Drepte concurente în conexiune cu punctele I, Γ, N Temistocle Bîrsan 1

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Drepte concurente în conexiune cu punctele I, Γ, N Temistocle Bîrsan 1"

Κάρμη Γαλάνη
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 rete concurente în conexiune cu unctele I, Γ, Temistocle îrsan 1 1 otaţii şi teoreme utilizate ie un triunghi oarecare otăm cu,, unctele de tangenţă a cercului înscris (I, r) la dretele, şi resectiv u a, a, a notăm unctele de tangenţă a cercului exînscris (I a, r a ) cu aceleaşi drete; notaţii similare relativ la cercurile exînscrise (I b, r b ) şi (I c, r c ) ai notăm cu L a, L b, L c icioarele bisectoarelor interioare ale unghiurilor b,ò şi resectivò e ştie că unctul lui Gergonne (notat Γ) este unctul de concurenţă a dretelor, şi (numite ceviene Gergonne), iar unctul lui agel (notat ) este unctul de concurenţă a dretelor a, b şi c (cevienele agel) În sfârşit, unctul Γ a -unul dintre cele trei uncte Gergonne adjuncte este unctul de intersecţie a dretelor a, a şi a În rezenta notă vom constata că dretele ce trec rin icioarele unor ceviene şi sunt aralele la altele (dintre cele de mai sus) în cele mai multe din cazurile osibile sunt concurente În atingerea scoului, vom relua neschimbat din [1] rooziţia şi varianta sa, rooziţia : Teorema 1 acă oziţiile unctelor,,,,, din fig 1 sunt recizate de raoartele m =, n =, =, q =, r =, s =, atunci dretele,, sunt concurente dacă şi numai dacă avem rs + mq + nr = mrs + n + rq, ie m r =0 n q rs Teorema 1 acă unctele,,,,, din fig au oziţiile recizate de raoartele m =, n =, =, q =, r =, s =, atunci dretele,, sunt concurente dacă şi numai dacă avem qrs + ms + n = nrs + mq + s, ie m rs=0 n q s Următoarele două rezultate sunt consecinţe ale acestora Teorema ie unctele,,,,, ca în fig 3, cu oziţiile date de raoartele m =, n =, =, q =, r = şi s = tunci dretele,, sunt concurente dacă şi numai dacă mn + ms + qr = mnr + mq + s, ie m r=0 mn q s 1 rof dr, atedra de matematică, Universitatea Tehnică Gh sachi, Iaşi 6

2 ig 1 ig ig 3 ig 4 Teorema ie unctele,,, situate ca în fig 4, cu oziţiile date de m =, n =, =, q =, r =, s = tunci dretele,, sunt concurente dacă şi numai dacă qm + s + nr = qr + n + ms, ie m r=0 n q s ceste teoreme sunt forme mai generale ale teoremei lui eva şi recirocei sale olosirea segmentelor orientate (marcate rin suraliniere) face osibil ca unctele în discuţie să oată fi situate oriunde e dretele suort ale laturilor triunghiului aralele la bisectoare ai întâi vom antrena bisectoarele interioare rooziţia 1 aralelele la bisectoarele L a, L b, L c rin unctele de tangenţă, şi resectiv sunt concurente emonstraţie utem resuune, ca în fig 5, că a < c < b (se rocedează la fel în restul cazurilor) Vom alica Teorema vem: m = = ab ( c) a + c = a + c a c c b, n = = a c, = = L c = = a b a + b c b, = L b = ( c)á ac a + b ( b) Á( b) q = = a b, r = = c b, ac s = = L a = L c I ig 5 b + c ( b) Á( b) = b c b + c a b ondiţia de concurenţă din Teorema sub formă de determinant revine la 7 L a L b

3 a b a + b c c b b a + c a c c b a + c a c a b a b b c b + c a b (a c)( b) (a + b)( b) (b + c)( b) (a + c)( c) (a b)( c) (b + c)( c) (a + c)( a) (a + b)( a) (b c)( a) =0 =0, ceea ce este adevărat, întrucât rima coloană este diferenţa celorlalte două şadar, dretele, şi sunt concurente Observaţie ititorul oate evita calculul cu determinanţi utilizând condiţia exlicitată din Teorema rooziţia aralelele rin a, b, c la bisectoarele interioare L a, L b şi resectiv L c sunt concurente emonstraţie e limităm, din nou, la cazul a < c < b Vom alica Teorema 1 relativ la dretele a, b şi c vem: m = c c = a b, n = = cl c c = = a b a + b b, = = bl b b = = a c a + c c, q = b b = a c, s = = a a L a = ( b)á bc a + b ( b) Á( b) bc a + c ( c) Á( c) ab b + c r = a a = c b, În acest caz, condiţia din Teorema 1 se scrie a b a + b L c c b L b I L a a ig 6 ( b) = c + b c b b a a c b a + c c + b c c b c c c + b b b c b b (a + b)( b) (a + c)( c) (c b) (a + b)( a) (a c) (b + c)( c) (a b) (a + c)( a) (b + c)( b) 8 =0 =0,

4 egalitate adevărată, rima coloană fiind suma celorlalte două (calcule de rutină!) eci, dretele a, b, c sunt concurente elativ la unctul Gergonne adjunct Γ a are loc rezultatul următor: rooziţia 3 aralelele rin unctele a, a, a (de tangenţă a cercului (I a, r a ) la bisectoarea interioară I, bisectoarea exterioară I a şi, resectiv, bisectoarea exterioară I a sunt concurente emonstraţie Vom alica Teorema 1 ai întâi, observăm că m( a a ) = m(öi a a ) = 90 a urmare, m( a ) = 90 + şi m( a ) = În a avem: = sin sin sin(90 + ) = (c a) ezultă că = b cos = c (a + c)( c) = (duă calcule!) nalog b găsim: (b a) = şi (a + b)( b) = c c a I u aceste regătiri, obţinem: m = ig 7 = = c + a c a c, n = a a = b, = a a = c, q = = + a + b a b b, r = a a = c b, s = = a = b + c a L a b c b ondiţia de concurenţă din Teorema 1 se verifică imediat În concluzie, dretele a, a şi a sunt concurente acă rolul bisectoarelor ar fi luat de cevienele Gergonne sau de cele agel, nu obţinem concurenţa aralelelor la acestea decât entru triunghiuri articulare ititorul oate stabili, utilizând teoremele din secţiunea 1, următoarele rezultate: rooziţia 4 aralelele duse rin icioarele L a, L b, L c ale bisectoarelor interioare la cevienele Gergonne, şi resectiv sunt concurente dacă şi numai dacă triunghiul este isoscel rooziţia 5 aralelele rin unctele L a, L b, L c la cevienele agel a, b şi resectiv c sunt concurente dacă şi numai dacă triunghiul este isoscel 3 aralele rin uncte izotomice ouă uncte situate e dreata suort a unui segment [] se numesc izotomice dacă sunt simetrice faţă de mijlocul segmentului otăm cu,, mijloacele laturilor triunghiului ( etc) Teoremă ie 1, 1, 1 trei ceviene concurente în unctul X şi,, izotomicele unctelor 1, 1 şi resectiv 1 9 a I a a

5 1) aralelele rin unctele,, la cevienele 1, 1 şi resectiv 1 sunt concurente într-un unct Y ) aralelele rin mijloacele,, la cevienele 1, 1 şi resectiv 1 sunt concurente în mijlocul Z al segmentului [XY ] emonstraţie otăm α = 1 1, β = 1, γ = 1 ; rin ioteză, αβγ = 1 1 ie a < c < b, ca în fig 8 licăm Teorema 1 dretelor,, u uşurinţă găsim: m = = 1 = γ, 1 Y n = 1 = 1 = + 1 = = γ + 1, X = = 1 = = 1 1 β + 1, q = = 1 1 = 1 β, r = = 1 = 1 1 = 1 = α + 1, s = = 1 1 = α 1 ig 8 xcludem cazul degenerat β = 0, iar cazul articular α + 1 = 0 (adică ceviana 1 este mediană) se tratează searat la fel um 1 γ m r= β β α α + 1 = γ β =0 mn q s 1 α β(α + 1) γ + 1 γ α β α + 1 (ultima egalitate obţinându-se dezvoltând determinantul), rezultă că afirmaţia unctului 1) este dovedită entru ) am utea roceda la fel ai simlu, observăm că,, sunt mijloacele segmentelor [ 1 ], [ 1 ] şi [ 1 ] tunci, în fiecare dintre traezele 1, 1, 1 aralelele la baze rin, şi resectiv vor trece rin mijlocul segmentului [XY ] ititorul oate articulariza acest rezultat considerând diferite trilete de ceviene remarcabile în triunghi; altfel sus, considerând în locul lui X uncte ca H, O, I etc e ştie că (, a ) şi ( b, c ) sunt erechi de uncte izotomice e []; analog şi e celelalte două laturi (v [3], 31) e obţin direct următoarele: rooziţia 6 retele ce trec rin unctele de tangenţă,, (sau rin mijloacele laturilor,, ) şi sunt aralele cu cevienele agel coresunzătoare a, b, c sunt concurente unctul agel şi cele două uncte de concurenţă rezultate sunt coliniare 10

6 rooziţia 7 aralelele rin unctele a, b, c (sau rin mijloacele,, ) la cevienele Gergonne coresunzătoare sunt concurente unctul Gergonne Γ şi unctele de concurenţă rezultate sunt coliniare 4 omentariu u un efort sulimentar, am utea identifica unele uncte de concurenţă mai sus obţinute şi vedea că ele sunt uncte remarcabile în triunghi alea de urmat oate fi următoarea: se calculează coordonatele triliniare/baricentrice ale unctelor de concurenţă (ceea ce nu-i greu!) şi aoi se găseşte în lista,,centrelor din [] cine sunt aceste uncte e exemlu, unctul de concurenţă dat de rooziţia 1 este notat X 65 în [], 76, şi dintre rorietăţile indicate în acest loc enumerăm: se află e dretele OI şi Γ, este izogonalul conjugat al unctului lui chiffler etc ibliografie 1 T îrsan - Generalizări ale teoremei lui eva şi alicaţii, ecreaţii atematice, 4(00), nr, Kimberling - Triangle enters and entral Triangle, ongressus umerantium 19, Winnieg, anada, T Lalescu - Geometria triunghiului, ditura Tineretului, ucureşti, 1958 IOIŢ TTIĂ e-un icior de L ULII, Iată vin în cale, TLTÂ la vale, Trei ULŢII de UT, Toate trei IJUT, e UŢII ăzite Toate diferite le sunt tot trei: Una-i IJTIVĂ, lta-i IJTIVĂ Şi-alta-i UJTIVĂ Iar cea IJTIVĂ Şi cea UJTIVĂ, ări, se vorbiră Şi se sfatuiră ă rămână treze ân-o să-nsereze Şi s-o ULZ e cea IJTIVĂ, -are IITIVĂ Şi- ITOT multe âte şi mai câte, ă e IVILĂ Şi chiar IVILĂ ar într-o ULŢI sta s-a aflat Şi s-au indignat, -ale lor cuvinte Întrec orice LIIT ar de la f(0)-ncoace Unui UT nu-i lace ă mai stea-n ULŢI Şi de treabă-a se ţine IJTIV se-ntrebă: UTUL ăsta ce-o avea? Şi se duse Şi îi suse: - ragă UTULŢUL meu, e rău oare îţi fac eu au nu-ţi lace oate -ai OOOT TUL toate? Vrei să stai mai jos, rezi că-i mai frumos? u vrei un te-am us, Vrei cumva mai sus? - ragă IJTIVĂ, u chiar dimotrivă, ă simt foarte bine, ar e rău de tine! (continuare la agina 0) 11

Σχετικά έγγραφα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele