Curs 4. Metode Numerice de Rezolvare a Sistemelor de Ecuaţii Liniare

Transcript

1 Curs 4 Metode Numerce de Rezolvre Sstemelor de Ecuţ Lre As. Dr. g. Levete CZUMBIL Lortorul de Cercetre î Metode Numerce Deprtmetul de Electrotehcă, Igere Electrcă E-ml: Levete.Czuml@ethm.utcluj.ro

2 Notţ mtrcelă coduce l o formulre smplă ş cocsă uor plcţ deoset de complee, m les î stuţle î cre modelul mtemtc coţe ssteme de ecuţ lre de dmesu mr. A A Î uele czur, sstemele de ecuţ lgerce lre pr î mod turl, d îsăş formulre proleme. Î multe lte czur, îsă, sstemele de ecuţ lre rezultă c urmre plcăr uor metode umerce de rezolvre proleme ţle.

3 Î plcţle d ger electrcă vlorle coefceţlor ş termelor ler pot f fectte de eror determăr epermetle, clcule "promtve, poteze smplfctore, etc.. Măsur î cre ele flueţeză soluţle sstemelor de ecuţ lre determă: Ssteme omogee Ssteme eomogee Ssteme e codţote Ssteme rău codţote Se pote spue că rezolvre sstemelor de ecuţ lre jocă u rol cetrl î cdrul metodelor umerce. Estă ctegor de metode de rezolvre sstemelor de ecuţ lre de form A : metode drecte su ecte ; metode drecte su tertve.

4 soluţ sstemulu rezultă prtr-o sere de operţ cre se eecută o sgură dtă, umărul totl de operţ rtmetce elemetre fd ft, depzâd î mod drect de dmesue sstemulu, fd cuoscut de l îceput. rezulttul furzt de metodele drecte este fectt dor de erorle de rotujre ş cest vtj fce c ele să fe preferte or de câte or dmesue ş prtculrtăţle sstemulu păstreză umărul de operţ î lmte cceptle. Eemple de metode drecte se pot mt: metod versăr mtrcle; metod lu Crmer ztă pe clculul determţlor; metod de elmre lu Guss; metod fctorzăr drecte LU Lower-Upper. Metod lu Crmer deş î eseţă forte smplă, u corespude cerţelor prctce câd umărul de ecuţ este m mre c ş câd determtul corespuzător mtrc sstemulu este zero e fd î geerl emplemetlă.

5 soluţ se oţe prtr-o sere proces de promţ succesve, fecre secveţă de operţ rtmetce elemetre m mc decât l metodele drecte este prcursă de m multe or, oțâdu-se promţ d ce î ce m ue le soluţe pâă l tgere ue precz fte dte precze dortă. Aceste metode permt oţere soluţe umerce uu sstem de ecuţ pr geerre uu şr cre tde l soluţ ectă. prctc se pote efectu um u umăr ft de terţ, erorle de rotujre sut îsoţte î czul metodelor tertve ş de eror de truchere. Avtj l metodelor tertve: smpltte ş efceţ mplemetăr lor î progrme, î czurle î cre u sut rezolvle pr metode drecte. Eemple de metode tertve: metod lu Jco; metod Guss-Sedel - Mster metod relăr - Mster

6 Se cosderă sstemul lr de ecuţ cu ecuoscute deft de relţ mtrclă A. Dcă mtrce A este esgulră, tuc cestă relţe se pote îmulţ l stâg cu mtrce versă A - rezultâd: A - relţe cre evdeţză clr cele două fze le ceste metode: versre mtrce A ş efecture produsulu mtrcel A -. Metod versăr mtrcele ecestă u tmp de clcul reltv rdct dtortă umărulu mre de operţ elemetre, plcre e fd justfctă um î stuţle î cre este ecesră soluţore repettă sstemulu de form A, petru dferte vlor le termelor ler petru că versre mtrc A se fce o sgur dtă, l prm rezolvre, l soluţoărle următore fd ecesră um efecture îmulţr mtrcele A -.

7 Îtr-u cz prctc se pote juge l ssteme de form: A după plcre uor metode specfce de rezolvre supr uor crcute electrce de curet cotuu, jugâdu-se l sstemul scrs mtrcl: E R I E I R R - mtrce pătrtcă rezsteţelor d crcut E - vectorul coloă tesulor electromotore le surselor d crcut I - vectorul coloă cureţlor ecuoscuţ, A

8 Idee de ză metode costă î ducere sstemulu de ecuţ pr trsformăr elemetre l o formă echvletă, vâd mtrce superor su feror trughulră, urmtă de rezolvre sstemulu rezultt pr procedee recurete specfce, forte efcete. Trsformre sstemulu ţl îtr-u sstem de formă trughulră se relzeză cu jutorul tre operţ elemetre su de ză:. Iterschmre două ecuţ ître ele;. Îmulţre ue ecuţ cu o costtă eulă;. Scădere ue ecuţ d lt ş îlocure cele de- dou ecuţe cu rezulttul scăder. Trsformre sstemulu este echvletă cu elmre succesvă ecuoscutelor d ecuţ ş se umeşte fz elmăr. Rezolvre sstemulu cu mtrce trughulră costă î determre ecuoscutelor ş susttuţ lor î ecuţle sstemulu î orde versă, fd deumtă d cest motv fz susttuţe verse.

9 Etp elmăr... Se elmă d tote ecuţle cu ecepţ prme dcă de eemplu l ecuţ : / / / /. j j j j j,,,,,;, j,,,, j, Oţem stfel sstemul:

10 Mtrcel, prmul ps l metode elmăr lu Guss coduce l Mtrcel, l u ps orecre se oțe sstemul: j j j j,,,; j

11 .,,,, Fz elmăr se îchee, împărţd ce de - ecuţe l elemetul pvot cre, petru u sstem cu mtrce esgulră, treue să fe dfert de zero. Rezultă după cest ps sstemul: su mtrcel, A.

12 D cele oţute, oservăm mtrce A este superor trughulră, r sstemul este echvlet cu cel ţl A, dcă re soluţ,,,,. Fz susttuţe verse mersul îpo presupue prcurgere î ses vers ecuţlor sstemulu cu mtrce trughulră, rezultt î fz elmăr, ş stlre soluţe sstemulu potrvt uu clcul recursv pr susttuţe regresvă îcepâd cu d ultm ecuţe cotuâd cu - ş termâd cu d prm ecuţe:.. j j j

13 După cum se oservă, determre compoetelor soluţe re loc de l dc mr spre dc mc, fecre ouă compoetă depzâd î mod eplct um de compoetele determte l psul teror. Oservţe. Metod de elmre Guss permte ş clculre determtulu mtrc sstemulu. Se oservă că, mtrce A sstemulu fl fd trughulră, re determtul egl cu produsul elemetelor dgole, dcă: det A det det A A det A

14 Algortmul petru ulre elemetelor de su dgol prcplă trgulrzre.

15 Î plcţle prctce î cre de oce mtrce coefceţlor sstemulu A este de dmesu mr ş umărul elemetelor dferte de zero le ceste mtrc este forte mc tuc metod elmăr lu Guss u este ce m dctă metodă de rezolvre sstemulu. Î ceste czur tehcle de elmre vor f îcette mult dtortă spţulu mre de memore ecesr petru pute lucr cu ceste mtrc de mr dmesu dr ş fptul că elemetele zero d mtrce ţlă r f trsformte î elemete dferte de zero după trgulrzre. Dec ceste ssteme mr se vor rezolv cu metode tertve.

16 , A A A det j. β β β β ḃ.. β

17 Se lege vectorul promţlor ţle le soluţlor [ ] T cre se oţe pr măsurător epermetle su se lege de oce î plcţle prctce c fd egl cu vectorul termelor ler. β Metod lu Jco presupueclculul uu şr de promţ succesve cu jutorul formule de terre îtr-u ps cre se demostreză pr ducţe: Vectorul soluţe după prm terţe este: β β,, Dcă şrul vectorlor soluţ l terţ, cre este u şr de soluţ promtve, coverge, tuc lmt lu este soluţe sstemulu A : lm lm,,,

18 Demostrt Covergeț metode lu Jco - pe tlă Demostrt Cevlure eror î metod promțlor succesve Jco - pe tlă er β

19