Sisteme de numeraţie

Μέγεθος: px
Εμφάνιση ξεκινά από τη σελίδα:

Download "Sisteme de numeraţie"

Transcript

1 Sisteme de numeraţie F.Boian, Bazele matematice ale calculatoarelor, UBB Cluj-Napoca, 2002 Sistem de numeraţie - totalitatea regulilor folosite pentru scrierea numerelor cu ajutorul unor simboluri (cifre). 1. Sistemul de numeraţie roman - sistem aditiv Cifre: I V X L C D M Reguli: a) mai multe cifre de aceeaşi valoare, scrise consecutiv, reprezintă suma acestor cifre: XX=20 MMM=3000 b) o pereche de cifre diferite, cu cifra mai mare aflată în faţa cifrei mai mici, reprezintă suma acestor cifre: XIII=10+3=13 VII=5+2=7 DX=500+10=510 c) o pereche de cifre diferite, cu cifra mai mică în faţa cifrei mai mari, reprezintă diferenţa acestor cifre: IV=5-1=4 IX=10-1=9 IL=50-1=49 d) pentru scrierea unor numere mai mari se foloseşte o bară orizontală deasupra simbolurilor, bară care indică înmulţirea valorii corespunzătoare simbolului cu 1000 V =5000 Dezavantaje: scriere greoaie reprezentări multiple ale numerelor (ex: 490=CDXC=XD) numere lungi operaţii lente nu există simbol pentru valoarea zero Exemple 1989=MCMLXXXIX 2010=M M X Palatul Josika (Casa cu picioare) este înălţat pe locul fostei reşedinţe clujene a principilor Transilvaniei. Clădirea a devenit reşedinţa lui Anton Josika, comite al Clujului, la mijlocul secolului al XVIII-lea. Clădirea în stil neoclasicist a căpătat înfăţişarea de astăzi în anul 1828, când a fost refăcută de Josika Janos, guvernator al Transilvaniei. Elementul caracteristic în faţadă este porticul sobru cu coloanele dorice. Atica poartă inscripţia MDCCCXXVIII (1828), anul renovării clădirii. 1

2 2. Sistemul de numeraţie arab - sistem poziţional Aportul unei cifre în stabilirea valorii unui număr depinde de valoarea cifrei şi de poziţia ocupată în şirul de cifre folosit. Regulă: a) Fiecare grup de 10 elemente (unităţi, zeci, sute, etc.) formează o grupă de rang superior (zece, sută, mie, etc.) Sistemul de numeraţie cu baza 10 (zecimal) Cifre: Sistemul de numeraţie octal - baza 8 cifre: Sistemul de numeraţie binar - baza 2 cifre: 0 1 Sistemul de numeraţie hexazecimal - baza 16 cifre: A (=10) B(=11) C(=12) D(=13) E(=14) F(=15) Reprezentarea numerelor naturale într-o bază oarecare b Orice număr natural x poate fi scris sub forma: x=c 0 +c 1 b+c 2 b c n-1 b n-1 +c n b n unde c i <b, i=0,1...,n se numesc cifrele numărului în baza b. Exemple: Numărul ( xyz ) b = z b 0 + y b 1 + x b 2 (271) 10 = Conversia dintr-o bază oarecare b în baza 10 (1101) 2 = =13 (A3C) 16 = =2620 Pentru transformarea unui număr dintr-o bază oarecare b în baza 10 se înmulţeşte ultima cifră a numărului cu baza la puterea 0, penultima cifră se înmulţeşte cu baza la puterea a 1-a, antepenultima cu baza la puterea a 2-a, etc. şi se adună rezultatele acestor înmulţiri. Pentru a face astfel de transformări trebuie cunoscute cifrele numărului care se transformă. Mai jos este dat ca exemplu un program care determină numărul de cifre ale unui număr natural în baza 10 şi valorile cifrelor acestui număr. Cifrele numărului sunt resturile împărţirii întregi a numărului la baza sistemului de numeraţie în care este scris. După fiecare împărţire, noul număr care se împarte este câtul împărţirii precedente. Impărţirile continuă până când câtul devine 0. Program exemplu: determinarea numărului de cifre ale unui număr natural //Determina numarul de cifre ale unui numar natural //Numarul trebuie sa fie <=32767 (de tip int) //Cifrele numarului sunt stocate ca elemente ale sirului sirc #include <stdio.h> #include <conio.h> void main() int c,r,nr,n,j,sirc[100]; 2

3 printf("\nprogramul determina numarul de cifre ale unui numar natural\n"); printf("\nnumarul trebuie sa fie <=32767 (de tip int)\n\n\a"); do printf("\nintroduceti un nr pozitiv: "); scanf("%d",&nr); while(nr<0); j=0; do c=nr/10; r=nr-c*10; sirc[j]=r; nr=c; j++; while(nr>0); N=j-1; printf("\nnumarul are %d cifre. Sirul format din cifrele sale este\n\t",j); for(j=n;j>=0;j--) printf("\n%d",sirc[j]); Pentru determinarea cifrelor zecimale unui număr real se procedează în felul următor: Fie nr numărul real dat. 1. se determină prima cifră zecimală a numărului ca şi cif=[10*(nr-floor(nr))] //floor returneaza cel mai mare întreg <= nr //[] semnifica partea întreaga a numărului 2. nr=nr*10 3. dacă nr floor(nr) continuă la 1 4. stop Program exemplu: determinarea numărului de cifre zecimale ale unui număr real //Determina numarul de cifre zecimale ale unui numar real //si construieste un sir cu aceste cifre #include <iostream.h> #include <stdio.h> #include <math.h> #include <conio.h> void main() double nr; long int j,n,sir[100],cif; printf("\nprogramul determina numarul de cifre zecimale ale unui numar real\n"); printf("si construieste un sir avand ca elemente cifrele zecimale ale numarului dat\n"); do printf("\nintroduceti un numar real:\t"); // fflush(stdin); while(scanf("%lf",&nr)!=1); j=0; // contor pentru sirul care va contine cifrele zecimale ale numarului real 3

4 while(nr!=floorl(nr)) //sau while((nr-floorl(nr))>1e-6) //determina cifra actuala cif=(long int) (10*(nr-floorl(nr))); sir[j]=cif; nr=nr*10.0; j++; N=j; printf("\nnumarul are %d cifre zecimale, iar sirul format din cifrele sale este:\n",n); for(j=0;j<n;j++) cout<< sir[j]; getch(); Conversia din baza 10 în alte baze (24)10 = (11000)2 (256)10 = (400)8 (2653)10 = (A5D)16 Pentru transformarea unui număr natural din baza 10 într-o bază oarecare b se împarte numărul respectiv la bază, obţinându-se un cât şi un rest mai mic decât b. Apoi se împarte câtul obţinut la b obţinându-se un nou cât şi un nou rest mai mic decât b. Împărţirea continuă până când se obţine câtul 0. Cifrele numărului în baza b sunt resturile împărţirilor, citite de la ultimul rest către primul. Program exemplu: tipărirea unui număr natural în baza 10 introdus de la tastatură, în bazele 10, 8 şi 16, folosind specificatorii de tip %d, %o şi %x //Tipareste un numar natural introdus de la tastatura //in bazele 10, 8 si 16 #include <iostream.h> #include <stdio.h> void main() int n; cout << "Introduceti un nr. natural n (in baza 10) : "; cin >> n; cout << "Baza 10: " << n; printf("\nbaza 8: %o", n); printf("\nbaza 16: %X", n); Program exemplu: transformarea unui număr din zecimal în binar //Transforma un numar natural din zecimal in binar #include <stdio.h> #include <conio.h> 4

5 void main() int c,r,nr,i,j,bin[100]; printf("\nprogramul face transformarea in binar a unui numar natural\n"); printf("\nnumarul trebuie sa fie <=32767 (de tip int)\n\n\a"); do printf("\nintroduceti un nr pozitiv: "); scanf("%d",&nr); while(nr<0); j=0; do c=nr/2; r=nr-c*2; bin[j]=r; j++; nr=c; while(nr>0); printf("\nnumarul transformat in binar este:\t"); for(i=j-1;i>=0;i--) printf("%d",bin[i]); Conversia unui număr real între două baze de numeraţie 2 paşi 1. conversia părţii întregi prin metoda împărţirilor succesive - se fac împărţiri până când câtul devine zero, iar numărul se obţine din şirul resturilor scris în ordine inversă 2. conversia părţii fracţionare prin metoda înmulţirilor succesive - se fac înmulţiri până când: a) - partea de după virgulă devine zero b) - se ajunge la un număr prestabilit de cifre c) - se ajunge la o periodicitate - cifrele părţii fracţionare sunt cifrele care, în urma înmulţirilor succesive, ajung în faţa punctului zecimal Partea fracţionară a unui număr scris într-o bază b se poate scrie sub forma: c -1 /b + c -2 /b 2 + c -3 /b unde c -1 este cifra aflată imediat după virgulă, c -2 este a doua cifră a părţii zecimale, etc. Exemplu: Fie numărul în baza 10 care va fi convertit în baza 8. Vom înmulţi mereu părţile fracţionare cu 8 S-a îndeplinit criteriul a), obţinându-se zero după virgulă Aşadar: ( ) 10 = (0.275) 8 5

6 Verificare: (0.275) 8 = + + = = = Temă: Transformaţi numărul în baza 2. Fie numărul pe care îl vom converti tot în baza 8, reţinând numai primele 3 cifre: x Aşadar: ( ) 10 = ( ) 8 Convertind acum numărul (0.325) 8 în baza 10 obţinem: (0.325) 8 = + + = = = adică am obţinut o eroare de trunchiere. Astfel de erori apar frecvent în cazul conversiilor duble, atunci când se reţine un număr prestabilit de cifre semnificative. Temă: Transformaţi numărul în baza 2, reţinând primele 6 cifre binare apoi faceţi transformarea inversă. Care este diferenţa dintre numărul iniţial şi cel obţinut prin transformarea inversă? Algoritm pentru conversia părţii fracţionare dintr-o bază p în altă bază q, prin metoda înmulţirilor succesive: Fie f partea fracţionară. După obţinerea cifrei de rang -1 cu relaţia c -1 =[q f] ( [ ] semnifică partea întreagă) în baza b se efectuează din nou înmulţirea înlocuind pe f cu qf, etc. 1. citeşte f în baza p 2. i=0; 3. dacă f=0 sau s-au obţinut suficiente cifre continuă la pasul 8 4. c i =int(f q) // partea întreagă a lui f q 5. f=partea fractionară a lui f q adică f = f q-[f q] 6. i++ 7. continuă la pasul 3 8. n=i 9. scrie c i, i=0, 1,..., n stop Program exemplu: Conversia părţii fracţionare a unui număr scris în baza 10 într-o bază oarecare q //Programul converteste partea fractionara a unui numar scris in baza 10 //intr-o alta baza q. Numarul se va introduce sub forma 0.xxxxxxx... #include <iostream.h> #include <stdio.h> #include <math.h> void main() double f; int i,n, c[20],q,nmax=15,cond; cout << "Introduceti partea fractionara a numarului, sub forma: 0.xxxxxxx...: "; cin >> f; 6

7 cout << "Noua baza: "; cin>> q; i=0; do c[i]=floor(f*q); f=f*q-floor(f*q); i++; //Stabilirea conditiei de incheiere: fie f=0, fie s-a // ajuns la numarul de cifre impus if(f==0.0) cond=1; else if(i==nmax) cond=1; else cond=0; while(!cond); n=i; cout<<"cifrele partii fractionare in baza " << q << " sunt: "; for(i=0;i<n;i++) cout << c[i]; Reprezentarea numerelor Reprezentarea numerelor întregi cu semn în complement faţă de 2 Definiţii 1. Bit - unitatea de informaţie 2. Byte (octet) - unitatea de adresare (8 biţi) 3. Locaţie de memorie - unitatea de reprezentare a unei date, formată din unul sau mai mulţi octeţi 4. Word număr de octeţi prelucraţi simultan de către procesor (numerele reale se reprezintă de obicei pe un cuvânt) = lăţimea de bandă În memoria computerelor, numerele sunt reprezentate ca şi numere binare, pe un anumit număr (finit) de biţi. Valorile care pot fi reprezentate depind de numărul de biţi folosiţi pentru respectiva reprezentare. Spre exemplu, pe 2 biţi poate fi reprezentată valoarea maximă 3 = (11) 2, iar pe 8 biţi poate fi reprezentată valoarea maximă 255=( ) 2. Dacă trebuie reprezentate numere întregi cu semn, atunci un bit din numărul total de biţi ai reprezentării va fi folosit pentru semnul numărului. Bitul de semn va fi bitul de rang maxim (cel mai din stânga): In reprezentarea în complement faţă de 2, un număr pozitiv se reprezintă pe cei n biţi, cu bitul de semn 0. Valoarea maximă reprezentabilă pe n biţi va fi: pe patru biţi: (111) 2 = 7=2 3-1 pe opt biţi: ( ) 2 = 127=2 7-1 Aşadar, pe n biţi, valoarea maximă reprezentabilă este: 2 n-1-1 In reprezentarea în complement faţă de 2, numerele negative se obţin scăzând în binar, numărul pozitiv din 2 n. Bitul de semn pentru numerele negative va fi 1. 7

8 Aşadar, în acest cod, dacă X este pozitiv se reprezintă ca atare pe n-1 biţi, iar dacă este negativ, se reprezintă valoarea 2 n - X. Exemplu: Numărul +18, reprezentat pe 8 biţi este: Numărul -18 se obţine scăzând din 2 n în binar valoarea +18 în binar (vezi figura de mai jos): Reprezentarea numerelor întregi în complement faţă de 2 sau acelaşi lucru, se scade în zecimal +18 din 2 n (din 2 8 ) şi se reprezintă rezultatul scăderii în binar: =256-18=238 (238) 10 =( ) 2 O metodă mai rapidă de deducere a reprezentării numerelor întregi negative în complement faţă de 2 pe n biţi rezultă din discuţia precedentă şi este dată de următoarea regulă: Pentru a reprezenta în complement faţă de 2 un număr întreg negativ se reprezintă modulul său după care, începând de la bitul de ordin zero spre stânga toţi biţii 0 şi primul bit 1 se păstrează şi toţi ceilalţi îşi inversează valoarea (0->1 şi 1->0). Acest lucru este echivalent cu faptul că valoarea oricărui număr negativ, cu excepţia celui mai mic se obţine pornind de la numărul pozitiv reprezentat în binar după care se răstoarnă toţi biţii (1->0 şi 0->1), adăugându-se apoi valoarea 1. Analog se procedează pentru a trece de la numărul negativ reprezentat în binar la numărul pozitiv corespunzător (vezi ca exemplu tabelul alăturat). Valoarea -1 (cel mai mare număr negativ) reprezentată pe n biţi se obţine setând toţi cei n biţi pe valoarea 1. Valoarea celui mai negativ număr pe n biţi se obţine setând toţi biţii, cu excepţia celui de semn (cel mai reprezentativ bit) pe valoarea 1 şi apoi răsturnarea tuturor biţilor. Astfel se obţine numărul negativ al cărui modul este dat de biţii astfel Exemple de reprezentare a numerelor întregi pe 8 biţi obţinuţi, fără a se ţine cont de semn. Implicit rezultă că în cod complementar faţă de 2, valoarea minimă reprezentabilă pe n biţi este -2 n-1. 8

9 Exemple: Fie n = 4 biţi Pentru X=6 reprezentarea în binar pe 4 biţi va fi: 0110 Pentru X=-6, reprezentarea în binar va fi cea a numărului pozitiv 2 4-6=10 şi care în binar este Aceeaşi reprezentare se obţine pornind de la reprezentarea lui +6 şi folosind regula de mai sus. Alte coduri de reprezentare a valorilor întregi sunt: 1. Codul direct Bitul de rang n-1 (cel mai din stânga) este rezervat pentru semn. Un număr negativ se reprezintă în cod direct reprezentând modulul său după care bitul de semn ia valoarea Codul invers Bitul de rang n-1 (cel mai din stânga) este rezervat pentru semn. Un număr negativ se reprezintă în cod invers reprezentând modulul său după care se inversează valorile tuturor biţilor reprezentării. Calculatoarele actuale folosesc codul complementar pentru reprezentarea întregilor. Avantajul acestui cod constă în faptul că circuitele electronice pentru adunare şi scădere nu trebuie să examineze semnul numărului (vor efectua întotdeauna adunări). În plus, în acest cod, valoarea 0 (zero) are reprezentare unică. Reprezentarea numerelor reale Reprezentarea numerelor reale se poate face în virgulă fixă sau în virgulă mobilă. Pentru reprezentarea numerelor reale în virgulă fixă se foloseşte bitul cel mai semnificativ ca bit de semn. Modulul părţii întregi şi partea fracţionară au un număr prefixat de biţi pe care se reprezintă şi se aplică următoarele reguli: alinierea în locaţia de memorie se face la virgula virtuală. dacă valoarea părţii întregi este mai mică decât valoarea maximă ce poate fi reprezentată pe biţii alocaţi părţii întregi se adaugă la stânga zerouri suplimentare. dacă valoarea părţii întregi este mai mare decât valoarea maximă ce poate fi reprezentată pe biţii alocaţi părţii întregi se pierd cifrele cele mai semnificative. dacă valoarea părţii fracţionare este mai mică decât valoarea maximă ce poate fi reprezentată pe biţii alocaţi părţii fracţionare se adaugă la dreapta zerouri nesemnificative. dacă valoarea părţii fracţionare este mai mare decât valoarea maximă ce poate fi reprezentată pe biţii alocaţi părţii fracţionare se pierd cifrele cele mai nesemnificative. Exemplu Să presupunem că se folosesc 2 octeţi (16 biţi) pentru reprezentarea numerelor reale, din care bitul de rang 15 va fi folosit pentru semn, 6 biţi vor fi folosiţi pentru reprezentarea părţii întregi şi 9 biţi pentru reprezentarea părţii fracţionare. Numărul are reprezentarea binară ( ). Reprezentarea acestui număr va fi: Numărul negativ are reprezentarea binară ca şi cea a numărului pozitiv, cu deosebirea că bitul de semn este 1: 9

10 In schimb, are reprezentarea binară ( , ) şi partea întreagă a numărului este mai mare decât valoarea maximă reprezentabilă pe cei 6 biţi alocaţi părţii întregi. Astfel, acest număr se va reprezenta sub forma: producându-se o aşa-numită depăşire, adică pierzându-se 2 biţi cei mai semnificativi, numărul reprezentat fiind de fapt Reprezentarea în virgulă mobilă a numerelor reale este un tip superior de reprezentare, astfel concepută încât la depăşire se pierd cifrele cele mai puţin semnificative. Această reprezentare se bazează pe faptul că orice număr real x se poate scrie sub forma: e x 0.m b unde m este mantisa numărului, b este baza de numeraţie, iar e este exponentul. In notaţia ştiinţifică, numerele reale se notează sub forma: mantisa baza exponent Exemple: Valoare reală Notaţie ştiinţifică 125, , , e Scrierea valorilor reale sub forma x 0.m b este o scriere cu mantisă subunitară, în baza 10. Orice valoare reală poate fi scrisă însă şi sub forma: e x 1.m 2 care înseamnă scrierea numărului în baza 2, cu mantisă între 1 şi 2, m fiind partea fracţionară a mantisei. Valorile date mai sus ca exemplu se scriu în baza 2 sub următoarea formă: Zecimal Binar Semn 125, , , Zecimal Reprezentarea cu mantisă între 1 şi 2 125, , , Astfel, din exemplele de mai sus rezultă că pentru reprezentarea valorilor reale în virgulă flotantă trebuie folosit un anumit număr de biţi, care să permită reprezentarea: - semnului numărului - mantisei - exponentului - semnului exponentului Pentru aceasta, se foloseşte standardul IEEE (Institute of Electrical and Electronics Engineers), pentru reprezentarea numerelor în simplă precizie (pe 32 biţi) sau în dublă precizie (pe 64 biţi). 10

11 Bitul de semn: - 0 corespunde unui număr pozitiv şi 1 corespunde unui număr negativ Exponentul Pe numărul de biţi rezervaţi pentru exponent trebuie reprezentate atât numere pozitive cât şi negative. În acest scop, exponentului propriu-zis al numărului care se reprezintă i se adaugă o anumită valoarea care depinde de tipul de precizie folosită (simplă sau dublă), numită caracteristică. În standardul IEEE simplă precizie aceasta are valoarea de 127 (2 7-1) şi în dublă precizie are valoarea 1023 (2 10-1). Astfel, pentru un număr al cărui exponent este 0, pe biţii alocaţi exponentului se stochează valoarea 127 (în binar ). O valoare de 200 (în binar ) stocată pe biţii exponentului înseamnă de fapt exponentul =73. Exponenţii cu toţi biţii 0 sau toţi biţii 1 sunt rezervaţi pentru numere speciale. Pentru standardul dublă precizie se alocă 11 biţi pentru exponent, iar caracteristica este Mantisa Mantisa reprezintă biţii de precizie ai unui număr. Aceasta este compusă dintr-un bit implicit principal (întotdeauna 1 în scrierea cu mantisă între 1 şi 2) şi biţii fracţiei. Pentru a afla bitul implicit principal se ţine cont de faptul că în notaţia ştiinţifică orice număr poate fi reprezentat în mai multe feluri. Astfel, numărul 5 poate fi reprezentat într-unul din modurile următoare: În scopul maximizării cantităţii de numere reprezentabile, numerele floating point sunt stocate în formă normalizată, formă care se obţine punând punctul zecimal după prima cifră nenulă. În formă normalizată, numărul 5 este reprezentat sub forma: In baza 2, singura cifră nenulă nu poate fi alta decât cifra 1, astfel încât nu este necesar ca ea să fie reprezentată explicit şi în simplă precizie de exemplu, toţi cei 23 de biţi sunt folosiţi pentru reprezentarea părţii fracţionare a mantisei, obţinându-se practic o precizie de 24 biţi folosind doar 23 de biţi. In zecimal, precizia corespunzătoare obţinută este: 24 =7.2 log 10 2 adică de 7 cifre în simplă precizie şi 52 =15.65 log 10 2 adică 15 cifre în dublă precizie. Astfel, în simplă precizie, cei 32 biţi alocaţi reprezentării unui număr în virgulă flotantă sunt: - 1 bit pentru semnul mantisei (bitul de rang 31) - 8 biţi pentru exponent (care va include şi semnul exponentului, biţii de rang 23-30) - 23 de biţi pentru mantisă (biţii de rang 0-22) În cazul reprezentării cu mantisă între 1 şi 2, cifra 1 din stânga virgulei nu are bit rezervat, cifra adăugându-se numai în timpul calculelor. 11

12 nr.biţi[rangul biţilor] Semn Exponent Fracţie Caracteristică Simplă precizie 1 [31] 8 [30-23] 23 [22-00] 127 Dublă precizie 1 [63] 11 [62-52] 52 [51-00] 1023 Valoarea V reprezentată pe un astfel de cuvât de 32 biţi se obţine în felul următor (E reprezintă e+caracteristica): Dacă 0<E<255 atunci V=(-1) S *2 E-127 *1.F unde "1.F" reprezintă numărul binar creat prin adăugarea la partea fracţionară a părţii întregi 1. Dacă E=255 (toţi biţii exponentului sun setaţi pe valoarea 1) şi F este nenul, atunci V=NaN ("Not a number") Dacă E=255 (toţi biţii exponentului sun setaţi pe valoarea 1), F este nul şi S =1, atunci V=- Dacă E=255 (toţi biţii exponentului sun setaţi pe valoarea 1), F este nul şi S = 0, atunci V=+ Dacă E=0 (toţi biţii exponentului sunt 0), F este zero (toţi biţii părţii fracţionare sunt 0) şi S =1, atunci V=-0 Dacă E=0 (toţi biţii exponentului sunt 0), F este zero (toţi biţii părţii fracţionare sunt 0) şi S =0, atunci V=+0 Aşadar, ca reguli sunt stabilite reprezentările pentru valoarea zero, precum şi pentru valorile ± şi respectiv pentru "valorile NaN. In figura de mai jos sunt date câteva valori reprezentate în virgulă flotantă în standardul IEEE simplă precizie. Exemplu de valori reprezentate în simplă precizie Valoare în zecimal bitul de semn exponentul E=e+c fracţia rezultată din mantisă normalizată 1 bit 8 biţi 23 biţi 7/ cel mai mic număr reprezentabil cel mai mare număr reprezentabil infinit NaN Nu toţi biţii 0 sau 1 12

13 Simplă precizie Dublă precizie Cel mai mic nr. pozitiv sau x sau x Cel mai mare nr. pozitiv ( ) sau x ( ) sau x Valoarea ε a maşinii 2-23 sau x sau x Precizia zecimală 6 cifre semnificative 15 cifre semnificative Cel mai mic număr real pozitiv care poate fi reprezentat în simplă precizie are reprezentarea: care înseamnă: 1.0 * 2 e. Partea fracţionară este zero deoarece toţi cei 23 de biţi folosiţi pentru reprezentarea acesteia sunt setaţi pe zero. La partea fracţionară se adaugă partea întreagă corespunzătoare bitului "ascuns" 1 (care nu se reprezintă în acest format simplă şi dublă precizie). Valoarea exponentului e se deduce ţinând cont că pe biţii exponentului este reprezentată valoarea e+127. Cum E este ( ) 2 = 1 10, rezultă e=-126. Aşadar, valoarea celei mai mici valori reale care poate fi reprezentată este: 1.0*2-126 = Analog se deduce uşor valoarea celui mai mare număr real care poate fi reprezentat în simplă precizie, aceasta având reprezentarea binară: Atenţie, nu putem folosi toţi biţii exponentului setaţi pe 1 deoarece acest caz este utilizat pentru reprezentarea valorilor speciale ± şi Nan. Din reprezentarea de mai sus rezultă că E= =2 8-2, adică e= = = 2(2 7-1)-2 7-1=2 7-1=127. A, această valoare va fi: ( ) Valoarea părţii fracţionare este: = =2-1 ( )/(2-1 -1)= Aşadar, cel mai mare număr pozitiv reprezentabil este: ( *2 127 = Precizia reprezentării numerelor este dată de următoarele exemple: Valoarea 1.0 se reprezintă: Următoarea valoare reprezentabilă, imediat mai mare ca 1.0 va avea reprezentarea: Diferenţa dintre aceste valori este dată de prezenţa pe poziţia cel mai puţin semnificativă din biţii mantisei, a bitului 1. Poziţia şi valoarea acestui bit înseamnă în zecimal valoarea Această valoarea dă precizia acestei reprezentări. Aşadar, în acest format, numerele reale nu sunt reprezentate continuu ci discret, cu un pas de Valoarea "Not A Number" Valoarea NaN este folosită pentru a reprezenta valori care nu reprezintă un număr real. Aceste valori NaN sunt reprezentate printr-o succesiune de biţi cu exponentul având toţi biţii 1 şi o fracţie nenulă. 13

14 Există două feluri de valori Nan: QNaN (Quiet NaN) şi SNaN (Signalling NaN). QNaN este un NaN cu cei mai semnificativi biţi ai fracţiei setaţi şi rezultă din operaţii aritmetice când rezultatul matematic nu este definit. SNaN este un NaN cu cei mai semnificativi biţi a fracţiei şterşi şi astfel de valori sunt folosite pentru a semnala excepţii. Semantic, QNaN semnifică operaţie nedeterminată, iar SnaN semnifică operaţie invalidă. Exemplu: Care va fi reprezentarea numărului , în virgulă flotantă, simplă precizie? 1. Numărul pozitiv se transformă în binar şi se obţine: Se scrie numărul obţinut în binar sub formă normalizată: Se determină valoarea exponentului: 3+127= Se transformă noul exponent în binar: (130) 10 = Se determină bitul de semn al mantisei: 1 6. Se scrie numărul: Observaţie: Numărul real 18.0 nu are reprezentare identică cu cea a numărului întreg

III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul

III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea

Διαβάστε περισσότερα

MARCAREA REZISTOARELOR

MARCAREA REZISTOARELOR 1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea

Διαβάστε περισσότερα

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii

Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.

Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele

Διαβάστε περισσότερα

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.

(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a. Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă

Διαβάστε περισσότερα

III.2.2. Reprezentarea în virgulă mobilă

III.2.2. Reprezentarea în virgulă mobilă III... Reprezentarea în virgulă mobilă Una dintre cele mai răspândite reprezentări internă (în PC-uri) a numerelor reale este reprezentarea în virgulă mobilă. Reprezentarea în virgulă mobilă presupune

Διαβάστε περισσότερα

Curs 4 Serii de numere reale

Curs 4 Serii de numere reale Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni

Διαβάστε περισσότερα

Curs 1 Şiruri de numere reale

Curs 1 Şiruri de numere reale Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,

Διαβάστε περισσότερα

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro

Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,

Διαβάστε περισσότερα

Lucrarea de laborator nr. 2

Lucrarea de laborator nr. 2 Metode Numerice Lucrarea de laborator nr. I. Scopul lucrării Reprezentarea numerelor reale în calculator. Erori de rotunjire. II. III. Conţinutul lucrării. Reprezentarea numerelor reale sub formă normalizată..

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul

Διαβάστε περισσότερα

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.

Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste

Διαβάστε περισσότερα

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.

R R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale. 5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța

Διαβάστε περισσότερα

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE

DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:

Διαβάστε περισσότερα

1. Reprezentarea numerelor şi operaţii aritmetice în sisteme de calcul.

1. Reprezentarea numerelor şi operaţii aritmetice în sisteme de calcul. 1. Reprezentarea numerelor şi operaţii aritmetice în sisteme de calcul. 1.1. Sisteme de reprezentare ale numerelor: a) Sistemul zecimal: baza sistemului este 10 simbolii (digiţi) sistemului sunt cifrele

Διαβάστε περισσότερα

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.

5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE. 5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a V-a

Subiecte Clasa a V-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0

SERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1 Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VII-a

Subiecte Clasa a VII-a lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate

Διαβάστε περισσότερα

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal

Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia

Διαβάστε περισσότερα

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor

Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element

Διαβάστε περισσότερα

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate

Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare

Διαβάστε περισσότερα

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare

Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare

Διαβάστε περισσότερα

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"

Curs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică Gh. Asachi Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia

Διαβάστε περισσότερα

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006

Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006 Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale

Διαβάστε περισσότερα

10 REPREZENTAREA DIGITALĂ

10 REPREZENTAREA DIGITALĂ 10 REPREZENTAREA DIGITALĂ 10.1 Niveluri logice În reprezentarea digitală pentru exprimarea cantitativă a informaţiei se folosesc semnale electrice care pot avea doar două niveluri de tensiune: un nivel

Διαβάστε περισσότερα

1. BAZE ŞI SISTEME DE NUMERAŢIE REPREZENTAREA DATELOR ÎN CALCULATOR ELEMENTE DE TEORIA CODURILOR... 36

1. BAZE ŞI SISTEME DE NUMERAŢIE REPREZENTAREA DATELOR ÎN CALCULATOR ELEMENTE DE TEORIA CODURILOR... 36 CUPRINS 1. BAZE ŞI SISTEME DE NUMERAŢIE... 3 1.1 SISTEME ŞI BAZE DE NUMERAŢIE... 3 SUGESTII TEME DE LABORATOR... 19 1.2 EFECTUAREA OPERAŢIILOR ÎN DIFERITE BAZE DE NUMERAŢIE... 20 SUGESTII TEME DE LABORATOR...

Διαβάστε περισσότερα

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1

Sisteme diferenţiale liniare de ordinul 1 1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2

Διαβάστε περισσότερα

Integrala nedefinită (primitive)

Integrala nedefinită (primitive) nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei

Διαβάστε περισσότερα

Criptosisteme cu cheie publică III

Criptosisteme cu cheie publică III Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.

Διαβάστε περισσότερα

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea

a n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,

Διαβάστε περισσότερα

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %

a. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 % 1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul

Διαβάστε περισσότερα

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.

III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă. III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă

Laborator 11. Mulţimi Julia. Temă Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.

Διαβάστε περισσότερα

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.

COLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005. SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care

Διαβάστε περισσότερα

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE

5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE 5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.

Διαβάστε περισσότερα

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0

SEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0 Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,

Διαβάστε περισσότερα

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare

Planul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare 1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe

Διαβάστε περισσότερα

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile

V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ

Διαβάστε περισσότερα

2. Circuite logice 2.5. Sumatoare şi multiplicatoare. Copyright Paul GASNER

2. Circuite logice 2.5. Sumatoare şi multiplicatoare. Copyright Paul GASNER 2. Circuite logice 2.5. Sumatoare şi multiplicatoare Copyright Paul GASNER Adunarea în sistemul binar Adunarea se poate efectua în mod identic ca la adunarea obişnuită cu cifre arabe în sistemul zecimal

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 Şiruri de numere reale

Curs 2 Şiruri de numere reale Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un

Διαβάστε περισσότερα

4. CIRCUITE LOGICE ELEMENTRE 4.. CIRCUITE LOGICE CU COMPONENTE DISCRETE 4.. PORŢI LOGICE ELEMENTRE CU COMPONENTE PSIVE Componente electronice pasive sunt componente care nu au capacitatea de a amplifica

Διαβάστε περισσότερα

Laborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu

Laborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:

Διαβάστε περισσότερα

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.

Lucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b. Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,

Διαβάστε περισσότερα

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune

1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune .3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este

Διαβάστε περισσότερα

riptografie şi Securitate

riptografie şi Securitate riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare

Διαβάστε περισσότερα

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare

Matrice. Determinanti. Sisteme liniare Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice

Διαβάστε περισσότερα

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor

Seminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.

Διαβάστε περισσότερα

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.

Progresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica. Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a

Διαβάστε περισσότερα

4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice

4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici. Voltmetre electronice analogice 4. Măsurarea tensiunilor şi a curenţilor electrici oltmetre electronice analogice oltmetre de curent continuu Ampl.c.c. x FTJ Protectie Atenuator calibrat Atenuatorul calibrat divizor rezistiv R in const.

Διαβάστε περισσότερα

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2

5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2 5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării

Διαβάστε περισσότερα

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB

1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB 1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul

Διαβάστε περισσότερα

MULTIMEA NUMERELOR REALE

MULTIMEA NUMERELOR REALE www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).

Διαβάστε περισσότερα

Limbaje de Programare Curs 3 Iteraţia. Reprezentare internă. Operatori pe biţi

Limbaje de Programare Curs 3 Iteraţia. Reprezentare internă. Operatori pe biţi Limbaje de Programare Curs 3 Iteraţia. Reprezentare internă. Operatori pe biţi Dr. Casandra Holotescu Universitatea Politehnica Timişoara Ce discutăm azi... 1 Iteraţia 2 Reprezentare internă 3 Operaţii

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016

Examen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016 16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex

Διαβάστε περισσότερα

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)

Ecuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1) Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.

Διαβάστε περισσότερα

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011

Functii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011 Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)

Διαβάστε περισσότερα

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3

2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3 SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest

Διαβάστε περισσότερα

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale

2 Transformări liniare între spaţii finit dimensionale Transformări 1 Noţiunea de transformare liniară Proprietăţi. Operaţii Nucleul şi imagine Rangul şi defectul unei transformări 2 Matricea unei transformări Relaţia dintre rang şi defect Schimbarea matricei

Διαβάστε περισσότερα

Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument:

Erori si incertitudini de măsurare. Modele matematice Instrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măsurand instrument: Erori i incertitudini de măurare Sure: Modele matematice Intrument: proiectare, fabricaţie, Interacţiune măurandintrument: (tranfer informaţie tranfer energie) Influente externe: temperatura, preiune,

Διαβάστε περισσότερα

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a

SEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii

Διαβάστε περισσότερα

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice

Problema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător

Διαβάστε περισσότερα

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu,

Ovidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, vidiu Gabriel Avădănei, Florin Mihai Tufescu, Capitolul 6 Amplificatoare operaţionale 58. Să se calculeze coeficientul de amplificare în tensiune pentru amplficatorul inversor din fig.58, pentru care se

Διαβάστε περισσότερα

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu

Să se arate că n este număr par. Dan Nedeianu Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)

Διαβάστε περισσότερα

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca

Conice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este

Διαβάστε περισσότερα

Conf.dr.ing. Gabriela Ciuprina

Conf.dr.ing. Gabriela Ciuprina Conf.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic pentru disciplina Algoritmi Numerici, 2012 Cuprins 1 2 3 4 5 6 În

Διαβάστε περισσότερα

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)

BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3) BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul

Διαβάστε περισσότερα

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ

Concurs MATE-INFO UBB, 1 aprilie 2017 Proba scrisă la MATEMATICĂ UNIVERSITATEA BABEŞ-BOLYAI CLUJ-NAPOCA FACULTATEA DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ Concurs MATE-INFO UBB, aprilie 7 Proba scrisă la MATEMATICĂ SUBIECTUL I (3 puncte) ) (5 puncte) Fie matricele A = 3 4 9 8

Διαβάστε περισσότερα

10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea

Διαβάστε περισσότερα

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015

Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma

Διαβάστε περισσότερα

IV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI

IV. CUADRIPOLI SI FILTRE ELECTRICE CAP. 13. CUADRIPOLI ELECTRICI V. POL S FLTE ELETE P. 3. POL ELET reviar a) Forma fundamentala a ecuatiilor cuadripolilor si parametrii fundamentali: Prima forma fundamentala: doua forma fundamentala: b) Parametrii fundamentali au urmatoarele

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare

Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba

Διαβάστε περισσότερα

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2

2.1 Sfera. (EGS) ecuaţie care poartă denumirea de ecuaţia generală asferei. (EGS) reprezintă osferă cu centrul în punctul. 2 + p 2 .1 Sfera Definitia 1.1 Se numeşte sferă mulţimea tuturor punctelor din spaţiu pentru care distanţa la u punct fi numit centrul sferei este egalăcuunnumăr numit raza sferei. Fie centrul sferei C (a, b,

Διαβάστε περισσότερα

ELECTRONICĂ DIGITALĂ

ELECTRONICĂ DIGITALĂ prof. RUSU CONSTNTIN ELECTRONICĂ DIGITLĂ - UXILIR CURRICULR - BISTRIȚ 207 ISBN 978 606 837 65-6 CUPRINS PREFȚĂ... CPITOLUL. BZELE LGEBREI LOGICE... 2.. PREZENTRE SISTEMELOR DE NUMERŢIE... 2.. SISTEMUL

Διαβάστε περισσότερα

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite

Capitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval

Διαβάστε περισσότερα

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă

EDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a

Διαβάστε περισσότερα

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice

Definiţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice 1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă

Διαβάστε περισσότερα

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.

Toate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I. Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea

Διαβάστε περισσότερα

Principiul Inductiei Matematice.

Principiul Inductiei Matematice. Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei

Διαβάστε περισσότερα

2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER

2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare. Copyright Paul GASNER 2. Circuite logice 2.4. Decodoare. Multiplexoare Copyright Paul GASNER Definiţii Un decodor pe n bits are n intrări şi 2 n ieşiri; cele n intrări reprezintă un număr binar care determină în mod unic care

Διαβάστε περισσότερα

Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili

Valori limită privind SO2, NOx şi emisiile de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili Anexa 2.6.2-1 SO2, NOx şi de praf rezultate din operarea LPC în funcţie de diferite tipuri de combustibili de bioxid de sulf combustibil solid (mg/nm 3 ), conţinut de O 2 de 6% în gazele de ardere, pentru

Διαβάστε περισσότερα

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,

RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:, REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii

Διαβάστε περισσότερα

Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR

Curs 2 DIODE. CIRCUITE DR Curs 2 OE. CRCUTE R E CUPRN tructură. imbol Relația curent-tensiune Regimuri de funcționare Punct static de funcționare Parametrii diodei Modelul cu cădere de tensiune constantă Analiza circuitelor cu

Διαβάστε περισσότερα

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă

Spatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare

Διαβάστε περισσότερα

Ecuatii trigonometrice

Ecuatii trigonometrice Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos

Διαβάστε περισσότερα

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp

Tranzistoare bipolare şi cu efect de câmp apitolul 3 apitolul 3 26. Pentru circuitul de polarizare din fig. 26 se cunosc: = 5, = 5, = 2KΩ, = 5KΩ, iar pentru tranzistor se cunosc următorii parametrii: β = 200, 0 = 0, μa, = 0,6. a) ă se determine

Διαβάστε περισσότερα

Subiecte Clasa a VIII-a

Subiecte Clasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii

Διαβάστε περισσότερα

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial

1.4 Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial Algebră liniară, geometrie analitică şi diferenţială. Schimbarea bazei unui spaţiu vectorial După cum s-a văzut deja, într-un spaţiu vectorial V avem mai multe baze, iar un vector x V va avea câte un sistem

Διαβάστε περισσότερα

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].

Fig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie

Διαβάστε περισσότερα

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 4. Măsurarea parametrilor mărimilor electrice

Componente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 4. Măsurarea parametrilor mărimilor electrice Laborator 4 Măsurarea parametrilor mărimilor electrice Obiective: o Semnalul sinusoidal, o Semnalul dreptunghiular, o Semnalul triunghiular, o Generarea diferitelor semnale folosind placa multifuncţională

Διαβάστε περισσότερα

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011

Examen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011 Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)

Διαβάστε περισσότερα

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane

Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii

Διαβάστε περισσότερα

Transformări de frecvenţă

Transformări de frecvenţă Lucrarea 22 Tranformări de frecvenţă Scopul lucrării: prezentarea metodei de inteză bazate pe utilizarea tranformărilor de frecvenţă şi exemplificarea aceteia cu ajutorul unui filtru trece-jo de tip Sallen-Key.

Διαβάστε περισσότερα

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:

TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective: TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi

Διαβάστε περισσότερα

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1

* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1 FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile

Διαβάστε περισσότερα

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA

Profesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)

Διαβάστε περισσότερα

Aparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1

Aparate de măsurat. Măsurări electronice Rezumatul cursului 2. MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 Aparate de măsurat Măsurări electronice Rezumatul cursului 2 MEE - prof. dr. ing. Ioan D. Oltean 1 1. Aparate cu instrument magnetoelectric 2. Ampermetre şi voltmetre 3. Ohmetre cu instrument magnetoelectric

Διαβάστε περισσότερα

2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh. Copyright Paul GASNER 1

2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh. Copyright Paul GASNER 1 2. Circuite logice 2.2. Diagrame Karnaugh Copyright Paul GASNER Diagrame Karnaugh Tehnică de simplificare a unei expresii în sumă minimă de produse (minimal sum of products MSP): Există un număr minim

Διαβάστε περισσότερα