CUPRINS. CAPITOLUL 1: Module şi spaţii vectoriale

Transcript

1 PREFAŢĂ, După ce î lucrre [5] m prezett elemetele de bză le ş zse lgebre bstrcte (mulţm ordote, grupur, ele, corpur, ele de polome, elemete de teor ctegorlor) c o coture frescă cestor, î lucrre de fţă se preztă umte elemete de lgebră lră. Cptolul este dedct studulu modulelor peste u el utr (î ce m mre prte presupus comuttv) ş î prtculr l spţlor vectorle. Î cdrul cestu cptol o teţe deosebtă este cordtă studulu ctegorlor de module (solctâd cttorulu umte oţu ş rezultte prezette î Cptolul 5 d [5]) precum ş modulelor lbere de rg ft (î prtculr spţlor vectorle de dmesue ftă peste u corp). Cptolul este dedct studulu determţlor ş sstemelor de ecuţ lre cu coefceţ îtr-u corp comuttv. Lucrre se dreseză î prmul râd studeţlor de l fcultăţle de mtemtcă ş formtcă (m les petru prm de studu) putâd f îsă utlztă ş de profesor de mtemtcă d îvăţămâtul preuverstr î cdrul procesulu de perfecţore (umte prgrfe, î specl cele legte de spţle vectorle, sut utle ş studeţlor de l îvăţămâtul poltehc). Acestă lucrre (c ş [5] - căre coture frescă este) u r f văzut lum tprulu fără efortul deosebt depus de D Pcu (cre prtre ltele, sgurt ce m mre prte dfclelor operţ de tehoredctre ş corectură); folosesc cest prlej petru - mulţum petru colborre l relzre tât ceste lucrăr (cât ş lucrărlor [4,5]), dr m les petru sperţ de relz î vtor ş lte lucrăr de lgebră ecesre îvăţămâtulu superor. Crov, 6 mrte Prof.uv.dr. Dumtru Buşeg

2 CUPRINS CAPITOLUL : odule ş spţ vectorle. odul. Submodul. Clcule îtr-u modul. Operţ cu submodule. Submodul geert de o mulţme. Ltce submodulelor uu modul. Sstem de geertor. Elemete lr depedete (depedete). odule lbere. Spţ vectorle. Submodul mml. odul smplu. Fctorzre uu modul prtr-u submodul. odul fctor orfsme de module. Edomorfsme. Operţ cu morfsme de module. Imge, ucleul, comge ş coucleul uu morfsm de module. Ctegorle od s (A) ş od d (A). oomorfsme, epmorfsme, zomorfsme de module. Nucleul ş coucleul ue perech de morfsme. Teorem fudmetlă de zomorfsm petru module. Cosecţe. Şrur ecte de A-module. Fuctor h ş h de l od s (A) l Ab. Bmodule. Dulul ş bdulul uu modul Produse ş sume drecte î od s (A). Sume drecte de submodule. Produse ş sume drecte de morfsme de A-module. Sume ş produse fbrte î od s (A) Lmte ductve ş proectve î od s (A). Lmte ductve ş proectve de morfsme de A-module Submodule eseţle ş superflue. Submodule complemet. Submodule îchse. odule jectve. Grupur dvzble. Avelope jectve. odule proectve. Avelope proectve. Geertor, cogeertor petru od s (A). Lmte ductve ş proectve î od s (A). Lmte ductve ş proectve de morfsme de A-module..6

3 6. Produs tesorl de module. Produs tesorl de morfsme. Fuctor S ş T N ; trsportul şrurlor ecte scurte pr ceşt fuctor. Comuttvtte produsulu tesorl. Permutre produsulu tesorl cu sumele drecte. Produs tesorl de module lbere. Asoctvtte produsulu tesorl. Proprette de djucţe. odule plte odule lbere de rg ft. trce de trecere de l o bză l lt. Formul de schmbre coordotelor uu elemet l schmbre bzelor. Lem substtuţe. trce tştă ue plcţ lre ître module lbere de rg ft; formul de schmbre ceste l schmbre bzelor CAPITOLUL : Determţ. Ssteme de ecuţ lre.. Defţ uu determt de ord. Propretăţle determţlor. Dezvoltre uu determt după elemetele ue l. Regul lu Lplce. Formul Bet-Cuchy trce versblă. Ivers ue mtrce. Rgul uu sstem de vector. Rgul ue mtrce. Rgul ue plcţ lre ître spţ vectorle de dmesu fte Ssteme de ecuţ lre cu coefceţ îtr-u corp comuttv. Ssteme omogee. Vector ş vlor propr uu opertor lr. Teorem Cyley-Hmlto BIBLIOGRAFIE

4 Refereţ ştţfc: Prof.uv.dr. Costt NIŢĂ UNIVERSITATEA BUCUREŞTI Prof.uv.dr. Aledru DINCĂ UNIVERSITATEA CRAIOVA EUC CRAIOVA All rghts reserved. No prt of ths publcto my be reproduce, stored retrevl system, or trsmtted, y forms or by y mes, electroc, mechcl, photocopyg, recordg, or other wse, wthout the pror wrtte permsso of the publsher. Tehoredctre computerztă : D Pcu Copert: Cătăl Buşeg Bu de tpr: 9.. Tpogrf Uverstăţ d Crov, Strd, Al. Cuz, r. Crov, Româ Publshed Rom by: EDITURA UNIVERSITARIA CRAIOVA 4 Descrere CIP Bblotec Nţole Dumtru Buşeg (coordotor), Algebră lră 6p.; cm Crov Edtur Uverstr Bblogr. 5,5.55,56.64 ISBN

5 CAPITOLUL : ODULE ŞI SPAŢII VECTORIALE Î cdrul cestu cptol pr A vom desem u el utr (câd v f czul vom precz dcă A este su u comuttv).. odul. Submodul. Clcule îtr-u modul. Operţ cu submodule. Submodul geert de o mulţme. Ltce submodulelor uu modul. Sstem de geertor. Elemete lr depedete (depedete). odule lbere. Spţ vectorle. Submodul mml. odul smplu. Fctorzre uu modul prtr-u submodul. odul fctor. Defţ.. Vom spue despre u grup bel (,) că este A-modul stâg (su modul l stâg peste A) dcă este deftă o operţe lgebrcă eteră pe, φ:a, φ(,), petru orce A ş.î. petru orcre, b A ş verfcte codţle: 5 () (y)y () (b) b () (b)(b) (v), y sut Î cest cz, elemetele lu A se umesc sclr r φ se umeşte îmulţre cu sclr. Î mod log se defeşte oţue de A-modul l drept: u grup bel (,) se zce că este A-modul drept (su modul l drept peste A ) dcă este deftă o îmulţre cu sclr, ψ: A ψ(,), petru orce A ş.î. petru orcre, b A ş, y sut verfcte codţle:

6 ( ) (y)y ( ) (b)b ( ) ()b(b) (v ). Fptul că este u A-modul l stâg (drept) se m oteză ş pr A ( A ). Observţ... Dcă A o este elul opus lu A (dcă elul î cre operţ de dure cocde cu ce de pe A r îmulţre de pe A o se defeşte petru, b A pr bb) tuc orce A-modul stâg deve î mod coc A o -modul drept (ş recproc), defd petru ş A o îmulţre cu sclr pr. De fecre dtă oul modul stfel obţut se v ot pr o ş se v um opusul lu. Astfel, î czul î cre elul A este comuttv, cum A cocde cu A o, oţule de A-modul l stâg ş l drept cocd; î cest cz, despre vom spue pur ş smplu că este A-modul.. Î czul î cre elul A este u corp K, tuc orce K-modul l stâg (drept) se zce spţu vectorl l stâg (drept) peste K (su K-spţu vectorl). De obce, î cest cz grupul dtv bel se oteză pr V r elemetele lu V se umesc vector. Î cele ce urmeză (dcă u meţoăm cotrrul) pr A-modul (su modul dcă u este percol de cofuze), vom îţelege u A-modul l stâg, (oţule ş rezulttele trspuâdu-se drect ş petru A-modulele l drept). Adoptăm ceeş coveţe ş petru K-spţle vectorle. Eemple. Ielul A deve î mod coc A-modul cosderâd îmulţre de pe A c îmulţre cu sclr.. Dcă (G, ) este grup bel, tuc G deve î mod coc Z-modul defd petru Z ş G îmulţre φ cu sclr 6

7 44. petru > or φ(,) petru. ( ) ( ) petru < 4444 or. Dcă elul A este î plus ş comuttv, tuc elul A[X] l polomelor îtr-o edetermtă deve A-modul, defd petru A ş 7 P X X A[X] îmulţre cu sclr φ pr φ(, P) ( )( )X ( )X A[X]. 4. Dcă A este comuttv, tuc grupul dtv m, (A) l mtrcelor de tpul (m, ) (m, ) deve î mod coc A-modul pr j m defd îmulţre cu sclr petru A ş o mtrce ( j ) ( j ) m ( j ) j j m m,(a). 5. Cosderâd u umăr turl N * ş grupul dtv A A A (fţă de dure y( y ), cu ( ) ş y(y ) A ) tuc A deve î mod coc u A-modul defd îmulţre φ cu sclr petru A ş ( ) A pr φ(, ) ( ) A. 6. Dcă I este u tervl de umere rele, tuc mulţme C(I, R){f : I R f este cotuă} (cre deve grup bel fţă de dure cocă fucţlor cotue) deve R-spţu vectorl defd îmulţre φ cu sclr petru R ş f:i R pr φ(, f): I R, φ(, f)()f(), orcre r f I. Propozţ.. Dcă este u A-modul, tuc petru orce, b,,, A ş, y,,, m vem: () () (-)(-)-() r ( )(-) () (-y)-y r (-b)-b (v) ( ) r ( m ) m.

8 8 Demostrţe. (). D deducem că (). Alog deducem ş că. (). Scrd că (-) deducem că (-), de ude ( )-(). Alog restul de frmţ. (). Se ţe cot de (). (v). Se fce ducţe mtemtcă după m ş. Defţ.4. Fd dt u A-modul, o submulţme evdă lu se zce submodul dcă este subgrup l grupulu dtv (,) r restrcţ îmulţr cu sclr l î coferă lu structură de A-modul. Vom ot pr L A () fml submodulelor lu. Î mod evdet, {} ş fc prte d L A (). Orcre lt submodul l lu dfert de {} ş se zce propru. Dcă A este u el comuttv tuc L A (A)Id(A). Dcă u este percol de cofuze, submodulul {} se m oteză ş pr ş portă umele de modulul ul. Următorul rezultt este medt: Propozţ.5. Dcă este u A-modul, tuc petru o submulţme evdă N lu următorele frmţ sut echvlete: uu () N L A () () Petru orce, y N ş A, -y N ş N () Petru orce, y N ş, b A, by N. Propozţ.6. Dcă ( N ) I este o fmle de submodule le A-modul, tuc I N L A (). Demostrţe. Fe NI I N I ş, y N (dcă, y N petru orce I) r, b A. Atuc by N petru orce I, dcă by I N N, dec N L A (). I Propozţ.6. e permte să troducem petru u A-modul ş o submulţme evdă s, oţue de submodul geert de c

9 fd cel m mc submodul l lu (fţă de relţ de cluzue), ce coţe pe. Dcă otăm pr ( ) cest submodul vem î mod evdet ( ) I { N LA ( ) N}. Propozţ.7. Dcă este u A-modul r o submulţme evdă s, tuc ( ){,, A,,,, N * }. Demostrţe. Să otăm pr mulţme combţlor fte cu elemete d d prte dreptă egltăţ d euţ. Se rtă medt că este submodul l lu ce coţe pe, de ude cluzue ( ). Dcă legem N L A ().î. N tuc N ş cum N este orecre deducem că N( ), de ude egltte ( ). Observţ.8.. Dcă ( ), elemetele lu se zc geertor petru. Dcă este ftă, se zce A- modul ft geert su de tp ft.. Dcă {} cu, tuc submodulul lu geert de mulţme {} se zce prcpl ş coform propozţe precedete vem: ({}){ A} A.. ulţme ordotă (L A (), ) deve î mod coc ltce completă, ude petru o fmle ( N ) I de elemete d L A () vem N I N I r N ( U N I ); î mod evdet cestă ltce este I I mărgtă, ude {} r. 4. Dcă N, P L A (), tuc N P(N P){y N ş y P} NP, r ({,, }) A A. Propozţ.9. Petru orce A-modul, ltce (L A (), ) este modulră. 9

10 Demostrţe. Trebue să rătăm că dcă P, Q, R L A () ş R P, tuc P (Q R)(P Q) R P (QR)(P Q)R. Cum cluzue (P Q)R P (QR) este evdetă, fe P (QR). Atuc P ş yz cu y Q ş z R. Cum R P deducem că y-z P ş cum y Q vem că y P Q, dcă (P Q)R, dec este devărtă ş cluzue P (QR) (P Q)R, de ude egltte P (QR)(P Q)R. Observţ... Î geerl, ltce (L A (), ) pote să u fe dstrbutvă. Cotreemplul e este ofert de Z-modulul Z Z (vez [, Ec. 6.6.] ş [9, p. 77]).. Ltce submoduleleor Z-modululu Z (dcă ltce delelor elulu (Z,, )) este dstrbutvă. Îtr-devăr, dcă vem tre dele I, J, K le elulu Z tuc ImZ, JZ, KpZ cu m,, p N. Se verfcă medt că I J[m, ]Z r IJ(m, )Z, stfel că egltte I (J K)(I J) (I K) este echvletă cu [m, (, p)]([m, ], [m, p]) r ultm egltte este devărtă (vez [4]). elemetele Defţ.. Fe u A-modul stâg. Vom spue despre,, că sut lr depedete peste A dcă vâd o combţe lră ulă cu,, A, deducem că. Dcă otăm F{,, } covem să otăm fpul că elemetele lu F sut lr depedete peste A scrd d A F. Dcă este o submulţme orecre lu, vom spue că elemetele lu sut lr depedete peste A dcă orce submulţme ftă F este formtă d elemete lr.( depedete peste A (vom ot lucrul cest scrd d A Î czul î cre elemetele,, u sut lr depedete peste A vom spue despre ele că sut lr

11 depedete peste A (cest lucru reved l spue că estă,, A u tote ule.î. ). Eemple.. Dcă N * ş A tuc otâd cu e elemetele lu ce u pe pozţ ş î rest ( ) se deduce medt că elemetele e, e,.., e sut lr depedete peste A.. Fe m, N * ş m, (A) r E j mtrce de tp (m,) ce re pe pozţ (, j) ş î rest ( m, j ). Se verfcă medt că j m sut lr depedete peste A. elemetele ( ) E j. Dcă A este comuttv r A[X], tuc mulţme ftă {, X, X,.} este formtă d polome lr depedete peste A. 4. Dcă N ş tuc orce submulţme evdă F Z-modululu (Z, ) este formtă d vector lr depedeţ peste Z. Îtr-devăr, dcă F,, p (p ), tuc p p ˆ ˆ ˆ. Defţ.. Dcă este u A-modul, o submulţme S lu se zce bză petru dcă (S) ş d A S. Î cest cz, spuem despre A-modulul că este lber (î mod evdet ). D cele prezette teror deducem că A-modulele A ş m, (A) (cu m, ) sut lbere ş u bze fte r dcă elul A este comuttv tuc A-modulul A[X] este de semee lber, vâd îsă o bză ftă. Tot d cele prezette m îte deducem că Z-modul (Z, ) ( ) u este lber. Teorem.. Fe K u corp rbtrr, V u K-spţu vectorl eul, I, G V.î. d K I, (G)V ş I G. Atuc estă o bză B V petru V.î. I B G. Demostrţe. Să remrcăm l îceput fptul că estă submulţm I ş G le lu V cu propretăţle d euţ. Îtr-devăr, putem cosder î cel m efvorbl cz GV r I{} cu G, (căc V ).

12 Fe F{B V I B G ş d K B} (deorece I F deducem că F ). Se verfcă medt că dcă (B ) I este o fmle totl ordotă (fţă de cluzue) de elemete d F, tuc U B F, de ude cocluz că (F, ) este o mulţme ductvă. Coform Leme lu Zor estă u elemet mml B F. Dcă vom demostr că (B )V, cum d K B, vom deduce că B este bză petru V ş teorem este demostrtă. Petru cest este sufcet să demostrăm că G (B ) (căc tuc m deduce că V(G) (B ), de ude (B )V). Cum B G, fe G\B. Atuc I B { } G r dtortă mmltăţ lu B deducem că vector d B { } trebue să fe lr depedeţ peste K. Estă dec λ, λ,, λ K u toţ ul ş,, B.î. λ λ λ. Să observăm că λ (căc î cz cotrr, cum d K B m deduce că λ λ, bsurd), de ude deducem că ( λ λ ) ( λ λ ) dcă (B ). Deducem dec că G (B ) ş stfel (B )V, dcă B este o bză petru V. Ţâd cot de observţ de l îceputul demostrţe Teoreme.., deducem medt următorul rezultt: Corolr.4. () Dcă K este u corp orecre, tuc orce K-spţu vectorl eul dmte cel puţ o bză. () Orce prte I lr depedetă uu sstem de geertor G l uu K-spţu vectorl V pote f complettă cu elemete d G pîă l o bză lu V. () Orce sstem de vector lr depedeţ uu spţu vectorl pote f complett pîă l o bză spţulu. Teorem.5. (Teorem schmbulu). Fe K u corp orecre r V u K-spţu vectorl eul. Dcă,, V sut lr depedeţ peste K r y,, y m V u sstem de geertor petru V, tuc m ş estă o redere vectorlor y,, y m.î. (,,, y,, y m )V. I

13 Demostrţe. Se fce ducţe mtemtcă după. Dcă tuc î mod evdet m. Deorece (y,,y m )V, estă,, m K.î. y m y m ; cum, estă u sclr eul (să zcem ). Atuc y ( ) y ( m ) y m, de ude cocluz că (, y,,y m )V. Să presupuem frmţ devărtă petru -. Deorece,, sut lr depedeţ peste K tuc ş,, - sut lr depedeţ peste K ş coform poteze de ducţe - m ş estă o redere vectorlor y,,y m.î. (,, -, y, y,, y m )V. Atuc estă b,, b -, b, b,, b m K.î. b b - - b y b m y m. ( ) Dcă -m tuc b b - - cee ce cotrzce fptul că vector,, -, sut lr depedeţ peste K. Atuc - m-, de ude m. D ( ) deducem că estă u dce, m.î. b (să zcem ). Atuc d ( ) deducem că y b ( b b ) ( b b ) ( b b ) y ( b b m ) y m cee ce e rtă că (,,, y,, y m )V ş stfel, coform prcpulu ducţe mtemtce teorem este complet demostrtă. Corolr.6. Fe K u corp orecre r V u K-spţu vectorl eul. Atuc orcre două bze fte le lu V u celş umăr de elemete. Demostrţe. Dcă B {,, } ş B {y,, y m } sut două bze le lu V cu respectv m elemete, deorece î prtculr d K {,, } ş (y,, y m )V, coform teoreme schmbulu vem m. Schmbâd rolul lu B cu B deducem că ş m, de ude m. Teorem.7. Fe u A-modul lber r (e ) I ş (f j ) j J două bze petru. Atuc : () I este ftă dcă ş um dcă J este ftă () Dcă I ş J sut fte, tuc I J (ude remtm că pr I m ott crdlul lu I).

14 (cu 4 Demostrţe. (). Petru fecre I estă ( ) j j J de suport ft e f, ude C supp ( ) { j J } (cre A).î. j j C este mulţme ftă). Să demostrăm că JU j j C I j j J r petru cest fe j J. Deorece (e ) I este bză petru, estă b, b,, b A.î. f j b e b e. Deducem medt că : ( ) Dcă pr bsurd, f j b j f j b j C j C j f. j U j tuc cu tît m mult U j C I dec f j u se găseşte prtre elemetele ( U deducem că { f } { } Pr urmre j f k U k C p p U C I ) U f k k p C p j C k k ş ş stfel d ( ) este o mulţme lr depedetă, bsurd. J ş tuc este clr că dcă J este ftă tuc cu ecestte ş I este ftă (deorece C este mulţme ftă petru orce I). Alog deducem că dcă I este ftă tuc ş J este ftă. (). Ţâd cot de fptul că J ş de umte rezultte U C I elemetre d teor mulţmlor (vez Cptolul, prgrful ) deducem că I J. J UC C χ I I ş smetrc, I J, de ude I I Corolr.8. Dcă V este u K-spţu vectorl eul tuc orcre două bze le lu V u celş crdl. Observţ.9. Cev m tîrzu vom demostr u rezultt semăător Corolrulu.6. ş petru module (vez Teorem.5.). Defţ.. Dcă V este u K-spţu vectorl eul vom ot cu dm K V su [V:K] crdlul ue bze rbtrre lu V ce se v um dmesue lu V peste K.

15 Dcă dm K V este ftă vom spue despre V că este de dmesue ftă. Dcă V{} covem c dm K V. D cele epuse m îte deducem că dcă K este u corp orecre tuc dm K K, dm K m, (K)m, (m, ) r dm K K[X] este ftă. Dcă petru N otăm K [X]{f K[X] grd(f) }, tuc dm K K [X] (căc {, X,, X } este o bză lu K [X] peste K). Defţ.. Fe u A-modul stâg. U submodul propru N l lu se zce mml dcă N este elemet mml î ltce L A () submodulelor lu (dcă petru orce submodul propru N l lu.î. N N, vem NN ). Propozţ.. Petru u A-modul stâg ş u submodul propru N l lu următorele frmţ sut echvlete: () N este mml () NA petru orce \N () NN petru orce submodul N l lu.î. N N. Demostrţe. () (). Dcă N este mml, cum NA(N {}) (coform Observţe.8., ).) r N NA deducem medt că NA. () (). D N N deducem că estă N.î. N. Atuc NA (N {}) (N N ) NN ş cum NA deducem că NN, dcă NN. () (). Presupuem pr bsurd că N u este mml; tuc estă N submodul propru.î. N N ş N N. Cum N N r trebu c NN. Îsă NN N ş stfel jugem l cocluz flsă că N bsurd!. Teorem.. Fe u A-modul stâg ft geert. Atuc orce submodul propru N l lu este coţut îtr-u submodul mml. 5

16 Demostrţe. Fe P N mulţme submodulelor propr le lu ce coţ pe N (cum N P N deducem că P N Ø). Să rătăm cum că (P N, ) este o mulţme ductv ordotă r petru cest fe (N ) I o prte totl ordotă lu P N. Î mod evdet N este submodul l U N I lu ce coţe pe N. Dcă N u r f propru (dcă N ), cum este ft geert estă u umăr ft de geertor,, lu ş v est j I.î.,, N j de ude r rezult că N j, bsurd!. Dec N P N ş este u mjort petru (N ) I. Coform Leme lu Zor, P N coţe u elemet mml N ; deducem medt că N este submodul mml l lu ce coţe pe N. Defţ.4. U A-modul stâg se zce smplu dcă ş sgurul său submodul propru este submodulul ul. Dcă este u A-modul stâg ş N este u submodul l său ce c A-modul este smplu, tuc N se zce submodul mml. Observţ.5. Dcă este u A-modul stâg smplu, tuc estă,.î. A. Fe cum u A-modul stâg ş N u submodul l său. Deorece grupul (, ) este bel deducem că N ş dec putem vorb de grupul dtv fctor /N (vez Cptolul,.4). Remtm că /N{N }, ude N{y y N} r operţ de dure pe /N se defeşte stfel: (N)(yN)(y)N, orcre r f, y. Î coture să-l orgzăm pe /N c A-modul. Petru A 6

17 ş defm: (N)N /N. Dcă m vem y.î. NyN, tuc -y N ş dec (-y) N, de ude cocluz că NyN, dcă operţ deftă m sus este corectă. Se verfcă medt că î felul cest /N deve A-modul stâg cre portă umele de modulul fctor l lu pr submodulul N. Spuem de multe or că m fctorzt modulul pr submodulul său N. Dcă N tuc /N{ }{ } r dcă N, tuc /{ }{} r cum N este elemetul eutru l grupulu dtv (/N, ) covem să spuem că / este A-modulul ul (ott de obce pr ). Astfel, /N dcă ş um dcă N este submodul propru l lu (dcă N ). Observţ.6. Aplcţ p N : /N, p N ()N, orcre r f portă umele de surjecţ cocă; câd u este percol de cofuze î loc de p N vom scre smplu p r petru folosm deseor otţ p() ˆ. 7

18 . orfsme de module. Edomorfsme. Operţ cu morfsme de module. Imge, ucleul, comge ş coucleul uu morfsm de module. Ctegorle od s (A) ş od d (A). oomorfsme, epmorfsme, zomorfsme de module. Nucleul ş coucleul ue perech de morfsme. Teorem fudmetlă de zomorfsm petru module. Cosecţe. Şrur ecte de A-module. Fuctor h ş h de l od s (A) l Ab. Bmodule. Dulul ş bdulul uu modul. Defţ.. Fe ş N două A-module stâg. O fucţe f: N se zce morfsm de A-module (stâg) dcă () f(y)f()f(y) () f()f(), orcre r f, y ş A. Dcă ş N sut A-module drepte tuc () se îlocueşte cu ( ) f()f(), orcre r f ş A. orfsmele de A-module se m zc ş plcţ lre (su plcţ A-lre, dcă este percol de cofuze). Î coture e vom ocup dor de morfsmele de A-module stâg. Observţ... Se verfcă medt că dcă ş N sut două A-module stâg, tuc f: N este morfsm de A-module dcă ş um dcă f(by)f()bf(y), orcre r f, y ş, b A. Deorece î prtculr f este morfsm de grupur dtve deducem că f() ş f(-)-f(), orcre r f.. U morfsm de A-module f: se zce edomorfsm l lu ; î prtculr :, (), orcre r f este edomorfsm l lu (umt edomorfsmul detc l lu ).. Dcă este u A-modul stâg r N este u submodul l său, se verfcă medt că surjecţ cocă p N : /N, p N ()N, orcre r f este morfsm de A-module ş î cosecţă p N se v um morfsmul surjectv coc. De semee fucţ cluzue N, :N, N, (), orcre r f N este morfsm de module. 8

19 9 4. Dcă ş N sut două A-module stâg, tuc fucţ : N, (), orcre r f este morfsm de module umt morfsmul ul. 5. Dcă este u A-modul ul ş u A-modul rbtrr, tuc morfsmul ul este sgurul morfsm de module de l l c ş de l l. Petru două A-module stâg ş N vom ot Hom A (, N){f: N f este morfsm de A-module} r petru f, g Hom A (, N) defm fg: N pr (fg)()f()g(), orcre r f. Propozţ.. (Hom A (, N), ) este grup bel. Demostrţe. Se verfcă medt că dure morfsmelor este soctvă, comuttvă ş dmte morfsmul ul : N c elemet eutru. Petru f Hom A (, N), fe f: N dtă pr ( f)()-f(), orcre r f. Deorece petru orce, y ş, b A vem ( f)(by)-f(by)-(f()bf(y))-f()-bf(y)(-f())b(-f(y)) deducem că -f Hom A (, N) ş cum f(-f)(-f)f rezultă că f este opusul lu f î Hom A (, N). Propozţ.4. Fe, N, P tre A-module stâg ş f Hom A (, N), g Hom A (N, P). Atuc g f Hom A (, P). Demostrţe. Îtr-devăr, dcă, y ş, b A tuc (g f)(by)g(f(by))g(f()bf(y))g(f())bg(f(y))(g f)() b(g f)(y), de ude cocluz că g f Hom A (, P). Propozţ.5. Fe, N două A-module stâg ş f Hom A (, N). Atuc: () L A () f ( ) L A (N) () N L A (N) f - (N ) L A (). Demostrţe. (). Ţem cot de Propozţ.5. r petru cest fe f(), y f(y) d f( ) (cu, y ) ş, b A. Deorece

20 y f()bf(y)f(by) f( ) (căc by ) deducem că f( ) L A (N). (). se probeză log cu (). Propozţ.5. e permte să dăm următore defţe: Defţ.6. Fe, N două A-module stâg r f Hom A (, N). Pr: ) Imge lu f (ottă Im(f)) îţelegem Im(f)f() ) ) v) Nucleul lu f (ott Ker(f)) îţelegem Ker(f)f - (){ f()} Comge lu f (ottă Com(f)) îţelegem Com(f)N/Im(f). Coucleul lu f (ott Coker(f)) îţelegem Coker(f)/Ker(f)). D cele epuse m sus deducem că modulele l stâg (drept) peste u el A formeză o ctegore pe cre o vom ot pr od s (A) ( od d (A) ) î cre obectele sut A-modulele l stâg (drept), morfsmele sut morfsmele de A-module stâg (drepte) r compuere este compuere obşută fucţlor. Petru umte chestu legte de ctegor (defţ, rezultte de bză, etc) recomdăm cttorlor 5. Î coture vom crcterz moomorfsmele, epmorfsmele ş zomorfsmele î od s (A). Teorem.7. Î ctegor od s (A) () moomorfsmele cocd cu morfsmele jectve () epmorfsmele cocd cu morfsmele surjectve () zomorfsmele cocd cu morfsmele bjectve. Demostrţe. Fe, N două A-module ş f Hom A (, N). (). Să presupuem l îceput că f este c fucţe o jecţe ş să demostrăm că f este tuc moomorfsm î od s (A) r petru cest să m legem P u A-modul stâg ş g, h Hom A (P, ).î. f gf h. Atuc f(g())f(h()), orcre r f P ş cum f este jecţe

21 deducem că g()h(), orcre r f P, dcă gh ş dec f este moomorfsm î ctegor od s (A). Recproc, să presupuem că f este moomorfsm î od s (A) ş să demostrăm că f c fucţe este jecţe. Dcă pr bsurd f u este jecţe, tuc cum f este î prtculr morfsm de grupur dtve deducem că Ker(f). Alegâd PKer(f) ş g, h:p, g (morfsmul ul) r h P, (morfsmul cluzue de l P l ) vem î mod evdet f gf h ş cum P, g h -bsurd (căc m presupus că f este moomorfsm). (). Să presupuem că f este c fucţe o surjecţe ş să demostrăm că f este epmorfsm î od s (A). Petru cest m legem P u lt A-modul stâg ş g, h Hom A (N, P).î. g fh f. Dcă vem y N, cum f este surjecţe putem scre yf() cu ş d g fh f deducem că g(f())h(f()) g(y)h(y), de ude gh, dcă f este epmorfsm î ctegor od s (A). Recproc, să presupuem că f este epmorfsm î od s (A) ş să demostrăm că f c fucţe este surjecţe. Dcă pr bsurd f u este surjecţe, tuc Im(f)f() N ş legâd PN/Im(f)Com(f) vem că P. Cosderâd morfsmele g, h:n P, gmorfsmul ul r hp Im(f) vem că g h (căc P ) r g fh f -bsurd (căc m presupus că f este epmorfsm). (). Deorece zomorfsmele sut î prtculr moomorfsme ş epmorfsme, dcă f este zomorfsm î od s (A), tuc f este cu ecestte jecţe ş surjecţe dec bjecţe. Recproc, dcă f r f bjecţe, tuc se probeză medt că gf : N este morfsm de A-module stâg ş cum g f r f g N deducem că f este zomorfsm î od s (A). Observţ.8. Dcă f: N este u zomorfsm de A-module stâg vom spue despre ş N că sut zomorfe ş vom scre N. U edomorfsm l lu ce este zomorfsm se zce utomorfsm l lu. Notăm pr Ed() (respectv Aut()) mulţme edomorfsmelor (utomorfsmelor) lu. Se verfcă medt pr clcul că (Ed(),, o ) este el umt elul edomorfsmelor lu (ude dou lege de compozţe este compuere edomorfsmelor!).

22 Teorem.9. Ctegor od s (A) este o ctegore cu uclee ş couclee de săgetă dublă. Demostrţe. Fe, N două A-module stâg ş f, g Hom A (, N). Alegem K{ f()g()} ş K, :K cluzue. Se probeză medt că dcă, y K ş, b A tuc by K, dcă K este submodul l lu. Să demostrăm cum că dubletul (K, )Ker(f, g). Codţ f K, g K, se verfcă d felul î cre m deft pe K. Dcă m vem K u lt A-modul stâg ş :K u morfsm de A-module stâg.î. f g, tuc f( ())g( ()), orcre r f K, dcă () K. Se probeză medt că u:k K deft pr u() (), orcre r f K, este ucul morfsm de A-module cu proprette că K, u, de ude deducem că îtr-devăr (K, )Ker(f, g). Petru czul coucleulu perech (f, g), fe hf-g Hom A (, N), PN/Im(f-g) ş p:n P epmorfsmul coc. Să demostrăm l îceput că p fp g, r petru cest fe. Atuc p(f())p(g()) f()-g() Im(f-g), cee ce este devărt. Fe cum N u lt A-modul stâg ş p :N N u lt morfsm de A-module.î. p fp g. Defm v:p N pr v(im(f-g))p (), orcre r f N. Dcă, y N ş Im(f-g)yIm(f-g), tuc -y Im(f-g), dcă -y(f-g)(z) cu z. Deducem că p (-y) p ((f-g)(z))p (f(z)-g(z))p (f(z))-p (g(z)) (deorece p fp g), dcă v este corect deftă. Se verfcă cum medt că v este ucul morfsm de A-module cu proprette că v pp, de ude cocluz că (P, p)coker(f, g). Observţ.. Ţâd cot de teorem de m îte ş de Defţ.6. deducem că dcă f Hom A (, N), tuc Ker(f) Ker(f, ) r Coker(f)Coker(f, ).

23 Î coture vom prezet umte rezultte cuoscute sub umele de teoremele de zomorfsm petru module (semăătore cu teoremele de zomorfsm petru grupur ş ele; vez Cptolele, ). Teorem.. (Teorem fudmetlă de zomorfsm). Dcă ş N sut două A-module r f Hom A (, N), tuc /Ker(f) Im(f). Demostrţe. Defm g: /Ker(f) Im(f) pr g(ker(f))f(), orcre r f. Dcă, y ş Ker(f)yKer(f), tuc -y Ker(f), dec f()f(y), dcă g este corect deftă. Se verfcă medt că g este morfsm bjectv de A-module, de ude cocluz d euţ. Corolr.. Dcă f Hom A (, N) este surjecţe tuc /Ker(f) N. Corolr.. (Noether) Dcă N ş P sut două submodule le modululu, tuc (NP)/N P/(P N). Demostrţe. Fe f:p (NP)/N, f()n, orcre r f P. Se verfcă medt că f este morfsm surjectv de A-module r Ker(f)P N. Coform Corolrulu.., P/Ker(f) (NP)/N P/P N (NP)/N. Corolr.4. (Noether) Dcă N ş P sut două submodule le modululu.î. N P tuc (/N)/(P/N) /P. Demostrţe. Fe f:/n /P, f(n)p, orcre r f. Dcă m vem y, d NyN -y N P -y P PyP, dec f este corect deftă. Se probeză medt că f este morfsm surjectv de A-module r Ker(f)P/N, stfel că totul rezultă d Corolrul.. Observţ.5.. Î umte cărţ de mtemtcă, Corolrele.. ş.4. sut umte lătur de Teorem fudmetlă de zomorfsm.. c fd,,teoremele de zomorfsm petru module.. Teorem.. se m pote formul ş stfel:

24 Dcă ş N sut două A-module, tuc estă u uc zomorfsm de A-module u:com(f)/ker(f) Im(f).î. dgrm de m jos să fe comuttvă, dcă f Im(f),N u p Ker(f) (ude remtm că p Ker(f) este epmorfsmul coc r Im(f), N este morfsmul cluzue de l Im(f) l N). f N p Ker(f) Im(f),N 4 Com(f) Im(f) u Fe, N două A-module, f: N u morfsm de A-module, X( ) I ş Y(y ) I N.î. f( )y petru orce I. Propozţ.6. () Dcă d A X ş f este moomorfsm, tuc d A Y () Dcă d A Y, tuc d A X () Dcă (X) ş f este epmorfsm, tuc N(Y) (v) Dcă N(Y), tuc f este epmorfsm (v) Dcă f este zomorfsm, tuc X este bză lu dcă ş um dcă Y este bză lu N. Demostrţe. (). Fe Iʹ I ftă.î. I y cu A, petru Iʹ. Atuc f f( ) y ş cum f este c I I I fucţe o jecţe deducem că. Cum d AX deducem că petru orce Iʹ, dcă d A Y. (). Alog c l (). I (). Fe y N. Cum f este epmorfsm, estă.î. f()y. Deorece (X), estă Iʹ I ftă.î. cu A, petru Iʹ. I f y, de ude cocluz că N(Y). Atuc yf() ( ) I I

25 (v). Dcă y N, tuc cum N(Y) estă Iʹ I ftă.î. y y cu A. Cum y f( ) obţem că y f I, dcă f este I surjecţe. lber. 5 (v). Rezultă medt d ()-(v). Corolr.7. U A-modul zomorf cu u A-modul lber este Demostrţe. Fe ş N două A-module zomorfe, cu lber. Dec estă f: N u zomorfsm de A-module, stfel că dcă X, X( ) I este o bză lu, Y(f( )) I este o bză lu N (coform Propozţe.6.). Corolr.8. Fe u A-modul r L u submodul l său. Atuc: () Dcă este ft geert tuc ş /L este ft geert () Dcă L ş /L sut ft geerte rezultă că ş este ft geert. Demostrţe. (). Dcă cosderăm epmorfsmuul coc p: /L, totul rezultă d Propozţ.6., (). (). Să presupuem că ({e,,e })L ş ({,, })/L m (ude,, m r petru m ott p()). Dcă, tuc estă,, m A.î. m m -( m m ) L stfel că estă b,,b A.î. m m b e b e, de ude cocluz că ({,, m,e,,e }). lbere). Teorem.9. (Proprette de uversltte modulelor Fe u A-modul lber de bză X(e ) I. Petru orce A-modul N ş orce fmle Y(y ) I de elemete d N estă u uc morfsm f Hom A (, N).î. f(e )y petru orce I (ltfel zs, orce fucţe f:x N se etde î mod uc l u morfsm de A- module fʹ: N).

26 Demostrţe. Dcă, tuc e, ude A sut I uc determţ ş prope toţ ul. Defm f: N pr def ( ) I f y ş se verfcă medt că f Hom A (, N) r f(e )y petru orce I. Dcă m vem g Hom A (, N).î. g(e )y petru orce I, tuc petru orce, I vem g g e f e f, de ude gf. ( ) ( ) ( ) ( ) I I Teorem.. ( defectulu) Fe V ş W două K-spţ vectorle de dmesu fte r f Hom K (V, W). Atuc: dm K Ker(f)dm K Im(f)dm K V. Demostrţe. Fe (v ) bză petru Ker(f) r (w j ) j m bză petru Im(f). Alegem (v jʹ) m V.î. f(v jʹ)w j petru orce j m. Vom demostr că B{v,,v, v ʹ,,v mʹ} este o bză petru V ş stfel teorem v f demostrtă. Să rătăm l îceput d K B r petru cest fe α,,α, β,,β m K.î. α v α v β v ʹ β m v mʹ. Deducem că α f(v ) α f(v )β f(v ʹ) β m f(v mʹ) su β w β m w m, de ude β β m. Atuc α v α v, de ude ş α α. Petru răt că B este ş sstem de geertor petru V (dcă (B)V), fe V. Atuc f() Im(f) ş dec estă β,,β m K.î. f()β w β m w m β f(v ʹ) β m f(v mʹ)f(β v ʹ β m v mʹ), de ude cocluz că -(β v ʹ β m v mʹ) Ker(f), dcă estă α,,α K.î. -(β v ʹ β m v mʹ)α v α v α v α v β v ʹ β m v mʹ. Corolr.. Fe V u K spţu vectorl de dmesue ftă r Vʹ V u subspţu l lu V. Atuc dm K Vdm K Vʹdm K (V/Vʹ). 6

27 7 Demostrţe. Dcă p:v WV/Vʹ este epmorfsmul coc, tuc Ker(p)Vʹ, Im(p)V/Vʹ ş totul rezultă d Teorem.. Fe u A-modul ş. Notăm A A (){ A }. Propozţ.. Petru orce, A A () A este del l stâg l lu A. Demostrţe. Dcă, b A A (), tuc b ş cum (-b)-b deducem că -b A A (). Dcă A A () ş c A tuc dec ş (c), dcă c A A (), de ude cocluz cerută. Corolr.. Dcă otăm AA( ) I AA( ), tuc A A () este del blterl l lu A. Demostrţe. Cum A A () este tersecţe de dele l stâg le lu A deducem că A A () este del l stâg l lu A. Dcă A A () ş c A, tuc (c)(c), dcă c A A () ş dec A A () este ş del l drept, dcă este blterl. Să cosderăm u A-modul, I A, u del blterl.î. I A A () ş A A/I. Petru A otăm I. Lem.4. Aplcţ φ: A, φ(, ) este corect deftă ş coferă grupulu bel subcet A-modululu o structură de A -modul. mult, submodulele lu c A -modul cocd cu submodulele lu c A-modul. Demostrţe. Dcă, b A.î. b, tuc -b I A A (), dec (-b) petru orce, dcă b, ş dec φ este corect deftă. Restul frmţlor se probeză medt. Teorem.5. Fe A u el comuttv utr cu ş L u A-modul lber ce dmte o bză ftă. Atuc tote bzele lu L sut fte ş dmt celş umăr de elemete.

28 Demostrţe. Fe u del mml (vez Cptolul, ) r L mulţme combţlor lre fte le elemetelor d L cu sclr d (dcă L{,, ş,, L}). Se deduce medt că L este u A-submodul l lu L ş fe VL/L. Cum KA/ este corp (vez Cptolul, ) ş A A (V), ţâd cot de Lem.4., deducem că V deve î mod coc K-spţu vectorl. Vom ot petru A pr mge lu pr epmorfsmul coc A A/LK r pr p:l VL/L celăllt epmorfsm coc. Fe B{e,,e } L o bză ftă lu L (ce estă coform euţulu). Este sufcet să demostrăm că p(b){p(e ),,p(e )} este o bză lu V c spţu vectorl peste K (vez Corolrul.8.). Cum p este epmorfsm, coform Propozţe.6., deducem că p(b) este u sstem de geertor lu V. vem de demostrt d K p(b) r petru cest fe,, K (,, A).î. p( e ) p( e ) p( ). Obţem că p(e ) p(e )p() p( e e )p(), dcă e e L, dec estă m,,m.î. e I I m e, de ude deducem că m,, dec,, dcă d K p(b). Defţ.6. Spuem că u A-modul lber L este de rg ft dcă dmte o bză ftă ş re proprette de vrţă umărulu elemetelor bze, umăr ce se oteză pr rg A L. Coform Teoreme.5., dcă A este el utr comuttv cu, tuc orce A-modul lber ce dmte o bză ftă se bucură de proprette de vrţă umărulu de elemete d ce bză. ft): Defţ.7. U şr de morfsme ş A-module (ft su () f f f f f. 8

29 se umeşte şr ect de module dcă Im(f - )Ker(f ) petru orce î czul î cre şrul () este ft ş petru orce î czul î cre şrul () este ft ş de lugme ( ). Spuem că şrul () este ect î dcă Im(f - )Ker(f ) ( < < ). Să observăm că dcă ş N sut două A-module stâg r f Hom A (, N) tuc ) Şrul f N este ect f este moomorfsm ) Şrul f N este ect f este epmorfsm ) Şrul f N este ect f este zomorfsm. U şr ect de A-module f g se umeşte şr ect scurt su o etese lu pr. Eemple.. Dcă f Hom A (, N) tuc şrul: f p Ker( f ) N Co ker( f ) ude cluzue r pepmorfsmul coc este u şr ect.. Dcă este u A-modul r N u submodul l său, tuc şrul: p N / N ude cluzue r pepmorfsmul coc este eemplul clsc de şr ect scurt. Propozţ.8. (Lem celor cc morfsme). Î od s (A) cosderăm dgrm comuttvă f f f f4 4 5 h h h h 4 h 5 N g g g g4 N N N 4 N 5 cu lle şrur ecte. Dcă 9

30 () Coker(h ), Ker(h ), Ker(h 4 ), tuc Ker(h ) () Coker(h ), Coker(h 4 ), Ker(h 5 ), tuc Coker(h ). Demostrţe. (). Fe.î. h () ş să demostrăm că. Avem că (g h )()g (h ())g () ş cum h 4 f g h h 4 (f ()) f () Ker(h 4 ) f () Ker(f ) Im(f ) f ( ) cu. Cum g h h f g (h ( )) h (f ( ))h () h ( ) Ker(g )Im(g ), dec h ( )g (y) cu y N. Cum h este surjecţe (căc Coker(h )), yh ( ) cu. Astfel, h ( )g (h ( ))h (f ( )), de ude f ( ). Dr tuc f ( )f (f ( )), de ude. Alog se verfcă ş (). Lem.9. Î od s (A) cosderăm dgrm comuttvă: f N u v f N Atuc estă ş sut uce morfsmele u ş v.î. dgrm: f p ( f ) N Co ker( f ) Ker u u v v f p ( f ) N Co ker( f ) Ker să fe comuttvă, ude, sut cluzule coce r p, p sut epmorfsmele coce.

31 Demostrţe. Dcă Ker(f), tuc f (u())v(f())v(), dcă u() Ker(f ) ş stfel u se v def pr u ()u(), petru orce Ker(f). Dcă yim(f) Coker(f), defm v (yim(f))v(y)im(f ) ş cum v(im(f)) Im(f ) deducem că ş v este be deftă. Se verfcă cum medt că u ş v sut morfsmele căutte. Propozţ.. (Lem serpete). Î od s (A) cosderăm dgrm comuttvă: f g u u u f g N N N Atuc estă u morfsm h:ker(u ) Coker(u ).î. şrul f g h f g Ker( u ) Ker( u) Ker( u ) Coker( u ) Coker( u) Coker( u ) este ect, ude f, g, f, g sut morfsmele descrse î Lem.8. Demostrţe. Dcă Ker(u ), tuc estă.î. g(). Atuc u ( )u (g())g (u()), de ude rezultă că u() Ker(g )Im(f ), dcă estă y N.î. u()f (y ). Defm h:ker(u ) Coker(u ) pr h( )y Im(u ) ş să rătăm că h este corect deftă. Fe dec cu g( ) ş y N cu u( )f (y ). Cum g( )g() - Ker(g)Im(f), dec estă.î. - f( ). Dec u() u( f( )) f (y )u(f( )) f (y )f (u ( )) f (y u ( )), de ude f (y )f (y u ( )) ş dec y y u ( ), dcă y Im(u )y Im(u ), de ude cocluz că h este corect deftă. Se verfcă cum medt că h este morfsm î od s (A) ş re proprette d euţ.

32 Fe od s (A) ft. Petru N od s (A) defm h (N)Hom A (, N); coform Propozţe.., h (N) împreuă cu dure morfsmelor deve grup bel. Dec, dcă otăm cu Ab ctegor le căre obecte sut grupurle belee r morfsmele sut morfsmele de grupur, tuc h (N) Ab. α h (N). Să m cosderăm P od s (A) ş f Hom A (N, P). Defm h (f):h (N) h (P) pr h (f)(α)f α, orcre r f Deorece petru orcre α, β h (N), h (f)(αβ)f (αβ)f αf βh (f)(α)h (f)(β) deducem că h (f) este morfsm î Ab. Lem.. h :od s (A) Ab este u fuctor covrt. Demostrţe. Dcă vem N, P, Q od s (A) cum h ( )(α) αα, orcre r f α h () deducem că h ( ) h ( ) r d h (f g)(α)(f g) αf (g α)(h (f) h (g))(α), orcre r f f Hom A (N, P), g Hom A (P, Q) ş α h (N) deducem că h (f g)h (f) h (g), dcă h este fuctor covrt de l od s (A) l Ab. Observţ.. Alog se probeză că h :od s (A) Ab deft pr h (N)Hom A (N, ) orcre r f N od s (A) r petru P od s (A) ş f Hom A (N, P) h (f):h (P) h (N) h (f)(α)α f, orcre r f α h (P) este fuctor cotrvrt de l od s (A) l Ab. Propozţ.. Petru orce od s (A), fuctorul h duce moomorfsme î moomorfsme r h duce epmorfsme î moomorfsme. Demostrţe. Remtm că î Cptolul se probeză că î Ab moomorfsmele cocd cu morfsmele jectve de grupur, epmorfsmele cu morfsmele surjectve de grupur r crcterzre

33 moomorfsmelor ş epmorfsmelor î od s (A) este dtă de Teorem.7. Fe f Hom A (N, P) u moomorfsm î od s (A) ş h (f):h (N) h (P). Să legem α h (N).î. h (f)(α) ş să probăm că α. Avem că f α, dcă f(α()), orcre r f. Cum f este moomorfsm deducem că α(), orcre r f, dcă α, dec h (f) este moomorfsm î Ab. Fe cum f Hom A (N, P) u epmorfsm î od s (A) ş să probăm că h (f):h (P) h (N) este moomorfsm î Ab. Petru cest fe α h (P).î. h (f)(α) α f. N f P α Dcă y P, cum m presupus că f este epmorfsm î od s (A), estă N.î. yf(). Atuc α(y)α(f())(α f)() ş cum y este orecre deducem că α, dcă h (f) este moomorfsm î Ab. Î coture prezetăm u rezultt cre e rtă cum,,trsportă fuctor h ş h şrurle ecte d od s (A) î Ab. Propozţ.4. Fe od s (A) () Dcă g g N N N este u şr ect î od s (A), tuc şrul () ( ) ( ) h ( N ) g g h ( N) h ( N ) este ect î Ab. () Dcă P f P P este u şr ect î od s (A), tuc şrul () h ( f ) h ( f ) h ( P ) h ( P) h ( P ) este ect î Ab. Demostrţe. (). Deorece g este moomorfsm î od s (A), coform Propozţe.., h (g ) este moomorfsm î Ab, stfel că şrul () este ect î h (N ). Petru prob că şrul () este ect m vem

34 de probt ecttte s î h (N) ş ume că Ker(h (g ))Im(h (g )). Deorece g g deducem că h (g ) h (g ), dcă Im(h (g )) Ker(h (g )). Petru celltă cluzue fe α Ker(h (g )) dcă h (g )(α) g α. Trebue să costrum β h (N ).î. αh (g )(β) αg β. 4 Fe ; tuc g (α()), de ude α() Ker(g )Im(g ), dec estă u uc N.î. α()g ( ) (căc g este moomorfsm î od s (A)). Defm tuc β: N pr β() ş se probeză medt că β este morfsmul de A-module căutt. Avem dec egltte Ker(h (g ))Im(h (g )), dcă şrul () este ect. este (). Se probeză log c (). Să presupuem că î fr elulu A m vem u el utr B. Defţ.5. Spuem despre grupul bel dtv că (A; B)-bmodul dcă este A-modul stâg ş B-modul drept ş î plus ()b(b) petru orce, A ş b B. Pr otţ A B vom cosem fptul că este (A; B)-bmodul. Eemple. Orce modul peste u el comuttv A este u (A; A)-bmodul.. Dcă f:a B este u morfsm de ele utre, tuc (B, ) deve î mod coc (A; B)-bmodul ude structur de A-modul stâg se obţe defd petru B ş A, f(). Î prtculr cosderâd f A deducem că orce el A re structură cocă de (A; A)-bmodul.. Dcă este u A-modul drept tuc defd petru ş f Ed A ()B f f(), deve stfel u (B; A)-bmodul. Să cosderăm cum u A-modul l stâg r N u (A; B)-bmodul ş grupul bel Hom A (, N) (gorâd structur de B-modul l drept lu N).

35 Defd petru f Hom A (, N) ş b B, fb: N pr (fb)()f() b orcre r f, tuc se verfcă uşor că î felul cest Hom A (, N) deve B-modul l drept. mult, dcă f: ʹ este u morfsm î ctegor od s (A) tuc h N (f):h N (ʹ) h N () pr h N (f)(α)α f petru orce α h N (ʹ)Hom A (ʹ, N) este u morfsm î od d (B). Astfel, obţem fuctorul cotrvrt h N :od s (A) od d (B). Alog, dcă este u B-modul l drept ş N este u (A; B)-bmodul, tuc obţem fuctorul cotrvrt h N :od d (B) od s (A), pe câd dcă este u (A; B)-bmodul ş N este u A-modul stâg, tuc vem fuctorul covrt h :od s (A) od s (B). Dcă este u (A; B)-bmodul ş N este u B-modul l drept, tuc vem fuctorul covrt h :od d (B) od d (A). Defţ.6. Dcă este u A-modul l stâg pr dulul lu îţelegem A-modulul l drept h A () Hom A (, A) *. Elemetele lu * se umesc forme lre pe. D cele stblte m îte, petru f * f *, ude petru, (f )()f(). Dcă f: N este u morfsm d ş A vem od s (A), tuc h A (f):n * * deft pr h A (f)(α)α f petru orce α N * este u morfsm î od d (A). Covem să otăm t fh A (f) ş să-l umm pe t f c fd trspusul lu f. Observţ.7. Se probeză medt că dcă, N, P od s (A) ş f, g Hom A (, N), tuc t (fg) t f t t g ş * r dcă f Hom A (, N) ş g Hom A (N, P) tuc t (g f) t f t g. Ţâd cot de otţle de m sus c ş de Propozţ.4. de l Cptolul 6 vem că dcă f g N P este u şr 5

36 g f ect î od s (A), tuc P * t N * t * este u şr ect î od d (A), r dcă f N este u epmorfsm î od s (A), tuc t f:n * * este u moomorfsm î od d (A). De semee, dcă f N este u este zomorfsm î od s (A), tuc t f:n * * este u zomorfsm î od d (A) ş î plus t (f - )( t f) -. Defţ.8. Fe od s (A). Pr bdulul lu îţelegem A-modulul l stâg ** ( * ) *. Propozţ.9. Aplcţ ρ : ** deftă pr ρ ()(f)f() petru orce ş f * este u morfsm de A-module stâg (umt morfsmul coc l lu î bdulul său). Demostrţe. Îtr-devăr, dcă, y ş A tuc prob că ρ (y)ρ ()ρ (y) ş că ρ () ρ () reve l prob că petru orce f * vem f(y)f()f(y) ş f() f(), cee ce este evdet. Corecttude defr lu ρ rezultă d cee că dcă f, g *, tuc ρ ()(fg)(fg)()f()g()ρ ()(f)ρ ()(g) ş ρ ()(f)(f)()f()ρ ()(f). Petru orce morfsm f: N d od s (A) vem următore dgrmă comuttvă d od s (A): f N ρ ρ N ** N ** tt f ude tt f t ( t f). 6

37 7 Îtr-devăr, dcă vem ( tt f ρ )() t ( t f)(ρ ())ρ () t f ş (ρ N f)()ρ N (f()) ş cum petru orce α N * Hom A (N, A) vem (ρ () t f)(α)ρ ()( t f(α))ρ ()(α f)(α f)()α(f())ρ (f())(α) deducem că ρ () t fρ N (f()) ş dec tt f ρ ρ N f, dcă dgrm de m îte este comuttvă. Să presupuem că este u A-modul stâg lber vâd bz {e,, e }. D proprette de uversltte modulelor lbere (Teorem.9.) deducem că estă e * j * cu j.î. petru j * e j ( e ) δ j (, j ). petru j Propozţ.4. Cu otţle de m îte {e *,, e * } este o bză A-modululu drept * umtă dul bze{e,, e }. Î prtculr deducem că * este A-modul lber. Demostrţe. Petru orce f * * vem f e f ( ) j j e j deorece. j j Deducem dec că {e *,, e * } este u sstem de geertor * * * petru orce, e ( ) ( ) ( ) ( ) j f e j e e j e f e j e ( e) f( e) f( e) petru *. Petru răt ş A-depedeţ cestor, fe,, A.î. e * e *.. j j * * * Avem ( e )( e ) e ( e ) e ( e ) j j j j petru orce Corolr.4. Dcă este u A-modul stâg de bză ftă, tuc morfsmul coc ρ : ** este zomorfsm de A-module stâg. Demostrţe. Fe {e,, e } o bză î r {e *,, e * } dul e î *. Dcă {e **,, e ** } este dul î ** bze {e *,, e * } lu *, tuc petru orce j vem ρ (e )(e j * )e j * (e )δ j e ** (e j * )

38 dec ρ (e )e ** petru. Deducem că ρ duce o bză lu î bză lu **, dcă este zomorfsm.. Produse ş sume drecte î od s (A). Sume drecte de submodule. Produse ş sume drecte de morfsme de A- module. Sume ş produse fbrte î od s (A). Î cele ce urmeză pr I vom desem o mulţme evdă (ce v f folostă î ce m mre prte c mulţme de dc) r pr ( ) I o fmle de A-module. Propozţ.. Î od s (A) estă produsul drect ş sum drectă fmle ( ) I. Demostrţe. Să probăm l îceput esteţ produsulu drect r petru cest fe X {( ) I petru orce I}. Petru, y, ( ) I, y(y ) I ş A defm: I y( y ) I ş ( ) I. Lăsăm pe sem cttorulu verfcre fptulu că î felul cest deve A-modul c ş fptul că petru orce j I, proecţ p j : j (deftă pr p j () j petru orce ( ) I ) este morfsm de A- module. Să probăm cum că ( ( ), p ) j r petru cest fe j I I ʹ u lt A-modul r (p jʹ) j I o fmle de morfsme de A-module cu p jʹ:ʹ j ʹ u p jʹ p j j 8

39 Defd u:ʹ pr u()((p jʹ()) j I petru orce ʹ se verfcă medt că u este ucul morfsm de A-module cu proprette că p j up jʹ petru orce j I, de ude cocluz dortă. Să probăm cum esteţ sume drecte fmle ( ) I r petru cest fe S{ supp() este ftă}, ude petru ( ) I supp(){ I }. Se rtă medt că S este submodul l lu r α : S deft petru pr α ( )( jʹ) j I cu jʹ petru j ş jʹ petru j este morfsm de A-module. Să probăm cum că î od s (A) S, α C I ( ( ) ) I r petru cest fe Sʹ u lt A-modul r (α jʹ) j I o ltă fmle de morfsme de A-module cu α ʹ: Sʹ petru orce I. Petru S, α (deorece Jsupp() este ftă, defm v:s Sʹ pr v() ( ) J sum de m sus re ses). Se probeză medt că v este morfsm de A- module r v α α ʹ petru orce I. α α ʹ S v vʹ Sʹ 9 Dcă m estă u lt morfsm de A-module vʹ:s Sʹ.î. α ş dec vʹ α α ʹ petru orce I, tuc petru S vem ( ) vʹ()vʹ( α ( ) ) v ( α ( ) ) α ( ) J cocluz dortă. J J J v(), dcă vʹv, de ude

40 Observţ... De multe or (dcă u este percol de cofuze) câd vorbm de produsul drect su sum drectă îţelegem dor A-modulul subcet (fără m specfc fmlle (p ) I su (α ) I de morfsme structurle).. Dcă I este o mulţme ftă tuc C. Propozţ.. U A-modul S este sumă drectă de jecţ coce (α ) I modulelor ( ) I dcă ş um dcă petru orce S estă uc determţ ş prope toţ ul.î. α. I ( ) Demostrţe.,,. Dcă cosderăm L{ S estă α }, se verfcă medt că L este I prope toţ ul.î. ( ) submodul l lu S ş să cosderăm epmorfsmul coc p:s S/L. Cum Im(α ) L petru orce I deducem că p α petru orce I. I Să cosderăm petru fecre I dgrm: I α α ʹ S p S/L cu p α α ʹ. Deorece p ş morfsmul ul :S S/L îchd dgrm de m îte (petru orce I), dtortă uctăţ d defţ sume drecte, deducem că p, dcă SL. p o α (p j α j )( j ) ( ) j j I Dcă α ( ), tuc p j () ( )( ) j (p j fd proecţ cocă), de ude deducem uctte screr lu c î euţ. I j 4

41 4,,. Petru prob că ( S, ( α ) ) C, fe Sʹ u lt A- I I modul r (α ʹ) I o fmle de morfsme de A-module cu α ʹ: Sʹ. α ş se verfcă Petru S, α ( ), defm u:s Sʹ, u() ( ) I medt că u este ucul morfsm de A module cu proprette că u α α ʹ, petru orce I, de ude cocluz d euţ. Propozţ.4. Fe u A-modul r ( ) I o fmle de submodule le lu, S r α : S, I morfsmele I cluzue. Următorele frmţ sut echvlete: S, α () C ( ( ) ) I I () Orce S se scre î mod uc sub form ( ) () Dcă I (v) Petru orce I, I I α, cu, prope tote ule tuc j. j Demostrţe. Echvleţ () (). rezultă d Propozţ.. r () (). este evdetă. dec - j - j () (v). Fe j j j. Atuc ş j, de ude î prtculr, dcă (v) (). Fe.î. I j j j, dec., j. j. Petru orce I vem Defţ.5. Dcă o fmle ( ) I de submodule le lu stsfce u d codţle echvlete le Propozţe.4. spuem j

42 că sum S este drectă ş cosemăm cest fpt pr otţ I S ş spuem că fecre este sumd drect l lu S. I Eemple.. Dcă este u A-modul lber de bză (e ) I Ae. tuc ( ) I. Dcă V este u K-spţu vectorl, tuc orce subspţu Vʹ l lu V este sumd drect l lu V. Îtr-devăr, dcă (e ) I este o bză lu Vʹ r (f j ) j J este o bză lu V ce se obţe pr completre lu (e ) I tuc otâd pr Vʹʹ subspţul lu V geert de vector f j Vʹ, deducem că VVʹ Vʹʹ.. Fe ş două A-module stâg r {(, y) ş y }. Dcă {(, ) } ş {(, y} y }, tuc ş sut submodule le lu r. Defţ.6. Dcă od s (A) ş f Ed(), vom spue despre f că este u proector l lu dcă f este elemet dempotet l elulu (Ed(),, ) (dcă f f ). Propozţ.7. Petru od s (A) ş N, P L A (), următorele frmţ sut echvlete: () N P () Estă u uc proector f Ed().î. NIm(f) ş PKer(f). Demostrţe. () (). Dcă, cum N P estă ş sut uce y N ş z P.î. yz. Defd f: pr f()y se verfcă medt că f Ed() ş cum f()f() vem f(f())f(), dcă f este u proector l lu. Î mod evdet NIm(f) ş PKer(f). Dcă m vem u lt proector g Ed().î. NIm(g) ş PKer(g) scrd petru, yz, cu y N ş z P vem g()g(y)g(z)g(y)yf(), dcă fg. 4

43 () (). Dcă, d f(f())f() deducem că f(-f()), dcă -f() Ker(f), dec Ker(f)Im(f). Dcă Ker(f) Im(f), tuc f() ş cum f(y) cu y vem f()f(f(y))f(y), dcă Ker(f) Im(f) ş stfel Ker(f) Im(f). Corolr.8. Dcă, N od s (A) r f: N este morfsm de A-module versbl l drept tuc N este sumd drect l lu. Demostrţe. D poteză estă g:n morfsm de A-module.î. f g N. Deducem medt că f este epmorfsm r g este moomorfsm de A-module ş dec NIm(f) r Ker(f)Ker(g f). Dcă otăm pg f, tuc p p p(g f) (g f)g (f g) f g N fg fp, dcă p este proector l lu ş dec Ker(p) Im(p) (coform Propozţe.7.). Coform Teoreme.. vem: NIm(f) /Ker(f)/Ker(p) Im(p), dcă N este sumd drect l lu. Alog se demostreză cum: Corolrul.9. Dcă, N od s (A) r f: N este morfsm de A-module versbl l stâg, tuc este sumd drect l lu N. Fe ( ) I ş (N ) I două fml de A-module r (f ) I o fmle de morfsme de A-module cu f : N. Defm f : N pr f()(f ( )) I petru orce ( ) I (cu ) ş g I I : C C N c fd restrcţ lu f l C I I I (î mod evdet, dcă supp() este mulţme ftă, tuc supp(f()) este de semee ftă). Se verfcă medt că f ş g sut morfsme de A-module. 4

44 44 Defţ.. Covem să otăm f f ş g C I ş să le umm pe f ş g c fd produsul drect (respectv sum drectă) fmle (f ) I. Fe ( ʹ) I, ( ) I ş ( ʹʹ) I I tre fml de A-module r (f ) I, (g ) I două fml de morfsme de A-module cu f : ʹ r g : ʹʹ. Notăm f f, g g, f C f ş g C g. I I Propozţ.. Dcă petru orce I şrul f g este ect, tuc ş şrurle f g ecte. I I f g sut C I Demostrţe. C I I I C I I Fe ʹ( ʹ) I.î. fʹ(ʹ). Cum fʹ(ʹ)(f ( ʹ)) I deducem că f ( ʹ) dcă ʹ ş stfel ʹ, dec fʹ este moomorfsm. Dcă legem ʹʹ( ʹʹ) I, tuc ʹʹg ( ) cu, stfel că dcă otăm ( ) I vem ʹʹgʹ(), dec gʹ este epmorfsm. Deorece gʹ fʹ ( g o ), deducem că Im(fʹ) Ker(gʹ). I f I Fe ( ) I Ker(gʹ). Atuc petru orce I g ( ), dec Ker(g )Im(f ), dcă f ( ʹ) cu ʹ ʹ. Dcă otăm ʹ( ʹ) I tuc fʹ(ʹ) ş Im(fʹ), dec Ker(gʹ) Im(fʹ), de I ude egltte Im (fʹ) Ker(gʹ). Fptul că l dole şr este ect se probeză log. Teorem.. Ctegor od s (A) este o ctegore cu sume ş produse fbrte. I f

45 Demostrţe. Trebue să demostrăm că dcă, N, P od s (A), tuc estă C P N ş Π P N (vez Cptolul 5, 8.). Petru prob esteţ sume fbrte, să cosderăm î od s (A) dgrm: f α P S ude g S C N r α : S, α N :N S sut morfsmele coce le sume drecte. Fe Sʹ{α (f()) α N (g()) P}. Să rătăm că Sʹ este submodul l lu S r petru cest fe, y P ş, b A. Atuc [α (f()) α N (g())]b[α (f(y)) α N (g(y))] α (f()bf(y))-α N (g()bg(y))α (f(by)) α N (g(by)) Sʹ deorece by P. Notăm S S/Sʹ ş fe p:s S epmorfsmul coc, α p α r α p α N N : f N α N α P S g N α N ş să demostrăm că C P N ( α, α, S ). N Dcă P, tuc ( α f)()( α (f()))p(α (f())), ( α g)() α N N (g())p(α N (g())), stfel că prob că α f α N g 45

46 reve l prob că p(α (f()))p(α N (g())) α (f())-α N (g()) Sʹ petru orce P, cee ce este evdet. Să cosderăm cum u lt trplet (β, β N, T).î. dgrm d od s (A): f β P T g N β N este comuttvă ş să demostrăm că estă u uc morfsm de A-module u: S T.î. u α β ş u α N β N. f α β P S u T g N α N β N D proprette de uversltte sume drecte, estă u uc morfsm de A-module v: S T.î. v α β ş v α N β N : α β S v T N α N β N 46

47 Defm u: S T pr u(sʹ)v() petru orce S ş să rătăm l îceput că u este corect deftă. Îtr-devăr, dcă, y S.î. SʹySʹ, tuc -y Sʹ, dcă -yα (f(z)) α N (g(z)) cu z P. Atuc v(-y) (v α )(f(z)) (v α N )(g(z)) β (f(z)) β N (g(z)) (β f)(z) (β N g)(z) (căc β fβ N g), dcă v()v(y). Se probeză cum medt că u: S T este ucul morfsm de A-module.î. u α β ş u α N β N, de ude cocluz că C P N ( α, α N, S ). Petru prob esteţ produsulu fbrt să cosderăm î od s (A) dgrm: f P N g Fe K N r p :K ş p N :K N proecţle coce le produsulu drect. Să otăm K {(, y) K f()g(y)} r p, p N restrcţle lu p ş p N l K. p f K P p N N g 47

48 ( K, p, N Se probeză medt că K este submodul l lu K r p ) N. P Fe u A-modul r ( ) I o fmle de submodule le lu. Petru I pr β : vom desem morfsmul cluzue. Defţ.. Vom spue despre fml ( ) I de submodule le lu că este depedetă (su că este drectă) I dcă petru orce I, Cosderăm C I I j (vez ş Defţ.5.). j I\ {} ş v:c I c fd ucul morfsm de A-module cu proprette că v α β petu orce I ((α ) I fd morfsmele coce le sume drecte defte î demostrţ Propozţe.). De fpt, dcă C, ( ) I cu Jsupp() ftă, tuc v se defeşte pr v() J vem u rezultt m geerl: I. Ţâd cot ş de Propozţ.4. Teorem.4. Cu otţle de m sus următorele frmţ sut echvlete: () Fml ( ) I este depedetă () Petru orce prte ftă J I, fml ( ) J este depedetă () C ( ), β I I I (v) v este moomorfsm (v) Orce elemet re o ucă screre, cu I I r supp(( ) I ) este ftă. Demostrţe. () (). este evdetă 48