Funcţia. nu este derivabilă în sensul analizei clasice. () t. 0, t 0, 2 1, t 0. t. t dt. t t , 0, ( t ) Heaviside. Heaviside. ( t ) t t.

Transcript

1 ANEXE Aexa B. Disribţii (fcţii geeralizae) Fcţia Heaviside (reapa iară) repreziă caz liiă ideal al or feoee frecve îâlie î aplicaţii. De exepl, ea se poae obţie la liiă î fell răor: ( ),, ()(),,,, - Fcţia Heaviside,, () li(),,,. Fcţia () ese derivabilă î sesl aalizei clasice. M. Voic, IA (II) C (38) ( ),, ()(),,,, - Derivaa clasică,, d () (),, d,, () d. / d / - ( ),, () li(),,,. Fcţia Heaviside Iplsl Dirac () li(),, () d.,, M. Voic, IA (II) C (38) Derivaa geeralizaă

2 Derivaa geeralizaă a fcţiei Heaviside Fcţia Heaviside ( ), < () =, a ( ) = D( ) Iplsl Dirac, = () =, b ( ) ( ) d Iplsl Dirac ese o disribţie (fcţie geeralizaă). Proprieăţi: ( ) = (), f ()() = f () (), Prodsl de covolţie a fcţiilor: ()()()(). f f f f d f f d ese eleel iae pe srcra ( f,): f f. f O disribţie (fcţie geeralizaă) coţie iplsl Dirac şi derivaele sale. M. Voic, IA (II) C (38) 3 Derivaa î ses disribţii (geeralizaă) a ei fcţii f (), R, discoiă î = ; f ( ) şi f ( + ) s fiie. f() f() f() f() f c () f() fig.a f c () - parea coiă a li f(). Cofor fig. a: f ()() f [( )( f )](). f c Df() f () [( f )( f)](), fig.b Derivaa clasică: f '() = f ' c (),. Derivaa geeralizaă (fig. b): Df ()() f[( )( f )](); f M. Voic, IA (II) C (38) 4

3 Derivaa geeralizaă de ordil : D f () f"() [ f'( ) f'( )]() [( f )( f)]() D Derivaa geeralizaă de ordil k : k ()( k )( ) k k D f ()() f[( )( f )]() f ( k )( ) k [( f )( )]() f... D k [( f )( )](), f D,,..., k M. Voic, IA (II) C (38) 5 Aexa A. Trasforarea Laplace.. Trasforarea direcă Defiiţia. Fie f() o fcţie de variabila reală, iă fcţie origial, care saisface codiţiile: f() =, < ; f() ese coiă pe porţii; pe orice ierval fii are cel l ăr fii de discoiiăţi; î pcele de discoiiae exisă liiele fiie f( ), f( + ); 3 exisă M > şi a R asfel ca f() Me a,. Trasforaa Laplace a fcţiei f(), iă fc cţie iagie agie, ese fcţia de variabila coplexă s s F()() s f e {()}, d L f. s C M. Voic, IA (II) C (38) 6 3

4 a. Observaţii Trasforarea cofor defiiţiei se ai eşe şi Laplace direcă ilaerală. ese ipl. s ese o plsaţie; s se eşe frecveţa a coplexă. L ese o rasforare di doeil ipli î doeil frecveţelor coplexe. 3 Ipoeza di defiiţia poae fi oisă. Per f (), R, di defiiţia rezlă că F(s) corespde ai resricţiei li f la iervall [,+). Î ipoeza (def. ) codiţiile iiţiale f (i) ( ), i =,,,... s le. M. Voic, IA (II) C (38) 7 b. Teoree I. Liiariaea ese asigraă pri defiiţie: f, f fcţii origiale, c, c cosae reale; L{()()}()() c f c f c F s c F s II. Iagiea derivaei clasice a origialli: L{ f '()}()( s). F s f Î geeral L k k k ( ) {()}()( )...( ), k,. f s F s f s f k M. Voic, IA (II) C (38) 8 4

5 III. Iagiea derivaei geeralizae a origialli: L {() D}()( f ). s F s f Se ţie seaa de: L{ f '() }()( s) F, s f Df () f'() [( f)( )](). f L {() D} f { L'() f [( )( f ) ]() } f I geeral: L { f '() } [( f )( ) ] f sf()( s ) f f ( ) f ( )()( sf). s f L{()}()( )...( ),,. k k k ( ) k D f s F s f s f k M. Voic, IA (II) C (38) 9.. Trasforarea iversă Defiiţia. Î codiţiile def. rasforarea iversă ese: ( )( )()() c j s f f π j F s e d s L F s c j Teoree I. Origiall ei fcţii raţioale (eorea dezvolării) Q() s Fcţia iagie: F () s, grad Q = < grad P =, P() s r c polii disicţi p i, de lipliciae q i, i, r, q. i i Fcţia iagie: f () e,, r qi i j qi j pi i j ()! q i j M. Voic, IA (II) C (38) d s p F s i j q j q [()()] i ij,,,,. ( j)! j i i ds s p i 5

6 II. Valoarea iiţială a origialli: III. Valoarea fială a origialli: f ( ) li() f li(). sf s f () li() f li(). sf s s s II şi III p î corespodeţă veciăaea li = c veciăaea li s = + respeciv veciăaea li = + c veciăaea li s =. Pl. s ipl II. T. valorii iiţial iale II. T. valorii fiale frecveţa coplexă R = M. Voic, IA (II) C (38) Capioll II TRANSFERUL INTRARE IEŞIRE AL SISTEMELOR DINAMICE LINIARE M. Voic, IA (II) C (38) 6

7 . Descrierea aeaică a siseelor diaice.. Ce s odelele aeaice? Siseele evolează î ip Relaţii îre variabile: sisee diaice. ecaţii difereţiale iale şi/sa iegro-difere difereţiale; odell aeaic sa sisel absrac. Noţii disice: sise real şi sise absrac. Sisel absrac ese o iagie a siseli real. Sisel absrac se validează pri coparare c cel real. M. Voic, IA (II) C (38) 3.. Ecaţiile siseelor fizico-ehice Se ilizează legile geerale ale arii. Tabell II.. Sar al variabilelor fizico-ehice TIP: SISTEM: ELECTRIC MECANIC FLUIDIC TERMIC VARIABILA LONGITUDINALĂ CURENTUL FORŢA CUPLUL DEBITUL FLUXUL TERMIC i f c q q VARIABILA TRANSVERSALĂ TENSIUNEA VITEZA DE TRANSLAŢIE VITEZA UNGHIULARĂ PRESIUNEA TEMPERATURA v p Dpdv eergeic rei clase de sisee: disipaive c aclare idcivă c acl lare capaciivă M. Voic, IA (II) C (38) 4 7

8 Tabell II..a. Sar al ecaţiilor siseelor SISTEM DE TIP: NATURA FIZICĂ: PARAMETRUL FIZIC: ECUAŢIA: ELECTRIC REZISTENŢA ELECTRICĂ R i R DISIPATIV MECANIC COEFICIENTUL DE FRECARE f f v f c f FLUIDIC REZISTENŢA FLUIDICĂ R f q R f p TERMIC REZISTENŢA TERMICĂ R q R M. Voic, IA (II) C (38) 5 Tabell II..b. Sar al ecaţiilor siseelor SISTEM DE TIP: NATURA FIZICĂ: ELECTRIC PARAMETRUL FIZIC: INDUCTANŢA ELECTRICĂ L ECUAŢIA: L di d ACUMULATOR INDUCTIV MECANIC FLUIDIC COEFICIENTUL DE ELASTICITATE INERTANŢA FLUIDICĂ I v = p df d dc d I dq d Legea li Hooke l f l = f df v = d M. Voic, IA (II) C (38) 6 l f = 8

9 Tabell II..c. Sar al ecaţiilor siseelor SISTEM DE TIP: NATURA FIZICĂ: PARAMETRUL FIZIC: ECUAŢIA: ACUMULATOR CAPACITIV ELECTRIC MECANIC CAPACITATEA ELECTRICĂ C MASA INERTĂ MOMENTUL DE INERŢIE M J i C d d f M dv d c J d d FLUIDIC CAPACITATEA FLUIDICĂ C f qcf dp d TERMIC CAPACITATEA TERMICĂ C q C d d Q Ecaţia calorierică Q = c C q C d d M. Voic, IA (II) C (38) 7 Exepll. Sise: resor () aorizor () asă ieră (3) x 3 M f f r f a f i f elee disipaiv elee aclaor idciv elee aclaor capaciiv f fr a v f v () d dv f i M d v = ẋ f Fig.II. x x dx( ) / d v v,, dv M d f f f, i v a f r f v( ) d f ( ) (.) x( ) v( ) d. M. Voic, IA (II) C (38) 8 9

10 SC Exepll. i i R R L C i L Fig.II. Sise: reziseţă (R) idcaţă (L) capaciae (C) i C i C i elee disipaiv elee aclaor idciv ir R i L L ( ) d elee aclaor capaciiv i C d C d R i L i. C d d i d R L ()(). (.) M. Voic, IA (II) C (38) 9 Siseele (.) şi (.) a odel aeaic ic. Ex.. Ex.. dv M f v v ()(), d f d (.) y y y d C d i ()(). d R L (.) y y y Folosid: î (.) v () d, y v, y v y, f ; î (.) rezlă: () d, y, y, y i. d y()() dy ()(). (.3) a a a y d d M. Voic, IA (II) C (38)

11 Siseele (.) şi (.) s izoorfe. A odell aeaic ic: a d y ( ) a dy ( ) a y ( ) ( ), (.3) d d c codiţiile iiţiale: dy() y() y, y. d Modell aeaic (.3) repreziă o clasă de sisee izoorfe. Ordil odelli aeaic = ărl de aclaoare de eergie idepedee = ărl de codiţii iiţiale. M. Voic, IA (II) C (38).3. Liiariae şi ivariaţă î ip Fig.II.3 () SISTEM y() ( ) y ( ) (.4) (caza) (efecl) () - ăriea de irare ; y() - ăriea de ieşire ( ) ( ) y( ) y ( ), ( ) ( ) y( ) y ( ). Defiiţia. (Pricipil spraperii efecelor) Sisel (.4) ese liiar dacă per orice c şi c are loc: ( ) c ( ) c ( ) y ( ) c y ( ) c y ( ). Orice abaere de la coporarea liiară sise eliiar M. Voic, IA (II) C (38)

12 O clasă iporaă de sisee reale ese aceea ale cărei odele aeaice s cosiie di ecaţii difereţiale iale ordiare liiare c coeficieţi cosa aţi. Defiiţia Sisel (.4) se eşe eed şi c paraeri coceraţi dacă odell aeaic ese o ecaţie sa se de ecaţii difereţiale ordiare. Defiiţia 3 Sisel (.4) (fig.ii.3) se eşe ivaria î ip dacă oţi paraerii săi s ivariaţi î ip. M. Voic, IA (II) C (38) 3 Caliaea eseţială a i sise ivaria î ip: sb acţiea irării (), evolţia ieşirii y() ese ivariaă per orice raslaţie a li, per acelaşi y = y( ) şi () rasla î ip c acelaşi. y, y y() y() Fig.II.6 () () + U sise eed, c paraeri coceraţi, ivaria î ip se repreziă pri ecaţii difereţiale ordiare c coef. cos. M. Voic, IA (II) C (38) 4

13 .4. Fcţia de rasfer U sise eed, c paraeri coceraţi, ivaria î ip şi liiar, c o irare şi o ieşire, are odell aeaic: d y d y d d a a.. a y b b.. b,, d d d d R (.5) a i R, a, b i R. şi s corelae c ărl de aclaoare de eergie, seificaive şi idepedee, di sise. Derivaele s î ses geeraliza sa î ses disribţii. Pâă la oel iiţial = sisel se află î repas: ( ), y( ),. (.6) M. Voic, IA (II) C (38) 5 Seificaţia relaţiei (),() y,. (.6) Observaţia. (.6) pricipil cazaliăţii: caza lă prodce efecl l; (.6) pricipili o-aicipării: efecl aicipează caza. Defiiţia 4 U sise cofor c (.6) se eşe o-aicipaiv aicipaiv. El se eşe aicipaiv dacă () ( < ) iplică y() ( < ). (.6) iplică () k ( ), k,, (.7) () k y ( ), k,. (.8) M. Voic, IA (II) C (38) 6 3

14 Se cosideră sisel: d y d y d d a a.. a y b b.. b, d d d d (.5) ( ), y( ),. (.6) () k ( ), k,, () k y ( ), k,. (.7) (.8) Se aplică rasforarea Laplace. Se obţie: U()() s,()() L, Y s L y...()...(), a s a s a Y s b s b s b U s (.9) b... ()(). s b s b Y s U s a s a s a... (.) M. Voic, IA (II) C (38) 7 b... ()(). s b s b Y s U s a s a s a... (.) U(s) bs b s... b a s a s a... Y(s) Fig.II.7 Defiiţia 5 Raporl dire Y(s) şi U(s) se eşe fcţia de rasfer. Y() s b... () s b s b G s, U() s (.) a s a s... a Ecaţia irare ieşire: Y()()(). s G s U s (.) M. Voic, IA (II) C (38) 8 4

15 bs G( s) a s b a s s... b... a. (.) Polioaele di (.) s relaiv prie. G(s) ese o raţioală de sc. G(s) depide de U(s) şi Y(s). G(s) depide de srcra şi paraerii siseli. G(s) poae fi scrisă sb fora: b ( s z ) i G ( s), z i p j, i,, j,. a ( s p ) j (.3) G() z, i,, i G() p, j,, j z i C zerorile fiie, p j C polii fiiţi. M. Voic, IA (II) C (38) 9 Defiiţia 6 Poliol oic b b b z()() s s z s... s, s (.7) i b b b se eşe poliol zerorilor. Poliol oic a a a p()() s s p s... s s (.8) j a a a se eşe poliol polilor. Polio oic coef. ereli de grad axi ese. = ax (, ) se eşe ordil siseli. M. Voic, IA (II) C (38) 3 5

16 Rolrile operaoriale ale polioaelor di G(s) bs Y( s) a s b a s s... b... a i () a j U( s), b () s z b z() s G() s, a s p p() s (.) (.3) Se ilsrează î coiare pri doă exeple că: b z() s a p () s iclde operaţii de aplificare şi derivare; el are efec de aicipare. iclde operaţii bazae pe iegrare; el are efec de îârziere. M. Voic, IA (II) C (38) 3 Exeplificare pri doă cazri liiă: Cazl derivaorli d() G(s) = s, Y(s) = su(s), respeciv, y() ; d () = si y() = cos, >. (), y() () = rad/sec y() [rad] y() ese î avas de fază c / faţă de (). Ieşirea derivaorli aicipează irarea. M. Voic, IA (II) C (38) 3 Fig.II.8 6

17 Cazl iegraorli G() s,()(), Y s U s respeciv y()() ; d s s () = si y() = ( cos )/, y s () = (cos )/, >. () = rad/sec y() y () () y s () copoea coiă [rad] copoea sisoidală Fig.II.9 y s () ese î îârziere de fază c / faţă de (). Ieşirea iegraorli îârzie irarea. M. Voic, IA (II) C (38) 33 Observaţia. poliol zerorilor odelează operaţii de aplificare derivare; efec de aicipare a li y() î rapor c (). iversl polioli polilor odelează operaţii bazae pe iegrare; efec de îârziere a li y() î rapor c (). Observaţia.3 Efecl se aifesă c îârziere faţă de cază. Operaorl iegraor a ese doia faţă de p () s operaorl derivaor b z() s. Doiaţa are loc ai dacă:. (.9) Defiiţia 7 G(s), c (.9), se eşe sric proprie. P. = se eşe proprie şi p. > iproprie. M. Voic, IA (II) C (38) 34 7

18 Exepll.4. Se po obţie G(s) c, corar c (.9). Moivl: la odelare s-a făc idealizări şi siplificări. Caz ipic: aplificaorl elecroic de cc. Uzal se adopă: y() = (), G ideal (s) = ( = = ). y y O aaliză rigroasă araă că : G () s, a s a s a s real 3 3 Aplificaorl (real) îârzie ieşirea faţă de irare. y G(s) < a i <<, i =,,3. y M. Voic, IA (II) C (38) 35 P. () le variabil, îârzierea ese eglijabilă. P. sficie de are, respeciv s sficie de ic se obţie: Greal ()() s, Gideal s a s a s a s 3 3 adică se accepă a i, i =,,3. Per irare reapă iară, () = σ(), U(s) = /s, cf. eoreei valorii fiale se obţie: y() = li y () = li s sg real (s)u(s) = = li s sg real (s)(/s) = li s G real (s) = G real () =. M. Voic, IA (II) C (38) 36 8

19 Per irare reapă iară, cf. eoreei valorii iiţiale se obţie: y (+) = li y() = li s sg real (s)u(s) = = li s sg real (s)(/s) = li s /(a 3 s 3 +a s +a s+) =. P. > foare ic, respeciv s foare are, G real (s) ai ese accepabilă. Aces fap ese ilsra de răspsl aplificaorli: G(s) y y M. Voic, IA (II) C (38) 37 Observaţia.4 Dpă idealizări / siplificări ale odelli aeaic se poae lcra c fcţii de rasfer proprii sa iproprii. Rezlaele obţie rebie ierpreae î coforiae c idealizările / siplificările odelli aeaic. M. Voic, IA (II) C (38) 38 9