ECONOMIE I - MICROECONOMIE -

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ECONOMIE I - MICROECONOMIE -"

Transcript

1 Emil Dinga ECONOMIE I - MICROECONOMIE - - note de curs -

2 CUPRINS CUPRINS.... PROBLEMELE FUNDAMENTALE ALE ECONOMIEI POLITICE Întrebările fundamentale e care (şi) le une teoria economică Nevoile economice sursa activităţii economice Bunurile economice Activitatea economică Resursele economice şi factorii de roducţie Raritate şi alegere. Avantajul comarativ, secializarea şi schimbul Frontiera osibilităţilor de roducţie Costul de oortunitate Economie ozitivă vs economie normativă Microeconomie, macroeconomie, mondoeconomie.... PIAŢA ŞI ACTORII EI Economia naturală vs economia monetară Ce este iaţa? Tiologia ieţei Agenţii economici (actorii ieţei) Moneda şi iaţa Mecanismul ieţei Piaţa şi guvernul Fluxurile economice TEORIA CONSUMULUI. COMPORTAMENTUL CONSUMATORULUI Teoria utilităţii Utilitatea totală şi funcţia de utilitate Utilitate marginală. Paradoxul aă-diamant Curba de indiferenţă Bugetul consumatorului Alegerea otimă a consumatorului Variaţia bugetului la reţuri constante Variaţia reţurilor la buget constant Arbitrajul în tim al consumatorului TEORIA PRODUCŢIEI. COMPORTAMENTUL PRODUCĂTORULUI Funcţia de roducţie Produs global şi rodus marginal. Productivitatea factorilor Izocuanta Bugetul roducătorului Alegerea otimă a roducătorului Variaţia bugetului la reţuri constante Variaţia reţurilor la buget constant...48

3 5. COSTUL DE PRODUCŢIE. PREŢUL Concetul şi tiologia costului de roducţie Funcţia costului e termen scurt Punctul mort al firmei (ragul de rentabilitate) Punctul de închidere a firmei Preţul de ofertă Costul de roducţie e termen lung CEREREA ŞI OFERTA. ECHILIBRUL MICROECONOMIC Concetul de cerere. Surlusul consumatorului Concetul de ofertă. Surlusul roducătorului Elasticităţile Mâna invizibilă. Preţul de echilibru Interdeendenţa ieţelor - Legea Walras Ajustarea echilibrului microeconomic CONCURENŢA ECONOMICĂ. CONCURENŢA PERFECTĂ Concetul de concurenţă economică Tiologia concurenţei economice Axiomele concurenţei erfecte Modelul concurenţei erfecte Deciziile economice în concurenţa erfectă MONOPOLUL, MONOPSONUL, FIRMA MONOPOLISTICĂ A. Monoolul A.. Concetul de monool A.. Sursele uterii de monool A.3. Modelul economic al monoolului A.4. Deciziile economice în concurenţa monoolistă A.5. Ineficienţa economică şi socială a monoolului A.6. Discriminarea reţului de către monool A.7. Bariere la intrarea e iaţa monoolistă A.8. Gradul de monoolizare a ieţei A. MONOPSONUL A.. Concetul de monoson A.. Modelul economic al monosonului A.3. Deciziile economice în condiţii de monoson A3. MONOPOLUL BILATERAL A3.. Concetul de monool bilateral A3.. Modelul economic al monoolului bilateral A3.3. Deciziile economice în monoolul bilateral A4. Concurenţa monoolistică A4.. Concetul de firmă (concurenţă) monoolistică A4.. Modelul economic al concurenţei monoolistice...97

4 8.A4.3. Teorema excesului de caacitate OLIGOPOLUL Concetul şi tiologia oligoolului Preţul de oligool Strategii oligooliste Strategii concurenţiale oligoolul omogen Duoolul Cournot Duoolul Stackelberg Duoolul Bowley Duoolul Bertrand Strategii concurenţiale oligoolul diferenţiat Strategii de cooerare e iaţa oligoolistă Conglomeratul...

5 TEMA NR.. PROBLEMELE FUNDAMENTALE ALE ECONOMIEI POLITICE. Întrebările fundamentale e care (şi) le une teoria economică. Nevoile economice sursa activităţii economice 3. Bunurile economice 4. Activitatea economică 5. Resursele economice şi factorii de roducţie 6. Raritate şi alegere. Avantajul comarativ, secializarea şi schimbul 7. Frontiera osibilităţilor de roducţie 8. Costul de oortunitate 9. Economie ozitivă vs economie normativă 0. Microeconomie, macroeconomie, mondoeconomie.. Întrebările fundamentale e care (şi) le une teoria economică Teoria economică a aărut ca urmare a necesităţii de a găsi fundamente logicoraţionale la alocarea resurselor rare entru utilizări alternative, în scoul atingerii unui grad şi structuri accetabile ale satisfacerii nevoilor economice În context, teoria economică (îşi) une următoarele întrebări: Ce să se roducă Cum să se roducă Cât să se roducă Pentru cine să se roducă Răsunsul la cele atru întrebări esenţiale descrie tiul de sistem economic: Sistem economic de comandă: răsunsul este dat de un gru de exerţibirocraţi, e baza centralizării informaţiilor şi deciziilor la nivelul economiei naţionale Sistem economic de iaţă: răsunsul este dat de forţele imersonale ale ieţei, e baza descentralizării maximale a informaţiei şi deciziei Sistem economic mixt: răsunsul rerezintă o combinaţie între centralizarea şi descentralizarea informaţiei şi deciziei, în funcţie de caracterul ublic sau rivat al bunului/acţiunii economic(e) resectiv(e)... Nevoile economice sursa activităţii economice Definiţie: nevoia economică rerezintă o necesitate de natură materială, destinată să asigure existenţa şi dezvoltarea biologică a individului/gruului social Trăsăturile nevoii economice: este o nevoie de natură materială

6 are, concomitent, un caracter obiectiv şi subiectiv este ersistentă: odată satisfăcută, nu disare, ci revine cu o anumită eriodicitate şi intensitate este generatoare de noi nevoi economice: rin satisfacerea sa, nevoia economică oate determina aariţia altor nevoi economice conexe sau exlicitarea unor nevoi economice imlicite are caracter dinamic: nevoia economică se modifică, fie că este fie că nu este satisfăcută (deseori, chiar în funcţie de gradul şi calitatea satisfacerii ei) formează un sistem, suus caracteristicilor de comlementaritate, substituibilitate şi cometitivitate are tendinţa creşterii nelimitate (cantitativ, structural, calitativ) Tiologia nevoii economice duă natura lor: naturale (fiziologice) sociale de dezvoltare (raţionale) duă structura lor: elementare comlexe (suerioare) Funcţiile nevoii economice (satisfacerea sa) rerezintă obiectivul final (scoul) oricărei acţiuni (activităţi) economice constituie declanşatorul (causa eficiens) oricărei acţiuni (activităţi) economice rerezintă ilonul de constituire şi închidere a oricărui circuit economic (material şi/sau monetar) NEVOIA ECONOMICÃ BUNURI ECONOMICE ACÞIUNE (ACTIVITATE) ECONOMICÃ Circuitul economic fundamental RESTIMULAREA SISTEMULUI DE NEVOI ECONOMICE RESURSE ECONOMICE FACTORI DE PRODUCÞIE

7 Figura : Circuitul economic fundamental.3. Bunurile economice Definiţie: Orice entitate, rezultat al acţiunii umane, destinat să satisfacă o nevoie economică dată Clasificare: duă origine: bunuri libere nu sunt rezultat al acţiunii umane, nu au costuri de rocurare bunuri economice sunt rezultat al acţiunii umane, au costuri de rocurare duă modul de circulaţie: bunuri marfă trec de la roducător la consumator rin iaţă bunuri non-marfă trec de la roducător la consumator fără intermedierea ieţei duă scoul consumului: bunuri finale sunt destinate consumului final (bunuri de consum) bunuri intermediare sunt destinate consumului roductiv (bunuri de echiament sau de investiţii) duă sectorul economic în care sunt roduse: bunuri ublice sunt destinate satisfacerii nevoilor economice ublice (colective) bunuri rivate sunt destinate satisfacerii nevoilor economice rivate (individuale) duă tangibilitate: bunuri sunt substanţiale (tangibile) : momentul roducerii lor diferă de momentul consumului servicii sunt non-substanţiale : momentul roducerii lor coincide cu momentul consumului Trăsăturile bunurilor economice: sunt rezultat al acţiunii (activităţii) umane sunt utile sunt disonibile (accesibile) sunt rare Raritatea: rorietatea unui bun (sau resursă economică) de a fi insuficient(ă) în raort cu nevoia sau nevoile economice generatoare R = f( NE,BE); R = f(ne,re) Raritatea este o relaţie între nevoia economică şi bunul (resursa) asociat(ă) unde: R este raritatea, NE este nevoia economică, BE este bunul economic asociat nevoii economice, RE este resursa economică asociată nevoii economice.4. Activitatea economică

8 Definiţie: ansamblul de acţiuni umane, individuale sau socializate, destinate să obţină bunurile economice necesare satisfacerii nevoilor economice Forme ale activităţii economice: duă forma de rorietate asura bunurilor intermediare utilizate: activităţi economice rivate roduc bunuri şi servicii rivate (individuale) activităţi economice ublice roduc bunuri şi servicii ublice (colective) duă gradul de relucrare a bunurilor de consum: sectorul rimar: bunurile economice au un grad de relucrare rimar, inciient sectorul secundar: bunurile economice au un grad de relucrare suerior sectorul terţiar: bunurile economice aar exclusiv sub forma serviciilor duă transarenţa în raort cu contabilitatea naţională: activităţi economice oficiale: sunt contabilizabile de către autoritatea ublică roducătoare de mărfuri: agenţii economici roriu-zişi roducătoare de bunuri economice non-marfă: economia casnică (gosodării) activităţi economice subterane: scaă contabilizării autorităţii ublice.5. Resursele economice şi factorii de roducţie Definiţie: Orice entitate, naturală sau artificială (artefact) suscetibilă să fie atrasă în circuitul economic fundamental în scoul obţinerii de bunuri economice Tiologie: oulaţia sursa factorului muncă resursele naturale sursa factorului ământ otenţialul creativ sursa factorului caital otenţialul managerial sursa factorului antrerenoriat Bariere în calea atragerii resurselor economice în circuitul economic fundamental limita tehnologică accesibilitatea tehnologică a resurselor are caracter istoric are caracter ireversibil limita economică reţul rohibitiv sau nu în atragerea resurselor are caracter reversibil deinde şi de factori non-economici dar care influenţează factorii economici limita ecologică gradul de deteriorare a mediului ambiant unii analişti consideră că este, de fat, o secie a limitei economice (în sensul că oate fi redusă la o chestiune de accetabilitate/nonaccetabilitate a reţului

9 limita juridică stiularea, rin norme juridice, a regimului de atragere a unor resurse economice în circuitul economic fundamental limita morală cutume, tradiţii, etc. care reglementează, sub sancţiuni nonjuridice, regimul de atragere a unor resurse economice în circuitul economic Factorii de roducţie Definiţie: acele resurse economice care deăşesc barierele menţionate mai sus şi sunt atrase efectiv în circuitul economic Tiologie: duă natură: muncă, caital, ământ (resurse naturale) duă origine: a) rimari (muncă, resurse naturale); b) secundari (caital).6. Raritate şi alegere. Avantajul comarativ, secializarea şi schimbul Datorită rarităţii, este necesară alegerea între utilizările alternative ale resursei economice rare Costul alegerii între alternative se numeşte cost de oortunitate Definiţia costului de oortunitate: avantajul maxim la care se renunţă atunci când se face o alegere Trăsăturile costului de oortunitate: funcţionează în orice decizie, nu numai în cele rivind activitatea economică (rerezintă o evaluare economică a oricărei decizii) nu are întotdeauna (şi nici în mod exhaustiv) o exresie monetară Alegerea raţională se face atunci când se minimizează costul de oortunitate (se realizează avantajul comarativ) Alegerea raţională conduce la secializare: căătarea abilităţilor de orice fel (tehnologice, manageriale etc.) de a realiza un anumit bun economic cu costuri mai mici decât realizarea oricărui alt bun economic dintr-o resursă economică dată Urmarea logică a secializării este schimbul economic: cedarea bunului în care s-a realizat secializarea în schimbul altui bun necesar economic, aşa încât, e ansamblul sistemului economic, să se realizeze satisfacerea globală a tuturor nevoilor economice.7. Frontiera osibilităţilor de roducţie Definiţie: frontiera osibilităţilor de roducţie rerezintă ansamblul unctelor ce semnifică alegeri eficiente (care euizează resursa) ale agentului economic în ceea ce riveşte combinaţia de roducţie dintr-o resursă economică rară, cu utilizări alternative, dată Particularităţi: este descrescătoare (exlicaţie: creşterea cantităţii roduse dintr-un bun, din resursa limitată R, are ca efect scăderea cantităţii roduse din bunul alternativ şi invers)

10 y este concavă: (exlicaţie: e măsură ce coborâm dinsre unctul A sre unctul B, se va renunţa la cantităţi din ce în ce mai mari din bunul y entru a roduce o unitate sulimentară din bunul x) y max y A x D D A C y C R y B B x x A x C x D Figura : Frontiera osibilităţilor de roducţie x B x max Ecuaţie: Pe baza notaţiilor din figura anterioară şi e baza relaţiilor cunoscute din geometria analitică, se oate determina ecuaţia frontierei (curbei) osibilităţilor de roducţie: x x max + y y max = y = y max y x max max x.8. Costul de oortunitate Pe baza frontierei osibilităţilor de roducţie se oate vizualiza costul de oortunitate al unei decizii economice:

11 y Co y max y A A y B dy BA B dy BC Co y C C dx BA dx BC x x A Figura 3: Costul de oortunitate al deciziei economice X B x C x max.9. Economie ozitivă vs economie normativă Economia ozitivă: acea discilină care, în materia fenomenului economic, stabileşte efectul rezultat în urma variaţiei unor variabile economice indeendente, în condiţii bine recizate nu roduce judecăţi de valoare şi nici nu leacă de la ele Economia normativă: acea discilină care, în materia fenomenului economic, este reocuată de asectul axiologic al rocesului economic, inclusiv al măsurilor de olitică economică leacă de la şi ajunge la judecăţi de valoare cu rivire la dezirabilitatea, moralitatea etc. dinamicii economice Analiza economică nu este niciodată ur ozitivă sau ur normativă, cele două abordări intercondiţionându-se. Totuşi, se are că, în cercetarea abstractă, domină economia ozitivă în tim ce, în olitica economică, domină economia normativă

12 .0. Microeconomie, macroeconomie, mondoeconomie Microeconomie: acel nivel de agregare a (activităţilor) agenţilor economici la care decizia economică recum şi influenţele acesteia se iau şi se exercită la nivel de individ (ersoană fizică, gosodărie, firmă) - ractic, sunt considerate decizii microeconomice deciziile individuale Macroeconomie: acel nivel de agregare a (activităţilor) agenţilor economici la care decizia economică se ia şi îşi exercită influenţele la nivelul ansamblului economiei naţionale - ractic, sunt considerate decizii macroeconomice deciziile guvernamentale Mondoeconomie: acel nivel de agregare a (activităţilor) agenţilor economici la care deciziile (fie individuale, fie guvernamentale) se iau şi îşi exercită influenţele de către/asura agenţilor economici din ţări diferite Coresunzător celor trei niveluri de agregare a activităţilor (agenţilor economici), există trei categorii de ieţe generice: ieţe microeconomice (entru fiecare bun economic); ieţe naţionale; ieţe internaţionale (mondiale)

13 TEMA NR.. PIAŢA ŞI ACTORII EI. Economia naturală vs economia monetară. Ce este iaţa? 3. Tiologia ieţei 4. Agenţii economici (actorii ieţei) 5. Moneda şi iaţa 6. Mecanismul ieţei 7. Piaţa şi guvernul 8. Fluxurile economice.. Economia naturală vs economia monetară Economia naturală: acel mod de organizare a activităţii economice rin care toate nevoile economice sunt satisfăcute din roducţia rorie a agentului economic, nefiind necesar schimbul economic - condiţii de existenţă: libertatea economică (rorietatea rivată asura resurselor) Piaţa: acel mod de organizare a activităţii economice rin care ansamblul nevoilor economice nu oate fi satisfăcut decât rin secializarea agenţilor economici în realizarea diferitelor bunuri economice şi rin schimbul acestora între agenţi - condiţii de existenţă: a) secializarea b) schimbul (nu neaărat rin intermedierea monedei) Economia de schimb (economie monetară): acea iaţă în care tranzacţiile economice se desfăşoară rin intermedierea monedei - condiţii de existenţă: a) secializarea b) schimbul c) moneda ca mijloc general de schimb Economia de iaţă: acea economie de schimb caracterizată rin libertate economică (rorietatea rivată asura resurselor economice şi asura rezultatelor activităţii economice) - condiţii de existenţă: a) libertatea economică b) secializarea c) schimbul d) moneda OBS:

14 . Economia naturală nu imlică iaţa, în tim ce economia de schimb imlică aariţia şi funcţionarea ieţei. Economia naturală se caracterizează rin alocarea subotimală a resurselor, în tim ce economia de schimb realizează alocarea resurselor e baza avantajului comarativ 3. Elemente de economie naturală sau de economie de schimb nemonetară se întâlnesc şi în sistemele economice moderne elemente de economie naturală: roducţia casnică a gosodăriilor elemente de economie de schimb nemonetară: barter (troc) efectuat entru a contracara lisa de lichidităţi monetare sau entru a contracara derecierea raidă a monedei Economie naturalã Piaþã Economie de schimb Economie de iaþã Figura 4: Formele de organizare a activităţii economice.. Ce este iaţa? Definiţie: ansamblul relaţiilor de vânzare-cumărare efectuate într-o anumită erioadă, cu rivire la un bun economic determinat NB: În continuare, rin iaţă vom înţelege, întotdeauna, economia de iaţă, aşa cum a fost definită mai sus Funcţii (rol): unerea în contact a cererii cu oferta şi stabilirea echilibrului microeconomic crearea semnalelor (sistemului de reţuri relative) rivind alocarea resurselor şi distribuirea rezultatelor activităţii economice: răsunsul la cele 4 întrebări ale economiei locul de manifestare a mâinii invizibile : concurenţa economică ură coordonarea deciziilor microeconomice otime.3. Tiologia ieţei

15 Duă natura obiectului: iaţa de bunuri şi servicii iaţa financiară (de caital) iaţa creditului (monetară) iaţa muncii Duă modul de efectuare a tranzacţiilor: iaţa de gros iaţa en detail Duă tangibilitatea obiectului: iaţa de bunuri iaţa de servicii Duă structura ieţei (duă gradul de cometitivitate): iaţă erfectă (cu concurenţă erfectă) iaţă imerfectă (cu concurenţă imerfectă) monoolistică monoolistă oligoolistă Duă diferenţierea încheierii tranzacţiei de realizarea ei: ieţe la vedere (momentul încheierii tranzacţiei coincide cu cel al realizării ei) ieţe futures (momentul realizării tranzacţiei este ulterior momentului încheierii ei) Duă gradul de transarenţă: iaţa oficială: evidenţiate în contabilitatea naţională iaţa subterană (neagră): neevidenţiată în contabilitatea naţională.4. Agenţii economici (actorii ieţei) Definiţie: Agenţii economici rerezintă ersoane fizice sau entităţi juridice care articiă la rocesul economic, fie rin intermediul ieţei fie în afara ei Rolul (funcţiile) agenţilor economici: urtători ai informaţiilor rivind cererea şi oferta decidenţi cu rivire la oferta şi cererea viitoare decidenţi cu rivire la echilibrul microeconomic (decizia de clearing market) Criterii de diferenţiere a agenţilor economici: duă gradul de agregare duă sursa venitului obţinut duă funcţia economică Tiologia agenţilor economici (sectoare instituţionale): Agenţi economici individuali ersoane fizice

16 Agenţi economici agregaţi menaje (gosodării) societăţi non-financiare societăţi financiar-bancare administraţii rivate administraţii ublice restul lumii Denumire agent economic Persoană fizică Menaj (gosodăria) Sursa venitului - salarii şi alte venituri din muncă - ajutoare sociale - încasări din vânzări de bunuri - salarii şi alte venituri din muncă - ajutoare sociale Funcţia economică - consum de bunuri şi servicii comerciale şi non-comerciale - roducţie de bunuri şi servicii comerciale şi necomerciale - consum de bunuri şi servicii comerciale şi non-comerciale - roducţie de bunuri şi servicii comerciale şi necomerciale - încasări din vânzări de bunuri Societate nonfnanciară şi servicii non-financiare încasări din vânzarea de bunuri roducţie de bunuri şi servicii non-financiare - încasări din angajamente - colectarea şi redistribuirea disonibilităţilor Societate Figura 5: Sectoarele contractuale instituţionale din economie financiare financiar-bancară - rime contractuale - garantarea acoeririi riscurilor Administraţie - contribuţii benevole servicii non-comerciale sau comerciale, fără rivată - încasări din vânzarea serviciilor sco lucrativ.5. Moneda şi iaţa Administraţie relevări obligatorii de la ceilalţi - servicii non-comerciale ublică agenţi economici - redistribuirea venitului naţional Activ: orice entitate care conferă osesorului - consumator utere de şi roducător cumărare de bunuri şi servicii Restul lumii - surse interne şi externe comerciale şi necomerciale utere de cumărare: dretul osesorului unui activ de a disune de bunuri şi servicii roorţional cu activul deţinut Lichiditate: rorietatea unui activ de a fi utilizat cu un anumit cost de tranzacţie cost de tranzacţie: cost (exrimat monetar sau nu) imlicat de utilizarea unui activ în derularea tranzacţiilor economice Lichiditatea şi costul de tranzacţie sunt invers roorţionale Definiţie: moneda este activul financiar cu cea mai mare lichiditate Evoluţie istorică: o moneda-marfă: orice marfă este monedă (valoare imlicită) inconveniente:

17 resuune coincidenţa recirocă a dorinţelor imlică costuri mari de tranzacţie (lichiditate mică) la sfârşitul erioadei aare ca marfă universală - moneda din aur-marfă: este uşor relucrabilă are valoare mare în volum mic este stabilă (datorită rarităţii) este omogenă o moneda-aur: aurul este bătută cu însemnele uterii de stat (valoare imlicită) inconveniente: se menţin unele costuri de tranzacţie (aliaje etc.) rin uz, se ierde din valoarea monedei o moneda fiduciară (din hârtie): moneda este un simbol al valorii (valoare exlicită) caracteristici: circulă în virtutea încrederii că este accetată generează efectul de scontare (variaţia uterii de cumărare a valorii exlicite, în tim aare osibilitatea inflaţiei) Forme contemorane de monedă: o biletul de bancă: moneda cu valoare nominală mai mare sau egală cu unitatea monetară o moneda divizionară: moneda cu valoare nominală mai mică decât unitatea monetară o moneda scriturală (de cont): monedă fără existenţă fizică, circulând rin intermediul înscrierilor în conturi bancare o moneda de calcul: monedă necesară entru calcule de transformare valorică atunci când circulă, legal, două sau mai multe monede diferite o monedă electronică: monedă sub forma semnalelor electronice o monedă de rezervă: orice activ lichid sau uşor lichidabil (valute, obligaţiuni sau acţiuni străine, aur etc.) NB:. Biletul de bancă şi moneda divizionară se mai numesc monedă manuală (au existenţă fizică, fiind maniulabile în mod direct). Moneda manuală se mai numeşte monedă centrală (este emisă de autoritatea monetară banca centrală) 3. Nivelul de dezvoltare economică şi instituţională este direct roorţional cu onderea monedei scriturale în totalul masei monetare Funcţiile (rolul) monedei: etalon al reţurilor: orice reţ absolut este exrimat în monedă o moneda reduce numărul reţurilor din economie de n/ ori (n este numărul mărfurilor tranzacţionate) o există C n reţuri când nu există monedă (adică [n(n-)]/ reţuri) şi (n- ) reţuri atunci când există monedă

18 mijloc de schimb: moneda intermediază trecerea mărfii de la roducător la consumator, ea însăşi rămânând ermanent în sfera schimbului o ex. cumărarea de bunuri şi servicii cu lata imediată mijloc de lată: atunci când momentul naşterii unei obligaţii de lată nu coincide cu momentul stingerii obligaţiei resective o ex. lata salariilor sau cumărarea de mărfuri în rate sau leasing mijloc de economisire: moneda este cel mai adecvat mijloc de economisire, întrucât obligaţiile exrimate în monedă nu se modifică monedă universală: intermediază tranzacţii internaţionale (entru asta moneda trebuie să fie convertibilă şi, în lus, să se bucure de încrederea agenţilor economici).6. Mecanismul ieţei Piaţa oerează în direcţia realizării echilibrului microeconomic, e baza descentralizării deciziilor economice Descentralizarea deciziilor economice se fundamentează e comortamentul economic al agenţilor economici Comortamentul economic al agenţilor economici are la bază două trăsături esenţiale ale acestuia (homo oeconomicus): raţionalitatea economică: decizia va otimiza raortul dintre avantajul maxim şi restricţiile care acţionează în mediul economic resectiv egoismul economic: orice agent economic urmăreşte exclusiv maximizarea roriului avantaj (realizarea roriului interes) Piaţa distribuie remii şi sancţiuni economice într-un mod imersonal şi eficace (deşi costurile acestei coordonări sunt mari, ele sunt, de asemenea, distribuite, sub forma enalizărilor, agenţilor economici necometitivi).7. Piaţa şi guvernul În rinciiu, iaţa rezintă o serie de deficienţe, din ersectiva otimului economic şi, mai ales, social: lisa coordonării deciziilor economice din ersectiva socialului lisa ersectivei e termen lung costuri (inclusiv economice dar, mai ales, sociale) inaccetabil de mari entru reglarea dezechilibrelor din economie imosibilitatea coordonării roducţiei şi consumului de bunuri colective (ublice) NB: toate acestea constituie ceea ce se numeşte eşecul ieţei Aceste deficienţe se datorează rezenţei următoarelor fenomene în economie: asimetria de informaţie absenţa dreturilor de rorietate imerfecţiunea ieţei (situaţii de monool, îndeosebi) externalităţile (atât negative cât şi ozitive)

19 bunurile colective (ublice) Eliminarea (sau diminuarea) acestor deficienţe se face rin intervenţia statului în reglementarea şi controlul funcţionării ieţei, rin: elaborarea regulilor jocului entru funcţionarea ieţelor elaborarea unui sistem de remii şi sancţiuni guvernamentale entru orientarea ieţei şi în direcţiile sociale, ecologice etc. corecţii de ti feed-back sau feed-before, oerate de stat, entru reîntâminarea crizelor rin care, de regulă, iaţa îşi restabileşte echilibrele constituirea statului ca agent economic sui-generis, entru intervenţii economice (non-administrative) e iaţă redistribuirea venitului din economie, din ersective sociale, ecologice etc. NB: se oate vorbi şi desre un eşec al guvernului, atunci când deciziile acestuia sunt grevate în mod excesiv de ideologie, ceea ce le îndeărtează de la considerentele de eficienţă economică şi socială.8. Fluxurile economice Definiţie: transferuri de obiecte economice (bunuri, servicii, bani, informaţie, forţă de muncă, externalităţi) între agenţi economici, rin intermediul ieţei sau în afara ieţei Clasificare: a) duă natura fluxului: fluxuri reale (secifice sectorului real al economiei): bunuri şi servicii, forţă de muncă, caital fizic ş.a. fluxuri monetare sau simbolice (secifice sectorului nominal al economiei): bani, informaţie ş.a.a. b) duă extindere: fluxuri intrasectoriale: se limitează la nivelul unui sector instituţional dat (ex. fluxuri între firme comerciale non financiare sau între bănci) fluxuri intersectoriale: se desfăşoară între sectoarele instituţionale

20 Figura 6: Fluxurile economice din economie

21 TEMA NR TEORIA CONSUMULUI. COMPORTAMENTUL CONSUMATORULUI. Teoria utilităţii. Utilitatea totală şi funcţia de utilitate 3. Utilitate marginală. Paradoxul aă-diamant 4. Curba de indiferenţă 5. Bugetul consumatorului 6. Alegerea otimă a consumatorului 7. Variaţia bugetului la reţuri constante 8. Variaţia reţurilor la buget constant 9. Arbitrajul în tim al consumatorului 3.. Teoria utilităţii Consumator: agent economic care are funcţia de a consuma bunuri economice, criteriul său de comortament economic fiind maximizarea utilităţii consumului Definiţie: utilitatea unui bun economic este dată de caacitatea acestuia de a satisface o nevoie economică stabilită, la un nivel considerat accetabil de către consumator utilitatea rerezintă satisfacţia subiectivă resimţită la consumarea bunului Există două teorii rivind utilitatea bunurilor (a consumului de bunuri): Teoria utilităţii cardinale: fiecărui bun i se oate asocia un număr numit număr de utilitate, ceea ce face ca bunurile să oată fi comarate cantitativ între ele aceasta întrucât utilitatea este obiectivă, invariabilă, fiind dată de caracteristicile bunului cel mai uzual număr de utilitate este reţul teoria are două inconveniente: resuunerea constanţei valorii unităţii monetare resuunere falsă utilitatea unui coş de bunuri este egală cu suma utilităţilor individuale ale bunurilor din coş resuunere falsă Teoria utilităţii ordinale: nu este osibilă asocierea numărului de utilitate fiecărui bun economic, dar nici nu este necesară, fiind suficientă ierarhizarea bunurilor economice duă mărimea utilităţii lor, ceea ce face ca bunurile să nu mai oată fi comarate cantitativ în mod direct, ci doar ordonate între ele 3.. Utilitatea totală şi funcţia de utilitate

22 Fie un bun economic, x. O funcţie notată U=U(x) este funcţie de utilitate dacă îndelineşte următoarele condiţii, cumulativ:. x > 0 : bunul economic este real. U (x) > 0 : utilităţile individuale (ale fiecărei unităţi din bun) sunt aditive 3. U (x) < 0 : satisfacţia creşte încetinit la creşterea consumului (legea I a lui Gossen) 4. U(0) = 0 : utilitatea are sens numai la consumul bunului economic (obs.: cu exceţia cazului abstinenţilor) NB : Condiţiile funcţiei de utilitate trebuie îndelinite entru fiecare bun economic, în cazul în care este vorba nu desre un bun individual ci desre un coş de bunuri x, y, z, Temă de seminar: să se scrie condiţiile funcţiei de utilitate entru cazul unui coş de două bunuri economice U U(x)=S M M U 3 N U U 3 = U + (U - U) + (U 3 - U) U x x x 3 x M x N Figura 7: Curba utilităţii totale. Aditivitatea utilităţilor individuale 3.3. Utilitate marginală. Paradoxul aă-diamant x Din forma concavă a funcţiei utilităţii totale rezultă ideea că sorul de utilitate totală este descrescător Definiţie: utilitatea marginală (U m ) rerezintă modificarea utilităţii totale antrenată de modificarea cu o unitate a cantităţii consumate din bun Mod de calcul: U sau, în cazul continuu, U(x) U U m = U m = = x x x Analiza calitativă a utilităţii marginale:

23 Figura 8: Curba utilităţii marginale Utilitatea marginală stă la baza formării reţului bunurilor economice Mecanismul de formare a reţului de tranzacţie se bazează e coincidenţa valorică dintre utilitatea marginală a monedei (la care se renunţă) şi utilitatea marginală a bunului economic (care este dorit) 0 U x U x x U x U U '' m ' m < = = = = 0 x 0 U 0 U max U '' ' m m = = = 0 U 0 U max U m ' = =

24 U m m U m m U b m = U m m U U m m b m x X U m b U m b Figura 9: Mecanismul tranzacţiei economice e baza utilităţii marginale Enunţul aradoxului aă-diamant: deşi aa este cu mult mai imortantă entru om, fiind cu mult mai utilă decât diamantul, acesta este, totuşi, cu mult mai scum decât aa Este un aradox aarent, bazat e confuzia între utilitatea totală şi utilitatea marginală Rezolvarea aradoxului: rin introducerea rarităţii ca factor de creştere a utilităţii marginale şi care ordonează bunurile e axa cantităţilor e baza fatului că reţul este dat de utilitatea marginală şi nu de cea totală

25 U, U m Diamant Aă U m D U A U U D U m A X Figura 0: Rezolvarea aradoxului aă-diamant U m 3.4. Curba de indiferenţă Definiţie: Ansamblul unctelor din saţiul bidimensional (x,y) care desemnează combinaţii de consum ce asigură o aceeaşi utilitate totală

26 U(x,y) U m ax (x,y) U(x,y) S U (x,y ) U > U U (x,y ) y S U U y y x x Figura : Derivarea curbei de indiferenţă entru cazul a două bunuri x Curba de indiferenţă nu oate avea formă circulară, ea are sens economic, ca ansamblu al alegerilor otenţiale ale consumatorului, numai e zona ei descrescătoare şi convexă Temă de seminar: să se demonstreze afirmaţia de mai sus, e baza comortamentului raţional al consumatorului

27 y U U U > U X Figura : Zona semnificativă economic a curbei de indiferenţă Pe baza definiţiei curbei de indiferenţă, se oate deduce ecuaţia acesteia: U U du( x, y) = 0 dx + dy = 0 x y U dx + U dy = 0 Din ultima relaţie se oate deduce un indicator economic foarte imortant entru decizia consumatorului şi anume rata marginală de substituţie (R ms ): dy = R dx ms U = U Definiţie: Rata marginală de substituţie (R ms ) arată cu câte unităţi se modifică cantitatea consumată dintr-un bun atunci când cantitatea consumată din bunul alternativ se modifică cu o unitate, în sens contrar, aşa încât utilitatea totală să nu se modifice (decizia să rămână e curba de indiferenţă) Din unct de vedere grafic, rata marginală de substituţie oate fi rerezentată astfel: x m y m x m y m

28 y U y U(x,y ) y dy U(x,y ) dx x x Figura 3: Imaginea grafică a ratei marginale de substituţie a bunurilor X Temă de seminar: să se arate că două curbe de indiferenţă nu se ot intersecta 3.5. Bugetul consumatorului Conţinut: Suma monetară alocată achiziţionării de bunuri economice Definiţie: Ansamblul unctelor din saţiul bidimensional (x,y) care rerezintă decizii de consum ce euizează comlet suma monetară alocată consumului de bunuri economice Fie două bunuri economice, x, resectiv y, având reţurile de tranzacţionare x, resectiv y. Vom resuune că x şi y desemnează, totodată şi cantităţile achiziţionate din cele două bunuri. De asemenea, admitem, entru moment, că reţurile de tranzacţie ale celor două bunuri sunt constante Fie B bugetul consumatorului. Admitem, entru moment, că şi bugetul este constant Atunci, conform conţinutului bugetului consumatorului, se oate scrie: B = x x + y y, sau: y + B x = x, numită ecuaţia bugetului consumatorului, unde: y y x = r ( x, y) se numeşte reţul relativ al bunurilor x şi y y

29 y B/ y y 3 Neeficient C Intangibil y D A Linia bugetului y dy B x 3 x dx x Figura 4: Linia bugetului consumatorului şi deciziile semnificative economic 3.6. Alegerea otimă a consumatorului B/ Consumatorul va alege în acel unct care satisface, simultan, restricţia sa bugetară (bugetul consumatorului) şi curba sa de indiferenţă Rezultă că, din unct de vedere grafic, decizia se va lua în unctul de tangenţă dintre linia de buget şi curba de indiferenţă: y B/ y U U M U 3 Soluţie inadmisibilã x Soluţii admisibile x U>U>U 3 B Soluţie ineficientã y* A E Soluţie otimã x* N B/ Figura 4: Alegerea otimă (grafică) a consumatorului x x

30 Din unct de vedere analitic, trebuie rezolvat sistemul de ecuaţii format din ecuaţia bugetului consumatorului şi ecuaţia curbei de indiferenţă: x y = x + y x dy Um = dx y U m B y Diferenţiind ecuaţia bugetului în raort de x şi y, obţinem: dy Eliminând e între cele două ecuaţii ale sistemului, obţinem, succesiv: dx U m x U y = m U = m = λ unde λ se numeşte multilicator Lagrange Um y x y al consumului şi exrimă numărul de unităţi cu care se modifică utilitatea totală a consumatorului atunci când bugetul său se modifică cu o unitate Aşadar, condiţia de otim analitic al consumatorului este dată de egalitatea raoartelor dintre utilitatea marginală a fiecărui bun şi reţul său (a doua lege a lui Gossen) Să demonstrăm semnificaţia economică a multilicatorului Lagrange, în cazul a n bunuri economice: Fie bunurile x, x,, x n, cu reţurile, resectiv,,, n. Funcţia de utilitate aferentă va fi: U(x, x,, x n ). Bugetul consumatorului este: B = i xi Întrucât reţurile sunt constante, rezultă că orice modificare în buget se regăseşte în modificarea cantităţilor de bunuri achiziţionate, adică: db = i dxi. Funcţia Lagrange care maximizează utilitatea în condiţiile restricţiei bugetare este: L = U(x,x,..., xn ) + λ ( B i xi ) max Condiţia de maximizare cere ca L, entru orice i, adică: = 0 x i U ' x = λ i du = i x dy = Modificarea utilităţii totale este: U' dxi = λ i dxi = λ db λ = du db x i, adică definiţia rezentată mai sus. x y x y dx dy = dx x y

31 Temă de seminar: să se refacă demonstraţia semnificaţiei economice a multilicatorului Lagrange entru cazul a două bunuri 3.7. Variaţia bugetului la reţuri constante Pentru x resectiv y constante şi buget variabil, ecuaţia bugetului conduce la o familie de drete aralele (cu aceeaşi antă, resectiv reţul relativ, r = x / y =const.) Fiecare linie de buget din familie conduce la un otim, iar ansamblul acestor uncte de otim generează magistrala consumului (traiectoria consumului) Într-adevăr, din x y constant, iar B =, entru reţuri constante şi buget variabil, rezultă x y x + y B variabil y y y Magistrala (traiectoria) consumului B / x B / x 3 B / x 4 B / x 5 x B 6 x / B / B 7 / x Figura 5: Imaginea grafică a magistralei consumului x Definiţie : Magistrala consumului este curba care uneşte unctele de otim ale consumatorului la reţuri constante şi buget variabil Magistrala consumului are forme diferite entru cele trei categorii de bunuri de consum (curbele Engel):

32 Bunuri alimentare Bunuri nealimentare Servicii Ponderea cheltuielilor entru bunul x Ponderea cheltuielilor entru bunul x Ponderea cheltuielilor entru bunul x Figura 6: Curbele Engel ale consumului Buget Buget Buget 3.8. Variaţia reţurilor la buget constant Dacă bugetul este constant iar reţurile variază (entru simlificare vom ăstra e y constant şi vom varia doar e x ), din ecuaţia bugetului rezultă că, entru diverse valori ale lui x vom avea o familie de bugete cu termen liber (B/ y ) fix şi ante (- x/y) variabile x B y = x + y Variaţia reţurilor la bugete constante conduce la două efecte economice foarte imortante entru studiul comortamentului consumatorului: efectul de substituţie (Es) efectul de venit (Ev) Cele două efecte economice definesc atru categorii de bunuri economice (în funcţie de semnul algebric şi de mărimea absolută a lor): bunuri normale bunuri suerioare bunuri inferioare bunuri Giffen Cazul bunurilor normale Dacă x scade, anta liniei bugetului scade şi aceasta devine mai lată (se va cumăra mai mult x) Menţinerea reţului relativ constant se obţine rin construirea unei drete aralele la noua linie de buget y

33 y U U < x x B/ y Efect de venit β// α A β U = C y A y B y C C B Efect de substituþie x A x C B/ x x B X B/ x Figura 7: Efectul de substituţie şi efectul de venit. Cazul bunurilor normale Definiţie efect de substituţie: modificarea structurii de consum la modificarea reţurilor şi la buget constant, cu variaţia reţului relativ şi cum menţinerea utilităţii totale mod de calcul: E S = x C x A Definiţie efect de venit: modificarea cantităţii consumate din ambele bunuri, în acelaşi sens, la modificarea reţurilor şi la buget constant, cu menţinerea reţului relativ şi cu variaţia utilităţii totale mod de calcul: E V = x B x C Condiţia matematică entru identificarea bunurilor normale: E S > 0; E V > 0 ; E T = E S + E V > 0 (E T este efectul total) OBS.. Dacă reţul bunului x scade, atunci modificarea cantităţii consumate din ambele bunuri este de creştere, dacă reţul resectiv creşte, atunci modificarea menţionată este de scădere Temă de seminar: să se refacă demonstraţia efectului de substituţie şi a efectului de venit entru cazul creşterii reţului bunului x Cazul bunurilor inferioare

34 y B/ y y B y A A B < x x β// α β U = C Efect de venit Efect de substituþie y C C U x A x B x C B/ x β α U B/ x Figura 8: Efectul de substituţie şi efectul de venit. Cazul bunurilor inferioare Condiţia matematică de identificare a bunurilor inferioare este:. E > S 0. E < V 0 X Cazul bunurilor Giffen y 3. E > EV ET S > 0 B/ y y B B Efect de venit U < x x y A A β// α β U = C y C C Efect de substituþie x B x A x C β α B/ x B/ x Figura 9: Efectul de substituţie şi efectul de venit. Cazul bunurilor Giffen U X

35 Condiţia matematică de identificare a bunurilor Giffen este:. E > S 0. E < V 0 3. E < EV ET S < 0 OBS: Cazul bunurilor suerioare este imaginea în oglindă a cazului bunurilor normale (la scăderea reţului bunului analizat, linia de buget îşi măreşte anta se va cumăra mai uţin din bunul analizat iar la creşterea reţului, linia de buget îşi micşorează anta se va cumăra mai mult din bunul analizat) Temă de seminar: Să se studieze grafic efectul de substituţie şi efectul de venit în cazul bunurilor suerioare Temă de seminar: Să se refacă demonstraţia entru efectul de substituţie şi efectul de venit în cazul în care variază ambele reţuri nominale 3.9. Arbitrajul în tim al consumatorului Dacă în analizele recedente s-a stabilit structura otimă de consum la un moment dat, este util să se cerceteze reartizarea unei structuri de consum date, în tim Fie o structură fixă de consum S Fie erioadele de tim,,, n Structura fixă de consum aleasă entru erioada i este Si Definim funcţia de utilitate intertemorală: U(S, S,, Sn) Consumatorul va trebui, deci, să aleagă nu între diferite structuri de consum ci o aceeaşi structură de consum între diferite momente de tim Definim curba de indiferenţă intertemorală ca fiind ansamblul unctelor din saţiul bidimensional (S, S) care asigură combinaţii de consum intertemoral care conduc la aceeaşi utilitate totală (văzută ca utilitate intertemorală) Să stabilim ecuaţia curbei de indiferenţă intertemorală () ecuaţia intertemorală a bugetului (), şi otimul consumatorului (3) în acest caz S U U ds t Umt U(S,S) = 0 ds + ds = 0 = Rms = S () S S ds U t unde R ms este rata marginală de substituţie intertemorală iar intertemorală a consumului în anul i () Definim rata de arbitraj în tim: t t R = R a i U mt este utilitatea marginală Fie un buget B entru doi ani, şi În momentul, consumatorul consumă bunuri în valoare de S, iar în momentul consumă bunuri în valoare de S : ms mt

36 S = (B S) + i (B S) = (B S) (+ i) unde cu i s-a notat rata dobânzii bancare. S rerezintă ecuaţia intertemorală a bugetului (3) Sistemul de ecuaţii entru otimul consumatorului va fi: S = (B S) ( + i) S ds Umt = S ds Umt ds Diferenţiind ecuaţia bugetului intertemoral obţinem: ds ds Eliminând raortul între ecuaţiile sistemului, rezultă: ds de unde: R t ms = + i t t Ra + = + i Ra = i care rerezintă condiţia de otim intertemoral al consumatorului. = ( + i) S U(S,S) (+i)b S* E S = (B - S)(+i) Figura 0: Otimul intertemoral al consumatorului S* B S

37 TEMA NR TEORIA PRODUCŢIEI. COMPORTAMENTUL PRODUCĂTORULUI. Funcţia de roducţie. Produs global şi rodus marginal. Productivitatea factorilor 3. Izocuanta 4. Bugetul roducătorului 5. Alegerea otimă a roducătorului 6. Variaţia bugetului la reţuri constante 7. Variaţia reţurilor la buget constant 4.. Funcţia de roducţie Producător: agent economic care are funcţia de a roduce bunuri economice în scoul vânzării lor (funcţia de a roduce mărfuri) Criteriul de comortament economic al roducătorului oate fi, în mod uzual: maximizarea rofitului (diferenţa dintre încasări şi cheltuieli) maximizarea cifrei de afaceri (volumul valoric al încasărilor) Funcţia de roducţie: exresia analitică a modului de combinare a factorilor de roducţie în scoul obţinerii rodusului (bunului economic) Exresia generală a funcţiei de roducţie este: Y = F(f, f,, f n ), unde: Y este roducţia (exrimată valoric) sau outut-ul F este funcţia de roducţie f i este factorul de roducţie i (exrimat valoric) sau inut-ul i OBS.: Pentru moment, nu interesează exresia exlicită a lui F Condiţiile matematice ale funcţiei de roducţie sunt:. f i > 0, entru orice i. F i > 0, entru orice i: funcţia de roducţie este crescătoare în raort de fiecare factor de roducţie, ceteris aribus 3. F i < 0, entru orice i: legea randamentelor descrescătoare (creşterea continuă a unui factor de roducţie, ceteris aribus, conduce la o creştere încetinită a roducţiei); funcţia de roducţie este concavă în raort de fiecare factor de roducţie 4. F(mf, mf,, mf n ) = m g F(f, f,, f n ): omogenitatea funcţiei de roducţie (multilicarea tuturor factorilor cu coeficientul m conduce la multilicarea roducţiei cu m g ) g este gradul de omogenitate a funcţiei (de obicei, se consideră g=) 5. F(0, 0,, 0) = 0: lisa factorilor de roducţie conduce la o roducţie nulă (graficul funcţiei de roducţie trece rin originea axelor de coordonate)

38 Vom studia funcţia de roducţie în raort de cei doi factori de roducţie fundamentali: L (forţa de muncă) şi K (caitalul). Se consideră că, în condiţiile contemorane, N (natura) este comlet dizolvată în caital Deci: Y = F(K, L) Uneori, rin considerarea distinctă a rogresului tehnic ca factor de roducţie, se introduce al treilea factor de roducţie, M (rogres tehnic), ceea ce înseamnă că funcţia de roducţie se va scrie: Y = F(K, L, M) Notând cu λ rata rogresului tehnic şi cu t timul, factorul de rogres tehnic este introdus sub forma e λ t, ceea ce face ca funcţia de roducţie să se rescrie sub forma Y = F(K, L, e λ t ) Temă de seminar: să se rescrie condiţiile matematice ale funcţiei de roducţie, în cazul a doi factori de roducţie (K şi L) outut [Y=F(f)] i Y max M f i max inut (f) i Randamente ozitive Randamente ozitive crescãtoare descrescãtoare Figura : Funcţia de roducţie Randamente negative crescãtoare De forma exlicită a funcţiei de roducţie deinde comlementaritatea şi substituibilitatea factorilor de roducţie Există atru caracteristici matematice ale funcţiei de roducţie, care sunt imortante în analiza comortamentului roducătorului: rodusul marginal al factorilor de roducţie elasticitatea roducţiei în raort de factorii de roducţie rata marginală de substituire a factorilor de roducţie elasticitatea ratei marginale de substituire a factorilor de roducţie Produsul marginal al factorilor de roducţie (vezi ct. )

39 Elasticitatea roducţiei în raort de factorii de roducţie definiţie: elasticitatea unui fenomen economic F în raort de o variabilă indeendentă x indică numărul de rocente cu care se modifică F ca reacţie la modificarea lui x cu un rocent mod de calcul: F x E x x F F F = / sau, în cazul continuu :EF = / F x x x Rata marginală de substituire a factorilor de roducţie (vezi ct. 3) Elasticitatea ratei marginale de substituire a factorilor (vezi ct. 3) Cea mai uzuală exresie exlicită a funcţiei de roducţie este funcţia de ti Cobbα β λ t Douglas: Y = A K L e unde: A este o constantă adimensională, α este elasticitatea roducţiei în raort de caital, β este elasticitatea roducţiei în raort de muncă, λ este rata rogresului tehnic iar t este timul OBS:. de regulă, entru analizele uzuale, se renunţă la factorul de rogres tehnic, reţinându-se numai factorul caital, resectiv factorul muncă. de regulă, suma elasticităţilor în raort de caital, resectiv de muncă este, ceea ce înseamnă că funcţia de roducţie va fi omogenă de gradul I (omotetică) Temă de seminar: să se calculeze elasticitatea roducţiei în raort de caital, resectiv în raort de muncă, e baza funcţiei de ti Cobb-Douglas 4.. Produs global şi rodus marginal. Productivitatea factorilor Y = F(K, L) se numeşte rodus global (sau outut global) Y Y Se oate analiza şi rodusul mediu: Y K =, resectiv Y L =. Aceste K L două mărimi se numesc, resectiv roductivitatea medie a caitalului şi roductivitatea medie a muncii Putem scrie: F(K, L) L, resectiv w K = = F(, ) = f( ) K K k F(K, L) w L = = F(k,) = f (k) L unde K k = se numeşte caital er caita L Y Y De asemenea, se oate analiza rodusul marginal: w m K = resectiv w m L = K L Aceste două mărimi se numesc, resectiv roductivitatea marginală a caitalului şi roductivitatea marginală a muncii Definiţii: roductivitatea medie: valoarea rodusului global care revine unui factor de roducţie, indiferent de contribuţia acestui factor la valoarea rodusului global

40 roductivitatea marginală: modificarea rodusului global care revine modificării cu o unitate a unui factor, ceteris aribus Factorii de roducţie se caracterizează rin două trăsături: divizibilitatea: factorul de roducţie oate fi divizat în unităţi omogene, fără afectarea calităţii lui adatabilitatea: factorul de roducţie oate fi asociat, în mod funcţional, cu alţi factori de roducţie Cele două trăsături conduc la două fenomene care caracterizează factorii de roducţie: comlementaritatea: există anumite roorţii de combinare a factorilor de roducţie în rocesul de roducţie substituibilitatea: există anumite roorţii de înlocuire recirocă a factorilor de roducţie în vederea menţinerii constante a rodusului global Demonstraţia corelaţiei dintre roductivitatea medie şi cea marginală: F(i) w = i w'. wm > w m. wm < w m m F i F' i F F = = = F' = i i i i i ( w w) m ( w w) > 0 w' > 0 w crescăresce ( w w) < 0 w' < 0 w descrescăeoare ( wm w) = 0 w' = 0 wmax w m 3. w = w = Pot exista trei situaţit: Temă de seminar: să se identifice rezultatele de mai sus în graficul rezentat anterior Temă de seminar: tot e baza graficului anterior, să se exlice corelaţiile dintre funcţia de roducţie şi unctele de maxim, resectiv unctele de zero ale roductivităţii medii, resectiv marginale a factorilor Temă de seminar: determinaţi elasticitatea roducţiei în raort de fiecare factor, e baza roductivităţii marginale şi a celei medii a factorului

41 F(i) M Y max N S i w w m A B w m w C D i Figura : Corelaţiile grafice dintre rodusul global, rodusul mediu şi rodusul marginal 4.3. Izocuanta Vom considera dret criteriu de comortament al roducătorului, maximizarea cifrei de afaceri (valabil entru afacerile inciiente) la un cost dat al factorilor de roducţie (cost de roducţie) va fi tratată, însă, şi situaţia minimizării costului de roducţie la cursurile 7-9 vom trata şi cazul maximizării rofitului În mod analog cu consumatorul, roducătorul trebuie să aleagă combinaţia otimă de factori de roducţie care să-i asigure maximul de roducţie (identic cu maximul cifrei de afaceri)

42 Această combinaţie deinde de forma exlicită a funcţiei de roducţie, recum şi de gradele de comlementaritate, resectiv substituibilitate ale factorilor (conţinute în funcţia de roducţie) Criteriul maximizării cifrei de afaceri se alică în cazul (ideal) în care factorii de roducţie sunt infinit divizibili şi erfect adatabili Definiţie: izocuanta (curba de indiferenţă a roducătorului) rerezintă mulţimea unctelor din lanul bidimensional (K, L) care exrimă combinaţii ale factorilor de roducţie ce conduc la obţinerea aceluiaşi rodus global F(K,L) F max (K,L) S F(K,L) Surafeţe de izoroducţie F (K,L) S > S F (K,L) L S Y L L Y K K K Izocuante Figura 3: Derivarea izocuantei entru cazul a două bunuri Izocuanta nu oate avea formă circulară, ea are sens economic, ca ansamblu al combinaţiilor osibile de factori de roducţie, numai e zona ei descrescătoare şi convexă Temă de seminar: să se demonstreze afirmaţia de mai sus, e baza comortamentului raţional al roducătorului

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

5.1. Noţiuni introductive

5.1. Noţiuni introductive ursul 13 aitolul 5. Soluţii 5.1. oţiuni introductive Soluţiile = aestecuri oogene de două sau ai ulte substanţe / coonente, ale căror articule nu se ot seara rin filtrare sau centrifugare. oonente: - Mediul

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

APOSTOL MICROECONOMIE

APOSTOL MICROECONOMIE EMIL DINGA DIANA MIHAELA APOSTOL MICROECONOMIE CUPRINS CAPITOLUL...4 OBIECTUL ŞI METODA ECONOMIEI...4. Obiectul de studiu al economiei...4.5 Logica activităţii economice...6 CAPITOLUL 2...7 CATEGORII FUNDAMENTALE

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

Kap. 6. Produktionskosten-theorie. Irina Ban. Kap. 6. Die Produktionskostentheorie

Kap. 6. Produktionskosten-theorie. Irina Ban. Kap. 6. Die Produktionskostentheorie Kap. 6. Produktionskosten-theorie Irina Ban Pearson Studium 2014 2014 Kap. 6. Die Produktionskostentheorie Bibliografie: Cocioc, P. (coord.) (2015), Microeconomie, Ed. Risoprint, Cluj-Napoca, cap. 7. Pindyck,

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

Problema 1.1. x = 1 4. x = 3 2, 5 3/2. x = 4 1, 2. x = 5/2 . 7/2. x = 1/2. Rezolvare: Ipoteza de nesaturare:, x2. ,..., xn.

Problema 1.1. x = 1 4. x = 3 2, 5 3/2. x = 4 1, 2. x = 5/2 . 7/2. x = 1/2. Rezolvare: Ipoteza de nesaturare:, x2. ,..., xn. Problema. Se consideră un consumator doritor să cumpere bunuri de două tipuri. Gusturile sale sunt reprezentate printr-o relaţie de preferinţă pe mulţimea vectorilor de consum notată: f, preferat sau indiferent.

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R

3 FUNCTII CONTINUE Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale Spaţiul euclidian R p. Pentru p N *, p 2 fixat, se defineşte R 3 FUNCTII CONTINUE 3.. Noţiuni teoretice şi rezultate fundamentale. 3... Saţiul euclidian R Pentru N *, fixat, se defineşte R = R R R = {(x, x,, x : x, x,, x R} de ori De exemlu, R = {(x, y: x, yr} R 3

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

UNIVERSITATEA AL. I. CUZA IAŞI FACULTATEA DE ECONOMIE ŞI ADMINISTRAREA AFACERILOR

UNIVERSITATEA AL. I. CUZA IAŞI FACULTATEA DE ECONOMIE ŞI ADMINISTRAREA AFACERILOR UNIVERSITATEA AL. I. CUZA IAŞI FACULTATEA DE ECONOMIE ŞI ADMINISTRAREA AFACERILOR Prof.univ.dr. Ion IGNAT E C O N O M I E suport de curs Iaşi 2016 1. TEORIA CONSUMATORULUI ŞI A CERERII 1.1. Abordarea cardinală

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Modelare şi simulare Seminar 4 SEMINAR NR. 4. Figura 4.1 Reprezentarea evoluţiei sistemului prin graful de tranziţii 1 A A =

Modelare şi simulare Seminar 4 SEMINAR NR. 4. Figura 4.1 Reprezentarea evoluţiei sistemului prin graful de tranziţii 1 A A = SEMIR R. 4. Sistemul M/M// Caracteristici: = - intensitatea traficului - + unde Figura 4. Rerezentarea evoluţiei sistemului rin graful de tranziţii = rata medie de sosire a clienţilor în sistem (clienţi

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1) Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

V O. = v I v stabilizator

V O. = v I v stabilizator Stabilizatoare de tensiune continuă Un stabilizator de tensiune este un circuit electronic care păstrează (aproape) constantă tensiunea de ieșire la variaţia între anumite limite a tensiunii de intrare,

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1 FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

CONCURS DE ADMITERE, 17 iulie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ CONCURS DE ADMITERE, 7 iulie 207 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (30 puncte) ) (0 puncte) Să se arate că oricare ar

Διαβάστε περισσότερα

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB 1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili

Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

6. Risipa de resurse survine, în principal, atunci când: a) se produce ce nu se cere; b) se produce ce se cere; c) se produce cât se cere; d) consumul

6. Risipa de resurse survine, în principal, atunci când: a) se produce ce nu se cere; b) se produce ce se cere; c) se produce cât se cere; d) consumul Ce este economia? 1. Activitatea economică reprezintă: a) totalitatea activităţilor prin care oamenii îşi asigură bunurile pentru a-şi satisface nevoile; b) activităţile prin care oamenii îşi asigură doar

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER

2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER 2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare Copyright Paul GASNER Definiţii Un decodor pe n bits are n intrări şi 2 n ieşiri; cele n intrări reprezintă un număr binar care determină în mod unic care

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15

Cursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15 MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR

Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011 Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)

Διαβάστε περισσότερα

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

FENOMENE TRANZITORII Circuite RC şi RLC în regim nestaţionar

FENOMENE TRANZITORII Circuite RC şi RLC în regim nestaţionar Pagina 1 FNOMN TANZITOII ircuite şi L în regim nestaţionar 1. Baze teoretice A) ircuit : Descărcarea condensatorului ând comutatorul este pe poziţia 1 (FIG. 1b), energia potenţială a câmpului electric

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

FLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT. x 4

FLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT. x 4 FLUXURI MAXIME ÎN REŢELE DE TRANSPORT Se numeşte reţea de transport un graf în care fiecărui arc îi este asociat capacitatea arcului şi în care eistă un singur punct de intrare şi un singur punct de ieşire.

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective: TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi

Διαβάστε περισσότερα

4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice

4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice 4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici oltmetre electronice analogice oltmetre de curent continuu Ampl.c.c. x FTJ Protectie Atenuator calibrat Atenuatorul calibrat divizor rezistiv R in const.

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie)

a. Caracteristicile mecanice a motorului de c.c. cu excitaţie independentă (sau derivaţie) Caracteristica mecanică defineşte dependenţa n=f(m) în condiţiile I e =ct., U=ct. Pentru determinarea ei vom defini, mai întâi caracteristicile: 1. de sarcină, numită şi caracteristica externă a motorului

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 4. Măsurarea parametrilor mărimilor electrice

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 4. Măsurarea parametrilor mărimilor electrice Laborator 4 Măsurarea parametrilor mărimilor electrice Obiective: o Semnalul sinusoidal, o Semnalul dreptunghiular, o Semnalul triunghiular, o Generarea diferitelor semnale folosind placa multifuncţională

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

GA XI. 138 Să se calculeze produsul distanţelor unui punct oarecare al hiperbolei : d) ;

GA XI. 138 Să se calculeze produsul distanţelor unui punct oarecare al hiperbolei : d) ; c) 9 6 0 d) 6 0 0 Culegere de robleme e) 9 6 0 f) 0 9 6 9 GA XI. Pentru hierbola ( H ): să se calculee aria triunghiului format de asimtotele hierbolei (H) şi dreata ( d ): 9. a) b) 6 c) d) e) f) GA XI.

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE

Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE Capitolul 2 - HIDROCARBURI 2.3.ALCHINE TEST 2.3.3 I. Scrie cuvântul / cuvintele dintre paranteze care completează corect fiecare dintre afirmaţiile următoare. 1. Acetilena poate participa la reacţii de

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică.

CURS VII-IX. Capitolul IV: Funcţii derivabile. Derivate şi diferenţiale. 1 Derivata unei funcţii. Interpretarea geometrică. Lect dr Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr Lucian MATICIUC CURS VII-IX Capitolul IV: Funcţii derivabile Derivate şi diferenţiale 1

Διαβάστε περισσότερα

8 Intervale de încredere

8 Intervale de încredere 8 Intervale de încredere În cursul anterior am determinat diverse estimări ˆ ale parametrului necunoscut al densităţii unei populaţii, folosind o selecţie 1 a acestei populaţii. În practică, valoarea calculată

Διαβάστε περισσότερα

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)).

Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism. (Y = f(x)). Teoremă. (Y = f(x)). Orice izometrie f : (X, d 1 ) (Y, d 2 ) este un homeomorfism Demonstraţie. f este continuă pe X: x 0 X, S Y (f(x 0 ), ε), S X (x 0, ε) aşa ca f(s X (x 0, ε)) = S Y (f(x 0 ), ε) : y

Διαβάστε περισσότερα

MICROECONOMIE. Daniela Ancu a Şarpe Daniela Nechita FACULTATEA DE ECONOMIE ŞI ADMINISTRAREA AFACERILOR. UNIVERSITATEA DUN REA DE JOS din GALA I

MICROECONOMIE. Daniela Ancu a Şarpe Daniela Nechita FACULTATEA DE ECONOMIE ŞI ADMINISTRAREA AFACERILOR. UNIVERSITATEA DUN REA DE JOS din GALA I UNIVERSITATEA DUN REA DE JOS din GALA I FACULTATEA DE ECONOMIE ŞI ADMINISTRAREA AFACERILOR Daniela Ancu a Şarpe Daniela Nechita MICROECONOMIE I SBN 9 7 8-6 0 6-8 6-6 - 3 Editura EUROPLUS Galaţi, 00 CUPRINS

Διαβάστε περισσότερα

Criterii de comutativitate a grupurilor

Criterii de comutativitate a grupurilor Criterii de comutativitate a grupurilor Marius Tărnăuceanu 10.03.2017 Abstract În această lucrare vom prezenta mai multe condiţii suficiente de comutativitate a grupurilor. MSC (2010): 20A05, 20K99. Key

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016 16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex

Διαβάστε περισσότερα

VII.2. PROBLEME REZOLVATE

VII.2. PROBLEME REZOLVATE Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme

SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. 1. Probleme SEMINAR TRANSFORMAREA FOURIER. Probleme. Să se precizeze dacă funcţiile de mai jos sunt absolut integrabile pe R şi, în caz afirmativ să se calculeze { transformata Fourier., t a. σ(t), t < ; b. f(t) σ(t)

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

FIZICĂ. Bazele fizice ale mecanicii cuantice. ş.l. dr. Marius COSTACHE

FIZICĂ. Bazele fizice ale mecanicii cuantice. ş.l. dr. Marius COSTACHE FIZICĂ Bazele fizice ale mecanicii cuantice ş.l. d. Maius COSTACHE 1 BAZELE FIZICII CUANTICE Mecanica cuantică (Fizica cuantică) studiază legile de mişcae ale micoaticulelo (e -, +,...) şi ale sistemelo

Διαβάστε περισσότερα

INTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0

INTERPOLARE. y i L i (x). L(x) = i=0 INTERPOLARE Se dau punctele P 0, P 1,..., P n in plan sau in spatiu, numite noduri si avand vectorii de pozitie r 0, r 1,..., r n. Problemă. Să se găsească o curbă (dintr-o anumită familie) care să treacă

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα