ELEMENTE DE CALCUL NUMERIC MATRICEAL

Μέγεθος: px

Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "ELEMENTE DE CALCUL NUMERIC MATRICEAL"

Κλυταιμνήστρα Κουντουριώτης
7 χρόνια πριν
Προβολές:

1 ELEMENTE DE CLCUL NUMERIC MTRICEL. Metode de clcul l verse Metod reducer l mtrce utte / metod elmăr î versue Guss-Jord dgolzăr / metod elmăr. vtj: Obţere vlor determtulu fără clcule suplmetre. Se bzeză pe o teoremă d lgebr mtrcelă: Dcă o mtrce esgulră pote f redusă l mtrce utte I pr îmulţre l stâg cu u şr de mtrce tuc vers - se pote clcul pr îmulţre lu I l stâg cu celş şr de mtrce î orde versă. lgortmul de versre cuprde două procese de clcul derulte î prlel ş re pş: I. Se fc ţlzărle: ; (.) D I. (.) II. L psul se clculeză elemetele mtrcelor ş D utlzâd formulele (.) (.):

2 Elemete de clcul umerc mtrcel j j j ; (.) dj dj j ; (.4) ; (.5) d ; (.6) j j j j ; (.7) dj dj dj j ; (.8) j j j ; (.9) dj j j. (.) III. Î fl se obţ mtrce utte vers ş vlore determtulu: I ; (.) - D ; (.) det!. (.) Observţ:. Idcele superor corespude psulu de clcul.

3 . D (.) ş (.4): dcă elemetul Metode de clcul l verse umt pvot re vlore ulă su modulul său este sub u prg de zero prestblt probleme l efecture împărţrlor. Pvot ul u mplcă epărt că mtrce este sgulră; trebue îcercte tote posbltăţle: pote f dus î pozţ de pvot orce elemet j j cu schmbre ître ele llor ş ş coloelor ş j. Dcă tote ceste posbltăţ duc l eşec mtrce este sgulră.. Î scopul reducer erorlor de rotujre se recomdă c l fecre ps să se ducă pe pozţ pvotulu elemetul de vlore bsolută mmă les coform procedeulu de l observţ procedeu umt pvotre. Î fl trebue efectute d ou schmbărle de l ş / su coloe. 4. (.) (.) sut echvlete cu următorele relţ: j j d j d j j (.4) d j j d j j ( ( ) ) d j j j (.5) cu terpretărle:

4 4 Elemete de clcul umerc mtrcel! lle corespuzătore pvotulu (lle ) le mtrcelor ş D se obţ pr împărţre llor mtrcelor - respectv D - corespuzătore pvotulu l pvot ( );! lle cu le mtrcelor ş D se obţ duâd l lle le mtrcelor - respectv D - lle le mtrcelor ş D îmulţte cu ( ). Eemplu: Fe mtrce Să se determe vers - versue Guss-Jord. 6. utlzâd metod elmăr î Soluţe: Se plcă lgortmul metode elmăr: I. Se fc ţlzărle: II. 6 ş D Petru se plcă (.) (.) ţâd sem ş de observţ..

5 Metode de clcul l verse 5 Iterţ : Petru reducere erorlor de rotujre pote f dus pe pozţ pvotulu ( ) elemetul de vlore bsolută mmă 6 (dec ş j ). Petru cest pot f schmbte petru îceput ître ele lle ş po schmbte ître ele coloele ş. Î vedere smplfcăr clculelor u se m efectueză ceste clcule. Î ceste codţ pvotul este. Tbel cu clculul elemetelor mtrcelor ş D : l mtrce mtrce D l / / / / l ( ) ( ) ( ) l ( ) 6( ) 5 ( ) L prm terţe 5 D.

6 6 Elemete de clcul umerc mtrcel Iterţ : L cestă terţe pvotul este elemetul. Tbel cu clculul elemetelor mtrcelor ş D : l mtrce mtrce D l ( ) ( ) ( ) ( ) l / / / / l 5( ) ( ) ( ) ( ) D. Iterţ : L cestă terţe pvotul este elemetul.

7 Metode de clcul l verse 7 Tbel cu clculul elemetelor mtrcelor ş D : l mtrce mtrce D l ( ) l ( ) ( ) ( ) 5 ( ) l / / / D 5. Î fl: (.) Ivers: 5. (.) Determtul:. det

8 8 Rezolvre umercă sstemelor de ecuţ lgebrce lre REZOLVRE NUMERICĂ SISTEMELOR DE ECUŢII LGEBRICE LINIRE Sstem de ecuţ lgebrce lre vâd: - coefceţ j R j ş - terme lber b R - cu ecuoscute R : b b b " " "!. () Form restrâsă corespuzătore lu ():

9 Metode drecte de rezolvre 9 j b j. () Notţ: [ j ] j!!!! mtrce coefceţlor () b b b " b vectorul coloă l termelor lber (4) " vectorul coloă l ecuoscutelor (5) form mtrcelă sstemulu (): b. (6) b sstem omoge; b sstem eomoge. Sstemele eomogee u soluţe ucă mtrce este esgulră ( det ). Dcă este sgulră ( det ) sstemul re o ftte de soluţ (este

10 Rezolvre umercă sstemelor de ecuţ lgebrce lre comptbl edetermt) or u re c o soluţe (este comptbl). Sstemele omogee dmt totdeu soluţ blă. dmt ş lte soluţ mtrce este sgulră. Sstem cosstet sstem comptbl ; sstem cosstet sstem comptbl. Dcă mc modfcăr le elemetelor lu ş b coduc l modfcăr reduse le elemetelor soluţe sstemul este be codţot. Măsur petru melorre grdulu de codţore: ) Îte de îcepere efectvă rezolvăr se modfcă orde ecuţlor ş / su ecuoscutelor stfel îcât să se sgure domţ elemetelor dgole le mtrce. ) Îte de rezolvre se plcă operţ de sclre cre determă c ecuoscutele ş terme lber să bă celş ord de mărme. Se feză fctor de scră (coefceţ de sclre) j j ş b : j j j^ j (7) b b b ^. (8) Se fc îlocurle î ()

11 Metode drecte de rezolvre j j j^ b b ^ ; j împărţd cu b j j j^ b ^. j b Notţe: j j^ j j. (9) b o formă echvletă sstemulu (): j^ j^ b ^. () j ole vlor le elemetelor lu ş b. Urmeză rezolvre sstemulu () ş î fl clculul ecuoscutelor orgle cu jutorul relţlor (7). Ctegor de metode de rezolvre umercă:! drecte su ecte ;! drecte su tertve.

12 Rezolvre umercă sstemelor de ecuţ lgebrce lre. Metode drecte de rezolvre Obţ soluţ sstemulu prtr-o secveţă de operţ cre se eecută o sgură dtă umărul totl de operţ lgebrce elemetre fd ft ş cuoscut d strt. Metod versăr mtrcele ce m smplă bztă pe îmulţre l stâg cu (dcă este esgulră) relţe (6) - b. (.) (.) fzele metode:! versre lu ( se vede cptolul teror);! efecture produsulu mtrcel - b. Eemplu: Să se rezolve sstemul de ecuţ lgebrce lre (.) pr metod versăr mtrcele: (.) Soluţe: Idetfcre mtrcelor cre pr î form (6): b. (.) Iversre mtrce : det 55

13 Metode drecte de rezolvre 8 T (.4) det (.5) (.) soluţ sstemulu: b (.6) Dezvtj: Tmp de clcul mre dtortă umărulu mre de operţ rtmetce elemetre. lte metode drecte: metod elmăr î versue Guss-Jord (dgolzăr) su Guss (trughulrzăr); metodele bzte pe fctorzre L R su Q R mtrce coefceţlor plcble cu succes ş l versre mtrcelor ( se vede cptolul teror).

14 4 Rezolvre umercă sstemelor de ecuţ lgebrce lre. Metode tertve Soluţ se obţe prtr-u proces de promţ succesve cu covergeţă teoretc ftă ş prctc ftă. Trăsătură crcterstcă: o secveţă de operţ (î umăr m mc fţă de metodele drecte) este prcursă de m multe or obţâd promţ d ce î ce m bue le soluţe pâă l tgere ue precz fte î prelbl. Metod promţlor succesve î versue Guss-Sedel Se cosderă sstemul de ecuţ lgebrce lre de ordul sub form restrâsă (). Se pote evdeţ dstct termeul d sumă corespuzător elemetulu dgol l mtrce. (.) j j b j j eplctre eprese ecuoscute : b j j j j. (.)

15 Mtrce. Defre ş propretăţle verse 5 lgortmul metode Guss-Sedel etpe: I) Se ţlzeză cu (dcele superor umărul terţe curete):. (.) II) L u ps de clcul se determă ole vlor le vrblelor: (b j j j j - ). (.4) j j III) Codţ de termre procesulu de clcul: m { - } ε (.5) cu erore ε > prestbltă. de clcul: Codţ sufcetă de covergeţă procesulu tertv > j ( dgol domtă) (.6) j j

16 6 Elemete de clcul umerc mtrcel o buă codţore sstemulu. Remrcă: Petru ţlzre procesulu de clcul (î cz de covergeţă) este recomdtă: b. (.7) De l plcţe l plcţe pote prezet teres studul efectelor uor lte vrte de ţlzre. Eemplu: Să se rezolve sstemul (.8) pr metod promţlor succesve î versue Guss-Sedel: (.8) dmţâd o erore ε.. Soluţe: Î scopul îdeplr codţe de covergeţă (.6) (dgol domţe) se schmbă ître ele lle ş ou screre sstemulu: (.9)

17 Mtrce. Defre ş propretăţle verse 7 este îdepltă codţ (.6) este grtt fptul că procesul de clcul v f coverget. Î coture se plcă lgortmul metode Guss-Sedel: I) Se efectueză ţlzre coform relţe (.7) prtculrztă: 8/.666 /4.5 / (.) II) Petru se plcă relţle (.4) (8 - - )/ ( - )/4 (.) ( )/4. Iterţ : ( ) 5. 4 ( ). 96 (.) 4 ( 5..96) III) Se clculeză erorle: > ε ;.96.5 > ε ; (.) > ε.

18 8 Elemete de clcul umerc mtrcel Nu este stsfăcută codţ (.5) este ecesră o ouă terţe. Iterţ : ( ) 6. 4 ( ) (.4) 4 ( ) 6.. III) Se clculeză d ou erorle: > ε ; ε > ; (.5) > ε. Se observă că erorle u scăzut semfctv. Cu tote ceste u este stsfăcută codţ (.5) este ecesră o ouă terţe.

Σχετικά έγγραφα

ELEMENTE DE CALCUL NUMERIC MATRICEAL

ELEMENTE DE CALCUL NUMERIC MATRICEAL ELEMENTE DE CLCUL NUMERIC MTRICEL Metode de clcul l verse Metod reducer l mtrce utte / metod elmăr î versue Guss-Jord dgolzăr / metod elmăr vtj: Obţere vlor determtulu fără clcule suplmetre Se bzeză pe