Liviu BERETEU FUNDAMENTE DE INGINERIE MECANICA

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Liviu BERETEU FUNDAMENTE DE INGINERIE MECANICA"

Transcript

1 Liviu BERETEU FUNDAMENTE DE INGINERIE MECANICA 200

2 .Momentul unei forţe în raport cu un punct şi în raport cu o axă. Cuplu de forţe Momentul unei forţe F în raport cu un punct O se defineşte ca fiind produsul vectorial dintre vectorul de poziţie r = OA al punctului de aplicaţie al forţei si forţă: M0 = r F Elementele caracteristice ale acestei mărimi vectoriale sunt: punctul de aplicaţie este chiar punctul de referinţă O; direcţia este perpendiculară pe planul determinat de cei doi vectori; sensul este determinat de regula burghiului drept, iar mărimea este: M0 = rfsin( F,r) = rfsinα = Fd, unde d=rsinα se numeşte braţul forţei ( α= ( F, r )).Unitatea de masură in SI pentru momentul forţei este Nm. Dacă se exprimă analitic cei doi vectori, raportaţi la sistemul Oxyz: Fig. i j k r = x i + yj + zk, F = F i + F j + F k, atunci M = r F = x y z = (yf zf )i + (zf zf ) j + (xf yf ) x y y 0 z y x z y x F F F x y z Fig. 2 Momentul unei forţe în raport cu o axă (Δ) se defineşte ca fiind proiecţia pe axă a momentului forţei calculat în raport cu acea axă. Dacă dreapta Δ face unghiurile α, β şi γ 2

3 faţă de axele sistemului Oxyz atunci versorul acestei axe este: e = cosα i + cos β j + cosγk, iar M = M O e = MOxcosα + Δ MOycos β + MOzcosγ. Cuplul de forţe este format din două forţe egale ca mărime, de aceeaşi direcţie şi sensuri contrare, având suporturile paralele. Rezultanta acestui sistem de forţe este nulă, iar momentul cuplului este: MO = OA F+ OB ( F) = ( OA OB) F= BA F= AB ( F) Se constată că vectorul moment al cuplului este un vector liber, nu depinde de punctul în raport cu care se calculează. El este perpendicular pe cuplul de forţe, are semnul după regula burghiului drept şi valoarea MO = F ABsinα = F d; distanţa d se numeşte braţul cuplului. 2.Reducerea unui sistem de forţe Se consideră că asupra unui corp rigid acţionează o forţă, într-un punct A. Se pune problema determinării efectului acesteia într-un alt punct O ( fig.) Fig. Fig.2 În punctul O se introduce un sistem echivalent cu zero, F şi F. S-a obţinut un cuplu de forţe format din forţa F cu punctul de aplicaţie în A şi forţa F cu punctul de aplicaţie în O. Acest cuplu este echivalent cu un moment MO = OA F, deoarece rezultanta unui cuplu este nulă. Astfel, în punctul O s-a obţinut o forţă F identică cu forţa iniţială şi un cuplu a cărui moment este egal cu momentul forţei iniţiale calculat în raport cu punctul O. Aceste două elemente ( F, M O ) formează torsorul de reducere al forţei F în raport cu punctul O. Dacă asupra rigidului acţionează un sistem de n forţe, reducând fiecare forţă în punctul O, se va obţine în acest punct un sistem de forţe concurente şi un sistem de vectori concurenţi ai momentelor forţelor în raport cu punctul O. Prin urmare, se va n obţine o rezultantă R = F+ F2 + F Fn = Fi şi un moment rezultant: i= n n M O = M + M M n = M i = OA i F. i i= i= 3

4 Cele două elemente R şi M O constituie torsorul de reducere al sistemului de forţe dat, în raport cu punctul O. Dacă se exprimă analitic mărimile vectoriale Fi = Fx i + F i y j+ F i z k, OA i i = xii + yij + zik, se obţine expresia analitică a rezultantei: n n n R = Fx i F i + y j F i + z k R i = xi + Ryj+ Rzk, cu cele trei proiecţii pe axe i= i= i= n n n Rx = Fx, R i y = Fy şi R i z = Fz. Expresia analitică a momentului rezultant este : i i= i= i= i j k n n n n MO = OAi Fi = xi yi zi = ( yf i z z ) ( ) ( ) i ify i + i zifx x i ifz j+ x i ify yf i i x k = M i Oxi + MOyj+ M i= i= i= i= F F F xi yi zi iar proiecţiile momentului rezultant pe axele sistemului Oxyz sunt: n n n ( ), M ( ) i i Oy = zf i x x i if şi z M ( ) i Oz = xify yf i i xi M = yf z F Ox i z i y i= i= i= 3.Echilibrul corpului rigid liber şi supus la legături Un corp rigid este liber dacă poate ocupa orice poziţie în spaţiu sub acţiunea forţelor exterioare. Considerând că asupra unui astfel de corp acţionează sistemul de forţe exterioare F i, i=,n, pentru echilibrul său trebuie ca efectul acestui sistem de forţe să fie nul, adică elementele torsorului de reducere într-un punct să fie nule. n R= F+ F Fn = Fi = 0 i= n O 2 n i i i= M = M + M M = OA F = 0 Ceea ce corespunde următoarelor ecuaţii scalare: n n n R x = Fx = 0, R i y = Fy = 0, R i z = Fz = 0 i i= i= i= n n n MOx = ( yf i z z ) ( ) ( ) i ify = 0,M i Oy = zifx x i ifz = 0,M i Oz = xify yf i i x = 0, i i= i= i= Aceste şase ecuaţii conduc la determinarea celor şase parametri care determină poziţia de echilibru a corpului. 4

5 În cazul corpului supus la legături, unele mişcări sunt împiedicate. Axioma legăturilor spune că în fiecare punct al corpului în care există o legătură aceasta poate fi înlocuită cu o forţă sau / şi moment care să aibă acelaşi efect ca şi legătura. Prin urmare, asupra corpului vor acţiona două sisteme de forţe : unul al forţelor exterioare Fi ( i =,2...n ) cunoscute, respectiv al forţelor de legătură (reacţiuni) Fjl ( j=,2...p) necunoscute. Dacă se reduc cele două sisteme de forţe într-un punct se obţine un torsor format din rezultanta forţelor exterioare şi de legătură, respectiv momentul rezultant al forţelor exterioare şi de legătură. Pentru echilibru este necesar ca aceste elemente să fie nule n p Rext + Rl = Fi + Fj = 0 i= j= n Oext Ol i i j jl i= j= p M + M = ( OA F) + ( OB F ) = 0, unde B j sunt punctele de aplicaţie ale forţelor de legătură, A i sunt punctele de aplicaţie ale forţelor date (exterioare). Aceste două ecuaţii vectoriale se proiectează pe axele unui sistem de referinţă Oxyz obţinându-se şase ecuaţii scalare. Din aceste ecuaţii scalare se pot determina forţele de legătură şi, dacă e cazul, şi poziţia de echilibru. Dacă numărul necunoscutelor este mai mare decât 6, problema e static nedeterminată. Dacă toate forţele exterioare sunt în plan numărul ecuaţiilor scalare ce se obţin sunt 3. Deci problema e static determinată dacă are 3 necunoscute. Cele mai importante legături sunt: rezemarea, care introduce o necunoscută (reacţiunea normală), articulaţia introduce 3 necunoscute;iar încastrarea introduce 6 necunoscute. Legătura cu fir introduce o singură necunoscută, valoarea efortului din fir, direcţia fiind în lungul firului. În cazul forţelor plane articulaţia introduce 2 necunoscute, iar încastrarea 3 necunoscute. 4.Studiul mişcării unui punct material în coordonate carteziene Într-un sistem de coordonate carteziene Oxyz (Fig. ), legea de mişcare a unui r t = x t i + y t j+ z t k punct se exprimă sub forma () ( ) ( ) ( ) 5

6 Fig. Mişcarea punctului material se cunoaşte, dacă se cunoaşte poziţia acestuia în fiecare moment, adică coordonatele acestuia, ca funcţii de timp x = x( t), y= y() t, z= z() t. Aceste funcţii reprezintă ecuaţiile parametrice ale curbei pe care se mişcă punctul. Prin f x,y,z = 0 eliminarea timpului în aceste ecuaţii se obţin ecuaţiile implicite ale curbei ( ) şi f2 ( x,y,z) = 0, adică două suprafeţe care intersectate dau curba amintită. Traiectoria reprezintă locul geometric descris de punctul material în mişcarea sa şi poate să coincidă cu întreaga curbă sau să fie numai o parte din curba obţinută prin ecuaţiile de mai sus. Viteza medie, a punctului material se defineşte ca fiind v m = Δr Δt. Pentru obţinerea r( t+δt) r( t) vitezei momentane se face Δt 0, deci v= lim = r () t. Se constată că Δ t 0 Δt viteza devine tangentă la traiectorie. Exprimarea în coordonate carteziene a vitezei este v= r = x t i + y t j+ z t k, de unde se obţin proiecţiile vitezei pe axele de referinţă () () () () ( ) ( ) vx = x t vy = y t vz = z t, iar modulul este v= vx + vy + vz = x + y + z. Acceleraţia medie se defineşte ca fiind a m = Δv Δt. Acceleraţia momentană se obţine v( t+δt) v( t) pentru Δt 0, a = lim = v = r = xi + yj+ zk având proiecţiile Δ t 0 Δt a = x t a = y t a = z t şi modulul a = a + a + a = x + y + z () () () x y z x y z 5.Mişcarea de rotaţie cu axă fixă a unui corp rigid. Legea de mişcare. Distribuţia de viteze şi acceleraţii. Un corp rigid are mişcare de rotaţie cu axă fixă dacă două puncte ale sale rămân fixe în tot timpul mişcării. Dacă se consideră un al treilea punct P din corp acesta este determinat prin trei coordonate. Între coordonatele celor două puncte fixe şi coordonatele punctului P se pot scrie două relaţii de legătură date de distanţele dintre ele. Poziţia lui fiind determinată printro singură funcţie de timp. Prin urmare în mişcarea de rotaţie, corpul are un grad de libertate. Acesta se alege ca fiind unghiul dintre axele O x si Ox, egal cu unghiul dintre axele O y si Oy (Fig. ). Deci legea de mişcare a unui corp cu axă θ = θ t. fixă se exprimă prin relaţia ( ) 6

7 Vectorul viteză unghiulară este dirijat în lungul axei de rotaţie şi este ω = θk = θk, adică are valoarea la un moment dat egală cu derivata în raport cu timpul a legii de mişcare. Punctul O fiind un punct fix vo = 0. Prin urmare se poate dezvolta i j k produsul vectorial v= 0 0 ω = ωyi + ωxj, x y z ceea ce înseamnă că proiecţiile vitezei unui punct din corp pe axele sistemului legat de corp sunt: vx = ωy, vy = ωx, vz = 0. Se poate concluziona că viteza oricărui punct din rigid este situată întrun plan perpendicular pe axa de rotaţie ( vz = 0). Singurele puncte de viteză nule sunt pe axa de rotaţie. Valoarea absolută este Fig. v= vx + vy + vz = ω x + y = ω R unde R este distanţa de la punctul considerat la axa de rotaţie. Reprezintă raza cercului descris de punctul P în mişcarea de rotaţie. Pentru distribuţia de acceleraţii se are în vedere formula acceleraţiei unui punct în mişcarea generală a unui corp a = a 0 + ε r+ ω ( ω r), unde ε = ω este acceleraţia unghiulară, iar ao = 0, O fiind un punct fix. Din această formulă se obţin proiecţiile acceleraţiei punctului considerat pe axele de 2 2 coordonate ale sistemului Oxyz. ax = ω x ε y, ay = ε x ω y, az = 0, iar valoarea este a = ax + ay + az = x + y ε + ω = R ε + ω Se poate constata ca singurele puncte care au acceleraţia nulă sunt pe axa de rotaţie, iar acceleraţiile tuturor punctelor sunt situate în plane perpendiculare pe pe xa de rotaţie. 6.Mişcarea vibratorie. Definiţii şi noţiuni fundamentale Mişcarea alternativă a unui sistem material faţă de o stare de referinţă se numeşte vibraţie sau oscilaţie. Mişcările vibratorii sunt periodice dacă toate elementele cinematice (poziţia, viteza şi acceleraţia) se repetă identic după un interval de timp T, numit perioadă. Cea mai simplă mişcare periodică este mişcarea a cărei ecuaţie (lege de mişcare) se exprimă prin funcţiile trigonometrice sinus sau cosinus şi se numeşte mişcare armonică x = A0 sin( ωt + ϕ) sau x = A0 cos( ωt + ψ ). Mărimile caracteristice ale unei vibraţii armonice sunt: elongaţia x, distanţa la un moment dat faţă de reper; cea mai mare elongaţie xmax = A se numeşte amplitudine; perioada T, intervalul de timp după care mişcarea se repetă identic şi se determină ţinând seama că funcţia sinus are perioada unghiulară de 2π, deci sin( ωt + ϕ) = sin( ω(t + T) + ϕ) 7

8 sau ωt+ ωt+ ϕ = ωt+ ϕ+ 2π de unde T= 2π ω. Perioada se măsoară în secunde. Frecvenţa reprezintă numărul de vibraţii (oscilaţii) complete efectuate în unitatea de timp (secundă) f = T = ω 2π unitatea de măsură pentru frecvenţă este Hz = s = s. Pulsaţia ω reprezintă numărul de oscilaţii complete efectuate în 2π secunde. Legătura dintre frecvenţă şi pulsaţie este: ω = 2π f. Pulsaţia se măsoară în rad s. Argumentul funcţiei sinus sau cosinus se numeşte fază ( ωt + ϕ), iar ϕ este faza iniţială. Viteza unei mişcări vibratorii se obţine prin derivarea în raport cu timpul a i elongaţiei: v = x = Aωcos( ωt + ϕ) = Aωsin( ωt + ϕ+ π 2). Se constată că amplitudinea vitezei este vmax = Aω şi că viteza este defazată cu π 2 faţă de mişcarea oscilatorie. Acceleraţia unei mişcări vibratorii se obţine prin derivarea în raport cu timpul a i 2 2 vitezei a = v= Aω sin( ωt + ϕ) = Aω sin( ωt + ϕ+ π) Se constată ca acceleraţia este defazată cu π înainte faţă de mişcare şi cu π 2 înainte faţă de viteză Amplitudinea acceleraţiei este amax = ω A= 4π f A. Din această expresie se poate observa ca în mişcările vibratorii pot apărea acceleraţii foarte mari, chiar dacă amplitudinea este mică, dacă frecvenţa este mare. In Figura se prezintă diagrama (graficul variaţiei în timp a legii de mişcare) pentru o mişcare vibratorie armonică, iar în Figura 2 este reprezentat cel mai simplu model mecanic care execută o mişcare armonică. Acesta este format dintr-un arc de constantă elastică k şi un corp de masă m. 7.Momente de inerţie mecanice. Definitii şi relaţii intre ele. Variaţia momentelor de inerţie în raport cu axe paralele (Formulele lui Steiner). Momentele de inerţie arată modul în care este distribuită masa unui corp faţă de diferite elemente geometrice de referinţă: punct, axă, plan. 8

9 Fig. Error! No text of specified style in document.. Fig.2 Faţă de sistemul Oxyz se pot defini următoarele momente de inerţie: momente de N N inerţie polare: J 2 ( O = mr i i = mi xi + yi + zi ), momente de inerţie axiale: i= i= N N N N ( ), J = md 2 = m ( x 2 + z 2 ), y i iy i i i J = md = m y + z x i ix i i i i= i= i= i= N N Jz = md i iz = mi xi + yi i= i= N N 2 2 JxOy = md i ixoy = mz i i i= i= N N 2 2 xoz = i ixoz = i i i= i= momente de inerţie planare: J md m y ( ), N N 2 2 yoz = i iyoz = i i i= i=, J md m x Acestea se numesc momente de inerţie obişnuite, ele sunt expresii pătratice definite în funcţie de coordonatele punctelor.faţă de momentele de inerţie obişnuite se mai definesc momente de inerţie centrifugale: J N = m x y, J xy i i i i= N = m yz, J yz i i i i= N = mz x Unitatea zx i i i i= de măsură pentru toate momentele de inertie este kg.m 2. Se pot stabili uşor următoarele relaţii între momentele de inerţie Jx + Jy + Jz = 2JO, Jx + Jyoz = JO, Jy + Jxoz = JO, Jz + Jxoy = JO, JxOy + JyOz + JzOx = JO, JxOy + JxOz = Jx, JyOz + JxOy = Jy, JxOy + JyOz = Jz Aceste relaţii nu sunt independente, dar sunt utile pentru că determinând trei dintre ele pe baza acestor relaţii se determină celelalte patru. Se consideră sistemul material raportat la un sistem de referinţă Oxyz şi la un sistem de referinţă Cx,C y z fiind centrul de masă al sistemului material, iar axele celor doua sisteme sunt paralele. Între momentele de inerţie, în raport cu cele două sisteme se pot J = J + M y 2 + z 2 = J + Md 2 stabili următoarele relaţii: Pentru momentele axiale ( ) J = J + M( z + x ) = J ' + Md ' J = J ( 2 2 ) 2 + M x + y = J ' + Md ' y y C C y yy z z c c z zz Pentru momente de inerţie planare: 2 2 J = J ' ' + Mz, J = J ' ' + Mx, J = J ' ' + My xoy xcy c yoz ycz c x x C C x xx xoz xcz 2 c 9

10 Pentru momente de inerţie centrifugale: J = J ' ' + Mx y, J = J ' ' + My z xy xy C C, Jxz = J ' ' + Mx xz CzC Pentru momentul de inerţie polar: J ( O = JC + M xc + yc + zc) yz yz C C 8. Impulsul unui punct material şi al unui corp rigid. Teorema impulsului Se defineşte impulsul unui punct material ca fiind o mărime vectorială egala cu produsul dintre masa punctului material şi vectorul viteză: h = mv. Unitatea de masură pentru impuls în SI Riemann, iar impulsul total se calculează prin integrala pe domeniul D H= vdm, v este viteza unui punct curent, iar dm este elementul de masa. Dacă se derivează impulsul unui punct, în raport cu timpul, ţinând cont de legea lui Newton m a = F, unde m este masa lui, a este acceleratia, iar Feste forţa rezultantă care acţionează asupra lui, se obţine: h=mv=ma=f, adică, derivata în raport cu timpul a impulsului unui punct material este egală cu forţa rezultantă care acţioneaza asupra lui : h = F. Aceasta reprezintă teorema impulsului. În cazul în care forţa rezultanta este nulă se obţine h=0 Fig., adică impulsul punctului material se conservă ( h = const. ). În mod asemănător, pentru un corp, se demonstrează că H=Rext + Rl, unde R ext este rezultanta forţelor exterioare, iar R l rezultanta forţelor de legătură ce acţionează asupra corpului. Momentul cinetic al unui punct material şi al unui corp rigid în raport cu un punct.teorema momentului cinetic. Momentul cinetic al unui punct materal in raport cu un punct O se defineşte ca o marime vectorială egală cu produsul vectorial dintre vectorul de pozitie al punctului material în raport cu punctul O, şi impulsul punctului material : k O = r h = r mv. Unitatea de măsură a m n n puncte materiale se obţine K = r h = r m v. În cazul unui corp rigid suma se O i i i i i i= i= transformă intr-o integrala de domeniu, astfel ca momentul cinetic se calculează prin integrala K O = r vdm. Se obţin formule distincte pentru diferite mişcări ale corpului D rigid. În cazul mişcării de rotaţie cu axă fixă se obţine K O = Jxzωi Jyzωj+ Jzωk, unde J xz, J yz sunt momente de inerţie centrifugale, J z estre momentul de inerţie în raport cu axa D 0

11 de rotaţie (oz), iar. Dacă axa de rotaţie este o axă principală de inerţie ( o axă de simetrie) K O = Jzωk, iar ω este viteza ungiulară. Dacă se derivează în raport cu timpul momentul cinetic în raport cu punctul O, rezultă, utilizand legea lui Newton: k O = r mv+ r mv = r F, unde v mv = 0, adică derivata in raport cu timpul a momentului cinetic in raport cu un punctl O este egala cu momentul in raport cu punctul O, al fortei care actioneaza asupra punctului material: k O = r F= MO In cazul în care momentul rezultant al forţelor care acţionează asupra unui punct material este nul, momentul cinetic se se conservă: ko = const. În mod asemănător, pentru un corp, se demonstrează că K O,C = MO,C ( Rext ) + MO,C ( Rl ), unde O,C ( ext ) ( ) M R este momentul forţelor exterioare, iar MO,C Rl momentul forţelor de legătură ce acţionează asupra corpului calculate in raport cu un punct fix O sau centrul de masa C. 9.Lucrul mecanic şi puterea unei forţe constante şi ale unei forţe variabile. Lucrul mecanic şi puterea unui sistem de forţe. Lucrul mecanic efectuat de o forta F, de mărime constantă, la deplasarea unui punct material dinntr-un punct A în punctul B, de-a lungul unei direcţii care face cu forţa unghiul α, este o mărime scalară egală cu: L = F Δ r = F AB cosα, adică produsul scalar dintre forta F şi vectorul deplasare Δ r. Unitatea de masură pentru lucrul mecanic în SI este Joule, (notata J ). Un Joule J = Nm. Dacă unghiul α [ 0, π 2) L>0, se spune că forţa este motoare, dacă unghiul α = π 2, L=0; adică forţele perpendiculare pe deplasare nu dau lucru mecanic, dacă α ( π 2, π], L<0, se spune că forţa este rezistentă. Puterea produsă de o forţă constantă F reprezintă lucrul mecanic produs de forţă în unitatea de timp: P = L t. Puterea este un scalar cu semn, putând fi pozitivă, negativă, sau nulă. Unitatea de măsură în SI pentru putere este Watt-ul, notat W.=Nm/s. Pentru o forţă variabilă, într-o deplasare elementară dr, lucru mecanic elementar, notat dl, este dl = Fdr. Rezultă că lucrul mecanic efectuat de forta variabila F la deplasarea corpului din A in B este: L = AB dl= Fdr AB. AB Dacă se exprimă forţa şi deplasarea elementară prin proiecţiile pe axe: F= Fxi + Fyj+ Fk z şi dr = dxi + dyj + dzk, lucrul mecanic elementar este dl = Fxdx + Fydy + Fzdz. Se întâlnesc cazuri în care proiecţiile pe axe ale forţei F sunt derivatele parţiale ale unei funcţii de poziţie U(x,y,z) astfel: Fx = U x, Fy = U x,fz = U z. Pentru aceste

12 forţe lucrul mecanic elementar este: dl = U x dx + U y dy + U z dz = du, adică este diferenţiala totala a funcţiei U. Funcţia U(x, y,z) se numeşte funcţie de forţă, iar lucrul mecanic al acestor forţe, cu semn schimbat, se numeşte energie potenţială. Ep = L= U( x,y,z) + C, unde C este o constantă. Forţele care dau energie potenţială se numesc forţe conservative. Lucrul mecanic al unui sistem de forţe care acţionează asupra unui corp rigid se obţine prin însumarea lucrurilor mecanice ale tuturor forţelor n n dl = dl = Fdr = Rdr + M dθ unde R şi M sunt elementele torsorului de i i i O O i= i= reducere a sistemului de forţe în punctul O, O dr O deplasarea elementară a punctului O, dθ deplasarea elementară unghiulară a corpului. Puterea acestui sistem de forţe este P = dl dt = R dr dt + MO dθ dt = Rv + MOω. Dacă corpul se află, ca urmare a acţiunii forţelor, în mişcarea de translaţie, ω =0, iar puterea este P= Rv. În cazul în care mişcarea este de rotaţie P= M Oω, v fiind viteza corpului la un moment dat, respectiv ω este viteza unghiulară. Dacă M O şi ω au acelaşi sens puterea este pozitivă, respectiv negativă în sens contrar. Pentru mişcarea de rotaţie formula puterii mai poate fi scrisă şi în următoarele forme : P= MOω = MO2π T = 2πfMO.De cele mai multe ori se foloseşte în locul frecvenţei de rotaţie, turaţia, care se dă în rotatii pe minut. Se poate scrie relaţia dintre frecvenţa de rotaţie şi turaţie f = n 60, şi în acest caz se obţine, pentru puterea unui motor, formula P= ( π n 30) MO, unde M O este momentul cuplului motor. 0.Energia cinetică a unui punct material şi a unui corp in mişcările de translaţie, rotaţie şi plană. Teorema energiei cinetice. Prin definiţie, energia cinetică a unui punct material de masa m şi viteză v este 2 mv E c =. 2 În cazul unui sistem de puncte materiale energia cinetică se exprimă prin n 2 mv i i însumarea energiilor cinetice ale tuturor punctelor E c =. i= 2 Pentru calculul energiei cinetice a unui corp trebuie avut în vedere tipul de mişcare a acestuia. Pentru mişcarea de translaţie, vitezele tuturor punvtelor sunt egale la un moment dat, deci n 2 2 v Mv E c = m i =. unde M este masa i= 2 2 intregului corp În cazul mişcării de rotaţie în jurul unei axe, viteza unui punct este vi = ω ri = ωdi. Înlocuind în formula de calcul a energiei cinetice pentru un corp, se obţine 2

13 ( ) 2 N 2 2 ωd ω ω N mi i 2 Ec = = md i i J i 2 = Δ = i= 2 2, unde J Δ este momentul de inerţie mecanic în raport cu axa de rotaţie. Dacă corpul are o mişcare de rotaţie cu punct fix (O), iar axele sistemului Oxyz, legat de corp, sunt axe principale de inerţie, energia cinetică se calculează cu formula Ec = ( Jxωx + Jyωy + Jzωz ). Pentru mişcarea plan paralelă, axa 2 instantanee de rotaţie este axa Δ. considerând o axă paralelă cu Δ prin centrul de masă C, 2 se poate scrie formula lui Steiner : JΔ = Jz + M IC, unde IC este distanţa de la axa instantanee de rotaţie la centru de masă. Înlocuind în formula de calcul a energiei cinetice 2 2 MvC Jzω de rotaţie, rezultă E = +, unde s-a ţinut cont că vc = ω IC = ω IC. 2 2 c Teorema energiei cinetice. Dacă se scrie legea fundamentală a dinamicii pentru un punct material supus la legături, după înmulţirea scalară cu vectorul dr, aceasta se scrie sub forma : dv m dr = Fextdr + Fdr 2 mv, adică l mvdv = dl + dl sau d dt ext l = dec = dlext + dll, 2 adică, variaţia energiei cinetice într-o deplasare elementară este egalaă cu lucrul mecanic elementar al forţelor direct aplicate şi de legătură ce acţionează asupra punctului. Pentru o deplasare finită, din poziţia iniţială A în poziţie B, integrând relaţia precedentă, se obţine teorema energiei cinetice sub formă integrală E CA E = CB ( Lext ) + ( Ll ), adică variaţia energiei cinetice intr-o deplasare finită a A B A B punctului material este egală cu lucrul mecanic al forţelor direct aplicate (exterioare) şi de legătură. În cazul unui corp rigid se aplică legea fundamentală adinamicii pentru un punct i al corpului, înmulţită cu deplasarea elementară faţă de sistemul fix : dr i N dvi mi dri = Fextdri + Fdr l i + Fdr ij i, Scriind această lege pentru toate punctele dt j = materiuale ale corpului rigid şi ţinând cont de faptul că lucrul mecanic al forţelor interioare (perechi) este nul, se obţine forma diferenţială a teoremei energiei cinetice: dec = dlext + dll, adică, diferenţiala energiei cinetice a unui sistem material rigid(corp) este egală cu lucrul mecanic elementar al tuturor forţelor exterioare (date) şi de legătură ce acţionează asupra lui. Sub formă integrală această teoremă este: E E = L + L. Această formă este frecvent utilizată în aplicaţii. ( ) ( ) CA CB ext A B l A B 3

14 Aplicatii. Momentul unei forţe în raport cu un punct 2. Elementele cinematice ale mişcării. Legea de mişcare. Traiectoria. Viteza. Accelaraţia. 3. Se da sistemul de forţe care acţionează asupra barei cotite din figură. Forţele au modulele: F = F, F 2 =3F 2, F 3 = F, F 4 = F 9. Se cer: a. Torsorul de reducere in O b. Ecuaţia axei centrale 4. Punctul material de masă m este lansat din A cu viteza v 0 pe planul înclinat cu unghiul α, coeficientul de frecare fiind µ, din punctul B cade liber ajungând în C. Se cunoaşte lungimea planului AB=a. Să se determine: a) legea de mişcare pe planul înclinat a punctului material; b) viteza în punctul B; c) viteza în punctul C. 4

15 . Momentul unei forţe în raport cu o axă. Cuplu 2. Viteza si acceleraţia areolară. 3. Se da sistemul de forţe care acţionează asupra barei cotite din figură. Forţele au modulele: F = F, F 2 = F 0, F 3 = F, F 4 = F 9. Se cer: a. Torsorul de reducere in O b. Ecuaţia axei centrale 4. Punctul material de masă m este lansat din O cu viteza v 0 pe planul înclinat cu unghiul α, coeficientul de frecare fiind µ, din punctul A cade liber ajungând în C. Se cunoaşte lungimea planului OA=l. Să se determine: a) legea de mişcare pe planul înclinat a punctului material; b) viteza în punctul A; c) viteza în punctul C. 5

16 . Reducerea unui sistem de forţe. 2. Studiul mişcării unui punct în coordonate carteziene. 3. Se da sistemul de forţe care acţionează asupra barei cotite din figură. Forţele au modulele:f = F, F 2 = F 9, F 3 = F, F 4 = F 0. Se cer: a. Torsorul de reducere in O b. Ecuaţia axei centrale 4. Punctul material de masă m este lansat din A cu viteza v 0 pe un plan orizontal, coeficientul de frecare fiind µ, din punctul B punctul material urcă pe un plan înclinat cu unghiul α, coeficientul de frecare fiind µ 2. Se cunoaşte AB=l, BC=l 2. Să se determine: a) viteza în punctul B; b) legea de mişcare pe planul înclinat a punctului material; c) viteza în punctul C. 6

17 . Axa centrală. 2. Studiul mişcării unui punct în coordonate polare. 3. Se da sistemul de forţe care acţionează asupra barei cotite din figură. Forţele au modulele: F = 3F 2, F 2 = F, F 3 = F 0, F 4 = F 9. Se cer: a. Torsorul de reducere in O b. Ecuaţia axei centrale 4. Un punct material de masă m este aruncat cu viteza iniţială v 0 înclinată cu unghiul α faţă de orizontală. Să se determine: a) legea de mişcare; b) distanţa CB; c) viteza în punctul B. 7

18 . Cazuri de reducere. 2. Studiul mişcării unui punct în coordonate intrinseci. 3. Se da sistemul de forţe care acţionează asupra barei cotite din figură. Forţele au modulele: F = F 0, F 2 = F, F 3 = F 0, F 4 = F 9. Se cer: a. Torsorul de reducere in O b. Ecuaţia axei centrale 8

19 4. Un punct material de masă m este aruncat de la înălţimea h cu viteza orizontală v 0. Să se determine: a) legea de mişcare; b) distanţa OB; c) viteza în punctul B.. Reducerea unui sistem de forţe plane. 2. Mişcarea generală a unui corp. Legile de mişcare. 9

20 3. Se da sistemul de forţe care acţionează asupra barei cotite din figură. Forţele au modulele: F = F 0, F 2 = F 0, F 3 = F 9, F 4 = F. Se cer: a. Torsorul de reducere in O b. Ecuaţia axei centrale 4. Un punct material de masă m este aruncat cu viteza v 0 sub un unghi α faţă de orizontală. Să se determine: a) legea de mişcare; b) distanţa AB; c) viteza în punctul B. 20

21 . Reducerea unui sistem de forţe paralele. 2. Distribuţia de viteze în mişcarea generala. Proprietaţi. 3. Se da sistemul de forţe care acţionează asupra barei cotite din figură. Forţele au modulele: F = F 0, F 2 = F 0, F 3 = F 9, F 4 = F 0. Se cer: a. Torsorul de reducere in O b. Ecuaţia axei centrale 4. Punctul material de masă m este lansat din A cu viteza v 0 pe un plan înclinat cu unghiul α, coeficientul de frecare fiind µ, din punctul B punctul material continuă mişcarea pe un plan orizontal, coeficientul de frecare fiind µ 2. Se cunoaşte AB=l, BC=l 2. Să se determine: a) legea de mişcare pe planul înclinat a punctului material; b) viteza în punctul B; c) viteza în punctul C. 2

22 . Echilibrul corpului liber. 2. Mişcarea de translaţie. 3. Se da sistemul de forţe care acţionează asupra barei cotite din figură. Forţele au modulele: F = F 0, F 2 = F, F 3 = F 0, F 4 = F 9. Se cer: a. Torsorul de reducere in O b. Ecuaţia axei centrale 4. Se consideră mecanismul bielă manivelă din figură pentru care se cunosc A 0 A=AB 0 =a, BB 0 =b, ω 0 =constantă. Să se determine pentru bielă: poziţia centrului instantaneu de rotaţie, baza, rostogolitoarea, viteza unghiulară instantanee, viteza punctului B, polul acceleraţiilor, acceleraţia punctului B. 22

23 . Echilibrul corpului supus la legături. 2. Mişcarea de rotaţie cu axă fixă. Legile de mişcare. 3. Se da sistemul de forţe care acţionează asupra barei cotite din figură. Forţele au modulele: F = F 0, F 2 = F, F 3 = F 0, F 4 = F 9. Se cer: a. Torsorul de reducere in O b. Ecuaţia axei centrale 4. Se consideră mecanismul bielă manivelă din figură pentru care se cunosc A 0 A=AB 0 =a, BB 0 =b, ω 0 =constantă. Să se determine pentru bielă: poziţia centrului instantaneu de 23

24 rotaţie, baza, rostogolitoarea, viteza unghiulară instantanee, viteza punctului B, polul acceleraţiilor, acceleraţia punctului B.. Rezemarea. 2. Distribuţia de viteze în mişcarea de rotaţie cu axă fixă. Proprietaţi. 3. Se da sistemul de forţe care acţionează asupra barei cotite din figură. Forţele au modulele: F = F 0, F 2 = F 9, F 3 = F 0, F 4 = F 0. Se cer: a. Torsorul de reducere in O b. Ecuaţia axei centrale 24

25 4. Se consideră mecanismul bielă manivelă din figură pentru care se cunosc A 0 A=AB 0 =a, BB 0 =b, ω 0 =constantă. Să se determine pentru bielă: poziţia centrului instantaneu de rotaţie, baza, rostogolitoarea, viteza unghiulară instantanee, viteza punctului B, polul acceleraţiilor, acceleraţia punctului B.. Articulaţia 2. Distribuţia de acceleraţii în mişcarea de rotaţie cu axă fixă. Proprietaţi. 25

26 3. Se da sistemul de forţe care acţionează asupra barei cotite din figură. Forţele au modulele: F = F 2, F 2 = F 3, F 3 = F 2, F 4 = F 2. Se cer: a. Torsorul de reducere in O b. Ecuaţia axei centrale 4. Se consideră mecanismul bielă manivelă din figură pentru care se cunosc A 0 A=AB 0 =a, BB 0 =b, ω 0 =constantă. Să se determine pentru bielă: poziţia centrului instantaneu de rotaţie, baza, rostogolitoarea, viteza unghiulară instantanee, viteza punctului B, polul acceleraţiilor, acceleraţia punctului B. 26

27 . Încastrarea.Legătura cu fir. 2. Mişcarea de rototranslaţie. Legile mişcării. 3. Se da sistemul de forţe care acţionează asupra barei cotite din figură. Forţele au modulele: F = F 2, F 2 = F 3, F 3 = F 2, F 4 = F 2. Se cer: a. Torsorul de reducere in O b. Ecuaţia axei centrale 27

28 4. Se consideră mecanismul bielă manivelă din figură pentru care se cunosc A 0 A=AB 0 =a, BB 0 =b, ω 0 =constantă. Să se determine pentru bielă: poziţia centrului instantaneu de rotaţie, baza, rostogolitoarea, viteza unghiulară instantanee, viteza punctului B, polul acceleraţiilor, acceleraţia punctului B.. Centrul de greutate al unui sistem de puncte materiale. 28

29 2. Distribuţia de viteze în mişcarea de rototranslaţie. Proprietaţi. 3. Se da sistemul de forţe care acţionează asupra barei cotite din figură. Forţele au modulele F = F 2, F 2 = F 2, F 3 = F 2, F 4 = F 3. Se cer: a. Torsorul de reducere in O b. Ecuaţia axei centrale 4. Se consideră mecanismul bielă manivelă din figură pentru care se cunosc A 0 A=AB 0 =a, BB 0 =b, ω 0 =constantă. Să se determine pentru bielă: poziţia centrului instantaneu de rotaţie, baza, rostogolitoarea, viteza unghiulară instantanee, viteza punctului B, polul acceleraţiilor, acceleraţia punctului B. 29

30 . Centrul de greutate al unui sistem material continuu. 2. Distribuţia de acceleraţii în mişcarea de rototranslaţie. Proprietaţi. 3. Se da sistemul de forţe care acţionează asupra barei cotite din figură. Forţele au modulele F = F 2, F 2 = F 2, F 3 = F, F 4 = F 6. Se cer: a. Torsorul de reducere in O b. Ecuaţia axei centrale 30

31 4. Se consideră mecanismul bielă manivelă din figură pentru care se cunosc A 0 A=AB 0 =a, BB 0 =b, ω 0 =constantă. Să se determine pentru bielă: poziţia centrului instantaneu de rotaţie, baza, rostogolitoarea, viteza unghiulară instantanee, viteza punctului B, polul acceleraţiilor, acceleraţia punctului B.. Centrul de greutate al unui corp format din mai multe componente (subsisteme). 3

32 2. Mişcarea plan paralelă. Legile de mişcare. 3. Se da sistemul de forţe care acţionează asupra barei cotite din figură. Forţele au modulele F = F 2, F 2 = F 5, F 3 = F 2, F 4 = F 3. Se cer: a. Torsorul de reducere in O b. Ecuaţia axei centrale 4. Se consideră bara AB de lungime l care se mişcă astfel încât capetele sale A şi B se deplasează după două direcţii perpendiculare, capătul B deplasându-se cu viteza constantă v A Să se determine pentru bara AB: poziţia centrului instantaneu de rotaţie, baza, rostogolitoarea, viteza unghiulară instantanee, viteza punctului C, polul acceleraţiilor, acceleraţia punctului C. 32

33 . Frecarea firelor. 2. Distribuţia de viteze în mişcarea plan paralelă. Centrul instantaneu de rotaţie. 3. Să se determine reacţiunile din articulaţiile A, B, C, pentru poziţia de echilibru din figură. 4. Se consideră bara AB de lungime 2l care se mişcă astfel încât capetele sale A 0 şi B 0 se deplasează după două direcţii perpendiculare, capătul A 0 deplasându-se cu viteza constantă v Să se determine pentru bara AB: poziţia centrului instantaneu de rotaţie, baza, rostogolitoarea, viteza unghiulară instantanee, viteza punctului M, polul acceleraţiilor, acceleraţia punctului M. 33

34 . Momentul unei forţe în raport cu un punct. 2. Baza si rostogolitoarea. Proprietaţi ale distribuţiei de viteze. 3. Să se determine reacţiunile din articulaţia B şi reazemele A, C şi D pentru poziţia de echilibru din figură. Se dau: AC=CD=BC=l. 4. Se consideră bara AB de lungime a care se mişcă astfel încât capetele sale A şi B se deplasează după două direcţii perpendiculare, capătul A deplasându-se cu viteza constantă v Să se determine pentru bara AB: poziţia centrului instantaneu de rotaţie, baza, rostogolitoarea, viteza unghiulară instantanee, viteza punctului N, polul acceleraţiilor, acceleraţia punctului N. 34

35 . Momentul unei forţe în raport cu o axă. Cuplu. 2. Distribuţia de acceleraţii în mişcarea plană. Proprietaţi. 3. Un inel C de greutate neglijabilă se poate mişca cu frecare (coficientul de frecare µ) pe un semicerc de rază r. De inel sunt legate două fire trecute peste scripeţii A şi B. De fire sunt legate greutăţile P şi P 2. Sa se determine raportul P /P 2 pentru ca inelul să fie în echilibru. 4. Se consideră bara AB de lungime 2a care se mişcă astfel încât capetele sale A şi B se deplasează după două direcţii perpendiculare, capătul B deplasându-se cu viteza 35

36 constantă v 0 Să se determine pentru bara AB: poziţia centrului instantaneu de rotaţie, baza, rostogolitoarea, viteza unghiulară instantanee, viteza punctului D, polul acceleraţiilor, acceleraţia punctului D.. Reducerea unui sistem de forţe. 2. Mişcarea relativă a unui punct material. 3. Un inel C de greutate neglijabilă se poate mişca cu frecare (coficientul de frecare µ) pe un semicerc de rază R. De inel sunt legate două fire trecute peste scripeţii A şi B. De fire sunt legate greutăţile Q şi Q 2. Sa se determine raportul Q /Q 2 pentru ca inelul să fie în echilibru. 36

37 4. Se consideră placa patrată A 0 B 0 C 0 D 0 de latură l care se mişcă astfel încât capetele sale A 0 şi B 0 se deplasează după două direcţii perpendiculare, capătul A 0 deplasându-se cu viteza constantă v Să se determine pentru placă: poziţia centrului instantaneu de rotaţie, baza, rostogolitoarea, viteza unghiulară instantanee, viteza punctului D 0, polul acceleraţiilor, acceleraţia punctului D 0. 37

38 . Axa centrală. 2. Momente de inerţie. Definiţii si relaţii între momentele de inerţie. 3. Un inel C de greutate neglijabilă se poate mişca cu frecare (coficientul de frecare µ) pe un semicerc de rază R. De inel sunt legate două fire trecute peste scripeţii A şi B. De fire sunt legate greutăţile W şi W 2. Sa se determine raportul W /W 2 pentru ca inelul să fie în echilibru. 4. Se consideră placa triunghiulară A 0 B 0 C 0 de latură a care se mişcă astfel încât capetele sale A 0 şi B 0 se deplasează după două direcţii perpendiculare, capătul B 0 deplasându-se cu viteza constantă v B0 Să se determine pentru placă: poziţia centrului instantaneu de rotaţie, baza, rostogolitoarea, viteza unghiulară instantanee, viteza punctului C 0, polul acceleraţiilor, acceleraţia punctului C 0. 38

39 . Cazuri de reducere. 2. Momente de inerţie pentru un corp continuu. 3. Să se determine reacţiunile din articulaţia B şi reazemele A, C şi D pentru poziţia de echilibru din figură. Se dau: AB=CD=a. 39

40 4. Se consideră placa patrată A 0 B 0 C 0 D 0 de latură 2a care se mişcă astfel încât capetele sale A 0 şi B 0 se deplasează după două direcţii perpendiculare, capătul B 0 deplasându-se cu viteza constantă v Să se determine pentru placă: poziţia centrului instantaneu de rotaţie, baza, rostogolitoarea, viteza unghiulară instantanee, viteza punctului D 0, polul acceleraţiilor, acceleraţia punctului D 0. 40

41 . Reducerea unui sistem de forţe plane. 2. Variaţia momentelor de inerţie în raport cu axe paralele. 3. Se da sistemul de forţe care acţionează asupra barei cotite din figură. Forţele au modulele: F = F, F 2 =3F 2, F 3 = F, F 4 = F 9. Se cer: a. Torsorul de reducere in O b. Ecuaţia axei centrale 4. Punctul material de masă m este lansat din A cu viteza v 0 pe un plan orizontal, coeficientul de frecare fiind µ, din punctul B punctul material urcă pe un plan înclinat cu unghiul α, coeficientul de frecare fiind µ 2. Se cunoaşte AB=l, BC=l 2. Să se determine: a) viteza în punctul B; b) legea de mişcare pe planul înclinat a punctului material; c) viteza în punctul C. 4

42 . Reducerea unui sistem de forţe paralele. 2. Principiile mecanicii. Determinarea legii de mişcare a unui punct material pe baza legii fundamentale. 3. Se da sistemul de forţe care acţionează asupra barei cotite din figură. Forţele au modulele: F = F, F 2 = F 0, F 3 = F, F 4 = F 9. Se cer: a. Torsorul de reducere in O b. Ecuaţia axei centrale 4. Se consideră mecanismul bielă manivelă din figură pentru care se cunosc A 0 A=AB 0 =a, BB 0 =b, ω 0 =constantă. Să se determine pentru bielă: poziţia centrului instantaneu de rotaţie, baza, rostogolitoarea, viteza unghiulară instantanee, viteza punctului B, polul acceleraţiilor, acceleraţia punctului B. 42

43 . Echilibrul corpului liber. 2. Determinarea legii de mişcare a unui punct material folosind diferite sisteme de coordonate (cartezian, polar si intrinsec). 3. Un inel C de greutate neglijabilă se poate mişca cu frecare (coficientul de frecare µ) pe un semicerc de rază r. De inel sunt legate două fire trecute peste scripeţii A şi B. De fire sunt legate greutăţile P şi P 2. Sa se determine raportul P /P 2 pentru ca inelul să fie în echilibru. 4. Un punct material de masă m este aruncat de la înălţimea h cu viteza orizontală v 0. Să se determine: a) legea de mişcare; b) distanţa OB; c) viteza în punctul B. 43

44 . Echilibrul corpului supus la legături. 2. Mişcarea unui punct material sub acţiunea greutăţii proprii. 3. Să se determine reacţiunile din articulaţiile A, B, C, pentru poziţia de echilibru din figură. 4. Se consideră placa patrată A 0 B 0 C 0 D 0 de latură l care se mişcă astfel încât capetele sale A 0 şi B 0 se deplasează după două direcţii perpendiculare, capătul A 0 deplasându-se cu viteza constantă v Să se determine pentru placă: poziţia centrului instantaneu de rotaţie, 44

45 baza, rostogolitoarea, viteza unghiulară instantanee, viteza punctului D 0, polul acceleraţiilor, acceleraţia punctului D 0.. Rezemarea. 2. Mişcarea verticală. 3. Se da sistemul de forţe care acţionează asupra barei cotite din figură. Forţele au modulele F = F 2, F 2 = F 5, F 3 = F 2, F 4 = F 3. Se cer: a. Torsorul de reducere in O b. Ecuaţia axei centrale 45

46 4. Se consideră mecanismul bielă manivelă din figură pentru care se cunosc A 0 A=AB 0 =a, BB 0 =b, ω 0 =constantă. Să se determine pentru bielă: poziţia centrului instantaneu de rotaţie, baza, rostogolitoarea, viteza unghiulară instantanee, viteza punctului B, polul acceleraţiilor, acceleraţia punctului B.. Articulaţia. 46

47 2. Aruncarea oblică. 3. Un inel C de greutate neglijabilă se poate mişca cu frecare (coficientul de frecare µ) pe un semicerc de rază R. De inel sunt legate două fire trecute peste scripeţii A şi B. De fire sunt legate greutăţile Q şi Q 2. Sa se determine raportul Q /Q 2 pentru ca inelul să fie în echilibru. 4. Un punct material de masă m este aruncat cu viteza iniţială v 0 înclinată cu unghiul α faţă de orizontală. Să se determine: a) legea de mişcare; b) distanţa CB; c) viteza în punctul B. 47

48 . Încastrarea.Legătura cu fir. 2. Impulsul unui punct material. Teorema impulsului. 3. Să se determine reacţiunile din articulaţia B şi reazemele A, C şi D pentru poziţia de echilibru din figură. Se dau: AC=CD=BC=l. 4. Se consideră placa triunghiulară A 0 B 0 C 0 de latură a care se mişcă astfel încât capetele sale A 0 şi B 0 se deplasează după două direcţii perpendiculare, capătul B 0 deplasându-se cu viteza constantă v B0 Să se determine pentru placă: poziţia centrului instantaneu de rotaţie, baza, rostogolitoarea, viteza unghiulară instantanee, viteza punctului C 0, polul acceleraţiilor, acceleraţia punctului C 0. 48

49 . Centrul de greutate al unui sistem de puncte materiale. 2. Momentul cinetic al unui punct material. Teorema momentului cinetic. 3. Se da sistemul de forţe care acţionează asupra barei cotite din figură. Forţele au modulele F = F 2, F 2 = F 2, F 3 = F, F 4 = F 6. Se cer: a. Torsorul de reducere in O b. Ecuaţia axei centrale 49

50 4. Se consideră bara AB de lungime 2a care se mişcă astfel încât capetele sale A şi B se deplasează după două direcţii perpendiculare, capătul B deplasându-se cu viteza constantă v 0 Să se determine pentru bara AB: poziţia centrului instantaneu de rotaţie, baza, rostogolitoarea, viteza unghiulară instantanee, viteza punctului D, polul acceleraţiilor, acceleraţia punctului D.. Centrul de greutate al unui sistem material continuu. 50

51 2. Lucrul mecanic al unei forte constante si al unei forte variabile. 3. Un inel C de greutate neglijabilă se poate mişca cu frecare (coficientul de frecare µ) pe un semicerc de rază R. De inel sunt legate două fire trecute peste scripeţii A şi B. De fire sunt legate greutăţile W şi W 2. Sa se determine raportul W /W 2 pentru ca inelul să fie în echilibru. 4. Punctul material de masă m este lansat din A cu viteza v 0 pe planul înclinat cu unghiul α, coeficientul de frecare fiind µ, din punctul B cade liber ajungând în C. Se cunoaşte lungimea planului AB=a. Să se determine: a) legea de mişcare pe planul înclinat a punctului material; b) viteza în punctul B; c) viteza în punctul C. 5

52 . Centrul de greutate al unui corp format din mai multe componente (subsisteme). 2. Energia cinetica. Energia potentiala. Teorema energiei cinetice. 3. Să se determine reacţiunile din articulaţia B şi reazemele A, C şi D pentru poziţia de echilibru din figură. Se dau: AB=CD=a. 4. Se consideră mecanismul bielă manivelă din figură pentru care se cunosc A 0 A=AB 0 =a, BB 0 =b, ω 0 =constantă. Să se determine pentru bielă: poziţia centrului instantaneu de rotaţie, baza, rostogolitoarea, viteza unghiulară instantanee, viteza punctului B, polul acceleraţiilor, acceleraţia punctului B. BIBLIOGRAFIE. L. BERETEU, I. SMICALĂ, Mecanică Dinamica şi aplicaţii, Editura Mirton, Timişoara, L. BRINDEU, Vibraţii, Lit. Inst. Politehnica "Traian Vuia", Timişoara,

53 3. GH. BUZDUGAN, L. FETCU, M. RADES, Vibraţiile sistemelor mecanice, Editura Academiei, R. R. CRAIG, Structural dynamics; John Wiley and Sons, R.R.CRAIG, A. Kurdila, Fundamentals of structural dynamics, John Wiley and Sons, B. P. DEMIDOVICH, I. A. MARON, Computational Mathematics, Mir Publishers, P. HAGEDORN, Non Linear Oscillations clarendon Press Oxford, M. HUSSEY, Fundamentals of Mechanical Vibrations, Mac Millan Press Ltd., M. LALANNE şi alţii, Mechanical Vibrations for Engineers, John Wiley and Sons Ltd., N. LEVITSKII, Kolebania v mehanizmah, Nauka Moskva, L. MEIROVITCH, Elaments of Vibration Analysis, Mc. Graw Hill, New York, L. MEIROVITCH, Computational Methods in Structural Dynamics, Syhoff Noordhoff, The Netherlands, L. MEIROVITCH, Introduction to Dynamics and Control, John Wiley and Sons, New York, L. MEIROVITCH, Fundamentals of Vibration, McGraw-Hill, New York, S. RAO, The Finite Element Method in Engineering, Pergamon Press, W. SATO, Theory and Problems of Mechanical Vibrations, Schaum, Publishing, New York, GH. SILAS, Mecanică. Vibraţii mecanice, Ed. Didactică şi Pedagogică, GH. SILAS, L. BRINDEU, A. HEGEDUS, Culegere de probleme de Vibraţii mecanice, Ed. Tehnică, Bucureşti, I. SMICALĂ, L. BERETEU, A. TOCARCIUC Exercitii si probleme de mecanică si vibratii, Editie electronica, W. T. THOMSON, Theory of Vibration, Uhwin Hyman Ltd. London, W.T. THOMSON The Theory of Vibration with Applications, Taylor&Francis Ltd., A. C. WALSHAW, Mechanical Vibrations with Applications, Ellis Horwood Ltd.,

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR

CURS MECANICA CONSTRUCŢIILOR CURS 10+11 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA SOLIDULUI RIGID In cadrul cinematicii punctului material s-a arătat ca a studia mişcarea unui punct înseamnă a determina la

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.

Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera. pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4

3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4 SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei

Διαβάστε περισσότερα

15. Se dă bara O 1 AB, îndoită în unghi drept care se roteşte faţă de O 1 cu viteza unghiulară ω=const, axa se rotaţie fiind perpendiculară pe planul

15. Se dă bara O 1 AB, îndoită în unghi drept care se roteşte faţă de O 1 cu viteza unghiulară ω=const, axa se rotaţie fiind perpendiculară pe planul INEMTI 1. Se consideră mecanismul plan din figură, compus din manivelele 1 şi 2, respectiv biela legate intre ele prin articulaţiile cilindrice şi. Manivela 1 se roteşte cu viteza unghiulară constantă

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

FIZICĂ. Oscilatii mecanice. ş.l. dr. Marius COSTACHE

FIZICĂ. Oscilatii mecanice. ş.l. dr. Marius COSTACHE FIZICĂ Oscilatii mecanice ş.l. dr. Marius COSTACHE 3.1. OSCILAŢII. Noţiuni generale Oscilaţii mecanice Oscilaţia fenomenul fizic în decursul căruia o anumită mărime fizică prezintă o variaţie periodică

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 5 REDUCEREA SISTEMELOR DE FORŢE (CONTINUARE) CUPRINS 5. Reducerea sistemelor de forţe (continuare)...... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 5.1. Teorema lui Varignon pentru sisteme

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

III. Statica III. Statica. Echilibrul mecanic al corpurilor. 1. Sistem de forțe concurente. Sistemul de forțe

III. Statica III. Statica. Echilibrul mecanic al corpurilor. 1. Sistem de forțe concurente. Sistemul de forțe III. Statica III. Statica. Echilibrul mecanic al corpurilor. 1. Sistem de forțe concurente. Sistemul de forțe reprezintă totalitatea forțelor care acționează simultan asupra unui corp, Fig. 1. În Fig.

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1

CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 CURS 3 SISTEME DE FORŢE (continuare) CUPRINS 3. Sisteme de forţe (continuare)... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 3.1. Momentul forţei în raport cu un punct...2 Test de autoevaluare

Διαβάστε περισσότερα

Algebra si Geometrie Seminar 9

Algebra si Geometrie Seminar 9 Algebra si Geometrie Seminar 9 Decembrie 017 ii Equations are just the boring part of mathematics. I attempt to see things in terms of geometry. Stephen Hawking 9 Dreapta si planul in spatiu 1 Notiuni

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

Lucrul mecanic şi energia mecanică.

Lucrul mecanic şi energia mecanică. ucrul mecanic şi energia mecanică. Valerica Baban UMC //05 Valerica Baban UMC ucrul mecanic Presupunem că avem o forţă care pune în mişcare un cărucior şi îl deplasează pe o distanţă d. ucrul mecanic al

Διαβάστε περισσότερα

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.

Vectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt. liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

CURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR

CURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR CURS 9 MECANICA CONSTRUCŢIILOR Conf. Dr. Ing. Viorel Ungureanu CINEMATICA NOŢIUNI DE BAZĂ ÎN CINEMATICA Cinematica studiază mişcările mecanice ale corpurilor, fără a lua în considerare masa acestora şi

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

Lucrul si energia mecanica

Lucrul si energia mecanica Lucrul si energia mecanica 1 Lucrul si energia mecanica I. Lucrul mecanic este produsul dintre forta si deplasare: Daca forta este constanta, atunci dl = F dr. L 1 = F r 1 cos α, unde r 1 este modulul

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 1. Noțiuni Generale. 1.1 Definiții

Capitolul 1. Noțiuni Generale. 1.1 Definiții Capitolul 1 Noțiuni Generale 1.1 Definiții Forța este acțiunea asupra unui corp care produce accelerația acestuia cu condiția ca asupra corpului să nu acționeze şi alte forțe de sens contrar primeia. Forța

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Clasa a IX-a, Lucrul mecanic. Energia

Clasa a IX-a, Lucrul mecanic. Energia 1. LUCRUL MECANIC 1.1. Un resort având constanta elastică k = 50Nm -1 este întins cu x = 0,1m de o forță exterioară. Ce lucru mecanic produce forța pentru deformarea resortului? 1.2. De un resort având

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1

CUPRINS 2. Sisteme de forţe... 1 Cuprins..1 CURS 2 SISTEME DE FORŢE CUPRINS 2. Sisteme de forţe.... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 2.1. Forţa...2 Test de autoevaluare 1...3 2.2. Proiecţia forţei pe o axă. Componenta forţei

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Miscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 )

Miscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 ) Miscarea oscilatorie armonica ( Fisa nr. 2 ) In prima fisa publicata pe site-ul didactic.ro ( Miscarea armonica) am explicat parametrii ce definesc miscarea oscilatorie ( perioda, frecventa ) dar nu am

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 9. Echilibrul sistemelor de corpuri rigide... 1 Cuprins..1

CUPRINS 9. Echilibrul sistemelor de corpuri rigide... 1 Cuprins..1 CURS 9 ECHILIBRUL SISTEMELOR DE CORPURI RIGIDE CUPRINS 9. Echilibrul sistemelor de corpuri rigide........... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 9.1. Generalităţi. Legături intermediare...2

Διαβάστε περισσότερα

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi

CURS XI XII SINTEZĂ. 1 Algebra vectorială a vectorilor liberi Lect. dr. Facultatea de Electronică, Telecomunicaţii şi Tehnologia Informaţiei Algebră, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC http://math.etti.tuiasi.ro/maticiuc/ CURS XI XII SINTEZĂ 1 Algebra vectorială

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

1. (4p) Un mobil se deplasează pe o traiectorie curbilinie. Dependența de timp a mărimii vitezei mobilului pe traiectorie este v () t = 1.

1. (4p) Un mobil se deplasează pe o traiectorie curbilinie. Dependența de timp a mărimii vitezei mobilului pe traiectorie este v () t = 1. . (4p) Un mobil se deplasează pe o traiectorie curbilinie. Dependența de timp a mărimii vitezei mobilului pe traiectorie este v () t.5t (m/s). Să se calculeze: a) dependența de timp a spațiului străbătut

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VII Dreapta si planul

Lectia VII Dreapta si planul Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta. Ecuatii, pozitii relative Aplicatii Lectia VII Dreapta si planul Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VII Planul. Ecuatii, pozitii relative Dreapta.

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

x 1 = x x 2 + t, x 2 = 2 x 1 + x 1 + e t, x 1 (0) = 1, x 2 (0) = 1; (c) Să se studieze stabilitatea soluţiei nule pentru sistemul

x 1 = x x 2 + t, x 2 = 2 x 1 + x 1 + e t, x 1 (0) = 1, x 2 (0) = 1; (c) Să se studieze stabilitatea soluţiei nule pentru sistemul Seminar mecanică 1. Să se găsească soluţiile următoarelor probleme Cauchy şi să se indice intervalul maxim de existenţă a soluţiei: (a) x = 1 x, t 0, x(1) = 0; t (b) (1 t x) x = t + x, t R, x(0) = 0; (c)

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

z a + c 0 + c 1 (z a)

z a + c 0 + c 1 (z a) 1 Serii Laurent (continuare) Teorema 1.1 Fie D C un domeniu, a D şi f : D \ {a} C o funcţie olomorfă. Punctul a este pol multiplu de ordin p al lui f dacă şi numai dacă dezvoltarea în serie Laurent a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Lucrul mecanic. Puterea mecanică.

Lucrul mecanic. Puterea mecanică. 1 Lucrul mecanic. Puterea mecanică. In acestă prezentare sunt discutate următoarele subiecte: Definitia lucrului mecanic al unei forţe constante Definiţia lucrului mecanic al unei forţe variabile Intepretarea

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

Conice - Câteva proprietǎţi elementare

Conice - Câteva proprietǎţi elementare Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere

Capitolul 9. Geometrie analitică. 9.1 Repere Capitolul 9 Geometrie analitică 9.1 Repere Vom considera spaţiile liniare (X, +,, R)în careelementelespaţiului X sunt vectorii de pe odreaptă, V 1, dintr-un plan, V sau din spaţiu, V 3 (adică X V 1 sau

Διαβάστε περισσότερα

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii

CONCURSUL DE MATEMATICĂ APLICATĂ ADOLF HAIMOVICI, 2017 ETAPA LOCALĂ, HUNEDOARA Clasa a IX-a profil științe ale naturii, tehnologic, servicii Clasa a IX-a 1 x 1 a) Demonstrați inegalitatea 1, x (0, 1) x x b) Demonstrați că, dacă a 1, a,, a n (0, 1) astfel încât a 1 +a + +a n = 1, atunci: a +a 3 + +a n a1 +a 3 + +a n a1 +a + +a n 1 + + + < 1

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede

2. STATICA FLUIDELOR. 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede 2. STATICA FLUIDELOR 2.A. Presa hidraulică. Legea lui Arhimede Aplicația 2.1 Să se determine ce masă M poate fi ridicată cu o presă hidraulică având raportul razelor pistoanelor r 1 /r 2 = 1/20, ştiind

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

DETERMINAREA COEFICIENTULUI DE FRECARE LA ROSTOGOLIRE

DETERMINAREA COEFICIENTULUI DE FRECARE LA ROSTOGOLIRE DETERMINAREA COEFICIENTULUI DE FRECARE LA ROSTOGOLIRE Scopul lucrării În lucrarea de faţă se determină valoarea coeficientului de frecare la rostogolire, utlizând un dispozitiv ce permite găsirea expresiei

Διαβάστε περισσότερα

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0

DEFINITIVAT 1993 PROFESORI I. sinx. 0, dacă x = 0 DEFINITIVAT 1993 TIMIŞOARA PROFESORI I 1. a) Metodica predării noţiunii de derivată a unei funcţii. b) Să se reprezinte grafic funci a sinx, dacă x (0,2π] f : [0,2π] R, f(x) = x. 0, dacă x = 0 2. Fie G

Διαβάστε περισσότερα

14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

14. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA SECŢIUNILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele Metoda secţiunilor

Διαβάστε περισσότερα

I. Forţa. I. 1. Efectul static şi efectul dinamic al forţei

I. Forţa. I. 1. Efectul static şi efectul dinamic al forţei I. Forţa I. 1. Efectul static şi efectul dinamic al forţei Interacţionăm cu lumea în care trăim o lume în care toate corpurile acţionează cu forţe unele asupra altora! Întrebările indicate prin: * 1 punct

Διαβάστε περισσότερα

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu

2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu 2.3 Geometria analitică liniarăînspaţiu Pentru început sădefinim câteva noţiuni de bază în geometria analitică. Definitia 2.3.1 Se numeşte reper în spaţiu o mulţime formată dintr-un punct O (numit originea

Διαβάστε περισσότερα

Brutus Demşoreanu. Mecanica analitică. - Note de curs -

Brutus Demşoreanu. Mecanica analitică. - Note de curs - Brutus Demşoreanu Mecanica analitică - Note de curs - TIMIŞOARA 2003 Tehnoredactarea în L A TEX 2ε aparţine autorului. Copyright c 2003, B. Demşoreanu Cuprins I Mecanica newtoniană 7 1 Elemente de cinematica

Διαβάστε περισσότερα

CAPITOLUL 5 DINAMICA RIGIDULUI

CAPITOLUL 5 DINAMICA RIGIDULUI CAPITOLUL 5 DINAMICA RIIDULUI Dinamica este diviziunea mecanicii care studiază mişcările corpurilor materiale, ţinându-se seama de interacţiunea lor reciprocă, de solicitările care intervin, stabilind

Διαβάστε περισσότερα

145. Sã se afle acceleraţiile celor trei corpuri din figurã. Ramurile firului care susţin scripetele mobil sunt verticale.

145. Sã se afle acceleraţiile celor trei corpuri din figurã. Ramurile firului care susţin scripetele mobil sunt verticale. Tipuri de forţe 127. Un corp cu masa m = 5 kg se află pe o suprafaţã orizontalã pe care se poate deplasa cu frecare (μ= 0,02). Cu ce forţã orizontalã F trebuie împins corpul astfel încât sã capete o acceleraţie

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

ENUNŢURI ŞI REZOLVĂRI 2013

ENUNŢURI ŞI REZOLVĂRI 2013 ENUNŢURI ŞI REZOLVĂRI 8. Un conductor de cupru ( ρ =,7 Ω m) are lungimea de m şi aria secţiunii transversale de mm. Rezistenţa conductorului este: a), Ω; b), Ω; c), 5Ω; d) 5, Ω; e) 7, 5 Ω; f) 4, 7 Ω. l

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

I. NOŢIUNI FUNDAMENTALE DIVIZIUNILE MECANICII. PRINCIPIILE MECANICII CLASICE SISTEME ŞI UNITĂŢI DE MĂSURĂ

I. NOŢIUNI FUNDAMENTALE DIVIZIUNILE MECANICII. PRINCIPIILE MECANICII CLASICE SISTEME ŞI UNITĂŢI DE MĂSURĂ I. NOŢIUNI FUNDAMENTALE DIVIZIUNILE MECANICII. PRINCIPIILE MECANICII CLASICE SISTEME ŞI UNITĂŢI DE MĂSURĂ 1.1 Noţiuni fundamentale Mecanica este una dintre ştiinţele fundamentale ale naturii, având ca

Διαβάστε περισσότερα

1. Introducere in Fizică

1. Introducere in Fizică FIZICA se ocupă cu studiul proprietăţilor şi naturii materiei, a diferitelor forme de energie şi a metodelor prin care materia şi enegia interacţionează în lumea în care ne înconjoară.. Introducere in

Διαβάστε περισσότερα

Dinamica. F = F 1 + F F n. si poarta denumirea de principiul suprapunerii fortelor.

Dinamica. F = F 1 + F F n. si poarta denumirea de principiul suprapunerii fortelor. Dinamica 1 Dinamica Masa Proprietatea corpului de a-si pastra starea de repaus sau de miscare rectilinie uniforma cand asupra lui nu actioneaza alte corpuri se numeste inertie Masura inertiei este masa

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

IV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI

IV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI V. POL S FLTE ELETE P. 3. POL ELET reviar a) Forma fundamentala a ecuatiilor cuadripolilor si parametrii fundamentali: Prima forma fundamentala: doua forma fundamentala: b) Parametrii fundamentali au urmatoarele

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI

Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI Cap. I NOŢIUNI FUNDAMENTALE DESPRE VECTORI In mecanică există mărimi scalare sau scalari şi mărimi vectoriale sau vectori. Mărimile scalare (scalarii) sunt complet determinate prin valoarea lor numerică

Διαβάστε περισσότερα

Lucian Maticiuc SEMINAR Conf. dr. Lucian Maticiuc. Capitolul VI. Integrala triplă. Teoria:

Lucian Maticiuc SEMINAR Conf. dr. Lucian Maticiuc. Capitolul VI. Integrala triplă. Teoria: Capitolul I: Integrala triplă Conf. dr. Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Analiza Matematică II, Semestrul II Conf. dr. Lucian MATICIUC Teoria: SEMINAR 3 Capitolul I. Integrala

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 7. Statica punctului material... 1 Cuprins..1

CUPRINS 7. Statica punctului material... 1 Cuprins..1 CURS 7 STATICA UNCTULUI MATERIAL CURINS 7. Statica punctului material.......... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 7.1. Generalităţi...2 7.2. Echilibrul punctului material liber...3

Διαβάστε περισσότερα

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar

Ministerul Educaţiei, Cercetării şi Inovării Centrul Naţional pentru Curriculum şi Evaluare în Învăţământul Preuniversitar A. SUBIECTUL III Varianta 001 (15 puncte) O locomotivă cu puterea P = 480 kw tractează pe o cale ferată orizontală o garnitură de vagoane. Masa totală a trenului este m = 400 t. Forţa de rezistenţă întâmpinată

Διαβάστε περισσότερα

1,4 cm. 1.Cum se schimbă deformaţia elastică ε = Δ l o. d) nu se schimbă.

1,4 cm. 1.Cum se schimbă deformaţia elastică ε = Δ l o. d) nu se schimbă. .Cum se schimbă deformaţia elastică ε = Δ l o a unei sîrme de oţel dacă mărim de n ori : a)sarcina, b)secţiunea, c) diametrul, d)lungimea? Răspuns: a) creşte de n ori, b) scade de n ori, c) scade de n,

Διαβάστε περισσότερα

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR

1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR 1. PROPRIETĂȚILE FLUIDELOR a) Să se exprime densitatea apei ρ = 1000 kg/m 3 în g/cm 3. g/cm 3. b) tiind că densitatea glicerinei la 20 C este 1258 kg/m 3 să se exprime în c) Să se exprime în kg/m 3 densitatea

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 8. Statica solidului rigid... 1 Cuprins..1

CUPRINS 8. Statica solidului rigid... 1 Cuprins..1 CURS 8 STATICA SOLIDULUI RIGID CUPRINS 8. Statica solidului rigid.......... 1 Cuprins..1 Introducere modul.1 Obiective modul....2 8.1. Generalităţi...2 8.2. Echilibrul solidului rigid liber...4 Test de

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

Determinarea momentului de inerţie prin metoda oscilaţiei şi cu ajutorul pendulului de torsiune. Huţanu Radu, Axinte Constantin Irimescu Luminita

Determinarea momentului de inerţie prin metoda oscilaţiei şi cu ajutorul pendulului de torsiune. Huţanu Radu, Axinte Constantin Irimescu Luminita Determinarea momentului de inerţie prin metoda oscilaţiei şi cu ajutorul pendulului de torsiune Huţanu Radu, Axinte Constantin Irimescu Luminita 1. Generalităţi Există mai multe metode pentru a determina

Διαβάστε περισσότερα

13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...

13. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate... SEMINAR GRINZI CU ZĂBRELE METODA IZOLĂRII NODURILOR CUPRINS. Grinzi cu zăbrele Metoda izolării nodurilor... Cuprins... Introducere..... Aspecte teoretice..... Aplicaţii rezolvate.... Grinzi cu zăbrele

Διαβάστε περισσότερα

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii

GEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 30. Transmisii prin lant

Capitolul 30. Transmisii prin lant Capitolul 30 Transmisii prin lant T.30.1. Sa se precizeze domeniile de utilizare a transmisiilor prin lant. T.30.2. Sa se precizeze avantajele si dezavantajele transmisiilor prin lant. T.30.3. Realizati

Διαβάστε περισσότερα

Brutus Demşoreanu. Mecanica analitică. - Probleme -

Brutus Demşoreanu. Mecanica analitică. - Probleme - Brutus Demşoreanu Mecanica analitică - Probleme - TIMIŞOARA 003 Tehnoredactarea în L A TEX ε aparţine autorului. Copyright c 003, B. Demşoreanu Cuprins 1 Mecanica newtoniană 5 1.1 Problema determinării

Διαβάστε περισσότερα

CUPRINS 6. Centre de greutate... 1 Cuprins..1

CUPRINS 6. Centre de greutate... 1 Cuprins..1 URS 6 ENTRE DE GREUTATE UPRINS 6. entre de greutate...... 1 uprins..1 Introducere modul.1 biective modul....2 6.1. entre de greutate......2 6.2. Momente statice...4 Test de autoevaluare 1...5 6.3. entre

Διαβάστε περισσότερα

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine

Διαβάστε περισσότερα

Dreapta in plan. = y y 0

Dreapta in plan. = y y 0 Dreapta in plan 1 Dreapta in plan i) Presupunem ca planul este inzestrat cu un reper ortonormat de dreapta (O, i, j). Fiecarui punct M al planului ii corespunde vectorul OM numit vector de pozitie al punctului

Διαβάστε περισσότερα

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale

3. Locuri geometrice Locuri geometrice uzuale 3. Locuri geometrice 3.. Locuri geometrice uzuale oţiunea de loc geometric în plan care se găseşte şi în ELEETELE LUI EUCLID se pare că a fost folosită încă de PLATO (47-347) şi ARISTOTEL(383-3). Locurile

Διαβάστε περισσότερα

Curs - programul Electrotehnică Versiunea Ș. L. Mihail-Ioan Pop

Curs - programul Electrotehnică Versiunea Ș. L. Mihail-Ioan Pop Fizică I Curs - programul Electrotehnică Versiunea 4.1.1 Ș. L. Mihail-Ioan Pop 2018 2 Cuprins Introducere 5 1 Mecanică 7 1.1 Opțional: Mărimi și unități de măsură. Sistemul Internațional (SI).... 7 1.2

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

3. REPREZENTAREA PLANULUI

3. REPREZENTAREA PLANULUI 3.1. GENERALITĂŢI 3. REPREZENTAREA PLANULUI Un plan este definit, în general, prin trei puncte necoliniare sau prin o dreaptă şi un punct exterior, două drepte concurente sau două drepte paralele (fig.3.1).

Διαβάστε περισσότερα

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB =

y y x x 1 y1 Elemente de geometrie analiticã 1. Segmente 1. DistanŃa dintre douã puncte A(x 1,y 1 ), B(x 2,y 2 ): AB = 2. Panta dreptei AB: m AB = Elemente de geometrie analiticã. Segmente. DistanŃa dintre douã puncte A(, ), B(, ): AB = ) + ( ) (. Panta dreptei AB: m AB = +. Coordonatele (,) ale mijlocului segmentului AB: =, =. Coordonatele punctului

Διαβάστε περισσότερα