Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln Ül.

Transcript

1 Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln.6 I kursus NÄIDISTÖÖ nr.: Astmed.. Arvutada avaldise täpne väärtus. 8 * (,8) * *5 Ül Vabastada murru nimetaja irratsionaalsusest. 5 a) b) 7 c) d) Ül Lihtsustada avaldis. Vastuses vabane negatiivsetest astendajatest. a) ( 5 a b ) *( a b ) 6 yz 9 y b) : y z z. Lihtsustada avaldis. a) Ül.5,5,55 b) 8+ 8 y y y c) : y y y 5. RE ülesanne Vastused:. 6. a) 7 b) 5 c) 5/ d) 5 65a y. a) 5 b) 7. a) 7 b) c) b y 5 ( + y)

2 I kursus NÄIDISTÖÖ nr.: Võrrand ja võrrandisüsteem. Lahendada võrrandid. ) ( + ) = 5( ) ( + ) u 5 u ) a) = 5 b) = 7 6 ) a) + + 5= b) 8 = ) a) 8 = b) = 5) a) 5 6 = b) 75= 8 6) + = + Ül.67-7 *7) = Ül.98-8 *8) + + = Ül. 9) = 6. Lahendada muutuja suhtes.. a 5= ( + 7) Ül Lahendada võrrandisüsteem ) liitmisvõttega + y= a) + y= b) + y= 6 + y= Ül., ) asendusvõttega y 5= a) + y= 6 b) y= + y= Ül.- *) determinantide abil + y+ z= 5y+ = a) b) + y= 8 ÜL.8,9 y= z= ) RE ülesanne Vastused:. ) -/9 ) 5 ) a) 5/ ja - b) ja - ) a) ja,5 b) ja -, 5) a) - ja b) -5 ja 5 6) - ja 7) 8) 9) 7 ja -. 6/(a - ), kui a ja lahend puudub, kui a =. ) a) (8;-) b) (;-) ) a) (5;) b) (8;) ja (6;) ) a) (9/;/) b) (-5;6;-)

3 I kursus NÄIDISTÖÖ nr.: Võrratused.. Lahendada võrratused + Ül., ) + Ül.-6 ) Ül.-8 ) ( 5 )( 5) Ül *5) Ül *6) + Ül *7) ( )( + ) Ül.6-6 ) 6 ( ) ( 7 ) + 5 *8) 5 5 Ül Lahendada ) lineaarvõrratusesüsteem 7+ + Ül.79,8,8 ) lineaarvõrratusesüsteem ja leida süsteemi positiivsed täisarvulised lahendid. 8( ) ( ) ( + ) 7( ) ( + ) (5 ) 8 *) ruutvõrratusesüsteem RE ülesanne Vastused: ;,5 ;6 Ül ) ( ] ) ( ] ) ( ;] [ 5; ) ) ( ;,] [,5; ) ;. ) ; ; 5) 6) ( ; ) [ ; ) 7) [ ; ) ; 8) ( ; ] [ 5; ) ) ( ;] ( ] *laia matemaatika teemad positiivsed täisarvulised lahendid on,,. )

4 II kursus NÄIDISTÖÖ nr. Trigonomeetria. Arvutada avaldise täpne väärtus. ) sin(-9 ) sin5 + cos57 cos8 + tan6 tan ; Ül.86-9 ) sin7 cos7 - cos7 sin7 ; ) cos 75 sin5 ; tan 75 ) ; tan 75 o o tan 9 tan 5) o o sin 9 sin π. Arvutada cosα,tanα,*cosα, kui sinα = ning α π 5. Lihtsustada. o ) + tanα cos(9 α) tanα sinα + cosα + sinα cosα ) ( ) ( ) *) sin (6 α) + cos (8 + α) + tan (8 α) Ül. 9- *. Tõestada samasus sin α = sinα cosα Ül. 7-9 sinα cosα 5. RE ülesanne Vastused:. ),75 ) -,5 ),5 ) 5) -.,8; -,75;,8. ) ) ) cosα cos α II kursus NÄIDISTÖÖ nr.: Kolmnurga lahendamine. Sektor. ) Arvuta sektori kaare pikkus ja sektori pindala, kui raadius on 9 cm ning nurk ) o ) radiaani Vastused:) l = 8,8 cm, s = 8,8 cm ) l = 7 cm, s =,5 cm ) Lahenda täisnurkne kolmnurk ja leia kolmnurga pindala. Ül.9-6 ) Lahenda kolmnurk ( siinusteoreemi abil) ja leia kolmnurga pindala. Ül ) Lahenda kolmnurk (siinus- ja koosinusteoreemi abil) ja leia kolmnurga pindala. Ül.7-8 5) RE ülesanne Teema jätkub failiga: TRIGONOMEETRILISED FUNKTSIOONID JA VÕRRANDID Kuues näidisülesanne: V kursus NÄIDISTÖÖ nr: Trigonomeetriline võrrand. Ülesanne.

5 III kursus NÄIDISTÖÖ nr. :Vektor tasandil (mittekohustuslik). Korrapärases kuusnurgas ABCDEF A Avalda järgmised vektorid a r ja b r kaudu: ) DC ) DE ) OB ) CF 5) OA 6) 7) FA + AB 8) AB + DE 9) A AB + OC+ CB+ BA ) FO + OB+ BD CD r r r. Kirjuta vektori a = i + j koordinaadid. Leia joonisel kujutatud vektorite AB,CD... koordinaadid ja arvuta vektorite pikkused.. Leia ja y nii, et vektorid a r = ( 5;8) ja b r = ( ; y ) oleksid võrdsed. 5. Antud on punktid A(;5), B(-;), B C(;-) ja D(8;). Leia ) vektorite AB, DC ja a BC koordinaadid r ) vektori s = AB DC koordinaadid ) millised vektorid on kollineaarsed ) vektori BC vastandvektor BA= a r ja BC = b r. Kuusnurga keskpunkt on O. 6. Vektori KL = ( ;6) alguspunkt on K(-;). Leia lõpp-punkti L koordinaadid. ) CE III kursus NÄIDISTÖÖ nr. : Joone võrrand. Koostada sirge võrrand, kui sirge läbib punkti A(-;-) ja ) sirge tõus on - ) tõusunurk on º ) sihivektor on v r = (-;-5). Arvutada vektorite u r = (;-6) ja v r Ül.7-76 = (-7;) ) pikkused ) skalaarkorrutis ) vaheline nurk r r ) vektori s = u,5 Kas vektorid u r ja v r v r koordinaadid on kollineaarsed? Põhjendada!. On antud kolmnurk tippudega A(;7), B(5;) ja C(-;). ) Leida kolnurga ümbermõõt ) Leida tipu B juures oleva kolmnurga nurga suurus ) Arvutada kolmnurga pindala Ül.8,8,6,66,67 ) Koostada sirge võrrand, millel asub kolmnurga külg BC Ül.65 5*) Leida kolmnurga kõige pikemale küljele joonestatud kõrgus. Koostada ringjoone võrrand, kui keskpunkt K(5;-) ja raadius r =,5. 5. Ringjoone võrrand on ( + 7) + y = 9 ) Leida ringjoone keskpunkti koordinaadid ja raadius *Ül.8-85 ) Arvutada ringjoone pikkus ning ringi pindala ) Leida ringjoone ja sirge y = - lõikepunktid Ül RE ülesanne Vastused:. ) y = --7 ) y =,6 -, ) + = 5. ) ; 5 ) - ) ` 6 o ` ) (7,5;-,5) ; ei. ) 7, ) 58 o ) ) 5 = 6. ( 5) + ( y+ ) =, 5 5. ) K(-7;) ja 7 ) π, 9π ) (;) ja (-7;7)

6 IV kursus NÄIDISTÖÖ nr.: Funktsioonid I. Leida funktsiooni määramispiirkond. Ül.6-5 a) y = b) y = c) y = + 5. Leida funktsiooni nullkohad, positiivsus- ja negatiivsuspiirkond. a) y = ( + )( 7) b) y= c) y = 5. Määrata kindlaks, kas funktsioon on paaris või paaritu (või pole kumbki). a) y= 6 b) y = c) y=. Avaldada muutuja y muutuja funktsioonina. y= u ja u = 5. Kas joonisel on pöördfunktsioonide graafikud? Põhjendada vastust! 6. Leia jooniselt funktsiooni määramispiirkond, nullkohad, positiivsus- ja negatiivsuspiirkonnad, kasvamis- ja kahanemisvahemikud, ekstreemumkohad ja ekstreemumid. Joonis 7. RE ülesanne

7 IV kursus NÄIDISTÖÖ nr.: Jada. Kirjuta kolm näidet a) aritmeetilise jada kohta b) geomeetrilise jada kohta.. a) Aritmeetilise jada esimene liige on ja vahe -6. Kirjuta selle jada viis esimest liiget. b) Geomeetrilise jada esimene liige on ja tegur on. Kirjuta selle jada viis esimest liiget.. a) Aritmeetilise jada esimene liige on - ja viies liige. Leia kümne esimese liikme summa. (7) b) Geomeetrilise jada esimene liige on - ja viies liige on -6. Leia kümne esimese liikme summa. (-599) Vaata lisaks ül.56, 576. a) Paigutada arvude 8 ja 6 vahele kolm arvu nii, et need koos antud arvudega moodustaksid aritmeetilise jada. b) Paigutada arvude ja 5 vahele kaks arvu nii, et need koos antud arvudega moodustaksid geomeetrilise jada. (,,5,5) Vaata lisaks ül a) Leida esimese saja järjestikuse paaritu arvu summa. b) Leida kõikide kahekohaliste kolmega jaguvate arvude summa. 6. RE ülesanne Vaata lisaks ül Ül , ,

8 V kursus NÄIDISTÖÖ nr.: Eksponentfunktsioon ja -võrrand. Lahendada eksponentvõrrand teisendades see võrrandiks, mille mõlemad pooled on ühe ja sama arvu astmed. a) 9+ 5 = 6 b) = 6 Vaata lisaks ül Lahendada eksponentvõrrand abitundmatut kasutades. a) 5 b) 9 Vaata lisaks ül Lahendada eksponentvõrrand, kasutades logaritmimist. a) = b) 5 = 7 c) 5 =. Skitseeri funktsiooni y= a graafik, kui a) a b) a 5. Tööpink maksis uuena 5 krooni. Tema väärtus väheneb vananemise ja kulumise tõttu igal aastal 8 % võrra eelmise aasta väärtusest. Kui suur on tööpingi väärtus aasta pärast? Vaata lisaks ül RE ülesanne. Vastused:. a) - ja 7 b). a) ja b) ja -. a) log/log b) (log7-log5)/log V kursus NÄIDISTÖÖ nr.: Logaritmfunktsioon ja -võrrand. Arvutada. log 8 a) 6 + log7 9 b) log + log 5 5 log 7 6 log + 6 Vaata lisaks ül y. Logaritmida avaldis = 6 5z. Lahendada logaritmtvõrrand logaritmi definitsiooni põhjal. a) log5 ( ) = b) log ( + ) = Vaata lisaks ül Lahendada logaritmvõrrand potentseerimise teel. a) log5 ( ) + log5( 7) = + log5 8 b) log ( + 5) = log( + ) Vaata lisaks ül Lahendada logaritmvõrrand abitundmatut kasutades. a) log +log= b) (log ) + log = Vaata lisaks ül.56,57 6. Leida funktsiooni määramispiirkond. log = = log + y = ln + ln + a) y ( ) b) ( ) y c) ( ) ( ) + 7. Skitseeri funktsiooni y= log a graafik, kui a) a b) a 8. RE ülesanne. Vastused:. a) 7 b) -7. log+7log+,6logy-log5-6logz. a) ja -7 b). a) 7 b) / 5. a) ja, b),5 ja 6. a) X = ( ; ) ( ; ) b) X=R v.a. -,5 c) X = ( ; )

9 V kursus NÄIDISTÖÖ nr.: trigonomeetriline võrrand. Joonistel on kujutatud siinusfunktsiooni f() = sin,5 graafik lõigus [-π;π]. ) Joonestada samale joonisele sirge g() =,5 ) Lahendada võrrand f() = g() ja leida lahendid lõigus [-π;π] ning kanda need joonisele. Vastused:) =,5 ja =5,. Lahendada põhivõrrandiks taanduvad võrrandid. ) sin =, 558 ) cos = ) tan( π ) = 6 Vaata lisaks ül.- *) cos cos + sin sin = *5) cos sin = *6) sin = cos Vaata lisaks ül. 6,7, 9- Vastused: ) (-) n o 9` + 8 o n ) ±5 o + 6 o n ) - o + 8 o n ) ±9 o + 6 o n 5) (-) n 5 o + 9 o n 6) ±5 o + 8 o n. Lahendada võrrandid, mille vasak pool teiseneb korrutiseks. *) cos 5 + cos = ) sin sin cos = ) tan = tan Vaata lisaks ül.5,8 Vastused: ) ±9 o + 6 o n ja ± o ` + 9 o n ) 8 o n ) 5 o + 8 o n ja 8 o n.. Lahendada ruutvõrrandiks taanduv võrrand. ) tan tan = ) sin + cos = ) tan + = tan Vaata lisaks ül.- Vastused: ) - 5 o + 8 o n ja 7 o `+ 8 o n ) ±9 o + 6 o n ja ± o + 6 o n ) 5 o + 8 o n ja 7 o `+ 8 o n 6. RE ülesanne.

10 I kursus NÄIDISTÖÖ nr.: Funktsiooni tuletis ja graafiku puutuja. *.Leida funktsiooni piirväärtus. ) ) lim(+ 5 5 lim + ) 5 lim lim ) 5 ) + 5,5,5 + lim 5) lim 9 6) Vaata lisaks ül.598-6*. Leida funktsiooni tuletis. ) 7 5 y = ) y= (5 )( ) 8 ) y= ) y= * 5) y= *6) y= + e e + log log ln ln 8 + * + *7) y= 7 cos * tan 8) y= ( ) ln Vaata lisaks ül.6-6. Koostada joone puutuja võrrand, kui ) y = + 7 ja = ) y= 8 ja puutuja tõus k=6. Vaata lisaks ül RE ülesanne VI kursus NÄIDISTÖÖ nr.: Funktsiooni uurimine. a) Uuri funktsiooni I y = - II y = + 8 ja skitseeri graafik. Ül.65-65, b) Leia funktsiooni y = + 6 ekstreemumpunktid, kasvamis- ja kahanemisvahemikud ning skitseerige funktsiooni graafik. Mitu nullkohta on funktsioonil? Leia kuupparabooli puutuja kohal =. Ül I Laohoone seina ja 6 meetri pikkuse aiaga tuleb piirata ristkülikukujuline maa-ala. Missuguste mõõtmete puhul on piiratud maa-ala pindala maksimaalne? (5 meetrit) II Ristkülikukujulisest papitükist, mille mõõtmed on dm ja 5 dm, valmistatakse kaaneta karp. Selleks lõigatakse papitüki nurkadest ära võrdsed ruudud ja murtakse servad üles. Missugused peavad olema äralõigatavate ruutude külje pikkused, et tekiks maksimaalse ruumalaga karp? ( äralõigatavate ruutude külgede pikkused on,7 cm) Ül RE ülesanne.

11 Esimese ülesande a-i osa vastused: X = R ja Y = R X = { ;} + X = ( ; ) X = ( ; ) ( ;) ( ;) ( ) ( ;) X : ja ; X = ma = ja y ma = min = ja y min = - Esimese ülesande b osa vastused: E ma ;6 jaemin ; X = ; ( ) ( ; ) ( ) X : ja ; kolm nullkohta puutuja võrrand: y= + 6

12 VII kursus NÄIDISTÖÖ nr.: Vektor, sirge ja tasand ruumis.. Arvutada ) vektorite a ja b skalaarkorrutis ja otsustada, kas vektorid on risti; ) vektori s= a, 5b koordinaadid, kui a = ( ; ;) ja b = ( ;;5). Kas vektorid a, b ja s on komplanaarsed? Miks?. Koostada võrrand sirgele, mis läbib punkti A(-; ; 7) ja on paralleelne sirgega z = y+ 6= Ül.78,78. Koostada tasandi võrrand, mis läbib punkti A(; 8; -) ja mille normaalvektor n = (-; 5; ). Kuidas paikneb see tasand koordinaatteljestiku suhtes? Ül.789. Määrata sirgete s ja t vastastikune asend Ül y+ 5 z y z+ s: = = t: = = 8 5. Arvutada sirge s ja tasandi α ) vaheline nurk ϕ ) lõikepunkti L koordinaadid, kui y z+ s: = = 5 α : + y - z = 8 Ül.8,8 6. RE ülesanne Vastused:. ), on risti ) (5;-;,5) on komplanaarsed, sest viimane vektor avaldub kahe esimese kaudu. 7. y = = y - 6 =, paralleelne z-teljega ja samas risti y-koordinaattasandiga.. s//t 5. ) ϕ = 6 ` ) L(;;-) VII kursus NÄIDISTÖÖ nr.: Stereomeetria Töötada läbi antud kursuse näidisülesanded. Ülesanded on valitud küpsuseksami ülesannete hulgast.. Prisma pindala ja ruumala. 6.) Korrapärase nelinurkse püstprisma põhiserv on cm ning prisma diagonaali ja külgtahu vaheline nurk on. Leida prisma külgpindala. (77 cm³). Püramiidi pindala ja ruumala. 7.) Korrapärase nelinurkse püramiidi põhiserv on 8 cm ja külgtahu kaldenurk põhja suhtes on 8. Leida püramiidi täispindala. ( ) 6.) Korrapärase kuusnurkse tüvipüramiidi põhiservad on cm ja cm ning kõrgus on cm. Leia külgpindala. (6 cm²). Pöördkeha pindala ja ruumala..) Silindri telglõige on ruut pindalaga cm². Leida silindri täispindala ja ruumala. 9.) Koonuse põhja raadius on cm, moodustaja ja põhja vaheline nurk on 6. Leida koonuse ruumala. (7 cm³) 8.) Võrdhaarne trapets alustega 8 cm ja cm pöörleb ümber pikema aluse. Trapetsi haar moodustab alusega nurga 6. Leida tekkiva pöördkeha ruumala. (67 cm³). RE ülesanne. Vaata lisaks ül.9-956

13 VIII kursus NÄIDISTÖÖ : Tõenäosus ) Laual olevast loterii piletist on võiduga. Leia tõenäosus, et laualt juhuslikult võetud pileti hulgas a) pole mitte ühtegi võiduga piletit; b) on üks võiduga pilet; c) on mõlemad võiduga piletid? ) Kastis on 8 musta ja 5 punast sukka. Pipi võtab juhuslikult sukka. Kui tõenäone on, et need on a) sama värvi; b) erinevat värvi? Mitu sukka peab Pipi võtma, et saada üks paar ühevärvilisi sukki? ) Valuuta vahetamisega tegelevad firmad Sabad ja sarved ja Ostap Bender annavad valeraha tõenäosusega,7 ja,9. Kui suur on tõenäosus, et a) esimesest firmast saadud kaks sajadollarilist on mõlemad valerahad; b) mõlemast firmast saadud kupüür on võltsitud; c) kummastki firmast ühe sajadollarilise küpüüri ostmisel on üks võltsitud ja teine mitte? ) Kotis on 8 haput ja 6 magusat õuna. Kui suur on tõenäosus, et võttes kotist pimesi õuna, a) on kõik õunad on hapud; b)saadakse vähemalt üks magus õun? 5) Visatakse kolme täringut. Leida tõenäosus, et erinevatel täringutel tuleb, ja silma? 6) On kolm urni. Esimeses urnis on musta ja valget kuuli, teises must ja valget kuuli ja kolmandas on kõik 5 mustad. Võetakse huupi üks kuul. Kui suur on tõenäosus, et see on valge? 7) Tõenäosus, et Ken jääb tundi hiljaks on,. Kui suur on tõenäosus, et nädala viiest tunnist hilineb ta kolme tundi? 8) RE ülesanne. Vastused: ) a)/ b) 56/5 c) /5 ) a) 9/9 b) /9; sukka ) a),9 b),6 c), ) a) / b) / 5) /6 6) 7/5 7), Vaata lisaks ül

14 Tuleta meelde I kursusel õpitut! IX kursus NÄIDISTÖÖ nr. : Võrrandid ja võrratused. Arvuta avaldise väärtus a) 9, 8,5 b) 8, 5 9 Ül.9- Leia arv, millest avaldise a väärtus on 79%. (6,5) Leia avaldise b väärtusest 5%. (,5). Lahenda võrrandid. $ (-,5) a)! b) " # 6 + = + + () Ül.67-7 c) = () Ül.98-. Lahenda võrrandisüsteem + 5 y= 6 y= (% $ 7 & () %$! &! * Ül.8. Lahenda võrratused a) ( )( 7+ )( 6) (+ ;+./,5;+) Ül b) + (;! ) # Ül RE ülesanne Tuleta meelde V kursuse materjale: eksponent- ja logaritmvõrrandid ning trigonomeetrilised võrrandid IX kursus NÄIDISTÖÖ nr.: eksponent-, logaritm- ja trigonomeetrilised võrrandid Lahenda. eksponentvõrrand võetud ülesannete hulgast logaritmvõrrand võetud ülesannete hulgast trigonomeetriline võrrand võetud ülesannete hulgast -6. RE ülesanne Ülesanded on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln.6

15 Tuleta meelde VI kursuse materjale! IX kursus NÄIDISTÖÖ nr. : funktsiooni uurimine. Leia funktsiooni määramispiirkond. Ül y= + log( + 9) Vastus: ( ;] U[ ;) U ( ; ). Leia funktsiooni y = ekstreemumpunktid, kasvamis- ja kahanemisvahemikud ning skitseeri funktsiooni graafik. Mitu nullkohta on funktsioonil? Leia kuupparabooli puutuja kohal =. Ül.67-6,65-65, RE ülesanne. Teise ülesande vastused: E ma = (;5/6) ja E min (6;-); X : ; ja 6; ; ( ) ( ) ( ;6) X = ; kolm nullkohta; puutuja võrrand: y = 5/ /6.