MATERIALI IN TEHNOLOGIJE
|
|
- Λάζαρος Καραβίας
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 UNIVERZA V LJUBLJANI FAKULTETA ZA ELEKTROTEHNIKO D. VONČINA MATERIALI IN TEHNOLOGIJE (ZAPISKI PREDAVANJ) Podiplomski študijski program 2. stopnje Elektrotehnika 1. letnik MEHATRONIKA Izbirni modul F
2 Uvod V pričujočem delu bomo obravnavali pomembnejše snovi, ki so prirejene in oblikovane za rabo v elektrotehniki. Pri tem so predvsem pomembne in zato še posebej zaželene specifične lastnosti snovi, ki jih s pridom izkoriščamo. Nobena veja tehnike ni povsem avtonomna. Med seboj se prepletajo in zato je lahko mnogo materialov uporabnih na različnih področjih tehnike (npr.: konstrukcijsko jeklo se uporablja v gradbeništvu, strojegradnji, metalurgiji, rudarstvu in ne nazadnje tudi v elektrotehniki). Ker je tako splošno uporabno, ga ne moremo uvrščati med izrazite elektrotehniške materiale. Pri rabi materialov na elektrotehniškem področju nas še posebej zanimajo njihove: a) tehnološke lastnosti in b) specifične lastnosti. Z izkoriščanjem materiala mislimo predvsem na njegove mehanske lastnosti. Že samo ime nam pove, da ga uporabljamo pri najrazličnejših konstrukcijah kot so npr. ogrodja naprav, za stikalne omare, za jambore, za armature, za podstavke skupkov električnih strojev ipd. Feromagnetizem in električna prevodnost pa sta specifični lastnosti konstrukcijskega jekla. Tako ga uvrščamo med feromagnetne materiale in obenem med prevodne materiale. Večkratna specifičnost pa v elektrotehniki ni vedno zaželena. Idealno bi bilo, če bi lahko te specifične lastnosti izkoriščali neodvisno oz. ločeno. Včasih pa nas ta večkratna specifičnost sploh ne moti. Pri rabi konstrukcijskega jekla v elektrotehniki največkrat izkoriščamo njegove mehanske lastnosti (trdnost, nateznost), včasih pa tudi kombinacijo trdnosti in električne prevodnosti. Kot feromagnetni material je nekoliko problematično, ker ima široko histerezno zanko in zato tudi velike histerezne izgube. Težava pri večkratni specifičnosti pa se kaže v tem, da ne moremo izkoriščati feromagnetnosti in električne prevodnosti ločeno. V naravi ni idealnih elektrotehniških materialov. S primernimi tehnološkimi postopki pa lahko do neke mere uravnavamo želene lastnosti. Lep primer so razne transformatorske pločevine in različne zlitine visokih tehnologij za izdelavo trajnih magnetov. Običajni silicijevi transformatorski pločevini lahko s toplotno obdelavo npr. z valjanjem v zaščitni atmosferi povečamo relativno permeabilnost, zmanjšamo magnetne izgube in električno prevodnost. D. Vončina 1
3 1. RAZDELITEV ELEKTROTEHNIŠKIH MATERIALOV Za pravilno izbiro in uporabo elektrotehniških materialov pri inženirskem delu je zelo koristno znanje o: teoretičnih izhodiščih za razvijanje, preizkušanje in uporabo materialov v elektrotehniki, klasifikaciji elektrotehniških materialov po lastnostih, sestavi in uporabi, konkretnih vrednostih fizikalnih, kemičnih in električnih veličin, ki ovrednotijo lastnosti in nam omogočajo odločanje o uporabnosti materialov, ekonomičnosti uporabe materialov v načrtovani konstrukciji oz. napravi. Materiale lahko razdelimo tudi po funkcijah, ki jih opravljajo v napravah na področju elektrotehnike: aktivni elektrotehniški materiali, ki neposredno odločajo o elektromagnetnih razmerah. Pri tem mislimo npr. na prevajanje električnega toka, na preklopne prehodne pojave v tokokrogih, na pretvarjanje električne energije v toplotno, akumuliranje magnetne energije, ločevanje dveh različnih potencialov ipd. Od njih torej zahtevamo, da doprinesejo k optimalnim pogojem pri odvijanju določenih procesov oziroma, da imajo ustrezne magnetne in električne lastnosti. konstrukcijski materiali, katerih glavna naloga je, da elemente iz aktivnih elektrotehničnih materialov mehansko povežejo v funkcionalno celoto (ohišja, jeklo, aluminij, baker, umetne mase ipd.). pomožni materiali, ki imajo lahko zelo pomembno funkcijo (npr. maziva, hladilna sredstva, laki ipd.). D. Vončina 2
4 Za inženirja elektrotehnike je bolj primerna in enostavnejša razdelitev materialov po lastnostih, ki odločajo o njihovi uporabnosti v elektrotehničnih in elektronskih napravah. Na ta način lahko materiale razdelimo v več skupin: 1. Prevodni materiali a) materiali za vodnike, b) materiali za upore, c) materiali za kontaktne pole, d) materiali za termoelemente, e) materiali za bimetalne zveze, f) materiali za vezi skozi steklo, g) loti, h) materiali za pokovinjanje, i) materiali za naparevanje, j) superprevodni materiali. 2. Polprevodniški materiali a) materiali za polprevodniške diode in tranzistorje, b) materiali za termistorje, varistorje, fotocelice, fotoupore, fototranzistorje, ipd. 3. Izolacijski materiali ali izolanti a) izolanti za izolatorje, b) izolanti za dielektrike, c) impregnacijski izolanti, d) zalivke, e) feroelektrični ali seignetoelektrični materiali (barijev titanat). 4. Magnetni materiali ali magnetiki a) mehkomagnetni materiali, b) trdomagnetni materiali. Idealni prevodni material bi imel specifično upornost in temperaturni koeficient enak nič, kemično bi bil odporen in mehansko čvrst oziroma ne pretrd, ne krhek in ne premehak. D. Vončina 3
5 Idealni izolacijski material bi imel neskončno veliko prebojno trdnost, relativno dielektričnost enako ena in dielektrične izgube enake nič. Podobne lastnosti bi imel tudi idealen material za dielektrike. Idealni mehkomagnetni material bi moral imeti specifično upornost neskončno veliko (tako kot ima idealno izolacijsko sredstvo), histerezne izgube enake nič in neskončno veliko relativno permeabilnost. V realnem svetu idealnih materialov ni. Z ustrezno tehnološko obdelavo lahko dosežemo spremembe kakovosti, saj so osnovne lastnosti materialov odraz kemične zgradbe oziroma značilnosti atomov. Kakšni bi bili trendi razvoja elektrotehnike, če bi lahko izdelali idealne elektrotehniške materiale? Če bi imel prevodnik za daljnovode tisočkrat večjo prevodnost in mehansko trdnost od bakra, bi bil premer vodnika enak premeru lasu. Električni stroji bi se močno zmanjšali pri enaki prejeti in oddani moči. Vse to bi vodilo k minimizaciji postrojev. Da bi to lahko dosegli, bi morali spremeniti lastnosti atomov posameznih elementov. Kot smo že uvodoma omenili, so lastnosti materialov odvisne od razvrstitve in medsebojnih povezav atomov. Snovi tvorijo tudi ioni in molekule, ki pa so zopet sestavljeni iz atomov. V tem primeru dobimo sintezo lastnosti atomov. V nadaljevanju bomo nekaj pozornosti posvetili tudi zgradbi atomov in mehanizmom povezovanja atomov v različne strukture. V splošnem lahko snovi razdelimo v dve skupini: a) Homogene snovi, ki imajo enotno zgradbo in pri delitvi mase dobimo snov z enakimi lastnostmi, kot jih je imela prvotna masa. V to skupino spadajo snovi z določeno kemijsko sestavo in sicer kemični elementi in čiste kemične spojine, homogene zmesi in spojine, ki so sestavljene iz več čistih homogenih snovi. b) Heterogene snovi, ki so zmesi različnih homogenih snovi in od katerih vsaka v zmesi ohranja svoje karakteristične lastnosti (sivo železo, granit, izolacijski lak, ipd.). Osnovni gradnik snovi je torej atom, ki je sestavljen iz protonov, nevtronov in elektronov. Jedro atoma sestavljajo protoni in nevtroni, okrog njih pa se gibljejo elektroni v oblah po eliptičnih poteh. Masa elektronov je glede na maso jedra zanemarljivo majhna. Vsaki obli, po kateri potujejo elektroni, ustreza določen energijski nivo. Z dovajanjem zunanje energije, se D. Vončina 4
6 lahko elektron seli s poti, ki je na nižjem energijskem nivoju na drugo oblo z višjim energijskim nivojem ali celo v oblo sosednjega atoma. Jedro atoma sestavljajo pozitivno nabiti protoni in električno nevtralni nevtroni, ki imajo enako maso in je večja od mase elektrona. To pomeni, da je skoraj celotna masa atoma skoncentrirana v njegovem jedru in je v primeru, če zanemarimo maso elektronov, enaka vsoti mas protonov in nevtronov. Razdalje med delci v atomih so nekaj desettisočkrat večje od njihovih premerov. V trdih telesih, v katerih so atomi najgosteje razporejeni, zavzema efektivna masa le zanemarljiv del prostora, ki ga zavzema snov v običajnih pogojih. (Če bi 1 m 3 platine stisnili in odstranili ves prazen prostor med delci, bi dobili vso maso v volumnu, ki ne bi presegel velikosti bucikine glave). Fizikalne in kemične lastnosti atomov so določene predvsem z elektroni v zunanji obli, s ti. valenčnimi elektroni. Le ti določajo tudi sile, ki omogočajo spajanje atomov v molekule oz. molekul v snovi v različnih agregatnih stanjih. Poleg tega imajo ti elektroni tudi pomembno vlogo pri električnih in magnetnih lastnostih atomov in molekul. Vsa navedena dejstva se odražajo tudi v sistematični raporeditvi elementov v periodnem sistemu. Elementi so razvrščeni po vrstni številki v skupine in elementi ene skupine imajo podobne lastnosti. Atomi enakih ali različnih elementov se medsebojno spajajo zaradi delovanja privlačnih sil v manjše ali večje skupine oziroma molekule. S spajanjem več tisoč atomov v eno molekulo dobimo ti. makromolekule, ki imajo še poseben pomen pri umetnih masah. Način spajanja atomov v molekule je odvisen od razporeditve in možnosti oddaje ali prejema enega ali več elektronov v zunanji obli. Najpomembnejše so tri vrste kemijskih vezi, ki nastopajo pri spajanju atomov in sicer: a) Ionska vez, ki nastopi takrat, ko eden od obeh atomov z oddajo elektrona postane pozitivno nabit, drugi pa s prejemom elektrona na zunanji obli postane negativno nabit. V tem primeru se vzpostavi vez na osnovi elektrostatične privlačne sile med kationom in anionom. Vez je zelo trdna in materiali se odlikujejo po dobrih mehanskih lastnostih ter imajo visoko tališče. Temperaturni koeficient raztezanja je ponavadi majhen in glede na slabo mobilnost elektronov so ti materiali tudi slabi električni prevodniki. V tekočem stanju imajo visoko električno prevodnost zaradi visoke koncentracije ionov. Molekule z ionsko vezjo so podobne električnim dipolom in imajo zato polarni značaj. b) Nastanek vezi v molekulah H 2, O 2, N 2, Cl 2 itd. ne moremo razložiti kot posledico delovanja elektrostatičnih sil. V teh primerih ne tvorijo vezi ioni ampak nevtralni atomi. D. Vončina 5
7 Vez tvorijo elektronski pari, ki pripadajo obema atomoma v molekuli. Vez se imenuje atomska ali kovalentna. Za primer si poglejmo molekulo klora Cl 2. Na zunanji obli atoma klora je sedem elektronov. Če se dva atoma vežeta v molekulo, potem po en elektron vsakega atoma tvori elektronski par, ki je skupen obema atomoma. Vsak elektron ima sedaj po osem elektronov na zadnji obli in ne more več tvoriti nadaljnjih vezi z ostalimi atomi ali molekulami. Posebna lastnost kovalentne vezi je, da se vzpostavljajo tudi v tridimenzionalni razporeditvi. Takšen primer je diamant, pri katerem je vsak atom ogljika obdan s štirimi atomi tako, da tvorijo tetraeder z atomi ogljika v ogliščih. Električno so kovalentne vezi neprevodne z izjemo nekaterih polprevodniških skupin in to lastnost obdržijo tudi v tekočem stanju. Molekule s kovalentnimi vezmi so lahko polarne in nepolarne, kar je odvisno od simetričnosti zgradbe molekule. Molekule, pri katerih težišča pozitivnih in negativnih nabojev sovpadajo, so nepolarne oziroma nepolarizirane. Če pa pri neki molekuli težišča nasprotnih nabojev q ne ležijo v isti točki, ampak so za neko razdaljo l razmaknjena, potem takšna molekula predstavlja dipol. Pri takšnih molekulah lahko določimo vrednost dipolnega momenta: µ = q l c) Tretja oblika vezi med atomi je ti. kovinska vez. Kovino lahko obravnavamo kot sistem, ki je zgrajen iz pozitivnih ionov in je obdan s prostimi elektroni. Kovinska vez je posledica elektrostatične privlačne sile med kationi in elektroni. Prosti elektroni v kovini so glavni vzrok za dobro električno in toplotno prevodnost ter za optične lastnosti kovinskih površin (refleksija, neprozornost). Tako se pri obravnavi materialov vedno vračamo k atomom. Zato bomo razumeli in pravilno izkoriščali lastnosti materialov le, če bomo poznali glavne lastnosti atomov. D. Vončina 6
8 2. POJMI IN DEFINICIJE ZA DOLOČANJE LASTNOSTI MATERIALOV Če hočemo material poznati, ga moramo najprej ovrednotiti. Način preizkušanja materialov je predpisan z metodami in merilnimi napravami. Rezultat opravljenih preizkusov je v večini primerov številska vrednost. Minimum kvalitete je določen s predpisi. Standardi pa so splošno veljavni predpisi, ki določajo lastnosti in tudi metode ter priprave s katerimi se te lastnosti ugotavljajo in merijo. V nadaljevanju poglavja so zbrani nekateri pojmi in definicije, ki so potrebni za opis in oceno elektrotehniških materialov. 2.1 Nekaj osnovnih pojmov in definicij 1. Masa Masa m je lastnost snovi in je določena kot razmerje med silo F in pospeškom a: F m = a Ns 2 m Če se snov giblje, se giblje z isto hitrostjo tudi masa. Velikost mase je ista, ne glede na to kje se nahaja. Masa istega telesa je enaka na Zemlji, ali kjerkoli v vesolju, torej je od kraja neodvisna. Je pa odvisna od hitrosti s katero se giblje. Če je hitrost mase večja od stotinke svetlobne hitrosti, se že znatno poveča v primerjavi z maso v mirovanju. Pri svetlobni hitrosti, ali [ kg] ki znaša v praznem prostoru km/s, je vsaka masa neskončno velika: m = m 0 v 1 c Gostota ρ Gostota homogenega telesa ρ nam pove kakšno maso ima snov na enoto prostornine: ρ m V kg 3, m g cm = 3 Gostota vode pri 4 C, pritisku 10 5 Pa ali 760 mm Hg, je približno 10 3 kg/m 3 (999,973 kg/m 3 ). D. Vončina 7
9 ρ je odvisna od temperature in pritiska. Z višanjem temperature snovi se gostota zmanjšuje. Ob zviševanju pritiska pa se dogaja ravno obratno in gostota se povečuje. Gostoto snovi lahko poimenujemo tudi specifično maso snovi. V nekaterih primerih jo uporabljamo tudi kot razmerje med maso in dolžino telesa. (npr. gostota bakrene žice na dolžinski meter). 3. Specifična teža snovi σ Specifična teža snovi je teža enote prostornine, torej teža enega kubičnega metra snovi: γ G V N m = 3 4. Agregatno stanje snovi Razlikujemo tri agregatna stanja: trdno tekoče, in plinasto. Trdne snovi imajo konstanten volumen in določeno zunanjo obliko, ki se lahko spremeni le zaradi delovanja močnih zunanjih sil. Te snovi lahko razdelimo v dve večji skupini. V prvi so materiali s kristalno strukturo, v drugi pa so amorfni materiali. Pri materialih s kristalno strukturo lahko točno določimo tališče. Pri amorfnih materialih je značilna poljubna razporeditev atomov. Tudi tališče teh materialov ni točno določeno. V splošnem je lahko snov pri normalni temperaturi trdna, tekoča ali plinasta. Razlikovati moramo še prehodna stanja med trdnim in tekočim stanjem, med tekočim in plinastim in med trdnim ter plinastim. Ob delovanju zunanjih fizikalnih vplivov lahko snov nastopa v več agregatnih stanjih. Takrat govorimo o fazah. (tekoča, trdna in plinasta). Aluminij je pri pritisku 133, Pa in pri temperaturi 1461 C plinast, pri normalnem zračnem pritisku 10 5 Pa in temperaturi 658 C je tekoč, pri nižjih temperaturah in pri normalnem pritisku pa je trdna snov. Helij je lahko le plinast ali tekoč. 5. Izotropnost in anizotropnost Če ima snov v vseh smereh enake lastnosti, govorimo o izotropnih snoveh. Pri anizotropnih snoveh je vsaj ena lastnost odvisna od opazovane smeri oz. od smeri testiranja. Sljuda, les in podobni materiali se v vzdolžni smeri drugače obdelujejo kot pa v prečni smeri. Valjano jeklo ima v eni smeri večjo natezno trdnost kot v drugi. Nekateri materiali so za vse lastnosti izotropni, drugi pa samo za nekatere. Steklo je lahko izotropno za prevajanje toplote, anizotropno pa glede loma svetlobe. Sljuda je v vseh lastnostih anizotropna. Anizotropnost je naravni pojav (npr. pri kristalih) ali pa jo ustvarimo umetno (če npr. povečamo mehansko D. Vončina 8
10 trdnost v določeni smeri). Naravnih anizotropij v glavnem ne moremo odpraviti, umetne pa lahko. Natezno trdnost jekla v določeni smeri lahko s prežarjenjem zmanjšamo in s tem napravimo jeklo, ki je glede na natezno trdnost izotropno. 6. Struktura in tekstura snovi Če je kos snovi sestavljen iz zrnc, potem govorimo o zrnati strukturi. S pojmom tekstura materiala označujemo način sestave zrn v nekem telesu. Zrna so lahko: kroglasta - govorimo o globulitski strukturi (orodna legirana jekla) podolgovata - govorimo o igličasti strukturi (zunanje plasti odlitkov iz litega železa) podobna ploščicam - govorimo o lamelasti strukturi (kos grafita) vlaknasta - sestavne enote materiala so iz vlaken (papir) Tekstura pride do izraza zlasti pri igličastih, ploščičastih zrnih in vlaknih. 1. primer: Bombažna vata in nit sta sestavljeni iz istih vlaken, vendar se razlikujeta po teksturi. Pri niti so vlakna razporejena paralelno, zato ima tudi boljše mehanske lastnosti. 2. primer: Kadar imajo kristali v snovi enotno orientacijo, potem ima kovina teksturo. Zaradi tega so njene lastnosti odvisne od smeri. To s pridom izkoriščamo npr. pri magnetnih materialih, jeklenih vrveh ipd. Lahko zaključimo, da je tekstura snovi pomemben faktor, ki vpliva na mehanske lastnosti snovi. 7. Monomorfnost, polimorfnost in amorfnost. Monomorfna snov nastopa le v eni kristalni obliki. Polimorfna snov pa nastopa v več kristalnih oblikah. (Jeklo z 0,9 % ogljika ima pri temperaturi nad 721 C kubično ploskovno centrirano kristalno celico, pod to temperaturo pa kubično prostorsko centrirano kristalno celico). Amorfna snov nima kristalne zgradbe (steklo, parafin). D. Vončina 9
11 8. Tališče in strdišče Tališče je definirano s temperaturo, pri kateri se snov pri atmosferskem tlaku 10 5 Pa stali. Potrebno toploto za taljenje enega kg trdne snovi imenujemo talilna toplota. Strdišče je temperatura pri kateri se raztaljena snov pri tlaku 10 5 Pa strdi. Pri tej spremembi agregatnega stanja odda 1 kg snovi toploto, ki jo imenujemo toplota strjevanja. Pri kristaliziranih snoveh sta tališče in strdišče pri isti temperaturi, saj se kristal pri povišani temperaturi ne mehča ampak nastane neposredno iz trdne snovi tekoča. Pri amorfnih ali nehomogenih strukturah kot so npr. steklo, keramika, termoplasti itd., imata strdišče in tališče različni temperaturi. Govorimo o območju strjevanja in taljenja. 9. Vrelišče To je temperatura, pri kateri se v neki tekočini prično razvijati pare pri normalnem zračnem tlaku. Čim nižji je tlak nad gladino tekočine, tem nižje bo vrelišče. Tekočina se torej spreminja v paro. Primer: Raztaljeni aluminij preide pri zunanjem tlaku (10-4 Pa) v pare že pri 830 C. 10. Plamenišče To je temperatura, pri kateri gorljiv material gori dokler je v stiku s tujim plamenom, vendar pa sam ne gori. 11. Vnetišče To je temperatura, pri kateri se material vname sam in gori samostojno brez dovajanja toplote od zunaj. Toplota, ki se sprošča je tolikšna, da ob prisotnosti kisika vzdržuje gorenje. 12. Kapljišče To je temperatura ϑ K [ C], pri kateri se materiali, ki se pri povišanju temperature mehčajo, spremenijo v tekočino. D. Vončina 10
12 13. Zgostišče To je temperatura ϑ ZG [ C], pri kateri tekoči materiali prenehajo teči pod vplivom težnostne sile. (olje, pentaklor, difenil... ). 14. Temperatura transformacije To je temperatura ϑ TR [ C], pri kateri je material na meji trdnega in viskoznega stanja. Pri tej temperaturi se skokoma spremenijo lastnosti materiala. (steklo izgubi svojo notranjo napetost ). 15. Sobna temperatura To je normirana temperatura okolice pri kateri opravljamo meritve in preizkuse, če ni drugače predpisano. Za Evropo velja 20 C. 16. Delovna temperatura: ϑ D [ C] Pri tej temperaturi material trajno obratuje ϑ D [ C]. Običajno se podaja delovno temperaturno območje od ϑ D, min [ C] - ϑ D, max [ C] Npr C do 75 C. 17. Vpojnost za vodo To lastnost preizkušamo tako, da material s površino 100 cm 2 pustimo sedem dni pri temperaturi 20 C v destilirani vodi. Prirastek teže pove količino absorbirane vlage. σ V (mg / 100 cm 2, 7 dni) 18. Vsebina vlage Je razmerje med težo vlage in težo suhega materiala v %: vl G G G m s vl (%) = 100 = 100 G vl - teža vlage, G m - teža vlažnega materiala, G s - teža suhega materiala, (posebno pomemben podatek za izolacijske materiale). S G G S D. Vončina 11
13 19. Relativna vlaga Je razmerje med trenutno težo vodne pare v zraku in težo vodne pare, ki bi bila lahko v isti atmosferi pri isti temperaturi in bi bila atmosfera popolnoma nasičena z vlago. Tudi ta podatek je zelo pomemben za izolacijske materiale in merilne naprave. V tropskih krajih je lahko maksimalna vlaga tudi 100 %. 20. Prepuščanje vlage ζ To je količina vode v gramih, ki jo prepušča material debeline 1 mm in površine 1 cm 2 v 1 h, če je na eni strani popolnoma suh zrak, na drugi strani pa nasičena para pri istem pritisku kot zrak na sprednji strani. ζ je določen z [g mm / cm 2 h Bar]. Poznamo tudi prepuščanje plinov v cm 3 pri 0 C, če imamo material debeline 1 mm, površine 1 dm 2 in razliko v pritisku plina na eni in drugi strani 10 5 Pa. ζ je določen z [cm 3 (NTP) mm / dm 2 H 10 5 Pa]. [NTP - normalna temperatura 0 C in pritisk 10 5 Pa]. 21. Mehanska napetost σ To je sila, ki deluje pravokotno na 1 m 2 preseka nekega telesa in je po preseku enakomerno porazdeljena: σ - mehanska napetost [N/m 2 ] F - sila na presek telesa [N] S - presek telesa [m 2 ] σ F S N m = 2 Glede na to kako sila na telo deluje ločimo: - natezna napetost σ n je posledica sile, ki telo nateza - tlačna napetost σ tl je posledica sile F, ki telo stiska - pri strižni napetosti σ s deluje sila paralelno na presek telesa - upogibna napetost σ u pa deluje tako, da palico upogne. D. Vončina 12
14 Mehanske napetosti (σ n, σ tl, σ s, σ u ) telesa deformirajo. Vsak material (kovine in nekovine) ima svoj σ = f (ε) diagram, ki ga lahko definiramo na dva načina: strogo fizikalno ali pa poenostavljeno po posebnem dogovoru. Poenostavljeni diagram imenujemo tudi konvencionalni tehnični σ - ε diagram. Pri tej vrsti diagrama, ki je v tehnični praksi najbolj v rabi, velja dogovor, da je σ teh = F/S 0 in ε teh =δl/l 0, to se pravi, da delimo natezno silo F z začetnim prerezom S 0 in raztezek δl z začetno merilno dolžino l 0. Pri fizikalnem σ - ε diagramu se pri natezni sili F začetna merilna dolžina l 0 poveča na l = l 0 + δl, začetni prerez S 0 pa zmanjša na S = S 0 - δs. Resnična (fizikalna) natezna napetost je σ fiz = F/S in dejanski specifični raztezek je ε fiz =δl/l. Pri obremenitvah v elastičnem območju se diagrama praktično skladata. Večje razlike dobimo pri obremenitvah, ki povzročajo plastične deformacije, še posebno v bližini porušenja, ko se prerez preizkušanca zelo zmanjša. Za nosilne konstrukcije pridejo v poštev samo materiali, ki imajo visoko mejo elastičnosti. Kompletni σ - ε diagram do pretrganja je je narisan na sliki 2.1. Slika 2.1 Kompletni σ - ε diagram D. Vončina 13
15 Diagram je sestavljen iz dveh izrazitih delov. Prvi del je strma premica OP, drugi del pa je razvlečena krivulja od točke P do točke Z. Točka P se imenuje meja proporcionalnosti. Če ustavimo preizkus pri nekem stanju (σ,ε), ko je σ < σ P. (t.j. pod mejo proporcionalnosti), nato pa preizkušanca popolnoma razbremenimo, se vrnemo po isti premici zopet v začetno stanje 0 (σ = 0, ε = 0). Ta eksperiment nam da dve pomembni lastnosti materiala: 1. Specifični raztezki so proporcionalni natezni napetosti σ in 2. Proces obremenjevanja in razbremenjevanja je reverzibilen. Krivulja od točke P do točke Z opisuje plastično območje. Deformacije niso več proporcionalne napetostim in deformacijski proces ni več reverzibilen. Pri razbremenitvi se ne vrnemo več v začetek 0, kajti preizkušanec izkazuje neko stalno deformacijo. Če obremenitev povečamo preko meje proporcionalnosti (σ > σ P ), preidemo iz območja elastičnosti v območje tečenja. Kmalu dosežemo točko S z ustrezno napetostjo σ S, vendar specifični raztezki narastejo nekoliko hitreje kot v predhodni fazi (segment PS je nekoliko odklonjen od premice OP). Od točke S dalje se raztezki še vedno povečujejo, medtem ko napetost rahlo niha. Ko se material stabilizira, preneha območje tečenja in se prične obsežno območje vlečenja. Natezna napetost zopet zvezno narašča, toda mnogo počasneje kot spremljajoče deformacije. To območje je določeno s tremi točkami S, B in Z, ki jim ustrezajo naslednje napetosti: S - navidezna meja elastičnosti σ S B - natezna trdnost σ B Z - porušitvena natezna napetost σ Z σ B je največja napetost, ki jo dobimo pri natezanju preizkušanca. Napetost σ Z, pri kateri se preizkušanec pretrga ob spremljavi izredno velike kontrakcije prereza v okolici pretrga, je v splošnem manjša kot σ B. Pri vseh tehničnih konstrukcijah bomo poskrbeli za to, da ne presežemo meje elastičnosti, ki se praktično ujema z mejo proporcionalnosti. Za prakso je torej pomembno samo območje proporcionalnosti, ki si ga bomo pobliže ogledali. Proporcionalnost specifičnih raztezkov in nateznih trdnosti je izražena s Hookovim zakonom: σ d l σ ε = ali = = E l E 0 F E S ali d l = F l0 E S Konstanta E se imenuje modul elastičnosti in je enaka vrednosti natezne napetosti, pri kateri bi se dolžina materiala podvojila. (δl = l 0 ali ε = 1). D. Vončina 14
16 Slika 2.2 Določitev modula E Iz slike 2.2 vidimo, da je: σ E = = tgα = konst. ε Modul E je torej tangens kota α, ki ga oklepa Hookova premica z abscisno osjo. 22. Permanentna odpornost Če npr. aluminij ali baker za dalj časa obremenimo s konstantno napetostjo opazimo, da se material po malem razteza, dokler po določenem času ne doseže končnega raztezka dolžine l. Če bi predpisali stalni raztezek 0,2 % in čas 10 5 ur, potem se napetost imenuje permanentna 5 odpornost σ odp,(0,2/10 ) [N/mm 2 ]. 23. Trdota To je odpornost materiala proti udiranju drugega materiala, ki je trši. Označujemo jo s podatki, ki jih črpamo iz različnih metod. Enote za merjenje trdote so iste kot pri merjenju pritiska [N/m 2 ] ali pa so kar relativne vrednosti. Pomembno je, da glede na material izberemo pravo metodo za merjenje. Različni avtorji so razvili ločene metode, ki si jih bomo v nadaljevanju podrobneje ogledali. a) Mohsova trdotna lestvica Vsebuje deset materialov. Prvi je najmehkejši lojevec in zadnji, najtrši, je diamant. 1. lojevec 6. živec 2. sadra 7. kremenjak 3. apnenec 8. topaz 4. fluorit 9. korund 5. apetit 10. diamant D. Vončina 15
17 Primeri: aluminij 2-3 baker 2,5-3 medenina 3,5 jeklo 4,5-6,5 Ta lestvica kvantitativno v tehniki ni uporabna. Npr. razmerje trdote med korundom in diamantom je 1:140. a) Brinellova trdota H B ali HB Pri tej metodi uporabljamo trdo jekleno kroglico, ki jo z določeno silo vtiskamo v preizkušani material. Za kovine je premer kroglice 10 mm, sila 3 x 10 4 N pa mora delovati 30 s. Dobljeni rezultat označimo z: HB 10/30000/30 Za plastične materiale uporabljamo kroglice s premerom 5 mm, silo 500 N za čas od 10 do 60 s. Po prenehanju delovanja sile, izmerimo višino ali površino vdrtine in njen premer. Trdoto izračunamo po enačbi: F F 2 F HB = = = S π h d π D D D d 2 2 ( ) F - sila [N] S - površina vdrtine [mm 2 ] h - višina vdrtine [mm] d - premer vdrtine [mm] D - premer kroglice [mm] H B - Brinellova trdota [N/mm 2 ] Brinellovo metodo uporabljamo do vrednosti 4500 N/mm 2. D. Vončina 16
18 b) Vickersova trdota HV V material vtiskamo diamantno piramido s kvadratično osnovnico in vršnim kotom med dvema nasprotnima ploskvama 136. Sile vtiskanja so 50, 100, 300 in 500 N. Sile izbiramo tako, da je diagonala d vdrtine enaka ali večja od 0,4 mm. Trdoto izračunamo s pomočjo enačbe: d - diagonala vdrtine [mm] F N HV = 18544, d 2 mm 2 c) Rockwellova trdota HRC V material vtiskamo bodisi jekleno kroglico premera 1,588 mm ali 3,175 mm ali pa diamantni stožec z vršnim kotom 120. Sile izbiramo med 100 in 1500 N. Vrednosti trdote odčitavamo direktno na merilnem instrumentu s skalami od A do H. (običajno uporabljamo A, B in C skalo) 24. Odpornost proti udaru α u Pri tem preizkusu uporabljamo posebno nihalo z utežjo. Z njim razbijemo ploščico iz krhke kovine ali umetnih mas. Ploščica mora imeti eno ali dve zarezi. Iz višine, na katero dvignemo nihalo, izračunamo odpornost proti udaru z izrazom: G - teža uteži [N] h - višina pada v [m] S - presek ploščice v [m 2 ] α u - odpornost proti udaru α u G h = S N m 25. Temperaturni raztezek To je podaljšanje 1 m dolge palice, ki jo segrejemo za 1 C. Govorimo o linearnem temperaturnem raztezku: α = 1 dl L dt 0 1 o C L 0 - dolžina palice pri 0 C. V splošnem lahko izberemo tudi drugo referenčno temperaturo. D. Vončina 17
19 Dolžina palice pri poljubni temperaturi bo: ( ) [ ] L = L0 1+ α T m T - razlika med referenčno in temperaturo pri kateri merimo oz. bi radi vedeli, kakšna bo sprememba dolžine. Analogno linearnemu temperaturnemu raztezku poznamo tudi volumenski: Ta je približno trikrat večji od linearnega: 1 β = V 0 dv dt β 3 α Obstaja pa tudi površinski temperaturni raztezek γ: γ = 2 α 26. Specifična toplota c To je toplota, ki je potrebna, da segrejemo 1 kg snovi za 1 C. Pri segrevanju ne dovolimo, da bi se povečal volumen snovi V. V tem primeru dobimo specifično toploto pri konstantnem volumnu (c V ). Če pa pazimo, da se pri segrevanju pritisk ne poveča, potem je to meritev pri konstantnem pritisku in specifično toploto označimo s c p. Pri trdnih snoveh je c p od 3 do 5 % večja od c V. Povprečno specifično toploto c sr za temperaturni interval T 1 - T 2 izračunamo iz potrebne toplote Q za segretje 1 kg snovi od T 1 do T 2. Q = csr m T Q oz. c = J sr m T o kg C Specifična toplota c sr je odvisna od temperature in strukture snovi. Ista snov ima lahko v različnih oblikah različne vrednosti c sr. Npr. ogljik: amorfni ogljik: c sr = 1092 J/kg C lesno oglje c sr = 1008 J/kg C grafit c sr = 845 J/kg C Dobra hladilna sredstva imajo visoko specifično toploto. Vodik je izvrstno hladilno sredstvo, ki ga izkoriščamo pri hlajenju velikih električnih generatorjev. D. Vončina 18
20 27. Toplotna prevodnost λ T Najvernejša definicija za toploto je, da je toplota oblika energije. Več energije, kot je v telesu, višjo temperaturo ima telo. V telesu povzroča toplota gibanje elementarnih delcev, plinske molekule pridobivajo na hitrosti, molekule in atomi trdnih snovi pa vse močneje nihajo okrog svojih osnovnih položajev. Povečuje se kinetična energija delcev, ki se odraža v povišanju temperature. Pri vstopu toplote v telo, se na tem mestu poveča kinetična energija delcev snovi. Po telesu se naprej prenaša z določeno hitrostjo, ki je odvisna od specifične toplote snovi (časovna konstanta segrevanja). Smer potovanja toplote je vedno od višje proti nižji temperaturi telesa. Toplotna prevodnost snovi je količina, ki pove, koliko toplote lahko preide skozi snov s presekom 1 m 2 v dolžini 1 m v času 1 s pri temperaturni razliki 1 C na dolžinski meter. Q p λ T Qp l = S T W o m C λt S T J = [ W], l s Q p - količina toplote, ki preteče skozi telo v času 1 s S - presek telesa [m 2 ] T - temperaturna razlika med koncema telesa [ C] l - dolžina telesa [m] λ T - toplotna prevodnost [W/m C] Prevajanje toplote je identično prevajanju električnega toka. 28. Toplotna prehodnost To je množina toplote, ki preide v 1 s pri T = 1 C skozi 1 m 2 dotikalne površine dveh različnih materialov. Npr. prehod toplote iz površine peči v zrak. D. Vončina 19
21 29. Specifična upornost ρ R l = ρ S R S ρ = l mm m = 2 Ω 6 [ 10 Ω m] Specifična upornost je odvisna od dolžine materiala, preseka palice S in upornosti R. Specifična prevodnost λ je recipročna vrednost specifične upornosti. Ker je upornost odvisna tudi od temperature, govorimo o pozitivnih in negativnih temperaturnih koeficientih. Spremembo upornosti s spreminjanjem temperature merimo s temperaturnim koeficientom α ϑ. Upornost večine kovin s temperaturo narašča, medtem ko upornost oglja ali nekaterih karbidov s temperaturo pada. R2 = R 1[ 1 α ( ϑ1 ϑ2 )] 1 ϑ, pri čemer je α ϑ1 temperaturni koeficient upornosti pri konstantni masi. α R dr 1 ρ l S = = dt R T S ρ l ρ = ρ T Npr. za baker pri 0 C je 1,5x10-6 Ωcm in pri 100 C je 2,2 x10-6 Ωcm α R, Cu = 4,7 x10-3 C D. Vončina 20
Št. leto 2012/2013 MATERIALI IN TEHNOLOGIJE
Št. leto 2012/2013 MATERIALI IN TEHNOLOGIJE Predavanja: pon. 9:00 13:00 Laboratorijske vaje: asistent doc. dr. Marko Petkovšek poročila o opravljenih vajah je treba speti v mapo in jih prinesete na zagovor
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 5. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 5. december 2013 Primer Odvajajmo funkcijo f(x) = x x. Diferencial funkcije Spomnimo se, da je funkcija f odvedljiva v točki
Διαβάστε περισσότεραDiferencialna enačba, v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci
Linearna diferencialna enačba reda Diferencialna enačba v kateri nastopata neznana funkcija in njen odvod v prvi potenci d f + p= se imenuje linearna diferencialna enačba V primeru ko je f 0 se zgornja
Διαβάστε περισσότεραFunkcijske vrste. Matematika 2. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 2. april Gregor Dolinar Matematika 2
Matematika 2 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 2. april 2014 Funkcijske vrste Spomnimo se, kaj je to številska vrsta. Dano imamo neko zaporedje realnih števil a 1, a 2, a
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 14. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 14. november 2013 Kvadratni koren polinoma Funkcijo oblike f(x) = p(x), kjer je p polinom, imenujemo kvadratni koren polinoma
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 21. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 21. november 2013 Hiperbolične funkcije Hiperbolični sinus sinhx = ex e x 2 20 10 3 2 1 1 2 3 10 20 hiperbolični kosinus coshx
Διαβάστε περισσότεραTabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare
Univerza v Ljubljani Fakulteta za strojništvo Laboratorij za termoenergetiko Tabele termodinamskih lastnosti vode in vodne pare po modelu IAPWS IF-97 izračunano z XSteam Excel v2.6 Magnus Holmgren, xsteam.sourceforge.net
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 22. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 22. oktober 2013 Kdaj je zaporedje {a n } konvergentno, smo definirali s pomočjo limite zaporedja. Večkrat pa je dobro vedeti,
Διαβάστε περισσότεραTretja vaja iz matematike 1
Tretja vaja iz matematike Andrej Perne Ljubljana, 00/07 kompleksna števila Polarni zapis kompleksnega števila z = x + iy): z = rcos ϕ + i sin ϕ) = re iϕ Opomba: Velja Eulerjeva formula: e iϕ = cos ϕ +
Διαβάστε περισσότεραKODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK
1 / 24 KODE ZA ODKRIVANJE IN ODPRAVLJANJE NAPAK Štefko Miklavič Univerza na Primorskem MARS, Avgust 2008 Phoenix 2 / 24 Phoenix 3 / 24 Phoenix 4 / 24 Črtna koda 5 / 24 Črtna koda - kontrolni bit 6 / 24
Διαβάστε περισσότερα1. Trikotniki hitrosti
. Trikotniki hitrosti. Z radialno črpalko želimo črpati vodo pri pogojih okolice z nazivnim pretokom 0 m 3 /h. Notranji premer rotorja je 4 cm, zunanji premer 8 cm, širina rotorja pa je,5 cm. Frekvenca
Διαβάστε περισσότεραTransformator. Delovanje transformatorja I. Delovanje transformatorja II
Transformator Transformator je naprava, ki v osnovi pretvarja napetost iz enega nivoja v drugega. Poznamo vrsto različnih izvedb transformatorjev, glede na njihovo specifičnost uporabe:. Energetski transformator.
Διαβάστε περισσότεραOdvod. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 10. december Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 10. december 2013 Izrek (Rolleov izrek) Naj bo f : [a,b] R odvedljiva funkcija in naj bo f(a) = f(b). Potem obstaja vsaj ena
Διαβάστε περισσότεραOsnove elektrotehnike uvod
Osnove elektrotehnike uvod Uvod V nadaljevanju navedena vprašanja so prevod testnih vprašanj, ki sem jih našel na omenjeni spletni strani. Vprašanja zajemajo temeljna znanja opredeljenega strokovnega področja.
Διαβάστε περισσότεραPONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST
PONOVITEV SNOVI ZA 4. TEST 1. * 2. *Galvanski člen z napetostjo 1,5 V požene naboj 40 As. Koliko električnega dela opravi? 3. ** Na uporniku je padec napetosti 25 V. Upornik prejme 750 J dela v 5 minutah.
Διαβάστε περισσότεραFunkcije. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 12. november Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 12. november 2013 Graf funkcije f : D R, D R, je množica Γ(f) = {(x,f(x)) : x D} R R, torej podmnožica ravnine R 2. Grafi funkcij,
Διαβάστε περισσότεραKontrolne karte uporabljamo za sprotno spremljanje kakovosti izdelka, ki ga izdelujemo v proizvodnem procesu.
Kontrolne karte KONTROLNE KARTE Kontrolne karte uporablamo za sprotno spremlane kakovosti izdelka, ki ga izdeluemo v proizvodnem procesu. Izvaamo stalno vzorčene izdelkov, npr. vsako uro, vsake 4 ure.
Διαβάστε περισσότερα1. Definicijsko območje, zaloga vrednosti. 2. Naraščanje in padanje, ekstremi. 3. Ukrivljenost. 4. Trend na robu definicijskega območja
ZNAČILNOSTI FUNKCIJ ZNAČILNOSTI FUNKCIJE, KI SO RAZVIDNE IZ GRAFA. Deinicijsko območje, zaloga vrednosti. Naraščanje in padanje, ekstremi 3. Ukrivljenost 4. Trend na robu deinicijskega območja 5. Periodičnost
Διαβάστε περισσότεραČe je električni tok konstanten (se ne spreminja s časom), poenostavimo enačbo (1) in dobimo enačbo (2):
ELEKTRIČNI TOK TEOR IJA 1. Definicija enote električnega toka Električni tok je gibanje električno nabitih delcev v trdnih snoveh (kovine, polprevodniki), tekočinah ali plinih. V kovinah se gibljejo prosti
Διαβάστε περισσότεραDelovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev
KOM L: - Komnikacijska elektronika Delovna točka in napajalna vezja bipolarnih tranzistorjev. Določite izraz za kolektorski tok in napetost napajalnega vezja z enim virom in napetostnim delilnikom na vhod.
Διαβάστε περισσότερα+105 C (plošče in trakovi +85 C) -50 C ( C)* * Za temperature pod C se posvetujte z našo tehnično službo. ϑ m *20 *40 +70
KAIFLEX ST Tehnični podatki Material Izjemno fleksibilna zaprtocelična izolacija, fleksibilna elastomerna pena (FEF) Opis Uporaba Temperaturno območje Toplotna prevodnost W/(m K ) pri različnih srednjih
Διαβάστε περισσότεραTermodinamika vlažnega zraka. stanja in spremembe
Termodinamika vlažnega zraka stanja in spremembe Termodinamika vlažnega zraka Najpogostejši medij v sušilnih procesih konvektivnega sušenja je VLAŽEN ZRAK Obravnavamo ga kot dvokomponentno zmes Suhi zrak
Διαβάστε περισσότεραDržavni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 10. junij 2016 SPLOŠNA MATURA
Državni izpitni center *M16141113* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK FIZIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE Petek, 1. junij 16 SPLOŠNA MATURA RIC 16 M161-411-3 M161-411-3 3 IZPITNA POLA 1 Naloga Odgovor Naloga Odgovor
Διαβάστε περισσότεραFazni diagram binarne tekočine
Fazni diagram binarne tekočine Žiga Kos 5. junij 203 Binarno tekočino predstavljajo delci A in B. Ti se med seboj lahko mešajo v različnih razmerjih. V nalogi želimo izračunati fazni diagram take tekočine,
Διαβάστε περισσότεραNumerično reševanje. diferencialnih enačb II
Numerčno reševanje dferencaln enačb I Dferencalne enačbe al ssteme dferencaln enačb rešujemo numerčno z več razlogov:. Ne znamo j rešt analtčno.. Posamezn del dferencalne enačbe podan tabelarčno. 3. Podatke
Διαβάστε περισσότεραKotni funkciji sinus in kosinus
Kotni funkciji sinus in kosinus Oznake: sinus kota x označujemo z oznako sin x, kosinus kota x označujemo z oznako cos x, DEFINICIJA V PRAVOKOTNEM TRIKOTNIKU: Kotna funkcija sinus je definirana kot razmerje
Διαβάστε περισσότεραTRDNOST (VSŠ) - 1. KOLOKVIJ ( )
TRDNOST (VSŠ) - 1. KOLOKVIJ (17. 12. 03) Pazljivo preberite besedilo vsake naloge! Naloge so točkovane enakovredno (vsaka 25%)! Pišite čitljivo! Uspešno reševanje! 1. Deformiranje telesa je podano s poljem
Διαβάστε περισσότεραMEHANSKE LASTNOSTI 1
MEHANSKE LASTNOSTI 1 MEHANSKE LASTNOSTI Mehanske lastnosti so tiste lastnosti snovi, ki določajo, kako se snov odzove na mehansko obremenitev. 4 najpogostejši poskusi za določanje mehanskih lastnosti snovi
Διαβάστε περισσότεραZaporedja. Matematika 1. Gregor Dolinar. Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani. 15. oktober Gregor Dolinar Matematika 1
Matematika 1 Gregor Dolinar Fakulteta za elektrotehniko Univerza v Ljubljani 15. oktober 2013 Oglejmo si, kako množimo dve kompleksni števili, dani v polarni obliki. Naj bo z 1 = r 1 (cosϕ 1 +isinϕ 1 )
Διαβάστε περισσότεραVEKTORJI. Operacije z vektorji
VEKTORJI Vektorji so matematični objekti, s katerimi opisujemo določene fizikalne količine. V tisku jih označujemo s krepko natisnjenimi črkami (npr. a), pri pisanju pa s puščico ( a). Fizikalne količine,
Διαβάστε περισσότερα13. poglavje: Energija
13. poglavje: Energija 1. (Naloga 3) Koliko kilovatna je peč za hišno centralno kurjavo, ki daje 126 MJ toplote na uro? Podatki: Q = 126 MJ, t = 3600 s; P =? Če peč z močjo P enakomerno oddaja toploto,
Διαβάστε περισσότεραIZPIT IZ ANALIZE II Maribor,
Maribor, 05. 02. 200. (a) Naj bo f : [0, 2] R odvedljiva funkcija z lastnostjo f() = f(2). Dokaži, da obstaja tak c (0, ), da je f (c) = 2f (2c). (b) Naj bo f(x) = 3x 3 4x 2 + 2x +. Poišči tak c (0, ),
Διαβάστε περισσότεραBooleova algebra. Izjave in Booleove spremenljivke
Izjave in Booleove spremenljivke vsako izjavo obravnavamo kot spremenljivko če je izjava resnična (pravilna), ima ta spremenljivka vrednost 1, če je neresnična (nepravilna), pa vrednost 0 pravimo, da gre
Διαβάστε περισσότεραPoglavje 7. Poglavje 7. Poglavje 7. Regulacijski sistemi. Regulacijski sistemi. Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM
Slika 7. 1: Normirana blokovna shema regulacije EM Fakulteta za elektrotehniko 1 Slika 7. 2: Principielna shema regulacije AM v KSP Fakulteta za elektrotehniko 2 Slika 7. 3: Merjenje komponent fluksa s
Διαβάστε περισσότεραPrenos toplote prenos energije katerega pogojuje razlika temperatur temperatura je krajevno od točke do točke različna
PRENOS OPOE Def. Prenos toplote prenos energije katerega pogojuje razlika temperatur temperatura je krajevno od točke do točke različna Načini prenosa toplote: PREVAJANJE (kondukcija, PRESOP (konvekcija
Διαβάστε περισσότεραIZRAČUN MEHANSKIH PARAMETROV NADZEMNEGA VODA
Univerza v Ljubljani Fakulteta za elektrotehniko IZRAČUN MEHANSKIH PARAMETROV NADZEMNEGA VODA Seminar pri predmetu Razdelilna in industrijska omrežja Maja Mikec Profesor: dr. Grega Bizjak Študijsko leto
Διαβάστε περισσότεραLogatherm WPL 14 AR T A ++ A + A B C D E F G A B C D E F G. kw kw /2013
WP 14 R T d 9 10 11 53 d 2015 811/2013 WP 14 R T 2015 811/2013 WP 14 R T Naslednji podatki o izdelku izpolnjujejo zahteve uredb U 811/2013, 812/2013, 813/2013 in 814/2013 o dopolnitvi smernice 2010/30/U.
Διαβάστε περισσότεραEnačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba.
1. Osnovni pojmi Enačba, v kateri poleg neznane funkcije neodvisnih spremenljivk ter konstant nastopajo tudi njeni odvodi, se imenuje diferencialna enačba. Primer 1.1: Diferencialne enačbe so izrazi: y
Διαβάστε περισσότεραDržavni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Petek, 12. junij 2015 SPLOŠNA MATURA
Državni izpitni center *M543* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Petek,. junij 05 SPLOŠNA MATURA RIC 05 M543 M543 3 IZPITNA POLA Naloga Odgovor Naloga Odgovor Naloga Odgovor Naloga Odgovor
Διαβάστε περισσότερα3. VAJA IZ TRDNOSTI. Rešitev: Pomik v referenčnem opisu: u = e y 2 e Pomik v prostorskem opisu: u = ey e. e y,e z = e z.
3. VAJA IZ TRDNOSTI (tenzor deformacij) (pomiki togega telesa, Lagrangev in Eulerjev opis, tenzor velikih deformacij, tenzor majhnih deformacij in rotacij, kompatibilitetni pogoji) NALOGA 1: Gumijasti
Διαβάστε περισσότεραKotne in krožne funkcije
Kotne in krožne funkcije Kotne funkcije v pravokotnem trikotniku Avtor: Rok Kralj, 4.a Gimnazija Vič, 009/10 β a c γ b α sin = a c cos= b c tan = a b cot = b a Sinus kota je razmerje kotu nasprotne katete
Διαβάστε περισσότεραp 1 ENTROPIJSKI ZAKON
ENROPIJSKI ZAKON REERZIBILNA srememba: moža je obrjea srememba reko eakih vmesih staj kot rvota srememba. Po obeh sremembah e sme biti obeih trajih srememb v bližji i dalji okolici. IREERZIBILNA srememba:
Διαβάστε περισσότεραNa pregledni skici napišite/označite ustrezne točke in paraboli. A) 12 B) 8 C) 4 D) 4 E) 8 F) 12
Predizpit, Proseminar A, 15.10.2015 1. Točki A(1, 2) in B(2, b) ležita na paraboli y = ax 2. Točka H leži na y osi in BH je pravokotna na y os. Točka C H leži na nosilki BH tako, da je HB = BC. Parabola
Διαβάστε περισσότεραSKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK
SKUPNE PORAZDELITVE SKUPNE PORAZDELITVE VEČ SLUČAJNIH SPREMENLJIVK Kovaec vržemo trikrat. Z ozačimo število grbov ri rvem metu ( ali ), z Y a skuo število grbov (,, ali 3). Kako sta sremelivki i Y odvisi
Διαβάστε περισσότερα= 3. Fizika 8. primer: s= 23,56 m, zaokroženo na eno decimalno vejico s=23,6 m. Povprečna vrednost meritve izračuna povprečno vrednost meritve
Fizika 8 Merjenje Pojasniti namen in pomen meritev pri fiziki našteje nekaj fizikalnih količin in navede enote zanje, ter priprave s katerimi jih merimo Merska Merska enota Merska priprava količina Dolžina
Διαβάστε περισσότεραIntegralni račun. Nedoločeni integral in integracijske metrode. 1. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: (a) dx. (b) x 3 +3+x 2 dx, (c) (d)
Integralni račun Nedoločeni integral in integracijske metrode. Izračunaj naslednje nedoločene integrale: d 3 +3+ 2 d, (f) (g) (h) (i) (j) (k) (l) + 3 4d, 3 +e +3d, 2 +4+4 d, 3 2 2 + 4 d, d, 6 2 +4 d, 2
Διαβάστε περισσότερα0,00275 cm3 = = 0,35 cm = 3,5 mm.
1. Za koliko se bo dvignil alkohol v cevki termometra s premerom 1 mm, če se segreje za 5 stopinj? Prostorninski temperaturni razteznostni koeficient alkohola je 11 10 4 K 1. Volumen alkohola v termometru
Διαβάστε περισσότερα1. Newtonovi zakoni in aksiomi o silah:
1. Newtonovi zakoni in aksiomi o silah: A) Telo miruje ali se giblje enakomerno, če je vsota vseh zunanjih sil, ki delujejo na telo enaka nič. B) Če rezultanta vseh zunanjih sil, ki delujejo na telo ni
Διαβάστε περισσότεραSplošno o interpolaciji
Splošno o interpolaciji J.Kozak Numerične metode II (FM) 2011-2012 1 / 18 O funkciji f poznamo ali hočemo uporabiti le posamezne podatke, na primer vrednosti r i = f (x i ) v danih točkah x i Izberemo
Διαβάστε περισσότερα*M * Osnovna in višja raven MATEMATIKA NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sobota, 4. junij 2011 SPOMLADANSKI IZPITNI ROK. Državni izpitni center
Državni izpitni center *M40* Osnovna in višja raven MATEMATIKA SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sobota, 4. junij 0 SPLOŠNA MATURA RIC 0 M-40-- IZPITNA POLA OSNOVNA IN VIŠJA RAVEN 0. Skupaj:
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Novi Gorici Fakulteta za znanosti o okolju Okolje (I. stopnja) Meteorologija 2013/2014. Energijska bilanca pregled
Univerza v Novi Gorici Fakulteta za znanosti o okolu Okole (I. stopna) Meteorologia 013/014 Energiska bilanca pregled 1 Osnovni pomi energiski tok: P [W = J/s] gostota energiskega toka: [W/m ] toplota:q
Διαβάστε περισσότεραDržavni izpitni center SPOMLADANSKI IZPITNI ROK *M * NAVODILA ZA OCENJEVANJE. Sreda, 3. junij 2015 SPLOŠNA MATURA
Državni izpitni center *M15143113* SPOMLADANSKI IZPITNI ROK NAVODILA ZA OCENJEVANJE Sreda, 3. junij 2015 SPLOŠNA MATURA RIC 2015 M151-431-1-3 2 IZPITNA POLA 1 Naloga Odgovor Naloga Odgovor Naloga Odgovor
Διαβάστε περισσότεραMatematika 2. Diferencialne enačbe drugega reda
Matematika 2 Diferencialne enačbe drugega reda (1) Reši homogene diferencialne enačbe drugega reda s konstantnimi koeficienti: (a) y 6y + 8y = 0, (b) y 2y + y = 0, (c) y + y = 0, (d) y + 2y + 2y = 0. Rešitev:
Διαβάστε περισσότερα13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa
13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa Bor Plestenjak NLA 25. maj 2010 Bor Plestenjak (NLA) 13. Jacobijeva metoda za računanje singularnega razcepa 25. maj 2010 1 / 12 Enostranska Jacobijeva
Διαβάστε περισσότεραdiferencialne enačbe - nadaljevanje
12. vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 diferencialne enačbe - nadaljevanje Ortogonalne trajektorije Dana je 1-parametrična družina krivulj F(x, y, C) = 0. Ortogonalne
Διαβάστε περισσότεραGimnazija Krˇsko. vektorji - naloge
Vektorji Naloge 1. V koordinatnem sistemu so podane točke A(3, 4), B(0, 2), C( 3, 2). a) Izračunaj dolžino krajevnega vektorja točke A. (2) b) Izračunaj kot med vektorjema r A in r C. (4) c) Izrazi vektor
Διαβάστε περισσότεραNEPARAMETRIČNI TESTI. pregledovanje tabel hi-kvadrat test. as. dr. Nino RODE
NEPARAMETRIČNI TESTI pregledovanje tabel hi-kvadrat test as. dr. Nino RODE Parametrični in neparametrični testi S pomočjo z-testa in t-testa preizkušamo domneve o parametrih na vzorcih izračunamo statistike,
Διαβάστε περισσότεραRANKINOV KROŽNI PROCES Seminar za predmet JTE
RANKINOV KROŽNI PROCES Seminar za predmet JTE Rok Krpan 16.12.2010 Mentor: izr. prof. Iztok Tiselj Carnotov krožni proces Iz štirih sprememb: dveh izotermnih in dveh izentropnih (reverzibilnih adiabatnih)
Διαβάστε περισσότεραFunkcije več spremenljivk
DODATEK C Funkcije več spremenljivk C.1. Osnovni pojmi Funkcija n spremenljivk je predpis: f : D f R, (x 1, x 2,..., x n ) u = f (x 1, x 2,..., x n ) kjer D f R n imenujemo definicijsko območje funkcije
Διαβάστε περισσότεραmatrike A = [a ij ] m,n αa 11 αa 12 αa 1n αa 21 αa 22 αa 2n αa m1 αa m2 αa mn se števanje po komponentah (matriki morata biti enakih dimenzij):
4 vaja iz Matematike 2 (VSŠ) avtorica: Melita Hajdinjak datum: Ljubljana, 2009 matrike Matrika dimenzije m n je pravokotna tabela m n števil, ki ima m vrstic in n stolpcev: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n
Διαβάστε περισσότερα8. Diskretni LTI sistemi
8. Diskreti LI sistemi. Naloga Določite odziv diskretega LI sistema s podaim odzivom a eoti impulz, a podai vhodi sigal. h[] x[] - - 5 6 7 - - 5 6 7 LI sistem se a vsak eoti impulz δ[] a vhodu odzove z
Διαβάστε περισσότεραCM707. GR Οδηγός χρήσης... 2-7. SLO Uporabniški priročnik... 8-13. CR Korisnički priručnik... 14-19. TR Kullanım Kılavuzu... 20-25
1 2 3 4 5 6 7 OFFMANAUTO CM707 GR Οδηγός χρήσης... 2-7 SLO Uporabniški priročnik... 8-13 CR Korisnički priručnik... 14-19 TR Kullanım Kılavuzu... 20-25 ENG User Guide... 26-31 GR CM707 ΟΔΗΓΟΣ ΧΡΗΣΗΣ Περιγραφή
Διαβάστε περισσότεραEnergije in okolje 1. vaja. Entalpija pri kemijskih reakcijah
Entalpija pri kemijskih reakcijah Pri obravnavi energijskih pretvorb pri kemijskih reakcijah uvedemo pojem entalpije, ki popisuje spreminjanje energije sistema pri konstantnem tlaku. Sistemu lahko povečamo
Διαβάστε περισσότεραUVOD V ENERGIJSKE METODE V MEHANIKI KONSTRUKCIJ
1. UVOD V ENERGIJSKE METODE V MEHANIKI KONSTRUKCIJ Vosnovnemtečaju mehanike trdnih teles smo izpeljali sistem petnajstih osnovnih enačb, s katerimi lahko načeloma določimo napetosti, deformacije in pomike
Διαβάστε περισσότερα5.6 Ostale lastnosti feromagnetnih materialov
5.6 Ostale lastnosti feromagnetnih materialov Pri izdelavi magnetnih materialov imajo pomembno vlogo tudi nepravilnosti v njihovi strukturi. Če je material izdelan brez nepravilnosti, premikanje Blochovih
Διαβάστε περισσότεραTema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE)
Matematične metode v fiziki II 2013/14 Tema 1 Osnove navadnih diferencialnih enačb (NDE Diferencialne enačbe v fiziki Večina osnovnih enačb v fiziki je zapisana v obliki diferencialne enačbe. Za primer
Διαβάστε περισσότεραNajprej zapišemo 2. Newtonov zakon za cel sistem v vektorski obliki:
NALOGA: Po cesi vozi ovornjak z hirosjo 8 km/h. Tovornjak je dolg 8 m, širok 2 m in visok 4 m in ima maso 4 on. S srani začne pihai veer z hirosjo 5 km/h. Ob nekem času voznik zaspi in ne upravlja več
Διαβάστε περισσότεραELEKTROTEHNIKA DRAGO ŠEBEZ
ELEKTROTEHNIKA DRAGO ŠEBEZ Zgodovina Thales drgnjenje jantarja Jantar gr. ELEKTRON 17. in 18. st.: drgnjenje stekla+ jantarja Franklin: steklo pozitivna elektrika, jantar neg. Coulomb (1736-1806): 1806):
Διαβάστε περισσότερα1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου...
ΑΠΟΖΗΜΙΩΣΗ ΘΥΜΑΤΩΝ ΕΓΚΛΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΡΑΞΕΩΝ ΣΛΟΒΕΝΙΑ 1. Έντυπα αιτήσεων αποζημίωσης... 2 1.1. Αξίωση αποζημίωσης... 2 1.1.1. Έντυπο... 2 1.1.2. Πίνακας μεταφράσεων των όρων του εντύπου... 3 1 1. Έντυπα αιτήσεων
Διαβάστε περισσότεραSlika 5: Sile na svetilko, ki je obešena na žici.
4. poglavje: Sile 5. Cestna svetilka visi na sredi 10 m dolge žice, ki je napeta čez cesto. Zaradi teže svetilke (30 N) se žica za toliko povesi, da pride sredina za 30 cm niže kot oba konca. Kako močno
Διαβάστε περισσότεραSEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze
PRIMARNE VEZE hemijske veze među atomima SEKUNDARNE VEZE međumolekulske veze - Slabije od primarnih - Elektrostatičkog karaktera - Imaju veliki uticaj na svojstva supstanci: - agregatno stanje - temperatura
Διαβάστε περισσότεραZaporedna in vzporedna feroresonanca
Visokonapetostna tehnika Zaporedna in vzporedna feroresonanca delovanje regulacijskega stikala T3 174 kv Vaja 9 1 Osnovni pogoji za nastanek feroresonance L C U U L () U C () U L = U L () U C = ωc V vezju
Διαβάστε περισσότεραV kristalu so atomi, ioni ali molekule geometrijsko urejeni po povsem določeni zakonitosti.
3. KRISTALI IN KRISTALITI Večina trdnih snovi je v kristalnem stanju. V splošnem lahko rečemo, da so kristali periodična prostorska razporeditev atomov, molekul in ionov. V poljubni smeri kristala so enaki
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani FS & FKKT. Varnost v strojništvu
Univerza v Ljubljani FS & FKKT Varnost v strojništvu doc.dr. Boris Jerman, univ.dipl.inž.str. Govorilne ure: pisarna: FS - 414 telefon: 01/4771-414 boris.jerman@fs.uni-lj.si, (Tema/Subject: VDPN -...)
Διαβάστε περισσότεραVaje: Električni tokovi
Barbara Rovšek, Bojan Golli, Ana Gostinčar Blagotinšek Vaje: Električni tokovi 1 Merjenje toka in napetosti Naloga: Izmerite tok, ki teče skozi žarnico, ter napetost na žarnici Za izvedbo vaje potrebujete
Διαβάστε περισσότεραMAGNETNI MATERIALI. 1. Mehkomagnetni materiali 2. Trdomagnetni materiali
MAGNETNI MATERIALI 1. Mehkomagnetni materiali 2. Trdomagnetni materiali Magnetni materiali in njihove lastnosti Slika 5.1 Magnetenje različnih vrst snovi Magnetne lastnosti snovi v B = µ v H Permeabilnost
Διαβάστε περισσότεραPITAGORA, ki je večino svojega življenja posvetil številom, je bil mnenja, da ves svet temelji na številih in razmerjih med njimi.
ZGODBA O ATOMU ATOMI V ANTIKI Od nekdaj so se ljudje spraševali iz česa je zgrajen svet. TALES iz Mileta je trdil, da je osnovna snov, ki gradi svet VODA, kar pa sploh ni presenetljivo. PITAGORA, ki je
Διαβάστε περισσότεραUPOR NA PADANJE SONDE V ZRAKU
UPOR NA PADANJE SONDE V ZRAKU 1. Hitrost in opravljena pot sonde pri padanju v zraku Za padanje v zraku je odgovorna sila teže. Poleg sile teže na padajoče telo deluje tudi sila vzgona, ki je enaka teži
Διαβάστε περισσότεραZGRADBA ATOMA IN PERIODNI SISTEM
ZGRADBA ATOMA IN PERIODNI SISTEM Kemijske lastnosti elementov se periodično spreminjajo z naraščajočo relativno atomsko maso oziroma kot vemo danes z naraščajočim vrstnim številom. Dmitrij I. Mendeljejev,
Διαβάστε περισσότεραSlika 5.1 Magnetenje različnih vrst snovi
5. Magnetni materiali in njihove lastnosti Če opazujemo različne snovi v magnetnem polju, lahko pri vsaki ugotovimo magnetne lastnosti. Glede na izraženost magnetnih lastnosti oz. glede na obnašanje snovi
Διαβάστε περισσότεραKvantni delec na potencialnem skoku
Kvantni delec na potencialnem skoku Delec, ki se giblje premo enakomerno, pride na mejo, kjer potencial naraste s potenciala 0 na potencial. Takšno potencialno funkcijo zapišemo kot 0, 0 0,0. Slika 1:
Διαβάστε περισσότεραDISKRETNA FOURIERJEVA TRANSFORMACIJA
29.03.2004 Definicija DFT Outline DFT je linearna transformacija nekega vektorskega prostora dimenzije n nad obsegom K, ki ga označujemo z V K, pri čemer ima slednji lastnost, da vsebuje nek poseben element,
Διαβάστε περισσότερα1. Enosmerna vezja. = 0, kar zaključena
1. Enosmerna vezja Vsebina polavja: Kirchoffova zakona, Ohmov zakon, električni viri (idealni realni, karakteristika vira, karakteristika bremena matematično in rafično, delovna točka). V enosmernih vezjih
Διαβάστε περισσότεραSimbolni zapis in množina snovi
Simbolni zapis in množina snovi RELATIVNA MOLEKULSKA MASA ON MOLSKA MASA Relativna molekulska masa Ker so atomi premajhni, da bi jih merili z običajnimi tehtnicami, so ugotovili, kako jih izračunati. Izražamo
Διαβάστε περισσότεραKvadratne forme. Poglavje XI. 1 Definicija in osnovne lastnosti
Poglavje XI Kvadratne forme V zadnjem poglavju si bomo ogledali še eno vrsto preslikav, ki jih tudi lahko podamo z matrikami. To so tako imenovane kvadratne forme, ki niso več linearne preslikave. Kvadratne
Διαβάστε περισσότεραPOROČILO. št.: P 1100/ Preskus jeklenih profilov za spuščen strop po točki 5.2 standarda SIST EN 13964:2004
Oddelek za konstrkcije Laboratorij za konstrkcije Ljbljana, 12.11.2012 POROČILO št.: P 1100/12 680 01 Presks jeklenih profilov za spščen strop po točki 5.2 standarda SIST EN 13964:2004 Naročnik: STEEL
Διαβάστε περισσότεραOsnove sklepne statistike
Univerza v Ljubljani Fakulteta za farmacijo Osnove sklepne statistike doc. dr. Mitja Kos, mag. farm. Katedra za socialno farmacijo e-pošta: mitja.kos@ffa.uni-lj.si Intervalna ocena oz. interval zaupanja
Διαβάστε περισσότεραVaja: Odbojnostni senzor z optičnimi vlakni. Namen vaje
Namen vaje Spoznavanje osnovnih fiber-optičnih in optomehanskih komponent Spoznavanje načela delovanja in praktične uporabe odbojnostnega senzorja z optičnimi vlakni, Delo z merilnimi instrumenti (signal-generator,
Διαβάστε περισσότεραPoglavje 10. Molekule Kovalentna vez
Poglavje 10 Molekule Atomi se vežejo v molekule. Vezavo med atomi v molkuli posredujejo zunanji - valenčni elektroni. Pri vseh molekularnih vezeh negativni naboj elektronov posreduje med pozitinvimi ioni
Διαβάστε περισσότεραPOROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL
POROČILO 3.VAJA DOLOČANJE REZULTANTE SIL Izdba aje: Ljubjana, 11. 1. 007, 10.00 Jan OMAHNE, 1.M Namen: 1.Preeri paraeogramsko praio za doočanje rezutante nezporedni si s skupnim prijemaiščem (grafično)..dooči
Διαβάστε περισσότεραMERITVE LABORATORIJSKE VAJE. Študij. leto: 2011/2012 UNIVERZA V MARIBORU. Skupina: 9
.cwww.grgor nik ol i c NVERZA V MARBOR FAKTETA ZA EEKTROTEHNKO, RAČNANŠTVO N NFORMATKO 2000 Maribor, Smtanova ul. 17 Študij. lto: 2011/2012 Skupina: 9 MERTVE ABORATORJSKE VAJE Vaja št.: 4.1 Določanj induktivnosti
Διαβάστε περισσότεραOsnovne stehiometrijske veličine
Osnovne stehiometrijske veličine Stehiometrija (grško: stoiheion snov, metron merilo) obravnava količinske odnose pri kemijskih reakcijah. Fizikalne veličine, s katerimi kemik najpogosteje izraža količino
Διαβάστε περισσότεραprimer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE
Reševanje mehanskih problemov z MKE primer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE p p RAK: P-XII//74 Reševanje mehanskih problemov z MKE primer reševanja volumskega mehanskega problema z MKE L
Διαβάστε περισσότερα- Geodetske točke in geodetske mreže
- Geodetske točke in geodetske mreže 15 Geodetske točke in geodetske mreže Materializacija koordinatnih sistemov 2 Geodetske točke Geodetska točka je točka, označena na fizični površini Zemlje z izbrano
Διαβάστε περισσότεραDefinicija. definiramo skalarni produkt. x i y i. in razdaljo. d(x, y) = x y = < x y, x y > = n (x i y i ) 2. i=1. i=1
Funkcije več realnih spremenljivk Osnovne definicije Limita in zveznost funkcije več spremenljivk Parcialni odvodi funkcije več spremenljivk Gradient in odvod funkcije več spremenljivk v dani smeri Parcialni
Διαβάστε περισσότεραVaje iz MATEMATIKE 8. Odvod funkcije., pravimo, da je funkcija f odvedljiva v točki x 0 z odvodom. f (x f(x 0 + h) f(x 0 ) 0 ) := lim
Študij AHITEKTURE IN URBANIZMA, šol l 06/7 Vaje iz MATEMATIKE 8 Odvod funkcije f( Definicija: Naj bo f definirana na neki okolici točke 0 Če obstaja lim 0 +h f( 0 h 0 h, pravimo, da je funkcija f odvedljiva
Διαβάστε περισσότεραUniverza v Ljubljani Fakulteta za strojništvo. Vrstični elektronski mikroskop - Scanning electron microscope. Poročilo laboratorijske vaje
Univerza v Ljubljani Fakulteta za strojništvo Vrstični elektronski mikroskop - Scanning electron microscope Poročilo laboratorijske vaje Rok oddaje: Ponedeljek, 16. 5. 2016 Uroš R 15. junij 2016 KAZALO
Διαβάστε περισσότεραIterativno reševanje sistemov linearnih enačb. Numerične metode, sistemi linearnih enačb. Numerične metode FE, 2. december 2013
Numerične metode, sistemi linearnih enačb B. Jurčič Zlobec Numerične metode FE, 2. december 2013 1 Vsebina 1 z n neznankami. a i1 x 1 + a i2 x 2 + + a in = b i i = 1,..., n V matrični obliki zapišemo:
Διαβάστε περισσότεραUNIVERZA V LJUBLJANI, FAKULTETA ZA STROJNIŠTVO Katedra za energetsko strojništvo VETRNICA. v 2. v 1 A 2 A 1. Energetski stroji
Katedra za energetsko strojništo VETRNICA A A A Katedra za energetsko strojništo Katedra za energetsko strojništo VETRNICA A A A Δ Δp p p Δ Katedra za energetsko strojništo Teoretična moč etrnice Določite
Διαβάστε περισσότεραPoglavja: Navor (5. poglavje), Tlak (6. poglavje), Vrtilna količina (10. poglavje), Gibanje tekočin (12. poglavje)
Poglavja: Navor (5. poglavje), Tlak (6. poglavje), Vrtilna količina (10. poglavje), Gibanje tekočin (12. poglavje) V./4. Deska, ki je dolga 4 m, je podprta na sredi. Na koncu deske stoji mož s težo 700
Διαβάστε περισσότερα