Η ΜΕΘΟ ΟΣ KRIGING ΑΠΟ ΤΗ ΣΚΟΠΙΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΡΟΓΝΩΣΗΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΠΕ ΙΩΝ Αθανάσιος ερµάνης

Transcript

1 Η ΜΕΘΟ ΟΣ KRIGING ΑΠΟ ΤΗ ΣΚΟΠΙΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΡΟΓΝΩΣΗΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΠΕ ΙΩΝ Αθανάσιος ερµάνης Τοµέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας, Α.Π.Θ. Πανεπιστηµιακή Θυρίδα 53, 5414 Θεσσαλονίκη Τηλ , eal: ιστοσελίδα: ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η µέθοδος krgng εξετάζεται κριτικά, τόσο από τη σκοπιά της κλασσικής θεωρίας πρόγνωσης τυχαίων πεδίων των Wener-Kologoro, όσο και από την πλευρά της πρόγνωσης στο πεπερασµένων διαστάσων στατιστικό µοντέλο των λεγοµένων τυχαίων ε- πιδράσεων. Αποδεικνύεται ότι το krgng ταυτίζεται µε την βέλτιστη οµογενή γραµµική ανεπηρέαστη πρόγνωση και ότι το κύριο χαρακτηριστικό του δεν είναι το ανεπηρέαστο unbased) της πρόγνωσης αλλά ο οµογενής γραµµικός της χαρακτήρας. Προς επίρρωση της τελευταίας παρατήρησης προσδιορίζονται οι σχέσεις για το επηρεασµένο based) krgng µε βάση την βέλτιστη µη οµογενή γραµµική ανεπηρέαστη πρόγνωση. KRIGING ΙN HE LIGH OF HE HEORY OF RANDOM FIELD PREDICION Athanasos Derans Departent of Geodes and Sureng, Arstotle Unerst of hessalonk Unerst Box 53, 5414 hessalonk Phone: , Eal: Web page: SUMMARY he ethod of krgng s crtcall exaned fro the ewpont of the classcal Wener-Kologoro predcton theor for rando felds, as well as fro the ewpont of the fnte-densonal statstcal rando effects odel. It s shown that ordnar krgng s dentcal wth the best hoogeneous lnear unbased predcton and that ts an characterstc s not the unbased predcton but rather ts hoogeneous lnear character a strctl lnear cobnaton of the obseratons wthout an addtonal constant). he last arguent s ephaszed b derng based krgng on the bass of best hoogeneous lnear predcton whch s based.

2 1. EIΣΑΓΩΓΗ Η µέθοδος krgng αναπτύχθηκε στις αρχές της δεκαετίας του 5 από το µηχανικό ορυχείων Krge 1951) µε σκοπό την πρόγνωση της περιεκτικότητας σε µετάλευµα µιας περιοχής εξόρυξης αξιοποιώντας µεµονωµένες µετρήσεις περιεκτικότητας σε συγεκρι- µένα σηµεία. Η περιεκτικότητα αυτή µοντελοποιείται ως µια στοχαστική συνάρτηση στις τρεις διαστάσεις, δηλαδή ως ένα τυχαίο πεδίο rando feld) σύµφωνα µε τη πιο σύγχρονη ορολογία. Ο γενικότερος χαρακτήρας του krgng ως µεθόδου πρόγνωσης ενός τυχαίου πεδίου αναγνωρίστηκε από τον Matheron 196) ο οποίος µελέτησε τα λεπτά µαθηµατικά προβλήµατα που σχετίζονται µε τον απειροδιάστατο χαρακτήρα του άγνωστου τυχαίου πεδίου. Έτσι αργότερα η µέθοδος βρήκε εφαρµογή και σε άλλα προβλήµατα πρόγνωσης όπως αυτά της υδρολογίας. Όµως παρόµοια προβλήµατα πρόγνωσης τυχαίων πεδίων ή στοχαστικών συναρτήσεων stochastc processes), όρος που επεκράτησε για συναρτήσεις του χρόνου, είχε ήδη µελετηθεί ανεξάρτητα τόσο από τον Kologoro 1941) όσο και από τον Wener 1949), ώστε να µπορούµε να µιλούµε για µία συγκροτηµένη θεωρία πρόγνωσης τυχαίων πεδίων των Wener-Kologoro. Στην γεωδαισία µια παρόµοια µέθοδος εισήχθηκε από τον Mortz Heskanen & Mortz, 1967) για την πρόγνωση του πεδίου βαρύτητας αλλά αναλύθηκε διεξοδικά από τον Krarup 1969), ο οποίος επιπλέον κατέδειξε τη σχέση µε το ντετερµινιστικό πρόβληµα παρεµβολής µιας αρµονικής συνάρτησης δυναµικού έλξης η οποία ανήκει σε ένα χώρο συναρτήσεων Hlbert µε αναπαραγωγό πυρήνα reproducng kernel). Η σχετική µεθοδολογία ονοµάστηκε σηµειακή προσαρµογή collocaton) ενώ οι ντετερµινιστικές της όψεις υπήρξαν αντικείµενο διεξοδικών ερευνών από τους Derans 1976), Sansò 1978), και άλλους. Παρά την παρουσία ενός απειροδιάστατου πεδίου σε κάθε εφαρµογή, το πρόβλη- µα µπορεί να αναχθεί σε ένα κλασσικό πρόβληµα στατιστικής πρόγνωσης, µε πεπερασµένες διαστάσεις, στα πλάισια του λεγοµένου µοντέλου τυχαίων επιδράσεων rando effects odel), επειδή ο αριθµός των δεδοµένων είναι πεπερασµένος αλλά και η ίδια η πρόγνωση του άγνωστου τυχαίου πεδίου µπορεί να αντιµετωπισθεί ως πρόβληµα πρόγνωσης µίας τιµής του σε οποιοδήποτε σηµείο του πεδίου ορισµού του. Παρ όλες τις οµοιότητες µε τη γενικότερη θεωρία πρόγνωσης των Wener- Kologoro η µέθοδος krgng έχει µια σηµαντική διαφορά, στο ότι χρησιµοποιεί τη συνάρτηση του µεταβολογράµµατος arogra) στη θέση της συνάρτησης συµµεταβλητότητας coarance functon) του σχετικού τυχαίου πεδίου. Από θεωρητική σκοπιά η επιλογή αυτή επεκτίνει την εφαρµοσιµότητα του krgng και σε τυχαία πεδία τα οποία διαθέτουν µεταβολόγραµµα αλλά όχι συνάρτηση συµµεταβλητότητας. Η ευρύτητα αυτή του πεδίου εφαρµογής είναι όµως ασήµαντη από πρακτική σκοπιά, όπου πλέον ση- µαντική είναι η δυνατότητα πρόγνωσης όταν το τυχαίο πεδίο έχει σταθερή µεν αλλά άγνωστη συνάρτηση µέσης τιµής, ενώ οι άλλες µέθοδοι προϋποθέτουν γνώση της σταθερής µέσης τιµής. Περιοριζόµαστε εδώ λόγω του περιορισµένου χώρου στο λεγόµενο κοινό krgng ordnar krgng) µε άγνωστη σταθερή µέση τιµή. Το πρόβληµα του «παγκόσµιου» krgng unersal krgng) όπου η άγνωστη µέση συνάρτηση είναι γραµµικός συνδυασµός γνωστών συναρτήσεων µε άγνωστους συντελεστές, αντιµετωπίζεται και αυτό στα πλαίσια της κλασσικής πεπερασµένων διαστάσεων στατιστικής µεθοδολογίας εκτί- µησης-πρόγνωσης στα πλαίσια του λεγοµένου µοντέλου µικτών επιδράσεων xed effects odel). H ουσία όµως των εδώ συγκρίσεων και συµπερασµάτων δεν χρειάζεται τη γενίκευση του «παγκόσµιου» krgng unersal krgng), το οποίο απλά οδηγεί σε κάπως πολυπλοκότερους αλγορίθµους, οι οποίοι όµως συνήθως) χρησιµοποιούν τη συνάρτηση συµµεταβλητότητας αντί του µεταβολογράµµατος. Περισσότερο δραστική είναι η γενικευση του ntrnsc krgng, το οποίο οδηγεί σε λύσεις ανεξάρτητες της ά-

3 γνωστης συνάρτησης µέσης τιµής αξιοποιώντας τη λεγόµενη γενικευµένη συνάρτηση συµµεταβλητότητας. Τέλος µια πρόσφατη γενίκευση είναι το γενικευµένο krgng generalzed krgng) των Reguzzon et al. 5), το οποίο επιτρέπει τη χρήση οποιωνδήποτε σχεδόν πραµατικών τιµών που σχετίζονται µε το άγνωστο πεδίο, τόσο ως παρατηρήσεων όσο και ως πρσοτήτων προς πρόγνωση, αρκεί αυτές να µπορούν να εκφραστούν ως γραµµικά συναρτησιακά του σχετικού πεδίου γραµµικές απεικονίσεις συναρτήσεων σε πραγµατικές τιµές). Από την εδώ σύγκριση στα πλαίσια του στατιστικού µοντέλου τυχαίων επιδράσεων, προκύπτει µια ακόµη γενίκευση, το «επηρεασµένο krgng» based krgng) η οποία έχει ήδη προταθεί από τους Derans & Sansò 7).. ΠΡΟΓΝΩΣΗ ΜΕ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΕΠΙ ΡΑΣΕΩΝ Το µοντέλο των τυχαίων επιδράσεων είναι ένα γραµµικό µοντέλο της µορφής = Gs +, όπου s είναι ένα διάνυσµα τυχαίων µεταβλητών µε γνωστή µέση τιµή E { s} = και γνωστό πίνακα συµµεταβλητότητας E{ s ) s ) } = C ss, είναι το διάνυσµα των τυχαίων σφαλµάτων της µέτρησης µε E { } = και E { } = C, G είναι ένας γνωστός πίνακας και είναι το τυχαίο διάνυσµα των παρατηρήσεων για το οποίο είναι διαθέσιµη µία δειγµατική τιµή ως αποτέλεσµα συγκεκριµένων µετρήσεων. Το πρόβληµα είναι η πρόγνωση δηλαδή η εκτίµηση της αντίστοιχης δειγµατικής τιµής) οποιασδήποτε τυχαίας µεταβλητής s µε γνωστή µεση τιµή E{ s } =, η οποία είναι συσχετισµένη µε τις τυχαίες µεταβλητές του µοντέλου, µέσω του γνωστου πίνακα διασυµµεταβλητότητας E{ s ) s )} = c s s. Η πρόγνωση χαρακτηρίζεται ως βέλτιστη best) όταν ικανοποιείται το κριτήριο της ελαχιστοποίησης του µέσου τετραγωνικού σφάλµατος E{ ε } = n, όπου s = s ) είναι η τιµή της πρόγνωσης και ε = s s το σφάλµα της πρόγνωσης. Η πρόγνωση είναι µια συνάρτηση s = s ) των γνωστών παρατηρήσεων, η οποία είναι κατά κανόνα γραµµική lnear) µε δύο δυνατές µορφές την οµογενή ho) γραµµική = d + s = d και την µη οµογενή γραµµική nho) s k. Επίσης οι προγνώσεις διακρίνονται σε ανεπηρέαστες unbased) για τις οποίες E{ s } = E{ s } και τις επηρεασµένες based) για τις οποίες δεν ισχύει ο περιορισµός αυτός. Με βάση τις παραπάνω δυνατότητες µπορούµε να διακρίνουµε τέσσαρεις τύπους βέλτιστης πρόγνωσης: - Βέλτιστη ανεπηρέαστη µη οµογενής πρόγνωση nhoblup = nhoogeneous Best Lnear Unbased Predcton) - Βέλτιστη ανεπηρέαστη οµογενής πρόγνωση hoblup = hoogeneous Best Lnear Unbased Predcton) - Βέλτιστη επηρεασµένη µη οµογενής πρόγνωση nhoblιp = nhoogeneous Best Lnear Predcton) - Βέλτιστη επηρεασµένη οµογενής πρόγνωση hoblιp = hoogeneous Best Lnear Predcton) Οι βέλτιστες τιµές των συντελεστών d, ή d και k, προσδιορίζονται ελαχιστοποιόντας τη συνάρτηση E{ ε } = φ d ), ή E{ ε } = φ d, k), απευθείας ή κάτω από τη συνθή- κη ανεπηρέαστη πρόγνωσης d G =, ή d G + k =. Με βάση τις τιµές των d και k που προκύπτουν, έχουµε τους παρακάτω τύπους πρόγνωσης:

4 nhoblup = nhoblip: s = + c GC G + C G 1) ss ss ) ) hoblup: = α + ss ss + ) α ) s c G GC G C G, hoblip: + ) α = G GC G C G G GCssG C ss + ) ) = α + ss ss + ) α ) s c G GC G C G, + ) α = 1 + G GC G + C ) G 3) G GCssG C ss Παρατηρούµε ότι οι παραπάνω εκτιµήσεις έχουν την ίδια ακριβώς µορφή µε διαφορετική µόνο την παράµετρο α, η οποία για την πρόγνωση nhoblup = nhoblip µπορεί να θεωρηθεί ότι έχει την τιµή α = 1. Στην περίπτωση µηδενικών µέσων τιµών =, = ) όλες οι παραπάνω προγνώσεις ταυτίζονται παίρνοντας την κοινή µορφή s = css G GCssG + C ). Στην περίπτωση της µη οµογενούς πρόγνωσης η ύπαρξη του σταθερού όρου k εξαφανίζει αυτόµατα την παρέκκλιση bas) και η σχετική πρόγνωση είναι ανεπηρέαστη, ακόµη και όταν αυτό δεν είναι µια από τις a pror απαιτήσεις. Έτσι ανεπηρέαστη και επηρεασµένη πρόγνωση ταυτίζονται. Oι οµογενείς προγνώσεις προτάθηκαν από τον Schaffrn Grafrend & Schaffrn, 1993) ως «ανθεκτικές» robust) εναλλακτικές λύσεις στη κλασσική µη οµογενή ανεπηρέαστη πρόγνωση, επειδή οι τελευταίες πολλαπλασιάζουν τις µέσες τιµές µε ένα συντελεστή α, ο οποίος εξαρτάται από τις παρατηρήσεις και κατά κάποιο τρόπο «προστατεύει» από λανθασµένες υποθέσεις σχεικά µε τις µέσες τιµές. Παρόµοιες και κατα τι γενικευµένες σχέσεις δόθηκαν και από τον Derans 1987) στα πλαίσια της κλασσικής µη οµογενούς ανεπηρέαστης πρόγνωσης, περιλαµβάνοντας τον συντελεστή α στο µοντέλο, είτε ως άγνωστη ντετερµινιστκή παράµετρο, είτε ως στοχαστική παράµετρο µε µέση τιµή 1 και γνωστή a pror µεταβλητότητα. 3. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗΝ ΠΡΟΓΝΩΣΗ ΤΥΧΑΙΩΝ ΠΕ ΙΩΝ Στην περίπωση ενός αγνώστου τυχαίου πεδίου u x ), όπου π.χ. x = [ x z] το διάνυσµα των καρτεσιανών συντεταγµένων, οι παρατηρήσεις έχουν τη µορφή = u x ) +, = 1,,..., n, δηλαδή παρατηρούνται οι τιµές u x ) του πεδίου σε n ση- µεία x µε πρόσθετα τυχαία σφάλµατα και ζητείται η πρόγνωση u x u x ) της τιµής του πεδίου u x ) σε οποιοδήποτε άλλο σηµείο x. Υποθέτουµε πως το τυχαίο πεδίο έχει σταθερή συνάρτηση µέση τιµής x) E{ u x )} = µ και γνωστή συνάρτηση συµµεταβλητότητας C x, x ) E{[ u x) µ ][ u x ) µ ]}. Για λόγους που σχετίζονται µε το σκοπό της σύγκρισης µε το krgng, υποθέτουµε επιπλέον πως η συνάρτηση µέσης τιµής είναι σταθερή, x ) = µ, υπόθεση η οποία προκύπτει υποχρεωτικά αν υποθέσουµε ότι το τυχαίο πεδίο είναι οµογενές, δηλαδή αν C x, x ) = C x + τ, x + τ ) για οποιαδήποτε µετατόπιση τ, οπότε επιλέγοντας

5 τ = x ) η συνάρτηση συµµεταβλητότητας είναι συνάρτηση µόνο της διαφοράς x x, δηλαδή έχει τη µορφή C x x ). Θέτοντας u u ) = x και C = C u x ), u x )), c C u ), u )) k k = x x, έχουµε το µοντέλο τυχαίων επιδράσεων = u +, το οποίο αντιστοιχεί στο γενικό µοντέλο = Gs + µε G = I, s = u, s = u x ) u x, Css = C, cs s = c, = µ, = µ s, όπου s = [ ]. Με τις αντικαταστάσεις αυτές οι σχετικές προγνώσεις γίνονται nhoblup = nhoblup: u = µ + c C + C µ s 4) x ) ) hoblup: ), ux = α µ + c C + C ) α µ s hoblip: ), ux = α µ + c C + C ) α µ s 1 + ) α = µ 1 s C C s C + C ) s µ s C + C ) α = 1 + µ s C + C ) s 5) 6) 4. Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΚRIGING ΩΣ ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΟΜΟΓΕΝΗΣ ΑΝΕΠΗΡΕΑΣΤΗ ΠΡΟΓΝΩΣΗ Όπως ήδη επισηµάνθηκε από τον Derans 1984), η µέθοδος krgng αντιστοιχεί στην βέλτιστη γραµµική οµογενή ανεπηρέαστη πρόγνωση hoblup), ενώ η σηµειακή προσαρµογή της γεωδαισίας στην βέλτιστη γραµµική µη οµογενή ανεπηρέαστη πρόγνωση nhoblup). Έτσι το κύριο χαρακτηριστικό του krgng είναι ο οµογενής γραµµικός χαρακτήρας και όχι ο ανεπηρέαστος χαρακτήρας της πρόγνωσης όπως κοινά πιστεύεται. Για να αποδείξουµε τον παραπάνω ισχυρισµό θα πρέπει να µεταφράσουµε το σχετικό αποτέλεσµα από τη «γλώσσα» της συνάρτησης συµµεταβλητότητας στη «γλώσσα» του µεταβολογράµµατος το οποίο ορίζεται ως γ 1 x, x ) = {[ ) )] } E u x u x 7) Στο krgng ισχύει η λεγόµενη εγγενής ntrnsc) υπόθεση ότι το µεταβολόγραµ- µα είναι συνάρτηση µόνο της µετατόπισης h = x x, η οποία είναι αντίστοιχη µε την υπόθεση της οµογενούς συµµεταβλητότητας C x, x ) = C x x ), οπότε γ h) = E{[ u x + h) u x)] } = E{ u x + h) } E{ u x + h) u x)} + E{ u x ) } = = C ) C h ) 8) Κάτω από την εγγενή υπόθεση της οµογένειας η µέση τιµή είναι υποχρεωτικά σταθερή. Εισάγοντας τους πίνακες µεταβολογράµµατος Γ, γ µε στοιχεία Γ = γ x x ), γ = γ x x ), αντίστοιχα και θέτοντας C C ), ισχύουν οι σχέσεις k k

6 µετατροπής C = Css Γ, c = Cs γ και οι αντίστροφες Γ = Css C, γ = Cs c. Για να δείξουµε την ταύτιση της µεθόδου krgng µε τη βέλτιστη οµογενή ανεπηρέαστη πρόγνωση θα ξεκινήσουµε από το πολύ κοινό «σύστηµα krgng» το οποίο έχει τη µορφή Γ C s λ γ = k 1 s 9) ή αναλυτικά Γ C ) λ + ks = γ, s λ = 1, 1) η λύση του οποίου ως προς λ οδηγεί στην krgng πρόγνωση u ˆ x) = λ. Αν αντικαταστήσουµε Γ = Css C, γ = Cs c, το σύστηµα krgng γίνεται s λ = 1 και C ss C C ) λ + ks = C ss λ C + C ) λ + ks = C s C + C ) λ + ks = C s c, ή απλά C + C ) λ ks = c, s λ = 1. 11) Η πρώτη σχέση δίνει δεύτερη δίνει λ = C + C c + s, το οποίο αν αντικατασταθεί στην ) k ) = + ) k ) ) k ) + = = 1 s λ s C C c s s C C c s C C s και κατά 1 s C + C ) c συνέπεια k =. Με την τιµή αυτή του k οι συντελεστές λ γίνονται s C + C ) s 1 s C + C ) c λ = C + C ) c + s) = C + C ) c + C + C ) s k s C + C ) s 1) και η αντίστοιχη πρόγνωση u ˆ x) = λ παίρνει τη µορφή 1 s C + C ) c uˆ x) = c C + C ) + s C + C ) = s C + C ) s s C + C ) s C + C ) = c C + C ) + c C + C ) s s C + C ) s s C + C ) s s C + C ) ) s C + C = + c C + C ) s s C + C ) s s C + C ) s 13) ή απλά uˆ ) = β + + ) β ) x c C C s, s C + C ) + ) β = s C C s. 14) Συγκρίνοντας µε τη σχέση 5) για την οµογενή βέλτιστη πρόγνωση, διαπιστώνου- µε ότι οι δύο µέθοδοι ταυτίζονται, αρκεί να αναγνωρίσουµε ότι β = α µ. Εποµένως το

7 κοινό krgng ordnar krgng) ταυτίζεται µε την οµογενή βέλτιστη πρόγνωση, προκει- µένου για τυχαία πεδία τα οποία διαθέτουν συνάρτηση µεταβλητότητας. Η ταύτιση αυτή δεν είναι απόλυτη για δύο λόγους: α) το krgng είναι κατά τι «γενικότερο» επειδή µπορεί να εφαρµοστεί σε τυχαία πεδία που διαθέτουν µεταβολόγραµµα αλλά όχι και συνάρτηση µεταβλητότητας. β) το krgng δεν απαιτεί γνώση της σταθερής µέσης τιµής µ του σχετικού οµογενούς τυχαίου πεδίου. Εκ πρώτης όψεως η δεύτερη παρατήρηση φαίνεται να µην ευσταθεί επειδή η παρουσία της µέσης τιµής µ στη σχέση 5) είναι εικονική, όπως εξάλλου φαίνεται από την ισοδύναµη σχέση 14) όπου το γινόµενο α µ έχει αντικατασταθεί από την παράµετρο β = α µ. Όµως η γνώση της τιµής µ σχετίζεται όχι µε την εφαρµογή της σχέσης πρόγνωσης, αλλά µε τον προσεγγιστικό προσδιορισµό του µεταβολογράµµατος γ h ) ή της συνάρτησης συµµεταβλητότητας C h ), κατά περίπτωση, µε βάση τις αντίστοιχες σχέσεις γ 1 h ) = {[ ) )] } E u x u x + h 15) C h) = E{[ u x) µ ][ u x + h ) µ ]} 16) Οι σχετικές προσεγγίσεις βασίζονται στον διαχωρισµό του πεδίου ορισµού D σε επικαλύπτοντα και ανεξάρτητα τµήµατα D D = D, D D = για ) και την προσέγγιση της γ h ) ή C h ) από βηµατικές συναρτήσεις µε σταθερές τιµές σε κάθε τµήµα D γ h) = γ, h D και C h) = C, h D ). Αν υποθέσουµε την παρουσία ασυσχέτιστων τυχαίων σφαλµάτων µε σταθερή µεταβλητότητα, E{ } = = σ δk, οι τιµές = u x ) +, µέσω των σχέσεων γ ή C προσεγγίζονται από τις τιµές των παρατηρήσεων k 1 ˆ γ + σ = ) k N xk x D 17) ˆ 1 C = µ ) k µ ) N xk x D 18) όπου Nο αριθµός των ζευγών σηµείων µε xk x D. Οι σχετικές εκτιµήσεις είναι ανεπηρέαστες, ισχύει δηλαδή ότι E{ ˆ γ } = γ και E{ Cˆ } = C. Για το µεταβολόγραµµα γ ) = εξ ορισµού, ενώ η αντίστοιχη τιµή C = C ) εκτιµάται από τη σχέση ˆ 1 C + σ = µ ) N x 19) E{ C ˆ } = C. µε

8 5. ΕΠΗΡΕΑΣΜΕΝΟ KRIGING Για να καταδείξουµε ότι το κύριο χαρακτηριστικό του krgng είναι ο οµογενής γραµµικός χαρακτήρας της πρόγνωσης και όχι ότι αυτή είναι ανεπηρέαστη, όπως συνήθως πιστεύεται, θα «µεταφράσουµε» τη βέλτιστη οµογενή γραµµική πρόγνωση 6) στη «γλώσσα» του krgng µέσω των σχέσεων C = Css Γ, c = Cs γ. Αντικαθιστώντας τους πίνακες C και c στη σχέση 6) µε τις παραπάνω τιµές, φθάνουµε, ύστερα από ε- κτεταµένους αλγεβρικούς µετασχηµατισµούς, στη σχέση για το επηρεασµένο krgng based krgng) ) ˆ x) = + γ Γ C ) s, u β β H ) β = H s Γ C ) s 1 s Γ C ) η οποία δεν περιέχει τη µέση τιµή µ, αλλά την παράµετρο H C + µ. Όµως η παρά- µετρος H, αν και περιέχει τη µέση τιµή µ, µπορεί να προσδιοριστεί απευθείας από της παρατηρήσεις, µέσω της σχέσης ˆ 1 H C = ˆ + σ = N x 1) όπου E{ Hˆ } = H, έχουµε δηλαδή µια ανεπηρέαστη εκτίµηση. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Derans, A., Probablstc and Deternstc Aspects of Lnear Estaton n Geodes. Report No. 44, Dep. of Geodetc Scence, he Oho State Unerst. Derans, A., Krgng and Collocaton - A Coparson. Manuscrpta Geodetca, ol. 9, no., Derans, A., Geodetc Applcatons of Interpolaton and Predcton. Internatonal School of Geodes "A. Maruss". 4th Course: "Appled and Basc Geodes: Present and Future rends". Ettore Majorana Centre for Scentfc Culture, Erce- Scl, 15-5 June Eratosthenes,, 9-6. Derans, A. and F. Sansò, 7. On the Feasblt of Based Krgng. Presented at the XXIV IUGG Congress, Peruga X-X Jul 7 to be publshed). Grafarend, E. and B. Schaffrn, Ausglechungs-rechnung n lnearen Modellen. Bblographsches Insttut Wssenschaftserlag, Mannhe. Heskanen W. and H. Mortz, Phscal Geodes. W. Freean and Co., San Francsco. Karup,., A Contrbuton to the Matheatcal Foundaton of Phscal Geodes. Geodaetsk Insttuts, Med. No. 44, Copenhagen. Kologoro, A.N., Interpolaton and extrapolaton of statonar rando sequences. Izesta Akade Nauk SSR, Sera Mateatcheskaa, ol. 5, p ranslaton: Meo RM-39-PR, Rand Corporaton, Santa Monca, Calforna, 196. Krge, D. G., 1951, A statstcal approach to soe basc ne aluaton probles on the Wtwatersrand. J. Che. Metal. Mn. Soc. South Afrca,. 5, p Matheron, G., 196, raté de geostatsque applquée, ol. I: Meores du Bureau de Recherches Géologques et Mnéres, no. 14, Edtons echnp, Pars, 333 pp.

9 Reguzzon, M., F. Sansò and G. Venut, 5. he theor of general krgng, wth applcatons to the deternaton of a local geod. Geophs. J. Int. 16, Sansò, F., he Mnu Mean Square Estaton Error Prncple n Phscal Geodes Stochastc and Non-Stochastc Interpretaton)". Proceedngs 7th Sposu on Matheatcal Geodes, Assss, Wackernagel, H., 3. Multarate Geostatstcs. An Introducton wth Applcatons. 3rd copletel resed edton. Sprnger-Verlag, Berln, Hedelberg. Wener, N., Extrapolaton, nterpolaton and soothng of statonar te seres: MI Press, Cabrdge, Massachusetts, 158 pp.