Studiul microscopic al echilibrului termic al unui gaz bidimensional in contact cu un termostat

Transcript

1 1 Studiul icroscopic al echilibrului teric al unui gaz bidiensional in contact cu un terostat 1. Scopul lucrarii Descrierea statistica a starilor de echilibru terodinaic se poate face, in principiu, folosind doua puncte de vedere distincte. Este vorba, in priul rand, de punctul de vedere practic confor caruia, in conditii externe date, o stare icroscopica de echilibru este deterinata de un axi de probabilitate. Pe de alta parte, exista punctul de vedere fundaentat de oltzann prin care obtinerea starii (unice) de echilibru a unui siste, in conditii externe date, este iaginata ca rezultat al unui proces de evolutie (de relaxare) a sa, pornind de la o stare initiala data. Starea de echilibru va fi astfel atinsa asiptotic, dupa intervale de tip deterinate de intensitatea interactiunilor reciproce ale oleculelor (teorea H). Evolutia sisteului trebuie deci descrisa de o ecuatie care sa includa si cauzele relaxarii sisteului. oltzann a postulat o astfel de ecuatie pentru gaze si, in ipoteza existentei si unicitatii solutiei, a obtinut, la t =, starea de echilibru a unui gaz (distributia Maxell-oltzann). Punctul de vedere boltzannian constituie baza unor teorii actuale in fizica statistica a fenoenelor de neechilibru. Cu toate acestea, deonstrarea existentei si unicitatii solutiei ecuatiei oltzann s-a dovedit a fi o problee extre de dificila, chiar si pentru sistee siple, cu sunt cele in stare gazoasa. Studiul acestei problee iplica analiza interactiei dintre olecule. Existenta si unicitatea solutiei a fost deonstrata riguros nuai pentru odelul in care oleculele sunt privite ca sfere rigide, netede, de raza finita (R), astfel incat energia potentiala de interactie biparticula are fora: U r,, pentru r R. (1) pentru r R In anuite cazuri, existenta si unicitatea solutiei asiptotice (la t = ) a ecuatiei oltzann este asigurata de proprietatea de ergodicitate a sisteului (aceasta consta, in esenta, in echivalenta edierilor pe ansablul statistic cu edierile teporale ale paraetrilor icroscopici ai sisteului). Singurul odel a carui ergodicitate a fost riguros deonstrata pana in prezent este cel de sfere rigide aratat ai sus. Rezultatele actuale ale cercetarilor in doeniu arata deci ca acest punct de vedere, desi foarte natural si accesibil intuitiei, conduce la dificultati ateatice extre de ari. Din acest otiv, probleele legate de statistica

2 starilor de echilibru se trateaza in od curent folosind priul punct de vedere care este ult ai practic. Din perspectiva didactica, abordarea boltzanniana a probleei are area valoare a conservarii continutului fizic al fenoenelor. Din acest otiv lucrarea de fata isi propune studiul icroscopic al echilibrului teric al unui gaz, atins ca urare a unei relaxari boltzanniene. Este folosit odelul de sfere rigide pentru un nuar de olecule onoatoice care se pot isca nuai intr-un plan (pentru cooditatea vizualizarii). Atrage deci atentia ca sisteul este bidiensional si ca, astfel, ajoritatea valorilor paraetrilor statistici calculate pentru gazul ideal tridiensional trebuie odificate in consecinta. Locul recipientului tridiensional este luat de un dreptunghi in planul iscarii. Latura de sus si cea de jos a dreptunghiului se considera ca frontiere diatere cu un terostat a carui teperatura poate fi aleasa de utilizator. Partile laterale ale dreptunghiului sunt considerate pereti adiabatici (din acest otiv sunt figurate grafic prin linii dublate). Moleculele sunt lansate din pozitii raspandite oogen in recipientul dreptunghiular si avand coponentele vitezelor distribuite aleator, dupa o functie oogena, intr-un anuit interval. Pornind din aceasta stare de neechilibru, datorita ciocnirilor oleculelor intre ele si cu peretii diateri, se atinge o stare unica de echilibru copatibila cu conditiile prestabilite: "volu" constant, contact teric cu un terostat si asa totala fixata.. Descrierea generala a prograului Prograul care odeleaza sisteul bidiensional de olecule este intitulat GAZERM. Nuarul de olecule folosit in progra este 4. Acesta reprezinta un coprois intre necesitatea unei statistici cat ai realiste si posibilitatea efectuarii unor analize directe, pe ecran, de catre utilizator. Ciocnirile oleculelor intre ele si cu peretii laterali "cutiei" sunt considerate perfect elastice. La fiecare ciocnire intre doua olecule, unghiul dintre vitezele finale si cele initiale in sisteul centrului de asa este considerat paraetru aleator, cu o distributie unifora intre si π. Ciocnirea unei olecule cu peretii orizontali (diateri) returneaza o olecula identica a carui viteza are coponentele distribuite noral, cu o abatere standard data de teperatura terostatului. Evolutia a gazului este analizata cu un pas de tip convenabil ales. La fiecare cinci pasi de tip, prograul deseneaza pe onitor o "fotografie" a gazului, in "recipientul" sau, la oentul respectiv. Moleculele apar sub fora unor ici sageti care indica orientarea vitezelor in acel oent.

3 3 Aceasta figura este urata la cateva secunde de iaginea gazului in spatiul vitezelor, unde se foloseste o grila forata din 1 cercuri concentrice in jurul originii ( ). In coltul din dreapta-sus al ecranului este afisata viteza corespunzatoare ultiului cerc. Diferenta de viteza dintre oricare doua cercuri succesive ale grilei este aceeasi. Ureaza apoi un ixaj grafic forat dintr-o histograa reprezentand distributia oleculelor dupa odulul vitezei, la oentul respectiv si curba teoretica corespunzatoare (distributia Maxell; a se vedea relatia (4) de ai jos) trasata pentru valoarea oentana a teperaturii gazului. Pe acest ecran se prezinta si un set de date asupra starii gazului la oentul respectiv: tipul, nuarul de pasi de tip executati pana in oentul respectiv, curentul de olecule (adica nuarul de olecule care ciocnesc, in edie, unitatea de lungie a frontierei "recipientului" in unitatea de tip), curentul de energie catre exterior (adica energia transportata de olecule in unitatea de tip pe unitatea de lungie a frontierei) si energia cinetica edie a oleculelor in unitati relative. Fiecare ecran raane vizibil un tip de cateva secunde, dar pentru a suspenda executia prograului si pentru a pastra astfel o anuita iagine pentru studiu, se va apasa tasta "PAUSE-REAK". Reluarea executiei prograului se face apoi apasand orice tasta. Pentru oprirea definitiva a prograului se apasa "CONROL" + "PAUSE-REAK". 3. Relatiile de lucru La echilibru terodinaic, distributia oleculelor dupa viteze este descrisa de "factorul Maxell" in configuratie bidiensionala: f e π, () unde este asa unei olecule, iar este constanta lui oltzann ( = 1, /K). Se poate verifica usor ca distributia () verifica relatia de norare: d x f x y d e d e d 1 y π Distributia dupa odulul vitezelor se obtine iediat integrand relatia () dupa toate directiile posibile, adica integrand in coordonate polare dupa unghiul polar al vitezei oleculare, de la la π: x y

4 4 F π π π f d dφ e d dφ, adica F e. (3) In acest fel, la echilibru terodinaic, energia cinetica edie a unei olecule se poate calcula dupa relatia: din care se obtine iediat: Ec Fd, Ec. (4) Aseanator se poate calcula si edia odulelor vitezelor oleculare la echilibru terodinaic: F d si se obtine: π (5) Viteza cea a probabila, in starea de echilibru terodinaic, este cea pentru care distributia (3) ia valoarea axia, adica: p. (6) Ca si celelalte edii de paraetri icroscopici, calculul curentului ediu de particule,, care lovesc frontiera "recipientului" (adica nuarul ediu de particule care ciocnesc unitatea de lungie de frontiera in unitatea de tip) se poate face pentru orice distributie oleculelor dupa viteze (nu nuai pentru distributia de echilibru). Ave astfel: d, n sin φπ d dφ π a

5 5 unde n este concentratia edie de particule, adica nuarul ediu de olecule pe unitatea de suprafata a "recipientului". Curentul total va fi deci rezultatul unei integrari dupa toate vitezele dirijate catre peretele respectiv: n π sin φdφ π d (7) Siilar se poate calcula si curentul ediu de energie orientat catre exterior: π ex sin φdφ π n 4 d. (8) In ceea ce priveste curentul ediu de energie orientat catre interior, acesta va fi egal cu cel orientat catre exterior daca peretele respectiv este adiabatic (adica ciocnirile corespunzatoare sunt perfect elastice). Daca insa peretele este diater, ciocnirile oleculare corespunzatoare vor fi neelastice. Considerand ca oleculele eergente dupa astfel de ciocniri au vitezele aleatoare cu o distributie norala data de teperatura terostatului respectiv, curentul de olecule care, venind catre perete cu viteze apropiate de si plecand cu viteze apropiate de se scrie astfel: d in, d exp ddφ π Rezulta deci, pentru curentul ediu de energie orientat catre interior, uratoarea expresie generala: in n sinφ dφ π 1 1 π d.. (9) Aici trebuie specificat faptul ca nu orice coliziune oleculara cu frontiera terostatului este neelastica. Vo nota cu η( ) probabilitatea ca o astfel de ciocnire sa fie neelastica. Aceasta probabilitatea depinde in general de energia particulei incidente si de teperatura suprafetei cu care se ciocneste, dar, pentru siplitate va fi considerata constanta in cele ce ureaza. Astfel, curentul net de energie la frontiera cu terostatul va fi: in ex η. (1) Pentru cazul echilibrului teric trebuie sa ave, evident, =, in tip ce distributia oleculelor dupa viteze va fi descrisa de relatia (). In aceste conditii, odelul siplificat considerat ai sus da uratoarele rezultate:

6 6 n, (11) π 3 ex n (1) π si 1 in n. (13) π Inlocuind (1) si (13) in conditia de echilibru (1), obtine: 1 η, (14) 3 ceea ce inseana ca, in acest odel, la echilibru teric, aproxiativ una din trei ciocniri cu peretele terostatului este neelastica. Este insa clar ca acest rezultat siplu nu poate fi aplicat in starile preergatoare echilibrului si ca probabilitatea ca o ciocnire cu peretele terostatului sa fie neelastica raane un paraetru al odelului ce trebuie ajustat convenabil. Prograul calculeaza la fiecare pas de tip valorile edii ale unor paraetri icroscopici, ca edii aritetice ale valorilor corespunzatoare fiecarei olecule. Valorile obtinute fluctueaza in jurul unor valori de echilibru, iar aplitudinile acestor fluctuatii se icsoreaza treptat pe asura instalarii starii de echilibru terodinaic. Instalarea starii de echilibru terodinaic se face insa treptat, prin redistribuirea paraetrilor icroscopici in ura interactiunilor oleculare si aceasta nu duce la absenta fluctuatiilor valorilor edii. Fluctuatiile continua sa persiste la nesfarsit (ca anifestare a iscarii oleculare peranente), dar se vor incadra in aplitudini care pot fi calculate, prin aplicarea distributiilor oleculare de echilibru, in cadrul teoriei fluctuatiilor. De exeplu, un rezultat cunoscut al acetei teorii este ca, la echilibrul terodinaic al unui gaz onoatoic, fluctuatia relativa a energiei cinetice edii a oleculelor este ΔEc /<Ec > = 1 / N, unde cu N s-a notat nuarul de olecule al gazului. Deterinand acest paraetru prin calcul direct, in functie de tip, se poate deci estia oentul cand are loc instalarea starii de echilibru terodinaic al gazului (adica asa-nuita durata de relaxare al sisteului).

7 7 4. Modul de lucru si prelucrarea rezultatelor In conditii obisnuite, datorita frecventei extre de reduse a interactiunilor dintre olecule, tipul de relaxare al unui gaz poate fi foarte are. Pentru construirea unei deonstratii eficiente este deci necesar sa se foloseasca in progra conditii exagerate de densitate a gazului. La pornirea lucrarii apare pe ecran un esaj prin care se cere valoarea teperaturii terostatului. Aceasta valoare a teperaturii este data de cadrul didactic si deterinarea ei prin asuratorile ulterioare constituie unul din obiectivele lucrarii. Pentru o functionare corecta a prograului se recoanda valori ale teperaturii terostatului cuprinse intre 1 K si K. 1) Pria etapa a lucrului este realizarea unui tabel cu valorile paraetrilor afisati de progra la fiecare cinci pasi de tip: tipul si nuarul de pasi, curentul de olecule, curentul de energie catre exterior si energia cinetica edie a oleculelor in unitati relative. Se face inregistrarea acestor date pentru aproxiativ 5 de pasi de tip. ) La una din ultiele iagini in spatiul vitezelor, se suspenda executia prograului si se nuara oleculele aflate in fiecare din cele 1 coroane circulare ale grilei desenate pe ecran. Se obtin astfel nuerele N, = 1,,, 1 si se calculeaza frecventele relative N /N, = 1,,, 1. Daca F() este distributia oleculelor dupa odulul vitezei si daca Δ este intervalul de viteza dintre doua cercuri ale grilei, atunci ave aproxiativ: N N N F Δ F. (15) N Δ 1 3) Se face o edie teporala a valorilor energiei cinetice edii <Ec > care se asiileaza cu valoarea edie statistica a acestui paraetru. Se calculeaza abaterea relativa ΔEc /<Ec > = Ec /<Ec > - 1 pentru fiecare deterinare a acestui paraetru si se verifica faptul ca, dupa ultiii pasi de tip, ΔEc /<Ec >, este apropiata de valoarea 1 / N = 1/ 4 =,5 = 5%. Atentie: energia cinetica edie este afisata intentionat in unitati relative pentru a nu perite calculul direct al teperaturii terostatului. 4) Se face reprezentarea grafica a distributiei F( ) sub fora unei histograe. Cu ajutorul acesteia se estieaza viteza cea ai probabila, p, a oleculelor (corespunzator axiului histograei) si edia odulului vitezelor cu relatia aproxiativa: 1 1 Fd N. (16) N 1

8 8 Folosind valorile obtinute in relatiile (5) si (6) unde = 1-7 g (valoarea aselor oleculare folosita in progra) se obtine teperatura de echilibru, adica teperatura terostatului. Se va considera ca rezultat final edia aritetica a valorilor obtinute prin cele doua etode. 5) Se fac edii teporale ale valorilor curentului de olecule,, si a celui de energie catre exterior, (ex), si se asiileaza aceste edii cu valoarile edii statistice corespunzatoare. Se calculeaza factorul η cu valorile obtinute pentru si (ex) dupa expresia (a se vedea relatia generala (9)): η 1 in ex ex, (17) e unde factorul e reprezinta sarcina eleentara (e = C) si apare datorita faptului ca (ex) se este afisat de progra in electronvolti.