Capitolul 2 NELINIARITĂŢI GEOMETRICE - II Metode de determinare a soluţiei în calculul neliniar al structurilor

Transcript

1 Capitolul 2 NELINIARITĂŢI GEOMETRICE - II Metode de determinare a soluţiei în calculul neliniar al structurilor În problemele de calcul neliniar al structurilor rigiditatea structurii, sarcinile aplicate şi/sau condiţiile pe contur pot fi afectate de deplasările induse. Echilibrul structurii trebuie stabilit pentru configuraţia curentă a acesteia, care nu este insă cunoscută. e pot folosi metode analitice sau numerice, la fel ca în mecanica solidului deformabil. Metodele analitice se pot utiliza numai în cazuri foarte simple, când este posibil să se obţină direct soluţiile ecuaţiilor diferenţiale. Majoritatea problemelor de calcul neliniar al structurilor se rezolvă prin metode numerice. Rezolvarea ecuaţiilor diferenţiale cu metoda diferenţelor finite sau prin metode de integrare numerică este posibilă, de asemenea, numai pentru cazuri simple. tructurile de orice tip, de complexitate mare, se calculează cu metode matriceale, dintre care cea mai utilizată este metoda elementelor finite. Aşa cum a rezultat din paragrafele precedente, elementele matricei de rigiditate a unui element (bară), rigiditatea secantă şi cea tangentă a acesteia depind de deplasările nodurilor. Acelaşi lucru este valabil şi pentru întreaga structură, pentru care se pot scrie relaţiile: P = K U, (2.38) dp = K du, (2.39) unde K = K ( U) -rigiditatea secantă; K K ( U ) T T = T -rigiditatea tangentă; U - vectorul deplasărilor nodurilor structurii; P-vectorul forţelor exterioare aplicate structurii. Cum deplasările nodurilor structurii nu sunt cunoscute iniţial, soluţia ecuaţiei diferenţiale nu se poate obţine direct, ci printr-o succesiune de cicluri de calcul, verificând de fiecare dată satisfacerea condiţiei de echilibru şi de compatibilitate a deformatei. Există diferite proceduri care permit rezolvarea problemelor de analiză neliniară a structurilor deoarece, în opoziţie cu analiza liniară, este imposibil să se implementeze o singură strategie, universal valabilă pentru orice problemă. Este sarcina analistului de a încerca diferite proceduri şi de a selecta pe cea mai potrivită într-un caz particular. Procedurile utilizate în soluţionarea problemelor neliniare cu metoda elementelor finite includ: 1. O tehnică de control, capabilă să controleze progresul pe curba de echilibru a sistemului; 2. O metodă numerică de rezolvare a sistemului de ecuaţii neliniare care guvernează comportamentul structurii; 3. Criterii de oprire, în scopul finalizării calculului Tehnici de control În funcţie de parametrul ales ca variabilă, aceste tehnici se pot clasifica astfel: a) Controlul forţei aplicate (Force control) : Fiecare stare de echilibru (punct de pe curba caracteristică) este rezultatul intersecţiei suprafeţei P=const. cu curba, rezultând parametrul care se măsoară, deformaţia structurii (Fig..2.7,a). Adaptând această tehnică la analiza cu elemente finite, sarcinile (forţe, deplasări impuse, temperaturi, forţe gravitaţionale etc. ) sunt aplicate incremental, conform cu curba de timp asociată.

2 Timpul este o variabilă convenţională, care, în analiza statică, este utilizat ca numărător de evenimente în evoluţia sarcinii. Utilizatorul precizează succesiunea de valori între care se situează paşii de încărcare. O scară temporală propriu-zisă intervine în calculele de fluaj, viscoplasticitate, vibraţii neliniare. a) b) c) Fig.2.7 b) Controlul deplasării (Displacement control) : În acest caz, o stare de echilibru a structurii este obţinută ca intersecţie a unei suprafeţe U=const. cu curba de echilibru (Fig.2.7,b). În metoda elementelor finite, implementarea acestei metode presupune utilizarea unui multiplicator al unei sarcini unitare astfel încât să se realizeze echilibrul cu controlul unui anumit grad de libertate al structurii (incrementat prin utilizarea curbei de timp asociate). c) Controlul lungimii arcului (Arc-Length Control): În acest caz, este impus un parametru special, prescris cu ajutorul unei ecuaţii auxiliare, adăugată sistemului de ecuaţii care guvernează comportamentul structurii. În sens geometric, acest parametru este lungimea unui arc al curbei de echilibru (Fig. 2.7,c). În metoda elementelor finite, lungimea arcului este calculată automat de program. Nu mai este necesară asocierea cu o curbă de timp. Utilizarea acestei tehnici de control este recomandată la structuri a căror curbă de echilibru prezintă puncte de cedare sau de întoarcere, când tehnica de control al forţei sau cea de control al deplasării eşuează (Fig.2.8) Metode de analiză Fig.2.8. După modul cum se efectuează calculul, metodele de analiză neliniară se împart în: a. Metode iterative; b. Metode incrementale; c. Metode combinate.

3 a. Metode iterative Aceste metode pot utiliza fie matricea de rigiditate secantă fie pe cea tangentă. Utilizarea matricei de rigiditate secantă La primul ciclu de calcul, considerând deplasările nodurilor nule, rezultă = 0 K şi din (2.33) rezultă ( U ) E K = P = K U, (2.40) E de unde rezultă deplasările în primul ciclu de calcul (punctul C 1, Fig.2.9): 1 E U1 = K P. (2.41) K U 1, Cu aceste deplasări se determină apoi matricea de rigiditate secantă ( ) utilizată apoi pentru calculul deplasărilor din ciclul 2 (punctul C 2, Fig.2.9) : 1 U2 = [ K ( U1 ) ] P. (2.42) e continuă acest raţionament. Calculul se opreşte când se ajunge la diferenţe foarte mici între rezultatele a două cicluri succesive. oluţia este dată de ultimul ciclu de calcul, căruia îi corespunde punctul C n.. e poate observa că la fiecare ciclu forţele se consideră cu întreaga lor intensitate, variabilă fiind numai rigiditatea structurii. Deformarea structurii sub sarcini se produce treptat. În consecinţă, eforturile din structură cresc treptat, până când ajung să echilibreze forţele exterioare. Cu alte cuvinte, eforturile calculate la fiecare ciclu de solicitare pe baza deplasărilor corespunzătoare nu echilibrează forţele exterioare în totalitate. Forţele exterioare neechilibrate (reziduale- FN1, FN2,...) sunt cele care produc deformarea structurii în continuare. Avantajul esenţial al metodei constă tocmai în faptul că aceste forţe neechilibrate nu trebuie să fie determinate efectiv. Fig.2.9

4 Utilizarea matricei de rigiditate tangentă Metoda iterativă care foloseşte matricea de rigiditate tangentă este cunoscută sub numele de metoda Newton-Raphson (NR) În primul ciclu de calcul se consideră întreaga intensitate a forţelor exterioare şi deplasările U = 0, adică se efectuează tot un calcul liniar elastic U1 = K E P, (2.43) din care rezultă deplasările U1şi forţele neechilibrate FN 1 (Fig.2.10). Presupunând curba reală P-U, ordonata punctului C 1c reprezintă forţele echilibrate de eforturile corespunzătoare deplasărilor U 1. ub acţiunea forţelor neechilibrate FN 1 structura continuă să se deformeze. În ciclul al doilea se calculează o corecţie a deplasărilor U1 [ K ( U1 )] 1 ΔU1 = T FN, (2.44) astfel încât după al doilea ciclu deplasările vor fi U 2 + ΔU = U1 1, (2.45) cărora le corespund forţele neechilibrate FN 2. Procesul continuă până când deplasările se stabilizează. Deplasările finale se determină prin însumare Un = U1+ ΔU1 + ΔU2 + + ΔUn (2.46) iar eforturile, cu relaţia 0 Fi = K Ui + Fi (2.47) unde i F este vectorul eforturilor şi U i i este vectorul deplasărilor. Fig.2.10 Avantajul metodei constă în creşterea convergenţei procesului iterativ. Dezavantajul metodei constă în necesitatea determinării forţelor neechilibrate la finele fiecărui ciclu de calcul.

5 b. Metode incrementale Particularitatea acestor metode constă în evaluarea răspunsului structurii la o serie de trepte de încărcare, rigiditatea structurii modificându-se funcţie de deplasările obţinute în treapta anterioară. În cazul tehnicii cu controlul sarcinii, încărcarea din fiecare pas reprezintă o cotă parte din încărcarea totală şi de aceea relaţia forţă-deplasare se utilizează sub următoarea formă ΔP = KT ΔU. (2.48) Cu cât paşii de variaţie a încărcării ΔP sunt mai mici, cu atât modelul de calcul este mai apropiat de forma reală a relaţiei forţă-deplasare, deci şi rezultatul obţinut este mai apropiat de soluţia exectă (a se compara figurile 2.11, a şi 2.11,b). totale Algoritmul de calcul este următorul: K U = 0 = K. - pasul 1: Deplasările sunt nule, deci T ( ) E Rezultă U 1 = K E P 1. (2.49) - pasul 2: deplasările anterioare sunt U1 U2 = [ KT ( U1 ) ] 1 P2. (2.50) - pasul 3: Deplasările anterioare sunt U2 = U1 + U2 U3 = [ KT ( U2 ) ] 1 P3. (2.51) e continuă la fel pentru toate treptele de încărcare, în final obţinându-se deplasările n U n = Ui. (2.52) i = 1 Eforturile se determină apoi cu relaţia (2.47). Referitor la modul cum se realizează încărcarea în trepte, uzual se admite că paşii sunt egali (toate forţele cresc funcţie de un singur parametru). Mai apropiat de realitate este cazul paşilor variabili ca mărime. Aceasta înseamnă că mărimea şi categoria forţelor din fiecare pas de calcul se stabileşte de către proiectant. a) b) Fig.2.11

6 c. Metoda corectării succesive a lungimii barelor În metodele prezentate mai sus rigiditatea barelor este corectată funcţie din deplasările din ciclul anterior. În cursul deformării structurii singura caracteristică a barei care variază este lungimea. Pe această observaţie se bazează metoda corectării succesive a lungimii barelor, metodă care poate fi utilizată atât în formă iterativă cât şi în forma încrementală. Pentru forma iterativă modul de calcul este următorul: - Ciclul 1: se efectuează un calcul liniar elastic 1 P. U = K E (2.53) - Ciclul 2: cunoscând deplasările U1se determină lungimea modificată a barelor, ţinând seamă că noile coordonate ale nodurilor sunt i2 = X i1 U xi1 ; Y i2 = Yi1 + U yi1. (2.54) X + e recalculează matricele de rigiditate şi de rotaţie ale structurii cu noile lungimi ale barelor şi se calculează deplasarea considerând rigiditatea modificată K E 2 U2 = K E 2 P. (2.55) K E2 este matricea de rigiditate calculată ca în calculul de ordinul I, dar având valoarea diferită faţă de primul ciclu, din cauza corectării lungimii barelor. Celelalte cicluri urmează aceeaşi metodologie şi calculul se opreşte la atingerea convergenţei impuse. Modul de calcul este asemănător şi în forma incrementală, când deplasările dintr-un pas de încărcare se adaugă la cele din pasul anterior pentru a calcula noua lungime a barelor. Principalul avantaj al metodei constă în faptul ca se utilizează o singură formă de matrice de rigiditate ( K E ), ceea ce reduce efortul de calcul, comparativ cu metodele bazate pe utilizarea matricelor de rigiditate secantă şi tangentă. d. Metode combinate În programele de calcul cu metoda elementelor finite se folosesc variante ale metodei Newton-Raphson, care combină tehnicile iterative cu cele incrementale. arcina se aplică în paşi iar la fiecare pas, în subpaşi (incremente). Iterarea echilibrului se face pentru fiecare increment al sarcinii. Fiecare pas de încărcare este asociat cu o valoare a timpului (Fig.2.12). chema Newton Raphson NR prezintă dezavantajul că la fiecare iteraţie din interiorul unui pas se formează o nouă matrice de rigiditate tangentă. Fig.2.12

7 Metoda Newton-Raphson modificată (NRM) elimină acest aspect negativ, matricea de rigiditate tangentă formată la începutul fiecărui pas fiind utilizată în toate iteraţiile din interiorul acestuia (Fig.2.13,a). Volumul de calcule este mai redus comparativ cu metoda NR. Convergenţa este însă mai slabă şi de aceea metoda se utilizează pentru probleme cu neliniarităţi mici. Metoda Quasi-Newton- QN (BFG /Broyden-Fletcher-Goldfarb-hanno)) utilizează matricele de rigiditate secantă, care satisfac sistemul (Fig.2.13,b): ( i ) ( i K ) δ = γ, (2.56) în care intervin incrementul deplasării ( i δ ) şi incrementul sarcinii neechilibrate (reziduale) ( i γ ). a) b) Criterii de finalizare a calcului Fig.2.13 Pentru ca o procedură incrementală bazată pe metode iterative să fie eficientă trebuie să fie incluse proceduri eficiente de terminare a procesului. De exemplu, pentru procedurile cu controlul sarcinii procesul iterativ se întrerupe când forţele neechilibrate (reziduale) scad sub o valoare impusă, ε. Toleranţe prea largi pot conduce la rezultate eronate iar toleranţele prea mici cresc nejustificat costurile de calcul. Uzual, programele de calcul cu MEF utilizează o toleranţă implicită de 0,5% pentru forţe/momente reziduale şi de 5% pentru creşteri de translaţii/rotiri