qwφιertyuiopasdfghjklzxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklzxcvbn mqwertyuiopasdfghjklzxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj

Transcript

1 qwφιertyuiopasdfghjklxερυυξnmηq σwωψerβνtyuςiopasdρfghjklxcvbn mqwertyuiopasdfghjklxcvbnφγιmλι qπςπζαwωeτrtνyuτioρνμpκaλsdfghςj ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ klxcvλοπbnαmqwertyuiopasdfghjkl Τάξη : Γ Λυκείου xcvbnmσγqwφertyuioσδφpγρaηsόρ ΦΥΛΛΑΔΙΟ : ΜΙΓΑΔΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 9ο ΓΕΝΙΚΟ ΛΥΚΕΙΟ ΑΘΗΝΩΝ ωυdfghjργklαxcvbnβφδγωmζqwert λκοθξyuiύασφdfghjklxcvbnmqwerty uiopaβsdfghjklxcεrυtγyεuνiιoαpasdf ghjklxcηvbnασφδmqwertασδyuiopa sdfασδφγθμκxcvυξσφbnmσφγqwθeξ τσδφrtyuφγςοιopaασδφsdfghjklxcv ασδφbnγμ,mqwertyuiopasdfgασργκο ϊτbnmqwertyσδφγuiopasσδφγdfghjk lxσδδγσφγcvbnmqwertyuioβκσλπp asdfghjklxcvbnmqwertyuiopasdγαε ορlxcvbnmqwertyuiopasdfghjkαεργ αεργαγρqwertyuiopasdfghjklxασδφ mοιηξηωχψφσuioψασεφγvbnmqwer tyuiopasdfghjklxcvbnmqwertyuiopσ

2 ο Κεφάλαιο : Μιγαδικοί αριθμοί i w 5 4i Να λύσετε το σύστημα : w (Απ i, w i ) Να λύσετε στο σύνολο C των μιγαδικών αριθμών την εξίσωση (Απ = ή = - ή =i ή = -i) Να βρείτε τους φυσικούς αριθμούς ν για τους οποίους ισχύει (Απ ν=4λ+, λν * ) i 4 Έστω C με Re()0 και Im()0 Να δείξετε ότι ο αριθμός w = 00 είναι πραγματικός αν και μόνο αν Re() = 5 Να βρείτε την ελάχιστη τιμή του φυσικού αριθμού ν για την οποία ισχύει ( 0i) (0 i) 0 (Απ ν=) 6 Αν ο αριθμός ( i) ( i) είναι φανταστικός 7 Να βρείτε το άθροισμα i i i ν ν ( ) i i i (Απ S ), κ R, είναι πραγματικός, να δείξετε ότι ο αριθμός ν-, νν * 8 Αν για το μιγαδικό αριθμό ισχύει α) β) Να δείξετε ότι w 0, να δείξετε ότι : w αν και μόνο αν w w 0 Αν, w C με και κάθε θ R w, να δείξετε ότι w 7 για 7 - Αν =+i και f () =, να δείξετε ότι = f () -

3 Αν για το μιγαδικό αριθμό ισχύει η σχέση 4 Re( ) Αν να δείξετε ότι, να δείξετε ότι 4 Αν η εικόνα του μιγαδικού αριθμού ανήκει στον κύκλο C με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνας ρ=, να δείξετε ότι : + i α) η εικόνα του μιγαδικού αριθμού w =, -i ανήκει επίσης στον κύκλο - i + C με κέντρο Ο(0,0) και ακτίνα ρ= - w β) Ο αριθμός u =, w είναι πραγματικός - w + w γ) Ο αριθμός v =, w είναι φανταστικός - w 5 Αν για το μιγαδικό αριθμό ισχύει η σχέση i 4 και την ελάχιστη τιμή της παράστασης Α= (Απ Αmin=, Amax=9) i, να βρείτε τη μέγιστη 6 Δίνονται οι μιγαδικοί για τους οποίους ισχύει (+4i)+4-i =0 Να βρείτε το ελάχιστο και το μέγιστο της παράστασης Α = i-+i, καθώς και τους αριθμούς, που αντιστοιχούν στο ελάχιστο και το μέγιστο αντίστοιχα, της παράστασης Α (Απ Αmin=, Amax= ) 7 Δίνονται οι μιγαδικοί αριθμοί, w για τους οποίους ισχύει 4 w 4i Α= w και Να βρείτε τη μέγιστη και την ελάχιστη τιμή της παράστασης (Απ Αmin=, Amax= 7 ) 8 Έστω, C * και Α, Β, Γ οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών w, w και w i αντίστοιχα Να αποδείξετε ότι το τρίγωνο ΑΒΓ είναι ισόπλευρο 9 Έστω, C * με α) Αν Α είναι η εικόνα του και Β η εικόνα του, να δείξετε ότι το τρίγωνο ΟΑΒ είναι ισόπλευρο, όπου Ο(0,0) 0 0 β) Να δείξετε ότι

4 π 0 Δίνεται η εξίσωση : - (εφθ) + = 0, (0, ) 4 θ α) Να δείξετε ότι οι ρίζες της εξίσωσης αυτής είναι μη πραγματικοί αριθμοί β) Έστω, οι ρίζες της παραπάνω εξίσωσης Αν ισχύει να βρείτε την τιμή της εφθ και τις ρίζες, (Απ α) 4( ) 0 β) + 6 6, i, i ) Θεωρούμε το μιγαδικό αριθμό όπου =4 και το μιγαδικό w με w= α) να βρείτε το w β) αν wr, να βρείτε τον πραγματικό αριθμό λ, ώστε ο ( w + (Απ α) w β) 4) λ w = ) R + Να αναλύσετε το μιγαδικό αριθμό =+i σε άθροισμα δύο άλλων μιγαδικών, των οποίων οι εικόνες βρίσκονται στις ευθείες y=x- και y=x- 7 (Απ i και i ) Έστω, w C τέτοιοι ώστε w 0 α) w w Να δείξετε ότι : β) το τετράπλευρο ΟΑΓΒ είναι τετράγωνο όπου Ο(0,0), Α η εικόνα του, B η εικόνα του w και Γ η εικόνα του +w 4 Έστω, w C Να δείξετε ότι w w w 5 Έστω,, C τέτοιοι ώστε δείξετε ότι Re Re 0, κ>0 και ++ 0 Να 6 Έστω,, C τέτοιοι ώστε ++ = 0 και 0 ότι 7 Έστω,, C με δείξετε ότι Να δείξετε =, ++ 0 και 0 Να 8 Έστω,, C με δείξετε ότι ++ = 0, και Να 4

5 9 Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών για τους οποίους ισχύει : α) i 5i β) 4 x y 4 (Απ α) x+y+4=0 β), x ) Αν για το μιγαδικό ισχύει, να αποδείξετε ότι η εικόνα του ανήκει σε έλλειψη w Δίνεται η εξίσωση + (x -) - (y -) = 0 όπου C R Αν ισχύει των σημείων Μ(x,y) (Απ παραβολή με εξίσωση ) όπου x,y R με ρίζα τον αριθμό Re(, να βρείτε το γεωμετρικό τόπο y x ) Έστω, w C έτσι ώστε w και w = ++wi Να βρείτε το γεωμε- τρικό τόπο των εικόνων των μιγαδικών (Απ y = - x) α) Να βρείτε τους μιγαδικούς αριθμούς για τους οποίους ισχύουν ταυτόχρονα i 5 οι σχέσεις : i β) Να βρείτε το εμβαδόν της επιφάνειας των σημείων που είναι εικόνες των μιγαδικών αριθμών για τους οποίους ισχύουν ταυτόχρονα οι σχέσεις : i 5 i (Απ α) i, i β) π-) 4 Θεωρούμε το μιγαδικό αριθμό α) Να δείξετε ότι 0 β) Να βρείτε το γεωμετρικό τόπο των εικόνων του όταν 0 γ) Αν οι εικόνες των μιγαδικών αριθμών, ανήκουν στο γεωμετρικό τόπο του ερωτήματος (β) και επιπλέον ισχύει 6, να δείξετε ότι (Απ β) Κύκλος με κέντρο Κ(,0) και ακτίνα R=) y x 5 Θεωρούμε την υπερβολή C : - = 9 6 και το μιγαδικό =α+βi με α, β R Να δείξετε ότι η εικόνα Μ() ανήκει στην υπερβολή (C) αν και μόνο αν : 5 7 5

6 6 Δίνεται η συνάρτηση f (), με C και i Αν ισχύει ότι i ( i)(i ) ( ) 0, να δείξετε ότι : α) f ( i) 64 β) f () γ) η εικόνα του μιγαδικού αριθμού ανήκει σε κύκλο κέντρου Κ(-,) και ακτίνας ρ= 6