Η Μέθοδος Kriging από τη Σκοπιά της Θεωρίας Πρόγνωσης Τυχαίων Πεδίων

Transcript

1 Η Μέθοδος Krgng από τη Σκοπιά της Θεωρίας Πρόγνωσης Τυχαίων Πεδίων Α. Δερμάνης Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας, Α.Π.Θ. Πανεπιστημιακή Θυρίδα 503, 544 Θεσσαλονίκη Τηλ , emal: ιστοσελίδα: Περίληψη Η μέθοδος krgng εξετάζεται κριτικά, τόσο από τη σκοπιά της κλασσικής θεωρίας πρόγνωσης τυχαίων πεδίων των Wener-Kolmogoro, όσο και από την πλευρά της πρόγνωσης στο πεπερασμένων διαστάσων στατιστικό μοντέλο των λεγομένων τυχαίων επιδράσεων. Αποδεικνύεται ότι το krgng ταυτίζεται με την βέλτιστη ομογενή γραμμική ανεπηρέαστη πρόγνωση και ότι το κύριο χαρακτηριστικό του δεν είναι το ανεπηρέαστο (unbased) της πρόγνωσης αλλά ο ομογενής γραμμικός της χαρακτήρας. Προς επίρρωση της τελευταίας παρατήρησης προσδιορίζονται οι σχέσεις για το επηρεασμένο (based) krgng με βάση την βέλτιστη μη ομογενή γραμμική ανεπηρέαστη πρόγνωση. Krgng n the Lght of the heory of Random Feld Predcton A. Dermans Department of Geodesy and Sureyng, Arstotle Unersty of hessalonk Unersty Box 503, 544 hessalonk Phone: , Emal: dermans@topo.auth.gr, Web page: Abstract he method of krgng s crtcally examned from the ewpont of the classcal Wener-Kolmogoro predcton theory for random felds, as well as from the ewpont of the fnte-dmensonal statstcal random effects model. It s shown that ordnary krgng s dentcal wth the best homogeneous lnear unbased predcton and that ts man characterstc s not the unbased predcton but rather ts homogeneous lnear character (a strctly lnear combnaton of the obseratons wthout an addtonal constant). he last argument s emphaszed by derng based krgng on the bass of best homogeneous lnear predcton whch s based. Α.Π.Θ. Γεωδαισία ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ - ΤΜΗΜΑ ΑΓΡΟΝΟΜΩΝ ΚΑΙ ΤΟΠΟΓΡΑΦΩΝ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ 447 ΥΔΡΟΓΑΙΑ. Τιμητικός Τόμος στον Καθηγητή Χρήστο Τζιμόπουλο

2 . Εισαγωγή Η μέθοδος krgng αναπτύχθηκε στις αρχές της δεκαετίας του 50 από το μηχανικό ορυχείων Krge (95) με σκοπό την πρόγνωση της περιεκτικότητας σε μετάλευμα μιας περιοχής εξόρυξης αξιοποιώντας μεμονωμένες μετρήσεις περιεκτικότητας σε συγεκριμένα σημεία. Η περιεκτικότητα αυτή μοντελοποιείται ως μια στοχαστική συνάρτηση στις τρεις διαστάσεις, δηλαδή ως ένα τυχαίο πεδίο (random feld) σύμφωνα με τη πιο σύγχρονη ορολογία. Ο γενικότερος χαρακτήρας του krgng ως μεθόδου πρόγνωσης ενός τυχαίου πεδίου αναγνωρίστηκε από τον Matheron (96) ο οποίος μελέτησε τα λεπτά μαθηματικά προβλήματα που σχετίζονται με τον απειροδιάστατο χαρακτήρα του άγνωστου τυχαίου πεδίου. Έτσι αργότερα η μέθοδος βρήκε εφαρμογή και σε άλλα προβλήματα πρόγνωσης όπως αυτά της υδρολογίας. Όμως παρόμοια προβλήματα πρόγνωσης τυχαίων πεδίων ή στοχαστικών συναρτήσεων (stochastc processes), όρος που επεκράτησε για συναρτήσεις του χρόνου, είχε ήδη μελετηθεί ανεξάρτητα τόσο από τον Kolmogoro (94) όσο και από τον Wener (949), ώστε να μπορούμε να μιλούμε για μία συγκροτημένη θεωρία πρόγνωσης τυχαίων πεδίων των Wener-Kolmogoro. Στην γεωδαισία μια παρόμοια μέθοδος εισήχθηκε από τον Mortz (Heskanen & Mortz, 967) για την πρόγνωση του πεδίου βαρύτητας αλλά αναλύθηκε διεξοδικά από τον Krarup (969), ο οποίος επιπλέον κατέδειξε τη σχέση με το ντετερμινιστικό πρόβλημα παρεμβολής μιας αρμονικής συνάρτησης δυναμικού έλξης η οποία ανήκει σε ένα χώρο συναρτήσεων Hlbert με αναπαραγωγό πυρήνα (reproducng kernel). Η σχετική μεθοδολογία ονομάστηκε σημειακή προσαρμογή (collocaton) ενώ οι ντετερμινιστικές της όψεις υπήρξαν αντικείμενο διεξοδικών ερευνών από τους Dermans (976), Sansò (978), και άλλους. Παρά την παρουσία ενός απειροδιάστατου πεδίου σε κάθε εφαρμογή, το πρόβλημα μπορεί να αναχθεί σε ένα κλασσικό πρόβλημα στατιστικής πρόγνωσης, με πεπερασμένες διαστάσεις, στα πλαίσια του λεγομένου μοντέλου τυχαίων επιδράσεων (random effects model), επειδή ο αριθμός των δεδομένων είναι πεπερασμένος αλλά και η ίδια η πρόγνωση του άγνωστου τυχαίου πεδίου μπορεί να αντιμετωπισθεί ως πρόβλημα πρόγνωσης μίας τιμής του σε οποιοδήποτε σημείο του πεδίου ορισμού του. Παρ όλες τις ομοιότητες με τη γενικότερη θεωρία πρόγνωσης των Wener- Kolmogoro η μέθοδος krgng έχει μια σημαντική διαφορά, στο ότι χρησιμοποιεί τη συνάρτηση του μεταβολογράμματος (arogram) στη θέση της συνάρτησης συμμεταβλητότητας (coarance functon) του σχετικού τυχαίου πεδίου. Από θεωρητική σκοπιά η επιλογή αυτή επεκτίνει την εφαρμοσιμότητα του krgng και σε τυχαία πεδία τα οποία διαθέτουν μεταβολόγραμμα αλλά όχι συνάρτηση συμμεταβλητότητας. Η ευρύτητα αυτή του πεδίου εφαρμογής είναι όμως ασήμαντη από πρακτική σκοπιά, όπου πλέον σημαντική είναι η δυνατότητα πρόγνωσης όταν το τυχαίο πεδίο έχει σταθερή 448 Μέρος ΙΙ: Η Γη

3 μεν αλλά άγνωστη συνάρτηση μέσης τιμής, ενώ οι άλλες μέθοδοι προϋποθέτουν γνώση της σταθερής μέσης τιμής. Περιοριζόμαστε εδώ λόγω του περιορισμένου χώρου στο λεγόμενο κοινό krgng (ordnary krgng) με άγνωστη σταθερή μέση τιμή. Το πρόβλημα του «παγκόσμιου» krgng (unersal krgng) όπου η άγνωστη μέση συνάρτηση είναι γραμμικός συνδυασμός γνωστών συναρτήσεων με άγνωστους συντελεστούς, αντιμετωπίζεται και αυτό στα πλαίσια της κλασσικής πεπερασμένων διαστάσεων στατιστικής μεθοδολογίας εκτίμησης-πρόγνωσης στα πλαίσια του λεγομένου μοντέλου μικτών επιδράσεων (mxed effects model). H ουσία όμως των εδώ συγκρίσεων και συμπερασμάτων δεν χρειάζεται τη γενίκευση του «παγκόσμιου» krgng (unersal krgng), το οποίο απλά οδηγεί σε κάπως πολυπλοκότερους αλγορίθμους, οι οποίοι όμως (συνήθως) χρησιμοποιούν τη συνάρτηση συμμεταβλητότητας αντί του μεταβολογράμματος. Περισσότερο δραστική είναι η γενικευση του ntrnsc krgng, το οποίο οδηγεί σε λύσεις ανεξάρτητες της άγνωστης συνάρτησης μέσης τιμής αξιοποιώντας τη λεγόμενη γενικευμένη συνάρτηση συμμεταβλητότητας. Τέλος μια πρόσφατη γενίκευση είναι το γενικευμένο krgng (generalzed krgng) των Reguzzon et al. (005), το οποίο επιτρέπει τη χρήση οποιωνδήποτε σχεδόν πραματικών τιμών που σχετίζονται με το άγνωστο πεδίο, τόσο ως παρατηρήσεων όσο και ως πρσοτήτων προς πρόγνωση, αρκεί αυτές να μπορούν να εκφραστούν ως γραμμικά συναρτησιακά του σχετικού πεδίου (γραμμικές απεικονίσεις συναρτήσεων σε πραγματικές τιμές). Από την εδώ σύγκριση στα πλαίσια του στατιστικού μοντέλου τυχαίων επιδράσεων, προκύπτει μια ακόμη γενίκευση, το «επηρεασμένο krgng» (based krgng) η οποία έχει ήδη προταθεί από τους Dermans & Sansò (007).. Πρόγνωση με το μοντέλο των τυχαίων επιδράσεων Το μοντέλο των τυχαίων επιδράσεων είναι ένα γραμμικό μοντέλο της μορφής y = Gs +, όπου s είναι ένα διάνυσμα τυχαίων μεταβλητών με γνωστή μέση τιμή E{ s} = m και γνωστό πίνακα συμμεταβλητότητας E{( s-m)( s- m) } = C, είναι το διάνυσμα των τυχαίων σφαλμάτων της μέτρησης με E{ } = 0 και E{ } = C, G είναι ένας γνωστός πίνακας και y είναι το τυχαίο διάνυσμα των παρατηρήσεων για το οποίο είναι διαθέσιμη μία δειγματική τιμή ως αποτέλεσμα συγκεκριμένων μετρήσεων. Το πρόβλημα είναι η πρόγνωση (δηλαδή η εκτίμηση της αντίστοιχης δειγματικής τιμής) οποιασδήποτε τυχαίας μεταβλητής s με γνωστή μεση τιμή E{s } = m, η οποία είναι συσχετισμένη με τις τυχαίες μεταβλητές του μοντέλου, μέσω του γνωστου πίνακα δια-συμμεταβλητότητας ss Γεωδαισία 449

4 E{( - )(s - m )} = ss s m c. Η πρόγνωση χαρακτηρίζεται ως βέλτιστη (best) όταν ικανοποιείται το κριτήριο της ελαχιστοποίησης του μέσου τετραγωνικού σφάλματος E{ε } = mn, όπου s = s( y ) είναι η τιμή της πρόγνωσης και ε = s -s το σφάλμα της πρόγνωσης. Η πρόγνωση είναι μια συνάρτηση s = s( y ) των γνωστών παρατηρήσεων y, η οποία είναι κατά κανόνα γραμμική (lnear) με δύο δυνατές μορφές την ομογενή (hom) γραμμική s = d y και την μη ομογενή γραμμική (nhom) s = d y + k. Επίσης οι προγνώσεις διακρίνονται σε ανεπηρέαστες (unbased) για τις οποίες E{s } = E{s } και τις επηρεασμένες (based) για τις οποίες δεν ισχύει ο περιορισμός αυτός. Με βάση τις παραπάνω δυνατότητες μπορούμε να διακρίνουμε τέσσαρεις τύπους βέλτιστης πρόγνωσης: Βέλτιστη ανεπηρέαστη μη ομογενής πρόγνωση (nhomblup = nhomogeneous Best Lnear Unbased Predcton) Βέλτιστη ανεπηρέαστη ομογενής πρόγνωση (homblup = homogeneous Best Lnear Unbased Predcton) Βέλτιστη επηρεασμένη μη ομογενής πρόγνωση (nhomblιp = nhomogeneous Best Lnear Predcton) Βέλτιστη επηρεασμένη ομογενής πρόγνωση (homblιp = homogeneous Best Lnear Predcton) Οι βέλτιστες τιμές των συντελεστών d, ή d και k, προσδιορίζονται ελαχιστοποιώντας τη συνάρτηση E{ε } = f ( d ), ή E{ε } = f ( d,k), απευθείας ή κάτω από τη συνθήκη ανεπηρέαστη πρόγνωσης d Gm = m, ή d Gm + k = m. Με βάση τις τιμές των d και k που προκύπτουν, έχουμε τους παρακάτω τύπους πρόγνωσης: nhomblup = nhomblup: - ss ss s = m + c ( GC G + C ) ( y -Gm) () homblup: s = αm + css G ( GCssG + C ) y -α Gm Ô - m G ( GCssG + C ) y α = Ô - m G ( GCssG + C ) Gm Ô - ( ) () 450 Μέρος ΙΙ: Η Γη

5 homblip: s = α m + css G ( GCssG + C ) y -α Gm Ô - m G ( GCssG + C ) y α = ( ss ) - Ô + m G GC G + C Gm Ô - ( ) (3) Παρατηρούμε ότι οι παραπάνω εκτιμήσεις έχουν την ίδια ακριβώς μορφή με διαφορετική μόνο την παράμετρο α, η οποία για την πρόγνωση nhomblup = nhomblup μπορεί να θεωρηθεί ότι έχει την τιμή α =. Στην περίπτωση μηδενικών μέσων τιμών ( m =, m = ) όλες οι παραπάνω προγνώσεις ταυτίζονται παίρνοντας την κοινή μορφή - css ss s = G ( GC G + C ) y. Στην περίπτωση της μη ομογενούς πρόγνωσης η ύπαρξη του σταθερού όρου k εξαφανίζει αυτόματα την παρέκκλιση (bas) και η σχετική πρόγνωση είναι ανεπηρέαστη, ακόμη και όταν αυτό δεν είναι μια από τις a pror απαιτήσεις. Έτσι ανεπηρέαστη και επηρεασμένη πρόγνωση ταυτίζονται. Oι ομογενείς προγνώσεις προτάθηκαν από τον Schaffrn (Grafrend & Schaffrn, 993) ως «ανθεκτικές» (robust) εναλλακτικές λύσεις στη κλασσική μη ομογενή ανεπηρέαστη πρόγνωση, επειδή οι τελευταίες πολλαπλασιάζουν τις μέσες τιμές με ένα συντελεστή α, ο οποίος εξαρτάται από τις παρατηρήσεις και κατά κάποιο τρόπο «προστατεύει» από λανθασμένες υποθέσεις σχεικά με τις μέσες τιμές. Παρόμοιες και κατα τι γενικευμένες σχέσεις δόθηκαν και από τον Dermans (987) στα πλαίσια της κλασσικής μη ομογενούς ανεπηρέαστης πρόγνωσης, περιλαμβάνοντας τον συντελεστή α στο μοντέλο, είτε ως άγνωστη ντετερμινιστκή παράμετρο, είτε ως στοχαστική παράμετρο με μέση τιμή και γνωστή a pror μεταβλητότητα. 3. Εφαρμογή στην πρόγνωση τυχαίων πεδίων Στην περίπτωση ενός αγνώστου τυχαίου πεδίου u( x ), όπου π.χ. x = [x yz] το διάνυσμα των καρτεσιανών συντεταγμένων, οι παρατηρήσεις y έχουν τη μορφή y = u( x ) +, =,,...,n δηλαδή παρατηρούνται οι τιμές u( x ) του πεδίου σε n σημεία x με πρόσθετα τυχαία σφάλματα και ζητείται η πρόγνωση u x u( x ) της τιμής του πεδίου u( x ) σε οποιοδήποτε άλλο σημείο x. Υποθέτουμε πως το τυχαίο πεδίο έχει σταθερή συνάρτηση μέση τιμής m( x) E{u( x )} = μ και γνωστή συνάρτηση συμμεταβλητότητας C( x, x ) E{[u(x) -μ][u( x ) -μ]}. Για λόγους που σχετίζονται με το σκοπό της σύγκρισης με το krgng, υποθέτουμε επιπλέον πως η συνάρτηση μέσης τιμής είναι σταθερή, m( x ) = μ, υπόθεση η οποία Γεωδαισία 45

6 προκύπτει υποχρεωτικά αν υποθέσουμε ότι το τυχαίο πεδίο είναι ομογενές, δηλαδή αν C( xx, ) = C( x+ τ, x + τ ) για οποιαδήποτε μετατόπιση τ, οπότε (επιλέγοντας τ =-x ) η συνάρτηση συμμεταβλητότητας είναι συνάρτηση μόνο της διαφοράς x - x, δηλαδή έχει τη μορφή C( x - x ). Θέτοντας u u( ) = x και C = C( u( x ),u( x )), c C( u( ),u( )) k k = x x, έχουμε το μοντέλο τυχαίων επιδράσεων y = u+, το οποίο αντιστοιχεί στο γενικό μοντέλο y = Gs + με G = I, s= u, s = u( x ) ux, Css = C, css = c, m = μ, m = μ s, όπου s = [... ]. Με τις αντικαταστάσεις αυτές οι σχετικές προγνώσεις γίνονται nhomblup = nhomblup: x - u = μ + c ( C+ C ) ( y-μ s ) (4) homblup: x - ( ) u = αμ + c ( C+ C ) y-αμs, homblip: x - ( ) u = αμ + c ( C+ C ) y-αμs, - ( + ) - + s C C y α = μ s ( C C ) s C C α μ s ( C C ) y = + μ s ( + ) s (5) (6) 4. Η μέθοδος krgng ως βέλτιστη ομογενής ανεπηρέαστη πρόγνωση Όπως ήδη επισημάνθηκε από τον Dermans (984), η μέθοδος krgng αντιστοιχεί στην βέλτιστη γραμμική ομογενή ανεπηρέαστη πρόγνωση (homblup), ενώ η σημειακή προσαρμογή της γεωδαισίας στην βέλτιστη γραμμική μη ομογενή ανεπηρέαστη πρόγνωση. Έτσι το κύριο χαρακτηριστικό του krgng είναι ο ομογενής γραμμικός χαρακτήρας και όχι ο ανεπηρέαστος χαρακτήρας της πρόγνωσης όπως κοινά πιστεύεται. Για να αποδείξουμε τον παραπάνω ισχυρισμό θα πρέπει να μεταφράσουμε το σχετικό αποτέλεσμα από τη «γλώσσα» της συνάρτησης συμμεταβλητότητας στη «γλώσσα» του μεταβολογράμματος το οποίο ορίζεται ως γ( xx, ) = E{[u( x) -u( x )] } (7) Στο krgng ισχύει η λεγόμενη εγγενής (ntrnsc) υπόθεση ότι το μεταβολόγραμμα είναι συνάρτηση μόνο της μετατόπισης h = x -x, η οποία είναι αντίστοιχη με την υπόθεση της ομογενούς συμμεταβλητότητας C( xx, ) = C( x -x, ) οπότε 45 Μέρος ΙΙ: Η Γη

7 γ( h) = E{[u( x+ h) - u( x)] } = E{u( x+ h) }- E{u( x+ h)u( x)} + E{u( x ) } = = C( 0) -C( h ) (8) Κάτω από την εγγενή υπόθεση της ομογένειας η μέση τιμή είναι υποχρεωτικά σταθερή. Εισάγοντας τους πίνακες μεταβολογράμματος Γ, γ με στοιχεία Γk = γ( x -x k ), γ = γ( x-x ), αντίστοιχα και θέτοντας C0 C( 0 ), ισχύουν οι σχέσεις μετατροπής C = C 0 ss -Γ, C0 c= s-γ και οι αντίστροφες C 0 Γ = ss -C, γ = C 0 s-c. Για να δείξουμε την ταύτιση της μεθόδου krgng με τη βέλτιστη ομογενή ανεπηρέαστη πρόγνωση θα ξεκινήσουμε από το πολύ κοινό «σύστημα krgng» το οποίο έχει τη μορφή ÈΓ - C s Èλ Èγ Í = Í 0 k Í ÍÎ s Î Î (9) ή αναλυτικά ( Γ - C ) λ + ks = γ, s λ =, (0) η λύση του οποίου ως προς λ οδηγεί στην krgng πρόγνωση λ y. Αν αντικαταστήσουμε û( x) = Γ = C 0 ss -C, γ = C0s-c, το σύστημα krgng γίνεται s λ = και (C ss -C - C ) λ + ks = C ss λ -( C+ C ) λ + ks = C s- ( C+ C ) λ + ks= C s-c, ή απλά ( C+ C ) λ - ks = c, Η πρώτη σχέση δίνει δεύτερη δίνει κατά συνέπεια γίνονται s λ =. () - = ( + ) ( + k) s ( C+ C ) c k = - s ( C+ C ) s λ C C c s, το οποίο αν αντικατασταθεί στην s λ = s ( C+ C ) ( c+ k s) = s ( C+ C ) c+ k s ( C+ C ) s = και. Με την τιμή αυτή του k οι συντελεστές λ s ( C+ C ) c - - s ( C+ C ) s λ = ( C+ C ) ( c+ k) s = ( C+ C ) c+ ( C+ C ) s () και η αντίστοιχη πρόγνωση û( x) = λ y παίρνει τη μορφή Γεωδαισία 453

8 - - - s ( C+ C ) c - - s ( C+ C ) s û( x) = c ( C+ C ) y + s ( C+ C ) y = ή απλά s ( C+ C) y s ( C+ C) y - ( ) ( ) - - s ( C+ C) s s ( C+ C) s = c C+ C y + - c C+ C s = - - s ( C+ C) y È - s ( C+ C) y = + c ( C+ C ) - - Íy s - s ( C+ C) s ÍÎ s ( C+ C) s - û( x) = β + c ( C+ C ) ( y-β s ), ( + - ) ( + - ) s C C y β = s C C s Συγκρίνοντας με τη σχέση (5) για την ομογενή βέλτιστη πρόγνωση, διαπιστώνουμε ότι οι δύο μέθοδοι ταυτίζονται, αρκεί να αναγνωρίσουμε ότι β = αμ. Επομένως το κοινό krgng (ordnary krgng) ταυτίζεται με την ομογενή βέλτιστη πρόγνωση, προκειμένου για τυχαία πεδία τα οποία συνάρτηση μεταβλητότητας. Η ταύτιση αυτή δεν είναι απόλυτη για δύο λόγους: (α) το krgng είναι κατά τι «γενικότερο» επειδή μπορεί να εφαρμοστεί σε τυχαία πεδία που διαθέτουν μεταβολόγραμμα αλλά όχι και συνάρτηση μεταβλητότητας. (β) το krgng δεν απαιτεί γνώση της σταθερής μέσης τιμής μ του σχετικού ομογενούς τυχαίου πεδίου. Εκ πρώτης όψεως η δεύτερη παρατήρηση φαίνεται να μην ευσταθεί επειδή η παρουσία της μέσης τιμής μ στη σχέση (5) είναι εικονική, όπως εξάλλου φαίνεται από την ισοδύναμη σχέση (4) όπου το γινόμενο αμ έχει αντικατασταθεί από την παράμετρο β = αμ. Όμως η γνώση της τιμής μ σχετίζεται όχι με την εφαρμογή της σχέσης πρόγνωσης, αλλά με τον προσεγγιστικό προσδιορισμό του μεταβολογράμματος γ( h ) ή της συνάρτησης συμμεταβλητότητας C( h ), κατά περίπτωση, με βάση τις αντίστοιχες σχέσεις γ( h) = E{[u(x) - u( x+ h )] } (5) (3) (4) C( h) = E{[u( x) - μ][u( x+ h ) -μ]} (6) Οι σχετικές προσεγγίσεις βασίζονται στον διαχωρισμό του πεδίου ορισμού D σε επικαλύπτοντα και ανεξάρτητα τμήματα D m ( Dm = D, Dm D m = για m π m) και την προσέγγιση της γ( h ) ή C( h ) από βηματικές συναρτήσεις με σταθερές τιμές σε κάθε τμήμα D m ( γ( ) = γ m, " ŒDm h h και C( h) = C m, " h ŒDm). 454 Μέρος ΙΙ: Η Γη

9 k σδ k Αν υποθέσουμε την παρουσία ασυσχέτιστων τυχαίων σφαλμάτων με σταθερή μεταβλητότητα, E{ } =, οι τιμές γ m ή C m προσεγγίζονται από τις τιμές των παρατηρήσεων y = u( x ) +, μέσω των σχέσεων γˆ σ  (y y ) (7) m + = - k Nm x - x Œ D k m k m Ĉ =  (y -μ)(y -μ) (8) m k Nm x - x Œ D όπου Nm ο αριθμός των ζευγών σημείων με xk -x ŒDm. Οι σχετικές εκτιμήσεις είναι ανεπηρέαστες, ισχύει δηλαδή ότι E{γ ˆ m} = γm και E{C ˆ m} = Cm. Για το μεταβολόγραμμα γ( 0 ) = 0 εξ ορισμού, ενώ η αντίστοιχη τιμή C0 = C( 0 ) εκτιμάται από τη σχέση Ĉ σ  (y μ) (9) 0 + = - Nm x E{C ˆ } = C. με Επηρεασμένο krgng Για να καταδείξουμε ότι το κύριο χαρακτηριστικό του krgng είναι ο ομογενής γραμμικός χαρακτήρας της πρόγνωσης και όχι ότι αυτή είναι ανεπηρέαστη, όπως συνήθως πιστεύεται, θα «μεταφράσουμε» τη βέλτιστη ομογενή γραμμική πρόγνωση (6) στη «γλώσσα» του krgng μέσω των σχέσεων C = C 0 ss -Γ, c= C0s-γ. Αντικαθιστώντας τους πίνακες C και c στη σχέση (6) με τις παραπάνω τιμές, φθάνουμε, ύστερα από εκτεταμένους αλγεβρικούς μετασχηματισμούς, στη σχέση για το επηρεασμένο krgng (based krgng) - ( ) û( x) = β + γ ( Γ-C ) y-βs, H s ( Γ C ) y β = H s ( Γ -C ) s- η οποία δεν περιέχει τη μέση τιμή μ, αλλά την παράμετρο H C0 + μ. Όμως η παράμετρος H αν και περιέχει τη μέση τιμή μ, μπορεί να προσδιοριστεί απευθείας από της παρατηρήσεις μέσω της σχέσης (0) Γεωδαισία 455

10 Ĥ + σ = Â y () Nm x όπου E{H} ˆ = H, έχουμε δηλαδή μια ανεπηρέαστη εκτίμηση. Βιβλιογραφία. Dermans, A., 976. Probablstc and Determnstc Aspects of Lnear Estmaton n Geodesy. Report No. 44, Dep. of Geodetc Scence, he Oho State Unersty.. Dermans, A., 984. Krgng and Collocaton - A Comparson. Manuscrpta Geodetca, 9(): Dermans, A., 987. Geodetc Applcatons of Interpolaton and Predcton. Internatonal School of Geodesy "A. Maruss". 4th Course: "Appled and Basc Geodesy: Present and Future rends". Ettore Majorana Centre for Scentfc Culture, Erce-Scly, 5-5 June 987. Eratosthenes,, Dermans, A. and Sansò, F., 007. On the Feasblty of Based Krgng. Presented at the XXIV IUGG Congress, Peruga X-X July 007 (to be publshed). 5. Grafarend, E. and Schaffrn, B., 993. Ausglechungs-rechnung n lnearen Modellen. Bblographsches Insttut Wssenschaftserlag, Mannhem. 6. Heskanen, W. and Mortz, H., 967. Physcal Geodesy. W. Freeman and Co., San Francsco. 7. Karup,., 969. A Contrbuton to the Mathematcal Foundaton of Physcal Geodesy. Geodaetsk Insttuts, Med. No. 44, Copenhagen. 8. Kolmogoro, A.N., 94. Interpolaton and extrapolaton of statonary random sequences. Izesta Akadem Nauk SSR, Sera Matematcheskaa, ol. 5, p ranslaton: Memo RM-3090-PR, Rand Corporaton, Santa Monca, Calforna, Krge, D. G., 95, A statstcal approach to some basc mne aluaton problems on the Wtwatersrand. J. Chem. Metal. Mn. Soc. South Afrca,. 5, p Matheron, G., 96, raté de geostatsque applquée, ol. I: Memores du Bureau de Recherches Géologques et Mnéres, no. 4, Edtons echnp, Pars, 333 pp.. Reguzzon, M., Sansò, F. and Venut, G., 005. he theory of general krgng, wth applcatons to the determnaton of a local geod. Geophys. J. Int., 6: Sansò, F., 978. he Mnmum Mean Square Estmaton Error Prncple n Physcal Geodesy (Stochastc and Non-Stochastc Interpretaton)". Proceedngs 7th Symposum on Mathematcal Geodesy, Assss, Wackernagel, H., 003. Multarate Geostatstcs. An Introducton wth Applcatons. 3rd completely resed edton. Sprnger-Verlag, Berln, Hedelberg. 4. Wener, N., 949. Extrapolaton, nterpolaton and smoothng of statonary tme seres: MI Press, Cambrdge, Massachusetts, 58 pp. 456 Μέρος ΙΙ: Η Γη