SKMM 2323 Mekanik Bendalir II

Transcript

1 Nota Kuliah SKMM 2323 Mekanik Bendalir II Abu Hasan ABDULLAH

2 Nota Kuliah SKMM 2323 Mekanik Bendalir II Aliran Lapisan Sempadan Aliran Bendalir Unggul Aliran Boleh Mampat Satu Dimensi Pengenalan Kepada Mesin Bendalir Abu Hasan ABDULLAH Fakulti Kejuruteraan Mekanikal Universiti Teknologi Malaysia 2015, 2003

3 Kandungan Senarai Rajah Senarai Jadual Tatatanda viii ix x 1 ALIRAN LAPISAN SEMPADAN Kelikatan HukumKelikatan Newton BendalirNewtonan Daya-daya yang Terbentuk oleh Bendalir Bergerak TeoriLapisan Sempadan: Latarbelakang Teballapisan sempadan TebalAnjakan TebalMomentum TebalTenaga AsasAnalisis Aliran LapisanSempadan Persamaan KeterusanAliran Likat Persamaan Keterusan Untuk Koordinat Silinder Persamaan MomentumAliran Likat Persamaan Kamilan Momentumvon Karman PenyelesaianLapisan SempadanLaminar KaedahTepatBlasius KaedahAnggaran PenyelesaianLapisan SempadanGelora KaedahHukumKuasa i

4 KANDUNGAN ii 2 ALIRAN BENDALIR UNGGUL Gerakan Zarah-zarah Bendalir Jenis-jenisGarisan Aliran Bendalir Garis Arus Garis laluan Garis upayaatau Garis Sama-upaya Jenis-jenisAliran Bendalir Aliran Laminar & Aliran Gelora Aliran Berputar&Aliran Nirputaran Persamaan Keterusan2-D Aliran TakLikat Persamaan Momentum2-D Aliran TakLikat Vortisiti PenentuanAliran Berputaratau Sebaliknya Edaran KeupayaanHalaju FungsiArusdan Kadar Aliran HubungandiAntaraFungsiArusdan KeupayaanHalaju BeberapaPolaAsasAliran Aliran garis lurus Aliran daripada sumberatau punca Aliran kesinki Vorteksnirputaran atau bebas Vorteksberputaratau paksa Gabungan BeberapaPola AsasAliran Aliran Garis LurusSeragamdan Sumber Gabungan sumber dan sinki yang setanding kekuatan Sumber dan sinki yang setanding kekuatan digabungkan dengan aliran garis lurus Kembar Kembar dan Aliran Garis lurusseragam ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI BendalirTakBolehMampat dan BolehMampat HabaTentu

5 KANDUNGAN iii Persamaan Keadaan Gas Sempurna Proses-prosesTermodinamikGas Sempurna Kebolehmampatan BeberapaKonsepAsasTermodinamik ProsesBolehbalik dan TakBolehbalik TenagaDalaman danentalpi HukumPertamaTermodinamik Entropi HukumKeduaTermodinamik ParameteryangMengawalAliran BolehMampat Regim-regimAliran BolehMampat KonMach, Garis Mach dan Gelombang Kejutan Persamaan-persamaan MenaklukAliran BolehMampat Persamaan keadaan Persamaan keterusan Persamaan momentum(persamaan Euler) Persamaan tenaga Pembolehubah Aliran dalam SebutanNomborMach TitikGenangan Aliran isentropikgassempurna Keadaan-keadaan genting Aliran MenerusiSalur yangberubah Luas Aliran IsentropikMenerusiNozelMenumpu Aliran Isentropik Menerusi Nozel Menumpu-Mencapah KejutanNormal Persamaan keterusan Persamaan momentum Persamaan tenaga Kekuatankejutan PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR PengkelasanMesin Hidraulik KriteriaPengkelasan Arah Pemindahan Tenaga

6 KANDUNGAN iv Jenis Tindakan Mesin Analisis Dimensi dan Hukum Keserupaan untuk Mesin Bendalir Tak BolehMampat PrestasiMesinHidraulik Turbin Hidraulik Pam Laju Tentu Pam Turbin Hidraulik Analisis Dimensi Untuk Mesin Rotodinamik Aliran Boleh Mampat Kesanmampatan keatasanalisis dimensi Pam Rotodinamik Pengkelasan TurusPam TurusStatik TurusSebenaratau TurusKeseluruhan TurusManometrik Pam Aliran Jejari TeoriAliran DuaDimensi Ukuran Prestasi Perubahan Turus pada Pendesak dengan Bentuk Bilah Pam Aliran Paksi Teori Gerakan Vorteks dan Hubungannya dengan Rekabentuk Mesin-mesin Aliran Paksi Darjah Tindakbalas Peronggaandidalam Pam Rotodinamik TurbinHidraulik Pengkelasan Turbin Dedenyut Turbin Tindakbalas RodaPelton Teori Ukuran Prestasi

7 KANDUNGAN v TurbinFrancis Teori Ukuran Prestasi TurbinKaplan Teori Ukuran Prestasi Peronggaandidalam Turbin Hidraulik A Aliran Likat Dua Dimensi 130 A.1 Persamaan KeterusanAliran Likat2-Dimensi A.2 Persamaan MomentumAliran Likat 2-Dimensi A.2.1 Persamaan Navier-StokesAliran Likat2-Dimensi Bibliografi 135

8 Senarai Rajah 1.1 Daya-daya yang terbentuk oleh bendalir bergerak, Douglas et al. (2001) Daya-daya yang memberikan hela tekanan dan hela geseran kulit, Douglas et al. (2001) Komponen-komponen utama hela susuk, Douglas et al. (2001) Lapisan sempadandiatas plat rate,massey(1983) Tebalanjakan Tebalmomentum Tebaltenaga Keterusandalam tigadimensi Isipadu kawalan untuk suatu lapisan sempadan, Potter& Wiggert(1997) Susukhalaju laminar dangelora Perubahan halaju denganmasa Garisarus Tiub arus Garis upayaatau sama-upaya Garis laluan Aliran laminar dan aliran gelora Aliran berputar,dan aliran nirputaran Aliran jisim menerusisuatuunsurbendalir Imbangan dayatekanankeatas unsurbendalir Gerakan-gerakanunsurbendalir Putaran,peralihan danherotan Edaran Fungsiarus Jaringan aliran, Massey(1983) vi

9 SENARAI RAJAH vii 2.14 Aliran garis lurus Aliran sumber Unsurbendalir dalam medanvorteksbebas Unsurbendalir dalam medanvorteksbebas Vorteks paksa sekitar paksi tegak terbentuk di dalam cecair yang mengisi bekasterbuka,massey(1983) Gabungan aliran garislurus dansumber,massey(1983) Gabungan sumber, A, dan sinki, B, yang setanding kekuatan, Massey(1983) Sumber dan sinki yang setanding kekuatan digabungkan dengan aliran garislurus, Massey(1983) Kembar dan aliran garis lurusseragam,massey(1983) KonMach, Fox&McDonald (1985) Perubahan halaju dan tekanan dengan luas bagi aliran subsonik dan supersonik,john (1969) Aliran gas menerusinozelmenumpu,john (1969) Kadar aliran jisim menerusinozelmenumpu,john (1969) Aliran gas menerusi nozel menumpu-mencapah, John(1969) Kadar aliran jisim menerusi nozel menumpu-mencapah, John (1969) Pengkelasanmesin-mesin bendalir Beberapacontohpam sesaranpositif Lengkung-lengkungprestasiturbin hidraulik, Massey(1983) Lengkung-lengkungprestasipam rotodinamik, Massey(1983) Kecekapan melawan laju tentu untuk mesin bendalir, Douglas et al. (1985) Pengaruhlaju tentukeatasbentukpemutar,turton(1984) Perubahan adiabatik unggul di dalam keadaan-keadaan genangan merentasimesinturbo,dixon (1978) Pam rotodinamik (a) pam aliran jejari, (b) pam aliran tercampur dan (c) pam aliran paksi,turton(1984) Turus-turuspam Keluaran pam aliran jejari (a) ruang tanpa bilah dengan volut dan (b) ruangtanpabilah dengankeluaran terlata,massey(1983) Vektorhalaju dalam tigadimensi Segitiga halaju pam aliran jejari pada masukan dan keluaran Aliran 3-dimensi di dalam pam empar, Douglas et al. (1985)

10 SENARAI RAJAH viii 4.14 Gelinciran dikeluaran bilah pemutar Pusingan relatif di dalam laluan bilah, Douglas et al. (1985) Bocorandidalam pam empar,massey(1983) Keratanrentas pemasanganpam empar, Turton(1984) Kesanbentukbilah keatas turus Pendesakpam aliran paksi,douglas et al. (1985) Segitigahalaju pam aliran paksi Kilasan bilah pendesakpam aliran paksi,turton(1984) Pengaruh tindakbalas ke atas segitiga halaju pam aliran paksi Turbinhidraulik Susunanturbinaliran melintang Komponen-komponen penting roda Pelton (a) roda, (b) nozel dan injap tombakdan (c) pemantul RodaPeltondenganduanozel Segitigahalaju rodapelton,douglas et al. (1985) SusunanturbinFrancis aci tegakdanmendatar Laluan bendalir menerusiturbin Francis Segitigahalaju turbin Francis,Rattan (1994) Pemutarturbin aliran paksi Laluan bendalir menerusiturbin Kaplan Segitigahalaju turbin aliran paksi A.1 Aliran jisim menerusisuatuunsurbendalir A.2 Unsursegiempatbendalir

11 Senarai Jadual 1.1 Fungsi f(η) untuk lapisan sempadan laminar sepanjang suatu plat rata padaincidencesifar Moduluspukalair danudara Perubahan pekali bilah, µ, dengan bilangan bilah, z, bagi pam aliran jejari Bilangan bilah danturusuntukturbin Kaplan ix

12 Tatatanda A a b C C p c p c v D h d d s Fr F f H h K L l l m M m ṁ N n N s P Pr p Q R R R o Re Rn r luas aliran laju bunyi, pecutan lebar bilah atau laluan bilah pemalar pekalipemulihan tekanan haba tentupadatekananmalar haba tentupadaisipadu malar, pekalihalaju diameterhidraulik, faktorresapan diameter diametertentu nombor Froude daya pekali geseran, sebarang fungsi turus entalpi, pekali pemindahan haba permukaan pemalar panjang, panjang hidraulik panjang panjang percampuran nombor Mach mutlak, berat molekular jisim kadar aliran jisim laju putaran eksponen politropik, arah normal laju tentu kuasa nombor Prandtl tekanan, titik di dalam satu ruang kadar aliran isipadu, tenaga haba darjah tindakbalas pemalar gas pemalar gasuniversal nombor Reynolds nombor Richardson radius x

13 TATATANDA xi s T t U V V f V m V r V t V x V slip V W Z z entropi suhu, dayakilas masa, tebal bilah laju linear bilah halaju mutlak bendalir halaju aliran komponenmeridionalhalaju mutlak bendalir komponenradiushalaju mutlak komponentangenhalaju mutlak komponenpaksihalaju mutlak halaju geliciran isipadu halaju relatif bilangan bilah, panjang (dalam arah) paksi daya angkat statik Huruf Yunani α sudut mutlak aliran β sudut relatif aliran γ nisbah haba tentu, sudut perubahan terhingga δ ketebalan lapisan sempadan η kecekapan θ sudut pantulan roda Pelton, kadar aliran jisim tanpa dimensi κ modulus pukal µ kelikatan dinamik, faktor gelinciran, pekali bilah ν kelikatan kinematik, nisbah diameter(hab/hujung) ρ ketumpatan Σ jumlah σ fungsiperolehanentropi(=e s/r ), pekaliperonggaan τ tegasan ricih φ pekali aliran, pekali halaju, sudut lentuk(camber) fungsi keupayaan halaju ψ pekali pembebanan bilah, sudut azimut, sudut kon fungsi arus Ω laju sudut, faktor pengenduran, frekuensi resonans Helmholtz Subskrip c keadaan tersendat, kritikal h hab m komponen meridional, arah meridional min minimum N nozel n arah normal

14 TATATANDA xii o keluaran opt optimum p politropik, tekanan R pangkal r komponen radial, arah radial, nisbah rms punca kuasa dua min (root mean square) t komponen tangen, arah lilitan ts total ke statik tt total ke total x,y,z sebarang koordinat cartesan θ arah lilitan 0 masukan bilah pandu turbin 1 keluaran bilah pandu turbin, masukan pam/turbin 2 keluaran pam/turbin, masukan pembaur pam atau tiub draf turbin 3 keluaran tiub draf

15 Bab 1 ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 1.1 Kelikatan Kelikatan adalah sifat bendalir yang mengawal kadar alirannya. Ia terjadi disebabkan oleh cohesion yang wujud di antara zarah-zarah bendalir yang boleh diperhatikan ketika bendalir (cecair terutamanya) mengalir. Dalam mengkaji kesan kelikatan, dua anggapan berikut perlu dibuat: 1. Tidak wujud gerakan relatif di antara bendalir dan sempadan pepejal apabila bendalir bersentuhan dengan jasad pepejal. Zarah-zarah bendalir di dalam lapisan yang bersebelahan bergerak dengan halaju sempadan pepejal; sekiranya jasad pepejal itu pegun, maka halaju zarah-zarah di dalam lapisan sempadan yang bersebelahan dengannya adalah sifar dan ini disebut keadaan tanpa geliciran. 2. Tegasan ricih di antara dua lapisan bendalir yang bersebelahan berkadaran terus dengan kadar terikan ricih di dalam arah yang berserenjang dengan gerakan, iaitu jika dua lapisan bersebelahan bergerak dengan halaju relatif, u, maka kadar terikan ricih ialah u/y: τ u y Kadar tegasan ricih di antara dua lapisan bendalir yang bersebelahan juga berkadaran dengan u/y, dengan y ialah jarak di antara kedua-dua lapisan Hukum Kelikatan Newton Tegasan ricih, τ, ke atas sesuatu lapisan suatu bendalir adalah berkadaran terus dengan kadar terikan ricih, u/y. Secara matematik, τ u y = µ u y (1.1a) 1

16 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 2 dengan u/y ialah kadar terikan ricih (atau kecerunan halaju) dan µ [kg/(s m 2 )] ialah pemalar kekadaran yang dikenali sebagai pekali kelikatan (atau pekali kelikatan mutlak, atau pekali kelikatan dinamik) Bendalir Newtonan Persamaan (1.1a) lazimnya ditulis dalam bentuk kebezaan, τ = µ du dy (1.1b) Bendalir yang mematuhi hukum ini dikelaskan sebagai bendalir Newtonan. 1.2 Daya-daya yang Terbentuk oleh Bendalir Bergerak Rajah 1.1: Daya-daya yang terbentuk oleh bendalir bergerak, Douglas et al. (2001). 1. DayaAngkat, F L Daya angkat adalah komponen daya paduan yang dikenakan oleh sesuatu bendalir ke atas suatu jasad yang berserenjang dengan gerakan relatif bendalir F L = C L 1 2 ρu2 A (1.2) denganc L adalah pekali angkat. 2. Helaatau DayaSeret, F D Hela adalah komponen daya paduan yang dikenakan oleh sesuatu bendalir ke atas suatu jasad yang selari dengan gerakan relatif bendalir. Hela ke atas sesuatu jasad yang bergerak menerusi sesuatu bendalir terdiri dari dua komponen:

17 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 3 hela geseran kulit, F F,dan hela bentukatau hela tekanan, F P. Rajah 1.2: Daya-daya yang memberikan hela tekanan dan hela geseran kulit, Douglas et al. (2001). Helageserankulit, F F, bergantung kepadadaya-daya ricih yang bertindak di antaramuka pepejal bendalir, Rajah 1.2, F F = τ 0 sin θds (1.3) Sementaraituhelatekanan,F P,yangjugadikenalisebagaihelabentuk,bergantung kepada taburan tekanan di sekeliling jasad, rujuk Rajah 1.2, F P = p s cos θds (1.4) Jarang sekali kedua-dua komponen hela ini menjadi dominan secara serentak di dalam sesuatu fenomena aliran. Untuk objek yang tidak menunjukkan kesan daya angkat, kesan hela geseran kulit terlalu kecil, Rajah 1.3, dan biasanya diabaikan. Gabungan hela geseran kulit dan hela bentuk atau hela tekanan dikenali juga sebagaihela susukatau hela profail, F D. Jadi F D = (F F +F P ) = C D 1 2 ρu2 A (1.5) denganc D adalahpekaliheladan Aialahluasjasadyangterunjurdiatassatahyang serenjang terhadap arah relatif gerakan. Apabila jasad yang tenggelam di dalam aliran turut menghasilkan daya angkat, hela teraruh berlaku.

18 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 4 (a) Hela geseran kulit dominan (b) Hela tekanan/bentuk dominan Rajah 1.3: Komponen-komponen utama hela susuk, Douglas et al. (2001). 1.3 Teori Lapisan Sempadan: Latarbelakang Bagi aliran luaran, kesan kelikatan terhad kepada: suatu lapisan nipis bendalir (iaitu suatu lapisan sempadan) yang bersebelahan dengan dinding, dan keracak 1 diarus hilir jasad. Bagi jasad garis arus 2 seperti kerajang udara 3, anggaran hela yang baik boleh diperolehi dengan mengkamilkan tegasan ricih di permukaan dinding. Untuk menganggar tegasan ricih di dinding pula, kecerunan halaju di dinding mestilah diketahui. Ini memerlukan penyelesaian lengkap medan aliran (iaitu satu penyelesaian bagi persamaan-persamaan Navier-Stokes) di dalam lapisan sempadan. Bagi plat rata lapisan sempadan bermula sebagai satu aliran laminar dengan ketebalan sifar di tebing hadapan, atau dengan satu ketebalan terhingga di titik genangan sesuatu objek tumpul atau suatu airfoil, rujuk Rajah 1.4. Selepassatujarak x T yang bergantungkepada halaju arusbebas, U, kelikatan, µ, kecerunan tekanan, dp/dy dan dp/dx, 1 wake 2 streamlinebody 3 airfoil

19 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 5 Rajah 1.4: Lapisan sempadan di atas plat rate, Massey(1983). kekasaran dinding ǫ, dan tahapturun-naik arus bebas u2 /U, aliran laminar ini akan mengalami suatu proses peralihan yang menyebabkan (selepas suatu jarak pendek) aliran menjadi bergelora Tebal lapisan sempadan Tebal lapisan sempadan, δ, ialah jarak tegaklurus terhadap permukaan badan tegar yang diukur daripada permukaan badan ke bahagian aliran yang mempunyai halaju sama dengan 99% halaju aliran arus bebas, rujuk Rajah Tebal Anjakan Daya likat di dalam lapisan sempadan merencatkan aliran, jadi kadar aliran jisim yang bersebelahan dengan permukaan pejal adalah lebih kecil dari kadar aliran jisim yang mengaliri kawasan yang sama sekiranya lapisan sempadan tidak wujud. Kesusutankadaraliran disebabkanoleh kesandayalikat ialah 0 ρ(u u). Sekiranya lapisan sempadan tidak wujud, halaju di keratan rentas ini ialah U. Jika sempadanpejaldisesarsejauh δ,kadaraliranjisimakanmengalamikuranganatau defisitsejumlah ρuδ. Tebal anjakan, δ, ialah jarak yang mana sempadan pejal harus disesarkan dalam suatu aliran tanpa geseran untuk memberikan kurangan kadar aliran jisim yang sama seperti yang wujud di dalam lapisan sempadan; ρu δ = 0 ρ(u u)dy (1.6)

20 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 6 Untukaliran takboleh mampat, ρ = pemalar dan ( δ = 1 u ) dy (1.7) 0 U δ ( 1 u ) dy (1.8) U 0 Rajah 1.5: Tebal anjakan Tebal Momentum Rencatan aliran di dalam lapisan sempadan juga menyebabkan pengurangan dalam fluks momentum di keratan yang sepadan dengan aliran tak likat. Kuranganataudefisitmomentumaliranjisimsebenar, 0 ρ u dy, menerusi lapisan sempadanialah 0 ρ u(u u) dy. Sekiranya daya likat tidak wujud, sempadan pejal perlu di gerakkan sejarak θ untukmenghasilkan kuranganmomentum ρu 2 θ. Tebal momentum, θ, ditakrifkan sebagai ketebalan satu lapis bendalir dengan halaju U untuknya menghasilkan fluks momentum sebesar fluks momentum menerusi lapisan sempadan; ρu 2 θ = 0 ρu(u u)dy (1.9) Untukaliran takboleh mampat, ρ = pemalar dan u ( θ = 1 u ) dy (1.10) 0 U U δ u ( 1 u ) dy (1.11) U U 0 (1.12)

21 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 7 Rajah 1.6: Tebal momentum Tebal Tenaga Tebal tenaga, δ,ialah tebalnyabendalir diukurtegaklurusterhadap permukaanbadan tegar dan mempunyai fluks tenaga kinetik yang sama dengan tenaga kinetik yang hilang akibat terbentuknya lapisan sempadan [ δ ( ) ] δ ρu u 2 = 1 dy (1.13) 0 ρ 1 U U Rajah 1.7: Tebal tenaga. 1.4 Asas Analisis Aliran Lapisan Sempadan Di dalam lapisan sempadan, halaju susut daripada u = 0.99U di y = δ ke u = 0 di y = 0. Kesusutan yang berlaku dalam jarak yang sebegitu pendek membolehkan kita menganggar susuk halaju, untuk aliran laminar dan gelora, dengan ketepatan yang baik. Jika susuk halaju dianggap sebagai sudah diketahui, 1. persamaan keterusan, dan

22 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 8 2. persamaan momentum akan dapat membantu kita meramal ketebalan lapisan sempadan dan tegasan ricih di sempadan pepejal dan seterusnya daya geseran kulit. Berikut ditunjukkan bagaimana kedua-dua persamaan ini diterbitkan bagi aliran likat di dalam lapisan sempadan Persamaan Keterusan Aliran Likat Isipadu kawalan ABCDEFGH di dalam Rajah 1.8 di ambil dalam bentuk satu prisma segi empat kecil dengan tepian dx, dy dan dz. Nilai-nilai min komponen halaju dalam arah x, y dan z, masing-masing ialah u, v dan w. Rajah 1.8: Keterusan dalam tiga dimensi. Pertimbangkan aliran dalam arah-x, Aliran jisim yang masuk menerusi ABCD per unit masa = ρudydz Ketumpatan jisim ρ dan halaju u berubah dalam arah-x Jadi Aliran jisim yang keluar menerusi EFGH per unit masa [ = ρu + ] x (ρu)dx dydz begitu juga Aliran jisim bersih yang keluar per unit masa dalam arah-x = x (ρu)dxdydz Aliran jisim bersih yang keluar per unit masa dalam arah-y = y (ρv)dxdydz

23 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 9 dan Oleh itu Aliran jisim bersih yang keluar per unit masa dalam arah-z = z (ρw)dxdydz Jumlah aliran jisim per unit masa [ = x (ρu) + y (ρv) + ] z (ρw) dxdydz Di samping itu, ρ/ t adalah perubahan dalam ketumpatan jisim per unit masa, Samakan Perubahan jisim di dalam isipadu kawalan per unit masa = ρ t dxdydz Jumlah aliran jisim per unit masa = Perubahan jisim di dalam isipadu kawalan per unit masa iaitu [ x (ρu) + y (ρv) + ] z (ρw) dxdydz = ρ t dxdydz atau x (ρu) + y (ρv) + ρ (ρw) = z t (1.14) Persamaan (1.14) boleh digunakan di sebarang titik di dalam aliran bendalir, samada mantap atau tidak, boleh mampat atau tak boleh mampat. Bagi aliran tak boleh mampat, ketumpatan ρ adalah malar dan persamaan (1.14) dipermudahkan menjadi u x + v y + w z = 0 (1.15) Bagi analisis dalam dua dimensi, semua komponen dalam arah-z diabaikan, jadi u x + v y = 0 (1.16) Persamaan Keterusan Untuk Koordinat Silinder Persamaan keterusan untuk sesuatu sistem koordinat silinder r, θ dan z, dengan r dan θ diukur dalam satah yang sepadan dengan satah x y bagi koordinat Cartesan, boleh diterbitkan menerusi hubungan-hubungan di antara koordinat kutub dan koordinat Cartesan: r 2 = x 2 +y 2 y x = tan θ

24 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 10 u = v r cos θ v t sin θ v = v r sin θ +v t cos θ x = r r x + θ θ x y = r r y + θ θ y Ini menjadikan persamaan (1.15) [ ] 1 r r (rv r) + 1 v t r θ + w z = 0 (1.17) Persamaan Momentum Aliran Likat Persamaan keterusan dalam bentuk kebezaan, persamaan (1.14), boleh diolah semula sebagai ρ t + x (ρu) + y (ρv) + (ρw) = 0 (1.18) z Pecutan keseluruhan dalam arah-x boleh ditulis sebagai du dt = u u u u +u +v +w t x y z Kadar perubahan momentum dalam arah-x boleh ditulis sebagai M x dt ( u u u = ρdxdydz +u +v t x y u ) +w z (1.19) (1.20) Daya bersih dalam arah-x yang terdiri dari paduan daya jasad, tegasan normal dan tegasan ricih ke atas unsur bendalir ialah ( F x = dxdydz ρx σ x x + τ yx y + τ ) zx z dengan X adalah daya jasad. (1.21) Oleh itu dari persamaan-persamaan(1.20) dan(1.21), bentuk umum persamaan momentum dalam setiap dimensi boleh ditulis sebagai ( u u u u ) ρ +u +v +w = ρx σ x t x y y x + τ yx y + τ zx z } {{ }} {{ } daya inersia=ma x F x ( v v v v ) ρ +u +v +w = ρy + τ xy t x y z x σ y y + τ zy z } {{ } dayainersia=ma y ) ( w ρ t w w w +u +v +w x y z } {{ } daya inersia=ma z } {{ } F y = ρz + τ xz x + τ yz y σ z z } {{ } F z (1.22) (1.23) (1.24)

25 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 11 Dalam sebutan inersia, kadar-kadar perubahan halaju dengan kedudukan, iaitu ( u u ) ( u u +v +w, u v ) ( v v +v +w dan u w ) w w +v +w x y y x y z x y z disebut pecutan konvektif, sementara kadar-kadar perubahan halaju dengan masa, iaitu u t, v t dan w t disebut pecutan tempatan. Persamaan-persamaan momentum, (1.22) (1.24), di atas adalah terlalu umum dan tidak boleh dikamirkan tanpa merujuk kepada rumus-rumus yang mentakrif semua sebutan tegasan ricih dan tegasan normal ke permukaan unsur bendalir. Bendalir Newtonan, walau bagaimana pun, mempamerkan ciri-ciri yang membolehkan tegasan (ricih dan normal) dikaitkan dengan kecerunan halaju. Perubahan bentuk linear ditakrif menerusi pekali kelikatan dinamik µ sementara perubahan bentuk isipadu pula ditakrif menerusi pekali kelikatan kedua λ. Douglas et al. (2001) memberikan σ x = p 2µ u ( u x λ x + v y + w z σ y = p 2µ v ( u y λ x + v y + w z σ z = p 2µ w ( u z λ x + v y + w z ) ; τ xy = µ ) ; τ xz = µ ) ; τ yz = µ ( u y + v ) x ( u z + w ) x ( v z + w ) y (1.25) (1.26) (1.27) Dalam praktis, kesan pekali kelikatan kedua, λ, adalah kecil; hipotesis Stokes memberi anggaran λ = 2 3 µ, sementara tekanan pula diambil sebagai purata ketiga-tiga tegasan normal dari persamaan-persamaan (1.25) (1.27). Untuk bendalir homogeneous, iaitu bendalir yang sifat-sifatnya tidak dipengaruhi oleh kedudukan, gantian untuk sebutan-sebutan tegasan ricih dan normal dari persamaan(1.25) serta menerusi hipotesis Stokes, bahagian kanan persamaan (1.22) boleh diolah semula seperti berikut; Bahagian kanan = ρx p x +2µ 2 u x µ ( u x x + v y + w ) z [ ( u + µ y y + v ) + ( u x z z + w )] x = ρx p ( x + 2 ) µ u x v y w z µ ( u x x + v y + w ) z sementara bahagian kiri pula boleh ditulis dalam bentuk Bahagian kiri = ρ Du Dt

26 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 12 Oleh yang demikian rumus untuk arah-x menjadi ρ Du Dt ( p 2 ) = ρx x + µ u x u y u z µ ( u x x + v y + w ) z (1.28) dengan rumus bagi arah-y dan z mengambil bentuk yang serupa. Jika aliran mantap dan tak boleh mampat, persamaan (1.28) boleh diterbitkan semula, dengan mengabaikan sebutan-sebutan kecil order kedua atau lebih, dalam ketiga-tiga arah koordinat sebagai ρ Du Dt ρ Dv Dt ρ Dw Dt ( p 2 ) = ρx x + µ u x u y u z 2 ( p = ρy y + 2 ) µ v x v y v z 2 ) = ρz p z + µ ( 2 w x w y w z 2 (1.29) (1.30) (1.31) Persamaan-persamaan (1.29) (1.31) lebih dikenali sebagai persamaan-persamaan Navier-Stokes. Bagi aliran laminar, tegasan-tegasan ricih adalah berkadaran terus dengan kelikatan dan kadar terikan ricih, τ x = µ(du)/(dy), untuk memudahkan penyelesaian persamaan-persamaan Navier-Stokes ini. Sebaliknya, di dalam aliran gelora, tegasan-tegasan ricihnya lebih kompleks dan tiada model yang berupaya memberikan penyelakuan yang menyeluruh. Bagi analisis dalam dua dimensi, semua komponen dalam arah-z diabaikan, jadi persamaan-persamaan Navier-Stokes dikurangkan menjadi ( x + 2 µ u ( u u u ) ρ +u +v = ρx p t x y ( v v v ) ρ +u +v = ρy p t x y y + µ ) x u y 2 ( 2 ) v x v y 2 (1.32) (1.33) Persamaan Kamilan Momentum von Karman Pertimbangkan suatu isipadu kawalan infinitesimal, Rajah 1.9(a). Persamaan kamilan keterusanmembolehkankitamencari ṁ atas. Untukseunitkedalaman, persamaankamilan keterusan diberikan oleh ṁ atas = ṁ keluar ṁ masuk = x δ 0 ρudydx (1.34) Persamaan kamilan momentum berbentuk F x = M keluar M masuk M atas

27 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 13 dengan M mewakili fluks momentum di dalam arah-x. Dengan merujuk Rajah 1.9(c) dan (d) serta mengabaikan sebutan-sebutan kuasa tinggi, persamaan di atas menjadi δdp τ 0 dx = δ ρu 2 dydx x 0 ( δ ) ρudydx U(x) (1.35) x 0 Rajah 1.9: Isipadu kawalan untuk suatu lapisan sempadan, Potter& Wiggert(1997). Bahagikan keseluruhannya dengan dx τ 0 + δ dp dx = U(x) d δ ρudy d δ ρu 2 dy (1.36) dx 0 dx 0 Persamaan (1.36) selalunya dirujuk sebagai persamaan kamilan von Karman. Untuk aliran di permukaan plat rata dengan kecerunan tekanannya sifar, jadi dp/dx = 0 dan U(x) = U,persamaan kamilan von Karman dipermudahkanmenjadi τ 0 = d δ dx = d dx 0 δ 0 ρuu dy d δ ρu 2 dy dx 0 ρu(u u)dy (1.37) Sekiranya ρ malar, persamaan (1.37) menjadi τ 0 = ρu 2 dθ dx (1.38) dengan θ ialah ketebalan momentum.

28 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN Penyelesaian Lapisan Sempadan Laminar Kaedah Tepat Blasius Penyelesaian yang ditemui oleh Blasius pada tahun 1908 ini kadangkala dikenali juga sebagai penyelesaian tepat. Untuk aliran mantap tanpa daya jasad dalam dua dimensi dengan kecerunan tekanan sifar, persamaan keterusan menjadi u x + v y = 0 (1.39) sementara persamaan momentum atau persamaan Navier-Stokes pula mengambil bentuk ( u u u ) ρ +u +v = ρx p ( 2 ) t x y x + µ u x u y 2 u u u +v x y = ν 2 u y 2 (1.40) dengan keadaan-keadaan sempadan berikut: u = 0 di y = 0 (1.41a) u = U di y = δ (1.41b) Blasiusberpendapatbahawasusukhalaju, u/u,patutserupauntuksetiapnilai x,apabila diplot melawan jarak tanpa dimensi daripada sempadan pepejal, katalah η. Untuk tujuan ini, ketebalan lapisan sempadan, δ, dipilih sebagai parameter untuk menjadikan jarak daripada sempadan pepejal tak berdimensi. Oleh itu penyelesaian adalah dalam bentuk u U = g(η) dengan η = y δ Blasius mencadangkan bahawa δ νx/u dan menetapkan (1.42) η = y U νx (1.43) Seterusnya menerusi fungsi arus, ψ, dengan u = ψ y dan v = ψ x (1.44) yang memenuhi persamaan keterusan (1.39) dan dengan menggantikan u dan v ke dalam persamaan (1.40) kita dapat mengurangkannya kepada suatu persamaan yang ψ di dalamnya adalah pembolehubah bersandar yang tunggal. Jika kita mentakrifkan fungsi arus tanpa dimensi sebagai f(η) = ψ νxu (1.45)

29 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 15 f(η) menjadi pembolehubah bersandar dengan η sebagai pembolehubah tak bersandar atau pembolehubah bebas di dalam persamaan (1.40). Dengan ψ ditakrif oleh persamaan (1.45) dan η oleh persamaan (1.43) kita boleh menilai setiap sebutan di dalam persamaan (1.40). Komponen halaju diberikan oleh u = ψ y = ψ η η y = u = νxu df dη U ( dψ df df dη ) η y νx = U df dη (1.46) dan [ v = ψ νxu x = f x f = [ νxu df dη ( 1 2 η1 x ] νu x ) f νu x ] v = 1 2 νu x [ η df ] dη f (1.47) Dengan membezakan komponen-komponen halaju, kita boleh menunjukkan bahawa u x = U 2x ηd2 f dη 2 dan u y = U U νx d 2 f dη 2 2 u y 2 = U2 d 3 f νx dη 3 Gantikan ketiga-tiga persamaan di atas ke dalam persamaan (1.40) untuk mendapatkan 2 d3 f dη 3 + f d2 f dη 2 = 0 (1.48) dengan keadaan-keadaan sempadan f = df = 0 dη pada η = 0, (1.49a) df = 1 dη pada η = (1.49b) Persamaan-persamaan kebezaan separa order kedua(rujuk persamaan(1.39),(1.40)) yang mengawal pertumbuhan lapisan sempadan laminar di atas plat rata telah dijelmakan kepada suatu persamaan kebezaan separa order ketiga tak linear(persamaan(1.48)) dengan keadaan-keadaan sempadan yang berikan oleh persamaan (1.49).

30 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 16 Jadual 1.1: Fungsi f(η) untuk lapisan sempadan laminar sepanjang suatu plat rata pada incidence sifar. η = y U νx f f = u U f Persamaan (1.48) tidak mungkin dapat diselesaikan dalam bentuk tertutup; Blasius menyelesaikannya menerusi suatu series expansion yang kemudiannya diperbaiki oleh Howarth dengan lebih jitu menggunakan kaedah berangka. Nilai-nilai berangka untuk f, df/dη dan d 2 f/dη 2 diberikan di dalam Jadual 1.1 dan susuk halaju seperti yang ditunjukkan di dalam Rajah 1.10 akan diperolehi dalam bentuk tanpa dimensi dengan memplot u/u melawan η. Rajah 1.10: Susuk halaju laminar dan gelora. Daripada Jadual 1.1 kita boleh melihat bahawa η = 5.0, u/u = Dengan men-

31 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 17 takrif tebal lapisan sempadan, δ, sebagai nilai y apabila u/u = 0.99, maka daripada persamaan (1.43), δ 5.0 U /νx = 5.0x Rex (1.50) Tegasan ricih di sempadan pepejal ialah τ 0 = µ u y y=0 dengan itu = µu U νx d 2 f dη 2 η=0 τ 0 = 0.332U ρµu x = 0.332U ρ 2 µu 2 ρu x = 0.332ρU2 Rex (1.51) dan pekaligeserantempatandisempadanpepejal, c f, diberikanoleh c f = τ ρu2 = 0.332U ρµu x ρu2 = Rex (1.52) Jumlah daya geseran yang bertindak di keseluruhan permukaan dihitung menerusi F F = A 0 τ 0 da (1.53) dan pekali geseran min untuk keseluruhan permukaan pula dikira mengikut C F = F A F/A 0 = τ 0dA 1 2 ρu2 1 2 ρu2 A = 1 A 0 τ 0dA = 1 A c A 1 2 ρu2 A f da (1.54) 0 Pekali geseran min untuk aliran dengan halaju arus bebas, U, di atas permukaan plat rata yang panjangnya L dan lebarnya b diperolehi dengan menggantikan untuk τ 0 daripada persamaan (1.52) ke dalam persamaan (1.54): C F = Re 0.5 x da A A = 1 bl L 0 = L C F = ReL ( U ) x 0.5 bdx ν ( ) ν 0.5 [ ] x 0.5 L U ( ) ν 0.5 = U L (1.55) Oleh kerana kecerunan tekanan di dalam lapisan sempadan dianggap sifar, hela bentuk (atauhelatekanan)bolehdiabaikan(iaituf P = 0). Denganitu,menerusipersamaan(1.5), jumlah hela, F D, sama dengan hela geseran, F F, dan dengan yang demikian C D sama dengan C F ; F D = F F + (F P = 0) = F F C D = C F

32 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN Kaedah Anggaran Kita tetapkan empat keadaan sempadan untuk susuk halaju yang dihajati u y u = 0 pada y = 0 (1.56a) u = U pada y = δ (1.56b) = 0 pada y = δ (1.56c) 2 u = 0 pada y = 0 (1.56d) y2 Persamaan-persamaan (1.56a) (1.56c) diperolehi daripada sketsa susuk halaju sementara persamaan (1.56d) pula datangnya daripada komponen-x persamaan Navier-Stokes. Juga u = v = 0 di sempadan jasad pepejal, 2 u/ x 2 = 0 di permukaan jasad, dan dp/dx = 0 untuk aliran mantap yang sedang kita pertimbangkan. Sebagai contoh, kita andaikan susuk halaju berbentuk polinomial kiub, u U = A +By +Cy 2 +Dy 3 (1.57) dengan A, B, C, dan D mungkin fungsi x. Menerusi empat keadaan sempadan di atas kita melihat A = 0 B = 3 2δ C = 0 D = 1 2δ 3 Oleh itu anggaran yang baik untuk susuk halaju di dalam aliran laminar ialah u U = 3 2δ y 1 2δ 3y3 = 3y 2δ y3 2δ 3 (1.58) Kitaseterusnyabolehmenggunakansusukhalaju iniuntukmencari δ(x)dan τ 0 (x). Persamaan kamilan von Karman memberikan τ 0 = d δ ( 3y ρ dx 0 2δ y3 )( 2δ 3 1 3y 2δ + y3 ) 2δ 3 U dy 2 = 0.139ρU 2 dδ dx (1.59) Di sempadan jasad pepejal, τ 0 = µ u/ y y=0, atau dengan menggunakan susuk polinomial kiub, iaitu persamaan (1.58), τ 0 = µ( 3 2δ U ) (1.60) Samakan persamaan (1.59) dan (1.60), δdδ = 3 2 µu 0.139ρU 2 dx = 10.8 ν dx (1.61) U

33 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 19 Dengan δ = 0pada x = 0, persamaan (1.61) bolehdikamilkan untukmendapat νx δ = 4.65 = 4.65x (1.62) U Rex dengan Re x ialah nombor Reynoldstempatan. Nilai δ ini digantikan ke dalam persamaan (1.60) untuk mendapat tegasan ricih tempatan di sempadan pepejal ν τ 0 = 0.323ρU 2 = 0.323ρU2 (1.63) xu Rex Tegasan ricih tempatan, τ 0, dijadikan tanpa dimensi secara membahagikannya dengan 1 2 ρu2 ;ini menghasilkan pekali geseran kulit tempatan sebagai: c f = τ ρu2 = 0.323ρU2 1 1 Rex 2 ρu2 = Rex (1.64) Jika tegasan ricih tempatan di sempadan pepejal ini dikamilkan sepanjang panjang, L, daya seret disebabkan oleh geseran kulit di keseluruhan sempadan pepejal, F F, untuk seunit lebar plat ialah F F = A 0 τ 0 da = A = 0.646ρU 2 νl/u = 0.646ρU 2 νl 2 /U L = 0.646ρU 2 L ν/u L 0 τ 0 (1 dx) = L 0 τ 0 dx = 0.646ρU2 L ReL (1.65) Daripersamaan(1.54),pekaliseretanuntukaliran denganhalaju arusbebas,u,diatas permukaan plat rata yang panjangnya L dan lebarnya b diperolehi menerusi: A C F = 1 c A f da 0 = Re 0.5 x da A A = 1 L ( U bl 0 ν = ( ) ν 0.5 [ x 0.5 L U 0.5 C F = ReL ) 0.5 x 0.5 bdx ] L 0 ( ) ν 0.5 = U L (1.66) 1.6 Penyelesaian Lapisan Sempadan Gelora Terdapat dua kaedah penyelasaian kepada lapisan sempadan gelora kaedah hukum kuasa dan kaedah empirik. Kedua-duanya menggunakan data ujikaji. Kaedah yang

34 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 20 pertama yang dibincangkan di bawah lebih mudah sementara kaedah kedua pula dapat memberikan lebih maklumat serta lebih tepat tetapi tidak akan dibincangkan di sini. Di dalam aliran gelora, Rajah 1.11, jejak halaju menunjukkan pergolakan atau gincatan halaju seketika, u, yang rambang sebagai hasil campur halaju min, ū dan komponen gincatan, u, u = ū ±u Oleh kerana aliran mantap, halaju min ū tidak berubah dengan masa. Rajah 1.11: Perubahan halaju dengan masa Kaedah Hukum Kuasa Di dalam kaedah hukum kuasa kita menyesuaikan data untuk susuk halaju dengan persamaan hukum kuasa: dengan ū ( y = U δ Re x = U x ν ) 1/n: n = 7 Re x < < Re x < 10 8 (1.67) < Re x < 10 9 Selepas ini, persamaan von Karman boleh digunakan seperti yang telah digunakan untuk mencari penyelesaian lapisan sempadan laminar, KECUALI ketika tegasan ricih dihitung. Bentuk hukum kuasa, persamaan(1.67), menghasilkan ( ) ū = y y=0 jadi susuk ini memberikan keputusan yang kurang memuaskan, terutama untuk pengiraan tegasan ricih di sempadan pepejal. Jadi takrif ( τ 0 = µ ū ) y y=0

35 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 21 tidak digunakan, sebaliknya kita menggunakan hubungan empirikal formula Blasius yang menghubungkan pekali geseran tempatan dengan tebal lapisan sempadan menerusi ( ) ν 1/4 c f = (1.68) U δ bagi mendapatkan τ 0 = 0.023ρU 2 ( ) ν 1/4 (1.69) U δ Nota: Satu lagicara ialah denganmenghubungkan τ 0 denganc f menerusipersamaan c f = Re x Persamaan kamilan von Karman memberikan kitaungkapanyangkeduauntuk τ 0 ;gantikan susukhalaju, persamaan (1.67) denganre x < 10 7, kedalam persamaan τ 0 = d δ ρu(u u)dy dx 0 untuk memperolehi τ 0 = d δ ( [ y 1/7 ( ] y 1/7 ρu 2 1 dy dx 0 δ) δ) = 7 dδ 72 ρu2 dx (1.70) Gabungkan kedua-dua ungkapan, persamaan (1.69) dan (1.70), untuk τ 0 dan kita memperolehi ( ) ν 1/4 δ 1/4 dδ = dx (1.71) U Denganmenganggapalirangeloradaripadapinggirdepan(iaitu L x T ),kitamendapat ( ) ν 1/5 δ = 0.38x U x = 0.38x Re 1/5 : Re x < 10 7 (1.72) x Gantikan ungkapan di atas ke dalam persamaan(1.68), kita mendapati bahawa c f = Re 1/5 x : Re x < 10 7 (1.73)

36 BAB 1. ALIRAN LAPISAN SEMPADAN 22 Dengan mengkamilkan C F = 1 A A 0 c f da kita mendapat pekali geseran min sebagai dengan C F = Re 1/5 L Re L = U L ν : Re x < 10 7 (1.74) Rumus-rumus untuk δ, τ 0, c f, C F dan F F di atas boleh digunakan untuk Re x 10 8 tanpa ralat yang besar. Jika panjang L tidak begitu besar dibandingkan dengan x T, katalah L = 3x T, bahagian laminar turut mempengaruhi aliran di pinggir depan plat. Untuk kes sebegini, dengan Re L < 10 7,pekaligeseranmin bolehdiubahsuai sebagai C F = Re 1/5 : Re c = (1.75a) Re L L C F = Re 1/ : Re c = (1.75b) Re L L C F = Re 1/5 : Re c = (1.75c) Re L L denganre c ialah nomborreynoldsgentingdititikberlakunyaperalihan Re c = U x T ν Tebalanjakan, δ,dan tebalmomentum, θ, masing-masing diberikan oleh δ = 0.048x Re 1/5 x θ = 0.037x Re 1/5 x (1.76) (1.77)

37 Bab 2 ALIRAN BENDALIR UNGGUL 2.1 Gerakan Zarah-zarah Bendalir Untuk analisis matematik gerakan bendalir, dua pendekatan biasanya digunakan: 1. Kaedah Lagrangian (a) Kajian pola aliran SATU zarah individu (b) Laluan yang dijejaki oleh SATU zarah tersebut dikaji dengan teliti (c) Contohnya, kajian gerakan SEBUAH kenderaan menerusi jarak tertentu 2. Kaedah Eulerian (a) Kajian pola aliran SEMUA zarah secara serentak pada sesuatu keratan (b) Laluan yang dijejaki oleh SEMUA zarah di suatu keratan pada sesuatu masa dikaji dengan teliti (c) Contohnya, kajian SEMUA kenderaan di atas jalan di sesuatu lokasi (persimpangan lampu isyarat, misalnya) pada sesuatu ketika. Di dalam bidang Mekanik Bendalir, kaedah Eulerian sering digunakan kerana analisis matematiknya lebih mudah. Lagi pula, gerakan hanya SATU zarah tidak begitu penting. 2.2 Jenis-jenis Garisan Aliran Bendalir Garis Arus Garisan bayangan yang dilukis di dalam medan bendalir supaya tangen terhadapnya pada sebarang titik memberikan arah gerakan di titik tersebut, Rajah 2.1. Pertimbangkan satu zarah yang bergerak sepanjang satu garisarus, jarak ds, yang mempunyai komponen dx, dy dan dz sepanjang tiga paksi yang saling berserenjang. Dan katalah komponenkomponen vektor halaju V s sepanjang paksi-x, y dan z ialah u, v dan w. Masa yang 23

38 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 24 V s V s V s Rajah 2.1: Garisarus. diambil olehzarah untukbergeraksepanjangjarak ds diatasgarisarusdenganhalaju V s ialah t = ds V s yang sama dengan t = dx u = dy v = dz w Dengan itu persamaan kebezaan untuk garisarus boleh ditulis sebagai dx u = dy v = dz w (2.1) Sesuatu unsur bendalir yang dikelilingi oleh sejumlah garis arus yang membendung aliran dinamai tiub arus. Oleh kerana tiada gerakan bendalir yang memintas sesuatu garis arus, maka tiada bendalir yang dapat memasuki atau meninggalkan tiub arus, kecuali menerusi dua penghujungnya, A dan B di dalam Rajah 2.2. Jelas bahawa sesuatu tiub arus itu berkelakuan seperti sesuatu tiub pepejal Garis laluan Garis laluan ialah lokus satu zarah bendalir yang bergerak, iaitu satu lengkung yang dijejaki oleh satu zarah semasa gerakannya. Rajah 2.3 menunjukkan satu garisarus pada t 1 yang menunjukkan vektor halaju untuk zarah A dan B. Pada ketika t 2 dan t 3, zarah A ditunjukkan berada di kedudukan seterusnya. Garisan yang menyambungkan semua kedudukan ini mewakili garis laluan zarah A.

39 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 25 B A Rajah 2.2: Tiub arus Garis upaya atau Garis Sama-upaya Kehilangan turus (tenaga) zarah-zarah bendalir terjadi apabila zarah- zarah ini melewati garis-garis arus. Jika kita lukiskan garisan yang menyambungkan titik-titik yang mempunyai keupayaan yang sama di atas garis-garis arus yang bersebelahan, kita akan mendapat garis upaya atau garis sama-upaya, Rajah 2.4. Garisan AA, BB, CC dan DD ialah garisarusdan PP, QQ, RR danss pulaialah garis sama- upaya. Q R P S A B C D P' Q' R' S' D' C' B' A' Rajah 2.4: Garis upaya atau sama-upaya.

40 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 26 B Garisarus seketika pada t 1 A t2 = t1+ t A t3 = t2 + t A t 1 Garis laluan untuk zarah bendalir A Rajah 2.3: Garis laluan. 2.3 Jenis-jenis Aliran Bendalir Aliran Laminar& Aliran Gelora Setiap zarah di dalam aliran laminar mempunyai satu laluan yang tetap dan laluan-lauan zarah-zarah ini tidak saling memintas atau merentasi. Ia dikenali juga sebagai aliran garis arus. Setiap zarah bendalir di dalam aliran gelora pula tidak mempunyai laluan yang tetap dan laluan-laluan zarah-zarah ini saling memintas atau merentasi satu sama lain. Rajah 2.5: Aliran laminar dan aliran gelora Aliran Berputar & Aliran Nirputaran Zarah-zarah di dalam aliran berputar turut berputar di atas paksi masing-masing apabila mengalir, Rajah 2.6(a). Zarah-zarah di dalam aliran nirputaran tidak berputar di atas paksi masing-masing dan kekal dengan orientasi asal apabila mengalir, Rajah 2.6(b).

41 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 27 Rajah 2.6: Aliran berputar, dan aliran nirputaran. 2.4 Persamaan Keterusan 2-D Aliran Tak Likat y ( ρv) ρv+ dy y dy ρu ( ρu) ρu+ dx x ρv dx x Rajah 2.7: Aliran jisim menerusi suatu unsur bendalir. Pertimbangkan suatu unsur segiempat bendalir yang mempunyai tepian dx dan dy serta tebal b seperti di dalam Rajah 2.7. Halaju di dalam arah-x dan y ialah u dan v. Untuk arah-x, jisim bendalir yang tersimpan di dalam unsur bendalir seunit masa boleh didapati dengan menolak kadar aliran keluar daripada kadar aliran masuk: ρubdy [ ρu + (ρu) x dx ] bdy = (ρu) x bdxdy Begitu juga dengan bendalir yang tersimpan per unit masa di dalam arah-y, (ρv) y bdxdy Hasil dari penyimpanan ini jisim di dalam unsur bendalir (ρb dx dy) sepatutnya bertambah sebanyak (ρb dx dy)/ t di dalam seunit masa. Dengan itu, persamaan berikut dipe-

42 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 28 rolehi: atau (ρu) x (ρv) (ρbdxdy) bdxdy bdxdy = y t ρ t + (ρu) + (ρv) x y = 0 (2.2) Persamaan(2.2) disebut persamaan keterusan. Persamaan ini boleh digunakan untuk aliran boleh mampat tak mantap. Bagi aliran mantap, sebutan pertama, iaitu ρ/ t, adalah sifar. Untuk aliran tak boleh mampat, ρ adalah malar, jadi persamaan berikut diperolehi: u x + v y = 0 (2.3) Persamaan (2.3) digunakan untuk aliran mantap dan tak boleh mampat. 2.5 Persamaan Momentum 2-D Aliran Tak Likat y p p+ dy y dy p p p+ dx x p dx x Rajah 2.8: Imbangan daya tekanan ke atas unsur bendalir Pertimbangkan daya yang bertindak ke atas suatu unsur kecil bendalir, Rajah 2.8. Oleh kerana bendalir ini adalah bendalir unggul, tiada daya likat yang bertindak. Jadi, menerusi hukum gerakan kedua Newton, jumlahan daya-daya yang bertindak ke atas unsur ini di dalam sebarang arah mestilah mengimbangi daya inersia di dalam arah yang sama. Tekanan yang bertindak ke atas unsur kecil bendalir, dx dy ditunjukkan di dalam Rajah 2.8. Di samping itu, dengan mengambilkira daya jasad dan menganggap bahawa jumlahan kedua-dua daya ini (iaitu daya tekanan dan daya jasad) sama dengan daya

43 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 29 inersia, persamaan gerakan untuk kes ini boleh diperolehi seperti berikut: ( u u u ) ρ +u +v t x y } {{ } daya inersia ( v v v ) ρ +u +v t x y } {{ } daya inersia = ρx p x = ρy p y (2.4a) (2.4b) Persamaan (2.4) sebenarnya adalah persamaan Navier-Stokes yang sebutan likatnya telah dikeluarkan dalam bentuk ini ia lebih dikenali sebagai persamaan gerakan Euler untuk dua dimensi. Bagi aliran mantap, jika daya jasad diabaikan, maka untuk seunit jisim bendalir: dengan ( ρ u u x ( ρ u v x a x = u ) +v y v ) +v y ( u u x = p x = p y u ) +v y = pecutan dalam arah-x (2.5a) (2.5b) dan a y = ( u v x v ) +v y = pecutan dalam arah-y Di dalam aliran bendalir dua dimensi, tiga kuantiti perlu diketahui, iaitu u, v dan p, sebagaifungsi x, y dan t: u = u(x,y,t) v = v(x,y,t) p = p(x,y,t) Jika halaju-halaju u dan v diketahui, tekanan, p, boleh dikira menerusi persamaan (2.4) atau (2.5). Bagaimanapun, oleh kerana sebutan pecutan (iaitu sebutan inersia) tidak linear, penyelesaian analitikal menjadi sukar dan hanya terhad kepada beberapa kes mudah sahaja. Biasanya, bagi aliran unggul persamaan keterusan (2.3) dan persamaan gerakan Euler (2.4) atau (2.5) diselesaikan bagi keadaan-keadaan awal dan keadaan-keadaan sempadan yang tertentu.

44 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 30 Peralihan Peralihan Putaran Putaran Herotan Sudut, Herotan Sudut, tanpa tanpa putaran putaran Herotan Isipadu Herotan Isipadu Rajah 2.9: Gerakan-gerakan unsur bendalir. 2.6 Vortisiti Aliran unggul membezakan di antara aliran berputar dan aliran tak berputar(atau nirputaran). Umumnya terdapat dua jenis gerakan: peralihan (translation) dan putaran (rotation). Kedua-duanya boleh wujud tersendiri atau serentak(gerakan peralihan bertindihan dengan dengan gerakan putaran atau sebaliknya). Sekiranya sesuatu unsur pepejal dapat diwakili oleh satu segi empat tepat maka peralihan tulen atau putaran tulen boleh diwakili oleh Rajah 2.9. Sekiranya kita mengambil segi empat tepat tadi sebagai mewakili bendalir, di samping dua gerakan tadi, ia juga boleh berubah bentuk: linear atau sudut, Rajah 2.9. y udt u dydt y a' β dy a vdt A' α β α b' v dxdt y A dx b x Rajah 2.10: Putaran, peralihan dan herotan.

45 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 31 Daripada Rajah 2.10, kadar purata putaran dalam masa dt ialah ω = α + β 2 1 dt = 1 α + β 2 dt tetapi, untuk nilai-nilai kecil, dan mengambil putaran melawan arah jam sebagai positif, dan α = lengkok jejari β = lengkok jejari = v x dx dt 1 dx = v x dt = u y dy dt 1 dy = u y dt Dengan menggantikan ungkapan untuk α dan β di atas ke dalam persamaan (2.6), maka kadar putaran sekitar paksi-z ialah ω z = 1 ( ) v u 1 dt 2 x y dt dt = 1 ( v 2 x u ) (2.7a) y } {{ } vortisiti, ζ z Putaran unsur bendalir sekitar dua paksi yang lain boleh ditemui menerusi kaedah yang sama. Untuk paksi-y ω y = 1 ( u 2 z w ) (2.7b) x } {{ } vortisiti, ζ y (2.6) dan untuk paksi-x ω x = 1 ( w 2 y v ) z } {{ } vortisiti, ζ x Ungkapan di dalam kurungan, ( w y v ) = ζ x z ( u z w ) = ζ y x ( v x u ) = ζ z y disebut vortisiti, ζ; ζ x = 2ω x ζ y = 2ω y (2.7c) (2.8) (2.9) ζ z = 2ω z dengan ω adalah halaju sudut unsur-unsur bendalir sekitar pusat jisim di dalam sesuatu satah (xy, xz atau yz).

46 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL Penentuan Aliran Berputar atau Sebaliknya Ungkapan untuk vortisiti, persamaan (2.8), diperolehi dengan menganggap bahawa gerakan putaran unsur bendalir wujud dan bertindihan di atas gerakan peralihan. Aliran sedemikian disebut aliran berputar dan ζ = v x u 0 (2.10) y Daripada sini, kita boleh menyimpulkan bahawa bagi aliran tanpa putaran, atau nirputaran, persamaan (2.8), dan dengan itu vortisiti, mestilah bernilai sifar. Oleh itu, jika gerakan zarah-zarah hanyalah semata-mata gerakan peralihan dan herotannya pula simetrikal, aliran ini disebut aliran nirputaran dan keadaan yang mesti dipatuhinya ialah; ζ = v x u y = 0 (2.11) 2.8 Edaran Pertimbangkan unsur bendalir ABCD dalam gerakan putaran, Rajah y u u+ dy y B C dy v Arah kamilan v v+ dx x A u D dx x Rajah 2.11: Edaran. Oleh kerana unsur bendalir ini berputar, terjadi halaju pinggiran hasilan. Bagaimanapun, pusat putaran ini tidak diketahui jadi lebih mudah jika kita mengaitkan putaran ini dengan jumlahan hasil darab halaju dengan jarak sekeliling kontur unsur bendalir. Jumlahan hasil darab ini disebut edaran Γ = v s ds (2.12)

47 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 33 yang lazimnya dianggap positif dalam arah melawan jam. Dengan itu, untuk unsur ABCD, bermula daripada sisi AD, ( Γ ABCD = udx + v + v ) x dy dy ( u + u ) y dy dx vdy = v u dxdy x y dydx ( v = x u ) dxdy y tetapi untuk aliran 2-D dalam satah-xy, ( v x u ) = ζ z y iaitu vortisiti unsur ABCD sekitar paksi-z, ζ z. Hasil darab (dxdy) pula ialah luas unsur da. Dengan itu ( v Γ ABCD = x u ) dxdy y = ζ z da 2.9 Keupayaan Halaju Keupayaan halaju, φ, adalah suatu kuantiti skalar yang bergantung kepada ruang dan masa; φ = v s ds denganv s ialahhalajusepanjangsuatujarakds. Daripadatakrifdiatas,kitamemperolehi dφ = v s ds atau v s = dφ ds Tanda negatif muncul kerana kelaziman bahawa keupayaan halaju susut dalam arah aliran. Keupayaan halaju bukanlah suatu kuantiti fizikal yang boleh diukur dengan mudah; oleh yang demikian kedudukan nilai sifarnya boleh dipilih secara rambang. Hasil bezaan keupayaan halaju terhadap sesuatu arah memberikan halaju dalam arah tersebut, iaitu untuk koordinat Cartesan (x, y, z); u = φ x ; v = φ y ; w = φ z (2.13)

48 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 34 Bagi sistem koordinat kutub(r, θ, z), komponen halaju diberikan oleh v r = φ r ; v θ = 1 φ r θ ; v z = φ z (2.14) Daripada persamaan (2.13) u y = 2 φ y x yang menghasilkan: dan v x = 2 φ x y v x u y = 0 (2.15) Umumnya, hasil kebezaan keseluruhan bagi fungsi φ di dalam dua dimensi diperolehi menerusi pembezaan separa dφ = φ φ dx + dy (2.16) x y dan menerusi persamaan (2.13) dφ = udx vdy = (udx +vdy) (2.17) Kesannya, apabila fungsi φ telah diperolehi, pembezaan φ dengan x dan y memberikan halaju-halaju u dan v dan dengan itu pola aliran ditemui. Suatu garisan yang sepanjang-panjangnya mempunyai nilai φ yang malar dinamai garisan sama upaya, dan di atas garisan ini arah halaju bendalir adalah berserenjang dengannya. Sementara itu, persamaan keterusan untuk aliran mantap tak boleh mampat dalam dua dimensi yang diberikan oleh persamaan (2.3) u x + v y = 0 boleh ditulis dalam sebutan φ sebagai 2 φ x φ y 2 = 0 (2.18) Persamaan (2.18) dikenali sebagai persamaan Laplace. Perlu diingatkan bahawa pola aliran upaya ditentukan hanya oleh hubungan keterusan (iaitu persamaan (2.3) atau persamaan (2.18)); hubungan momentum (iaitu persamaan (2.4) atau (2.5)) cuma digunakan untuk menentukan tekanan.

49 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL Fungsi Arus dan Kadar Aliran Fungsi arus, Rajah 2.12, adalah satu fungsi yang menghurai bentuk pola aliran. Ia juga mewakili luahan atau kadar aliran seunit tebal. Secara matematik: ψ = f(x,y) (2.19) dengan u = komponenhalaju dititikpdalam arah-x v = komponenhalaju dititikpdalam arah-y ψ = fungsiarusdititikp Pertimbangkan satu lagi garis arus sejauh dy di dalam arah-y dan dx di dalam arah-x, Rajah Fungsiarus untukgarisarus iniialah ψ +dψ. y ψ + dψ ψ u dy P dx v x Rajah 2.12: Fungsi arus. Kadar aliran (seunit tebal) merentasi dy diberikan oleh: dψ = udy u = dψ dy (2.20a) sementara kadar aliran (seunit tebal) merentasi dx pula ialah: dψ = vdx v = dψ dx (2.20b) Apabila komponen-komponen halaju ditakrif dalam sebutan fungsi arus kita tahu bahawa pengabadian jisim telah dipatuhi. Walaupun kita masih belum mengetahui apakah fungsi ψ(x, y) untuk sesuatu masalah, tetapi sekurang-kurangnya kita telah memudahkan analisis dengan hanya perlu menentukan satu fungsi anu, iaitu ψ(x, y), sebagai ganti duafungsi, u(x,y) dan v(x,y).

50 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 36 Di samping itu garisan yang di sepanjangnya nilai ψ adalah malar dinamai garisarus dan kecerunan di sebarang titik sepanjang sesuatu garisarus diberikan oleh persamaan garisarus dy dx = v u udy vdx = 0 (2.21) Gantikan u dan v kedalam persamaan diatas ψ y ψ dy + dx = 0 (2.22) x dψ = 0 Ini menunjukkan bahawa luahan di antara dua garis arus adalah malar dan diberikan oleh perbezaan di antara kedua-dua fungsi arus tersebut, iaitu dψ. Dalamkoordinatsilinder,komponenhalaju,v r danv θ,dihubungkandenganfungsiarus, ψ(x, y), menerusi persamaan v r = 1 r ψ θ ; v θ = ψ r (2.23) dengan v r positif mengarah keluar daripada asalan dan v θ positif dalam arah melawan jam. Konsep fungsi arus boleh digunakan untuk aliran simetri sepaksi(seperti aliran di dalam paip atau aliran di sekeliling jasad yang berputar) dan aliran boleh mampat dua dimensi. Konsep ini, bagaimanapun, TIDAK boleh digunakan untuk aliran tiga dimensi Hubungan di Antara Fungsi Arus dan Keupayaan Halaju Oleh kerana setiap komponen halaju boleh diungkapkan dalam sebutan φ dan ψ, wujud hubungan diantara φ dan ψ. u = φ x = ψ y v = φ y = ψ x Dengan itu ψ y = φ x ψ x = φ y (2.24) Persamaan (2.24) dikenali sebagai keadaan-keadaan Cauchy-Riemann. Hasil bezaan keseluruhan ψ(x, y) ialah dψ = ψ ψ dx + x y dy = vdx +udy

51 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 37 dan kita juga mengetahui bahawa untuk setiap garisarus dψ = 0; dengan itu dy dx = v u (2.25) Hasil bezaan keseluruhan keupayaan halaju, φ(x, y), pula ialah dφ = φ φ dx + x y dy = udx vdy Bagi setiap garisan sama-upaya φ adalah malar dan dengan itu dφ = 0. Jadi untuk garisan sama-upaya dy dx = u v (2.26) Daripada persamaan (2.25) dan (2.26) kita boleh melihat bahawa garisan sama-upaya (φ yang malar) dan garisarus(ψ yang malar) memintas satu sama lain secara ortogon. Oleh itu garis sama-upaya dan garisarus membentuk jaringan garisan-garisan yang saling berserenjang yang dikenali sebagai jaringan aliran, Rajah Rajah 2.13: Jaringan aliran, Massey(1983) Beberapa Pola Asas Aliran Aliran garis lurus Pola aliran termudah ialah aliran yang garisarusnya lurus, Rajah 2.14 Kelaziman yang digunakan untuk menomborkan garisarus ialah fungsi arus dianggap bertambah ke kiri pemerhati yang memandang ke arus hilir. Jika halaju aliran V condong

52 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 38 padasudut α kepaksi-x, makakomponendalam arah-x dan y diberikan oleh u = Vcos α v = Vsin α (2.27) Fungsi aliran diperolehi dengan menggantikan u dan v di atas ke dalam persamaan dψ = ψ ψ dx + x y dy = vdx +udy = udy vdx yang menjadi ψ = Vcos αdy Vsin αdx +pemalar (2.28) y ψ 6 ψ 5 ψ 4 ψ 3 ψ 2 ψ 1 ψ 0 α V x Rajah 2.14: Aliran garis lurus. OlehkeranadidalamaliranseragamV = pemalardandidalamalirangarislurus αjuga turut malar, ungkapan untuk fungsi arus menjadi ψ = Vycos α Vxsin α +pemalar (2.29) Pemalarkamilanbolehdijadikansifardenganmemilihsupayagarisarusrujukan, ψ 0 = 0, melalui asalan. Jadi, apabila x = 0 dan y = 0 fungsiarus ψ = ψ 0 = 0. Dengan itu ψ = V(ycos α xsin α) (2.30) Oleh kerana u dan v malar maka u/ y dan v/ x adalah sifar, oleh yang demikian aliran adalah aliran nirputaran.

53 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 39 Keupayaan halaju diperolehi menerusi persamaan (2.16) dan (2.17) dφ = φ φ dx + dy = (udx +vdy) x y Dengan itu, menerusi gantian dan kamilan, ( ) φ = Vcos αdx + Vsin αdy +pemalar tetapijika φ = φ 0 = 0 di x = 0dan y = 0, maka φ = V (xcos α +ysin α) (2.31) Aliran daripada sumber atau punca Sumber ialah suatu titik yang darinya terpancar bendalir keluar secara sekata dalam semua arah, Rajah Rajah 2.15: Aliran sumber. Bagi aliran dua dimensi, kekuatan sesuatu sumber, m, adalah ukuran jumlah kadar aliran isipadu bendalir seunit tebal yang berpunca daripada sumber tersebut. Oleh kerana halaju secara keseluruhannya dalam arah jejari, maka untuk seunit tebal, halaju v pada jejari r diberikan oleh Kadar aliran isipadu Luasyangberseranjangkehalaju = m 2πr Untuk aliran daripada suatu sumber di asalan, halaju tangen v t = ψ r = 0

54 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 40 sementara halaju jejari yang menghala keluar ( ) ψ v r = = m r θ 2πr Oleh itu ψ = m 2π θ (2.32) dengan θ dalam ukuranradian dandiambil dalam julat 0 θ < 2π. Juga φ r = v r = m 2πr dan φ r θ = v t = 0 Dengan itu φ = m 2π ln ( r C ) (2.33) Garis-garis arus adalah garis yang θ nya malar, iaitu garisan jejari. Untuk aliran nirputaran, garisan φ adalah bulatan sepusat Aliran ke sinki Lawan sumber ialah sinki yang merupakan suatu titik yang menjadi pusat tumpuan aliran bendalir dan bendalir di titik ini sentiasa di keluarkan. Kekuatan sinki dianggap negatif dan ungkapan untuk halaju dan fungsi ψ serta φ adalah sama seperti aliran sumber Vorteks nirputaran atau bebas Pola aliran yang garis-garis arusnya berbentuk bulatan sepusat dikenali sebagai vorteks bulat satah. Zarah-zarah yang bergerak dalam bulatan sepusat ini mungkin berputar di atas paksinya sendiri atau mungkin tidak. Jika zarah-zarah ini tidak berputar di atas paksinya sendiri, vorteks ini dikenali sebagai vorteks bebas atau vorteks nirputaran. Rajah 2.16 menunjukkan suatu unsur di dalam medan vorteks bebas yang dibendung oleh dua garis arus dan dua jejari. Halaju v dan v + dv dianggap positif dalam arah melawan jam. Halaju yang berserenjang terhadap adalah sifar. Edaran Γ (positif dalam arah lawan jam) sekitar unsur ini ialah Γ = (v +dv)(r +dr)dθ vrdθ = (Rdv +vdr)dθ

55 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 41 Rajah 2.16: Unsur bendalir dalam medan vorteks bebas. dengan magnitud-magnitud kecil order tinggi diabaikan. Vortisiti diberikan oleh ζ = Edaran Luas = (Rdv +vdr)dθ RdθdR = v R + dv dr = v R + v R : apabila dr 0 (2.34) dengan R mewakili jejari kelengkungan garis arus, bukannya koordinat kutub. Untuk aliran nirputaran ζ = v R + v R = 0 (2.35) Halaju adalah malar sepanjang garis arus dan berubah hanya dengan R, jadi dv dr = v R yang boleh dikamil untuk memberikan vr = pemalar (2.36) Edaran sekitar satu litar yang sepadan dengan suatu garis arus vorteks bebas diberikan sebagai Γ = v 2πR Oleh kerana vr = pemalar, edaran juga turut malar bagi keseluruhan vorteks. Aliran vorteks bebas adalah nirputaran di semua bahagian kecuali pusatnya, yang mempunyai teras berputar dan vortisi yang bukan sifar. Jadi di pusat vorteks bebas, persamaan(2.36) tidak sah digunakan.

56 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 42 Dalam vorteks bulat dua dimensi, halaju adalah keseluruhannya dalam arah tangen. Bagi vorteks yang berpusat di asalan koordinat ψ ψ ψ = r dr + θ dθ = vdr +0 Γ = 2πr dr = Γ ( ) r 2π ln (2.37) r 0 denganr 0 mewakilijejari pada ψ = 0. Pemalar Γ dikenalisebagaikekuatan vorteks. Pertimbangkan satu unsur kecil bendalir di antara dua garis arus, Rajah 2.17, di dalam medan aliran mantap. Rajah 2.17: Unsur bendalir dalam medan vorteks bebas. Di jejari R daripada pusat kelengkungan tekanannya ialah p, sementara di jejari R + dr pula ialah p + dp. Tujahan bersih (seunit ketebalan) ke atas unsur, menghala ke pusat kelengkungan, ialah (p +dp)(r +dr)dθ ( prdθ 2 p + dp ) drsin dθ 2 2 Dengan mengabaikan sebutan-sebutan kecil order tinggi, tujahan bersih ini dipermudahkan menjadi Rdpdθ. Komponen berat unsur yang bertindak sepanjang jejari dan menghala keluar ialah RdθdR ρg dz dr = Rρgdθdz dengan dz ialah unjuran tegak dr supaya lengkok cos(dz/dr) membentuk sudut di antara jejaridan arah tegak. Oleh itu jumlah dayayangbertindakkedalam ialah Rdpdθ +Rρgdθdz = Jisim Pecutanmemusar = ρrdθdr v2 R

57 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 43 Bahagikan dengan Rρg dθ dp v2 dr +dz = ρg R g (2.38) Teorem Bernoulli untuk aliran mantap bendalir tanpa geseran memberikan p ρg + v2 2g +z = H dengan H adalah turus yang malar sepanjang sesuatu garis arus(walaupun nilai ini berubah dari satu garis arus ke garis arus yang lain). Kebezakan persamaan di atas dp ρg + 2vdv +dz = dh (2.39) 2g Gabungkan persamaan (2.38) dan(2.39) dh = vdv g + v2 dr Rg = v ( dv g dr + v ) dr R Tetapi vdr = dψ, dan daripada persamaan (2.34), Oleh itu dv dr + v R = ζ dh = ζ dψ g (2.40) Vorteks berputar atau paksa Gerakan bendalir vorteks paksa diperolehi apabila bendalir di paksa berputar seperti suatu jasad pejal sekitar suatu pusat. Oleh kerana daya kilas luar diperlukan bagi memulakan gerakan, sebutan vorteks paksa digunakan. Halaju di jejari R dari pusat putaran diberikan oleh ωr, dengan ω mewakili halaju sudut yang seragam. Gantian v = ωr ke dalam persamaan aliran mantap (2.38) memberikan dp ρg +dz = ω2 R dr g Kamilkan persamaan di atas p ρg = ω2 R 2 2g +pemalar iaitu p = ρω2 R pemalar (2.41)

58 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 44 dengan p = p + ρgz. Persamaan (2.41) menunjukkan bahawa p bertambah dengan jejari R. Bendalir boleh dibekalkan di pusat sesuatu vorteks paksa dan kemudiannya diluah keluar di susurkeliling pada tekanan yang lebih tinggi. Prinsip ini merupakan asas pam empar. Jika suatu vorteks paksa dihasilkan di dalam bendalir yang mengisi bekas terbuka atau terdedah kepada atmosfera, tekanan di permukaan bebas bendalir adalah atmosfera dan dengan itu malar nilainya. Oleh yang demikian, permukaan bebas z = ω2 R 2 2g +pemalar Jika z = z 0 apabila R = 0, maka z z 0 = ω2 R 2 2g iaitu persamaan permukaan yang berbentuk paraboloid perkisaran, Rajah 2.18, dengan R bersuduttepatkepaksiputaran z. Rajah 2.18: Vorteks paksa sekitar paksi tegak terbentuk di dalam cecair yang mengisi bekas terbuka, Massey(1983) Gabungan Beberapa Pola Asas Aliran Aliran Garis Lurus Seragam dan Sumber Ambil suatu sumber dengan kekuatan m di asalan koordinat dan gabungkan pola aliran inidenganaliran seragamdenganhalaju U yangselaridengangarisan θ = 0. Gabungan pola garis arus ditunjukkan di dalam Rajah 2.19.

59 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 45 Rajah 2.19: Gabungan aliran garis lurus dan sumber, Massey(1983). Halaju daripada sumber, m/(2πr), yang menghala keluar susut dengan bertambahnya jejari. Jadi di suatu titik di kiri O, halaju ini akan mencapai nilai yang sama, tetapi berlawanan arah, dengan halaju arus seragam, U; menjadikan halaju gabungan di titik ini sifar. Titik ini dinamai titik genangan. Di titik ini m 2πr = U = r = m 2πU Bendalir yang keluar daripada sumber tidak berdaya bergerak melepasi S, dan seterusnyamencapah daripadapaksi θ = π dan seterusnyadibawaarus kekanan. Dengan mencampurkan fungsi arus untuk aliran seragam dan fungsi arus untuk sumber, kita memperolehi aliran gabungan sebagai ( ψ = Uy + mθ ) 2π = Ursin θ mθ 2π Di titik genangan, y = 0 dan θ = π; dengan itu nilai ψ di situ ialah m/2 yang mesti malar sepanjang garis arus yang sepadan dengan kontor jasad. Kontor ini ditakrif oleh rumus Uy mθ 2π = m 2 dan mengunjur ke nilai tak terhingga ke kanan, dengan nilai asimptot y diberikan oleh m/2u apabila θ 0atau m/2u apabila θ 2π. Komponen halaju di sebarang titik di dalam aliran diberikan oleh v t = ψ r = Usin θ v r = ψ r θ = +Ucos θ + m 2πr

60 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 46 Jasad yang kontornya terbentuk oleh gabungan aliran garislurus linear dengan suatu sumber begini dikenali sebagai separuh jasad Gabungan sumber dan sinki yang setanding kekuatan Rajah 2.20: Gabungan sumber, A, dan sinki, B, yang setanding kekuatan, Massey(1983). Jika kekuatan sumber di A ialah m dan kekuatan sinki di B pula ialah m, maka fungsi arus aliran gabungan ialah ψ = mθ 1 2π + mθ 2 2π = m 2π (θ 2 θ 1 ) (2.42) Untuk sebarang titik P di dalam medan aliran, θ 2 θ 1 = APB Garisan-garisan yang ψ nya malar (iaitu garis-garis arus) dengan itu melengkung sepanjang lengkung yang APB malar, iaitu lengkok bulat dengan AB sebagai perentas asas. Jika A beradadi ( b,0) dan B di (b,0) maka tan θ 1 = y x +b dan tan θ 2 = y x b Oleh itu tan(θ 2 θ 1 ) = tan θ 2 tan θ 1 1 +tan θ 2 tan θ 1 y/(x b) y/(x +b) = 1 + [y 2 /(x 2 b 2 )] 2by = x 2 b 2 +y 2

61 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 47 dan daripada persamaan (2.42), dengan ψ = m 2π arctan ( 0 < arctan ( π arctan 2by x 2 b 2 +y 2 (2.43) 2by ) x 2 b 2 +y 2 π untuk y > 0 2by ) x 2 b 2 +y 2 0 untuk y < Sumber dan sinki yang setanding kekuatan digabungkan dengan aliran garis lurus Rajah 2.21: Sumber dan sinki yang setanding kekuatan digabungkan dengan aliran garis lurus, Massey(1983). Aliran seragam mengalir dengan halaju U yang selari dengan garisan θ = 0. Fungsi arus gabungan yang terhasil ialah ψ = Uy + m 2π (θ 2 θ 1 ) = Uy + m 2π arctan 2by x 2 b 2 +y 2 Dengan sumber di kiri asalan, suatu titik genangan dijangkakan di hulu sumber, dan titik genangan kedua di hilir sinki. Jika titik genangan berada di jarak s dari O sepanjang paksi-x, halaju gabungan di situ ialah U dengan itu s = ±b m 2π(s b) + m 2π(s +b) = m πub

62 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 48 Di titik-titik genangan, y = 0 dan θ 2 θ 1 = 0 jadi ψ = 0, iaitu kesemua titik ini berada di atas garisan ψ = 0 yang simetrikal sekitar kedua-dua paksi, rujuk Rajah Garisan ψ = 0 ini selalunya dikenali sebagai oval Rankine, mengambil sempena nama W. J. M. Rankine ( ) yang merupakan penyelidik pertama membangunkan teknik menggabung pola-pola aliran Kembar Jikasumberdansinkididalam Rajah 2.20didekatkantetapihasildarab m 2b dikekalkan malar dan terhingga nilainya, pola yang terhasil dikenali sebagai kembar atau dwipola. Sudut APB menjadi sifar dan garis-garis arus menjadi bulatan yang tangen ke paksi-x. Dari persamaan (2.43), apabila 2b 0, ψ m ( 2by ) 2π x 2 b 2 +y 2 Cy x 2 +y 2 = Crsin θ r 2 = Csin θ r denganr dan θ adalah koodinatkutubdan C = pemalar = mb π Kembar dan Aliran Garis lurus Seragam (2.44) Rajah 2.22: Kembar dan aliran garis lurus seragam, Massey(1983). Jika suatu kembar di asalan dengan paksi x negatifnya digabungkan dengan aliran garislurus seragam dalam arah x positif, fungsi arus paduan ialah ψ = Uy + Csin θ r = Ursin θ + Csin θ r (2.45)

63 BAB 2. ALIRAN BENDALIR UNGGUL 49 Apabila sumber dan sinki bersatu untuk membentuk kembar, oval Rankine menjadi suatu bulatan. Persamaan (2.45) menunjukkan bahawa garisarus ψ = 0 ditemui apabila θ = 0, θ = π atau C = Ur 2. Sepanjang paksi-x, ψ = 0dan r = C U = pemalar Dengan C U = a2 (2.46) persamaan (2.45) menjadi ψ = U (r a2 ) sin θ (2.47) r Halaju aliran gabungan ini diberikan oleh v r = 1 ψ ( r θ = U 1 a2 ) r 2 cos θ v t = ψ ( r = U 1 + a2 ) r 2 sin θ

64 Bab 3 ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 3.1 Bendalir Tak Boleh Mampat dan Boleh Mampat Bendalir tak boleh mampat tidak wujud dalam praktis. Sebutan ini sebenarnya digunakan untuk merujuk kepada bendalir yang, apabila dikenakan tekanan, mengalami perubahan ketumpatan yang terlalu kecil sehingga boleh diabaikan. Ini berlaku dalam hampir semua kes yang melibatkan cecair. Gas juga boleh dianggap tidak boleh mampat sekiranya perubahan tekanan kecil dibandingkan dengan tekanan mutlak. Aliran udara di dalam sistem pengalihudaraan adalah contoh kes gas yang dikira tak boleh mampat kerana perubahan tekanannya begitu kecil untuk memberikan sebarang kesan ke atas ketumpatannya. Begitu juga dengan pesawat udara yang terbang pada kelajuan 400 km/j; ketumpatan udara masih boleh dikira malar. Tetapi bagi objek yang bergerak di dalam udara yang menghampiri laju bunyi (1150 km/j), tekanan dan ketumpatan bendalir yang bersebelahan dengannya mengalami perubahan yang ketara dibandingkan dengan udara yang berada jauh dari objek; dalam keadaan sebegini, udara mestilah dianggap sebagai bendalir boleh mampat Haba Tentu Haba tentu ditakrif sebagai kuantiti haba yang diperlukan untuk meninggikan satu unit suhu satu unit jisim bendalir, c = dq dt dengan dq adalah haba yang ditambah ke satu unit jisim bendalir dan dt pula ialah pertambahan suhu yang terhasil. Nilai haba tentu bergantung kepada proses pertambahan haba; dua proses yang akan 50

65 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 51 kita temui ialah pertambahan haba tentu pada isipadu malar dan tekanan malar. Jadi ( ) dq c v = (3.1a) dt isipadu malar ( ) dq c p = (3.1b) dt tekanan malar Hubungan-hubungandiantarahabatentu,c p,c v,nisbahdiantarakedua-duanya, γ,dan pemalar gas, R, diberikan oleh c p c v = γ (3.2) c p c v = R (3.3) c p = γ γ 1 R (3.4) c v = 1 γ 1 R (3.5) Persamaan Keadaan Gas Sempurna Gas sempurna ditakrif sebagai bendalir yang mempunyai haba tentu yang malar dan mematuhi hukum p = ρrt (3.6) dengan p dan T masing-masing adalah tekanan dan suhu mutlak, ρ ketumpatan bendalir dan R pula ialah pemalar gas. Persamaan (3.6) dikenali sebagai persamaan keadaan untuk gas sempurna Proses-proses Termodinamik Gas Sempurna Proses isotermal. Mampatan dan pengembangan gas boleh berlaku dengan mematuhi berbagai hukum termodinamik. Jika suhu dikekal malar, proses ini dikenali sebagai isotermal dan hubungan tekanan-ketumpatan diberikan oleh hukum Boyle p ρ = pemalar (3.7) Proses adiabatik. Jika proses berlaku tanpa haba ditambah atau dikeluarkan daripada bendalir (iaitu pemindahan haba adalah sifar), proses ini dinamai adiabatik. Jika proses adiabatik ini juga bolehbalik (iaitu tanpa geseran), ia disebut isentropik kerana proses tidak mengalami perubahan entropi. Hubungan tekanan-ketumpatan bagi proses isentropik diberikan oleh p = pemalar (3.8) ργ dengan γ = c p /c v ; nisbah haba tentu.

66 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 52 Proses politropik. Kita boleh mengungkapkan satu hubungan umum di antara tekanan dan ketumpatan untuk setiap proses di atas menerusi satu persamaan umum, p = pemalar (3.9) ρn dengan indeks n berbeza untuk setiap proses. Jika 1. n = 0, p = pemalar,prosesisobarik, 2. n = 1, T = pemalar, prosesisotermal, 3. n = γ, s = pemalar,prosesisentropik. 3.2 Kebolehmampatan Kebolehmampatan adalah ukuran perubahan isipadu (atau ketumpatan) apabila tekanan bertindak ke atas sesuatu bahan. Ukuran ini diwakili oleh pekali kebolehmampatan, β. Sementara itu, bendalir mungkin dimampatkan apabila tekanan bertindak ke atasnya dan ini mengurangkan isipadu di samping menghasilkan terikan isipadu. Bendalir yang termampat begini akan kembali kembang kepada isipadu asalnya sebaik sahaja tindakan tekanan dihilangkan. Sifat kebolehmampatan sesuatu bendalir ini dirumuskan oleh modulus keanjalan pukal, κ, yang juga merupakan kebalikan pekali kebolehmampatan; κ = 1 β Sekiranya tokokan tekanan dp menyebabkan berlaku kesusutan isipadu dv, maka modulus keanjalan pukal boleh ditulis sebagai κ = dp dv/v (3.10) dengan V sebagai isipadu asal bendalir. Modulus keanjalan pukal tidak malar tetapi bertambah dengan bertambahnya tekanan. Daripada takrif ketumpatan kita memperolehi ρ = m V Oleh kerana jisim m bagi sesuatu isipadu V malar, ρ boleh dibezakan menjadi ( m ) dρ = d = mdv V V 2 = ρ dv V atau dv V = dρ ρ (3.11) Daripada persamaan (3.10) and(3.11), κ = ρ dp dρ (3.12)

67 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 53 Untuk proses isotermal, Oleh itu p ρ = pemalar dp dρ = pemalar = ρ p dan modulus keanjalan pukal κ = p (3.13) Untuk proses isentropik, p ρ γ = pemalar Bezakan, dp = pemalar Oleh itu γρ γ 1 dρ = γρ γ 1 dρ p ρ γ = γdρ ρ p dp dρ = γ ( ) p ρ dan modulus keanjalan pukal ( ) p κ = ργ = γp (3.14) ρ Halaju bunyi menerusi bendalir diungkapkan oleh a = dp dρ (3.15) Jadual 3.1: Modulus pukal air dan udara. κ Bendalir ( 10 3 N/m 2 ) Udara(proses isotermal) 100 Udara(proses isentropik) 140 Air 2.11 Gangguan-gangguan tekanan kecil bergerak menerusi bendalir pada kelajuan yang bergantung kepada modulus keanjalan pukal dan ketumpatan bendalir. Menerusi persama-

68 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 54 an (3.12) dan(3.15), κ a = ρ (3.16) dengan a adalah halaju bunyi di dalam bendalir. Nilai-nilai modulus pukal κ untuk udara dan air pada keadaan-keadaan piawai dijadualkan di dalam Jadual Beberapa Konsep Asas Termodinamik Proses Bolehbalik dan Tak Bolehbalik Apabila sifat-sifat fizikal sesuatu bendalir (seperti tekanan, suhu dan ketumpatan) diubah, sistem dikatakan telah mengalami satu proses. Proses ini dikatakan bolehbalik sekiranya bendalir dan persekitarannya dapat dikembalikan sepenuhnya kepada keadaankeadaan asal dengan menambah (atau mengeluarkan balik) jumlah haba dan kerja yang telah dikeluarkan(atau ditambah) semasa proses tadi berlaku. Proses bolehbalik adalah satu proses unggul yang sama sekali tidak mungkin dicapai dalam praktis. Kesan-kesan likat dan geseran melesapkan tenaga mekanikal sebagai haba yang tidak boleh ditukar kembali kepada tenaga mekanikal tanpa perubahan-perubahan lain turut berlaku. Oleh yang demikian, dalam praktis semua proses adalah tak bolehbalik Tenaga Dalaman dan Entalpi Tenaga molekul bendalir boleh mampat terhasil disebabkan oleh aktiviti molekul yang bertambah dengan bertambahnya suhu. Di dalam sesuatu gas aktiviti molekul ini juga menghasilkan tekanan yang mewakili sebahagian daripada tenaga molekul yang biasanya ditukarkan kepada kerja mekanikal. Dalam termodinamik, tenaga molekul ini dikenali sebagai entalpi h = u + pv = u + p ρ (3.17) dengan h adalah entalpi atau tenaga molekul seunit jisim, v ialah isipadu tentu(= V/m), u ialah tenaga dalaman seunit unit jisim, iaitu sebahagian tenaga molekul yang bukan terhasil daripada tenaga tekanan seunit jisim p/ρ. Tenaga dalaman adalah tenaga kinetik molekul dan daya-daya di antara molekul yang bergantung kepada suhu; suhu rendah atau tinggi memberikan tenaga dalaman sepadan yang rendah atau tinggi Hukum Pertama Termodinamik Hukum ini mewakili prinsip keabadian tenaga. Ia menyatakan bahawa tenaga tidak boleh dicipta atau dimusnahkan tanpa proses nuklear, tetapi boleh diubah bentuknya.

69 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 55 Ujikaji telah menunjukkan bahawa haba adalah satu bentuk tenaga yang boleh diungkap dalam unit-unit tenaga mekanikal menerusi tenaga mekanikal yang setara dengan haba. Jika satu kuantiti kecil tenaga ditambah kepada satu sistem homogeneous mudah (iaitu satu sistem yang terdiri daripada satu bendalir yang sifat-sifat termodinamiknya seragam), tenaga ini, menerusi hukum pertama termodinamik, boleh ditukarkan kepada pelbagai bentuk tenaga seperti pertambahan tenaga kinetik molekul(iaitu tenaga dalaman), pertambahan tenaga kinetik sistem, dan kerja(mekanikal) terlaku luaran. Sekiranya sistem bendalir ini statik, hukum pertama termodinamik menyatakan bahawa kuantiti kecil haba yang ditambah ke dalam sesuatu sistem mudah adalah sama dengan perubahan tenaga kinetik molekul campur kerja mekanikal yang dilakukan oleh sistem. Jadi dq = du +dw (3.18) dengan dq adalah kuantiti tenaga yang ditambah ke dalam sistem, du ialah tenaga dalaman se unit jisim bendalir, dan dw kerja mekanikal terlaku oleh sistem. Jika p tekanan dan v isipadu per unit jisim, persamaan (3.18) boleh ditulis dalam bentuk ( ) 1 dq = du + pdv = du + pd (3.19) ρ Entropi Entropi sesuatu gas boleh ditakrif sebagai ukuran kebolehsediaan tenaga haba untuk ditukarkan kepada kerja mekanikal. Jika dq adalah kuantiti haba yang diberikan kepada bendalir per unit jisim, dan s adalah entropi per unit jisim bendalir, maka perubahan dalam entropi per unit jisim disebabkan oleh haba yang diserap oleh bendalir ialah ds = dq T (3.20) dengan T adalah suhu mutlak bendalir. Jika dq e adalah tenaga haba per unit jisim yang ditambah dari luar dan dq i pula ialah tenaga haba per unit jisim yang terbentuk di dalam sistem bendalir, maka jumlah tenaga yang diterima oleh bendalir ialah dq = dq e +dq i (3.21) Daripada persamaan (3.20) dan(3.21), kita memperolehi ds = dq e T + dq i T (3.22) Entropi yang malar (iaitu ds = 0) memerlukan dq = 0. Keadaan ini boleh dicapai sekiranyatiada haba menembusidiantara bendalir dan persekitarannya(iaitu dq e = 0), dan tiadatenagamekanikalyangditukarkankepadatenagahabaolehgeseran(iaitudq i = 0).

70 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 56 Dalam praktisprosestanpageseransukardidapatijadi dq i 0danjikatenagahabadari sumberluar samadengansifar (iaitu dq e = 0), maka untukprosesadiabatik ds = dq i T > 0 (3.23) Hukum Kedua Termodinamik Hukum kedua termodinamik adalah hasil pemerhatian dan ujian ujikaji yang boleh disimpulkan dalam bentuk fakta-fakta berikut: Haba tidak boleh dipindahkan daripada jasad suhu rendah kepada jasad suhu tinggi tanpa perubahan-perubahan lain di dalam kedua-dua sistem berlaku serentak. Haba daripada satu sumber tunggal tidak boleh ditukarkan kepada kerja mekanikal tanpa perubahan-perubahan lain di dalam sistem dan persekitaran berlaku serentak. Pemindahan tenaga daripada kerja mekanikal kepada tenaga haba adalah tak bolehbalik. Di dalam sesuatu sistem yang terasing(iaitu tiada pemindahan haba), entropi tidak boleh susut. Entropi selalu bertambah jika proses tak bolehbalik. 3.4 Parameter yang Mengawal Aliran Boleh Mampat Terdapat empat parameter yang mengawal fenomena aliran bendalir likat boleh mampat, iaitu 1. nisbah haba tentu, 2. nombormach, 3. nombor Reynolds, dan 4. nomborprandtl. Nisbah haba, γ, ialah nisbah atau haba tentu bendalir pada tekanan malar haba tentu bendalir pada isipadu malar γ = c p c v (3.24) yang merupakan ukuran kekusutan zarah-zarah bendalir.

71 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 57 Nombor Mach, M, mewakili ukuran kesan kebolehmampatan dan ditakrif sebagai nisbah halaju arus bebas (atau halaju jasad menerusi bendalir) dan halaju bunyi di dalam bendalir. Ia diungkapkan sebagai M = v a (3.25) dengan v adalah halaju bendalir(atau halaju jasad yang bergerak) dan a pula ialah halaju bunyi di dalam bendalir. Untuk aliran isentropik, persamaan (3.12) dan (3.13) menghasilkan γp a = ρ = γrt (3.26) Nombor Reynolds, Re, adalah satu ukuran kesan likat bendalir, sementara nombor Prandtl, Pr, pula adalah ukuran peri mustahaknya pengaliran haba dan kelikatan bendalir. Ia adalah nisbah kelikatankinematik dankemeresapan haba 1 bendalir, Pr = µ/ρ K/ρc p (3.27) dengan K adalah keberaliran haba 2. Bagi pemodelan aliran boleh mampat di sekitar dua jasad yang serupa, kedua-dua jasad mestilah serupa secara geometri dan keempat-empat paramater yang dihuraikan di atas mestilah sama; γ model = γ prototaip M model = M prototaip Pr model = Pr prototaip Re model = Re prototaip Bagi aliran boleh mampat yang tak likat, faktor nombor Reynolds dan nombor Prandtl boleh diabaikan; yang perlu diambilkira ialah nisbah haba tentu dan nombor Mach. 3.5 Regim-regim Aliran Boleh Mampat Berdasarkan nilai nombor Mach, lima regim aliran biasanya dikelaskan seperti berikut (Hodge& Koenig, 1995): Aliran Tak Boleh Mampat: Nombor Mach kecil berbanding dengan satu, biasanya (0 < M < 0.3) untuk gas sempurna. Dalam julat ini, kesan kebolehmampatan selalunya abaikan. Aliran Subsonik: Nombor Mach masih lagi kurang daripada satu tetapi berada di luar julat aliran tak bolehmampat, julat (0.3 < M < 1.0). 1 thermal diffusivity 2 thermal conductivity

72 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 58 Aliran Transonik: Nombor Mach adalah di sekitar satu, iaitu kurang sedikit atau lebih sedikit, menurut julatnya(0.8 < M < 1.2). Aliran Supersonik: Nombor Mach melebihi satu,(m > 1). Aliran Hipersonik: Nombor Mach jauh melebihi satu, (M >> 1.0). Nilai nombor Mach yang memisahkan regim supersonik daripada regim hipersonik adalah dalam sekitar Kon Mach, Garis Mach dan Gelombang Kejutan Sesuatu gangguan tekanan (atau denyutan tekanan) di dalam bendalir boleh mampat yang pegun diperambatkan pada kelajuan bunyi secara seragam dalam semua arah. Dengan itu kita boleh menyatakan bahawa gangguan tekanan diperambatkan sebagai satu permukaan gelombang yang berbentuk sfera. Pertimbangkan satu objek kecil (misalnya, projektil) yang bergerak dari kanan ke kiri di dalam bendalir pegundengan halaju yang lebih kecil dari halaju bunyi (0 < v < a). Gerakan objek ini menghasilkan gangguan tekanan yang diperambatkan, secara sfera, menuju keluar daripada objek dengan halaju bunyi a. Jika objek ini tidak bergerak(relatif ke bendalir), muka gelombang akan tersebar secara sfera dan akan mempunyai kedudukan yangditunjukkandidalamrajah3.1bagijedamasaberturutandt = (t 2 t 1 ) = (t 3 t 2 ). Kedudukanmukagelombanguntuk0 < v < aditunjukkandidalamrajah3.1. Bahagian gelombang di hadapan objek bergerak lebih perlahan dari bahagian belakang; halaju di hadapan objekialah (a v). Jika halaju objek bertambah sehingga nilai halaju bunyi, v = a, rujuk Rajah 3.1, muka gelombang tidak bergerak terlebih ke hadapan daripada objek itu sendiri tetapi tampak seolah-olah pegun. Muka-muka gelombang bergabung untuk membentuk satah muka gelombang yang tangen ke bahagian hulu sementara gelombang hilir bergerak pada kelajuan(v + a). Dalam kes ini, gelombang tekanan tidak berupaya bergerak ke hulu melawan aliran yang menghampiri objek, dan bendalir di hadapan satah muka gelombang ini tidak terpengaruh oleh gerakan objek. Apabila halaju objekmelebihihalaju bunyi, v > a dan M > 1, setiapgelombangtekanan bergabung untuk membentuk muka gelombang yang berbentuk kon. Bentuk kon muka gelombang ini dikenali sebagai kon Mach, Rajah 3.1. Bendalir di hadapan kon ini tidak terganggu tetapi secara mendadak mengalami perubahan tekanan, suhu dan ketumpatan apabila ia melewati kon Mach. Garis pemisah di antara bendalir di hulu yang belum terganggu dan bendalir yang mengalami perubahan mendadak ini membentuk satu garisan maya yang dikenali sebagai garisan gelombang kejutan. Sudut separuh-vertek kon Mach, dikenali juga sebagai sudut Mach, diberikan oleh hubungan sin α = a v (3.28)

73 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 59 Rajah 3.1: Kon Mach, Fox& McDonald (1985). Dalam dua dimensi, kon Mach menjadi sepasang garisan, setiap satu dipanggil garis Mach atau gelombang Mach, yang saling memintas. Daripada persamaan(3.28), jelas bahawa nombor Mach, M = v a = 1 sin α 3.7 Persamaan-persamaan Menakluk Aliran Boleh Mampat (3.29) Dalam kajian aliran tak boleh mampat kita hanya perlu mencari halaju dan tekanan di setiap titik dalam ruang yang dikaji. Dalam aliran boleh mampat kita perlu menentukan halaju, tekanan, ketumpatan dan suhu bendalir (satu kuantiti vektor dan tiga kuantiti skalar). Untuk menentukan keempat-empat kuantiti ini kita memerlukan satu persamaan vektor dan tiga persamaan skalar. Kesemua persamaan yang diperlukan ini dibekalkan oleh 1. persamaan keadaan untuk gas sempurna, 2. persamaan keterusan,

74 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI persamaan momentum, dan 4. persamaan tenaga Persamaan keadaan Untuk gas sempurna, persamaan keadaan diberikan oleh persamaan (3.6) p = ρrt Persamaan keterusan Persamaan keterusan umum di dalam koordinat kartesan bagi aliran bendalir boleh mampat boleh ditulis sebagai p t + (ρu) + (ρv) + (ρw) x y z = 0 (3.30) Kadar aliran jisim sepanjang satu tiub arus yang sempit boleh diungkapkan sebagai ρav = pemalar (3.31) Dengan membezakan persamaan (3.31) dan membahagikannya dengan ρav, kita mendapat dρ ρ + da A + dv v = 0 (3.32) Persamaan momentum(persamaan Euler) Persamaan Euler diperolehi menerusi hukum pengabadian momentum. Daya bersih ke atas isipadu kawalan dalam arah-x ialah F x = pa (p +dp)(a +da) [p + (p +dp)][(a +da) A] df µ (3.33) Sebutan 1 2 [p + (p +dp)][(a +da) A] mewakili komponen daya disebabkan tekanan yang bertindak ke atas permukaan luar yang melengkung dalam arah-x. Susun semula persamaan(3.33) sambil mengabaikan sebutan-sebutan order tinggi seperti (dp da) bagi mendapat F x = Adp df µ (3.34) Perbezaandiantarakadarmomentumyangmeninggalkanisipadukawalan,Ṁ keluar,dan kadar momentumyangmemasukiisipadukawalan, Ṁ masuk, diberikanoleh Ṁ keluar Ṁ masuk = Ṁ = ρva[(v +dv) v] = ρvadv (3.35)

75 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 61 Hukum pengabadian momentum memerlukan supaya daya bersih, F x, yang bertindak ke atas isipadu kawalan sama dengan kadar perubahan momentum Ṁ, jadi atau F x = Ṁ Adp df µ = ρvadv (3.36) Jika kesangeserandiabaikan, iaitu df µ = 0, persamaan (3.36) menjadi dp ρ +vdv = 0 (3.37) Persamaan tenaga Sungguh pun persamaan momentum bebas daripada kesan kebolehmampatan, persamaan tenaga amat bergantung kepada perubahan ketumpatan. Persamaan tenaga yang umum untuk aliran mantap sebarang bendalir diberikan sebagai ( ) ( ) p2 q = + v2 2 ρ 2 2 +gz p1 2 + v2 1 ρ 1 2 +gz 1 + (u 2 u 1 ) +w (3.38) dengan q adalah haba yang dibekalkan kepada sistem bendalir per unit jisim, w ialah kerja terlaku oleh bendalir per unit jisim, q = w = Q ρ 1 A 1 v 1 W ρ 1 A 1 v 1 danqialahhabapersaatyangdibekalkankepadasistemdanw adalahkerjaterlakuper saat. Persamaan (3.38) boleh digunakan di sebarang dua titik sepanjang satu garisarus. Jika tiada haba ditambah ke dalam (atau disari keluar) bendalir di antara dua titik ini, dan tiadakerjamekanikaldilakukan,kitabolehmeletak q = 0dan w = 0kedalam persamaan (3.38) dan mendapat ( ) ( ) p2 0 = + v2 2 ρ 2 2 +gz p1 2 + v2 1 ρ 1 2 +gz 1 + (u 2 u 1 ) (3.39) Oleh kerana entalpi per unit jisim diberikan oleh persamaan (3.17) sebagai h = u + p ρ persamaan (3.39) boleh dipermudahkan kepada h + v2 2 +gz = pemalar (3.40)

76 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 62 Persamaan (3.40) mewakili bentuk am persamaan tenaga untuk sistem aliran adiabatik, mantap yang bendalirnya (cecair, gas atau wap) tidak melakukan kerja ke atas persekitaran atau sebaliknya. Jika bendalir adalah gas sempurna, h = c p T persamaan (3.40) menjadi c p T + v2 2 +gz = pemalar (3.41) Dari persamaan keadaan untuk gas sempurna, p = ρrt atau T = p ρr = Gantikan untuk T di dalam persamaan (3.41) p ρ(c p c v ) c p p c p c v ρ + v2 +gz = pemalar (3.42) 2 Menerusic p /c v = γ,persamaan (3.42) menjadi γ p γ 1 ρ + v2 +gz = pemalar (3.43) 2 Tenaga upaya wujud kerana ketinggian aras bendalir. Jika bendalir yang mengalir adalah sejenis gas, sebutan tenaga upaya biasanya terlalu kecil dibandingkan dengan sebutansebutan lain kerana berat tentu gas yang sangat kecil. Jadi sebutan tenaga upaya, gz, di dalam persamaan (3.43) selalunya diabaikan, menjadikan γ p γ 1 ρ + v2 2 dan persamaan (3.40) menjadi = pemalar (3.44) h + v2 2 = pemalar (3.45) Persamaan (3.44) lebih bermakna apabila diungkapkan dalam sebutan suhu, menerusi p = ρrt untuk menjadikannya γ v2 RT + γ 1 2 = pemalar (3.46)

77 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI Pembolehubah Aliran dalam Sebutan Nombor Mach Dari rumus halaju bunyi kita tahu a 2 = dp dρ dan darinya dρ = 1 a 2dp (3.47) Jika kita hadkan analisis berikut kepada aliran isentropik gas sempurna dengan p = pemalar ρ γ dan p = ρrt kita mendapat T = pemalar p (γ 1)/γ Bezakan dan hapuskan pemalar, dt T = γ 1 γ dp p (3.48) Perubahan-perubahan dalam halaju, tekanan, suhu dan ketumpatan boleh dirumus dalam sebutan nombor Mach. Untuk mendapatkan hubungan-hubungan ini persamaanpersamaan keterusan, keadaan untuk gas sempurna, aliran isentropik dan tenaga digunakan. Bagi perubahan tekanan, kita boleh menulis dp p = γm2 1 + γ 1 2 dan perubahan suhu, dt T = M 2 (γ 1)M2 1 + γ 1 2 M 2 dm M dm M Perubahan ketumpatan diberikan oleh dρ ρ = M γ 1 2 M 2 dm M (3.49) (3.50) (3.51)

78 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 64 sementara perubahan luas pula oleh da A = (1 M2 ) 1 + γ 1 2 M 2 dm M (3.52) Persamaan (3.52) boleh dikamil bagi mendapatkan satu hubungan di antara luas leher genting, A (iaitu titik nombor Mach bernilai satu) dan luas A di sebarang keratan di mana M <> 1. A A = 1 M ( 2 + (γ 1)M 2 γ +1 ) γ+1 2(γ 1) (3.53) Persamaan (3.53) unik kerana nombor Mach ditentukan oleh nisbah luas dan γ sahaja. 3.9 Titik Genangan Titik genangan adalah titik halaju sifar. Oleh kerana tekanan, suhu dan ketumpatan saling berkait di dalam aliran boleh mampat, sebarang perubahan tekanan akan memberi kesan ke atas suhu. Tekanan di titik genangan dikenali sebagai tekanan genangan, p 0. Persamaan(3.44) dikenali sebagai persamaan tekanan untuk aliran nirputaran yang malar. Jika p 0 dan ρ 0 adalah tekanan dan ketumpatan di titik yang bendalirnya pegun, persamaan (3.44) boleh diungkapkan sebagai γ p γ 1 ρ + v2 2 = γ p 0 (3.54) γ 1 ρ 0 Persamaan(3.54) selalunya dirujuk sebagai persamaan tekanan atau persamaan Bernoulli bagi aliran adiabatik boleh mampat. Sementara itu persamaan(3.45) menghubungkan entalpi dan halaju. Jika digantikan sebutan entalpi di dalam persamaan ini dengan sebutan suhu(h = c p T), persamaan (3.45) menjadi c p T + v2 2 = pemalar (3.55) Jikatekanan,suhudanketumpatandititikgenanganinimasing-masingialah p 0, T 0,dan ρ 0, persamaan (3.55) boleh ditulissebagai c p T + v2 2 = c pt 0 (3.56) Bahagikan persamaan (3.56) denganc p T, kitamemperolehi 1 + v2 2c p T = T 0 T (3.57)

79 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI Aliran isentropik gas sempurna Terdahulu, kita telah pun menerbitkan untuk aliran isentropik gas sempurna, p = ρrt (3.6) p = pemalar (3.8) ργ dan dengan menghilangkan ρ dari persamaan (3.6) dan(3.8), kita boleh menulis T 2 T 1 = ( p2 p 1 ) γ 1 γ (3.58) Juga c p = γ γ 1 R (3.4) a = γrt (3.26) dan dengan itu, persamaan (3.57) kini mengambil bentuk 1 + γ 1 2 v 2 a 2 = T 0 T (3.59) dan seterusnya, dari takrif nombor Mach, kita boleh menulis T 0 T = 1 + γ 1 M 2 (3.60) 2 Menerusipersamaan (3.58),nisbah tekanan genangan p 0 ketekanan arusyang tidakterganggu p (disebut juga tekanan statik boleh dikaitkan dengan nisbah suhu, T 0 /T dalam persamaan (3.60): p 0 p = ( ) γ T0 T γ 1 = (1 + γ 1 ) γ M 2 2 γ 1 (3.61) Akhirsekali,nisbahketumpatangenangan ρ 0 keketumpatanstatik ρ bagialiran isentropik ialah ρ 0 ρ = ( )1 p0 p γ = (1 + γ 1 ) 1 M 2 2 γ 1 (3.62)

80 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI Keadaan-keadaan genting Sungguhpun keadaan genangan amat berguna sebagai keadaan rujukan bagi ciri-ciri termodinamik, ia tidak begitu sesuai untuk situasi v = 0. Satu nilai rujukan yang sesuai untuk halaju ialah laju genting laju pada nombor Mach sama dengan satu. Walaupun tidak ada sebarang titik di dalam aliran itu yang mengalami keadaan M = 1, keadaan hipotesis ini amat baik dijadikan sebagai keadaan rujukan. Jika kita gunakan bintang(*) sebagai mewakili keadaan-keadaan pada M = 1, kita boleh mentakrif v = a (3.63) Bagi gas sempurna dengan γ = 1.4, persamaan-persamaan (3.60), (3.61) dan (3.62) masing-masing menjadi ( T 0 T = 1 + γ 1 ) = 1.2 (3.64) 2 ( p 0 p = 1 + γ 1 ) γ/(γ 1) = (3.65) 2 dan ( ρ 0 ρ = 1 + γ 1 ) 1/(γ 1) = (3.66) Aliran Menerusi Salur yang Berubah Luas Dalam konsep aliran satu dimensi semua kuantiti aliran seperti halaju, tekanan, suhu dan ketumpatan dianggap malar di sesuatu keratan rentas pembuluh aliran. Oleh yang demikian aliran boleh dihurai dalam sebutan satu koordinat, iaitu jarak di sepanjang paksi pembuluh, katalah x, dan masa t. Tanpa geseran (iaitu aliran isentropik) halaju aliran tidak berubah. Kehadiran lapisan sempadan membuatkan aliran bendalir yang sebenar bukan satu dimensi. Sungguh pun demikian, bagi aliran yang tidak membentuk lapisan sempadan yang tebal, anggapan aliran satu dimensi masih dapat memberikan penyelesaian yang baik. Oleh kerana halaju dan tekanan malar di sesuatu keratan rentas, suhu dan ketumpatan turut malar menerusi persamaaan (3.58) (3.62). Bagi keratan rentas yang luasnya A dan halaju v serta ketumpatan ρ malar, persamaan keterusan aliran mantap ρav = pemalar boleh dibezakan dan kemudiannya dibahagikannya dengan ρav, untuk mendapat dρ ρ + da A + dv v = 0

81 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 67 Jika perubahan luas keratan rentas yang ketara berlaku lalu mempengaruhi perubahan dalam v dan ρ sepanjang jarak pembuluh yang pendek (seperti nozel), kesan geseran boleh diabaikan. Persamaan gerakan Euler untuk aliran mantap tanpa geseran yang mengabaikan graviti dan daya jasad, boleh ditulis sebagai vdv + dp ρ = 0 (3.67) Darabkan persamaan (3.67) dengan dρ/dp, dan ambil halaju bunyi sebagai a 2 = dp/dρ, persamaan (3.67) menjadi dρ ρ + vdv a 2 = 0 Gantikan untuk dρ/ρ, dari persamaan (3.32), da A + dv v = vdv a 2 atau yang boleh diungkap dalam sebutan nombor Mach da A = dv ( ) v 2 v a 2 1 da A = dv v (M2 1) (3.68) Satu persamaan yang serupa dengan persamaan (3.68) untuk perubahan tekanan dp boleh ditentukan menerusi persamaan (3.32) dan (3.67). Dari persamaan (3.67) dv v = dp ρv 2 Gantikan nilai dv/v ini ke dalam persamaan (3.32) dρ ρ dp ρv 2 + da A = 0 yang menghasilkan Oleh kerana da A = dp ρv 2 dρ ρ = dp ρv 2 dp dρ = a2 kita mendapat da A = dp ρv 2 ( 1 M 2 ) Selesaikan untuk dp ( ) 1 v 2dρ dp dp = 1 ρv 2 1 M 2 da (3.69) A

82 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 68 Dari analisis yang dibuat setakat ini kita dapat melihat perubahan halaju, tekanan, suhu dan ketumpatan dengan perubahan luas aliran untuk keadaan-keadaan aliran subsonik dan supersonik. Rajah 3.2 menunjukkan perubahan pembolehubah aliran dengan luas bagi aliran isentropik gas sempurna. Rajah 3.2: Perubahan halaju dan tekanan dengan luas bagi aliran subsonik dan supersonik, John (1969). Dalam aliran subsonik, pembaur atau peresap adalah salur mencapah sedangkan untuk aliran supersonik pula pembaur mempunyai laluan menumpu Aliran Isentropik Menerusi Nozel Menumpu Pertimbangkan gas yang mengalir menerusi satu nozel, Rajah 3.3. Jet bendalir bergerak kerana wujud perbezaan tekanan yang bertindak ke atas bendalir. Apabila nilai p 2 hampir dengan nilai p 1, aliran adalah subsonik keseluruhannya. Sekiranya nilai p 2 dikurangkan, halaju jet bertambah. Selagi aliran kekal subsonik, halaju jet akan bertambah disebabkan oleh kesusutan tekanan p 2. Apabila jet mencapai halaju bunyi di leher (M = 1), sebarang kesusutan tekanan hilir p 2 tidak boleh diperambatkan ke hulu; aliran menerusi nozel ketika ini menjadi bebas dari dipengaruhi oleh tekanan p 2 dan keadaanini dinamai aliran tercekik. Bagi aliran adiabatik bolehbalik yang mengalir dari keadaan-keadaan takungan p 1, ρ 1 dan v 1 = 0, persamaan (3.44) membawa kesatu ungkapanbagi halaju v dikeratan yang nilai tekanannya p sebagai [ ( ( ) )] v = 2γ p 1 p (γ 1)/γ 1 (3.70) γ 1 ρ 1 p 1 Persamaan (3.70) boleh diguna untuk menentukan halaju leher bagi keadaan-keadaan

83 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 69 subsonik. Kadar aliran jisim yang sepadan m = ρav Rajah 3.3: Aliran gas menerusi nozel menumpu, John(1969). Bagi aliran adiabatik bolehbalik ρ = ρ 1 ( p p 1 ) 1/γ dan dengan itu ( ) p 1/γ m = ρ 1 Av p 1 [ ( ) ( = A 2γ p 2/γ ( ) )] p (γ 1)/γ γ 1 p 1ρ 1 1 p 1 p 1 (3.71) Dalam persamaan (3.71), tekanan di leher ialah p = p 2 selama keadaan belum mencapai tahap genting. Apabila nombor Mach di leher mencapai nilai satu, halaju, tekanan dan ketumpatan di leher masing-masing menjadi nilai genting v c, p c dan ρ c bagi aliran tercekik. Oleh itu [ ( ( ) )] v c = 2γ p (γ 1)/γ c pc 1 (3.72) γ 1 ρ 1 p 1

84 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 70 dan [ m c = A 2γ γ 1 p 1ρ 1 ( pc p 1 ) 2/γ ( 1 ( pc p 1 ) (γ 1)/γ )] (3.73) Rajah 3.4: Kadar aliran jisim menerusi nozel menumpu, John(1969). Oleh kerana bagi aliran tercekik, nombor Mach tempatan mencapai nilai satu, dan p 2 = p c,persamaan (3.61) apabila digunakanuntukkeadaan-keadaan ini menghasilkan ( ) p c 2 γ/(γ 1) = (3.74) p 1 γ +1 Bagiudaradengan γ = 1.4, nisbah genting ( ) p c = = p Dengan itu kadar aliran jisim menerusi nozel menumpu diberikan oleh persamaan(3.71) selama (p 2 > 0.528p 1 ), dan olehpersamaan (3.73) apabila (p 2 < 0.528p 1 ),Rajah Aliran Isentropik Menerusi Nozel Menumpu-Mencapah Di dalam kebanyakan bahan rujukan aliran boleh mampat, nozel menumpu-mencapah dinamai juga nozel de Laval sebagai mengambil sempena nama jurutera bangsa Sweden, Carl de Laval, yang banyak membuat kajian ke atasnya. Pertimbangkan satu nozel menumpu-mencapah, Rajah 3.5. Bendalir disimpan di dalam takungan besar dan diluah keluar menerusi satu nozel menumpu-mencapah. Tekanan p 1 di dalam takungan adalah malar. Aliran di dalam nozel dianggap aliran isentropik satu dimensi.

85 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 71 Rajah 3.5: Aliran gas menerusi nozel menumpu-mencapah, John(1969). Untuk p 2 = p 1,rujuklengkung1Rajah3.5,tiadaalirandidalamnozeldantekanantidak berubah dengan jarak x. Untuk p 2 < p 1, rujuklengkung2rajah 3.5, aliran teraruh menerusinozeldenganhalaju subsonik di dalam kedua-dua bahagian, menumpu dan mencapah, nozel. Rajah 3.5 menerangkan kepada kita bahawa untuk aliran subsonik, tekanan susut di dalam bahagian menumpu dan bertambah di dalam bahagian mencapah. Rajah 3.6: Kadar aliran jisim menerusi nozel menumpu-mencapah, John(1969).

86 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 72 Apabila tekanan p 2 terus dikurangkan lagi, lengkung3rajah 3.5, kadar aliran jisim menerusi nozel bertambah sehingga aliran sonik berlaku di kerongkongan, lengkung 4 Rajah 3.5. Selepas ini, sebarang pengurangan tekanan p 2 tidak boleh dikesan di hulu daripada kerongkongan; jadi bagi semua tekanan yang lebih kecil dari tekanan lengkung 4, takungan akan terus menghantar bendalir pada kadar aliran jisim yang sama dengan kadar aliran jisim lengkung 4, rujuk Rajah 3.6, dan taburan tekanan di dalam bahagian menumpu tidak berubah. Untuk semua tekanan yang lebih kecil dari tekanan lengkung 4, aliran di dalam nozel menumpu-mencapah menjadi tercekik. Bagi tekanan di dalam takungan yang sama nilainya, nozel menumpu-mencapah tercekik pada tekanan belakang, p 2, yang lebih tinggi dibandingkan dengan nozel menumpu. Jelas kepada kita setakat ini bahawa aliran supersonik boleh dicapai dengan menyambung satu nozel menumpu-mencapah ke takungan bendalir yang besar (agar keadaan genangan terhasil di dalamnya). Bendalir dalam keadaan genangan ini memasuki bahagian menumpu nozel secara subsonik lalu dipecut di dalam bahagian ini. Titik sonik mestilah berada di titik luas minimum, iaitu di kerongkongan. Aliran seterusnya memasuki bahagian mencapah nozel pada M = 1 dan dipecut secara supersonik di dalam bahagian mencapah. Hanya nozel menumpu-mencapah yang berkeupayaan memecut aliran dari keadaan pegun kepada keadaan supersonik. Terdapatduapenyelesaianuntuksesuatunisbah luas A/A c ;satusubsonikdansatulagi supersonik. Bagi nombor Mach kerongkongan sama dengan 1, aliran isentropik boleh direncatkan ke halaju keluaran subsonik atau terus dipecut ke halaju supersonik di keluaran nozel. Lengkung 4 adalah bersepadan dengan aliran subsonik di satah keluaran nozel. Lengkung 5 pula bersepadanan dengan aliran supersonik di satah keluaran, iaitujikatekananbelakang, p 2,direndahkankenilaitekanankeluaranlengkung5,tekanan menyusut di dalam kedua-dua bahagian, menumpu dan mencapah, nozel dengan halaju supersonik dikeluaran nozel. Bagitekananbelakang, p 2,yangbernilaidiantaratekanankeluaranlengkung4danlengkung 5, penyelesaian isentropik satu dimensi kepada persamaan gerakan tidak mungkin diperolehi kerana aliran dalam julat ini melibatkan gelombang kejutan yang merupakan suatu proses tak boleh balik Kejutan Normal Perubahan mendadak dari keadaan-keadaan supersonik ke keadaan-keadaan subsonik berlaku menerusi suatu gelombang. Nombor Mach dan halaju susut merentasi sesuatu kejutan, tetapi tekanan, ketumpatan, suhu dan entropi mengalami pertambahan mendadak. Dua jenis kejutan: 1. kejutan normal yang serenjang ke arah aliran, dan

87 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI kejutanserong 3 yang menyendengkearah aliran. Kejutan-kejutan normal dan serong boleh berinteraksi bagi membentuk pola kejutan. Gelombang yang terjadi juga mungkin melekat atau terpisah dari jasad. Kejutan normal mungkin berlaku di dalam paip, nozel mencapah, pembaur terowong angin supersonik atau di hadapan jasad yang berhidung tumpul seperti space shuttle. Aliran di hulu adalah supersonik (M 1 > 1) dengan halaju v 1, tekanan p 1, ketumpatan ρ 1 dan suhu T 1. Setelah melepasi gelombang kejutan, aliran menjadi subsonik (M 2 < 1) denganhalaju v 2, tekanan p 2,ketumpatan ρ 2 dansuhu T 2. Berikut diperkenalkan analisis kejutan normal menggunakan persamaan- persamaan keterusan, momentum, tenaga serta persamaan keadaan gas sempurna. Gelombang kejutan melibatkan lesapan tenaga; oleh itu ia bukan proses isentropik. Untuk analisis kejutan normal berikut, kita menganggap bendalir adalah gas sempurna yang mengalami aliran adiabatik didalam salur yangluasnyamalar (iaitu A 1 = A 2 = A) Persamaan keterusan Bagi aliran mantap, persamaan keterusan memberikan ρ 1 A 1 v 1 = ρ 2 A 2 v 2 Oleh kerana A 1 = A 2,kitamemperolehi ρ 1 v 1 = ρ 2 v 2 (3.75) Dengan menggunakan persamaan keadaan untuk gas sempurna dan menggantikan halaju dengan nombor Mach v = am = M γrt persamaan (3.75) boleh ditulis semula sebagai atau p 1 M 1 γrt1 = p 2M 2 γrt2 RT 1 RT 2 p 1 M 1 T1 = p 2M 2 T2 (3.76) Persamaan momentum Dengan mengabaikan kesan geseran sempadan, persamaan momentum memberikan daya tekanan = kadar aliran jisim perubahan halaju (p 1 p 2 )A = ρ 1 Av 1 (v 2 v 1 ) (p 1 p 2 ) = ρ 2 v 2 2 ρ 1 v obliqueshock

88 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 74 atau p 1 + ρ 1 v 2 1 = p 2 + ρ 2 v 2 2 p 1 + p 1v 2 1 RT 1 = p 2 + p 2v 2 2 RT 2 Gantikan v = am, dengan a = γrt, kitamendapat atau p 1 + γm 2 1 p 1 = p 2 + γm 2 2 p 2 p 2 p 1 = 1 + γm γm 2 2 (3.77) Persamaan (3.77) mewakili nisbah tekanan statik menerusi kejutan normal. Oleh kerana M 1 > 1 dan M 2 < 1, jelas dari persamaan (3.77) bahawa p 2 > p 1, iaitu tekanan statik aliran yang merentas kejutan normal bertambah Persamaan tenaga Bagi keadaan adiabatik kita boleh menulis c p T 1 + v2 1 2 = c pt 2 + v2 2 2 dan T 01 = T 02 yang menunjukkan bahawa suhu genangan kekal malar menerusi kejutan normal. Dari persamaan (3.60) T 0 T = 1 + γ 1 2 M 2 Samakan suhu genangan di hulu dan hilir kejutan ( T γ 1 ) ( M1 2 = T γ 1 ) M atau T 2 T 1 = 1 + γ 1 M γ 1 M2 2 2 (3.78) Oleh kerana M 1 > 1 dan M 2 < 1, persamaan (3.78) menunjukkanbahawa T 2 > T 1, iaitu suhu statik aliran yang merentas kejutan normal bertambah. Dari persamaan (3.76) p 2 = M 1 T 2 p 1 M 2 = M 1 M 2 T γ γ 1 2 M 2 1 M 2 2 1/2 (3.79)

89 BAB 3. ALIRAN BOLEH MAMPAT SATU DIMENSI 75 Jika disamakan persamaan(3.77) dan persamaan(3.79), kita memperolehi satu hubungan kuadratik di antara M 1 dan M 2. Dengan mengabaikan penyelesaian mudah yang jelas, iaitu M 1 = M 2 bagi keadaanbebas kejutan,kitabolehmenulis M 2 2 = 2 + (γ 1)M2 1 2γM 2 1 (γ 1) (3.80) iaitu apabila M 1 bertambah, penyebut 4 persamaan (3.80) membesar lalu menyebabkan nilai M 2 susut. Denganmenggantikannilai M 2,persamaan-persamaanberikutdiperolehi p 2 = 2γM2 1 (γ 1) p 1 γ +1 (3.81) T 2 = [(γ 1)M2 1 +2][2γM2 1 (γ 1)] T 1 (γ +1) 2 M1 2 (3.82) ρ 2 ρ 1 = p 2/p 1 T 2 /T 1 = (γ +1)M2 1 (γ 1)M (3.83) Kekuatan kejutan Kekuatan kejutan ditakrif sebagai nisbah iaitu pertambahan tekanan merentasi kejutan tekanan hulu kekuatankejutan = p 2 p 1 p 1 = p 2 p 1 1 = 2γ γ +1 (M2 1 1) (3.84) 4 denominator

90 Bab 4 PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 4.1 Pengkelasan Mesin Hidraulik Tenaga wujud dalam berbagai bentuk. Tenaga hidraulik adalah tenaga yang terdapat pada bendalir dalam beberapa bentuk; kinetik, tekanan, upaya, terikan atau haba. Tenaga mekanikal pula dikaitkan dengan bahagian-bahagian bergerak atau berputar mesin yang menghantar kuasa. Dari sini diketahui bahawa tujuan atau kegunaan mesin hidraulik ialah untuk memindahkan tenaga samada dari tenaga mekanikal ke tenaga hidraulik atau sebaliknya. Tenaga ditambah ke bendalir Bendalir digunakan sebagai Tenaga dikeluarkan daripada bendalir (kerja terlaku ke atas bendalir) perantara pemindahan tenaga (kerja terlaku oleh bendalir) Mesin-mesin Pam, kipas, pemampat Gandingan bendalir, penukar dayakilas Turbin Rotodinamik Dua kategori: Dua kategori a. Tanpa Bekas a. Dedenyut Kipas Kincir angin Skrew Roda Pelton Turbin Turgo b. Dengan Bekas Aliran paksi Aliran tercampur b. Tindakbalas Aliran jejari/empar Aliran paksi (turbin Kaplan) Aliran tercampur (turbin Francis) Aliran jejari (turbin Banki dan rekabentuk awal Francis) Mesin-mesin Pam, pemampat Ram hidraulik, jack press Motor: Sesaran Positif Dua kategori: Omboh a. Salingan Vane Pacuan terus Gear Pacuan engkol Swashplate b. Berputar Skrew Gear Vane Lobe Rajah 4.1: Pengkelasan mesin-mesin bendalir. 76

91 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR Kriteria Pengkelasan Jadual 4.1 menunjukkan dua kriteria yang biasa digunakan bagi tujuan pengkelasan mesin-mesin bendalir Arah Pemindahan Tenaga Di bawah kriteria ini terdapat tiga kelas. 1. Tenaga dikeluarkan daripada bendalir Di dalam kategori ini tenaga hidraulik merupakan masukan yang ditukarkan kepada tenaga mekanikal iaitu kuasa pada aci mesin sebagai keluaran. Di sini kerja dilakukan oleh bendalir dan tenaga dikeluarkan daripada bendalir. 2. Tenaga ditambah ke bendalir Masukan di sini berbentuk tenaga mekanikal. Jadi pemindahan adalah daripada mekanikal ke hidraulik. Keluaran adalah dalam bentuk satu bendalir yang bergerak, kadang-kadang termampat dan pada suhu yang lebih tinggi. Ringkasnya mesin-mesin di dalam kategori ini melakukan kerja ke atas bendalir dan tenaga ditambah ke bendalir. 3. Bendalir digunakan sebagai bahantara pemindahan tenaga Mesin-mesin ini menggunakan bendalir sebagai bahantara bagi membentuk talian dalam rantai pertukaran tenaga; tenaga mekanikal ditukarkan kepada tenaga hidraulik di dalam satu bahagian yang kemudiannya ditukarkan balik kepada tenaga mekanikal di dalam bahagian yang lain. Tidak terdapat sebarang kelebihan mekanikal di dalam mesin-mesin ini, tetapi satu pemindahan kuasa yang licin dan beransur-ansur diperolehi disebabkan sifat-sifat dan jenis aliran bendalir yang terdapat di dalam mesin-mesin jenis ini Jenis Tindakan Mesin Di bawah kriteria ini mesin-mesin boleh di kelaskan kepada dua kategori. 1. Sesaran Positif Prinsip ini memerlukan supaya cecair dimasukkan atau dipaksa ke satu ruang terhingga yang dikepung oleh bahagian-bahagian mekanikal dan kemudiannya ditutup. Bendalir kemudiannya dipaksa atau dikeluarkan dari ruang terhingga tadi dan kitar diulangi. Jadi fungsi prinsip ini adalah berasaskan perubahan isipadu cecair di dalam pam. Di dalam kebanyakan pam sesaran positif aliran cecair didapati terputusputus dan turunnaik dan kadaralirnya pula dikawal oleh saiz isipadu di dalam pam serta kekerapan ruang terhingga ini diisi dan dikosongkan. Rajah 4.2 menunjukkan beberapa contoh pam sesaran positif.

92 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 78 Rajah 4.2: Beberapa contoh pam sesaran positif. 2. Rotodinamik Mesin-mesin yang menggunakan prinsip ini dikenali juga sebagai mesin turbo. Di dalam mesin ini kuasa dipindahkan kepada atau daripada bendalir yang mengalir oleh tindakan dinamik dan terdapat saluran bebas untuk bendalir pada masukan dan keluaran mesin tanpa sebarang penutupan berlaku. Mesin-mesin yang menggunakan prinsip ini mempunyai bahagian berputar dipanggil pemutar yang berputar berterusan dan bebas di dalam bendalir dan pada masa yang sama membenarkan bendalir mengalir terus tanpa gangguan. Dalam waktu yang sama, kuasa dipindahkan kepada atau daripada bendalir yang mengalir menerusi laluan-laluan bilah pemutarnya oleh tindakan dinamik. Dalam analisis yang berikut, perhatian hanya ditumpukan kepada pam rotodinamik dari jenis; (a) pam aliran jejarian, (b) pam aliran paksi, dan (c) pam aliran tercampur.

93 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR Analisis Dimensi dan Hukum Keserupaan untuk Mesin Bendalir Tak Boleh Mampat Ciri prestasi sebenar mesin rotodinamik ditentukan melalui ujian ujikaji. Mesin yang berlainan mempunyai ciri yang berlainan sementara mesin dalam kumpulan yang sama, iaitu rekabentuk yang serupa tetapi dikeluarkan dalam saiz yang berbeza, menghasilkan satu siri mesin berkeserupaan geometrik yang bekerja pada kelajuan yang berlainan. Bagi sesuatu mesin hidraulik yang saiznya diketahui dan bekerja dengan sejenis bendalir homogeneous yang berketumpatan malar, pembolehubahpembolehubah yang terlibat ialah; D [L] garispusat pemutar H [L] perbezaan turus antara masukan dan keluaran tenaga seunit berat bendalir N [T 1 ] laju putaran P [ML 2 T 3 ] kuasaterhantar antarabendalir danpemutar Q [L 3 T 1 ] kadaralir menerusimesin g [LT 2 ] beratseunitjisim pecutan graviti ρ [ML 3 ] ketumpatanbendalir µ [ML 1 T 1 ] kelikatan bendalir (Nota: Tinggi purata kekasaran sempadan boleh dianggap termasuk dalam takrif bentuk mesin) Oleh kerana turus H merupakan tenaga seunit berat bendalir, adalah mudah jika gh dikira sebagai satu pembolehubah juga kerana ia mewakili tenaga seunit jisim, dikenali juga sebagai tenaga tentu, yang tidak bergantung kepada pecutan graviti. Pam misalnya menghasilkan tenaga tentu yang sama tanpa dipengaruhi oleh daya graviti. Jadi lapan pembolehubah di atas boleh dikurangkan kepada tujuh: D, (gh), N, P, Q, ρ, µ dan oleh keranaterdapat tigamagnitud asas, iaitu jisim (M), panjang (l) dan masa (T), empat π tanpa dimensi 1 boleh diperolehi. Jika D, N dan ρ diambil sebagai pembolehubah berulang, empat parameter tanpa dimensi tersebut ialah: π 1 = Q ND 3 pekalialiran, K Q (4.1) π 2 = gh N 2 D 2 pekaliturus,k H (4.2) P π 3 = ρn 3 D 5 pekalikuasa, K P (4.3) π 4 = ρnd2 µ nombor Reynolds, Re (4.4) Dalam julat laju dan saiz biasa aliran di dalam mesin-mesin bendalir adalah turbulen (iaitu nombor Reynoldnya tinggi); jadi pengaruh kelikatan µ adalah kecil dan untuk ke- 1 rujuk Teorem-π Buckingham atau Kaedah Rayleigh

94 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 80 banyakan penggunaan π 4 boleh diabaikan. Dengan menganggap kecekapan mekanik malar, hubungan antara pembolehubah di atas boleh ditulis sebagai; ( ) Q gh P φ ND 3, N 2 D 2, ρn 3 D 5 = 0 atau ( φ η, gh N 2 D 2, ) P ρn 3 D 5 = Prestasi Mesin Hidraulik Semasa ujikaji ke atas model mesin rotodinamik, turus H selalunya dikekalkan malar sementara beban serta laju diubah-ubah Turbin Hidraulik Jika turus malar, pada setiap kedudukan bilah pandu (atau injap tombak bagi roda Pelton), lengkung kuasa keluaran, P, kecekapan, η dan kadaralir, Q boleh diplot melawan laju putaran, N. Walau bagaimanapun adalah lebih baik jika graf prestasi diplot menggunakan parameter tanpa dimensi. Untuk turbin hidraulik, parameter tanpa dimensi yang sering digunakan diperolehi dari nisbah π; rujuk Bahagian 4.2 di atas; φ 1 = φ 2 = φ 3 = P ρd 2 (gh) 3/2 π 4 π 1 π 2 Q π 1 D 2 (gh) 1/2 π 2 π 4 ND (gh) 1/2 π 2 π 1 π 4 (a) (b) Rajah 4.3: Lengkung-lengkung prestasi turbin hidraulik, Massey(1983). Graf yang diplot menggunakan parameter tanpa dimensi begini rujuk Rajah 4.3 bukan sahaja mewakili satu mesin tertentu sahaja malah kesemua mesin di dalam siri

95 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 81 homologous yang sama. Biasanya sebutan ρ dan g dikeluarkan daripada parameter tanpa dimensi ini kerana kedua- duanya adalah pemalar, begitu juga dengan D khasnya untuk satu siri homologous tertentu, dan ini memberikan nisbah berikut: P = kuasaunit(unit power) H3/2 Q = kadaralir unit (unitflow) H1/2 N = laju unit (unitspeed) H1/2 Magnitud ketiga-tiga nisbah di atas sepadan dengan kuasa, kadaralir dan laju putaran jika mesin dijalankan pada kecekapan malar di bawah seunit turus ( 1 meter untuk unit SI) Pam Pam biasanya dijalankan pada kelajuan malar dan perhatian diberikan kepada perubahan H melawan Q, η melawan Q dan P melawan Q, Rajah 4.4. Keputusan ujikaji ke atas sesebuah pam diselaraskan untuk laju yang berlainan. Bagi pam homologous yang berlainan garispusat, graf keputusan menggunakan parameter tanpa dimensi diplotkan dalam bentuk 1. Q/ND 3 menggantikan Q, 2. gh/n 2 D 2 menggantikan H,dan 3. P/ρN 3 D 5 menggantikan P i Laju Tentu Prestasi mesin berkeserupaan geometrik, iaitu mesin-mesin yang tergolong di dalam satu kumpulan homologous, dikawal oleh hukum keserupaan dan boleh diwakili, untuk keseluruhan kumpulan homologous tersebut, oleh graf prestasi yang diplot menggunakan ciri tanpa dimensi. Bandingan antara kumpulan homologous yang berlainan pula selalunya dibuat menerusi lengkung ciri tanpa dimensi untuk kedua-dua kumpulan yang dibandingkan di atas satu graf. Salah satu daripada kriteria yang digunakan untuk maksud ini ialah laju tentu atau dikenali juga sebagai nombor jenis. Terdapat beberapa kebaikan dalam menyebut nilai K Q, K H dan K P pada titik rekabentuk semasa bandingan antara mesin rotodinamik hidraulik dibuat tetapi kepentingan ketiga-tiga parameter ini berbeza untuk pam dan turbin Pam Daripada ketiga-tigaangkalidiatas tadi, K Q dan K H merupakan duaparameterpenting untuk pam. Nisbah keduanya menggambarkan kesesuaian pam tertentu bekerja ke atas

96 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 82 Rajah 4.4: Lengkung-lengkung prestasi pam rotodinamik, Massey(1983). satu magnitud isipadu (kecil atau besar) relatif ke turus yang dihasilkan. Jika nisbah ini diperolehi dengan menghilangkan garispusat pendesak, bandingan menjadi bebas daripada saiz mesin (yang diwakili oleh garispusat pendesak). Ini diperolehi dengan menaikkan K Q kekuasa 1 2 dan K H kekuasa 3 4 ; laju tentu, N s = K1/2 Q K 3/4 H ( ) Q 1/2 ( N 2 D 2 ) 3/4 = ND 3 (4.5a) gh = NQ1/2 (gh) 3/4 (4.5b) Nilai N s biasanya hanya disebut pada titik rekabentuk (iaitu titik kecekapan maksima) untuk kegunaan pengkelasan, perbandingan, pemilihan dan rekabentuk Turbin Hidraulik Perbandingan untuk turbin juga dicapai dengan menggunakan laju tentu tetapi di sini kuasa yang dihasilkan adalah merupakan parameter penting. Jadi satu ungkapan lain untuk laju tentu dalam sebutan kuasa yang dihasilkan diperolehi dengan menghilangkan garispusat pelari D daripada nisbah angkali kuasa K P ke angkali turus K H ; iaitu dengan menaikkan K P kekuasa 1 2 dan K H kekuasa 5 4. Jadi, laju tentu, N s = K1/2 P K 5/4 H ( ) P 1/2 ( N = 2 D 2 ) 5/4 ρn 3 D 5 (4.6a) gh = NP 1/2 ρ 1/2 (gh) 5/4 (4.6b)

97 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 83 Rajah 4.5: Kecekapan melawan laju tentu untuk mesin bendalir, Douglas et al. (1985). Seperti juga pam, hanya nilai pada titik rekabentuk sahaja digunakan bagi tujuan yang sama. Perlu diingatkan bahawa kedua-dua ungkapan laju tentu di atas hanya akan memberikan nilai tanpa dimensi jika N dalam pusingan per saat (pps), Q dalam meter padu sesaat(m 3 /s), P dalam Watt(W) dan H dalam meter(m). 4.3 Analisis Dimensi Untuk Mesin Rotodinamik Aliran Boleh Mampat Penggunaan analisis dimensi ke atas bendalir boleh mampat menjadi bertambah rumit jika dibandingkan dengan bendalir tak mampat. Walaupun sesuatu bendalir boleh mampat itu boleh dianggap sebagai gas sempurna, sifat-sifat bendalir yang sudah pun dibincangkan dahulu (seperti ρ, ν dsb.) masih tidak mencukupi untuk kita membuat analisis. Dua ciri lain masih diperlukan; laju bunyi genangan pada masukan mesin, a 0, dan nisbah haba spesifik, γ = c p /c v. Analisis berikut beranggapan bahawa bendalir mempunyai ciri-ciri gas sempurna atau wap kering yang menghampiri sifat-sifat gas sempurna. Apabila berlakunya perubahan ketumpatan yang agak besar, dua pembolehubah lain yang lebih sesuai digunakan: kadar aliran isipadu, Q, digantikan dengan kadar aliran jisim, ṁ, dan perubahan turus, H, digantikan dengan perubahan entalpi genangan isentropik, h 0s. Oleh kerana pemindahan haba daripada bekas mesin turbo pada umumnya terlalu kecil jika dibandingkan dengan fluks tenaga menerusi mesin, parameter suhu boleh dikecu-

98 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 84 Rajah 4.6: Pengaruh laju tentu ke atas bentuk pemutar, Turton(1984). alikan. Bagaimanapun, suhu merupakan satu ciri yang mudah diperhati dan, untuk gas sempurna, boleh diperkenalkan di bahagian akhir analisis dengan menggunakan persamaan keadaan untuk gas sempurna, dengan, p ρ = RT R = R o m = c p c v m beratmolekular 2 R o Pemalar Gas Universal 3 = 8.314kJ/(kg mol K) Jadi parameter-parameter prestasi mesin turbo yang menggunakan bendalir boleh mampat; h 0, η dan P,boleh diungkapkanmenerusihubunganfungsian berikut: atau, h 0, η,p = f(µ,n,d,ṁ, ρ 01,a 01, γ) (4.7) h 0 = f(µ,n,d,ṁ, ρ 01,a 01, γ) η = f(µ,n,d,ṁ, ρ 01,a 01, γ) P = f(µ,n,d,ṁ, ρ 01,a 01, γ)

99 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 85 Setiap hubungan fungsian di atas terdiri daripada 8 pembolehubah. Dengan memilih ρ 01, N dan D sebagaipembolehubah berulang, ketiga-tigahubunganfungsiandiatas boleh dikurangkan kepada 5 kumpulan tanpa dimensi; ( h 0s P N 2 D 2, ρ 01 N 3 D 5, η = f ṁ ρ 01ND 2 ρ 01 ND 3, µ, ND ), γ a 01 (4.8) atau ( h 0s N 2 D 2 = f ṁ ρ 01ND 2 ρ 01 ND 3,, ND ), γ µ a 01 ( P ρ 01 N 3 D 5 = f ṁ ρ 01ND 2 ρ 01 ND 3,, ND ), γ µ a 01 ( ṁ η = f ρ 01ND 2 ρ 01 ND 3,, ND ), γ µ a 01 Pekali aliran, φ = ṁ ρ 01 ND 3 boleh juga dituliskan sebagai, φ = ṁ ρ 01 a 01 D 2 Oleh kerana ND berkadaran dengan laju bilah, kumpulan (ND/a 01 ) dikenali sebagai nombor Mach bilah Kesan mampatan ke atas analisis dimensi Pertimbangkan sebuah pemampat adiabatik yang menggunakan gas sempurna. Pertambahan entalpi genangan isentropik untuk gas sempurna boleh dituliskan sebagai c p (T 02s T 01 ). Proses mampatan ini ditunjukkan di dalam Rajah 4.7; titik keadaan genangan berubah padaentropiyangmalar antaratekanan-tekanangenangan p 01 dan p 02. Menerusi hubungan isentropik yang adibatik, p ρ γ = pemalar dan persamaan keadaan p ρ = RT ungkapan berikut diperolehi, T 02s T 01 = ( ) (γ 1)/γ p02 p 01

100 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 86 Rajah 4.7: Perubahan adiabatik unggul di dalam keadaan-keadaan genangan merentasi mesinturbo, Dixon (1978). Oleh itu, [ (p02 ) (γ 1)/γ h 0s = c p T 01 1] p 01 Oleh kerana c p = γr/(γ 1) dan a 2 01 = γrt 01, jadi ( ) h 0s p02 a 2 = f p Pekali aliran sekarang lebih mudah jika diungkapkan sebagai φ = ṁd2 ρ 01 a 01 = Oleh kerana ṁ ρ 01 D 2 (ND) pekali kuasa boleh ditulis sebagai ψ = RT01 ṁrt 01 p 01 γrt01 D = ṁ 2 D 2 p 01 γ P ρ 01 N 3 D 5 = ṁc p T 0 [ρ 01 D 2 (ND)](ND) 2 = c p T 0 (ND) 2 = T 0 T 01 Kumpulkan kumpulan tanpa dimensi yang baru diperolehi ini dan gantikan ke dalam persamaan (4.7), untuk memberikan [ṁ ] p 02 RT01 ND = f p 01 D 2,,Re, γ (4.9a) p 01 RT01 [ṁ ] RT01 ND η = f D 2,,Re, γ (4.9b) p 01 RT01 [ṁ ] T 0 RT01 ND = f T 01 D 2,,Re, γ (4.9c) p 01 RT01

101 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 87 Alasan untuk menggugurkan γ daripada beberapa kumpulan tanpa dimensi di atas ialah γ sudah pun dianggap sebagai satu pembolehubah bebas, dan untuk sesuatu mesin yang saiznya ditetapkan dan hanya mengendalikan sejenis gas, biasanya γ, R dan D dikeluarkan daripada persamaan (4.9). Di samping itu, jika mesin ini bekerja pada Re yang tinggi (atau dalam julat laju yang kecil), Re boleh juga digugurkan. Di dalam keadaankeadaan ini persamaan(4.9) menjadi p 02, η, T [ṁ 0 T01 = f, p 01 T 01 p 01 ] N, T01 (4.10) Perhatian: Dengan mengeluarkan D dan R, pembolehubah-pembolehubah bebas di dalam persamaan (4.10) sekarang ini mempunyai dimensi. 4.4 Pam Rotodinamik Pengkelasan Terdapat beberapa jenis pam rotodinamik, Rajah 4.8, yang boleh dikelaskan kepada tiga kategori utama mengikut arah bendalir semasa meninggalkan pendesak; Pam Aliran Jejari Kategori ini paling banyak digunakan. Mempunyai kecekapan yang baik pada julat laju tentu yang rendah. Pendesak dibina dengan bilah yang dilengkungkan ke belakang, hadapan atau lurus(iaitu bilah jejari). Pam Aliran Paksi Disebut juga sebagai pam kipas. Penggunaannya banyak tertumpu kepada turus rendah dan kadaralir tinggi. Pam Aliran Tercampur Arah aliran mempunyai dua komponen arah jejari dan paksi. Tidak banyak digunakan, mungkin kerana saiznya yang lebih besar untuk menghasilkan nilai turus dan kadaraliran yang sama dengan pam aliran jejari. (a) (b) (c) Rajah 4.8: Pam rotodinamik (a) pam aliran jejari,(b) pam aliran tercampur dan(c) pam aliran paksi, Turton(1984).

102 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR Turus Pam Turus Statik Turus statik ialah jarak tegak di antara aras bendalir di dalam takungan (bawah) dan tangki(atas). Daripada Rajah 4.9, H s = Turusstatikpam z s = Tinggigaris tengahpam diatas permukaantakungan z d = Tinggitangkidiatas garis tengahpam dan H s = z s +z d (4.11) Perbezaan di antara aras bendalir di dalam takungan bawah dan aras tangki atau takungan yang lebih tinggi ini juga disebut daya angkat statik, H s, sementara z s dinamai turus statik sedutan dan z d puladikenalisebagaiturusstatik penghantaran Turus Sebenar atau Turus Keseluruhan Turus sebenar adalah turus keseluruhan yang perlu dihasilkan oleh pam untuk menghantar bendalir daripada takungan ke tangki. Di samping menghasilkan turus statik, sesebuah pam perlu juga mengatasi kehilangan-kehilangan di dalam paip dan pemasangan, serta kehilangan tenaga kinetik di keluaran paip penghantaran. Jika maka H = Turus sebenar atau keseluruhan pam h ls = Kehilangan-kehilangan didalam paip sedutan h ld = Kehilangan-kehilangan didalam paip penghantaran h l = Jumlah kehilangan didalam kedua-duapaip = h ls +h ld v d = Halaju bendalir didalam paip penghantaran H = z s +z d +h ls +h ld + v2 d 2g = H s +h l + v2 d 2g (4.12) Kehilangan-kehilangan di dalam bekas dan pemutar pam tidak diambilkira di dalam turus keseluruhan ini. Turus keseluruhan ini juga, kadangkala, dikenali dengan berbagai nama yang agak mengelirukan pengguna seperti turus sebenar, turus kasar atau turus berkesan.

103 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR Turus Manometrik Biasanya kita tidak mungkin dapat mengukur dengan tepat kehilangan-kehilangan di dalam bekas dan pemutar pam. Oleh yang demikian, turus manometrik diperkenalkan bagi mewakili tokokan tenaga tekanan bendalir di dalam pemutar pam. Jika dua tolok tekanan dipasang sedekat mungkin dengan pam di bahagian sedutan dan penghantarannya, perbezaan bacaan kedua-dua tolok akan memberikan perubahan tenaga tekanan di dalam pam, atau lebih dikenali sebagai turus manometrik. Jika H m = Turusmanometrik pam h ps = Bacaan toloktekanandisedutanpam = p s ρg h pd = Bacaan toloktekanandipenghantaranpam = p d ρg v s = Halaju bendalir didalam paip sedutan maka H m = h pd h ps

104 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 90 h ld v d 2 /2g C z d Paip penghantaran Injap penghantaran Tangki H H m H s B Pam Injap sedutan z s Paip sedutan h ls v s 2 /2g A Takungan Rajah 4.9: Turus-turus pam. Seterusnya kita gunakan persamaan Bernoulli ke titik A di permukaan takungan (yang bendalirnya tenang) dan titik B pada bahagian sedutan pam rujuk Rajah 4.9. Dengan

105 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 91 menganggap titik B berada di aras garis tengah pam dan mengambil aras di dalam takungan sebagai datum, p a ρg +0+0 = p s ρg + v2 s 2g +z s +h ls atau p a ρg = h ps + v2 s 2g +z s +h ls (4.13) Langkah yang serupa dilakukan pada titik B dan titik C. Perbezaan tinggi di antara garis tengah pam dan tolok tekanan yang dipasang di bahagian penghantaran pam diabaikan jadih pd mewakilibacaantekanandikeluaranpam. Denganmengambilgaristengahpam sebagai datum p d ρg + v2 d 2g +0 = p a ρg + v2 d 2g +z d +h ld atau h pd + v2 d 2g = p a ρg + v2 d 2g +z d +h ld (4.14) Tolakkan persamaan (4.13) daripada persamaan (4.14), ( ) ( ) ( ) h pd + v2 d h ps + v2 s 2g 2g +z p a s +h ls = ρg + v2 d 2g +z d +h ld dan ( ) pa ρg atau h pd h ps = v2 s 2g + (z s +z d ) + (h ls +h ld ) H m = H s +h l + v2 s 2g (4.15) Dengan itu turus keseluruhan dan turus manometrik berbeza hanya dalam turus halaju masing-masing. Dalam turus keseluruhan, turus halaju paip penghantaran dipertimbangkan sementara dalam turus manometrik pula, turus halaju paip sedutan yang diambilkira. Apabila kedua-dua paip (sedutan dan penghantaran) mempunyai garispusat yang sama, turus keseluruhan dan turus manometrik menjadi sama. Tolakkan persamaan (4.12) daripada persamaan (4.15), H m H = v2 s 2g v2 d 2g ( ) v H m = H + 2 s 2g v2 d 2g (4.16) = H : apabila v s = v d (4.17)

106 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 92 Perlu dibezakan di sini bahawa H ialah jumlah pertambahan tenaga di dalam bendalir oleh pam, sementara H m adalah tokokan tenaga tekanan sahaja. Walau bagaimana pun, oleh keranaperbezaan diantara H m dan H terlalu kecil, kedua-duanyadikira serupa Pam Aliran Jejari Pam aliran jejari dikenali juga sebagai pam empar. Aliran di dalam pam jenis ini bergerak daripada pusat pemutar mengarah keluar. Pemutar pam, lebih dikenali sebagai pendesak, berputar di dalam bekas pilin 4. Paip sedutan ke masukan adalah dalam arah paksidanbendalirmemasukimatapendesak 5 dengansedikit,jikaada,komponenpusaran halaju mutlak bendalir, Rajah Daripada sini bendalir mengalir keluar dalam arah bilah dan setelah menerima tenaga daripada pendesak, bendalir keluar dengan tekanan dan halajunya bertambah. Bilah-bilah pendesak selalunya dilengkungkan ke belakang untuk mendapatkan kecekapan yang baik. Bilah-bilah jejari juga banyak digunakan kerana kos pembinaannya yang lebih murah. Kegunaan bekas ialah untuk menukar sebanyak mungkin turus halaju pada keluaran kepada turus tekanan sebelum aliran masuk ke paip hantaran. Terdapat dua jenis keluaran pam aliran jejari, Rajah 4.10: 1. ruang tanpa bilah dengan volut, 2. ruangtanpabilah dengankeluaran terlata 6, (a) (b) Rajah 4.10: Keluaran pam aliran jejari (a) ruang tanpa bilah dengan volut dan(b) ruang tanpa bilah dengan keluaran terlata, Massey(1983) Teori Aliran Dua Dimensi Aliran sebenar di dalam pemutar pam empar adalah di dalam tiga dimensi dan vektorvektorhalaju padamasukan, v 1, dan keluaran pemutar, v 2, boleh dileraikan kepadatiga 4 spiral casing 5 pusatpendesak 6 keluaranterlata selalunyalebihcekaptetapi kospembinaannya agakmahal

107 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 93 komponen jejari(v r1 dan v r1 ),paksi(v x1 dan v x1 ) dan tangen(v t1 dan v t1 ). Bagi memudahkan analisis, aliran tiga dimensi ini boleh dikurangkan menjadi aliran dua dimensi dengan menganggap: 1. aliran di dalam pam adalah mantap, 2. halaju-halaju pada masukan dan keluaran adalah seragam dalam magnitud dan sudut yang dibuat dengan arah rujukan 3. bilah-bilah pendesak hanya bergerak dalam arah lilitan, jadi hanya komponen daya dalam arah ini yangmelakukankerja 7. Untuk merekabentuk dan menganalisa proses pertukaran tenaga di dalam pendesak, kita perlu membina segitiga halaju pada masukan dan keluaran pendesak. Setiap vektor halaju boleh dileraikan kepada tiga komponen yang saling tertegak. Satu komponen diarahkan selari dengan paksi putaran memberikan komponen paksi, satu mengikut arah jejari menerusi paksi putaran, dan komponen yang terakhir bersudut tepat ke arah jejari, iaitu arah tangen, memberikan komponen tangen, Rajah Rajah 4.11: Vektor halaju dalam tiga dimensi. Perubahan magnitud komponen paksi menghasilkan daya paksi yang bertindak ke atas galas tujah. Sementara perubahan magnitud komponen jejari pula menghasilkan beban jurnal. Kedua-dua perubahan ini tidak memberi sebarang kesan ke atas gerakan sudut pendesak kecuali geseran galas. 7 Anggapanini menghadkan perhatiankepadaperubahan momentum dalam arah lilitan. Walaupunterdapat juga perubahan momentum dalam arah lain tetapi daya-daya sepadannya tidak mempunyai momen sekitar paksi putaran pendesak

108 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 94 Perubahan magnitud komponen tangen dan jejari sebaliknya adalah sepadan dengan perubahan momentum sudut atau momen momentum bendalir dan, menerusi hukum gerakan Newton, adalah sama dengan jumlahan daya-daya yang dikenakan ke atas pendesak, iaitu dayakilas bersih, T. Jadi, Dayakilas sekitar sesuatu paksi = Kadar pertambahan momentum sudut sekitar paksi tersebut Jika satu jisim bendalir m 1 memasuki pendesak pada jejari r 1 dengan komponen halaju tangen v t1 dalam jeda masa t dan satu jisim m 2 meninggalkan pendesak pada jejari r 2 dengan komponen halaju tangen v t2 dalam jeda masa t yang sama, dayakilas T yang dikenakan ke atas bendalir ialah T = m 2 t r 2v t2 m 1 t r 1v t1 (4.18a) = ṁ 2 r 2 v t2 ṁ 1 r 1 v t1 (4.18b) Oleh kerana keterusan wujud, ṁ 1 = ṁ 2 = ṁ = ρq (4.19) jadi, T = ρqr 2 v t2 ρqr 1 v t1 (4.20a) = ρq (r 2 v t2 r 1 v t1 ) (4.20b) Seterusnya, Kuasa yang diperlukan oleh pendesak = Kerja terlaku ke atas bendalir seunit masa iaitu, TΩ = ρq (r 2 v t2 r 1 v t1 ) Ω (4.21) dan olehkerana Ωr = U, Kerja terlaku ke atas bendalir seunit jisim = Kerjaterlaku keatas bendalir Kadaralir jisim = U 2 v t2 U 1 v t1 (4.22) Untuk analisis 2-dimensi, halaju mutlak bendalir, v, boleh dileraikan kepada komponen jejari v r atau v f dan komponentangen v t, Rajah Melalui kaedah geometri, v 2 f2 = v2 2 v 2 t2

109 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 95 v t2 U 2 v 2 v f2 W 2 Keluaran α 2 β 2 Ω Bilah pendesak Masukan Masukan tanpa pusaran β 1 α 1 β 1 α 1 = 90 ο v t1 = 0 W 1 v f1 v 1 W 1 v 1 = v f1 v t1 U 1 U 1 Rajah 4.12: Segitiga halaju pam aliran jejari pada masukan dan keluaran. dan v 2 f2 = W2 2 (U 2 v t2 ) 2 Kaitkan kedua-dua ungkapan di atas dan kembangkan v 2 2 v 2 t2 = W 2 2 U U 2 v t2 v 2 t2 dan U 2 v t2 = 1 2 ( v 2 2 +U 2 2 W 2 2) (4.23a) Dengan kaedah yang sama pada masukan kita memperolehi U 1 v t1 = 1 ( 2 v 2 1 +U1 2 1) W2 (4.23b) Masukkan persamaan-persamaan (4.23a) dan (4.23b) ke dalam persamaan (4.22), Kerja terlaku ke atas bendalir seunit jisim [( v 2 2 v 2 ) ( 1 + U 2 2 U1 2 ) ( W 2 2 W1)] 2 (4.24) = 1 2 Pam aliran jejari jarang dibekalkan dengan bilah pandu masukan dan bendalir menghampiri mata pendesak tanpa pusaran. Sudut masukan bilah-bilah pendesak direkabentuk supaya memberikan segitiga halaju yang bersudut tepat supaya v t1 = 0 dan

110 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 96 momentum sudut permulaan bendalir sifar. Oleh itu persamaan Euler,(4.22), menjadi Kerja terlaku ke atas bendalir seunit jisim = U 2 v t2 Rajah 4.13: Aliran 3-dimensi di dalam pam empar, Douglas et al. (1985). Aliran sebenar menerusi pendesak adalah dalam tiga dimensi, Rajah Terdapat perbezaan halaju melintangi laluan-laluan bilah antara bahagian hadapan sesuatu bilah dan bahagian belakang bilah yang berdekatan. Di samping itu terdapat juga perbezaan halaju dalam satah meridional. Dengan itu agihan halaju adalah terlalu kompleks dan bergantung kepada bilangan, bentuk, tebal dan lebar bilah serta kadar perubahan lebar bilah dengan jejari. Teori 1-dimensi diperkenalkan bagi mengatasi masalah-masalah di atas dengan menganggap: 1. bilah-bilah pendesak tak terhingga nipis dan perbezaan tekanan menerusi bilahbilah digantikan dengan daya-daya jasad bayangan yang bertindak ke atas bendalir dan menghasilkan dayakilas, 2. bilangan bilah-bilah pendesak tak terhingga banyak, jadi perubahan halaju melintangi laluan bilah dv/dθ = 0 dikurangkan dan cenderung ke sifar, 3. di bahagian pemindahan tenaga, iaitu di dalam laluan bilah pendesak, tidak terdapat perbezaan halaju dalam satah meridional, dv/dz = 0 Anggapan-anggapan ini memudahkan analisis dari keadaan 3-dimensi yang sebenar kepada1-dimensi iaitu daripada v = f(r, θ,z) kepadav = f(r).

111 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 97 Seterusnya jika kita menganggap keadaan unggul wujud antara masukan dan keluaran pendesak, tanpa kehilangan-kehilangan likat dan sebagainya, dan bendalir meninggalkan pendesak dalam arah tangen ke garis tengah bilah, persamaan unggul Euler dapat dituliskan sebagai, atau gh E = U 2 v t2 U 1 v t1 H E = U 2v t2 U 1v t1 g = Turus unggul Euler (4.25) = U 2v t2 g : jika v t1 = 0 Secara praktik turus yang dipindahkan daripada pendesak ke bendalir adalah lebih kecil daripada turusungguleuler, H E disebabkan oleh; 1. kehilangan likat, dan 2. pusingan relatif di dalam laluan-laluan bilah. U 2 v' t2 U 2 v t2 v t2 Segitiga Halaju Keluaran v' 2 v 2 v r2 = v f2 W' 2 W 2 α' 2 α 2 β 2 β' 2 Ω Segitiga halaju unggul Bilah pemutar Segitiga halaju sebenar v t2 = v' t2 - v t2 Gelinciran Rajah 4.14: Gelinciran di keluaran bilah pemutar. Bendalir lebih cenderung untuk bergerak dalam arah yang sama kerana tabii inersia atau sifatekun yang menyebabkan bendalir bergerak ke arah pendesak. Oleh itu aliran meninggalkan laluan bilah dengan W t2 > W t2 dan v t2 < v t2 menyebabkan β 2 < β 2, Rajah 4.14.

112 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 98 Agihan tekanan yang lebih tinggi di atas permukaan hadapan bilah dari di bahagian belakangnya Rajah 4.15 menghasilkan agihan halaju yang tidak seragam di dalam laluan bilah dan seterusnya menjadikan β 2 < β 2. Oleh kerana v t2 < v t2, kerja terlaku ke atas bendalir seunit jisim dikurangkan oleh proses pusingan relatif ini. Jadi turus yang dapat dipindahkan daripada pendesak ke bendalir, setelah mengambilkira faktor kehilangan likat dan pusingan relatif di dalam laluan bilah, ialah H i = U 2v t2 U 1 v t1 g = U 2v t2 g : jika v t1 = 0 (4.26) Rajah 4.15: Pusingan relatif di dalam laluan bilah, Douglas et al. (1985). Perlu ditekankan di sini bahawa penerbitan persamaan-persamaan (4.25) dan (4.26) adalah berdasarkan kepada pendekatan teori yang bergantung kepada segitiga halaju semata-mata. Ringkasnya, boleh dinyatakan di sini bahawa pusingan relatif merupakan faktor utama yang mengurangkan jumlah turus yang dapat dipindahkan ke bendalir pada keadaan unggul 8, H E,kepadaH i. Jika H i diambilsebagaisatupecahan,katalahk c,daripadaturus H E kitaakan memperolehi H i = k c H E (4.27) dengan k c = H i H E = faktorpusinganrelatif = pekalibilah, µ Nilai faktor pusingan relatif, k c, atau pekali bilah, µ, ini bergantung kepada bilangan bilah, sudut bilah di keluaran dan nisbah jejari masukan ke jejari keluaran pendesak. Ia tidak bersandar kepada keadaan-keadaan operasi dan biasanya dikira menerusi 8 iaitu tanpa kehilanganlikatdanpusinganrelatif

113 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 99 hubungan-hubungan empirik, sebagai contoh µ = r2 2 φ z(r 2 2 r2 1 ) dengan φ = sin β 2 Jadual 4.1 menunjukkan perubahan pekali bilah, µ, dengan bilangan bilah, z, bagi pam aliran jejari. Jadual 4.1: Perubahan pekali bilah, µ, dengan bilangan bilah, z, bagipam aliran jejari Bilangan bilah, z Pekali bilah, µ Ukuran Prestasi 1. Turus Bersih dan Kecekapan Hidraulik Kehilangan hidraulik adalah kehilangan-kehilangan yang berlaku di antara bahagian sedutan dan bahagian penghantaran pam. Ini termasuklah: kehilangan kejut di masukan bilah-bilah pendesak dan bekas pilin, kehilangan-kehilangan geseran dan eddy di dalam laluan-laluan bilah dan bekas, dan kehilangan-kehilangan disebabkan perubahan mendadak dalam luas dan arah aliran. Kecekapan hidraulik, η h, mengambilkira semua kehilangan di atas. Ia ditakrifkan sebagai nisbah turus sebenar yang terhasil ke turus masukan pendesak, iaitu, dengan, η h = H H i = gh U 2 v t2 U 1 v t1 (4.28) H turus sebenar yang terhasil H i turusmasukan pendesak 2. Kadaralir dan Kecekapan Isipadu

114 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 100 Rajah 4.16: Bocoran di dalam pam empar, Massey(1983). Tekanan pada keluaran pendesak lebih tinggi daripada tekanan di masukan. Oleh yang demikian bendalir lebih cenderung untuk berpatah balik, atau bocor, menerusi ketelusan di antara pendesak dan bekas, Rajah Selain daripada itu kebocoran mungkian berlaku pada kedap. Kedua-dua ini dikelaskan sebagai kehilangan isipadu. Kecekapan isipadu, η v, ialah nisbah luahan sebenar ke jumlah kadar aliran yang memasuki pam; dengan, η v = Q Q + Q = Q Q i (4.29) Q luahan sebenar Q i kadar aliran yangmemsukipam Q Bocoran Biasanyabendalir memasukipendesaktanpapusaran, v t1 = 0. Jadipadamasukan ke pendesak, kadar aliran isipadu ialah Q 1 = (2πr 1 b 1 b 1 zt)v f1 = (2πr 1 b 1 b 1 zt)v 1 : jika v t1 = 0 = Q i Pada keluran pendesak pula, Q 2 = (2πr 2 b 2 b 2 zt)v f2 = Q i

115 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 101 Bagi rumus-rumus kadar aliran di atas, b 1 lebar bilah padamasukan b 2 lebar bilah padakeluaran d 2 diameterluar pendesak t tebalbilah v f1 halaju aliran padamasukan = v r1 v f2 halaju aliran padakeluaran = v r2 z bilangan bilah pendesak Rajah 4.17: Keratan rentas pemasangan pam empar, Turton(1984). 3. Kesan Geseran dan Kecekapan Mekanikal Kehilangan-kehilangan tenaga mekanikal adalah disebabkan oleh geseran pada piring, galas dan sesendal kedap, Rajah Kehilangan kuasa oleh geseran piring diberikan sebagai; dengan, P d = Ω2 µ t = Ω2 µπ 32 rt r R r2πrdrr d 2 T d2 R t Ω halaju putaran (rad/s) µ kelikatan bendalir t tebalpiring r jejari piring d diameter piring T hujungpiring R pangkalpiring

116 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 102 Sementara kuasa yang hilang disebabkan geseran pada galas dan sesendal kedap pula diberikan sebagai; P b = Ω pemalar : anggapgeserankering Jadi jumlah kehilangan-kehilangan mekanikal ialah P m = P d +P b Kecekapan mekanikal pam ditakrifkan sebagai nisbah; dengan Kerja terlaku oleh pendesak seunit berat bendalir η m = Kuasa yang dibekalkan kepada aci Kuasayang dibekalkan ke aci Kehilangan mekanikal = Kuasa yang dibekalkan ke aci = P s P m P s = P i P s = ρgq ih i ρgq i H i +P m (4.30) P i kuasaterpindahdaripada acikependesak 4. Kecekapan Keseluruhan Pam Kecekapan keseluruhan, η, boleh ditakrifkan sebagai nisbah Kuasadi dalam bendalir yang keluar daripada pam η = Kuasa yang dibekalkan kepada aci = ρgqh P s (4.31a) = H Q ρgq ih i H i Q i P s (4.31b) = η h η v η m (4.31c) Perubahan Turus pada Pendesak dengan Bentuk Bilah Daripada hukum keterusan kita juga boleh menulis, Q i = A 2 v f2 = (A 2 b 2 zt)v f2 = k a A 2 v f2

117 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 103 dengan A 2 luas susurkelilingpendesak = 2πr 2 b 2 A 2 luas bersihdikeluaranpendesak k a faktorpenguranganbilah = 1 b 2zt A 2 b 2 zt ruangketebalan bilah Oleh itu, v f2 = Q i k a A 2 (4.32) = Q η v k a A 2 : untuk Q i = Q η v = Q η v A 2 : jika k a = 1 Jika kadar aliran Q i berubah, v f2 juga turut berubah kerana hubungan di antara keduaduanyamenerusihukumketerusan. Disampingituv t2 akanturutberubahuntuk β 2 dan Ω yang tetap. Daripada segitiga halaju v t2 = U 2 v f2 cot β 2 : biasanya β 2 < β 2 (4.33) Turus atau tenaga seunit berat bendalir pada pendesak ialah H i = U 2v t2 U 1 v t1 g dan jikadianggap tiadaadapusaran padamasukan, iaitu v t1 = 0, maka H i = U 2v t2 g Gantikan untukv t2 menggunakanpersamaan (4.33) H i = U 2 g ( U2 v f2 cot β 2 ) = U2 2 g U 2 Q i cot β 2 (4.34) g k a A 2 Untuk sesebuah pam aliran jejari yang bekerjapada U 2 yang malar, hubungan di antara H i dan Q i berbentuksatugarisan lurus Rajah 4.18 dengansyarat β 2 dan η v malar.

118 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 104 Turus, H i β' 2 > 90 o (bilah melengkung ke hadapan) β' 2 = 90 o (bilah jejari) β' 2 < 90 o (bilah melengkung ke belakang) Kadar aliran, Q i Rajah 4.18: Kesan bentuk bilah ke atas turus Pam Aliran Paksi Bahagian-bahagian asas sesuatu peringkat di dalam mesinturbo aliran paksi biasanya terdiri daripada barisan bilah pemutar yang diikuti oleh barisan bilah stator. Selalunya pam-pam aliran paksi tidak dipasang dengan bilah-bilah pandu, Rajah 4.19, kecuali di dalam beberapa rekabentuk yang khusus. Sementara di dalam pemampat pula, bilah pemutar biasanya didahului oleh bilah-bilah pandu masukan; bilah-bilah pandu ini digunakan supaya bendalir pada masukan ke bilah pemutar mempunyai komponen pusaran atau tangen, v t1,disampingkomponenpaksi, v x1. Rajah 4.19: Pendesak pam aliran paksi, Douglas et al. (1985). Proses pemindahan tenaga berlaku di dalam pemutar. Tekanan mula bertambah pada

119 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 105 masukan ke bilah-bilah pemutar dan bendalir keluar dengan tekanan yang lebih tinggi pada bahagian keluaran pemutar. Halaju mutlak bendalir pada keluaran pemutar, v 2 lebihbesardaripadanilaiv 1 dibahagianmasukannyadandisinibilahstatormemainkan peranannya; berfungsi sebagai alat untuk menukar sebahagian daripada tenaga kinetik atau turus halaju pada keluaran pemutar kepada turus tekanan Teori Berbeza dari mesin-mesin aliran radius, contohnya pam empar, aliran di dalam mesinmesin aliran paksi adalah di dalam arah paksi dan perubahan daripada masukan ke keluaran pemutarnya berlaku pada radius yang sama, Rajah Jadi U 1 = U 2 = U = Ωr (4.35) Masukan dengan pusaran Masukan tanpa pusaran v f1 = v x1 v 1 v 1 β 1 α 1 β 1 U 1 U 1 W 1 W 1 Ω v f2 = v x2 Bilah pendesak v 2 α 2 U 2 β 2 W 2 Keluaran Rajah 4.20: Segitiga halaju pam aliran paksi. Oleh kerana luas aliran sama pada masukan dan keluaran, halaju aliran v f (dalam arah

120 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 106 paksi), boleh diperolehi dari hukum keterusan, v f1 = v f2 = v f = Komponen paksi halaju mutlak bendalir = v x dan kadaralir jisim, dengan, ṁ = ρπ ( r 2 T r2 R) vf = ρπ ( r 2 T r2 R) vx (4.36) r T radius hujung r R radius pangkalatau hab r m radius min = r T +r R 2 Daripada segitiga halaju keluaran, tan β 2 = U v t2 v f (4.37) dan dengan itu, v t2 = U v f2 tan β 2 (4.38) Gantikanungkapanuntukv t2 inikedalampersamaaneulerdananggapbendalirmasuk kepemutardalam arah paksitanpakomponenpusaran, v t1 = 0, gh E = Uv t2 = U ( U v f tan β ) 2 (4.39) Persamaan ini boleh digunakan pada sebarang nilai radius bilah r dan tidak semestinya malar dalam julat dari r R ke r T. Untuk menggunakan keadaan ini, pertambahan nilai U dengan radius mestilah ditimbalbalik dengan pengurangan sebutan v f tan β yang sama nilainya. Oleh kerana v f malar, bilah-bilah terpaksa dikilas, Rajah 4.21, supaya untuk radius r a danr b misalnya, U 2 a U a v f tan β 2a = pemalar = U 2 a U a v f tan β 2b Susunsemula, v f ( Ub tan β 2b U atan β 2a) = U 2 b U 2 a

121 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 107 Rajah 4.21: Kilasan bilah pendesak pam aliran paksi, Turton(1984). TetapiU = Ωr, jadi ( v f Ωrb tan β 2b Ωr atan β ( 2a) = Ω r 2 b r 2 ) a memberikan r b tan β 2b r atan β 2a = Ω ( r 2 v b r 2 ) a f (4.40) Walaubagaimana pun, keadaan ini yang dikenali sebagai rekabentuk vorteks bebas sukar diperolehi Gerakan Vorteks dan Hubungannya dengan Rekabentuk Mesin-mesin Aliran Paksi 1. Aliran Vorteks Bebas Aliran ini berkeadaan v t r = pemalar, C (4.41) Untuk satu peringkat, v t1 r = v 1 v t1 = v 1 r v t2 r = v 2 v t2 = v 2 r Dari persamaan Euler, gh i = U (v t2 v t1 ) ( v2 = Ωr r + v ) 1 r iaitu kerja terlaku ke atas bendalir adalah malar pada sebarang nilai radius r. (4.42)

122 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR Aliran Vorteks Paksa Rekabentuk mesin-mesin aliran paksi yang berdasarkan aliran vorteks bebas selalunya menghasilkan bilah-bilah yang terlalu melengkung. Atas sebab ini aliran vorteks paksa dipertimbangkan, v t r = pemalar, C (4.43) Dari persamaan Euler, gh i = U (v t2 v t1 ) = Ωr (v 2 r +v 1 r) = Ωr 2 (v 2 +v 1 ) (4.44) iaitu kerja terlaku ke atas bendalir adalah fungsi radius Darjah Tindakbalas Konsep tindakbalas selalu digunakan di dalam analisis dan rekabentuk mesin-mesin aliran paksi sebagai ukuran kadaran relatif pemindahan tenaga yang diperolehi daripada perubahan tekanan-tekanan statik dan dinamik. Ia juga dikenali sebagai darjah tindakbalas atau hanya tindakbalas, yang ditakrifkan sebagai ( ) Perubahan tenaga hasil daripada perubahan tekanan statik di dalam pemutar R = ( Jumlah perubahan tekanan statik di dalam sesuatu peringkat atau dalam sebutan-sebutan entalpi R = Perubahan entalpi statik di dalam rotor Perubahan entalpi statik di dalam satu peringkat Perubahan tekanan di dalam pemutar ini bersaing dengan perubahan dalam halaju bendalir. Dalam sebutan halaju, darjah tindakbalas boleh diungkapkan sebagai R = 1 ( 1 2 v 2 t2 v 2 t1) U (v t2 v t1 ) = 1 v t2 v t1 2U Segitiga halaju bilah pemutar mesin-mesin aliran paksi pada masukan dan keluaran adalah dipengaruhi oleh magnitud tindakbalas, Rajah )

123 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 109 R > 50% β 2 > α 1 β 2 α 2 β 1 α 1 W 2 W 1 v 2 v 1 v f = v x U 1 = U 2 = U R = 50% β 2 = α 1 β 2 α 2 β 1 α 1 W 2 W 1 v 2 v 1 v f = v x U 1 = U 2 = U R < 50% β 2 < α 1 β 2 α 2 β 1 α 1 W 2 W 1 v 2 v 1 v f = v x U 1 = U 2 = U Rajah 4.22: Pengaruh tindakbalas ke atas segitiga halaju pam aliran paksi Peronggaan di dalam Pam Rotodinamik Apabila tekanan mutlak, pada suhu tertentu, susut ke satu nilai yang sama atau lebih kecil dari tekanan wap tepu sesuatu cecair, gelembung-gelembung kecil wap terbentuk dan pendidihan terjadi. Kesusutan ini juga menyebabkan udara terlarut di dalam cecair dikeluarkan; pengeluaran udara terlarut bersama dengan pemelowapan menyebabkan berlakunya fenomena peronggaan. Mekanisma permulaan peronggaan yang sebenar setakat ini masih dipertikaikan. Sungguhpun begitu, fenomena ini sering dikaitkan dengan kewujudan nukleus gas mikroskopik yang menyebabkan terbentuknya gelembung-gelembung pada peringkat awal peronggaan. Nukleus-nukleus ini yang terdapat di dalam rongga-rongga bahan pejal di sempadan bendalir menyebabkan bendalir tidak boleh menahan tegangan. Air, misalnya,dianggarkandapatmenahan tegangandalam julat500 ke10,000 atm 9 jikanukleusnukleus tadi tidak ada. Proses semasa gelembung tadi membesar dan kemudiannya pecah apabila tiba pada titik berlakunya tekanan tinggi berulang kali dalam jeda masa yang singkat, puluhan ribu kali dalam sesaat, dan ini menghasilkan gelombang tekanan transient yang tinggi keamatannya. Tekanan tempatan yang tinggi, sehingga 4000 atm, terhasil dan suhu tempatan 9 1atm bar

124 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 110 juga mungkin bertambah sehingga 800 C di permukaan bahan-bahan yang dihempap oleh gelembung yang pecah. Di dalam pam rotodinamik, peronggaan biasanya terjadi pada bahagian masuk ke pendesak terutama sekali jika pam diletakkan terlalu tinggi di atas permukaan takungan bekalan. Dengan menggunakan persamaan Bernoulli antara permukaan takungan dan masukan ke pendesak, iaitu bahagian tekanan minimum, kita memperolehi, dengan, p 0 ρg + v2 0 2g +z 0 h ls = p 1 ρg + v2 1 2g +z 1 (4.45) p 0 tekanandiatas permukaantakungan biasanya (tetapitidaksemestinya)tekanan atmosfera p a p 1 tekananpadamasukan pendesak,iaitu tekanan minimum didalam pam p min v 1 halaju mutlak bendalir padamasukan pendesak v 0 halaju mutlak bendalir didalam takungan,biasanyadiabaikan keranaterlalu kecil h ls segalakehilangan turusantara masukan paipsedutandanmasukan pendesak Untuk sesuaturekabentukpam, turus halaju v 2 1 /2g boleh diambil sebagai satu pecahan tertentu, katalah σ, daripada turus bersih H yang dihasilkan oleh pam. Jadi σh = p a ρg p min ρg z 1 h ls (4.46) Untuk mengelakkan peronggaan, p min mestilah lebih besar dari tekanan wap tepu, p v, iaitu σ c > σ σ c H = p a ρg p v ρg z 1 h ls (4.47a) = H a H v z 1 h ls (4.47b) atau, dengan, σ c H = NPSH = NPSE g (4.48) σ angkali peronggaan σ c angkaliperonggaankritikal H a turustekananatmosfera H v turustekananwap tepu NPSH Turus Sedutan Positif Bersih Net Positive Suction Head NPSE Tenaga Sedutan Positif Bersih Net Positive Suction Energy

125 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 111 Jadi z 1 mestilah dikecilkan sebanyak mungkin supaya σ c > σ. Satu parameter penting yang lahir dari analisis di atas ialah laju tentu sedutan 10, K s yang ditakrifkan seperti laju tentu, K s = NQ 1/2 g(npsh) 3/4 (4.49) 4.5 Turbin Hidraulik Pengkelasan Turbin hidraulik boleh dikelaskan kepada 1. turbindedenyut 2. turbintindakbalas Di dalam kedua-dua kelas ini, bendalir yang masuk mengenakan daya ke atas pelari di dalam arah aliran (daya ini disebut denyut sementara pada keluaran pula, bendalir mengenakan tindakbalas, melawan arah aliran. Untuk roda-roda dedenyut, contohnya roda Pelton, Banki dan Turgo, kesan dedenyut adalah besar sedangkan di dalam turbin tindakbalas, turbin Francis dan Kaplan misalnya, kesan daya tindakbalas lebih berpengaruh Turbin Dedenyut Kesemua turus ( tenaga seunit jisim) bendalir ditukarkan kepada tenaga kinetik, iaitu dalam bentuk turus halaju yang keluar daripada satu (atau lebih) muncung. Bendalir (biasanya air) ditembak keluar daripada muncung ini dalam bentuk jet ke sauk atau timba yang dipasang di susurkeliling sebuah roda yang berputar di atas satu aci. Semasa tindakan ini, air bersentuhan dengan udara dan air yang keluar daripada sauk jatuh ke larian ekor Turbin Tindakbalas Di dalam kategori ini, aliran dari aras hulu ke aras keluar berlaku di dalam sistem pembuluh tertutup yang tidak terdedah kepada atmosfera pada sebarang titik di sepanjang laluan aliran. Pada masukan ke pelari, hanya sebahagian daripada turus bendalir ditukarkan kepada tenaga kinetik dan lebihannya kepada tenaga atau turus tekanan. Pelari turbin-turbin jenis ini sentiasa dipenuhi bendalir apabila bekerja sedangkan di dalam turbin denyut, roda Pelton misalnya, hanya beberapa sauk atau timba sahaja yang gunakan (iaitu bersentuhan dengan bendalir) pada sesuatu masa. 10 suctionspecific speed

126 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 112 (a) Roda Pelton (b) Turbin Banki (c) Turbin Francis (d) Turbin Kaplan Rajah 4.23: Turbin hidraulik. Di bawah kategori ini terdapat beberapa kelas yang kriterianya bergantung kepada arah aliran di dalam pelari semasa proses pemindahan tenaga berlaku; di dalam turbin Kaplan aliran bendalir adalah dalam arah paksi sementara aliran di dalam pelari turbin Francis adalah dalam arah jejarian atau pun jenis aliran tercampur. Di samping dua kelas ini, terdapat juga turbin aliran melintang seperti turbin Turgo, Rajah Roda Pelton Roda Pelton adalah sejenis turbin denyut. Bilah-bilah turbin ini biasanya dipanggil timba atau sauk yang berbentuk elliptic dan dipasang ke susurkeliling sebuah roda, Rajah 4.25, yang berputar di atas satu aci. Satu atau dua muncung, Rajah 4.26, kadang-kadang lebih, muncung memancutkan jet air, dalam arah tangen ke susurkeliling roda, untuk menghentam timba. Timba ini dibentuk menjadi dua bahagian keluar supaya jet air dapat dipecahkan dan meninggalkan sauk secara simetrikal di kedua-dua bahagiannya. Sistem injap tombak 11 dan pemantul digunakan untuk mengawal kelajuan dan arah jet air 11 spear valve

127 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 113 Rajah 4.24: Susunan turbin aliran melintang. pada masukan Teori Analisis matematik dibuat dengan menganggap: 1. arah halaju timba U samasepertiarah halaju mutlak jetair V 1 atau V j, 2. bendalir bertindak ke atas timba pada radius r, iaitu radius dari paksi roda ke paksi jet, 3. bendalir meninggalkan timba pada radius r, dan 4. halaju bendalir adalah mantap dan seragam pada masukan dan keluaran. Halaju mutlak jetv 1 atau V j ditentukanolehturuspadamuncung, H = H g h f (4.50) Nilai turus ini kemudiannya dihubungkan dengan halaju mutlak jet menerusi persamaan berikut: V j = V 1 = c v 2gH (4.51)

128 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 114 (a) (b) (c) Rajah 4.25: Komponen-komponen penting roda Pelton (a) roda, (b) nozel dan injap tombak dan (c) pemantul. dengan H turuspadamuncung H g turuskasar takungan h f kehilangan turusdisebabkan geserandidalam paip c v pekalihalaju 0.97ke0.99 Turus halaju di dalam paip yang menyambungkan takungan dan muncung selalunya diabaikan kerana terlalu kecil. Jumlah tenaga yang dipindahkan ke roda diberikan oleh persamaan Euler, H i = U 1V t1 U 2 V t2 g Halaju timba adalah sama nilainya pada masukan dan hantaran, jadi, U 1 = U 2 = U H i = U g (V t1 V t2 ) (4.52) Daripada segitiga halaju, V t2 = U W 2 cos(180 θ) = U +W 2 cos θ (4.53)

129 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 115 Rajah 4.26: Roda Pelton dengan dua nozel. Nozel v 1 θ U U W 1 W 2 v 2 Segitiga halaju keluaran v t1 = v 1 Segitiga halaju masukan v t1 = v 1 v t2 U Rajah 4.27: Segitiga halaju roda Pelton, Douglas et al. (1985). dan W 2 = kw 1 = k (V 1 U) Sebutan k ialah faktor pengurangan halaju relatif di sebabkan; 1. geseran di permukaan timba, dan 2. hentaman jet ke batas pemisah sauk. Oleh itu, V t2 = U +k(v 1 U)cos θ (4.54) V t1 = V 1 (4.55)

130 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 116 menjadikan, H i = U g [V 1 U k (V 1 U)cos θ] = U g (V 1 U) (1 kcos θ) (4.56) Jika k malar, jadi, dh i du = 1 kcos θ (V 1 2U) = 0 g V 1 = 2U U = 1 2 V 1 (4.57) Gantikan nilai U di atas ke dalam persamaan(4.56), ungkapan untuk pemindahan tenaga yang maksima diperolehi sebagai; H i(max) = V 1 ( V1 1 2g 2 V ) 1 (1 kcos θ) = V2 1 (1 kcos θ) 4g Nisbah U/V 1 dikenali sebagai nisbah laju dan analisis ini menunjukkan bahawa pemindahan tenaga yang maksima berlaku apabila nisbah laju bernilai 0.5; tetapi dalam praktik kecekapan maksima jarang diperolehi pada titik ini, biasanya pada nisbah laju Ukuran Prestasi 1. Kecekapan Hidraulik Di dalam beberapa rujukan, kecekapan ini juga dikenali sebagai kecekapan roda dan ditakrifkan sebagai nisbah; Iaitu, Kerja terlaku ke atas roda seunit berat bendalir Turus yang ada di dalam bendalir η h = H i H = U (V 1 U) (1 kcos θ) gh (4.58)

131 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 117 Daripada persamaan (4.51), jadi, H = V2 1 2gc 2 v η h = U (V 1 U) (1 kcos θ) g V 2 1 2gc 2 v = 2c2 v U (V 1 U) (1 kcos θ) V 2 1 (4.59a) (4.59b) Pada titik pemindahan tenaga yang maksima, jadi, U = 1 2 V 1 η h(max) = 2c2 v 1 2 V ( 1 V1 1 2 V ) 1 (1 kcos θ) V1 2 = c 2 1 kcos θ v 2 (4.60) 2. Kecekapan Mekanikal Kecekapan hidraulik roda merupakan ukuran keberkesanan roda menukarkan tenaga kinetik jet kepada tenaga mekanikal putaran. Tidak semua tenaga putaran ini diperolehi pada aci keluaran roda kerana sebahagian daripadanya digunakan bagi mengatasi geseran galas dan windage (iaitu geseran antara roda dan atmosfera). Nisbah, untuk seunit berat bendalir, Kerja terhantar ke aci Kerja terlaku ke atas roda dikenalisebagaikecekapan mekanikal, η m. dengan, η m = P s P o = P s P s +P o (4.61) P m kehilangan kuasadisebabkanwindage dan geseran P o kuasaputaranrodahasil darihentamantenagakinetikjet = ρgh i Q P s kuasayangterhantarkeaci roda 3. Kecekapan Isipadu Selalunya di dalam roda Pelton dianggap tidak ada bocoran kerana semua air yang keluar daripada muncung bertindak ke atas roda. Jadi kecekapan isipadu boleh dianggap 100%.

132 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR Kecekapan Keseluruhan Ditakrifkan sebagai nisbah Kerja terhantar ke aci seunit berat bendalir Turus yang ada di dalam bendalir memberikan persamaan untuk kecekapan keseluruhan sebagai, η = η m η h η v Dalam sebutan-sebutan kuasa dan turus, η = P s P o H i H 1 : anggap η v = 1 = P o P m P o H i H yang disusun menjadi ( η = 1 P m ρgqh 1 H ) i H = H i H P m ρghq (4.62a) (4.62b) Ini menunjukkan bahawa kecekapan keseluruhan roda Pelton adalah lebih kecil daripadakecekapanhidrauliknya, η < η h Turbin Francis Kebanyakan turbin Francis mempunyai aci tegak dan yang lain, terutama yang bersaiz kecil, mempunyai aci mendatar. Bendalir memasuki bekas, selalunya berbentuk volut dan kemudian melalui laluan- laluan bilah pandu, jenis pegun atau boleh laras, di sekeliling pelari yang berfungsi sebagai alat untuk mengarah bendalir supaya masuk ke pelari pada sudut yang optimum, Rajah Bendalir yang keluar daripada laluan-laluan bilah pandu tadi memasuki pelari dalam arah jejari. Semasa melalui pelari, bendalir dipesongkan oleh bilah-bilah pelari supaya momentum sudutnya bertukar dan di sini proses pemindahan tenaga, daripada bendalir ke pelari dan seterusnya ke aci turbin, berlaku. Di bahagian keluar bilah-bilah pelari, bendalir dipesongkan ke arah paksi pelari dan mengalir melalui tiub draf ke larian ekor Teori Seperti juga pam, persamaan-persamaan keterusan, momentum dan tenaga digunakan. Di samping itu beberapa anggapan perlu dibuat: 1. aliran mantap,

133 BAB 4. PENGENALAN KEPADA MESIN BENDALIR 119 (a) Turbin Francis aci tegak (b) Turbin Francis aci mendatar Rajah 4.28: Susunan turbin Francis aci tegak dan mendatar. 2. keadaan-keadaan pada masukan dan keluaran adalah seragam 3. halaju-halaju pada masukan dan keluaran adalah seragam dalam magnitud dan sudut yang dibuat dengan arah rujukan, dan 0 1 Aci Bilah pandu 2 Bekas pilin Pemutar Tiub draf 3 Larian ekor Rajah 4.29: Laluan bendalir menerusi turbin Francis. 4. gerakan bilah-bilah pelari hanya dalam arah lilitan, jadi hanya komponenkomponen daya dalam arah ini sahaja yang dianggap melakukan kerja. Daripada takrif asas, Dayakilas sekitar sesuatu paksi = Kadar pertambahan momentum sudut sekitar paksi tersebut