MATEMAATIKA KITSA JA LAIA KURSUSE RIIGIEKSAM
|
|
- Μέλαινα Αθανασιάδης
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Lea Lepmann Tiit Lepmann MATEMAATIKA KITSA JA LAIA KURSUSE RIIGIEKSAM Ülesanded, lahendused, kommentaarid ja soovitused
2 Kõigi käesolevas kogumikus kasutatud riigi- ja katseeksamite ülesannete autoriõigused kuuluvad Sihtasutusele Innove. Toimetanud Kristi Kingo Kujundanud Irina Gron Autoriõigus: AS Atlex ja autorid, 016 Kõik õigused kaitstud. Igasugune autoriõigusega kaitstud materjali ebaseaduslik paljundamine ja levitamine toob kaasa seaduses ettenähtud vastutuse. AS Atlex Kivi Tartu Tel Faks atlex@atlex.ee ISBN
3 SAATEKS Käesolev kogumik on mõeldud eeskätt matemaatika kitsa või laia kursuse riigieksamiks valmistuvatele abiturientidele ja teistele, kes soovivad mingil põhjusel seda eksamit sooritada. Usume, et ka matemaatikaõpetajad leiavad siit ideid oma õpilaste paremaks ettevalmistamiseks. Kogumik sisaldab kõiki 014. ja 015. aasta laia ja kitsa kursuse matemaatika riigieksami ülesandeid koos lahendustega. Esmalt on esitatud 014. ja 015. aasta eksamiülesannete tekstid, millele on lisatud ülesannete lahendatused protsentides. Lahendatus näitab, mitu protsenti maksimaalsest võimalikust punktide arvust eksamil tegelikult keskmiselt saadi. See näitaja annab lahendajale aimu ülesande raskusest. Ülesannete tekstidele järgnevad lahendused. Kus võimalik, esitatakse ülesandele mitu erinevat lahendusteed. Neid kõiki tasub uurida. Siis saab kogumiku kasutaja otsustada, milline neist on talle sobivaim ja mõistetavaim. Erinevate lahenduskäikude läbitöötamine aitab ülesande lahendusteed valida ka tulevikus muude ülesannete puhul. Kitsa ja laia kursuse eksamid sisaldavad 50 punkti ulatuses ühisosa. Need ülesanded on mõlemas eksamitöös suhteliselt sarnased. Ka kõigi selliste ülesannete lahendused esitatakse kogumikus täies mahus. Kitsa kursuse eksami ülesannete lahendusi seletatakse mõnevõrra detailsemalt kui laia kursuse omi. Seetõttu on laia kursuse eksamiks valmistujatel soovitav uurida või lahendada ka kitsa kursuse ülesandeid ja vastupidi. Iga ülesande lahendusele eelneb rubriik Meenutuseks. Selles esitatakse olulisemad ülesande lahendamiseks vajaminevad matemaatika mõisted ja seosed. Kindlasti ei piisa riigieksamile minekuks vaid nende valemite ja mõistete omandamisest. Ülesande erinevatele lahendustele järgneb rubriik Kommentaare ja soovitusi. Raamatu autorid on mõlema aasta eksamitööde osas läbi viinud tulemuste statistilise analüüsi (vt SA Innove kodulehelt rubriike Riigieksamid/Materjalid ) ja läbi vaadanud ca 10% kummagi aasta juhuvalikuga komplekteeritud eksamitöödest. Selle analüüsi olulisemad tulemused kajastuvadki vaadeldavas rubriigis. Lugeja leiab siit näiteid eksamitöödes sagedamini esinenud vigadest ja soovitusi nende vältimiseks. Samuti juhitakse tähelepanu lahenduse vormistamisele ja antakse ideid ülesandele sobivaima lahendustee valikuks. Liiga keeruline ja pikk lahendustee võtab eksamil rohkem aega ja annab ka rohkem võimalusi vigade tekkeks. Kogumiku kasutajal ei soovita me alustada esitatud lahenduste uurimisest. Navigatsiooniseadme (GPSi) kasutamine teejuhina võõras linnas ei taga tavaliselt läbitud marsruudi meelde jäämist, nii ei taga ka kogumikus esitatud lahendustega tutvumine ja neist arusaamine veel oskust analoogilisi ülesandeid iseseisvalt lahendada. Parim tee matemaatika õppimiseks on ise ülesanded läbi lahendada. 3
4 Seega tuleks kõigepealt püüda ülesannet ikkagi ise lahendada. Kui see ei õnnestu, võib lahenduse ideele juhatada rubriigis Meenutuseks esitatu. Kui ka see ei aita, siis võiks abi otsida alajaotusest Kommentaare ja soovitusi. Kogumikus esitatud lahenduste uurimine jäägu sellel teel kõige viimaseks õlekõrreks. Kui olete ise ülesandele ühe või mitu lahendusteed leidnud, on selle järel soovitav tutvuda ka kogumikus esitatud lahenduskäikudega ja võrrelda neid enda omaga. Tuleks mõelda veel üldisemalt: milline tee ja miks on mõistlik tulevikus analoogiliste ülesannete lahendamiseks valida. Kogumiku lõppu on lisatud ülesandeid päris iseseisvaks lahendamiseks. Need pärinevad aastatel 01 ja 013 läbiviidud matemaatika riigieksamit ettevalmistavatest katsetöödest. Autorid tänavad SA Innovet loa eest kasutada matemaatika riigieksami materjale. Jõudu ja edu matemaatikaülesannete lahendamisel! Autorid
5 SISUKORD 014. ja 015. aasta matemaatika riigieksami ülesanded... 6 Kitsa kursuse eksam Laia kursuse eksam Kitsa kursuse eksam Laia kursuse eksam Lahendused Kitsa kursuse eksam Laia kursuse eksam Kitsa kursuse eksam Laia kursuse eksam Iseseisvaks lahendamiseks
6 014. ja 015. aasta MATEMAATIKA RIIGIEKSAMI ÜLESANDED Kitsa kursuse eksam 014 I osa (lahendusaeg 10 min) I-1*. (5 punkti, lahendatus,8%) 1 Lihtsustage avaldis k k k k 1 ja arvutage kirjalikult selle täpne väärtus, kui 1 k = I-*. (5 punkti, lahendatus 56,3%) Poes on müügil melonid kolmest riigist Hispaaniast, Kreekast ja Marokost. Melonid ei erine väliselt, küll aga erinevad maitse poolest. Müügisaali letil on 5 Hispaanias, 7 Kreekas ja 3 Marokos kasvatatud melonit. Leidke tõenäosus, et 1) üks juhuslikult valitud melon on kasvatatud Marokos; ) üks juhuslikult valitud melon ei ole pärit Hispaaniast; 3) kaks juhuslikult valitud melonit on mõlemad kasvatatud Kreekas. I-3. (5 punkti, lahendatus 35,0%) On antud funktsioon f x x x ( ) = Leidke kõik argumendi x väärtused, mille korral on funktsiooni f (x) väärtused suuremad arvust 6. I-4. (5 punkti, lahendatus 4,3%) Joonisel on funktsiooni f (x) = sin x graafik. 1. Lahendage võrrand sin x = 1 lõigul [0; π].. Leidke funktsiooni f (x) = sin x kahanemisvahemik lõigul [0; π]. 1 Tärniga on märgitud kitsa ja laia kursuse eksami ühisossa kuuluvad ülesanded. 6
7 I-5*. (10 punkti, lahendatus 5,4%) Lahendage võrrandid: x = log ( x+ 8) + log 5 = log ( x).. I-6*. (10 punkti, lahendatus 6,4%) Metsaäärne peenramaa on täisnurkse trapetsi kujuline. Peenramaad tahetakse metsloomade eest kaitsta võrguga. Trapetsikujulise peenramaa lühem diagonaal on 10 m, pikem haar 6 m ja nendevaheline nurk 10. Mitu meetrit võrku kulub peenramaa piiramiseks? Lõppvastus esitage täpsusega 1 meeter. I-7. (10 punkti, lahendatus 51,0%) 1*. Oksjonil müüdi maali alghinnaga 150 eurot. Nii esimene kui ka iga järgmine hinnapakkuja suurendas panust ühe ja sama summa võrra. On teada, et kümnes pakkumine oli 900 eurot ja maali ostis kolmekümnenda pakkumise teinud osaleja. Mis hinnaga osteti maal?. Samal oksjonil müüdi ka antiikese, mille väärtus oli eurot. Palju maksab antiikese 4 aasta pärast, kui selle väärtus kasvab 0% aastas? II osa (lahendusaeg 150 min) II-1. (10 punkti, lahendatus 30,3%) 1 3 On antud funktsiooni f( x) = x x graafik (vt joonist) *. Leidke funktsiooni f (x) nullkohad ja positiivsuspiirkond. *. Arvutage funktsiooni f (x) miinimumpunkti koordinaadid. 3. Arvutage f (x) graafiku kõikide selliste punktide koordinaadid, mille korral kehtib võrdus f ' (x) = x. II-. (10 punkti, lahendatus 18,8%) On antud punktid A( 1; 1) ja B(5; 3). 1. Ringjoone diameeter on lõik AB. Koostage ringjoone võrrand.. Arvutage selle ringjoone pikkus. 3. Koostage lõigu AB keskristsirge võrrand. 7
8 II-3*. (10 punkti, lahendatus 17,1%) Väikeses tõlkebüroos töötab 3 inimest: juhataja, tõlk ja toimetaja. 1. Kui tõsta tõlgi palka 10% ja toimetaja palka 0% võrra, siis oleks nende palkade summa 1600 eurot. Kui aga tõlgi palka tõsta 0% ja toimetaja palka 10% võrra, siis oleks nende palkade summa 160 eurot. Arvutage tõlgi ja toimetaja palk.. Kõikide töötajate palkade summa on 3000 eurot. Mitu protsenti moodustab juhataja palk tõlgi palgast? II-4. (10 punkti, lahendatus 33,0%) Kõvertrapetsit piiravad jooned y x x = + 5, x = 1, x = ja x-telg. 1. Joonistage kõvertrapets koordinaatteljestikku.. Arvutage kõvertrapetsi pindala. II-5. (10 punkti, lahendatus 31,1%) Korrapärase kolmnurkse püstprisma kujulisse vaasi valatakse pool liitrit vett. Vaasi kõrgus on 0 cm ja põhiserv on 14 cm. 1. Arvutage veetaseme kõrgus vaasis.. Kui suur osa vaasi sisust jääb veega täitmata? NB! Vaasi seinte ja põhja paksust arvutamisel ei arvestata. 8
9 Laia kursuse eksam 014 I osa (lahendusaeg 10 min) I-1*. (5 punkti, lahendatus 61,7%) Lihtsustage avaldis m m+ m + m 1 ja arvutage kirjalikult selle täpne väärtus, kui 1 m = 7 3. I-*. (5 punkti, lahendatus 83,4%) Poes on müügil melonid kolmest riigist Marokost, Hispaaniast ja Kreekast. Melonid ei erine väliselt, küll aga erinevad maitse poolest. Müügisaali letil on 5 Marokos, 7 Hispaanias ja 3 Kreekas kasvatatud melonit. Leidke tõenäosus, et 1) üks juhuslikult valitud melon on kasvatatud Kreekas; ) üks juhuslikult valitud melon ei ole pärit Marokost; 3) kaks juhuslikult valitud melonit on mõlemad kasvatatud Hispaanias. I-3. (5 punkti, lahendatus 63,6%) Joonisel on funktsioonide f( x) = x + 6x 5 ja g(x) = 5 x graafikud. 1. Viirutage antud joontega piiratud kujund.. Arvutage selle viirutatud kujundi pindala. I-4. (5 punkti, lahendatus 60,7%) Ruumis on antud vektorid a = ( 1; 5; 4) ja b = (3; 5; ). Arvutage vektori c = a b koordinaadid ning nurk vektorite a ja b vahel. I-5*. (10 punkti, lahendatus 59,0%) Lahendage võrrandid: x+ = 3 log ( x+ 5) + log 5 = log ( x 5).. 9
10 I-6*. (10 punkti, lahendatus 58,5%) Metsaäärne põllumaa on täisnurkse trapetsi kujuline. Põllumaad tahetakse metsloomade eest kaitsta võrguga. Põllumaa lühem diagonaal on 0 m, pikem haar 1 m ja nendevaheline nurk 10. Mitu meetrit võrku kulub põllumaa piiramiseks? Lõppvastus esitage täpsusega 1 meeter. I-7. (10 punkti, lahendatus 55,3%) 1*. Oksjonil müüdi maali alghinnaga 150 eurot. Nii esimene kui ka iga järgmine hinnapakkuja suurendas panust ühe ja sama summa võrra. On teada, et kümnes pakkumine oli 1400 eurot ning maali ostis kolmekümnenda pakkumise teinud osaleja. Mis hinnaga osteti maal?. Samal oksjonil müüdi antiikese, mille ostuhind oli 500 eurot. Eksperdi hinnangul oli eseme tegelik väärtus vaid 1900 eurot. Eksperdi hinnangul tõuseb eseme väärtus 4% aastas. Mitu aastat peaks oksjoni toimumisest mööduma, et eseme tegelik väärtus ja ostuhind oleksid võrdsed? II osa (lahendusaeg 150 min) II-1. (10 punkti, lahendatus 51,7%) On antud funktsiooni 3 f( x) x x 3 3 = + graafik (vt joonist). 1*. Leidke funktsiooni f (x) nullkohad ja negatiivsuspiirkond. *. Arvutage funktsiooni f (x) maksimumpunkti koordinaadid. 3. Funktsiooni f (x) graafiku puutuja kohal x 0 = on sirge 14 y = x+. Koostage võrrand sirgele, mis on antud puutujaga 3 paralleelne ning ka antud funktsiooni graafiku puutuja. II-. (10 punkti, lahendatus 49,4% ) 1 Sirge s: y = x 1 lõikab x-telge punktis A. Sirge t läbib punkti A, on sirgega s risti ja lõikab y-telge punktis B. Sirge u läbib punkti B, on y-teljega risti ning lõikab sirget s punktis C. 1. Arvutage punktide A, B ja C koordinaadid ning koostage sirgete t ja u võrrandid.. Koostage kolmnurga ABC ümberringjoone võrrand. 10
11 II-3*. (10 punkti, lahendatus 60,1%) Väikeses tõlkebüroos töötab 3 inimest: juhataja, tõlk ja toimetaja. 1. Kui tõsta tõlgi palka 30% ja toimetaja palka 0% võrra, siis oleks nende palkade summa 400 eurot. Kui aga tõlgi palka tõsta 0% ja toimetaja palka 30% võrra, siis oleks nende palkade summa 350 eurot. Arvutage tõlgi ja toimetaja palk.. Kõikide töötajate palkade summa on 4000 eurot. Mitu protsenti moodustab juhataja palk tõlgi palgast? II-4. (10 punkti, lahendatus 33,4%) 1 On antud funktsioon f( x) = cos x Lahendage lõigul [0; π] võrrand f( x ) =. 8 π. Võrrandi f (x) a = 0 lahendite vahe lõigul [0; π] on. Leidke arvutuste teel parameetri a 3 väärtus. II-5. (10 punkti, lahendatus 37,6%) Püramiidi KABCD põhjaks on ruut ABCD. Püramiidi külgtahk KAB on risti põhjaga. Selle külgtahu kõrgus FK jaotab lõigu AB nii, et lõikude AF ja BF pikkused suhtuvad nagu 1 :. Püramiidi pikim külgserv KC pikkusega 4 cm moodustab püramiidi põhjaga nurga 45. Arvutage püramiidi KABCD ruumala. 11
12 Kitsa kursuse eksam 015 I osa (lahendusaeg 10 min) I-1*. (5 punkti, lahendatus 44,3%) Lihtsustage avaldis b 3,5 1 6a a : a + a b 3a 6, kus a > 0, b 0. I-*. (5 punkti, lahendatus 34,%) 1 Joonestage koordinaatteljestikku sirged y = x+ ja x = Viirutage kujund, mis on piiratud antud sirgete ja mõlema koordinaatteljega.. Arvutage viirutatud kujundi pindala. I-3. (5 punkti, lahendatus 48,%) Joonisel on funktsiooni f( x) = cos x graafik π lõigul ; π. 1. Leidke antud lõigul funktsiooni f( x ) negatiivsuspiirkond ja graafiku miinimumpunkti koordinaadid.. Kas punkt A π ; 1 asub funktsiooni f( x ) 3 graafikul? Põhjendage oma vastust. I-4. (5 punkti, lahendatus 57,4%) Karbis on rohelised ja punased pliiatsid, kokku 7 pliiatsit. Valides juhuslikult ühe pliiatsi, on punase pliiatsi saamise tõenäosus Mitu punast ja mitu rohelist pliiatsit on karbis?. Arvutage järgmiste sündmuste tõenäosus: 1) üks juhuslikult võetud pliiats on roheline; ) kaks juhuslikult võetud pliiatsit on mõlemad punased. 1
13 I-5. (10 punkti, lahendatus 31,%) Lahendage võrratusesüsteem 5 x< x 5 3x 3 x ja leidke selle võrratusesüsteemi kõik täisarvulised lahendid. I-6. (10 punkti, lahendatus 7,9%) Lahendage võrrandid: 1. 9 x+ = *. log x = log + log ( x+ 4) I-7*. (10 punkti, lahendatus 8,0%) Õpilane Juhan joonestas GeoGebra arvutiprogrammi abil võrdhaarse kolmnurga ABC. Kolmnurga haar BC oli pikkusega 10 cm ja tipunurk ACB oli 64. Juhan joonestas haarale BC kõrguse, mis jaotas kolmnurga ABC kaheks osaks: kolmnurkadeks ABD ja ACD. Juhanile näis, et kolmnurga ABD pindala oli korda suurem kui kolmnurga ACD pindala. Arvutage kolmnurkade ABD ja ACD pindalad ning otsustage, kas Juhanil oli õigus. II osa (lahendusaeg 150 min) II-1. (10 punkti, lahendatus 46,%) 1. Arvutage funktsiooni f( x) = x x 3 nullkohad ja graafiku haripunkti koordinaadid ning konstrueerige funktsiooni graafik. 3 *. On antud funktsioon gx ( ) = 1,5x 0,5 x. Arvutage selle funktsiooni ekstreemumkohad ja leidke kasvamisvahemik. 13
14 II-. (10 punkti, lahendatus 50,3%) Kolmnurga ABC tippude koordinaadid on A( 4; ), B(; 4) ja C(8; 4). 1. Joonestage kolmnurk ABC koordinaattasandile.. Koostage sirge AB võrrand. 3. Koostage võrrand sirgele, kui sirge läbib kolmnurga külje AC keskpunkti M ning on paralleelne kolmnurga küljega AB. Joonestage see sirge. II-3*. (10 punkti, lahendatus 9,7%) Perekond Kuusk jälgis 013. aasta 1. jaanuarist 014. aasta 31. detsembrini, kui palju kulus neil raha toidukaupade ostmiseks. Selgus, et vaadeldud perioodil kulus perel igas kuus ühe ja sama summa võrra rohkem raha kui eelmises kuus aasta esimesel kahel kuul kulus perel toidukaupade ostmiseks kokku 67,5 eurot ja 014. aasta märtsis 370 eurot. Kui palju raha kulus perel toidukaupade ostmiseks 014. aasta detsembris?. Mitu eurot kulus perel vaadeldud perioodil toidukaupade ostmiseks keskmiselt ühes kuus? 3. Mitme protsendi võrra oli 014. aasta detsembrikuu kulu suurem 013. aasta jaanuarikuu kulust? II-4*. (10 punkti, lahendatus 1,6%) 1. Kui suure rasvasisaldusega koor saadi, kui segati 00 ml 10% rasvasisaldusega koort ja 300 ml 35% rasvasisaldusega koort?. Kui palju tuleb võtta 10% rasvasisaldusega koort ja kui palju 35% rasvasisaldusega koort, et nende segamise tulemusena saada 1000 ml 0% rasvasisaldusega koort? II-5. (10 punkti, lahendatus 43,5%) Korrapärase nelinurkse püramiidi kõrgus on 10 cm ja põhitahu diagonaal on 1 cm. 1. Tehke ülesande tekstiga sobiv joonis.. Arvutage püramiidi ruumala ning nurk külgtahu ja põhitahu vahel. 14
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED, ÜLESANDED LEA PALLAS VII OSA SISUKORD 57 Joone uutuja Näited 8 58 Ülesanded uutuja võrrandi koostamisest 57 Joone uutuja Näited Funktsiooni tuletisel on
Διαβάστε περισσότεραKORDAMINE RIIGIEKSAMIKS V teema Vektor. Joone võrrandid.
KORDMINE RIIGIEKSMIKS V teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks
Διαβάστε περισσότεραKORDAMINE RIIGIEKSAMIKS VII teema Vektor. Joone võrrandid.
KORDMINE RIIGIEKSMIKS VII teema Vektor Joone võrrandid Vektoriaalseid suuruseid iseloomustavad a) siht b) suund c) pikkus Vektoriks nimetatakse suunatud sirglõiku Vektori alguspunktiks on ja lõpp-punktiks
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond 4 Leidke
Διαβάστε περισσότεραÜlesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln Ül.
Ülesannete numbrid on võetud ülesannete kogust L.Lepmann jt. Ülesandeid gümnaasiumi matemaatika lõpueksamiks valmistumisel Tln.6 I kursus NÄIDISTÖÖ nr.: Astmed.. Arvutada avaldise täpne väärtus. 8 * (,8)
Διαβάστε περισσότεραsin 2 α + cos 2 sin cos cos 2α = cos² - sin² tan 2α =
KORDAMINE RIIGIEKSAMIKS III TRIGONOMEETRIA ) põhiseosed sin α + cos sin cos α =, tanα =, cotα =, cos sin + tan =, tanα cotα = cos ) trigonomeetriliste funktsioonide täpsed väärtused α 5 6 9 sin α cos α
Διαβάστε περισσότεραDEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud.
Kolmnurk 1 KOLMNURK DEF. Kolmnurgaks nim hulknurka, millel on 3 tippu. / Kolmnurgaks nim tasandi osa, mida piiravad kolme erinevat punkti ühendavad lõigud. Kolmnurga tippe tähistatakse nagu punkte ikka
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded
Matemaatiline analüüs I iseseisvad ülesanded. Leidke funktsiooni y = log( ) + + 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = + arcsin 5 määramispiirkond.. Leidke funktsiooni y = sin + 6 määramispiirkond.
Διαβάστε περισσότεραRuumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule
Kodutöö nr.1 uumilise jõusüsteemi taandamine lihtsaimale kujule Ülesanne Taandada antud jõusüsteem lihtsaimale kujule. isttahuka (joonis 1.) mõõdud ning jõudude moodulid ja suunad on antud tabelis 1. D
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA
MATEMAATIKA TÄIENDUSÕPE MÕISTED, VALEMID, NÄITED LEA PALLAS XII OSA SISUKORD 8 MÄÄRAMATA INTEGRAAL 56 8 Algfunktsioon ja määramata integraal 56 8 Integraalide tabel 57 8 Määramata integraali omadusi 58
Διαβάστε περισσότεραAnalüütilise geomeetria praktikum II. L. Tuulmets
Analüütilise geomeetria praktikum II L. Tuulmets Tartu 1985 2 Peatükk 4 Sirge tasandil 1. Sirge tasandil Kui tasandil on antud afiinne reeper, siis iga sirge tasandil on selle reeperi suhtes määratud lineaarvõrrandiga
Διαβάστε περισσότεραLokaalsed ekstreemumid
Lokaalsed ekstreemumid Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne maksimum, kui leidub selline positiivne arv δ, et 0 < Δx < δ Δy 0. Öeldakse, et funktsioonil f (x) on punktis x lokaalne miinimum,
Διαβάστε περισσότεραFunktsiooni diferentsiaal
Diferentsiaal Funktsiooni diferentsiaal Argumendi muut Δx ja sellele vastav funktsiooni y = f (x) muut kohal x Eeldusel, et f D(x), saame Δy = f (x + Δx) f (x). f (x) = ehk piisavalt väikese Δx korral
Διαβάστε περισσότεραVektorid II. Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale
Vektorid II Analüütiline geomeetria 3D Modelleerimise ja visualiseerimise erialale Vektorid Vektorid on arvude järjestatud hulgad (s.t. iga komponendi väärtus ja positsioon hulgas on tähenduslikud) Vektori
Διαβάστε περισσότεραPlaneedi Maa kaardistamine G O R. Planeedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kera. Joon 1
laneedi Maa kaadistamine laneedi Maa kõige lihtsamaks mudeliks on kea. G Joon 1 Maapinna kaadistamine põhineb kea ümbeingjoontel, millest pikimat nimetatakse suuingjooneks. Need suuingjooned, mis läbivad
Διαβάστε περισσότερα,millest avaldub 21) 23)
II kursus TRIGONOMEETRIA * laia matemaatika teemad TRIGONOMEETRILISTE FUNKTSIOONIDE PÕHISEOSED: sin α s α sin α + s α,millest avaldu s α sin α sα tan α, * t α,millest järeldu * tα s α tα tan α + s α Ülesanne.
Διαβάστε περισσότεραGeomeetrilised vektorid
Vektorid Geomeetrilised vektorid Skalaarideks nimetatakse suurusi, mida saab esitada ühe arvuga suuruse arvulise väärtusega. Skalaari iseloomuga suurusi nimetatakse skalaarseteks suurusteks. Skalaarse
Διαβάστε περισσότεραFunktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses
Funktsioonide õpetamisest põhikooli matemaatikakursuses Allar Veelmaa, Loo Keskkool Funktsioon on üldtähenduses eesmärgipärane omadus, ülesanne, otstarve. Mõiste funktsioon ei ole kasutusel ainult matemaatikas,
Διαβάστε περισσότεραKitsas matemaatika-3 tundi nädalas
Kitsas matemaatika-3 tundi nädalas Õpitulemused I kursus-arvuhulgad. Avaldised. Võrrand, võrratus. 1) eristab ratsionaal-, irratsionaal- ja reaalarve; 2) eristab võrdust, samasust, võrrandit ja võrratust;
Διαβάστε περισσότεραGeomeetria põhivara. Jan Willemson. 19. mai 2000.a.
Geomeetria põhivara Jan Willemson 19. mai 2000.a. 1 Kolmnurk Kolmnurgas tasub mõelda järgmistest lõikudest ja sirgetest: kõrgused, nurgapoolitajad, välisnurkade poolitajad, külgede keskristsirged, mediaanid,
Διαβάστε περισσότεραSissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120
Sissejuhatus mehhatroonikasse MHK0120 2. nädala loeng Raavo Josepson raavo.josepson@ttu.ee Loenguslaidid Materjalid D. Halliday,R. Resnick, J. Walker. Füüsika põhikursus : õpik kõrgkoolile I köide. Eesti
Διαβάστε περισσότεραKompleksarvu algebraline kuju
Kompleksarvud p. 1/15 Kompleksarvud Kompleksarvu algebraline kuju Mati Väljas mati.valjas@ttu.ee Tallinna Tehnikaülikool Kompleksarvud p. 2/15 Hulk Hulk on kaasaegse matemaatika algmõiste, mida ei saa
Διαβάστε περισσότεραVektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria.
Vektor. Joone võrrand. Analüütiline geomeetria. Hele Kiisel, Hugo Treffneri Gümnaasium Analüütilise geomeetria teemad on gümnaasiumi matemaatikakursuses jaotatud kaheks osaks: analüütiline geomeetria tasandil,
Διαβάστε περισσότερα20. SIRGE VÕRRANDID. Joonis 20.1
κ ËÁÊ Â Ì Ë Æ Á 20. SIRGE VÕRRANDID Sirget me võime vaadelda kas tasandil E 2 või ruumis E 3. Sirget vaadelda sirgel E 1 ei oma mõtet, sest tegemist on ühe ja sama sirgega. Esialgu on meie käsitlus nii
Διαβάστε περισσότερα; y ) vektori lõpppunkt, siis
III kusus VEKTOR TASANDIL. JOONE VÕRRAND *laia matemaatika teemad. Vektoi mõiste, -koodinaadid ja pikkus: http://www.allaveelmaa.com/ematejalid/vekto-koodinaadid-pikkus.pdf Vektoite lahutamine: http://allaveelmaa.com/ematejalid/lahutaminenull.pdf
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad
Eesti koolinoorte XLIX täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA PIIRKONDLIK VOOR 26. jaanuaril 2002. a. Juhised lahenduste hindamiseks Lp. hindaja! 1. Juhime Teie tähelepanu sellele, et alljärgnevas on 7.
Διαβάστε περισσότεραEhitusmehaanika harjutus
Ehitusmehaanika harjutus Sõrestik 2. Mõjujooned /25 2 6 8 0 2 6 C 000 3 5 7 9 3 5 "" 00 x C 2 C 3 z Andres Lahe Mehaanikainstituut Tallinna Tehnikaülikool Tallinn 2007 See töö on litsentsi all Creative
Διαβάστε περισσότεραHAPE-ALUS TASAKAAL. Teema nr 2
PE-LUS TSL Teema nr Tugevad happed Tugevad happed on lahuses täielikult dissotiseerunud + sisaldus lahuses on võrdne happe analüütilise kontsentratsiooniga Nt NO Cl SO 4 (esimeses astmes) p a väärtused
Διαβάστε περισσότερα1 Funktsioon, piirväärtus, pidevus
Funktsioon, piirväärtus, pidevus. Funktsioon.. Tähistused Arvuhulki tähistatakse üldlevinud viisil: N - naturaalarvude hulk, Z - täisarvude hulk, Q - ratsionaalarvude hulk, R - reaalarvude hulk. Piirkonnaks
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi
Eesti koolinoorte XLVIII täppisteaduste olümpiaadi lõppvoor MATEMAATIKAS Tartus, 9. märtsil 001. a. Lahendused ja vastused IX klass 1. Vastus: x = 171. Teisendame võrrandi kujule 111(4 + x) = 14 45 ning
Διαβάστε περισσότεραEesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad
Eesti koolinoorte XLI täppisteaduste olümpiaad MATEMAATIKA III VOOR 6. märts 994. a. Lahendused ja vastused IX klass.. Vastus: a) neljapäev; b) teisipäev, kolmapäev, reede või laupäev. a) Et poiste luiskamise
Διαβάστε περισσότεραIKT vahendite kasutamisest gümnaasiumi matemaatikakursuste õpetamisel
IKT vahendite kasutamisest gümnaasiumi matemaatikakursuste õpetamisel Allar Veelmaa, Loo Keskkool Gümnaasiumi riiklik õppekava 1 (edaspidi GRÕK) järgi võib õpilane valida kitsa ja laia matemaatikakursuse
Διαβάστε περισσότερα4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks
4.2.5 Täiustatud meetod tuletõkestusvõime määramiseks 4.2.5.1 Ülevaade See täiustatud arvutusmeetod põhineb mahukate katsete tulemustel ja lõplike elementide meetodiga tehtud arvutustel [4.16], [4.17].
Διαβάστε περισσότερα2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused klass
2017/2018. õa keemiaolümpiaadi piirkonnavooru lahendused 11. 12. klass 18 g 1. a) N = 342 g/mol 6,022 1023 molekuli/mol = 3,2 10 22 molekuli b) 12 H 22 O 11 + 12O 2 = 12O 2 + 11H 2 O c) V = nrt p d) ΔH
Διαβάστε περισσότερα4.1 Funktsiooni lähendamine. Taylori polünoom.
Peatükk 4 Tuletise rakendusi 4.1 Funktsiooni lähendamine. Talori polünoom. Mitmetes matemaatika rakendustes on vaja leida keerulistele funktsioonidele lihtsaid lähendeid. Enamasti konstrueeritakse taolised
Διαβάστε περισσότεραGraafiteooria üldmõisteid. Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid
Graafiteooria üldmõisteid Graaf G ( X, A ) Tippude hulk: X={ x 1, x 2,.., x n } Servade (kaarte) hulk: A={ a 1, a 2,.., a m } Orienteeritud graafid Orienteerimata graafid G(x i )={ x k < x i, x k > A}
Διαβάστε περισσότεραAinevaldkond Matemaatika gümnaasiumi ainekava
Ainevaldkond Matemaatika gümnaasiumi ainekava 1. Ainevaldkonna õppeainete kohustuslikud kursused Lai matemaatika koosneb 14 kursusest: 10 klass: 1. Avaldised ja arvuhulgad 2. Võrrandid ja võrrandisüsteemid
Διαβάστε περισσότεραEesti LIV matemaatikaolümpiaad
Eesti LIV matemaatikaolümpiaad 31. märts 007 Lõppvoor 9. klass Lahendused 1. Vastus: 43. Ilmselt ei saa see arv sisaldada numbrit 0. Iga vähemalt kahekohaline nõutud omadusega arv sisaldab paarisnumbrit
Διαβάστε περισσότεραI. Keemiline termodünaamika. II. Keemiline kineetika ja tasakaal
I. Keemiline termdünaamika I. Keemiline termdünaamika 1. Arvutage etüüni tekke-entalpia ΔH f lähtudes ainete põlemisentalpiatest: ΔH c [C(gr)] = -394 kj/ml; ΔH c [H 2 (g)] = -286 kj/ml; ΔH c [C 2 H 2 (g)]
Διαβάστε περισσότεραVektori u skalaarkorrutist iseendaga nimetatakse selle vektori skalaarruuduks ja tähistatakse (u ) 2 või u 2 u. u v cos α = u 2 + v 2 PQ 2
Vektorite sklrkorrutis Vtleme füüsikkursusest tuntud olukord, kus kehle mõjub jõud F r j keh teeb selle jõu mõjul nihke s Konkreetsuse huvides olgu kehks rööbsteel liikuv vgun Jõud F r mõjugu vgunile rööbstee
Διαβάστε περισσότεραAINE ÕPPE- JA KASVATUSEESMÄRGID ÜLDPÄDEVUSED
Matemaatika Gümnaasium 10.-12. klass Kursusi: 14 (lisaks kordamine) Tunde kursuses: 35 Rakendumine: 1. september 2016 Koostamise alus: Gümnaasiumi riiklik õppekava, lisa 3; Koeru Keskkooli õppekava AINE
Διαβάστε περισσότεραMatemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika KLASS 11 TUNDIDE ARV 35
Matemaatika VI kursus Tõenäosus, statistika Permutatsioonid, kombinatsioonid ja variatsioonid. Sündmus. Sündmuste liigid. Klassikaline tõenäosus. Geomeetriline tõenäosus. Sündmuste liigid: sõltuvad ja
Διαβάστε περισσότεραREAALAINETE KESKUS JAAK SÄRAK
REAALAINETE KESKUS JAAK SÄRAK TALLINN 2006 1 DESCRIPTIVE GEOMETRY Study aid for daily and distance learning courses Compiler Jaak Särak Edited by Tallinn College of Engineering This publication is meant
Διαβάστε περισσότεραKoduseid ülesandeid IMO 2017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused
Koduseid ülesandeid IMO 017 Eesti võistkonna kandidaatidele vol 4 lahendused 17. juuni 017 1. Olgu a,, c positiivsed reaalarvud, nii et ac = 1. Tõesta, et a 1 + 1 ) 1 + 1 ) c 1 + 1 ) 1. c a Lahendus. Kuna
Διαβάστε περισσότεραTallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Deformeeruva keha mehaanika õppetool. Andrus Salupere STAATIKA ÜLESANDED
Tallinna Tehnikaülikool Mehaanikainstituut Deformeeruva keha mehaanika õppetool Andrus Salupere STAATIKA ÜLESANDED Tallinn 2004/2005 1 Eessõna Käesolev ülesannete kogu on mõeldud kasutamiseks eeskätt Tallinna
Διαβάστε περισσότεραMitmest lülist koosneva mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine
TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL MEHAANIKAINSTITUUT Dünaamika kodutöö nr. 1 Mitmest lülist koosnea mehhanismi punktide kiiruste ja kiirenduste leidmine ariant ZZ Lahendusnäide Üliõpilane: Xxx Yyy Üliõpilase kood:
Διαβάστε περισσότεραAinevaldkond Matemaatika
Ainevaldkond Matemaatika 1 Matemaatikapädevus Matemaatika õpetamise eesmärk gümnaasiumis on matemaatikapädevuse kujundamine, see tähendab suutlikkust tunda matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemsust;
Διαβάστε περισσότεραLOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST. Koostanud Hilja Afanasjeva
LOOGIKA ELEMENTE MATEMAATIKAS. GEOMEETRIA AKSIOMAATILISEST ÜLESEHITUSEST EESSÕNA Koostanud Hilja Afanasjeva Enne selle teema käsitlemist avame mõned materjalist arusaamiseks vajalikud mõisted hulgateooriast.
Διαβάστε περισσότεραITI 0041 Loogika arvutiteaduses Sügis 2005 / Tarmo Uustalu Loeng 4 PREDIKAATLOOGIKA
PREDIKAATLOOGIKA Predikaatloogika on lauseloogika tugev laiendus. Predikaatloogikas saab nimetada asju ning rääkida nende omadustest. Väljendusvõimsuselt on predikaatloogika seega oluliselt peenekoelisem
Διαβάστε περισσότεραKOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD
KOMBINATSIOONID, PERMUTATSIOOND JA BINOOMKORDAJAD Teema 3.1 (Õpiku peatükid 1 ja 3) Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Kombinatoorika 1 / 31 Loengu kava 1 Tähistusi 2 Kombinatoorsed
Διαβάστε περισσότεραJätkusuutlikud isolatsioonilahendused. U-arvude koondtabel. VÄLISSEIN - COLUMBIA TÄISVALATUD ÕÕNESPLOKK 190 mm + SOOJUSTUS + KROHV
U-arvude koondtabel lk 1 lk 2 lk 3 lk 4 lk 5 lk 6 lk 7 lk 8 lk 9 lk 10 lk 11 lk 12 lk 13 lk 14 lk 15 lk 16 VÄLISSEIN - FIBO 3 CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS + KROHV VÄLISSEIN - AEROC CLASSIC 200 mm + SOOJUSTUS
Διαβάστε περισσότερα2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon
2.2. MAATRIKSI P X OMADUSED 19 2.2.1 Geomeetriline interpretatsioon Maatriksi X (dimensioonidega n k) veergude poolt moodustatav vektorruum (inglise k. column space) C(X) on defineeritud järgmiselt: Defineerides
Διαβάστε περισσότερα6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad
6.6. Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 263 6.6 Ühtlaselt koormatud plaatide lihtsamad paindeülesanded 6.6.1 Silindriline paine Kui ristkülikuline plaat on pika ristküliku kujuline
Διαβάστε περισσότεραKirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika
Operatsioonsemantika Kirjeldab kuidas toimub programmide täitmine Tähendus spetsifitseeritakse olekuteisendussüsteemi abil Loomulik semantika kirjeldab kuidas j~outakse l~oppolekusse Struktuurne semantika
Διαβάστε περισσότεραEesti LV matemaatikaolümpiaad
Eesti LV matemaatikaolümpiaad 2. veebruar 2008 Piirkonnavoor Kommentaarid Kokkuvõtteks Selleaastast komplekti võib paremini õnnestunuks lugeda kui paari viimase aasta omi. Lõppvooru pääsemise piirid protsentides
Διαβάστε περισσότεραHULGATEOORIA ELEMENTE
HULGATEOORIA ELEMENTE Teema 2.2. Hulga elementide loendamine Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Diskreetne Matemaatika II: Hulgateooria 1 / 31 Loengu kava 2 Hulga elementide loendamine Hulga võimsus Loenduvad
Διαβάστε περισσότεραPLASTSED DEFORMATSIOONID
PLAED DEFORMAIOONID Misese vlavustingimus (pinegte ruumis) () Dimensineerimisega saab kõrvaldada ainsa materjali parameetri. Purunemise (tugevuse) kriteeriumid:. Maksimaalse pinge kirteerium Laminaat puruneb
Διαβάστε περισσότερα9. AM ja FM detektorid
1 9. AM ja FM detektorid IRO0070 Kõrgsageduslik signaalitöötlus Demodulaator Eraldab moduleeritud signaalist informatiivse osa. Konkreetne lahendus sõltub modulatsiooniviisist. Eristatakse Amplituuddetektoreid
Διαβάστε περισσότερα1.2. Ainevaldkonna õppeainete kohustuslikud kursused ja valikkursused
Vabariigi Valitsuse 06.01.2011. a määruse nr 2 Gümnaasiumi riiklik õppekava lisa 3 1. Ainevaldkond Matemaatika 1.1. Matemaatikapädevus Matemaatikapädevus tähendab matemaatiliste mõistete ja seoste süsteemset
Διαβάστε περισσότεραAndmeanalüüs molekulaarbioloogias
Andmeanalüüs molekulaarbioloogias Praktikum 3 Kahe grupi keskväärtuste võrdlemine Studenti t-test 1 Hüpoteeside testimise peamised etapid 1. Püstitame ENNE UURINGU ALGUST uurimishüpoteesi ja nullhüpoteesi.
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs II praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester
Matemaatiline analüüs II praktikumiülesannete kogu 5. a. kevadsemester . Kahe ja kolme muutuja funktsiooni määramispiirkond, selle raja, kinnisus ja lahtisus. Olgu X ja Y hulgad. Kujutus e. funktsioon
Διαβάστε περισσότεραJoonis 1. Teist järku aperioodilise lüli ülekandefunktsiooni saab teisendada võnkelüli ülekandefunktsiooni kujul, kui
Ülesnded j lhendused utomtjuhtimisest Ülesnne. Süsteem oosneb hest jdmisi ühendtud erioodilisest lülist, mille jonstndid on 0,08 j 0,5 ning õimendustegurid stlt 0 j 50. Leid süsteemi summrne ülendefuntsioon.
Διαβάστε περισσότερα1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD
1. Reaalarvud 1.1. NATURAAL-, TÄIS- JA RATSIONAALARVUD Arvu mõiste hakkas kujunema aastatuhandeid tagasi, täiustudes ja üldistudes koos inimkonna arenguga. Juba ürgühiskonnas tekkis vajadus teatavaid hulki
Διαβάστε περισσότερα28. Sirgvoolu, solenoidi ja toroidi magnetinduktsiooni arvutamine koguvooluseaduse abil.
8. Sigvoolu, solenoidi j tooidi mgnetinduktsiooni vutmine koguvooluseduse il. See on vem vdtud, kuid mitte juhtme sees. Koguvooluseduse il on sed lihtne teh. Olgu lõpmt pikk juhe ingikujulise istlõikeg,
Διαβάστε περισσότεραKontrollijate kommentaarid a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi
Kontrollijate kommentaarid 2002. a. piirkondliku matemaatikaolümpiaadi tööde kohta Kokkuvõtteks Uuendusena oli tänavusel piirkondlikul olümpiaadil 10.-12. klassides senise 5 asemel 6 ülesannet, millest
Διαβάστε περισσότεραKeemia lahtise võistluse ülesannete lahendused Noorem rühm (9. ja 10. klass) 16. november a.
Keemia lahtise võistluse ülesannete lahendused oorem rühm (9. ja 0. klass) 6. november 2002. a.. ) 2a + 2 = a 2 2 2) 2a + a 2 2 = 2a 2 ) 2a + I 2 = 2aI 4) 2aI + Cl 2 = 2aCl + I 2 5) 2aCl = 2a + Cl 2 (sulatatud
Διαβάστε περισσότεραÕppeprotsessi kirjeldus III kooliastmele
- 1 - Õppeprotsessi kirjeldus III kooliastmele Õppeprotsessi kirjelduses on klasside kaupa lahti kirjutatud õppesisu ja taotletavad õpitulemused. Märgitud on ka muutused võrreldes 2002.a. Lisatud on soovitusi
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATILINE ANAL U US II Juhend TT U kaug oppe- uli opilastele
MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele TALLINNA TEHNIKAÜLIKOOL Matemaatikainstituut MATEMAATILINE ANALÜÜS II Juhend TTÜ kaugõppe-üliõpilastele Tallinn 24 3 MATEMAATILINE ANALÜÜS II
Διαβάστε περισσότεραKontekstivabad keeled
Kontekstivabad keeled Teema 2.1 Jaan Penjam, email: jaan@cs.ioc.ee Rekursiooni- ja keerukusteooria: KV keeled 1 / 27 Loengu kava 1 Kontekstivabad grammatikad 2 Süntaksipuud 3 Chomsky normaalkuju Jaan Penjam,
Διαβάστε περισσότεραTrigonomeetria gümnaasiumis
Trignmeetria gümnaasiumis Hannes Jukk, Tartu Ülikl Trignmeetria võib meile tähendada kahte pisut erinevat matemaatikavaldknda. Ajalliselt n see tähendanud esmalt klmnurkade mõõtmise ja lahendamisega senduvat
Διαβάστε περισσότεραMatemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu a. kevadsemester
Matemaatiline analüüs IV praktikumiülesannete kogu 4. a. kevadsemester . Alamhulgad ruumis R m. Koonduvad jadad. Tõestage, et ruumis R a) iga kera s.o. ring) U r A) sisaldab ruutu keskpunktiga A = a,b),
Διαβάστε περισσότεραEnergiabilanss netoenergiavajadus
Energiabilanss netoenergiajadus 1/26 Eelmisel loengul soojuskadude arvutus (võimsus) φ + + + tot = φ φ φ juht v inf φ sv Energia = tunnivõimsuste summa kwh Netoenergiajadus (ruumis), energiakasutus (tehnosüsteemis)
Διαβάστε περισσότερα6 Mitme muutuja funktsioonid
6 Mitme muutu funktsioonid Reaalarvude järjestatud paaride (x, ) hulga tasandi punktide hulga vahel on üksühene vastavus, st igale paarile vastab üks kindel punkt tasandil igale tasandi punktile vastavad
Διαβάστε περισσότεραMATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus)
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool MATEMAATILISEST LOOGIKAST (Lausearvutus) Õppematerjal TÜ Teaduskooli õpilastele Koostanud E. Mitt TARTU 2003 1. LAUSE MÕISTE Matemaatilise loogika ühe osa - lausearvutuse - põhiliseks
Διαβάστε περισσότεραHSM TT 1578 EST 6720 611 954 EE (04.08) RBLV 4682-00.1/G
HSM TT 1578 EST 682-00.1/G 6720 611 95 EE (0.08) RBLV Sisukord Sisukord Ohutustehnika alased nõuanded 3 Sümbolite selgitused 3 1. Seadme andmed 1. 1. Tarnekomplekt 1. 2. Tehnilised andmed 1. 3. Tarvikud
Διαβάστε περισσότεραProgrammeerimise eksamiülesannete kogu
TARTU ÜLIKOOL ARVUTITEADUSE INSTITUUT Programmeerimise eksamiülesannete kogu Helle Hein Jüri Kiho Reimo Palm Eno Tõnisson Tartu 2007 Käesoleva õppevahendi väljaandmist on toetanud Eesti Infotehnoloogia
Διαβάστε περισσότερα2. HULGATEOORIA ELEMENTE
2. HULGATEOORIA ELEMENTE 2.1. Hulgad, nende esitusviisid. Alamhulgad Hulga mõiste on matemaatika algmõiste ja seda ei saa def ineerida. Me võime vaid selgitada, kuidas seda abstraktset mõistet endale kujundada.
Διαβάστε περισσότεραTARTU ÜLIKOOL Teaduskool. STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots
TARTU ÜLIKOOL Teaduskool STAATIKA TASAKAALUSTAMISTINGIMUSED Koostanud J. Lellep, L. Roots Tartu 2008 Eessõna Käesoleva õppevahendi kasutajana on mõeldud eelkõige täppisteaduste vastu huvi tundvaid gümnaasiumi
Διαβάστε περισσότεραTuletis ja diferentsiaal
Peatükk 3 Tuletis ja diferentsiaal 3.1 Tuletise ja diferentseeruva funktsiooni mõisted. Olgu antud funktsioon f ja kuulugu punkt a selle funktsiooni määramispiirkonda. Tuletis ja diferentseeruv funktsioon.
Διαβάστε περισσότερα1. Õppida tundma kalorimeetriliste mõõtmiste põhimõtteid ja kalorimeetri ehitust.
Kaorimeetriised mõõtmised LABORATOORNE TÖÖ NR. 3 KALORIMEETRILISED MÕÕTMISED TÖÖ EESMÄRGID 1. Õppida tundma aorimeetriiste mõõtmiste põhimõtteid ja aorimeetri ehitust. 2. Määrata jää suamissoojus aorimeetriise
Διαβάστε περισσότεραVektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja panna skalaarkorrutise
Jõu töö Konstanse jõu tööks lõigul (nihkel) A A nimetatakse jõu mooduli korrutist teepikkusega s = A A ning jõu siirde vahelise nurga koosinusega Fscos ektoralgebra seisukohalt võib ka selle võrduse kirja
Διαβάστε περισσότεραFibo Lux 88 vaheseina süsteem. Margus Tint
Fibo Lux 88 vaheseina süsteem Margus Tint 1 Fibo Lux 88 vahesein LIHTNE JA KIIRE PAIGALDADA TÄIUSLIK TERVIKLAHENDUS LAOTAKSE KIVILIIMIGA TAPID KÕIKIDEL OTSTEL HEA VIIMISTLEDA TÄIUSTATUD PROFIIL, SIIA KUULUVAD
Διαβάστε περισσότεραMathematica kasutamine
mathematica_lyhi_help.nb 1 Mathematica kasutamine 1. Sissejuhatus Programmi Mathematica avanemisel pole programmi tuum - Kernel - vaikimisi käivitatud. Kernel on programmi see osa, mis tegelikult teostab
Διαβάστε περισσότεραElastsusteooria tasandülesanne
Peatükk 5 Eastsusteooria tasandüesanne 143 5.1. Tasandüesande mõiste 144 5.1 Tasandüesande mõiste Seeks, et iseoomustada pingust või deformatsiooni eastse keha punktis kasutatakse peapinge ja peadeformatsiooni
Διαβάστε περισσότεραKui ühtlase liikumise kiirus on teada, saab aja t jooksul läbitud teepikkuse arvutada valemist
KOOLIFÜÜSIKA: MEHAANIKA (kaugõppele). KINEMAATIKA. Ühtlane liikumine Punktmass Punktmassiks me nimetame keha, mille mõõtmeid me antud liikumise juures ei pruugi arestada. Sel juhul loemegi keha tema asukoha
Διαβάστε περισσότεραKEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS
KEEMIAÜLESANNETE LAHENDAMISE LAHTINE VÕISTLUS Nooem aste (9. ja 10. klass) Tallinn, Tatu, Kuessaae, Nava, Pänu, Kohtla-Jäve 11. novembe 2006 Ülesannete lahendused 1. a) M (E) = 40,08 / 0,876 = 10,2 letades,
Διαβάστε περισσότεραRF võimendite parameetrid
RF võimendite parameetrid Raadiosageduslike võimendite võimendavaks elemendiks kasutatakse põhiliselt bipolaarvõi väljatransistori. Paraku on transistori võimendus sagedusest sõltuv, transistor on mittelineaarne
Διαβάστε περισσότερα= 5 + t + 0,1 t 2, x 2
SAATEKS Käesoleva vihikuga lõpeb esimene samm teel füüsikastandardini. Tehtule tagasi vaadates tahaksime jagada oma mõtteid füüsikaõpetajatega, kes seni ilmunud seitsmes vihikus sisalduva õpilasteni viivad.
Διαβάστε περισσότεραMateMaatika õhtuõpik
Matemaatika õhtuõpik 1 2 Matemaatika õhtuõpik 3 Alates 31. märtsist 2014 on raamatu elektrooniline versioon tasuta kättesaadav aadressilt 6htu6pik.ut.ee CC litsentsi alusel (Autorile viitamine + Mitteäriline
Διαβάστε περισσότεραElastsusteooria põhivõrrandid,
Peatükk 4 Elastsusteooria põhivõrrandid, nende lahendusmeetodid ja lihtsamad ruumilised ülesanded 113 4.1. Elastsusteooria põhivõrrandid 114 4.1 Elastsusteooria põhivõrrandid 1. Tasakaalu (diferentsiaal)võrrandid
Διαβάστε περισσότεραSmith i diagramm. Peegeldustegur
Smith i diagramm Smith i diagrammiks nimetatakse graafilist abivahendit/meetodit põhiliselt sobitusküsimuste lahendamiseks. Selle võttis 1939. aastal kasutusele Philip H. Smith, kes töötas tol ajal ettevõttes
Διαβάστε περισσότεραTÄIENDAVAID TEEMASID KOOLIKEEMIALE I
TARTU ÜLIKOOL TEADUSKOOL TÄIENDAVAID TEEMASID KOOLIKEEMIALE I LAHUSED Natalia Nekrassova Õppevahend TK õpilastele Tartu 008 LAHUSED Looduses ja tehnikas lahused omavad suurt tähtsust. Taimed omandavad
Διαβάστε περισσότεραLisa 2 ÜLEVAADE HALJALA VALLA METSADEST Koostanud veebruar 2008 Margarete Merenäkk ja Mati Valgepea, Metsakaitse- ja Metsauuenduskeskus
Lisa 2 ÜLEVAADE HALJALA VALLA METSADEST Koostanud veebruar 2008 Margarete Merenäkk ja Mati Valgepea, Metsakaitse- ja Metsauuenduskeskus 1. Haljala valla metsa pindala Haljala valla üldpindala oli Maa-Ameti
Διαβάστε περισσότερα5. OPTIMEERIMISÜLESANDED MAJANDUSES
5. OPTIMEERIMISÜLESNDED MJNDUSES nts asma Sissejuhatus Majanduses, aga ka mitmete igapäevaste probleemide lahendamisel on piiratud võimalusi arvestades vaja leida võimalikult kasulik toimimisviis. Ettevõtete,
Διαβάστε περισσότεραPrisma. Lõik, mis ühendab kahte mitte kuuluvat tippu on prisma diagonaal d. Tasand, mis. prisma diagonaal d ja diagonaaltasand (roheline).
Prism Prisms nimese ulu, mille s u on vsvl rlleelsee j võrdsee ülgedeg ulnurgd, ning ülejäänud ud on rööüliud, millel on ummgi ulnurgg üine ülg. Prlleelseid ulnuri nimese rism õjdes j nende ulnurde ülgi
Διαβάστε περισσότεραSissejuhatus. Kinemaatika
Sissejuhatus Enamuse füüsika ülesannete lahendamine taandub tegelikult suhteliselt äikese hulga ideede rakendamisele (öeldu kehtib ka teiste aldkondade, näiteks matemaatika kohta). Seega on aja õppida
Διαβάστε περισσότεραLego Mindstormi roboti programmeerimise juhendmaterjali koostamine
Tallinna Ülikool Informaatika Instituut Lego Mindstormi roboti programmeerimise juhendmaterjali koostamine Seminaritöö Autor: Raido Parring Juhendaja: Jaagup Kippar Autor:...... 2012 Juhendaja:...... 2012
Διαβάστε περισσότερα7.7 Hii-ruut test 7.7. HII-RUUT TEST 85
7.7. HII-RUUT TEST 85 7.7 Hii-ruut test Üks universaalsemaid ja sagedamini kasutust leidev test on hii-ruut (χ 2 -test, inglise keeles ka chi-square test). Oletame, et sooritataval katsel on k erinevat
Διαβάστε περισσότεραFotomeetria. Laineoptika
Fotomeetria 1. Päikese ja Maa vaheline kaugus on 1,5 10 8 km. Kui kaua tuleb valgus Päikeselt Maale? (Vastus: 500 s) 2. Fizeau ajaloolises katses valguse kiiruse määramiseks oli 720 hambaga hammasratta
Διαβάστε περισσότεραCompress 6000 LW Bosch Compress LW C 35 C A ++ A + A B C D E F G. db kw kw /2013
55 C 35 C A A B C D E F G 50 11 12 11 11 10 11 db kw kw db 2015 811/2013 A A B C D E F G 2015 811/2013 Toote energiatarbe kirjeldus Järgmised toote andmed vastavad nõuetele, mis on esitatud direktiivi
Διαβάστε περισσότερα