Capitolul 1 Introducere

Transcript

1 TRADUCTORI SI PROCESE DE AUTOMATIZARI Capitolul 1 Introducere 1.1 Obiectul automaticii. Automatizarea proceselor. Sisteme de reglare automată. Prin automatizarea proceselor de producţie se urmăreşte asiguraraea tuturor condiţiilor de desfăşurare a acestora fără intervenţia omului. Această etapă presupune crearea acelor mijloace tehnice capabile să determine evoluţia proceselor într-un sens prestabilit, asigurându-se producţia de bunuri materiale la parametrii doriţi. Se poate vorbi în acest caz de procese de producţie automatizate a căror evoluţie este controlată în mod automat fără intervenţia omului. Etapa automatizarii presupune existenţa proceselor de producţie astfel concepute încât să permită implementarea mijloacelor de automatizare, capabile să intervină într-un sens dorit asupra proceslor, asigurând condiţiile de evoluţie a acestora în deplină concordanţă cu performanţele optime. Ansamblul format din procesul supus automatizării şi mijloacele tehnice ce asigură automatizarea acestuia onstituie un sistem automat, a carui reprezentare funcţională este dată în figura 1.1. Fig. 1.1 Obiectul condus, reprezentat ca sistem cu intrările u si v i şi ieşirea y, este supus acţiunii u generate de sistemul conducător (echipamentul de automatizare) şi acţiunilor mărimilor exogene v, care reprezintă perturbaţii. Perturbaţiile ce acţionează asupra proceselor pot fi aditive sau parametrice. Acţiunea perturbaţiilor aditive se acumulează la ieşire 1

2 cu acţiunea comenzii u, pe când acţiunea perturbaţiilor parametrice se concretizează în modificări structurale ale procesului. Legătura inversă (reacţia negativă inversă) de la obiectul condus la sistemul conducător are consecinţe deosebite asupra performanţelor globale ale sistemului (stabilitate, robusteţe, sensibilitate). Dacă sistemul conducător este descompus în mai multe componente care prelucrează informaţiile din proces şi programul impus pentru evoluţia dorită a acestuia (referinţa r se relizează o structură de sistem închis în cadrul căreia se evidenţiază principalele echipamente de automatizare (fig. 1.). Fig. 1. Astfel, variabila din proces (z) este măsurată şi convertită în informaţie disponibilă de prelucrare, notyată cu y, prin intermediul traductorului. Ragulatorul prelucrează referinţa r (programul y r ) şi variabila din proces y, generând comanda u în scopul asigurării evoluţiei mărimii de calitate din proces z, conform programului impus prin r, indiferent de acţiunea mărimii exogene v. Comanda u asigură prin intermediul elementului de execuţie modificarea corespunzătoare a sursei de energie a instalaţiei tehnologice, în sensul realizării evoluţiei dorite a variabilei z. Mărimea de execuţie m, obţinută la ieirea elementului de execuţie, definete fluxul de energie spre spre instalaţia tehnologică. Este de remarcat faptul că, prin intermediul regulatorului, elementului de execuţie şi traductorului se asigură evoluţia instalaţiei tehnologice, în conformitate cu programul impus prin r sau y r. Operatorului uman în acest caz îi revine sarcina de a stabili programul r.

3 Ansamblul de obiecte materiale, care asigură controlul desfăşurării proceselor tehnologice sau ale altor categorii de procese, fără intervenţia operatorului uman se numeşte echipament de automatizare. Intrucât variabilele z şi m sunt specifice fiecărei instalaţii tehnologice (proces), cel mai adesea, cele două componente ale structurii prezentate, direct conectate la proces, traductorul şi elementul de execuţie pot fi incluse în cadrul obiectului condus, iar schema funcţinală compactă a unui sistem automat este prezentată în figura 1.3. Regulatorul prelucrează referinţa r şi ieşirea măsurată y sau/şi eroarea ε = r y() t după legi definite. Semnalul de eroare ε () t se generează automat în cadrul regulatorului. Fig. 1.3 Pornind de la structura prezentată în figura 1. şi admiţând că faţă de un regim de funcţinare impus prin referinţa r ( t) = y r, abaterea ε = r y = y r y() t reprezintă un indicator de calitate raportat la acest regim impus instalaţiei tehnologice, spunem, că sistemul prezentat în figura 1.3 îndeplineşte sarcina de reglare dacă, indiferent de acţiunea mărimilor exogene ce acţionează asupra obiectului condus, este îndeplinită condiţia limε t ( t) = Un astfel de sistem poartă denumirea de sistem de reglare automată (SRA). Sistemele de reglare automată se clasifică după obiectul final al funcţiei reglării în două mari categorii - sisteme de rejecţie a perturbaţiilor sau cu referinţă fixă, în cadrul cărora funcţia de reglare urmăreşte în final realizarea mărimii de ieşire y la o valoare constantă egală cu refeerinţa, independent de contextul perturbator. In acest caz, sistemul de reglare automată 3

4 asihură funcţionarea instalaţiei tehnologice într-un regim staţionar fixat prin r = y r = onstant, indiferent de acţiunea perturbaţiilor aditive v() t ; - sisteme de urmărire, în cadrul cărora funcţia de reglare are ca efect final urmărirea cât mai fidelă de cătgre mărimea măsurată a mărimii de refeerinţă, care se constituie în program al sistemului de urmărire. In cazul în care mărimile perturbatoare sunt accesibile măsurării, funcţia de reglare se poate realiza prin eleborarea unor comenzi în funcţie de perturbaţii. Asemenea sisteme de reglare sunt cunoscute sub denumirea de sisteme de reglare cu acţiune directă (feedforward). In figura 1.4 se prezintă schema unui sistem de reglare după perturbaţie. Fig. 1.4 Comanda în acest caz este elaborată în funcţie de perturbaţia v t, care se presupune a fi accesibilă măsurării. Prin acţiunea comenzii u() t se asigură menţinerea regimuluinominal de funcţionare al instalaţiei tehnologice, fiind compensată direct acţiunea perturbaţiei aditive. v(t) Sistemele de reglare automată permit realizarea unor regimuri de funcţionare prescrise, fie sub forma unor programe fixe, fie sub forma unor programe ce se impun a fi urmărite de proces. Prin automatizarea unui proces, înţelegem ansamblul de funcţii generate de un echipament de automatizare, în scopul asigurării evoluţiei dorite a procesului. În afară de funcţia de reglare, în cadrul automatizării includem funcţiile de pornire automată, oprire, interblocare, protecţie, semnalizare, supraveghere etc, funcţii menite să asigure desfăşurarea procesului în mod automat, fără intervenţia operatorului, în condiţii de maximă siguranţă la cerinţe de performanţa prestabilite. Alizarea acestor funcţii () 4

5 presupune existenţa unor mijloace tehnice corespunzătoare şi metode specifice de proiectare a structurilor destinate automatizătii proceselor. Ramura ştiinţei care se ocupă cu studiul metodelor şi mijloacelor prin intermediul cărora se asigură conducerea proceselor tehnice, fără intervenţia directă a operatorului uman, poartă denumirea de Automatică. Introducerea practică a acesotr principii, metode şi mijloace de automatizare poartă denumirea de Automatizare. Automatizare proceselor industriale rezolvă cu succes problemele legate de asigurarea unor regimuri optime dorite pentru acestea, fără intervenţia subiectivă a operatorului uman, asigură conducerea unor procese greu accesibile ce evoluează în medii în care prezenţa omului este imposibilă. 1.. Probleme generale ale automatizării proceselor tehnologice In cadrul automaticii, pot fi evidenţiate: - probleme conceptuale legate de elaborarea unor principii şi metode de natură procedurală - probleme aplicative legate de realizarea unor echipamente şi structuri de sisteme de reglare şi de conducere. Problematica generală a automaticii cuprinde: 1) conceperea structurilor şi strategiilor optime pentru conducerea proceselor ) introducerea pe un suport hardware corespunzător ale acestor strategii. In cadrul elaborării unui sistem de automatizare, se impun urmatoarele etape: - pentru elaborarea structurilor şi strategiilor de conducere: a) construcţia modelelor funcţionale şi structural funcţionale pentru procese supuse automatizării, respectiv identificarea cât mai exactă a proceselor tehnologice b) sinteza structurilor şi strategiilor de reglare şi conducere, în vederea realizării unor obiective prestabilite la valori optime. - analiza introducerii structurilor şi strategiilor de conducere sintetizate pentru modelele cantitative cu maximă adecvare la realitate. Este de remarcat faptul că limitările echipamentelor hardware cât şi precizia modelelor matematice cu care se operează determină performanţele unei soluţii de automatizare. - validarea soluţiei de automatizare pe proces, prin analiza performanţelor realizate în urma folosirii soluţiei de automatizare. Astfel, automatizarea unui proces presupune alegerea şi dimensionarea celor mai eficiente mijloace tehnice, care să asigure 5

6 desfăşurarea procesului în conformitate cu cerinţele de performanţă impuse. Adoptarea unei soluţii adecvate de automatizare presupune pe de o partecunoaşterea cât mai completă a evoluţiei procesului, a resticţiilor tehnologice în care evcoluează, iar pe de altă parte proiectarea şi alegerea unei soluţii atât ca structură conceptuală cât şi ca echoipament de automatizare care să permită conducerea procesului după strategii predeterminate cu satisfacerea criteriilor de performanţă impuse întregului sistem de conducere. Analiza sistemelor de reglare (conducere) se impune ca o etapă importantă în studiul acestor sisteme pentru evidenţierea performanţelor realizate de o soluţie de automatizare. In abordarea problemelor de proiectare a sistemelor de reglare automată, o primă etapă o reprezintă alegerea şi dimensionarea elementelor de execuţie şi a traductoarelor. Aceste echipamente de automatizare se aleg şi se dimensionează în funcţie de particularităţile proceselor, de sursele de energie ale procesului, de particularităţile perturbaţiilor ce acţioneazăasupra acestuia şi de natura fizică a variabilelor măsurate precum şi de performanţele generale impuse sistemului de reglare. Alegerea echipamentelor hardware pentru introducerea strategiei de reglare reprezintă o altă etapă în realizarea unei soluţii de automatizare. De remarcat faptul că soluţia de automatizare este determinată de tipul procesului, de particularităţile şi complexitatea acestuia, de gradul de cunoaştere al procesului şi de cerinţele de performanţă impuse evoluţiei acestuia. Radul de automatizare şi complexitatea echipamantelor destinate conducerii unui proces sunt determinate de complexitatea strategiilor de conducere sintetizate, de cerinţele de performanţă impuse sistemului de conducere Stadiul actual şi tendinţe în automatizarea proceselor tehnologice Instrumentele analitice de analiză şi sinteză a sistemelor de reglare automată au cunoscut o puternică dezvoltare după perioada anilor 196. Formalismul strctural-funcţional (intrare-stare-ieşire), utilizat pentru caracterizarea sistemelor a ofst corelat cu facilităţile oferite de tehnica de calcul. Aceasta a permis elaborarea unei teorii unitare proprii sistemelor de reglare şi conducere a proceselor, asigurându-se saltul calitaiv de formulare şi rezolvare într-o manieră sistemică structurală a problemelor de conducere a proceselor. Automatica dispune astăzi de instrumente specifice pentru rezolvarea eficientă a oricărei probleme de analiză sau sinteză a sistemelor cu parametri concentraţi sau cu parametri 6

7 distribuiţi, deterministe sau stocastice, liniare sau neliniare. Au fost utilizate circuite integrate, au fost relizate sisteme de conducere cu un înalt grad de inteligenţă incorporat. Din 1975 automatizarea proceselor industriale a cunoscut o rapidă dezvoltare datorită progreselor tehnologice din domeniul microelectronicii. In ultima perioadă, s-au impus microprocesoare cu lugimea cuvântului de 3 biţi şi la frecvenţe mai mari de 5 MHz, multiplicatoare hardware rapide etc. Capitolul. Modele matematice. Identificarea proceselor..1 Noţiuni introductive A modela proces, obiecte naturale, sisteme, înseamnă de fapt a determina un set de relaţii între variabilele fizice specifice sub forma unor structuri matematice de tipul ecuaţiilor algebrice, ecuaţţilor diferenţiale sau sistemelor de ecuaţii difernţiale. Astfel, prin determinare unui model matematic al unui proces se urmăreşte obţinerea unei caracterizări cantitative a funcţinării acestuia cât mai apropiată de realitate. Pentru determinarea modelelor matematice asociate unor procese (obiecte fizice) se utilizează o combinaţie adecvată de procedee teoretice şi experimentale, a căror succesiune este determinată de caracteristicile sistemului supus modelării. Modelele matematice utilizate pentru caracterizarea proceselor pot fi structurale sau sintetice. Parametrii unui model structural au o interpretare structurală naturală şi sunt determinaţi de legi fizice specifice. Modelele sintetice nu sunt bazate pe legile fizice ce caracterizează procesul. O modelare eficientă presupune satisfacerea următoarelor trei cerinţe: - universalitate (se pot aplica modelele tuturor obiectelor ce fac parte dintr-o clasă de interes); - număr limitat de parametri; - identificabilitatea parametrilor. 7

8 Pentru diferite clase de procese pot fi constituite diverse modele matematice: modele continue sau discrete; modele dependente de timp sau invariante în timp; modele dinamice liniare sau neliniare; modele cu o intrare şi o ieşire sau cu mai multe intrări şi ieşiri; modele parametrice şi neparametrice; modele deterministe sau stocastice; modele cu parametri concentraţi sau cu parametri distribuiţi; modele fuzzy sau nonfuzzy; modele verbale sau neverbale. De remarcat faptul că un model poate fi caracterizat prin mai mulţi descriptori din cei menţinaţi. In multe cazuri, în funcţie de scopul urmărit, este suficient a avea un model care este valabil numai într-un punct de lucru. In acest caz, liniarizarea poate conduce la un model mai simplu şi mai util. Determinarea modelelor matematice pentru procese date este posibilă pe cale analitică sau experimentală. In primul caz modelul matematic se construieşte pe baza legilor fizice care generează dinamica procesului. Identificarea experimentală presupune construirea modelului matematic pe baza prelucrării variabilelor funcţionale (intrări, ieşiri) asociate procesului. Pentru obţinerea unui model matematic pe cale analitică se impune parcurgerea următoarelor etape: 1. Stabilirea conexiunilor procesului cu mediul înconjurător şi a ipotezelor simplificatoare asupra sistemului. Stabilirea ecuaţiilor de bilanţ pentru masele, energiile şi impulsurile care apar în cadrul sistemului. Scrierea acestor ecuaţii se face pentru componente ale sistemului sau pentru întregul sistem, evidenţiindu-se elementele acumulatoare şi disipatoare de energie în structura acestuia. Ecuaţiile de bilanţ, care reflectă variaţii ale acumulărilor, reprezintă ecuaţii diferenţiale, acestea fiind ecuaţii de stare ale sistemului 3. Modelul teoretic al procesului obţinut sub forma unor ecuţii ordinare şi/sau cu derivate parţiale, este supus unor simplificări, cum ar fi: - liniarizarea ecuaţiilor cu derivate parţiale, atunci când funcţionarea procesului are loc în vecinătatea unui punct nominal; - apoximarea prin ecuaţii diferenţiale ordinare a ecuaţiilor cu derivate parţiale; - reducerea ordinului ecuaţiilor diferenţiale ordinare. Identificarea proceselor îşi propune determinarea modelului matematic pe baza măsurărilor efectuate asupra variabilelor ce caracterizează evoluţia sa într-un anumit regim de funcţionare. Pe baza informaţiilor apriori despre proces, măsurările efectuate asupra variabilelor de intrare din proces, permit a determina, printr-o procedură 8

9 de identificare, legăturile dintre variabilele măsurate. Procedurile de identificare utilizate pot fi parametrice sau nu. Modelele obţinute prin identificare (prelucrarea datelor experimentale) au următoarele proprietăţi, în contrast cu modelele obţinute prin modelare matematică: - au validitate limitată pentru un punct de lucru precizat, un anumit tip de intrare şi un anumit proces; - au o semnificaţie fizică redusă, parametrii modelelor nu au semnificaţii fizice directe; - modelele sunt relativ uşor de construit şi de utilizat. Modelele obţinute în urma analizei teoretice şi experimentale pot fi comparate, eventualele neconcordanţe eliminându-se prin refacerea unor etape parcurse în procesul de construcţie a modelului analitic sau experimental. In funcţie de scopul urmărit, se poate alege fie modelul teoretic, fie modelul obţinut prin identificare. Modelul teoretic (analitic) reprezintă legătura funcţională dintre datele fizice ale procesului şi parametrii săi, fiind utilizat în condiţiile în care se cunosc suficiente elemente legate de de legile care caracterizează comportarea sa dinamică sau dacă trebuie simulată comportarea sistemului. Modelul experimental conţine ca parametri valori numaerice a căror legătură funcţională cu datele fizice ramâne necunoscută, fiind un model sintetic. Pentru determinarea modelului unui sistem nu se poate utiliza exclusiv unul din procesele de analiză teoretică sau experimentală, succesiunea acestora fiind determinată în special de scopul modelaării şi de particularităţile sistemului şi de informaţia iniţială idsponibilă. In figura.1 este prezentată o schemă de principiu ce ilustrează modul de obţinere a unui model matematic apelând la ambele metode. Astfel, pentru un proces dat, prin analiza teoretică se determină o structură a modelului matematic, iar printr-o procedură de identificare se ajustează parametrii modelului pentru a obţine aceeaşi comportare intrare-ieşire a procesului real. 9

10 Fig..1.. Analiza teoretică a proceselor fizice. Ecuaţii diferenţiale. Pornind de la particularităţile procesului, ţinând seama de legile de conservare a masei, energiei, impulsului etc, în contextul unor ipoteze simplificatoare admisibile, se pot obţine cu uşurinţă modele matematice sub forma unor ecuaţii diferenţiale sau ecuaţii cu derivate parţiale. Exemplul.1. Pentru a ilustra modul de obţinere a unui model matematic prin analiză teoretică, considerăm sistemul mecanic din figura., a şi circuitul electric.,b. a) b) Fig.. 1

11 Presupunem că asupra unui corp de masă M acţionează idn exterior o forţă F, iar deplasarea x a corpului faţă de o stare de echilibru x e este redusă. Admitem, în acest caz că resortul este caracterizat de k, o constantă de forţă constantă (resort ideal) iar coeficientul de frecare vâscoasă f este de asemenea constant (independent de poziţia şi viteza de deplasare a corpului). In acest caz, evidenţiem în structura acestui msistem mecanic două elemente acumulatoare de energie cinetică (masa M) sşi de energie potenţială resortul) şi un disipator de energie (amortizorul). Prin aplicarea legii a doua a lui Newton, se obţine d y dy M + f + ky = F e (. 1) Această ecuaţie este o ecuaţie diferenţială liniară de ordinul II. Intr-o manieră similară, admiţând elementele de circuit R, L, C din figura., b, ideale, se poate obţine modelul matematic asociat circuitului electric din figura.,b, aplcând legea lui Kirchoff: u(t) R + C du(t) + t 1 u( τ)dτ = i(t) L Cele două ecuaţii sunt similare dacă în ecuaţia (.1) vom considera ca variabilă de ieşire viteza v(t) de deplasare a corpului de masă M, în locul depplasării x: (. ) t dv(t) dv(t) M + f + k v( τ)dτ = Fe (. 3) Cele două sisteme, fiind descrise de ecuaţii analoage, sunt sisteme analoage, iar variabilele vt şi u(t) sunt denumite variabile analoage. Sisteme analoage cu soluţii similare există pentru sisteme electrice, mecanice, termice şi cu fluid. Analogiile existente între diversele sisteme fizice permit studiul; unor clase largi de procese pe baza unor modele matematice generale. Construcţia unor modele matematice prin analiza teoretică a proceselor fizice are la bază evidenţierea în structura proceselor a elementelor acumulatoare şi disipatoare de energie. In cazul circuitului 11

12 electric, reprezentat în figura.,b, rezistenţa electrică reprezintă elementul disipator, iar capacitatea şi inductanţa reprezintă elementele acumulatoare. Modelele parametrice (.) şi (.3) pot fi aduse la o formă generală ce caracterizează sintetic toate procesele ce conţin în structura lor două acumulatoare de energie şi un disipator. Variabila de intrare (din membrul drept al ecuaţiei (.1) se notează de obicei u(t), punand în evidenţă şi dependenţa sa de timp. Ea devine: d y dy + f + ky = u(t) (. 4) M Modelele parametrice (.) şi (.3) ca şi (.4) pot fi aduse la o formă generală ce caracterizează sintetic toate procesele ce conţin în structura lor două acumulatoare de energie şi un disipator. Astfel, dacă pentru modelul (.4), de exemplu, introducem notaţiile, a căror semnificaţie o vom detalia pe parcurs, k ω n = - pulsaţia naturală (. 5) M δ f h = = - h- factorul relativ de amortizare (. 6) ω km n - δ -factorul de amortizare, 1 K = - coeficientul de transfer (amplificare) (. 7) k variabila de ieşire y(t) este reprezentată de deplasare, iar variabila de intrare u(t) este reprexentată de forţa externă F e, se poate obţine modelul de ordinul doi sub forma: d y(t) dy(t) + hωn + ωn y(t) = K ωnu(t) (. 8) Modelul matematic sub forma unei ecuaţii diferenţiale liniare de ordinul doi este obţinut în ipoteza unei deplasări reduse a masei M. In cazul nerespectării ipotezelor simplificatoare admise se obţine un model 1

13 neliniar. Liniaritatea unui model este evidenţiată prin relaţia dintre ieşire şi intrare, sistemelor liniare aplicându-se principiul superpoziţiei. Dacă y 1 (t) este ieşirea unui sistem supus acţiunii intrării u 1 (t), iar y (t) este determinată de acţiunea intrării u (t), conform acestui principiu spunem că sistemul este liniar dacă la o intrare u(t) = u1 (t) + u ( t) se obţine o ieşire y(t) = y1 (t) + y (t). Un sistem liniar se bucură de asemenea de proprietatea de omogenitate, pentru o intrare αu(t) se obţine o ieşire αy(t), unde α este un factor de amplificare. Astfel, un sistem caracterizat prin relaţia y = u nu este liniar, nefiind satisfăcut principiul superpoziţiei, iar sistemul caracterizat prin relaţia y = mu + n nu satisface proprietatea de omogenitate. Acest din urmă sistem poate fi considerat liniar în jurul unui punct de funcţionare (, y ) pentru variaţii mici u şi y în vecinătatea acestui punct. Pentru putem scrie ecuaţia: y + u u u = + u şi y = y + y, + y = mu + m u u (. 9) şi astfel y = m u, sistemul satisface ambele cerinţe, fiind astfel liniar. Aproximaţia unui model neliniar cu un model liniar este determinată de precizia cu care se pot admite variaţii reduse ale variabilelor dependente în vecinătatea punctului de funcţionare. In cele ce urmează admitem că procesele fizice sunt descrise de ecuaţii liniarizate (liniare) în vecinătatea punctului de funcţionare. Un sistem de ordinul I este descris de o ecuaţie diferenţială liniară de ordinul intâi: sau unde: dy(t) + a y(t) b u(t) (. 1) a1 = dy(t) + y(t) = K u(t) (. 11) T a a 1 T = - constanta de timp a sistemului (. 1) b K = - coeficientul de transfer sau de amplificare (. 13) a 13

14 Modelul (.11) este un model parametric sintetic. Similar, pentru sistemul de ordinul doi, ecuaţia diferenţială liniară ce descrie funcţionarea acestui sistem are forma genarală: sau unde: d y(t) dy(t) + a1 + a y(t) b u(t) (. 14) a = d y(t) dy(t) + hωn + ωn y(t) = K ωnu(t) (.7) a a 1 ω n = ; h = ; K = (. 15) a a a a b.3 Funcţia de transfer O funcţie de transfer este dată de raportul între variabila de ieşire şi variabila de intrare şi este exprimată in funcţie de valoarea complexă a frecvenţei sau pulsaţiei s=j ω. Dacă se cunosc H F (s), funcţia de transfer asociată ansmblului format din elementul de execuţie, instalaţia tehnologică şi traductor (ca proces condus) şi H (s) funcţia de transfer a sistemului, (ieşire în raport cu referinţa) atunci se poate determina funcţia de transfer H R (s) a regulatorului unui sistem de reglare automată. Problema proiectării revine la a determina H R (s) astfel încât sistemul să satisfacă cerinţele de performanţă impuse atât în raport cu referinţa, cât şi în raport cu perturbaţia (aşa cum vom explicita mai departe). De exemplu, pentru sistemul de reglare automată din figura 1.3, funcţia de transfer a regulatorului poate fi calculată astfel: H R H () s ()( s 1 H (s)) (s) = (. 16) H F Stabilirea funcţiei de transfer se face cu ajutorul transformatei Laplace. Conform definiţiei, transformata Laplace F(s) pentru o funcţie f(t) este: () s = Lf () s = f () t F e st (. 17) 14

15 unde f(t) = pentru t<. Să calculăm funcţiile de transfer pentru un sistem liniar de ordinul intâi si pentru un sistem liniar de ordinul doi. Aplicăm transformarea Laplace L ecuaţiei (.1), adică înmulţim fiecare parte cu e -st şi integrăm în raport cu t de la la : dy(t) st st st 1 e + a y(t)e = b u(t)e a (. 18) Dacă integrăm prin părţi primul termen din membrul stâng al ecuaţiei şi avem in vedere ca la mometul iniţial t=, atât funcţia y(t) cât şi orice derivată a sa este nulă, n d y ( t) atunci obţinem: n = =, (. 19) t ( s a ) Y( s) b U( s) + (. ) a1 = unde Y(s) şi U(s) sunt transformatele Laplace ale funcţiilor y(t) şi respectiv u(t). Funcţia de transfer H(s), definită de relaţia: () s H() s U() s Y = (. 1) capătă expresia: () H s () b = () a1s + a Y s = (. ) U s Folosind ecuaţia (.11), funcţia de transfer are următoarea formă: () H s K = (. 3) Ts + 1 Funcţia de transfer (.3) corespunde unui element proporţional cu intârziere de ordinul întâi. 15

16 Dacă urmăm acelaşi procedeu pentru transformata Laplace pentru ecuaţia ce descrie un sistem liniar de ordinul doi, cu condiţiile iniţiale (.19), rezultatul este: K ω = (. 4) s + hω s + ω n () H s n n Este de remarcat faptul că prin aplicarea transformatei Laplace în condiţii iniţiale nule se obţin relaţii algebrice ce definesc dependenţa între cele două variabile complexe, relaţii supuse operaţiilor algebrice de adunare, înmulţire, împărţire. Exemplul. Se consideră un motor de curent continuu cu excitaţie independentă. Se cere construirea unui model matematic sub forma funcţiei de transfer. Presupunem că tensiunea de excitaţie este constantă (u e = constant), iar elementele de circuit au comportare ideală. Aplicăm teorema a doua a lui Kirchoff în circuitul în care se află rotorul: Fig..3 di A U A e = L + Ri A unde e este tensiunea contraelectromotoare care este proporţională cu viteza unghiulară, R şi L reprezintă rezistenţa şi inductanţa echivalentă a circutului rotoric. 16

17 Apoi, scriem ecuaţia cuplurilor la axul motorului: d θ dθ I + b = K mi A + C r unde I reprezintă momentul de inerţie al pieselor în mişcare redus la axul motorului, b coeficient de amortizare (în Joule.s), θ - poziţia unghiulară a axului motorului; K m o constantă mecanică a motorului, C r cuplul rezistent. dθ Dacă se ia în considerare relaţia e = K e, unde K e este o constantă de proporţionalitate (fluxul de excitaţie este constant). Daca se aplică transformarea Laplace celor două ecuaţii pentru condiţii iniţiale nule, se obţine: U A s Is θ K sθ(s) = ( Ls + R) i ( s) e () s + bsθ() s = K i () s m A A Prin eliminarea variabilei intermediare i A (s), se obţine funcţia de transfer H s = θ s / U : () () A () H s = Exemplul.3 sk m ( Is + bs)( R + Ls) + K K s m e Funcţia de transfer pentru element cu timp mort: () t = Ku( t τ) y (. 5) Mai intâi calculăm transformata Laplace pentru ecuaţia (.5). procedând ca şi în cazurile anterioare: y st st () t e = K u( t τ) e (. 6) 17

18 y st s( t τ) st () t e = K e e u( t τ) care, pentru condiţii iniţiale nule, ne conduce la: sτ () = Ke U() s Y s In acest caz, funcţia de transfer H(s) este: (. 7) (. 8) () s () () Y s U s sτ H = = Ke (. 9) Exemplul.4 Funcţia de transfer pentru un element cu timp mort şi timp de întârziere de ordinul întâi: ( t) dy T + y() t = Ku( t τ) (. 3) După aplicarea transformatei Laplace: T obţinem: dy TsY s () t e st st s( t τ) () t e = K u( t τ) e sτ + y e (. 31) sτ ( ) Y( s) = Ke U( s) Funcţia de transfer este: + (. 3) () H s = sτ () Ke = () Ts + 1 Y s U s (. 33) 18