπολογιστικής αστάθειας. Το ελαστοπλαστικό προσομοίωμα EDP απαιτεί ως δεδομένα την παράμετρο α=6sinθ/(3-sinθ), η οποία ουσιαστικά σημαίνει δεδομένη τιμή

72 60 της θ, την τάση διαρροής σ y, η οποία ουσιαστικά σημαίνει δεδομένη τιμή της c λόγω της Εξ.(5.14), και την θ f. Μια συνήθης τιμή της θ f για κοκκώδη εδαφικά υλικά είναι θ f θ/3 (Schanz and Vermeer, 1996). Επειδή όμως για θ θ f (μη-συνδεδεμένη πλαστικότητα), το προκύπτον μητρώο δυσκαμψίας είναι μη-συμμετρικό, παρατηρείται δραματική αύξηση του υπολογιστικού χρόνου. Γι αυτό το λόγο, στις παρούσες εφαρμογές γίνεται η υπόθεση θ=θ f της συνδεδεμένης πλαστικότητας. Τυπικές τιμές του c και θ για κοκκώδη υλικά βάσης και υπεδάφους κυμαίνονται μεταξύ 1 και 690 kpa και 10 και 45, αντίστοιχα Ιξωδοπλαστικότητα Ιξωδοπλαστική συμπεριφορά υλικού συνήθως υποτίθεται για την ασφαλτική στρώση της κατασκευής του οδοστρώματος. Η ιξωδοπλαστικότητα συνδυάζει ιξώδη και πλαστική συμπεριφορά, δηλαδή, ελαστικά ελατήρια, ιξώδεις αποσβεστήρες και πλαστικά στοιχεία τριβής. Σύμφωνα με το ιξωδοπλαστικό προσομοίωμα του Perzyna (ANSYS, 2010) που υιοθετείται στην παρούσα διατριβή, η ιξωδοπλαστική αύξηση vp δίνεται από τη σχέση vp = γ ( -1) 1/m (5.15) όπου γ είναι η παράμετρος του ιξώδους του υλικού σε sec -1, σ είναι ο ισοδύναμος τανυστής τάσεων, σ y είναι η τάση διαρροής και m είναι μια παράμετρος ενδυνάμωσης της vp p παραμόρφωσης. Το ανωτέρω παίζει τον ρόλο του στην ελαστοπλαστικότητα. Έτσι το vp χρησιμοποιείται μέσα στα πλαίσια της θεωρίας του ελαστοπλαστικού προσομοιώματος DP του υποκεφαλαίου Οι ανωτέρω παράμετροι υλικού, όπως και στην περίπτωση του ιξωδοελαστικού προσομοιώματος, υποτίθενται ότι προσδιορίζονται για μια καθορισμένη θερμοκρασία (συνήθως 20 C) ώστε να θεωρούνται αναξάρτητοι της θερμοκρασίας. Τυπικές τιμές των γ και m για ασφαλτικά υλικά κυμαίνονται μεταξύ 5*10-2 και 10-9 sec -1 και 1 και 4, αντίστοιχα ΣΥΓΚΡΙΣΕΙΣ ΜΕ ΥΠΑΡΧΟΥΣΕΣ ΛΥΣΕΙΣ ΚΑΙ ΠΕΙΡΑΜΑΤΑ ΠΕΔΙΟΥ Στο υποκεφάλαιο αυτό γίνονται συγκρίσεις των αποτελεσμάτων που προκύπτουν από χρήση της ΜΠΣ της παρούσας διατριβής με υπάρχοντα αποτελέσματα στην βιβλιογραφία που έχουν προκύψει απο άλλες αριθμητικές μεθόδους και πειράματα πεδίου.

73 61 Οι συγκρίσεις αυτές αποσκοπούν να ελέγξουν την ακρίβεια και αξιοπιστία της παρούσας μεθόδου, όπως αυτή εφαρμόζεται σε δυναμικά ανελαστικά προβλήματα εύκαμπτων οδοστρωμάτων. Υπενθυμίζεται οτι ανάλογες συγκρίσεις της παρούσας μεθόδου με αναλυτικές λύσεις της βιβλιογραφίας παρουσιάστηκαν στο κεφάλαιο 4 της παρούσας διατριβής για περιπτώσεις δυναμικών ελαστικών προβλημάτων εύκαμπτων οδοστρωμάτων. Πιο συγκεκριμένα, στο παρόν υποκεφάλαιο παρουσιάζονται συγκρίσεις αποτελεσμάτων της παρούσας μεθόδου με αυτά άλλων αριθμητικών μεθόδων και πειραμάτων πεδίου για τις ακόλουθες δύο περιπτώσεις Συγκρίσεις με προγράμματα Veroad και Viscoroute Τα προγράμματα Veroad και Viscoroute που έχουν αναπτυχθεί απο τους Nilsson et al (2002) και Chabot et al (2009), αντίστοιχα, έχουν τη δυνατότητα να προσδιορίσουν την απόκριση εύκαμπτων οδοστρωμάτων σε κινούμενα φορτία υποθέτοντας ιξωδοελαστική συμπεριφορά τηε ασφαλτικής ανω στρώσης και ελαστική των υπολοίπων στρώσεων. Το οδόστρωμα προσομοιώνεται ως ενα σύστημα οριζόντιων στρώσεων που συνδέονται μεταξύ τους με συνθήκες ισορροπίας και συμβιβαστού των παραμορφώσεων μέσα στα πλαίσια διατύπωσης του προβλήματος στο πεδίο συχνοτήτων ώστε να μπορεί εύκολα κανείς να λάβει υπόψη του ιξωδοελαστική συμπεριφορά υλικού με χρήση της αρχής της αντιστοιχίας. Τελικά, η απόκριση της κατασκευής στο πεδίο του χρόνου υπολογίζεται με τη βοήθεια του αντίστροφου μετασχηματισμού Fourier (FFT). Είναι προφανές οτι και τα δυο αυτά προγράμματα περιορίζονται στην επίλυση γραμμικών προβλημάτων. Ιξωδοελαστικότητα και στα δυο αυτά προγράμματα λαμβάνεται υπόψη με τη χρήση του ίδιου προσομοιώματος για το οποίο η μεταβολή του μέτρου ελαστικότητας Ε με την συχνότητα f δίνεται απο το Σχ.5.3 για θερμοκρασία 10 C (Nilsson et al, 2002).

74 62 Σχήμα 5.3 Μέτρο ελαστικότητας συναρτήσει συχνότητας ασφαλτικού υλικού (Nilsson et al, 2002) Χρησιμοποιώντας τα ανωτέρω προγράμματα Veroad και Viscoroute, οι Nilsson et al (2002) και Chabot et al (2009), προσδιόρισαν την απόκριση του οδοστρώματος του Σχ.5.4. σε φορτίο F=50 kn κινούμενο με ταχύτητες km/h. Τα μέτρα ελαστικότητας Ε των στρώσεων βασης (base), υπόβασης (sub-base) και υπεδάφους (subgrade) ειναι 450, 450 και 100 MPa, αντίστοιχα (ανεξάρτητα απο την θερμοκρασία), ενώ ο λόγος του Poisson ν και η πυκνότητα ρ είναι 0.35 και 2100 kg/m 3 για όλες τις στρώσεις.

75 63 Σχήμα 5.4 Γεωμετρικές και φυσικές ιδιότητες εύκαμπτου οδοστρώματος υπό κινούμενο φορτίο Δοθέντος οτι η πίεση του κινούμενου φορτίου είναι 800 kpa (Σχ.5.4), η επιφάνεια επαφής τροχού με οδόστρωμα ειναι Α=50/800= m 2. Αυτή η επιφάνεια, με βάση το Σχ.3.2., ισούται με L 2, οπότε L= m και επομένως η επιφάνεια Α σε ορθογωνικό σχήμα έχει μήκος a=0.8712l = m και πλάτος b= m. Οι αναλύσεις έγιναν με a=0.30 m και b=0.20 m. Στο Σχ.5.3. έχει κανείς Ε(0)=43 MPa και Ε( )=33000 MPa. Μετασχηματισμός του Ε(f) στο πεδίο του χρόνου με τη βοήθεια του ταχέως μετασχηματισμού Fourier (FFT) και χρήση της σχέσης G=Ε/2(1+ν) με ν=0.35 οδηγούν στο Σχ.5.5 που περιγράφει τη σχέση G=G(t) με G(0)= MPa και G( ) =15.93 MPa. Την ανωτέρω σχηματική έκφραση του G(t) (Σχ. 5.5) μπορει να μετατρέψει κανείς σε σειρά Prony της μορφής (5.4) υποθέτοντας 3 όρους στο άθροισμα και χρησιμοποιώντας την μέθοδο των ελαχίστων τετραγώνων (μη-γραμμικός αλγόριθμος ΕΧCEL) για τον προσδιορισμό των βέλτιστων τιμών των σταθερών. Έτσι έχει κανείς G 1 = , G 2 = , G 3 = , G = MPa (5.16) =50.0, =1.0, =0.005 sec (5.17)

76 64 Χρήση των ανωτέρω τιμών των σταθερών στην σχέση (5.4) δίνει G(0)= MPa, πιστοποιώντας την επιτυχή μετατροπή της G(t) σε σειρά Prony. Το Σχ.5.5 δείχνει με συνεχή γραμμή την συνάρτηση G(t) όπως αυτή προκύπτει απο την σχέση (5.4) με τιμές σταθερών αυτές των (5.16) και (5.17). Οι συντελεστές a και a i της (5.6) λαμβάνουν την μορφή a 1 =0.4295, a 2 =0.3564, a 3 =0.2128, a = (5.18) Σχήμα 5.5 Μέτρο διάτμησης ασφαλτικού υλικού συναρτήσει του χρόνου Με βάση τα ανωτέρω, η παρούσα ΜΠΣ, χρησιμοποιήθηκε στο πεδίο του χρόνου για τον προσδιορισμό της απόκρισης του οδοστρώματος του Σχ για θερμοκρασία 10 C και δύο τιμές (h 1 =0.1m, h 2 =0.2 m) του πάχους h της ασφαλτικής στρώσης. Το Σχ. 5.6 δείχνει την μεταβολή της μέγιστης εγκάρσιας παραμόρφωσης ε yy στην κατω επιφάνεια της ασφαλτικής στρώσης συναρτήσει της ταχύτητας για θερμοκρασία 10 C και δυο τιμές του πάχους της ασφαλτικής στρώσης. Είναι φανερό ότι τα αποτελέσματα της παρούσας μεθόδου είναι αρκετά κοντά με αυτά των προγραμμάτων Veroad και Viscoroute. Τα τελευταία είναι πλέον ακριβή διότι προέρχονται από αναλυτικές/αριθμητικές μεθόδους σε

77 65 αντίθεση με αυτά της παρούσας μεθόδου που προέρχονται αποκλειστικά από αριθμητική μέθοδο (ΜΠΣ). Επί πλέον, μπορεί κανείς να παρατηρήσει την μείωση της παραμόρφωσης με αύξηση της ταχύτητας, πράγμα το οποίο μπορεί κανείς να δεί και στο υποκεφάλαιο 5.4. Η επίδραση του πάχους της ασφαλτικής στρώσης, όπως φαίνεται απο το Σχ.5.6., συνίσταται σε μείωση της παραμόρφωσης για αύξηση του πάχους, όπως αναμένονταν. Σχήμα 5.6 Μέγιστη εγκάρσια παραμόρφωση στην κάτω επιφάνεια ασφαλτικής στρώσης συναρτήσει της ταχύτητας Συγκρίσεις με πρόγραμμα DYNAMIC2 και AASHO Road Test. Στο υποκεφάλαιο αυτό γίνονται συγκρίσεις των αποτελεσμάτων που προκύπτουν από χρήση της ΜΠΣ της παρούσας διατριβής με υπάρχοντα αποτελέσματα που προέρχονται απο τη χρήση του προγράμματος DYNAMIC2 (Sebaaly and Mamlouk, 1988) και από πειράματα πεδίου (AASHO Road Test, 1962). Το πρόγραμμα DYNAMIC2 επιλύει τις εξισώσεις κίνησης ενός συστήματος απο πολλές οριζόντιες ελαστικές στρώσεις με υστερητική απόσβεση στο πεδίο συχνοτήτων και

78 66 αφού υπολογίσει την απόκρισή του σε κινούμενα φορτία στην επιφάνεια του συστήματος συναρτήσει της συχνότητας, μέσω αριθμητικής αντιστροφής με την βοήθεια του ταχέως μετασχηματισμού Fourier (FFT) δινει την απόκριση στο πεδίο του χρόνου. Το πρόγραμμα αυτό περιορίζεται σε ελαστικά γραμμικά προβλήματα με υστερητική απόσβεση. Η απόσβεση αυτή δεν προσδίδει ιξωδοελαστικές ιδιότητες στο υλικό, αλλά απλά μειώνει κατά κάποιο μικρό ποσοστό την απόκριση. Χρησιμοποιώντας το ανωτέρω πρόγραμμα DYNAMIC2, οι Sebaaly and Mamlouk (1988) υπολόγισαν, μεταξύ άλλων, τις μέγιστες κατακόρυφες μετατοπίσεις στην επιφάνεια του οδοστρώματος Νο 333 του AASHO Road Test (1962) λόγω κινούμενων φορτηγών τύπου 61 με ταχύτητες 0, 30 και 60 mph και έκαναν συγκρίσεις με μετρήσεις πεδίου, βρίσκοντας ικανοποιητική συμφωνία μεταξύ των αποτελεσμάτων. Το οδόστρωμα Νο 333 αποτελείται από 4 στρώσεις με γεωμετρικές και μηχανικές/φυσικές ιδιότητες αυτές του Πιν Για το φορτηγό τύπου 61 η πίεση σε κάθε ελαστικό τροχό είναι 75 psi (517 kpa), το ολικό φορτίο του δίδυμου άξονα είναι 32 kips ( kn), το μήκος κάθε άξονα είναι 74 in (1.88 m), η απόσταση των δυο διδύμων αξόνων είναι 52 in (1.32 m) και η απόσταση των δυο διπλών τροχών στο άκρο κάθε άξονα είναι 13 in (0.33 m), όπως φαίνεται στο Σχ Δοθέντος οτι η πίεση ενός τροχού είναι 517 kpa και το φορτίο του 32/4=8 kips= kn, η επιφάνεια επαφής είναι Α c =35.584/517= m 2. Για λόγους Πίνακας 5.1 Γεωμετρικές και μηχανικές ιδιότητες οδοστρώματος Νο 333 του AASHO Road Test (1962) Στρώση Υλικό h, in (m) E, ksi (MPa) ν ρ, pcf(kg/m 3 ) Επιφανειακή Ασφαλτικό 6 (0.15) 460( ) ( ) σκυρόδεμα Βάση Θραυσμένοι 9 (0.23) 40(275.79) ( ) λίθοι Υπόβαση Αμμοχάλικο 16 (0.41) 20(137.89) ( ) Εδαφική Κατηγορία Α-6(6) 720(18.29) 5(34.47) ( ) απλούστευσης, για κάθε δυο τροχούς θεωρείται ένας ισοδύναμος τροχός με επιφάνεια 2A c = m 2 και φορτίο 2*35.584= kn, οπότε με βάση το Σχ.3.2, έχει κανείς

79 67 ότι L=( /0.5227) 0.5 =0.513 m και έτσι η επιφάνεια επαφής είναι ορθογωνική με μήκος a=0.8712l=0.316 m και πλάτος b=0.6l=0.218 m, όπως φαίνεται στο Σχ.5.7. Σχήμα 5.7 Διάταξη δίδυμων αξόνων φορτηγού 61 και ισοδύναμου συστήματος με a=0.316m και b=0.218m Η ανωτέρα ασφαλτική στρώση υποτίθεται ιξωδοελαστική του τύπου των Εξ. (5.4)- (5.6). Η απαιτούμενη έκφραση του μέτρου διάτμησης G(t) σε σειρά Prony της μορφής της Εξ.(5.4) βρίσκεται με βάση τα πειραματικά αποτελέσματα των Berthelot et al (2003) κατάλληλα κλιμακωμένα ώστε να έχει κανείς G(0)=Ε/2(1+ν), όπου Ε και ν αντιστοιχούν στην κορυφαία στρώση. Το Σχ. 5.8 δείχνει την μεταβολή του G(t) με το χρόνο για δυο περιπτώσεις. Η καμπύλη με διακεκομμένη γραμμή αντιστοιχεί σε ασφαλτικό υλικό τύπου (Berthelot et al, 2003) που έχει όμως κλιμακωθεί πρός τα άνω από G(0)=817 MPa σε G(0)= /2(1+0.35)= MPa για να είναι συμβατή με τις ελαστικές ιδιότητες της εδώ κορυφαίας στρώσης και έχει επίσης συμπιεστεί προς τα αριστερά (με διαίρεση της οριζόντιας κλίμακας με 3) ώστε να παρουσιάζει μείωση του G(t) σε πιο πρώιμους χρόνους και επομένως να οδηγεί σε πιο εμφανή επιρροή της ιξωδοελαστικότητας στην απόκριση.

80 68 Σχήμα 5.8 Μεταβολή μέτρου διάτμησης με το χρόνο για ιξωδοελαστικό υλικό Η διακεκομμένη γραμμή στο Σχ μπορεί να παρασταθεί με σειρά Prony τριών όρων και =2.0, =0.2 και =0.02 στην Εξ.(5.4). Χρήση της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων με τον μη-γραμμικό αλγόριθμο του EXCEL δινει τις τιμές των G i ως G 1 =123.40, G 2 =435.36, G 3 =204.37, G = MPa (5.19) Γι αυτές τις τιμές των G i και G έχει κανείς απο την (5.4) οτι G(0)=G + = MPa= MPa. Έτσι οι συντελεστές a i και a της (5.6) λαμβάνουν την μορφή a 1 =0.1051, a 2 = , a 3 = , a = (5.20) Η συνεχής γραμμή στο Σχ.5.8 παριστάνει την Εξ.(5.4) με τιμές των G i, G και όπως στη σχέση (5.19). Με βάση την ανωτέρω ιξωδοελαστική συμπεριφορά της κορυφαίας στρώσης και με τις άλλες στρώσεις να είναι ελαστικές, μπορεί κανείς να υπολογίσει την κατακόρυφη

81 69 μετατόπιση της επιφάνειας του οδοστρώματος στο σημειο Q του Σχ.4.1. Το Σχ.5.9 παρέχει τις μέγιστες τιμές της κατακόρυφης μετατόπισης του οδοστρώματος Νο 333 συναρτήσει τριών τιμών ταχύτητας (0, 30, 60 mph = 0, 48.27, km/h = 0, 13.41, m/s) για φόρτιση απο φορτηγό τύπου 61. Οι μέγιστες αυτές τιμές εχουν βρεθεί απο την παρούσα μέθοδο, την μέθοδο των Sebaaly and Mamlouk (1988) και απο μετρήσεις πεδίου κατα την διάρκεια του AASHO Road Test (1962). Η συμφωνία των αποτελεσμάτων των δύο μεθόδων και των μετρήσεων είναι Σχήμα 5.9 Επιφανειακή κατακόρυφη μετατόπιση οδοστρώματος Νο 333 συναρτήσει ταχύτητας ικανοποιητική. Μπορεί εδώ κανείς να παρατηρήσει οτι η παρούσα μέθοδος είναι πιό κοντά στις μετρήσεις απο οτι η μέθοδος των Sebaaly and Mamlouk (1988), διότι η τελευταία υποθέτει ελαστική συμπεριφορά της ασφαλτικής στρώσης και όχι ιξωδοελαστική όπως υποθέτει η παρούσα μέθοδος. Όπως αποδεικνύεται στο επόμενο υποκεφάλαιο και είναι γνωστό στην πρόσφατη βιβλιογραφία (Chabot et al 2009, Liao and Sargand 2010), χρήση ιξωδοελαστικής συμπεριφοράς οδηγεί σε αποτελέσματα απόκρισης πιό κοντά σε αυτά των μετρήσεων.

82 ΣΥΓΚΡΙΣΕΙΣ ΜΕΤΑΞΥ ΑΝΕΛΑΣΤΙΚΩΝ ΚΑΙ ΕΛΑΣΤΙΚΩΝ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΜΑΤΩΝ Στο παρόν υποκεφάλαιο περιγράφονται τα αποτελέσματα της απόκρισης τεσσάρων ανελαστικών προσομοιωμάτων κατασκευής οδοστρώματος σε κινούμενα φορτία οχημάτων, όπως αυτά υπολογίστηκαν με τη ΜΠΣ και συγκρίνονται με αυτά του γραμμικά ελαστικού προσομοιώματος της ανωτέρω κατασκευής. Η τροχιά του κινούμενου φορτίου είναι η απόσταση (ΑΒ)=3.60m του Σχ.4.1 και η απόκριση υπολογίζεται στο σημείο Q, το οποίο βρίσκεται στο μέσο αυτής της απόστασης. Το διανεμημένο ομοιόμορφα φορτίο p= MPa κινείται κατά μήκος της απόστασης (ΑΒ) με σταθερή ταχύτητα V= 5, 10, 20, 35 και 50 m/s (18, 36, 72, 126 και 180 km/h). Οι δυναμικές αποκρίσεις όλων των ανωτέρω προσομοιωμάτων υπολογίστηκαν με τη ΜΠΣ στο πεδίο του χρόνου με Δt=0.3*10-3 sec, όπως περιγράφτηκε στο υποκεφάλαιο 5.1. Θεωρείται το προσομοίωμα τριών στρώσεων του Σχ.4.1 με τις ακόλουθες ιδιότητες υλικού: Ε 1 =1000 MPa, ν 1 =0.35, ρ 1 =2500 kg/m 3 για την κορυφαία στρώση, Ε 2 =400 MPa, ν 2 =0.35, ρ 2 =2100 kg/m 3 για την ενδιάμεση στρώση και Ε 3 =80 MPa, ν 3 =0.40, ρ 3 =2000 kg/m 3 για την τελευταία (τρίτη) στρώση, όπου Ε, ν και ρ είναι το μέτρο ελαστικότητας, ο λόγος του Poisson και η πυκνότητα μάζας, αντίστοιχα. Με βάση αυτό το γραμμικά ελαστικό τριών στρώσεων προσομοίωμα (Προσομοίωμα 0 ή elastic), ορίζονται και μελετώνται εδώ τα παρακάτω τέσσερα ανελαστικά προσομοιώματα οδοστρώματος : i) Προσομοίωμα 1 ή viscoelastic με την κορυφαία στρώση να είναι γραμμικά ιξωδοελαστική και τις άλλες δύο γραμμικά ελαστικές, ii) Προσομοίωμα 2 ή viscoplastic με την κορυφαία στρώση να είναι ιξωδοπλαστική και τι άλλες δύο γραμμικά ελαστικές, iii) Προσομοίωμα 3 ή VE/DP με την κορυφαία στρώση να είναι ιξωδοελαστική και τις άλλες δύο ελαστοπλαστικές τύπου DP και iv) Προσομοίωμα 4 ή VP/DP με την κορυφαία στρώση να είναι ιξωδοπλαστική και τις άλλες δύο ελαστοπλαστικές τύπου DP. Στα ακόλουθα χωρία παρουσιάζονται αποτελέσματα απόκρισης των ανωτέρω τεσσάρων ανελαστικών προσομοιωμάτων και συγκρίνονται με αυτά του γραμμικά ελαστικού προσομοιώματος. Οι ποσότητες απόκρισης που ενδιαφέρουν από πλευράς σχεδιασμού (Huang 2004) είναι οι παραμορφώσεις ε x, ε y και τάσεις σ x, σ y για z= m (κάτω επιφάνεια κορυφαίας στρώσης), παραμόρφωση ε z και τάση σ z για z= m (άνω επιφάνεια υπεδάφους-τρίτης στρώσης) και κατακόρυφη μετατόπιση u z κυρίως για z=0.00 m (επιφάνεια οδοστρώματος).

83 Προσομοίωμα 1 και αποτελέσματα απόκρισής του Στο προσομοίωμα αυτό η κορυφαία στρώση του έχει γραμμική ιξωδοελαστική συμπεριφορά, όπως αυτή περιγράφεται από τις Εξ.(5.3) και (5.4). Η απαιτούμενη έκφραση του G(t) σε σειρά Prony της μορφής της Εξ.(5.4) βρίσκεται με βάση τα πειραματικά αποτελέσματα των Berthelot et al (2003) κατάλληλα κλιμακωμένα ώστε να έχει κανείς G(0)=Ε/2(1+ν), όπου Ε και ν αντιστοιχούν στην κορυφαία στρώση. Το Σχ.5.10 δείχνει την μεταβολή του G(t) με το χρόνο για δύο περιπτώσεις. Σχήμα 5.10 Μεταβολή μέτρου διάτμησης με το χρόνο για ιξωδοελαστικό υλικό Η καμπύλη με διακεκομμένη γραμμή αντιστοιχεί σε ασφαλτικό υλικό τύπου (Berthelot et al, 2003) και έχει κλιμακωθεί προς τα κάτω από G(0)=817MPa σε G(0)=1000/2(1+0.35)=384.60MPa για να είναι συμβατή με τις ελαστικές ιδιότητες της εδώ κορυφαίας στρώσης. Η καμπύλη με τη συνεχή γραμμή έχει κατασκευαστεί τεχνητά για να έχει μία πιο απότομη μείωση του G(t) με το χρόνο και επομένως να οδηγεί σε πιο εμφανή επιρροή της ιξωδοελαστικότητας στην απόκριση σε σχέση με αυτή της ελαστικότητας. Η συνεχής γραμμή στο Σχ.5.10 υποτίθεται ότι αναπαριστάται με σειρά Prony τριών όρων και =2.0, =0.2, =0.02 sec στην Εξ.(5.4). Χρήση της μεθόδου των ελαχίστων τετραγώνων με τον μη-γραμμικό αλγόριθμο του EXCEL δίνει τις τιμές των G i ως G 1 = 19.36, G 2 = 68.66, G 3 = , G = MPa (5.21)