Η ΜΕΘΟ ΟΣ KRIGING ΑΠΟ ΤΗ ΣΚΟΠΙΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΡΟΓΝΩΣΗΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΠΕ ΙΩΝ Αθανάσιος ερµάνης
|
|
- Τιτάνια Δάβης
- 7 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Η ΜΕΘΟ ΟΣ KRIGING ΑΠΟ ΤΗ ΣΚΟΠΙΑ ΤΗΣ ΘΕΩΡΙΑΣ ΠΡΟΓΝΩΣΗΣ ΤΥΧΑΙΩΝ ΠΕ ΙΩΝ Αθανάσιος ερµάνης Τοµέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας, Α.Π.Θ. Πανεπιστηµιακή Θυρίδα 53, 5414 Θεσσαλονίκη Τηλ , eal: ιστοσελίδα: ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η µέθοδος krgng εξετάζεται κριτικά, τόσο από τη σκοπιά της κλασσικής θεωρίας πρόγνωσης τυχαίων πεδίων των Wener-Kologoro, όσο και από την πλευρά της πρόγνωσης στο πεπερασµένων διαστάσων στατιστικό µοντέλο των λεγοµένων τυχαίων ε- πιδράσεων. Αποδεικνύεται ότι το krgng ταυτίζεται µε την βέλτιστη οµογενή γραµµική ανεπηρέαστη πρόγνωση και ότι το κύριο χαρακτηριστικό του δεν είναι το ανεπηρέαστο unbased) της πρόγνωσης αλλά ο οµογενής γραµµικός της χαρακτήρας. Προς επίρρωση της τελευταίας παρατήρησης προσδιορίζονται οι σχέσεις για το επηρεασµένο based) krgng µε βάση την βέλτιστη µη οµογενή γραµµική ανεπηρέαστη πρόγνωση. KRIGING ΙN HE LIGH OF HE HEORY OF RANDOM FIELD PREDICION Athanasos Derans Departent of Geodes and Sureng, Arstotle Unerst of hessalonk Unerst Box 53, 5414 hessalonk Phone: , Eal: Web page: SUMMARY he ethod of krgng s crtcall exaned fro the ewpont of the classcal Wener-Kologoro predcton theor for rando felds, as well as fro the ewpont of the fnte-densonal statstcal rando effects odel. It s shown that ordnar krgng s dentcal wth the best hoogeneous lnear unbased predcton and that ts an characterstc s not the unbased predcton but rather ts hoogeneous lnear character a strctl lnear cobnaton of the obseratons wthout an addtonal constant). he last arguent s ephaszed b derng based krgng on the bass of best hoogeneous lnear predcton whch s based.
2 1. EIΣΑΓΩΓΗ Η µέθοδος krgng αναπτύχθηκε στις αρχές της δεκαετίας του 5 από το µηχανικό ορυχείων Krge 1951) µε σκοπό την πρόγνωση της περιεκτικότητας σε µετάλευµα µιας περιοχής εξόρυξης αξιοποιώντας µεµονωµένες µετρήσεις περιεκτικότητας σε συγεκρι- µένα σηµεία. Η περιεκτικότητα αυτή µοντελοποιείται ως µια στοχαστική συνάρτηση στις τρεις διαστάσεις, δηλαδή ως ένα τυχαίο πεδίο rando feld) σύµφωνα µε τη πιο σύγχρονη ορολογία. Ο γενικότερος χαρακτήρας του krgng ως µεθόδου πρόγνωσης ενός τυχαίου πεδίου αναγνωρίστηκε από τον Matheron 196) ο οποίος µελέτησε τα λεπτά µαθηµατικά προβλήµατα που σχετίζονται µε τον απειροδιάστατο χαρακτήρα του άγνωστου τυχαίου πεδίου. Έτσι αργότερα η µέθοδος βρήκε εφαρµογή και σε άλλα προβλήµατα πρόγνωσης όπως αυτά της υδρολογίας. Όµως παρόµοια προβλήµατα πρόγνωσης τυχαίων πεδίων ή στοχαστικών συναρτήσεων stochastc processes), όρος που επεκράτησε για συναρτήσεις του χρόνου, είχε ήδη µελετηθεί ανεξάρτητα τόσο από τον Kologoro 1941) όσο και από τον Wener 1949), ώστε να µπορούµε να µιλούµε για µία συγκροτηµένη θεωρία πρόγνωσης τυχαίων πεδίων των Wener-Kologoro. Στην γεωδαισία µια παρόµοια µέθοδος εισήχθηκε από τον Mortz Heskanen & Mortz, 1967) για την πρόγνωση του πεδίου βαρύτητας αλλά αναλύθηκε διεξοδικά από τον Krarup 1969), ο οποίος επιπλέον κατέδειξε τη σχέση µε το ντετερµινιστικό πρόβληµα παρεµβολής µιας αρµονικής συνάρτησης δυναµικού έλξης η οποία ανήκει σε ένα χώρο συναρτήσεων Hlbert µε αναπαραγωγό πυρήνα reproducng kernel). Η σχετική µεθοδολογία ονοµάστηκε σηµειακή προσαρµογή collocaton) ενώ οι ντετερµινιστικές της όψεις υπήρξαν αντικείµενο διεξοδικών ερευνών από τους Derans 1976), Sansò 1978), και άλλους. Παρά την παρουσία ενός απειροδιάστατου πεδίου σε κάθε εφαρµογή, το πρόβλη- µα µπορεί να αναχθεί σε ένα κλασσικό πρόβληµα στατιστικής πρόγνωσης, µε πεπερασµένες διαστάσεις, στα πλάισια του λεγοµένου µοντέλου τυχαίων επιδράσεων rando effects odel), επειδή ο αριθµός των δεδοµένων είναι πεπερασµένος αλλά και η ίδια η πρόγνωση του άγνωστου τυχαίου πεδίου µπορεί να αντιµετωπισθεί ως πρόβληµα πρόγνωσης µίας τιµής του σε οποιοδήποτε σηµείο του πεδίου ορισµού του. Παρ όλες τις οµοιότητες µε τη γενικότερη θεωρία πρόγνωσης των Wener- Kologoro η µέθοδος krgng έχει µια σηµαντική διαφορά, στο ότι χρησιµοποιεί τη συνάρτηση του µεταβολογράµµατος arogra) στη θέση της συνάρτησης συµµεταβλητότητας coarance functon) του σχετικού τυχαίου πεδίου. Από θεωρητική σκοπιά η επιλογή αυτή επεκτίνει την εφαρµοσιµότητα του krgng και σε τυχαία πεδία τα οποία διαθέτουν µεταβολόγραµµα αλλά όχι συνάρτηση συµµεταβλητότητας. Η ευρύτητα αυτή του πεδίου εφαρµογής είναι όµως ασήµαντη από πρακτική σκοπιά, όπου πλέον ση- µαντική είναι η δυνατότητα πρόγνωσης όταν το τυχαίο πεδίο έχει σταθερή µεν αλλά άγνωστη συνάρτηση µέσης τιµής, ενώ οι άλλες µέθοδοι προϋποθέτουν γνώση της σταθερής µέσης τιµής. Περιοριζόµαστε εδώ λόγω του περιορισµένου χώρου στο λεγόµενο κοινό krgng ordnar krgng) µε άγνωστη σταθερή µέση τιµή. Το πρόβληµα του «παγκόσµιου» krgng unersal krgng) όπου η άγνωστη µέση συνάρτηση είναι γραµµικός συνδυασµός γνωστών συναρτήσεων µε άγνωστους συντελεστές, αντιµετωπίζεται και αυτό στα πλαίσια της κλασσικής πεπερασµένων διαστάσεων στατιστικής µεθοδολογίας εκτί- µησης-πρόγνωσης στα πλαίσια του λεγοµένου µοντέλου µικτών επιδράσεων xed effects odel). H ουσία όµως των εδώ συγκρίσεων και συµπερασµάτων δεν χρειάζεται τη γενίκευση του «παγκόσµιου» krgng unersal krgng), το οποίο απλά οδηγεί σε κάπως πολυπλοκότερους αλγορίθµους, οι οποίοι όµως συνήθως) χρησιµοποιούν τη συνάρτηση συµµεταβλητότητας αντί του µεταβολογράµµατος. Περισσότερο δραστική είναι η γενικευση του ntrnsc krgng, το οποίο οδηγεί σε λύσεις ανεξάρτητες της ά-
3 γνωστης συνάρτησης µέσης τιµής αξιοποιώντας τη λεγόµενη γενικευµένη συνάρτηση συµµεταβλητότητας. Τέλος µια πρόσφατη γενίκευση είναι το γενικευµένο krgng generalzed krgng) των Reguzzon et al. 5), το οποίο επιτρέπει τη χρήση οποιωνδήποτε σχεδόν πραµατικών τιµών που σχετίζονται µε το άγνωστο πεδίο, τόσο ως παρατηρήσεων όσο και ως πρσοτήτων προς πρόγνωση, αρκεί αυτές να µπορούν να εκφραστούν ως γραµµικά συναρτησιακά του σχετικού πεδίου γραµµικές απεικονίσεις συναρτήσεων σε πραγµατικές τιµές). Από την εδώ σύγκριση στα πλαίσια του στατιστικού µοντέλου τυχαίων επιδράσεων, προκύπτει µια ακόµη γενίκευση, το «επηρεασµένο krgng» based krgng) η οποία έχει ήδη προταθεί από τους Derans & Sansò 7).. ΠΡΟΓΝΩΣΗ ΜΕ ΤΟ ΜΟΝΤΕΛΟ ΤΩΝ ΤΥΧΑΙΩΝ ΕΠΙ ΡΑΣΕΩΝ Το µοντέλο των τυχαίων επιδράσεων είναι ένα γραµµικό µοντέλο της µορφής = Gs +, όπου s είναι ένα διάνυσµα τυχαίων µεταβλητών µε γνωστή µέση τιµή E { s} = και γνωστό πίνακα συµµεταβλητότητας E{ s ) s ) } = C ss, είναι το διάνυσµα των τυχαίων σφαλµάτων της µέτρησης µε E { } = και E { } = C, G είναι ένας γνωστός πίνακας και είναι το τυχαίο διάνυσµα των παρατηρήσεων για το οποίο είναι διαθέσιµη µία δειγµατική τιµή ως αποτέλεσµα συγκεκριµένων µετρήσεων. Το πρόβληµα είναι η πρόγνωση δηλαδή η εκτίµηση της αντίστοιχης δειγµατικής τιµής) οποιασδήποτε τυχαίας µεταβλητής s µε γνωστή µεση τιµή E{ s } =, η οποία είναι συσχετισµένη µε τις τυχαίες µεταβλητές του µοντέλου, µέσω του γνωστου πίνακα διασυµµεταβλητότητας E{ s ) s )} = c s s. Η πρόγνωση χαρακτηρίζεται ως βέλτιστη best) όταν ικανοποιείται το κριτήριο της ελαχιστοποίησης του µέσου τετραγωνικού σφάλµατος E{ ε } = n, όπου s = s ) είναι η τιµή της πρόγνωσης και ε = s s το σφάλµα της πρόγνωσης. Η πρόγνωση είναι µια συνάρτηση s = s ) των γνωστών παρατηρήσεων, η οποία είναι κατά κανόνα γραµµική lnear) µε δύο δυνατές µορφές την οµογενή ho) γραµµική = d + s = d και την µη οµογενή γραµµική nho) s k. Επίσης οι προγνώσεις διακρίνονται σε ανεπηρέαστες unbased) για τις οποίες E{ s } = E{ s } και τις επηρεασµένες based) για τις οποίες δεν ισχύει ο περιορισµός αυτός. Με βάση τις παραπάνω δυνατότητες µπορούµε να διακρίνουµε τέσσαρεις τύπους βέλτιστης πρόγνωσης: - Βέλτιστη ανεπηρέαστη µη οµογενής πρόγνωση nhoblup = nhoogeneous Best Lnear Unbased Predcton) - Βέλτιστη ανεπηρέαστη οµογενής πρόγνωση hoblup = hoogeneous Best Lnear Unbased Predcton) - Βέλτιστη επηρεασµένη µη οµογενής πρόγνωση nhoblιp = nhoogeneous Best Lnear Predcton) - Βέλτιστη επηρεασµένη οµογενής πρόγνωση hoblιp = hoogeneous Best Lnear Predcton) Οι βέλτιστες τιµές των συντελεστών d, ή d και k, προσδιορίζονται ελαχιστοποιόντας τη συνάρτηση E{ ε } = φ d ), ή E{ ε } = φ d, k), απευθείας ή κάτω από τη συνθή- κη ανεπηρέαστη πρόγνωσης d G =, ή d G + k =. Με βάση τις τιµές των d και k που προκύπτουν, έχουµε τους παρακάτω τύπους πρόγνωσης:
4 nhoblup = nhoblip: s = + c GC G + C G 1) ss ss ) ) hoblup: = α + ss ss + ) α ) s c G GC G C G, hoblip: + ) α = G GC G C G G GCssG C ss + ) ) = α + ss ss + ) α ) s c G GC G C G, + ) α = 1 + G GC G + C ) G 3) G GCssG C ss Παρατηρούµε ότι οι παραπάνω εκτιµήσεις έχουν την ίδια ακριβώς µορφή µε διαφορετική µόνο την παράµετρο α, η οποία για την πρόγνωση nhoblup = nhoblip µπορεί να θεωρηθεί ότι έχει την τιµή α = 1. Στην περίπτωση µηδενικών µέσων τιµών =, = ) όλες οι παραπάνω προγνώσεις ταυτίζονται παίρνοντας την κοινή µορφή s = css G GCssG + C ). Στην περίπτωση της µη οµογενούς πρόγνωσης η ύπαρξη του σταθερού όρου k εξαφανίζει αυτόµατα την παρέκκλιση bas) και η σχετική πρόγνωση είναι ανεπηρέαστη, ακόµη και όταν αυτό δεν είναι µια από τις a pror απαιτήσεις. Έτσι ανεπηρέαστη και επηρεασµένη πρόγνωση ταυτίζονται. Oι οµογενείς προγνώσεις προτάθηκαν από τον Schaffrn Grafrend & Schaffrn, 1993) ως «ανθεκτικές» robust) εναλλακτικές λύσεις στη κλασσική µη οµογενή ανεπηρέαστη πρόγνωση, επειδή οι τελευταίες πολλαπλασιάζουν τις µέσες τιµές µε ένα συντελεστή α, ο οποίος εξαρτάται από τις παρατηρήσεις και κατά κάποιο τρόπο «προστατεύει» από λανθασµένες υποθέσεις σχεικά µε τις µέσες τιµές. Παρόµοιες και κατα τι γενικευµένες σχέσεις δόθηκαν και από τον Derans 1987) στα πλαίσια της κλασσικής µη οµογενούς ανεπηρέαστης πρόγνωσης, περιλαµβάνοντας τον συντελεστή α στο µοντέλο, είτε ως άγνωστη ντετερµινιστκή παράµετρο, είτε ως στοχαστική παράµετρο µε µέση τιµή 1 και γνωστή a pror µεταβλητότητα. 3. ΕΦΑΡΜΟΓΗ ΣΤΗΝ ΠΡΟΓΝΩΣΗ ΤΥΧΑΙΩΝ ΠΕ ΙΩΝ Στην περίπωση ενός αγνώστου τυχαίου πεδίου u x ), όπου π.χ. x = [ x z] το διάνυσµα των καρτεσιανών συντεταγµένων, οι παρατηρήσεις έχουν τη µορφή = u x ) +, = 1,,..., n, δηλαδή παρατηρούνται οι τιµές u x ) του πεδίου σε n ση- µεία x µε πρόσθετα τυχαία σφάλµατα και ζητείται η πρόγνωση u x u x ) της τιµής του πεδίου u x ) σε οποιοδήποτε άλλο σηµείο x. Υποθέτουµε πως το τυχαίο πεδίο έχει σταθερή συνάρτηση µέση τιµής x) E{ u x )} = µ και γνωστή συνάρτηση συµµεταβλητότητας C x, x ) E{[ u x) µ ][ u x ) µ ]}. Για λόγους που σχετίζονται µε το σκοπό της σύγκρισης µε το krgng, υποθέτουµε επιπλέον πως η συνάρτηση µέσης τιµής είναι σταθερή, x ) = µ, υπόθεση η οποία προκύπτει υποχρεωτικά αν υποθέσουµε ότι το τυχαίο πεδίο είναι οµογενές, δηλαδή αν C x, x ) = C x + τ, x + τ ) για οποιαδήποτε µετατόπιση τ, οπότε επιλέγοντας
5 τ = x ) η συνάρτηση συµµεταβλητότητας είναι συνάρτηση µόνο της διαφοράς x x, δηλαδή έχει τη µορφή C x x ). Θέτοντας u u ) = x και C = C u x ), u x )), c C u ), u )) k k = x x, έχουµε το µοντέλο τυχαίων επιδράσεων = u +, το οποίο αντιστοιχεί στο γενικό µοντέλο = Gs + µε G = I, s = u, s = u x ) u x, Css = C, cs s = c, = µ, = µ s, όπου s = [ ]. Με τις αντικαταστάσεις αυτές οι σχετικές προγνώσεις γίνονται nhoblup = nhoblup: u = µ + c C + C µ s 4) x ) ) hoblup: ), ux = α µ + c C + C ) α µ s hoblip: ), ux = α µ + c C + C ) α µ s 1 + ) α = µ 1 s C C s C + C ) s µ s C + C ) α = 1 + µ s C + C ) s 5) 6) 4. Η ΜΕΘΟ ΟΣ ΚRIGING ΩΣ ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΟΜΟΓΕΝΗΣ ΑΝΕΠΗΡΕΑΣΤΗ ΠΡΟΓΝΩΣΗ Όπως ήδη επισηµάνθηκε από τον Derans 1984), η µέθοδος krgng αντιστοιχεί στην βέλτιστη γραµµική οµογενή ανεπηρέαστη πρόγνωση hoblup), ενώ η σηµειακή προσαρµογή της γεωδαισίας στην βέλτιστη γραµµική µη οµογενή ανεπηρέαστη πρόγνωση nhoblup). Έτσι το κύριο χαρακτηριστικό του krgng είναι ο οµογενής γραµµικός χαρακτήρας και όχι ο ανεπηρέαστος χαρακτήρας της πρόγνωσης όπως κοινά πιστεύεται. Για να αποδείξουµε τον παραπάνω ισχυρισµό θα πρέπει να µεταφράσουµε το σχετικό αποτέλεσµα από τη «γλώσσα» της συνάρτησης συµµεταβλητότητας στη «γλώσσα» του µεταβολογράµµατος το οποίο ορίζεται ως γ 1 x, x ) = {[ ) )] } E u x u x 7) Στο krgng ισχύει η λεγόµενη εγγενής ntrnsc) υπόθεση ότι το µεταβολόγραµ- µα είναι συνάρτηση µόνο της µετατόπισης h = x x, η οποία είναι αντίστοιχη µε την υπόθεση της οµογενούς συµµεταβλητότητας C x, x ) = C x x ), οπότε γ h) = E{[ u x + h) u x)] } = E{ u x + h) } E{ u x + h) u x)} + E{ u x ) } = = C ) C h ) 8) Κάτω από την εγγενή υπόθεση της οµογένειας η µέση τιµή είναι υποχρεωτικά σταθερή. Εισάγοντας τους πίνακες µεταβολογράµµατος Γ, γ µε στοιχεία Γ = γ x x ), γ = γ x x ), αντίστοιχα και θέτοντας C C ), ισχύουν οι σχέσεις k k
6 µετατροπής C = Css Γ, c = Cs γ και οι αντίστροφες Γ = Css C, γ = Cs c. Για να δείξουµε την ταύτιση της µεθόδου krgng µε τη βέλτιστη οµογενή ανεπηρέαστη πρόγνωση θα ξεκινήσουµε από το πολύ κοινό «σύστηµα krgng» το οποίο έχει τη µορφή Γ C s λ γ = k 1 s 9) ή αναλυτικά Γ C ) λ + ks = γ, s λ = 1, 1) η λύση του οποίου ως προς λ οδηγεί στην krgng πρόγνωση u ˆ x) = λ. Αν αντικαταστήσουµε Γ = Css C, γ = Cs c, το σύστηµα krgng γίνεται s λ = 1 και C ss C C ) λ + ks = C ss λ C + C ) λ + ks = C s C + C ) λ + ks = C s c, ή απλά C + C ) λ ks = c, s λ = 1. 11) Η πρώτη σχέση δίνει δεύτερη δίνει λ = C + C c + s, το οποίο αν αντικατασταθεί στην ) k ) = + ) k ) ) k ) + = = 1 s λ s C C c s s C C c s C C s και κατά 1 s C + C ) c συνέπεια k =. Με την τιµή αυτή του k οι συντελεστές λ γίνονται s C + C ) s 1 s C + C ) c λ = C + C ) c + s) = C + C ) c + C + C ) s k s C + C ) s 1) και η αντίστοιχη πρόγνωση u ˆ x) = λ παίρνει τη µορφή 1 s C + C ) c uˆ x) = c C + C ) + s C + C ) = s C + C ) s s C + C ) s C + C ) = c C + C ) + c C + C ) s s C + C ) s s C + C ) s s C + C ) ) s C + C = + c C + C ) s s C + C ) s s C + C ) s 13) ή απλά uˆ ) = β + + ) β ) x c C C s, s C + C ) + ) β = s C C s. 14) Συγκρίνοντας µε τη σχέση 5) για την οµογενή βέλτιστη πρόγνωση, διαπιστώνου- µε ότι οι δύο µέθοδοι ταυτίζονται, αρκεί να αναγνωρίσουµε ότι β = α µ. Εποµένως το
7 κοινό krgng ordnar krgng) ταυτίζεται µε την οµογενή βέλτιστη πρόγνωση, προκει- µένου για τυχαία πεδία τα οποία διαθέτουν συνάρτηση µεταβλητότητας. Η ταύτιση αυτή δεν είναι απόλυτη για δύο λόγους: α) το krgng είναι κατά τι «γενικότερο» επειδή µπορεί να εφαρµοστεί σε τυχαία πεδία που διαθέτουν µεταβολόγραµµα αλλά όχι και συνάρτηση µεταβλητότητας. β) το krgng δεν απαιτεί γνώση της σταθερής µέσης τιµής µ του σχετικού οµογενούς τυχαίου πεδίου. Εκ πρώτης όψεως η δεύτερη παρατήρηση φαίνεται να µην ευσταθεί επειδή η παρουσία της µέσης τιµής µ στη σχέση 5) είναι εικονική, όπως εξάλλου φαίνεται από την ισοδύναµη σχέση 14) όπου το γινόµενο α µ έχει αντικατασταθεί από την παράµετρο β = α µ. Όµως η γνώση της τιµής µ σχετίζεται όχι µε την εφαρµογή της σχέσης πρόγνωσης, αλλά µε τον προσεγγιστικό προσδιορισµό του µεταβολογράµµατος γ h ) ή της συνάρτησης συµµεταβλητότητας C h ), κατά περίπτωση, µε βάση τις αντίστοιχες σχέσεις γ 1 h ) = {[ ) )] } E u x u x + h 15) C h) = E{[ u x) µ ][ u x + h ) µ ]} 16) Οι σχετικές προσεγγίσεις βασίζονται στον διαχωρισµό του πεδίου ορισµού D σε επικαλύπτοντα και ανεξάρτητα τµήµατα D D = D, D D = για ) και την προσέγγιση της γ h ) ή C h ) από βηµατικές συναρτήσεις µε σταθερές τιµές σε κάθε τµήµα D γ h) = γ, h D και C h) = C, h D ). Αν υποθέσουµε την παρουσία ασυσχέτιστων τυχαίων σφαλµάτων µε σταθερή µεταβλητότητα, E{ } = = σ δk, οι τιµές = u x ) +, µέσω των σχέσεων γ ή C προσεγγίζονται από τις τιµές των παρατηρήσεων k 1 ˆ γ + σ = ) k N xk x D 17) ˆ 1 C = µ ) k µ ) N xk x D 18) όπου Nο αριθµός των ζευγών σηµείων µε xk x D. Οι σχετικές εκτιµήσεις είναι ανεπηρέαστες, ισχύει δηλαδή ότι E{ ˆ γ } = γ και E{ Cˆ } = C. Για το µεταβολόγραµµα γ ) = εξ ορισµού, ενώ η αντίστοιχη τιµή C = C ) εκτιµάται από τη σχέση ˆ 1 C + σ = µ ) N x 19) E{ C ˆ } = C. µε
8 5. ΕΠΗΡΕΑΣΜΕΝΟ KRIGING Για να καταδείξουµε ότι το κύριο χαρακτηριστικό του krgng είναι ο οµογενής γραµµικός χαρακτήρας της πρόγνωσης και όχι ότι αυτή είναι ανεπηρέαστη, όπως συνήθως πιστεύεται, θα «µεταφράσουµε» τη βέλτιστη οµογενή γραµµική πρόγνωση 6) στη «γλώσσα» του krgng µέσω των σχέσεων C = Css Γ, c = Cs γ. Αντικαθιστώντας τους πίνακες C και c στη σχέση 6) µε τις παραπάνω τιµές, φθάνουµε, ύστερα από ε- κτεταµένους αλγεβρικούς µετασχηµατισµούς, στη σχέση για το επηρεασµένο krgng based krgng) ) ˆ x) = + γ Γ C ) s, u β β H ) β = H s Γ C ) s 1 s Γ C ) η οποία δεν περιέχει τη µέση τιµή µ, αλλά την παράµετρο H C + µ. Όµως η παρά- µετρος H, αν και περιέχει τη µέση τιµή µ, µπορεί να προσδιοριστεί απευθείας από της παρατηρήσεις, µέσω της σχέσης ˆ 1 H C = ˆ + σ = N x 1) όπου E{ Hˆ } = H, έχουµε δηλαδή µια ανεπηρέαστη εκτίµηση. ΒΙΒΛΙΟΓΡΑΦΙΑ Derans, A., Probablstc and Deternstc Aspects of Lnear Estaton n Geodes. Report No. 44, Dep. of Geodetc Scence, he Oho State Unerst. Derans, A., Krgng and Collocaton - A Coparson. Manuscrpta Geodetca, ol. 9, no., Derans, A., Geodetc Applcatons of Interpolaton and Predcton. Internatonal School of Geodes "A. Maruss". 4th Course: "Appled and Basc Geodes: Present and Future rends". Ettore Majorana Centre for Scentfc Culture, Erce- Scl, 15-5 June Eratosthenes,, 9-6. Derans, A. and F. Sansò, 7. On the Feasblt of Based Krgng. Presented at the XXIV IUGG Congress, Peruga X-X Jul 7 to be publshed). Grafarend, E. and B. Schaffrn, Ausglechungs-rechnung n lnearen Modellen. Bblographsches Insttut Wssenschaftserlag, Mannhe. Heskanen W. and H. Mortz, Phscal Geodes. W. Freean and Co., San Francsco. Karup,., A Contrbuton to the Matheatcal Foundaton of Phscal Geodes. Geodaetsk Insttuts, Med. No. 44, Copenhagen. Kologoro, A.N., Interpolaton and extrapolaton of statonar rando sequences. Izesta Akade Nauk SSR, Sera Mateatcheskaa, ol. 5, p ranslaton: Meo RM-39-PR, Rand Corporaton, Santa Monca, Calforna, 196. Krge, D. G., 1951, A statstcal approach to soe basc ne aluaton probles on the Wtwatersrand. J. Che. Metal. Mn. Soc. South Afrca,. 5, p Matheron, G., 196, raté de geostatsque applquée, ol. I: Meores du Bureau de Recherches Géologques et Mnéres, no. 14, Edtons echnp, Pars, 333 pp.
9 Reguzzon, M., F. Sansò and G. Venut, 5. he theor of general krgng, wth applcatons to the deternaton of a local geod. Geophs. J. Int. 16, Sansò, F., he Mnu Mean Square Estaton Error Prncple n Phscal Geodes Stochastc and Non-Stochastc Interpretaton)". Proceedngs 7th Sposu on Matheatcal Geodes, Assss, Wackernagel, H., 3. Multarate Geostatstcs. An Introducton wth Applcatons. 3rd copletel resed edton. Sprnger-Verlag, Berln, Hedelberg. Wener, N., Extrapolaton, nterpolaton and soothng of statonar te seres: MI Press, Cabrdge, Massachusetts, 158 pp.
Η Μέθοδος Kriging από τη Σκοπιά της Θεωρίας Πρόγνωσης Τυχαίων Πεδίων
Η Μέθοδος Krgng από τη Σκοπιά της Θεωρίας Πρόγνωσης Τυχαίων Πεδίων Α. Δερμάνης Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας, Α.Π.Θ. Πανεπιστημιακή Θυρίδα 503, 544 Θεσσαλονίκη Τηλ. 30-996, emal: dermans@topo.auth.gr,
Παρουσίαση 2 η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος 1 ο
Εφαρμογές Ανάλυσης Σήματος στη Γεωδαισία Παρουσίαση η : Αρχές εκτίμησης παραμέτρων Μέρος ο Βασίλειος Δ. Ανδριτσάνος Αναπληρωτής Καθηγητής Γεώργιος Χλούπης Επίκουρος Καθηγητής Τμήμα Μηχανικών Τοπογραφίας
Παρεμβολή & πρόγνωση άγνωστης συνάρτησης μέσω σημειακής προσαρμογής
Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2018-2019 Παρεμβολή & πρόγνωση άγνωστης συνάρτησης μέσω σημειακής προσαρμογής (Least squares collocation) Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων
Βέλτιστη παρεμβολή και πρόγνωση άγνωστης συνάρτησης με τη μέθοδο της σημειακής προσαρμογής
Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2016-2017 Βέλτιστη παρεμβολή και πρόγνωση άγνωστης συνάρτησης με τη μέθοδο της σημειακής προσαρμογής (Least squares collocation) Χριστόφορος
Στατιστική περιγραφή τουπεδίουβαρύτητας
Στατιστική περιγραφή τουπεδίουβαρύτητας ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ ΠΕΡΙΓΡΑΦΗ ΤΟΥ ΠΕ ΙΟΥ ΒΑΡΥΤΗΤΑΣ Οι ανωµαλίες της βαρύτητας σε παγκόσµια κλίµακα θεωρούνται στατιστικά µεγέθη µε µέση τιµή µηδέν Τα στατιστικά χαρακτηριστικά
ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ
ΤΟΠΟΓΡΑΦΙΚΑ ΔΙΚΤΥΑ ΚΑΙ ΥΠΟΛΟΓΙΣΜΟΙ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΥΝΟΡΘΩΣΕΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις,
Εντάξεις δικτύων GPS. 6.1 Εισαγωγή
6 Εντάξεις δικτύων GPS 6.1 Εισαγωγή Oι απόλυτες (X, Y, Z ή σχετικές (ΔX, ΔY, ΔZ θέσεις των σηµείων, έτσι όπως προσδιορίζονται από τις µετρήσεις GPS, αναφέρονται στο γεωκεντρικό σύστηµα WGS 84 (Wrld Gedetic
Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2016-2017 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών
Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2017-2018 Ανασκόπηση θεωρίας ελαχίστων τετραγώνων και βέλτιστης εκτίμησης παραμέτρων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων
EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων
EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων othig i atue is adom A thig
προβλήµατος Το φίλτρο Kalman διαφέρει από τα συνηθισµένα προβλήµατα ΜΕΤ σε δύο χαρακτηριστικά: παραµέτρων αγνώστων
Φίλτρα Kalman Εξαγωγή των εξισώσεων τους µε βάση το κριτήριο ελαχιστοποίησης της Μεθόδου των Ελαχίστων Τετραγώνων. Αναλυτικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Μεταπτυχιακό Πρόγραµµα ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ιατύπωση του
ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο 2
013 [Κεφάλαιο ] ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑ Κεφάλαιο Μάθημα Εαρινού Εξάμηνου 01-013 M.E. OE0300 Πανεπιστήμιο Θεσσαλίας Τμήμα Μηχανικών Χωροταξίας, Πολεοδομίας και Περιφερειακής Ανάπτυξης [Οικονομετρία 01-013] Μαρί-Νοέλ
Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση
Απλή Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Πωλήσεις, Δαπάνες Διαφήμισης και Αριθμός Πωλητών Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) Έτος Πωλήσεις (χιλ ) Διαφήμιση (χιλ ) Πωλητές (Άτομα) 98 050 6 3 989
EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ. Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων
EΦΑΡΜΟΓΕΣ ΤΗΣ ΨΗΦΙΑΚΗΣ ΕΠΕΞΕΡΓΑΣΙΑΣ ΣΗΜΑΤΩΝ Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Γραµµική Εκτίµηση Τυχαίων Σηµάτων FIR φίλτρα: Ορίζουµε
Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regression Analysis)
Μέρος V. Ανάλυση Παλινδρόμηση (Regresso Aalss) Βασικές έννοιες Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Πολλαπλή Παλινδρόμηση Εφαρμοσμένη Στατιστική Μέρος 5 ο - Κ. Μπλέκας () Βασικές έννοιες Έστω τ.μ. Χ,Υ όπου υπάρχει
Kεφάλαιο 4. Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων.
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήµατα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσµατικό πεδίο F: : F=F( r), όπου r = ( x, ) και Fr είναι η ταχύτητα στο σηµείο r πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουµε τις τροχιές
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΣΧΟΛΗ ΕΠΙΣΤΗΜΩΝ ΤΗΣ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 06-07 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutra@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε
Φίλτρα Kalman. Αναλυτικές μέθοδοι στη Γεωπληροφορική. ιατύπωση του βασικού προβλήματος. προβλήματος. μοντέλο. Πρωτεύων μοντέλο
Φίλτρα Kalman Εξαγωγή των εξισώσεων τους με βάση το κριτήριο ελαχιστοποίησης της Μεθόδου των Ελαχίστων Τετραγώνων. Αναλυτικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Μεταπτυχιακό Πρόγραμμα ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ ιατύπωση του
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΑΙΓΑΙΟΥ ΠΟΛΥΤΕΧΝΙΚΗ ΣΧΟΛΗ ΤΜΗΜΑ ΜΗΧΑΝΙΚΩΝ ΟΙΚΟΝΟΜΙΑΣ ΚΑΙ ΔΙΟΙΚΗΣΗΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ακαδ. Έτος 07-08 Διδάσκων: Βασίλης ΚΟΥΤΡΑΣ Επικ. Καθηγητής v.koutras@fme.aegea.gr Τηλ: 7035468 Θα μελετήσουμε
Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500
Εισόδημα Κατανάλωση 1500 500 1600 600 1300 450 1100 400 600 250 700 275 900 300 800 352 850 400 1100 500 Πληθυσμός Δείγμα Δείγμα Δείγμα Ο ρόλος της Οικονομετρίας Οικονομική Θεωρία Διατύπωση της
Περί ανώμαλων πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2017-2018 Περί ανώμαλων πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Ένα
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος
Ποσοτικές Μέθοδοι στη Διοίκηση Επιχειρήσεων ΙΙ Σύνολο- Περιεχόμενο Μαθήματος Χιωτίδης Γεώργιος Τμήμα Λογιστικής και Χρηματοοικονομικής Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
Stochastic Signals Class Estimation Theory. Andreas Polydoros University of Athens Dept. of Physics Electronics Laboratory
Stochastic Signals Class Estimation Theory Andreas Polydoros University of Athens Dept. of Physics Electronics Laboratory 1 Τι ειναι «Εκτιμηση» (Estimation)? Γενικο Πλαισιο: Θεωρια και Πραξη Συμπερασματων
ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ
ΤΕΙ ΚΕΝΤΡΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Σχολή Τεχνολογικών Εφαρμογών Τμήμα Πολιτικών Μηχανικών ΤΕ και Μηχανικών Τοπογραφίας & Γεωπληροφορικής ΤΕ κατεύθυνση Μηχανικών Τοπογραφίας και Γεωπληροφορικής ΤΕ Τοπογραφικά και
x y max(x))
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 0 Απλή Γραµµική Παλινδρόµηση Μωυσιάδης Χρόνης 6 o Εξάµηνο Μαθηµατικών Ένα Πρόβληµα εδοµένα.6 3. 3.8 4. 4.4 5.8 6.0 6.7 7. 7.8 y 5.6 7.9 8.0 8. 8. 9. 9.5 9.4 9.6 9.9 Έχει σχέση το yµε το ; Ειδικότερα
Περί ανώμαλων πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό Έτος 2018-2019 Περί ανώμαλων πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή, ΑΠΘ Ένα
ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ
ΘΕΩΡΙΑ ΟΙΚΟΝΟΜΕΤΡΙΑΣ ΣΥΝΟΠΤΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΑΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟΔΕΙΓΜΑ Συντελεστής συσχέτισης (εκτιμητής Person: r, Y ( ( Y Y xy ( ( Y Y x y, όπου r, Y (ισχυρή θετική γραμμική συσχέτιση όταν, ισχυρή αρνητική
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 2017-2018 Παρεμβολή και Παρεκβολή Εισαγωγή Ορισμός 6.1 Αν έχουμε στη διάθεσή μας τιμές μιας συνάρτησης
Αναγνώριση Προτύπων Ι
Αναγνώριση Προτύπων Ι Ενότητα 3: Στοχαστικά Συστήματα Αν. Καθηγητής Δερματάς Ευάγγελος Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες
Κεφάλαιο 1. Θεωρία Ζήτησης
Κεφάλαιο 1 Θεωρία Ζήτησης Στο κεφάλαιο αυτό υποθέτουµε ότι καταναλωτής εισέρχεται στην αγορά µε πλούτο w > 0 και επιθυµεί να τον ανταλλάξει µε διάνυσµα αγαθών x που να µεγιστοποιεί τις προτιµήσεις του.
HMY 799 1: Αναγνώριση Συστημάτων
HMY 799 : Αναγνώριση Συστημάτων Διάλεξη Γραμμική παλινδρόμηση (Linear regression) Εμπειρική συνάρτηση μεταφοράς Ομαλοποίηση (smoothing) Y ( ) ( ) ω G ω = U ( ω) ω +Δ ω γ ω Δω = ω +Δω W ( ξ ω ) U ( ξ) G(
ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ. Παπάνα Αγγελική
ΧΡΟΝΙΚΕΣ ΣΕΙΡΕΣ 7o Μάθημα: Απλή παλινδρόμηση (ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ) Παπάνα Αγγελική Μεταδιδακτορική ερευνήτρια, ΑΠΘ & ΠΑΜΑΚ E-mail: angeliki.papana@gmail.com, agpapana@auth.gr Webpage: http://users.auth.gr/agpapana
Μέθοδοι Μηχανών Μάθησης για Ευφυή Αναγνώριση και ιάγνωση Ιατρικών εδοµένων
Μέθοδοι Μηχανών Μάθησης για Ευφυή Αναγνώριση και ιάγνωση Ιατρικών εδοµένων Εισηγητής: ρ Ηλίας Ζαφειρόπουλος Εισαγωγή Ιατρικά δεδοµένα: Συλλογή Οργάνωση Αξιοποίηση Data Mining ιαχείριση εδοµένων Εκπαίδευση
Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες
Γιώργος Αλογοσκούφης, Θέµατα Δυναµικής Μακροοικονοµικής, Αθήνα 0 Παράρτηµα 3 Εξισώσεις Διαφορών και Στοχαστικές Διαδικασίες Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης των εξισώσεων
Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών. ε > υπάρχει ( ) ( )
Συνεχείς συναρτήσεις πολλών µεταβλητών 7 Η Ευκλείδεια απόσταση που ορίσαµε στον R επιτρέπει ( εκτός από τον ορισµό των ορίων συναρτήσεων και ακολουθιών και τον ορισµό της συνέχειας συναρτήσεων της µορφής
1 Πολυωνυµική Παρεµβολή
1 Πολυωνυµική Παρεµβολή εδοµένων n + 1 ανά δύο διαφορετικών σηµείων x o, x 1, x,..., x n και των αντίστοιχων συναρτησιακών τιµών y o = f(x o ), y 1 = f(x 1 ), y = f(x ),...,y n (x n ) επιθυµούµε να προσεγγίσουµε
Αυτοματοποιημένη χαρτογραφία
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑ ΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Αυτοματοποιημένη χαρτογραφία Ενότητα # 3: Αλγοριθμικές μέθοδοι παρεμβολής Ιωάννης Γ. Παρασχάκης Τμήμα Αγρονόμων & Τοπογράφων Μηχανικών
Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί
ΑΡΙΣΤΟΤΕΛΕΙΟ ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΘΕΣΣΑΛΟΝΙΚΗΣ ΑΝΟΙΧΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΙΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Τοπογραφικά Δίκτυα & Υπολογισμοί Ενότητα 2: Ανασκόπηση θεωρίας εκτίμησης παραμέτρων και συνόρθωσης παρατηρήσεων Χριστόφορος Κωτσάκης Άδειες
Το μοντέλο Perceptron
Το μοντέλο Perceptron Αποτελείται από έναν μόνο νευρώνα McCulloch-Pitts w j x x 1, x2,..., w x T 1 1 x 2 w 2 Σ u x n f(u) Άνυσμα Εισόδου s i x j x n w n -θ w w 1, w2,..., w n T Άνυσμα Βαρών 1 Το μοντέλο
Αξιολόγηση ακρίβειας στη συνόρθωση δικτύων (μέρος IΙ)
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο Ακαδημαϊκό Έτος 018-019 Αξιολόγηση ακρίβειας στη συνόρθωση δικτύων (μέρος IΙ Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή
Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ)
Η ΤΕΧΝΗ ΤΟΥ ΙΑΒΑΣΜΑΤΟΣ ΜΕΤΑΞΥ ΤΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ (ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΚΑΙ ΠΡΟΣΕΓΓΙΣΗ) ΜΙΧΑΛΗΣ ΤΖΟΥΜΑΣ ΕΣΠΟΤΑΤΟΥ 3 ΑΓΡΙΝΙΟ. ΠΕΡΙΛΗΨΗ Η έννοια της συνάρτησης είναι στενά συνυφασµένη µε τον πίνακα τιµών και τη γραφική παράσταση.
Κεφάλαιο 6. Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών και παραβολικών διαφορικών εξισώσεων
Κεφάλαιο 6 Εισαγωγή στη µέθοδο πεπερασµένων όγκων επίλυση ελλειπτικών παραβολικών διαφορικών εξισώσεων 6.1 Εισαγωγή Η µέθοδος των πεπερασµένων όγκων είναι µία ευρέως διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης
Μέθοδος αιχμηρής εκτίμησης σε ασταθή γραμμικά μοντέλα
Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 216-217 Μέθοδος αιχμηρής εκτίμησης σε ασταθή γραμμικά μοντέλα (Ridge regression) Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών
min f(x) x R n (1) x g (2)
KΕΦΑΛΑΙΟ Κλασσικές Μέθοδοι Βελτιστοποίησης Με Περιορισµούς Ισότητες. ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΜΕ ΠΕΡΙΟΡΙΣΜΟΥΣ ΙΣΟΤΗΤΕΣ Ζητούνται οι τιµές των µεταβλητών απόφασης που ελαχιστοποιούν την αντικειµενική συνάρτηση κάτω από
Ψηφιακός Έλεγχος. 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης. Ψηφιακός Έλεγχος 1
Ψηφιακός Έλεγχος 6 η διάλεξη Σχεδίαση στο χώρο κατάστασης Ψηφιακός Έλεγχος Μέθοδος μετατόπισης ιδιοτιμών Έστω γραμμικό χρονικά αμετάβλητο σύστημα διακριτού χρόνου: ( + ) = + x k Ax k Bu k Εφαρμόζουμε γραμμικό
Μέθοδος Σηµειακής Προσαρµογής Least Squares Collocation
Μέθοδος Σηµειακής Προσαρµογής Least Squares Collocation Αναλυτικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Μεταπτυχιακό Πρόγραµµα ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Το κλασσικό µοντέλο των έµµεσων παρατηρήσεων στη ΜΕΤ Με διαστάσεις -
Ανάλυση πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων σε παραμετρικές συνιστώσες
Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2017-2018 Ανάλυση πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων σε παραμετρικές συνιστώσες Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών
Μέθοδος Σηµειακής Προσαρµογής Least Squares Collocation
Μέθοδος Σηµειακής Προσαρµογής Least Squares Collocation Αναλυτικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Μεταπτυχιακό Πρόγραµµα ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Το βασικό µοντέλο LSC Το κλασσικό µοντέλο των έµµεσων παρατηρήσεων στη
Μέθοδος Σηµειακής Προσαρµογής Least Squares Collocation
Το βασικό µοντέλο LSC Μέθοδος Σηµειακής Προσαρµογής Least Squares Collocation Αναλυτικές Μέθοδοι στη Γεωπληροφορική Μεταπτυχιακό Πρόγραµµα ΓΕΩΠΛΗΡΟΦΟΡΙΚΗ Το κλασσικό µοντέλο των έµµεσων παρατηρήσεων στη
ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ
ΜΕΘΟΔΟΣ ΠΕΠΕΡΑΣΜΕΝΩΝ ΣΤΟΙΧΕΙΩΝ Βασίζεται στην εφαρμογή των παρακάτω βημάτων:. Το φυσικό πεδίο αναπαριστάται με ένα σύνολο απλών γεωμετρικών σχημάτων που ονομάζονται Πεπερασμένα Στοιχεία.. Σε κάθε στοιχείο
Kεφάλαιο 4. Συστήματα διαφορικών εξισώσεων. F : : F = F r, όπου r xy
4 Εισαγωγή Kεφάλαιο 4 Συστήματα διαφορικών εξισώσεων Εστω διανυσματικό πεδίο F : : F = Fr, όπου r x, και είναι η ταχύτητα στο σημείο πχ ενός ρευστού στο επίπεδο Εστω ότι ψάχνουμε τις τροχιές κίνησης των
Πεπερασμένες διαφορές για την ελλειπτική εξίσωση στις δύο διαστάσεις
Κεφάλαιο 9 Πεπερασμένες διαφορές για την ελλειπτική εξίσωση στις δύο διαστάσεις Σε αυτό το κεφάλαιο θεωρούμε μια απλή ελλειπτική εξίσωση, στις δύο διαστάσεις. Θα κατασκευάσουμε μεθόδους πεπερασμένων διαφορών
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 ΕΛΑΧΙΣΤΑ ΤΕΤΡΑΓΩΝΑ 6. Βέλτιστες προσεγγίσεις σε ευκλείδειους χώρους Στο κεφάλαιο αυτό θα ασχοληθούµε µε προσεγγίσεις που ελαχιστοποιούν αποστάσεις σε διανυσµατικούς χώρους, µε νόρµα που προέρχεται
Εφαρμοσμένη Στατιστική
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΙΩΑΝΝΙΝΩΝ ΑΝΟΙΚΤΑ ΑΚΑΔΗΜΑΪΚΑ ΜΑΘΗΜΑΤΑ Εφαρμοσμένη Στατιστική Παλινδρόμηση Διδάσκων: Επίκουρος Καθηγητής Κωνσταντίνος Μπλέκας Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης
x(t) 2 = e 2 t = e 2t, t > 0
ΠΑΝΕΠΙΣΤΗΜΙΟ ΚΡΗΤΗΣ Τµήµα Επιστήµης Υπολογιστών HY-215: Εφαρµοσµένα Μαθηµατικά για Μηχανικούς Εαρινό Εξάµηνο 216-17 ιδάσκοντες : Γ. Στυλιανού, Γ. Καφεντζής Λυµένες Ασκήσεις σε Σήµατα και Συστήµατα Ασκηση
Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών
Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 206 Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
Διαχείριση Υδατικών Πόρων
Εθνικό Μετσόβιο Πολυτεχνείο Διαχείριση Υδατικών Πόρων Γ.. Τσακίρης Μάθημα 3 ο Λεκάνη απορροής Υπάρχουσα κατάσταση Σενάριο 1: Μέσες υδρολογικές συνθήκες Σενάριο : Δυσμενείς υδρολογικές συνθήκες Μελλοντική
Κεφ. 3: Παρεμβολή. 3.1 Εισαγωγή. 3.2 Πολυωνυμική παρεμβολή Παρεμβολή Lagrange Παρεμβολή Newton. 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splines
Κεφ. 3: Παρεμβολή 3. Εισαγωγή 3. Πολυωνυμική παρεμβολή 3.. Παρεμβολή Lagrage 3.. Παρεμβολή Newto 3.3 Παρεμβολή με κυβικές splies 3.4 Μέθοδος ελαχίστων τετραγώνων 3.5 Παρεμβολή με ορθογώνια πολυώνυμα 3.
Experiments are the only means of knowledge. Anyother is poetry and imagination. M.Plank 2 ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ MAXWELL
ΚΥΜΑΤΙΚΗ-ΟΠΤΙΚΗ 7 xpeiments ae the only means o knowledge. Anyothe is poety and imagination. M.Plank 2 ΟΙ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΤΟΥ MAXWLL Σε µια πρώτη παρουσίαση του θέµατος δίνονται οι εξισώσεις του Maxwell στο
Ανάλυση πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων σε επιμέρους συνιστώσες
Ειδικά Θέματα Συνορθώσεων & Εφαρμογές 8 ο εξάμηνο, Ακαδημαϊκό έτος 2016-2017 Ανάλυση πινάκων συμ-μεταβλητοτήτων σε επιμέρους συνιστώσες Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική
Χωροστάθμηση με τα Παγκόσμια Συστήματα Προσδιορισμού Θέσης (GNSS)
Χωροστάθμηση με τα Παγκόσμια Συστήματα Προσδιορισμού Θέσης (GNSS) Δ. Ρωσσικόπουλος Τομέας Γεωδαισίας και Τοπογραφίας, Πολυτεχνική Σχολή, ΤΑΤΜ - ΑΠΘ. Περίληψη: Ένα από τα πιο ενδιαφέροντα θέματα στον τομέα
Οι ιδιότητες και οι µέθοδοι επίλυσης διαφορικών εξισώσεων παρουσιάζονται σε µία σειρά εγχειριδίων µαθηµατικών
Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 2015 Μαθηµατικό Παράρτηµα 1 Διαφορικές Εξισώσεις Στο µαθηµατικό αυτό παράρτηµα ορίζουµε και αναλύουµε την επίλυση απλών συστηµάτων γραµµικών διαφορικών
Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών. Διάλεξη 11
Πανεπιστήμιο Πατρών Τμήμα Ηλεκτρολόγων Μηχανικών και Τεχνολογίας Υπολογιστών Τομέας Συστημάτων και Αυτομάτου Ελέγχου ΠΡΟΣΑΡΜΟΣΤΙΚΟΣ ΕΛΕΓΧΟΣ Διάλεξη 11 Πάτρα 2008 Προσαρμοστικός LQ έλεγχος για μη ελαχίστης
2. Η τιµή της εκτιµήσεως της µεταβλητής στα σηµεία όπου υπάρχουν µετρήσεις να είναι η ίδια µε τη
ΜΕΘΟ ΟΙ ΧΩΡΙΚΗΣ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗΣ, ΒΕΛΤΙΣΤΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΠΡΟΧΩΡΗΜΕΝΕΣ ΓΕΩΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΜΕΘΟ ΟΙ Η παρεµβολή στο χώρο αποτελεί ένα σηµαντικό αντικείµενο µελέτης στη χαρτογραφία και σε όσους τοµείς της επιστήµης είναι
Μαθηµατικό Παράρτηµα 2 Εξισώσεις Διαφορών
Γιώργος Αλογοσκούφης, Δυναµική Μακροοικονοµική, Αθήνα 5 Μαθηµατικό Παράρτηµα Εξισώσεις Διαφορών Στο παράρτηµα αυτό εξετάζουµε τις ιδιότητες και τους τρόπους επίλυσης εξισώσεων διαφορών. Oι εξισώσεις διαφορών
ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ
ΑΠΟΤΥΠΩΣΕΙΣ - ΧΑΡΑΞΕΙΣ ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΘΕΩΡΙΑΣ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ Βασίλης Δ. Ανδριτσάνος Δρ. Αγρονόμος - Τοπογράφος Μηχανικός ΑΠΘ Επίκουρος Καθηγητής ΤΕΙ Αθήνας 3ο εξάμηνο http://eclass.teiath.gr Παρουσιάσεις, Ασκήσεις,
MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ Y= g( X1, X2,..., Xn)
MEΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΙ ΤΗΣ ΜΟΡΦΗΣ g( Έστω τυχαίες µεταβλητές οι οποίες έχουν κάποια από κοινού κατανοµή Ας υποθέσουµε ότι επιθυµούµε να προσδιορίσουµε την κατανοµή της τυχαίας µεταβλητής g( Η θεωρία των ένα-προς-ένα
Προσαρµοστικοί Αλγόριθµοι Υλοποίησης Βέλτιστων Ψηφιακών Φίλτρων: Ο αναδροµικός αλγόριθµος ελάχιστων τετραγώνων (RLS Recursive Least Squares)
ΒΕΣ 6 Προσαρµοστικά Συστήµατα στις Τηλεπικοινωνίες Προσαρµοστικοί Αλγόριθµοι Υλοποίησης Βέλτιστων Ψηφιακών Φίλτρων: Ο αναδροµικός αλγόριθµος ελάχιστων τετραγώνων RLS Rcrsiv Last Sqars 27 iclas sapatslis
Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων
Κεφάλαιο 4 Παρεµβολή και Προσέγγιση Συναρτήσεων 41 Παρεµβολή µε πολυώνυµο Lagrage Εστω ότι γνωρίζουµε τις τιµές µιας συνάρτησης f (x), f 0, f 1,, f ν σε σηµεία x 0, x 1,, x ν, και Ϲητάµε να υπολογίσουµε
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής
ΕΦΑΡΜΟΣΜΕΝΗ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ Ι Συμπληρωματικές Σημειώσεις Δημήτριος Παντελής ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΕΣ ΕΚΤΙΜΗΣΕΙΣ Οι συναρτήσεις πιθανότητας ή πυκνότητας πιθανότητας των διαφόρων τυχαίων μεταβλητών χαρακτηρίζονται από κάποιες
Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής. Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής
Ειδικά Θέµατα Υπολογιστικής Όρασης & Γραφικής Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης & Αθανάσιος Τσακαλίδης Πολυτεχνική Σχολή Τµήµα Μηχανικών Η/Υ & Πληροφορικής Μωσαϊκά-Συρραφή Εικόνων Εµµανουήλ Ζ. Ψαράκης Πολυτεχνική Σχολή
ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τμήμα Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής
ΤΕΙ ΔΥΤΙΚΗΣ ΜΑΚΕΔΟΝΙΑΣ Μεταπτυχιακό Τμήμα Τραπεζικής & Χρηματοοικονομικής Πολλαπλό Γραμμικό Υπόδειγμα Παλινδρόμησης Τα υποδείγματα του απλού γραμμικού υποδείγματος της παλινδρόμησης (simple linear regression
Δυναμική Μηχανών I. Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις. Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές
Δυναμική Μηχανών I Επίλυση Προβλημάτων Αρχικών Συνθηκών σε Συνήθεις 5 3 Διαφορικές Εξισώσεις με Σταθερούς Συντελεστές 2015 Δημήτριος Τζεράνης, Ph.D Τμήμα Μηχανολόγων Μηχανικών Ε.Μ.Π. tzeranis@gmail.com
Σηµειώσεις στις σειρές
. ΟΡΙΣΜΟΙ - ΓΕΝΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ Σηµειώσεις στις σειρές Στην Ενότητα αυτή παρουσιάζουµε τις βασικές-απαραίτητες έννοιες για την µελέτη των σειρών πραγµατικών αριθµών και των εφαρµογών τους. Έτσι, δίνονται συστηµατικά
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα
Τεχνολογικό Εκπαιδευτικό Ίδρυμα Σερρών Τμήμα Πληροφορικής & Επικοινωνιών Σήματα και Συστήματα Δρ. Δημήτριος Ευσταθίου Επίκουρος Καθηγητής ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ LAPLACE Αντίστροφος Μετασχηματισμός Laplace Στην
Άσκηση 1: Λύση: Για το άθροισμα ισχύει: κι επειδή οι μέσες τιμές των Χ και Υ είναι 0: Έτσι η διασπορά της Ζ=Χ+Υ είναι:
Άσκηση 1: Δύο τυχαίες μεταβλητές Χ και Υ έχουν στατιστικές μέσες τιμές 0 και διασπορές 25 και 36 αντίστοιχα. Ο συντελεστής συσχέτισης των 2 τυχαίων μεταβλητών είναι 0.4. Να υπολογισθούν η διασπορά του
Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, T ( ) μεταξύ τους ανεξάρτητα. Τότε
Η πολυδιάστατη κανονική κατανομή Ορίζουμε την τυπική πολυδιάστατη κανονική, σαν την κατανομή του τυχαίου (,, διανύσματος X X X ), όπου X ~ N (,) και όλα τα X μεταξύ τους ανεξάρτητα Τότε ( ) (,, ) (, )
Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrange
64 Ακρότατα υπό συνθήκη και οι πολλαπλασιαστές του Lagrage Ας υποθέσουµε ότι ένας δεδοµένος χώρος θερµαίνεται και η θερµοκρασία στο σηµείο,, Τ, y, z Ας υποθέσουµε ότι ( y z ) αυτού του χώρου δίδεται από
εξαρτάται από το θ και για αυτό γράφουµε την σ.π.π. στην εξής µορφή: ( θ, + ) θ θ n 2n (θ,+ ) 1, 0, x θ.
Άσκηση : Έστω Χ,,Χ τυχαίο δείγµα µεγέους από την κατανοµή µε σππ 3 p (,, >, > 0 α είξτε ότι η στατιστική συνάρτηση Τ( Χ : Χ ( m είναι επαρκής για την παράµετρο και πλήρης κ β Βρείτε ΑΕΕ του α Το στήριγµα
Αξιολόγηση ακρίβειας στη συνόρθωση δικτύων (μέρος IΙ)
Τοπογραφικά Δίκτυα και Υπολογισμοί 5 ο εξάμηνο Ακαδημαϊκό Έτος 017-018 Αξιολόγηση ακρίβειας στη συνόρθωση δικτύων (μέρος IΙ Χριστόφορος Κωτσάκης Τμήμα Αγρονόμων και Τοπογράφων Μηχανικών Πολυτεχνική Σχολή
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ
ΚΕΦΑΛΑΙΟ ΑΝΑΣΚΟΠΗΣΗ ΑΠΑΡΑΙΤΗΤΩΝ ΓΝΩΣΕΩΝ: ΕΚΤΙΜΗΤΕΣ Ως γνωστό δείγμα είναι ένα σύνολο παρατηρήσεων από ένα πληθυσμό. Αν ο πληθυσμός αυτός θεωρηθεί μονοδιάστατος τότε μπορεί να εκφρασθεί με τη συνάρτηση
Γραµµική Άλγεβρα. Εισαγωγικά. Μέθοδος Απαλοιφής του Gauss
Γραµµική Άλγεβρα Εισαγωγικά Υπάρχουν δύο βασικά αριθµητικά προβλήµατα στη Γραµµική Άλγεβρα. Το πρώτο είναι η λύση γραµµικών συστηµάτων Aλγεβρικών εξισώσεων και το δεύτερο είναι η εύρεση των ιδιοτιµών και
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ ΜΕΡΟΣ ΠΡΩΤΟ: ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 11 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 13 ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΑΣ 20 2.1 Αβεβαιότητα, Τυχαία Διαδικασία, και Συναφείς Έννοιες 20 2.1.1 Αβεβαιότητα
Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο κατάστασης
ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος ΚΕΣ Αυτόµατος Έλεγχος Ανάλυση Σ.Α.Ε στο χώρο 6 Nicola Tapaouli Λύση εξισώσεων ΚΕΣ : Αυτόµατος Έλεγχος Βιβλιογραφία Ενότητας Παρασκευόπουλος [4]: Κεφάλαιο 5: Ενότητες 5.-5. Παρασκευόπουλος
9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση
9. Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Παλινδρόμηση και Συσχέτιση Υπάρχει σχέση ανάμεσα σε δύο ή περισσότερες μεταβλητές; Αν ναι, ποια είναι αυτή η σχέση; Πως μπορεί αυτή η σχέση να χρησιμοποιηθεί για να προβλέψουμε
Αριθµητική Ανάλυση. ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης. 21 εκεµβρίου 2015 ΕΚΠΑ
Αριθµητική Ανάλυση Κεφάλαιο 9. Αριθµητική Παραγώγιση ιδάσκοντες: Τµήµα Α ( Αρτιοι) : Καθηγητής Ν. Μισυρλής, Τµήµα Β (Περιττοί) : Επίκ. Καθηγητής Φ.Τζαφέρης ΕΚΠΑ 21 εκεµβρίου 2015 ιδάσκοντες:τµήµα Α ( Αρτιοι)
Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών
Τίτλος Μαθήματος: Γραμμική Άλγεβρα Ι Ενότητα: Πράξεις επί Συνόλων και Σώµατα Αριθµών Διδάσκων: Καθηγητής Νικόλαος Μαρμαρίδης Τμήμα: Μαθηματικών Κεφάλαιο 1 Εισαγωγη : Πραξεις επι Συνολων και Σωµατα Αριθµων
Μ8 Η µερική παράγωγος
Μ8 Η µερική παράγωγος Βιβλιογραφία Ι S Sokolnikoff και R M Redheffer, Μαθηµατικά για Φυσικούς και Μηχανικούς (Πανεπιστηµιακές Εκδόσεις ΕΜΠ, Αθήνα, 1 Κεφ 5 M R Spiegel, Ανώτερα Μαθηµατικά (ΕΣΠΙ, Αθήνα 198
Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση. Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα
Τμήμα Διοίκησης Επιχειρήσεων (Γρεβενά) Μάθημα: Οικονομετρία Διάλεξη 2η: Απλή Γραμμική Παλινδρόμηση Διδάσκουσα: Κοντογιάννη Αριστούλα Πώς συσχετίζονται δυο μεταβλητές; Ένας απλός τρόπος για να αποκτήσουμε
[1] είναι ταυτοτικά ίση με το μηδέν. Στην περίπτωση που το στήριγμα μιας συνάρτησης ελέγχου φ ( x)
[] 9 ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΟΙ ΧΩΡΟΙ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΣ FOURIER Η «συνάρτηση» δέλτα του irac Η «συνάρτηση» δέλτα ορίζεται μέσω της σχέσης φ (0) αν 0 δ[ φ ] = φ δ dx = (9) 0 αν 0 όπου η φ είναι μια συνάρτηση που ανήκει
Μετασχηματισμοί Laplace
Μετασχηματισμοί Laplace Ιδιότητες μετασχηματισμών Laplace Βασικά ζεύγη μετασχηματισμών Laplace f(t) F(s) δ(t) 1 u(t) 1 / s t 1 / s 2 t n n! / s n1 e αt, α>0 1 / (s α) te αt, α>0 1 / (s α) 2 ημωt ω / (s
x 2,, x Ν τον οποίον το αποτέλεσμα επηρεάζεται από
Στη θεωρία, θεωρία και πείραμα είναι τα ΘΕΩΡΙΑ ΣΦΑΛΜΑΤΩΝ... υπό ισχυρή συμπίεση ίδια αλλά στο πείραμα είναι διαφορετικά, A.Ensten Οι παρακάτω σημειώσεις περιέχουν τα βασικά σημεία που πρέπει να γνωρίζει
ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ
ΜΕΡΟΣ ΙΙ ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ 36 ΜΟΝΤΕΛΟΠΟΙΗΣΗ ΔΙΑΚΡΙΤΩΝ ΕΝΑΛΛΑΚΤΙΚΩΝ ΣΕ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΧΕΔΙΑΣΜΟΥ ΚΑΙ ΣΥΝΘΕΣΗΣ ΔΙΕΡΓΑΣΙΩΝ Πολλές από τις αποφάσεις
Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης
Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης Εισαγωγή Αριθμητική Ολοκλήρωση της Εξίσωσης Κίνησης: Δ18- Η δυναμική μετατόπιση u(t) είναι δυνατό να προσδιοριστεί με απ ευθείας αριθμητική ολοκλήρωση της εξίσωσης
Γραµµικοί Ταξινοµητές
ΚΕΣ 3: Αναγνώριση Προτύπων και Ανάλυση Εικόνας KEΣ 3 Αναγνώριση Προτύπων και Ανάλυση Εικόνας Γραµµικοί Ταξινοµητές ΤµήµαΕπιστήµης και Τεχνολογίας Τηλεπικοινωνιών Πανεπιστήµιο Πελοποννήσου 7 Ncolas sapatsouls
Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για τον «Επιστηµονικό Υπολογισµό» Χειµερινό εξάµηνο Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Αιγαίου
Τελευταία ενηµέρωση: 4 Ιανουαρίου 8 Συµπληρωµατικές σηµειώσεις για τον «Επιστηµονικό Υπολογισµό» Χειµερινό εξάµηνο 6-7 -- Τµήµα Μαθηµατικών, Πανεπιστήµιο Αιγαίου Οδηγίες για την 6 η άσκηση της 6 ης εργασίας
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές
Αριθμητική Ανάλυση και Εφαρμογές Διδάσκων: Δημήτριος Ι. Φωτιάδης Τμήμα Μηχανικών Επιστήμης Υλικών Ιωάννινα 07-08 Αριθμητική Παραγώγιση Εισαγωγή Ορισμός 7. Αν y f x είναι μια συνάρτηση ορισμένη σε ένα διάστημα
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ. Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4
ΘΕΩΡΙΑ ΑΡΙΘΜΩΝ Τµηµα Β Λυσεις Ασκησεων - Φυλλαδιο 4 ιδασκων: Α. Μπεληγιάννης Ιστοσελιδα Μαθηµατος : http://users.uoi.gr/abeligia/numbertheory/nt2016/nt2016.html Πέµπτη 10 Νοεµβρίου 2016 Ασκηση 1. Να ϐρεθούν
Χ. Εμμανουηλίδης, 1
Εφαρμοσμένη Στατιστική Έρευνα Απλό Γραμμικό Υπόδειγμα AΠΛΟ ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΥΠΟ ΕΙΓΜΑ Δρ. Χρήστος Εμμανουηλίδης Αν. Καθηγητής Αριστοτέλειο Πανεπιστήμιο Θεσσαλονίκης Εφαρμοσμένη Στατιστική, Τμήμα Ο.Ε. ΑΠΘ Χ. Εμμανουηλίδης,