STUDIUL MICROSCOPIC AL ECHILIBRULUI TERMIC AL UNUI GAZ BIDIMENSIONAL ÎN CONTACT CU UN TERMOSTAT

Transcript

1 Lucaea XXII SUDIUL MICROSCOPIC AL ECHILIRULUI ERMIC AL UUI GAZ IDIMESIOAL Î COAC CU U ERMOSA Consideaţii teoetice Descieea statistică a stăilo de echilibu teodinaic se poate face, în pincipiu, folosind două puncte de vedee distincte. Este voba, în piul ând, de punctul de vedee pactic confo căuia, în condiţii extene date, o stae icoscopică de echilibu este deteinată de un axi de pobabilitate. Pe de altă pate, există punctul de vedee fundaentat de oltzann pin cae obţineea stăii (unice) de echilibu a unui siste, în condiţii extene date, este iaginată ca ezultat al unui poces de evoluţie (de elaxae) a sa, ponind de la o stae iniţială dată. Staea de echilibu va fi astfel atinsă asiptotic, după intevale de tip deteinate de intensitatea inteacţiunilo ecipoce ale oleculelo (teoea H). Evoluţia sisteului tebuie deci descisă de o ecuaţie cae să includă şi cauzele elaxăii sisteului. oltzann a postulat o astfel de ecuaţie pentu gaze şi, în ipoteza existentei şi unicităţii soluţiei, a obţinut, la t, staea de echilibu a unui gaz (distibuţia Maxell-oltzann). Punctul de vedee boltzannian constituie baza uno teoii actuale în fizica statistică a fenoenelo de neechilibu. Cu toate acestea, deonstaea existenţei şi unicităţii soluţiei ecuaţiei oltzann s-a dovedit a fi o pobleă exte de dificilă, chia şi pentu sistee siple, cu sunt cele în stae gazoasă. Studiul acestei poblee iplică analiza inteacţiei dinte olecule. Existenţa şi unicitatea soluţiei a fost deonstată iguos nuai pentu odelul în cae oleculele sunt pivite ca sfee igide, netede, de aza finită (R), astfel încât enegia potenţială de inteacţie bipaticulă ae foa: U (),, pentu > R. (1) pentu R În anuite cazui, existenţa şi unicitatea soluţiei asiptotice (la t ) a ecuaţiei oltzann este asiguată de popietatea de egodicitate a sisteului (aceasta constă, în esenţă, în echivalenţa edieilo pe ansablul statistic cu edieile tepoale ale paaetilo icoscopici ai sisteului). Singuul odel a căui egodicitate a fost iguos deonstată până în pezent este cel de sfee igide aătat ai sus. Rezultatele actuale ale cecetăilo în doeniu aată deci că acest punct de vedee, deşi foate natual şi accesibil intuiţiei, conduce la dificultăţi ateatice exte de ai. Din acest otiv, pobleele legate de statistica stăilo de echilibu se tatează în od cuent folosind piul punct de vedee cae este ult ai pactic. Din pespectiva didactică, abodaea boltzanniană a pobleei ae aea valoae a consevăii conţinutului fizic al fenoenelo. Din acest otiv lucaea de faţă îşi popune studiul icoscopic al echilibului teic al unui gaz, atins ca uae a unei

2 elaxăi boltzanniene. Este folosit odelul de sfee igide pentu un nuă de olecule onoatoice cae se pot işca nuai înt-un plan (pentu cooditatea vizualizăii). Atage deci atenţia că sisteul este bidiensional şi că, astfel, ajoitatea valoilo paaetilo statistici calculate pentu gazul ideal tidiensional tebuie odificate în consecinţă. Locul ecipientului tidiensional este luat de un deptunghi în planul işcăii. Latua de sus şi cea de jos a deptunghiului se consideă ca fontiee diatee cu un teostat a căui tepeatuă poate fi aleasă de utilizato. Păţile lateale ale deptunghiului sunt consideate peeţi adiabatici (din acest otiv sunt figuate gafic pin linii dublate). Moleculele sunt lansate din poziţii ăspândite oogen în ecipientul deptunghiula şi având coponentele vitezelo distibuite aleato, după o funcţie oogenă, înt-un anuit inteval. Ponind din această stae de neechilibu, datoită ciocniilo oleculelo înte ele şi cu peeţii diatei, se atinge o stae unică de echilibu copatibilă cu condiţiile pestabilite: volu constant, contact teic cu un teostat şi asă totală fixată. Descieea geneală a pogaului Pogaul cae odelează sisteul bidiensional de olecule este intitulat GAZERM. uăul de olecule folosit în poga este 4. Acesta epezintă un copois înte necesitatea unei statistici cât ai ealiste şi posibilitatea efectuăii uno analize diecte, pe ecan, de căte utilizato. Ciocniile oleculelo înte ele şi cu peeţii lateali cutiei sunt consideate pefect elastice. La fiecae ciocnie înte două olecule, unghiul dinte vitezele finale şi cele iniţiale în sisteul centului de asă este consideat paaetu aleato, cu o distibuţie unifoă înte şi. Ciocniea unei olecule cu peeţii oizontali (diatei) etunează o oleculă identică a căui viteză ae coponentele distibuite noal, cu o abatee standad dată de tepeatua teostatului. Evoluţia a gazului este analizată cu un pas de tip convenabil ales. La fiecae cinci paşi de tip, pogaul desenează pe onito o fotogafie a gazului, în ecipientul sau, la oentul espectiv. Moleculele apa sub foa uno ici săgeţi cae indică oientaea vitezelo în acel oent. Această figuă este uată la câteva secunde de iaginea gazului în spaţiul vitezelo, unde se foloseşte o gilă foată din 1 cecui concentice în juul oiginii ( ). În colţul din deapta-sus al ecanului este afişată viteza coespunzătoae ultiului cec. Difeenţa de viteză dinte oicae două cecui succesive ale gilei este aceeaşi. Uează apoi un ixaj gafic foat dint-o histogaă epezentând distibuţia oleculelo după odulul vitezei, la oentul espectiv şi cuba teoetică coespunzătoae (distibuţia Maxell; a se vedea elaţia (4) de ai jos) tasată pentu valoaea oentană a tepeatuii gazului. Pe acest ecan se pezintă şi un set de date asupa stăii gazului la oentul espectiv: tipul, nuăul de paşi de tip executaţi până în oentul espectiv, cuentul de olecule (adică nuăul de olecule cae ciocnesc, în edie, unitatea de lungie a fontieei ecipientului în unitatea de tip), cuentul de enegie căte exteio (adică enegia tanspotată de olecule în unitatea de tip pe unitatea de lungie a fontieei) şi enegia cinetică edie a oleculelo în unităţi elative. Fiecae ecan ăâne vizibil un tip de câteva secunde, da pentu a suspenda execuţia pogaului şi pentu a păsta astfel o anuită iagine pentu studiu, se va

3 apăsa tasta PAUSE-REAK. Reluaea execuţiei pogaului se face apoi apăsând oice tastă. Pentu opiea definitivă a pogaului se apasă COROL + PAUSE- REAK. Relaţiile de lucu La echilibu teodinaic, distibuţia oleculelo după viteze este descisă de factoul Maxell în configuaţie bidiensionala: f ( ) e, () unde este asa unei olecule, ia este constanta lui oltzann ( 1, /K). Se poate veifica uşo ca distibuţia () veifică elaţia de noae: x f x x y ( ) e e 1 y Distibuţia după odulul vitezelo se obţine iediat integând elaţia () după toate diecţiile posibile, adică integând în coodonate polae după unghiul pola al vitezei oleculae, de la la : adică F () f () dφ e F () e y dφ,. (3) În acest fel, la echilibu teodinaic, enegia cinetică edie a unei olecule se poate calcula după elaţia: din cae se obţine iediat: Ec F(), Ec. (4) Aseănăto se poate calcula şi edia odulelo vitezelo oleculae la echilibu teodinaic: şi se obţine: F () (5)

4 Viteza cea ai pobabilă, în staea de echilibu teodinaic, este cea pentu cae distibuţia (3) ia valoaea axia, adică: p. (6) Ca şi celelalte edii de paaeti icoscopici, calculul cuentului ediu de paticule,, cae lovesc fontiea ecipientului (adică nuăul ediu de paticule cae ciocnesc unitatea de lungie de fontieă în unitatea de tip) se poate face pentu oice distibuţie ( ) a oleculelo după viteze (nu nuai pentu distibuţia de echilibu). Ave astfel: d n sin φ d, ( ) ( ) ( ) φ unde n este concentaţia edie de paticule, adică nuăul ediu de olecule pe unitatea de supafaţă a ecipientului. Cuentul total va fi deci ezultatul unei integăi după toate vitezele diijate căte peetele espectiv: n sin φdφ ( ) Siila se poate calcula şi cuentul ediu de enegie oientat căte exteio: ( ex) sin φdφ ( ) n 4 (7). (8) În ceea ce piveşte cuentul ediu de enegie oientat căte inteio, acesta va fi egal cu cel oientat căte exteio dacă peetele espectiv este adiabatic (adică ciocniile coespunzătoae sunt pefect elastice). Dacă însă peetele este diate, ciocniile oleculae coespunzătoae vo fi neelastice. Consideând că oleculele eegente după astfel de ciocnii au vitezele aleatoae cu o distibuţie noală dată de tepeatua teostatului espectiv, cuentul de olecule cae, venind căte peete cu viteze apopiate de şi plecând cu viteze apopiate de se scie astfel: ( in ) d (, ) d ( ) exp dφ. Rezultă deci, pentu cuentul ediu de enegie oientat căte inteio, uătoaea expesie geneală: ( in) n sin φ dφ ( ) 1 1. (9) Aici tebuie specificat faptul că nu oice coliziune oleculaă cu fontiea teostatului este neelastică. Vo nota cu η( ) pobabilitatea ca o astfel de ciocnie să fie neelastică. Această pobabilitate depinde în geneal de enegia paticulei incidente şi de tepeatua supafeţei cu cae se ciocneşte, da, pentu siplitate va fi consideată constantă în cele ce uează. Astfel, cuentul net de enegie la fontiea cu teostatul va fi: ( in) ( ex) η. (1)

5 Pentu cazul echilibului teic tebuie să ave, evident,, în tip ce distibuţia oleculelo după viteze va fi descisă de elaţia (). În aceste condiţii, odelul siplificat consideat ai sus dă uătoaele ezultate: n, (11) şi ( ex) 3 n (1) ( in) 1 n. (13) Înlocuind (1) şi (13) în condiţia de echilibu (1), obţine: 1 η, (14) 3 ceea ce înseană că, în acest odel, la echilibu teic, apoxiativ una din tei ciocnii cu peetele teostatului este neelastică. Este însă cla că acest ezultat siplu nu poate fi aplicat în stăile peegătoae echilibului şi că pobabilitatea ca o ciocnie cu peetele teostatului să fie neelastică ăâne un paaetu al odelului ce tebuie ajustat convenabil. Pogaul calculează la fiecae pas de tip valoile edii ale uno paaeti icoscopici, ca edii aitetice ale valoilo coespunzătoae fiecăei olecule. Valoile obţinute fluctuează în juul uno valoi de echilibu, ia aplitudinile acesto fluctuaţii se icşoează teptat pe ăsua instalăii stăii de echilibu teodinaic. Instalaea stăii de echilibu teodinaic se face însă teptat, pin edistibuiea paaetilo icoscopici în ua inteacţiunilo oleculae şi aceasta nu duce la absenţa fluctuaţiilo valoilo edii. Fluctuaţiile continuă să pesiste la nesfâşit (ca anifestae a işcăii oleculae peanente), da se vo încada în aplitudini cae pot fi calculate, pin aplicaea distibuţiilo oleculae de echilibu, în cadul teoiei fluctuaţiilo. De exeplu, un ezultat cunoscut al acestei teoii este că, la echilibul teodinaic al unui gaz onoatoic, fluctuaţia elativă a enegiei cinetice edii a oleculelo este Ec /<Ec > 1 /, unde cu s-a notat nuăul de olecule al gazului. Deteinând acest paaetu pin calcul diect, în funcţie de tip, se poate deci estia oentul când ae loc instalaea stăii de echilibu teodinaic al gazului (adică aşa-nuita duată de elaxae al sisteului). Modul de lucu şi pelucaea ezultatelo În condiţii obişnuite, datoită fecvenţei exte de eduse a inteacţiunilo dinte olecule, tipul de elaxae al unui gaz poate fi foate ae. Pentu constuiea unei deonstaţii eficiente este deci necesa să se folosească în poga condiţii exageate de densitate a gazului.

6 La poniea lucăii apae pe ecan un esaj pin cae se cee valoaea tepeatuii teostatului. Această valoae a tepeatuii este dată de cadul didactic şi deteinaea ei pin ăsuătoile ulteioae constituie unul din obiectivele lucăii. Pentu o funcţionae coectă a pogaului se ecoandă valoi ale tepeatuii teostatului cupinse înte 1 K şi K. 1) Pia etapă a lucului este ealizaea unui tabel cu valoile paaetilo afişaţi de poga la fiecae cinci paşi de tip: tipul şi nuăul de paşi, cuentul de olecule, cuentul de enegie căte exteio şi enegia cinetică edie a oleculelo în unităţi elative. Se face înegistaea acesto date pentu apoxiativ 5 de paşi de tip. ) La una ultiele iagini în spaţiul vitezelo, se suspendă execuţia pogaului şi se nuăă oleculele aflate în fiecae din cele 1 cooane ciculae ale gilei desenate pe ecan. Se obţin astfel nueele, 1,,, 1 şi se calculează fecvenţele elative /, 1,,, 1. Dacă F() este distibuţia oleculelo după odulul vitezei şi dacă este intevalul de viteză dinte două cecui ale gilei, atunci ave apoxiativ: F( ) F( ) 1. (15) 3) Se face o edie tepoală a valoilo enegiei cinetice edii <Ec > cae se asiilează cu valoaea edie statistică a acestui paaetu. Se calculează abateea elativă Ec /<Ec > Ec /<Ec > 1 pentu fiecae deteinae a acestui paaetu şi se veifică faptul că, după ultiii paşi de tip, Ec /<Ec >, este apopiată de valoaea 1 / 1/ 4,5 5%. Atenţie: enegia cinetică edie este afişată intenţionat în unităţi elative pentu a nu peite calculul diect al tepeatuii teostatului. 4) Se face epezentaea gafica a distibuţiei F( ) sub foa unei histogae. Cu ajutoul acesteia se estiează viteza cea ai pobabilă, p, a oleculelo (coespunzăto axiului histogaei) şi edia odulului vitezelo cu elaţia apoxiativă: 1 1 F(). (16) Folosind valoile obţinute în elaţiile (5) şi (6) unde 1-7 g (valoaea aselo oleculae folosită în poga) se obţine tepeatua de echilibu, adică tepeatua teostatului. Se va considea ca ezultat final edia aitetică a valoilo obţinute pin cele două etode. 5) Se fac edii tepoale ale valoilo cuentului de olecule,, şi a celui de enegie căte exteio, (ex), şi se asiilează aceste edii cu valoile edii statistice (ex) coespunzătoae. Se calculează factoul η cu valoile obţinute pentu şi după expesia (a se vedea elaţia geneală (9)): η ( in) 1 1 ( ) ex ( ex), (17) e unde factoul e epezintă sacina eleentaă (e C) şi apae datoită faptului că (ex) este afişat de poga în electonvolţi.