Lucrarea de laborator nr. 2
|
|
- Ευφημία Βλαβιανός
- 5 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 Metode Numerice Lucrarea de laborator nr. I. Scopul lucrării Reprezentarea numerelor reale în calculator. Erori de rotunjire. II. III. Conţinutul lucrării. Reprezentarea numerelor reale sub formă normalizată.. Reprezentarea numerelor reale în virgulă mobilă. 3. Erori care apar ca urmare a limitelor de reprezentare. Prezentarea lucrării III.. Reprezentarea numerelor reale sub formă normalizată. Forma normalizată a un număr real nenul x este o presupune următoarea reprezentare x = m b er, unde b = baza m = mantisa er = exponentul cu 0, b m b < b (ceea ce înseamnă că mantisa este un număr subunitar cu prima cifră după virgulă diferită de zero). Pentru a scrie numărul sub formă normalizată trebuie găsite deci mantisa şi exponentul. Mantisa se obţine deplasând virgula în faţa primei cifre nenule ce apare în scrierea numărului (în baza b). Exponentul se ia egal cu numărul de poziţii cu care s-a deplasat virgula precedat de semnul + dacă deplasarea s-a făcut de la dreapta la stânga, şi de semnul dacă deplasarea s-a făcut de la stânga la dreapta. Astfel dacă x este reprezentat în baza b sub forma x b = ±a n a n- a a 0,a - a - a -m, cu a n 0, atunci forma normalizată este x b = ±0,a n a n- a a 0 a - a - a -m b n+ dacă x este reprezentat în baza b sub forma x b = ±0,a - a - a -m, cu a - 0, atunci forma normalizată este 7
2 Mădălina Roxana Buneci x b = ±0,a - a - a -m. b 0 dacă x este reprezentat în baza b sub forma x b = ±0,a - a -i a -i- a -m,... cu a - = = a -i = 0 şi a -i- 0, atunci forma normalizată este x b = ±0,a -i- a -i- a -m. b -i III.. Reprezentarea numerelor reale în virgulă mobilă. Una dintre cele mai răspândite reprezentări internă (în PC-uri) a numerelor reale este reprezentarea în virgulă mobilă. Reprezentarea în virgulă mobilă presupune existenţa unei baze b (întotdeauna presupusă pară) şi a unei precizii p. Un număr în virgulă mobilă este un număr de forma ( p + + )b E, 0 p k < b, pentru orice k = 0,p, E Z. b b b Mai precis, denumirea de număr în virgulă mobilă va fi utilizată pentru numerele reale care se reprezintă exact sub forma de mai sus. În această reprezentare 0,,, p- se numesc cifre semnificative. Fiecărei reprezentări în virgulă mobilă i se asociază două numere întregi, E min şi E max, ce reprezintă valorile limită permise pentru exponentul E (E min E E max ). Reprezentarea în virgulă mobilă se numeşte normalizată dacă se impune condiţia ca cifra cea mai semnificativă 0 să fie nenulă. Reprezentarea normalizată are următoarele avantaje: reprezentarea fiecărui număr este unică nu de pierd cifre pentru reprezentarea primele zerourilor de la dreapta virgulei în sistemele binare (corespunzătoare bazei b =) prima cifră poate să nu mai fie stocată (deoarece este întotdeauna ). Restricţia 0 0, face imposibilă reprezentarea lui zero. O reprezentare naturală a lui zero este,0 b E min. Numărul de numere în virgulă mobilă normalizată este (b-)b p- (E max - E min +) +. Cel mai mic număr pozitiv normalizat se notează UFL (underflow level) şi este E min UFL = b. Cel mai mare număr normalizat se notează OFL (overflow level) şi este b b b OFL = (b ) E b max p b b b 8
3 Metode Numerice E max + = b ( - p ). b Ca urmare nu toate numerele reale sunt reprezentabile exact. Numerele prea mari pentru a fi reprezentate corespund unei depăşiri superioare de capacitate (overflow), iar numerele prea mici unei depăşiri inferioare de capacitate (underflow). Pentru a fi reprezentat un număr real x este aproximat cu un număr în virgulă mobilă pe care convenim să-l notăm fl(x). Aproximarea lui x prin fl(x) poartă numele de rotunjire, iar eroarea introdusă de eroare de rotunjire. Există mai multe modalităţi pentru rotunjire: trunchiere (rotunjire prin tăiere): se reţin primele p cifre din reprezentarea normalizată a lui x = ( p )b E ; deci p b b fl(x) = ( p b b + + )b E. p b rotunjire la cel mai apropiat număr în virgulă mobilă (rotunjire la par): fl(x) este cel mai apropiat număr în virgulă mobilă de x; în caz de egalitate (dacă există două numere în virgulă mobilă egal depărtate de x) se consideră acel număr în virgulă mobilă a cărui ultimă cifră este pară. Rotunjirea la par determină o acurateţe mai mare a reprezentării. Acurateţea sistemului în virgulă mobilă este caracterizată de aşa numita precizie a maşinii (sau epsilon maşină), notată ε mach. Precizia a maşinii este definită ca cel mai mic număr pozitiv ε cu proprietatea că fl(.+ ε) >. Dacă regula de rotunjire este trunchierea atunci ε mach = b - p, iar dacă regula de rotunjire este rotunjirea la par atunci b ε mach = b - p. Eroarea relativă maximă cu care fl(x) aproximează x este dată de fl( x) x ε mach. x Deşi amândouă sunt "mici", precizia maşinii (ε mach ) şi cel mai mic număr pozitiv normalizat UFL (în reprezentare în virgulă mobilă fixată) nu trebuie confundate. De obicei E min < -p şi deci între ele există relaţia 0 < UFL < ε mach < OFL. 9
4 Mădălina Roxana Buneci Fie x un număr real aproximat de fl(x) = ( p b b + + )b E. p b Exponentul E poate lua atât valori pozitive cât şi valori negative. Cel mai adesea exponentul este decalat şi reprezentat ca un număr întreg pozitiv (fără semn). Aceasta deoarece ordinea lexicografică (stabilită între şirurile de cifre din reprezentare) şi ordinea naturală sunt compatibile în cazul numerelor întregi fără semn. În consecinţă compararea exponenţilor (şi a numerelor reale corespunzătoare) poate fi făcută eficient. Astfel reprezentarea internă a unui număr real x aproximat prin fl(x) = ( p b b + + )b E se face p b sub forma 0 s ed 0 p- unde s este semnul lui x (se completează cu 0 dacă semnul este + şi cu dacă semnul este -). iar ed este exponentul obţinut prin adunarea unui decalaj D la exponentul E: ed = E + D. Standardul IEEE-754 IEEE este acronim pentru Institute of Electrical and Electronics Engineers, o organizaţie ce are drept principal scop elaborarea standardelor pentru produsele hardware şi software. Standardul IEEE-754 se referă la aritmetica în virgulă mobilă în sistemele binare. Acest standard precizează formatul de reprezentare în memorie în simplă şi dublă precizie a unui număr real. Reprezentarea se face în virgulă mobilă normalizată: x fl(x) = ( + + p + + ) E, p = 4, 53. p Sunt admise şi aşa numitele numere denormalizate ("denormalized floatingpoint numbers"): (0 + + p + + ) E, p = 4, 53, p cu cel puţin una dintre cifrele binare,,, p- nenule. Standardul IEEE-754 defineşte două valori speciale pentru situaţii excepţionale: Inf, pe post de "infinit" ("infinity"), pentru rezultatul împărţirii unui număr finit la zero.
5 Metode Numerice NaN, pe post de "non-număr" ("not a number"), pentru rezultatul următoarelor operaţii Adunare : Inf + (-Inf) Înmulţire: 0 Inf Împărţire: 0/0 sau Inf/Inf Calculul restul împărţirii unui număr x la 0 sau a lui Inf la x Calculul rădăcinii pătrate x pentru x < 0. Scopul acestor valori este acela de a permite continuarea calculului. Un număr în virgulă mobilă ( p + + p ) E se reprezintă intern conform IEEE-754 sub forma s ed p- unde pentru s se rezervă un bit ce se completează cu 0 dacă numărul este pozitiv şi cu dacă numărul este negativ, iar pentru exponentul decalat ed se rezervă k biţi (k=8, ). Decalajul considerat este D = k- -, deci ed = E + k- -, Pe k biţi se pot reprezenta ca numere întregi fără semn k valori, de la 0 la k. Valorile 0 şi k sunt rezervate pentru numerele denormalizate şi pentru valorile speciale Inf şi Nan. Deci pentru un număr în virgulă mobilă normalizată trebuie îndeplinită condiţia ed k -. De aici rezultă că - k- + E k- -. De exemplu, pe k = 8 biţi se pot reprezenta numere întregi fără semn de la 0 la 55. Decalajul considerat este 7 - = 7, deci exponentul E ia valori de la 6 la 7. Numărul de biţi rezervaţi pentru exponent determină intervalul de numere reale reprezentabile în calculator. Numărul de biţi rezervaţi pentru mantisă determină precizia de reprezentare (gradul de detaliere) a numerelor. Reprezentarea ( p + + p ) E fiind normalizată, există siguranţa că 0 =, ceea ce permite omiterea sa (bit ascuns) pentru creşterea preciziei de reprezentare, dar complică prelucrarea informaţiei. Formatele de reprezentare a numerelor în virgulă mobilă (conform standardului IEEE 754) sunt: simplă precizie (single-precission) pe 3 de biţi: bit pentru semnul mantisei 8 biţi pentru exponentul decalat (E min = -6, E max = 7) 3 biţi pentru mantisă (p = 4, 0 = se omite)
6 Mădălina Roxana Buneci dublă precizie (double-precission) pe 64 de biţi bit pentru semnul mantisei biţi pentru exponentul decalat (E min = -0, E max = 03) 5 biţi pentru mantisă (p = 53, 0 = se omite) Regula de rotunjire este rotunjirea la par. Deci pentru simplă precizie, ε mach = (7 cifre zecimale semnificative). dublă precizie, ε mach = (6 cifre zecimale semnificative). Considerăm o reprezentare în memorie, în simplă precizie: s e 7 e 6 e 5 e 4 e 3 e e e 0 3 Fie ed = e 0 + e + e + + e 7 7 şi m = Valoarea v reprezentată se determină după cum urmează: dacă 0 < ed < 55, atunci v = (-) s ( + m) ed - 7. dacă ed = 0, k = 0 pentru orice k=, 3 şi s = 0, atunci v = 0. dacă ed = 0, k = 0 pentru orice k=, 3 şi s =, atunci v = - 0. dacă ed = 0 şi există k 0, atunci v = (-) s m - 6 ; v este o valoare denormalizată dacă ed = 55, k = 0 pentru orice k=, 3 şi s = 0, atunci v = Inf. dacă ed = 55, k = 0 pentru orice k=, 3 şi s =, atunci v = - Inf. dacă ed = 55 şi există k 0, atunci v = NaN. Fie reprezentarea în memorie, în dublă precizie: s e 0 e 9 e e 0 5 Fie ed = e 0 + e + e + + e 0 0 şi m = Valoarea v reprezentată se determină după cum urmează: dacă 0 < ed < 047, atunci v = (-) s ( + m) ed - 03.
7 Metode Numerice dacă ed = 0, k = 0 pentru orice k=, 5 şi s = 0, atunci v = 0. dacă ed = 0, k = 0 pentru orice k=, 5 şi s =, atunci v = - 0. dacă ed = 0 şi există k 0, atunci v = (-) s m - 0 ; v este o valoare denormalizată dacă ed = 047, k = 0 pentru orice k=, 5 şi s = 0, atunci v = Inf. dacă ed = 047, k = 0 pentru orice k=, 5 şi s =, atunci v = -Inf. dacă ed = 047 şi există k 0, atunci v = NaN. Exemple: Să se reprezinte în simplă precizie numerele: 8,5-7, 5 0,, x = 8,5 x = 8 + 0,5 8 = = = ,5 = 0,30 = 0 + 0,3 0,3 = 0,6 = 0 + 0,6 0,6 =, = + 0, 0, = 0,4 = 0 + 0,4 0,4 = 0,8 = 0 + 0,8 0,8 =,6 = + 0,6 x = 0000, Forma normalizată: x = 0, =, ed = = 35, ed = m = [0] (am omis primul bit =, iar cei trei biţi din paranteză sunt utilizaţi pentru rotunjire la par) fl(x) =, Reprezentare în virgulă mobilă, simplă precizie, (cu bit ascuns) pentru 8,5: Deci reprezentării cu bit ascuns a lui 8,5 îi corespunde în hexazecimal. x = - 7, 5 x = 7 + 0,5 7 = = = 0 3
8 Mădălina Roxana Buneci 0,5 = - = 0,0 x = 0,0 Forma normalizată: x = 0,00 5 =,00 4 ed = = 3, ed = Reprezentare în virgulă mobilă, simplă precizie (cu bit ascuns) pentru 7,5: C D A Deci în reprezentării cu bit ascuns a lui -7,5 îi corespunde CDA0000 în hexazecimal. x = 0, 0, = 0, 0, = 0,4 0,4 = 0,8 0,8 =,6 = + 0,6 0,6 =, = + 0, 0, = 0,4 0, 0 = 0, x = 0, =, fl(x) =, (după cei 3 de biţi ai mantisei urmează 0, şi deci rotunjirea se face prin adăugarea unei unităţi). ed = = 3 = , ed = 0 Reprezentare în virgulă mobilă, simplă precizie (cu bit ascuns) pentru 0,: D C C C C C D Deci în reprezentării cu bit ascuns a lui 0, îi corespunde 3DCCCCCD în hexazecimal. x =,, = + 0, 0, = 0,4 0,4 = 0,8 0,8 =,6 = + 0,6 0,6 =, = + 0, 0, = 0,4 x =, x =,
9 Metode Numerice fl(x) =, (după cei 3 de biţi ai mantisei urmează 00, deci rotunjirea se face astfel încât ultimul bit să aibă valoare pară). ed = = 7 = , ed = Reprezentare în virgulă mobilă, simplă precizie (cu bit ascuns) pentru,: F A Deci în reprezentării cu bit ascuns a lui, îi corespunde 3F99999A în hexazecimal. Următorul program în C verifică reprezentările de mai sus. #include <stdio.h> #include <conio.h> void main(){ long int *i; float f=8.5,f=-7.5, f3=0., f4=.; clrscr(); i=(long int*) &f; printf("\nnumar in virgula mobila:%f\n\tformat intern %08lX (hexazecimal)",f,*i); i=(long int*) &f; printf("\nnumar in virgula mobila:%f\n\tformat intern %08lX (hexazecimal)",f,*i); i=(long int*) &f3; printf("\nnumar in virgula mobila:%f\n\tformat intern %08lX (hexazecimal)",f3,*i); i=(long int*) &f4; printf("\nnumar in virgula mobila:%f\n\tformat intern %08lX (hexazecimal)",f4,*i); getch(); } Programul afişează Numar in virgula mobila: Format intern (hexazecimal) Numar in virgula mobila: Format intern CDA0000 (hexazecimal) Numar in virgula mobila: Format intern 3DCCCCCD (hexazecimal) Numar in virgula mobila: Format intern 3F99999A (hexazecimal) 5
10 Mădălina Roxana Buneci III.3. Erori care apar ca urmare a limitelor de reprezentare. Din secţiunea precedentă rezultă că nu toate numerele reale pot fi reprezentate exact într-un sistem în virgulă mobilă. De asemenea în urma evaluării unei expresii ai cărei operanzi sunt reprezentabili rezultatul obţinut nu este neapărat reprezentabil. În mod ideal x flop y = fl(x op y) unde op este un operator binar (+, -, *, /), iar flop desemnează corespondentul operatorului respectiv în aritmetica în virgulă mobilă. Sistemele ce satisfac standardul IEEE ating acest ideal în situaţia în care x op y se găseşte în intervalul de numere reale reprezentabile [UFL, OFL]. Depăşirea superioară de capacitate (overflow) cauzează de obicei probleme mai serioase decât depăşirea inferioară de capacitate (underflow), deoarece nu există nici o aproximaţie bună pentru un număr real oarecare "mare". Un număr real foarte mic poate fi în mod rezonabil aproximat cu zero. Pe multe sisteme de calcul depăşirea superioară de capacitate este fatală, în timp ce în caz de depăşire inferioară de capacitate, numărul respectiv este asociat cu zero. Anumite legi ale aritmeticii reale nu sunt valabile într-un sistem în virgulă mobilă. Astfel adunarea şi înmulţirea în virgulă mobilă sunt comutative, dar nu asociative. De exemplu, dacă ε este un număr pozitiv mai mic decât ε mach, dar mai mare decât ε mach,/, atunci ( + ε) + ε =, iar + (ε + ε) >. În cazul scăderii a două numere reale x şi y, poate apărea următorul fenomen (catastrophic cancellation) 6 ( fl( x) fl( y) ) fl( x y) fl( x y) ε mach, dacă fl(x) este egal (sau foarte apropiat de) fl(y). În următorul program (în C) aproximăm sin(x) printr-o sumă parţială a seriei n= 0 n ( ) ( n + )! x n+ Seria fiind alternantă şi convergentă, o sumă parţială de ordin n, aproximează suma seriei (i.e. sin(x)) cu o eroare absolută maximă de #include<stdio.h> #include<conio.h> n+ x. ( n + )!
11 Metode Numerice #include<math.h> void main(){ float x,s,t,eps,x; int i,n; clrscr(); printf("x=");scanf("%f",&x); printf("eroarea=");scanf("%f",&eps); t=x;s=0;i=; x=x*x; while (fabs(t)>=eps){ s+=t;printf("\n%f",s); t=-t*(x/(4*i*i+*i)); i++; } printf("\nsin(%f) = %f",x,s); printf("\nsin(%f) = %f",x,sin(x)); getch(); } Pentru x= şi eroare 0-7 se obţine aproximaţia corectă a lui sin(). Pentru x = 40 şi eroare 0-7 se obţine aproximaţia a lui sin(40)! Valoarea corectă este Acest rezultat se datorează fenomenului de reducere (catastrophic cancellation). Programul de mai jos reprezintă versiunea în Pascal pentru calculul aproximativ al lui sin(x): var x,s,t,eps,x:real; i:integer; begin write('x=');readln(x); write('eroare=');readln(eps); s:=0;t:=x;x:=x*x;i:=; while abs(t)>=eps do begin s:=s+t; writeln(i,' ',s); t:=-t*(x/(4*i*i+*i)); i:=i+; end; writeln('sin(',x,')=',s); writeln('sin(',x,')=',sin(x)); readln end. Probleme propuse 7
12 Mădălina Roxana Buneci ) Daţi reprezentarea internă în simplă precizie a numărului x = +7,5. ) Găsiţi numărul maşină ce corespunde reprezentării interne în simplă precizie AE5000 (în hexazecimal). 3) Scrieţi un program ce calculează sume parţiale ale seriei armonice n= n Observaţi că în aritmetica virgulei mobile această serie este convergentă! (Este cunoscut că seria armonică este divergentă). Posibile explicaţii ale faptului că sumele parţiale n k= determină un şir staţionar în aritmetica virgulei mobile sunt: are loc o depăşire superioară de capacitate la evaluarea unei sume parţiale are loc o depăşire inferioară de capacitate la evaluarea lui /n. sumele parţiale nu se mai modifică în momentul în care /n devine neglijabil relativ la suma parţială n < ε k n mach k= k 8
III.2.2. Reprezentarea în virgulă mobilă
III... Reprezentarea în virgulă mobilă Una dintre cele mai răspândite reprezentări internă (în PC-uri) a numerelor reale este reprezentarea în virgulă mobilă. Reprezentarea în virgulă mobilă presupune
Διαβάστε περισσότεραIII. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul
Metode Numerice Curs 3 III. Reprezentarea informaţiei în sistemele de calcul III.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi III. 1.1. Reprezentarea internă a numerelor întregi fără semn (pozitive) Reprezentarea
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραSERII NUMERICE. Definiţia 3.1. Fie (a n ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0
SERII NUMERICE Definiţia 3.1. Fie ( ) n n0 (n 0 IN) un şir de numere reale şi (s n ) n n0 şirul definit prin: s n0 = 0, s n0 +1 = 0 + 0 +1, s n0 +2 = 0 + 0 +1 + 0 +2,.......................................
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραV.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile
Metode de Optimizare Curs V.7. Condiţii necesare de optimalitate cazul funcţiilor diferenţiabile Propoziţie 7. (Fritz-John). Fie X o submulţime deschisă a lui R n, f:x R o funcţie de clasă C şi ϕ = (ϕ,ϕ
Διαβάστε περισσότεραMetode iterative pentru probleme neliniare - contractii
Metode iterative pentru probleme neliniare - contractii Problemele neliniare sunt in general rezolvate prin metode iterative si analiza convergentei acestor metode este o problema importanta. 1 Contractii
Διαβάστε περισσότεραMARCAREA REZISTOARELOR
1.2. MARCAREA REZISTOARELOR 1.2.1 MARCARE DIRECTĂ PRIN COD ALFANUMERIC. Acest cod este format din una sau mai multe cifre şi o literă. Litera poate fi plasată după grupul de cifre (situaţie în care valoarea
Διαβάστε περισσότεραCurs 1 Şiruri de numere reale
Bibliografie G. Chiorescu, Analiză matematică. Teorie şi probleme. Calcul diferenţial, Editura PIM, Iaşi, 2006. R. Luca-Tudorache, Analiză matematică, Editura Tehnopress, Iaşi, 2005. M. Nicolescu, N. Roşculeţ,
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
Subiecte lasa a VIII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul
Διαβάστε περισσότεραAsupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 2006
Asupra unei inegalităţi date la barajul OBMJ 006 Mircea Lascu şi Cezar Lupu La cel de-al cincilea baraj de Juniori din data de 0 mai 006 a fost dată următoarea inegalitate: Fie x, y, z trei numere reale
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor X) functia f 1
Functii definitie proprietati grafic functii elementare A. Definitii proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi X si Y spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe X cu valori in Y daca fiecarui
Διαβάστε περισσότεραSisteme de numeraţie
Sisteme de numeraţie F.Boian, Bazele matematice ale calculatoarelor, UBB Cluj-Napoca, 2002 Sistem de numeraţie - totalitatea regulilor folosite pentru scrierea numerelor cu ajutorul unor simboluri (cifre).
Διαβάστε περισσότεραFunctii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor
Functii definitie, proprietati, grafic, functii elementare A. Definitii, proprietatile functiilor. Fiind date doua multimi si spunem ca am definit o functie (aplicatie) pe cu valori in daca fiecarui element
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραCurs 14 Funcţii implicite. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi"
Curs 14 Funcţii implicite Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie F : D R 2 R o funcţie de două variabile şi fie ecuaţia F (x, y) = 0. (1) Problemă În ce condiţii ecuaţia
Διαβάστε περισσότεραSisteme diferenţiale liniare de ordinul 1
1 Metoda eliminării 2 Cazul valorilor proprii reale Cazul valorilor proprii nereale 3 Catedra de Matematică 2011 Forma generală a unui sistem liniar Considerăm sistemul y 1 (x) = a 11y 1 (x) + a 12 y 2
Διαβάστε περισσότεραMetode de interpolare bazate pe diferenţe divizate
Metode de interpolare bazate pe diferenţe divizate Radu Trîmbiţaş 4 octombrie 2005 1 Forma Newton a polinomului de interpolare Lagrange Algoritmul nostru se bazează pe forma Newton a polinomului de interpolare
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a V-a
(40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii
Διαβάστε περισσότερα1. Reprezentarea numerelor şi operaţii aritmetice în sisteme de calcul.
1. Reprezentarea numerelor şi operaţii aritmetice în sisteme de calcul. 1.1. Sisteme de reprezentare ale numerelor: a) Sistemul zecimal: baza sistemului este 10 simbolii (digiţi) sistemului sunt cifrele
Διαβάστε περισσότεραCurs 2 Şiruri de numere reale
Curs 2 Şiruri de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Convergenţă şi mărginire Teoremă Orice şir convergent este mărginit. Demonstraţie Fie (x n ) n 0 un
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VII-a
lasa a VII Lumina Math Intrebari Subiecte lasa a VII-a (40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότεραDISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE
DISTANŢA DINTRE DOUĂ DREPTE NECOPLANARE ABSTRACT. Materialul prezintă o modalitate de a afla distanţa dintre două drepte necoplanare folosind volumul tetraedrului. Lecţia se adresează clasei a VIII-a Data:
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραAplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal
Aplicaţii ale principiului I al termodinamicii la gazul ideal Principiul I al termodinamicii exprimă legea conservării şi energiei dintr-o formă în alta şi se exprimă prin relaţia: ΔUQ-L, unde: ΔU-variaţia
Διαβάστε περισσότεραLucrare. Varianta aprilie I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2. sau p b.
Lucrare Soluţii 28 aprilie 2015 Varianta 1 I 1 Definiţi noţiunile de număr prim şi număr ireductibil. Soluţie. Vezi Curs 6 Definiţiile 1 şi 2 Definiţie. Numărul întreg p se numeşte număr prim dacă p 0,
Διαβάστε περισσότερα1.3. Erori în calculele numerice
Prof.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic pentru disciplina Metode numerice, 2017-2018 1/41 Cuprins Caracterizarea
Διαβάστε περισσότεραCOLEGIUL NATIONAL CONSTANTIN CARABELLA TARGOVISTE. CONCURSUL JUDETEAN DE MATEMATICA CEZAR IVANESCU Editia a VI-a 26 februarie 2005.
SUBIECTUL Editia a VI-a 6 februarie 005 CLASA a V-a Fie A = x N 005 x 007 si B = y N y 003 005 3 3 a) Specificati cel mai mic element al multimii A si cel mai mare element al multimii B. b)stabiliti care
Διαβάστε περισσότεραNoţiuni introductive
Metode Numerice Noţiuni introductive Erori. Condiţionare numerică. Stabilitatea algoritmilor. Complexitatea algoritmilor. Metodele numerice reprezintă tehnici prin care problemele matematice sunt reformulate
Διαβάστε περισσότεραCriptosisteme cu cheie publică III
Criptosisteme cu cheie publică III Anul II Aprilie 2017 Problema rucsacului ( knapsack problem ) Considerăm un număr natural V > 0 şi o mulţime finită de numere naturale pozitive {v 0, v 1,..., v k 1 }.
Διαβάστε περισσότεραConf.dr.ing. Gabriela Ciuprina
Conf.dr.ing. Universitatea "Politehnica" Bucureşti, Facultatea de Inginerie Electrică, Departamentul de Electrotehnică Suport didactic pentru disciplina Algoritmi Numerici, 2012 Cuprins 1 2 3 4 5 6 În
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραDefiniţia generală Cazul 1. Elipsa şi hiperbola Cercul Cazul 2. Parabola Reprezentari parametrice ale conicelor Tangente la conice
1 Conice pe ecuaţii reduse 2 Conice pe ecuaţii reduse Definiţie Numim conica locul geometric al punctelor din plan pentru care raportul distantelor la un punct fix F şi la o dreaptă fixă (D) este o constantă
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4. Integrale improprii Integrale cu limite de integrare infinite
Capitolul 4 Integrale improprii 7-8 În cadrul studiului integrabilităţii iemann a unei funcţii s-au evidenţiat douăcondiţii esenţiale:. funcţia :[ ] este definită peintervalînchis şi mărginit (interval
Διαβάστε περισσότεραEsalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii.
Seminarul 1 Esalonul Redus pe Linii (ERL). Subspatii. 1.1 Breviar teoretic 1.1.1 Esalonul Redus pe Linii (ERL) Definitia 1. O matrice A L R mxn este in forma de Esalon Redus pe Linii (ERL), daca indeplineste
Διαβάστε περισσότεραLaborator 11. Mulţimi Julia. Temă
Laborator 11 Mulţimi Julia. Temă 1. Clasa JuliaGreen. Să considerăm clasa JuliaGreen dată de exemplu la curs pentru metoda locului final şi să schimbăm numărul de iteraţii nriter = 100 în nriter = 101.
Διαβάστε περισσότεραBARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 28 mai 2012 (barajul 3)
BARAJ DE JUNIORI,,Euclid Cipru, 8 mi 0 (brjul ) Problem Arătţi că dcă, b, c sunt numere rele cre verifică + b + c =, tunci re loc ineglitte xy + yz + zx Problem Fie şi b numere nturle nenule Dcă numărul
Διαβάστε περισσότεραriptografie şi Securitate
riptografie şi Securitate - Prelegerea 12 - Scheme de criptare CCA sigure Adela Georgescu, Ruxandra F. Olimid Facultatea de Matematică şi Informatică Universitatea din Bucureşti Cuprins 1. Schemă de criptare
Διαβάστε περισσότεραSEMINAR 14. Funcţii de mai multe variabile (continuare) ( = 1 z(x,y) x = 0. x = f. x + f. y = f. = x. = 1 y. y = x ( y = = 0
Facultatea de Hidrotehnică, Geodezie şi Ingineria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucian MATICIUC SEMINAR 4 Funcţii de mai multe variabile continuare). Să se arate că funcţia z,
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραI. Noţiuni introductive
Metode Numerice Curs 1 I. Noţiuni introductive Metodele numerice reprezintă tehnici prin care problemele matematice sunt reformulate astfel încât să fie rezolvate numai prin operaţii aritmetice. Prin trecerea
Διαβάστε περισσότεραSeminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare
Seminar 5 Analiza stabilității sistemelor liniare Noțiuni teoretice Criteriul Hurwitz de analiză a stabilității sistemelor liniare În cazul sistemelor liniare, stabilitatea este o condiție de localizare
Διαβάστε περισσότεραProgresii aritmetice si geometrice. Progresia aritmetica.
Progresii aritmetice si geometrice Progresia aritmetica. Definitia 1. Sirul numeric (a n ) n N se numeste progresie aritmetica, daca exista un numar real d, numit ratia progresia, astfel incat a n+1 a
Διαβάστε περισσότερα2. Circuite logice 2.5. Sumatoare şi multiplicatoare. Copyright Paul GASNER
2. Circuite logice 2.5. Sumatoare şi multiplicatoare Copyright Paul GASNER Adunarea în sistemul binar Adunarea se poate efectua în mod identic ca la adunarea obişnuită cu cifre arabe în sistemul zecimal
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότερα5.5. REZOLVAREA CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE
5.5. A CIRCUITELOR CU TRANZISTOARE BIPOLARE PROBLEMA 1. În circuitul din figura 5.54 se cunosc valorile: μa a. Valoarea intensității curentului de colector I C. b. Valoarea tensiunii bază-emitor U BE.
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N ( ) Trigonometrie. \ kπ; k. este periodică (perioada principală T * =π ), impară, nemărginită.
Trignmetrie Funcţia sinus sin : [, ] este peridică (periada principală T * = ), impară, mărginită. Funcţia arcsinus arcsin : [, ], este impară, mărginită, bijectivă. Funcţia csinus cs : [, ] este peridică
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R. 4.1 Proprietăţi topologice ale lui R Puncte de acumulare
Capitolul 4 PROPRIETĂŢI TOPOLOGICE ŞI DE NUMĂRARE ALE LUI R În cele ce urmează, vom studia unele proprietăţi ale mulţimilor din R. Astfel, vom caracteriza locul" unui punct în cadrul unei mulţimi (în limba
Διαβάστε περισσότεραSă se arate că n este număr par. Dan Nedeianu
Primul test de selecție pentru juniori I. Să se determine numerele prime p, q, r cu proprietatea că 1 p + 1 q + 1 r 1. Fie ABCD un patrulater convex cu m( BCD) = 10, m( CBA) = 45, m( CBD) = 15 și m( CAB)
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...3
SEMINAR 2 SISTEME DE FRŢE CNCURENTE CUPRINS 2. Sisteme de forţe concurente...1 Cuprins...1 Introducere...1 2.1. Aspecte teoretice...2 2.2. Aplicaţii rezolvate...3 2. Sisteme de forţe concurente În acest
Διαβάστε περισσότεραConice. Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea. U.T. Cluj-Napoca
Conice Lect. dr. Constantin-Cosmin Todea U.T. Cluj-Napoca Definiţie: Se numeşte curbă algebrică plană mulţimea punctelor din plan de ecuaţie implicită de forma (C) : F (x, y) = 0 în care funcţia F este
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul Inductiei Matematice.
Principiul Inductiei Matematice. Principiul inductiei matematice constituie un mijloc important de demonstratie in matematica a propozitiilor (afirmatiilor) ce depind de argument natural. Metoda inductiei
Διαβάστε περισσότεραRĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii transversale, scrisă faţă de una dintre axele de inerţie principale:,
REZISTENTA MATERIALELOR 1. Ce este modulul de rezistenţă? Exemplificaţi pentru o secţiune dreptunghiulară, respectiv dublu T. RĂSPUNS Modulul de rezistenţă este o caracteristică geometrică a secţiunii
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότεραLaborator 1: INTRODUCERE ÎN ALGORITMI. Întocmit de: Claudia Pârloagă. Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu
INTRODUCERE Laborator 1: ÎN ALGORITMI Întocmit de: Claudia Pârloagă Îndrumător: Asist. Drd. Gabriel Danciu I. NOŢIUNI TEORETICE A. Sortarea prin selecţie Date de intrare: un şir A, de date Date de ieşire:
Διαβάστε περισσότεραMULTIMEA NUMERELOR REALE
www.webmteinfo.com cu noi totul pre mi usor MULTIMEA NUMERELOR REALE office@ webmteinfo.com 1.1 Rdcin ptrt unui numr nturl ptrt perfect Ptrtul unui numr rtionl este totdeun pozitiv su zero (dic nenegtiv).
Διαβάστε περισσότεραprin egalizarea histogramei
Lucrarea 4 Îmbunătăţirea imaginilor prin egalizarea histogramei BREVIAR TEORETIC Tehnicile de îmbunătăţire a imaginilor bazate pe calculul histogramei modifică histograma astfel încât aceasta să aibă o
Διαβάστε περισσότεραFunctii Breviar teoretic 8 ianuarie ianuarie 2011
Functii Breviar teoretic 8 ianuarie 011 15 ianuarie 011 I Fie I, interval si f : I 1) a) functia f este (strict) crescatoare pe I daca x, y I, x< y ( f( x) < f( y)), f( x) f( y) b) functia f este (strict)
Διαβάστε περισσότεραConice - Câteva proprietǎţi elementare
Conice - Câteva proprietǎţi elementare lect.dr. Mihai Chiş Facultatea de Matematicǎ şi Informaticǎ Universitatea de Vest din Timişoara Viitori Olimpici ediţia a 5-a, etapa I, clasa a XII-a 1 Definiţii
Διαβάστε περισσότεραAl cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015
Societatea de Ştiinţe Matematice din România Ministerul Educaţiei Naţionale Al cincilea baraj de selecţie pentru OBMJ Bucureşti, 28 mai 2015 Problema 1. Arătaţi că numărul 1 se poate reprezenta ca suma
Διαβάστε περισσότερα1. BAZE ŞI SISTEME DE NUMERAŢIE REPREZENTAREA DATELOR ÎN CALCULATOR ELEMENTE DE TEORIA CODURILOR... 36
CUPRINS 1. BAZE ŞI SISTEME DE NUMERAŢIE... 3 1.1 SISTEME ŞI BAZE DE NUMERAŢIE... 3 SUGESTII TEME DE LABORATOR... 19 1.2 EFECTUAREA OPERAŢIILOR ÎN DIFERITE BAZE DE NUMERAŢIE... 20 SUGESTII TEME DE LABORATOR...
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa: ianuarie 2016
16-17 ianuarie 2016 Problema 1. Se consideră graful G = pk n (p, n N, p 2, n 3). Unul din vârfurile lui G se uneşte cu câte un vârf din fiecare graf complet care nu-l conţine, obţinându-se un graf conex
Διαβάστε περισσότεραEDITURA PARALELA 45 MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ. Clasa a X-a Ediţia a II-a, revizuită. pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă
Coordonatori DANA HEUBERGER NICOLAE MUŞUROIA Nicolae Muşuroia Gheorghe Boroica Vasile Pop Dana Heuberger Florin Bojor MATEMATICĂ DE EXCELENŢĂ pentru concursuri, olimpiade şi centre de excelenţă Clasa a
Διαβάστε περισσότεραMatrice. Determinanti. Sisteme liniare
Matrice 1 Matrice Adunarea matricelor Înmulţirea cu scalar. Produsul 2 Proprietăţi ale determinanţilor Rangul unei matrice 3 neomogene omogene Metoda lui Gauss (Metoda eliminării) Notiunea de matrice Matrice
Διαβάστε περισσότεραExamen AG. Student:... Grupa:... ianuarie 2011
Problema 1. Pentru ce valori ale lui n,m N (n,m 1) graful K n,m este eulerian? Problema 2. Să se construiască o funcţie care să recunoască un graf P 3 -free. La intrare aceasta va primi un graf G = ({1,...,n},E)
Διαβάστε περισσότερα5.4. MULTIPLEXOARE A 0 A 1 A 2
5.4. MULTIPLEXOARE Multiplexoarele (MUX) sunt circuite logice combinaţionale cu m intrări şi o singură ieşire, care permit transferul datelor de la una din intrări spre ieşirea unică. Selecţia intrării
Διαβάστε περισσότερα1.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune
.3 Baza a unui spaţiu vectorial. Dimensiune Definiţia.3. Se numeşte bază a spaţiului vectorial V o familie de vectori B care îndeplineşte condiţiile de mai jos: a) B este liniar independentă; b) B este
Διαβάστε περισσότεραCURS 11. Rădăcină unei ecuatii: Cum se defineste o rădăcină aproximativă?
CURS 11 Rezolvarea ecuaţiilor transcendente Fie ecuatia: f(x)=0 algebrică - dacă poate fi adusă la o formă polinomială transcendentă dacă nu este algebrică Ecuaţii algebrice: 3x=9; 2x 2-3x+2=0; x5=x(2x-1);
Διαβάστε περισσότεραSpatii liniare. Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară. Mulţime infinită liniar independentă
Noţiunea de spaţiu liniar 1 Noţiunea de spaţiu liniar Exemple Subspaţiu liniar Acoperire (înfăşurătoare) liniară 2 Mulţime infinită liniar independentă 3 Schimbarea coordonatelor unui vector la o schimbare
Διαβάστε περισσότεραCursul Măsuri reale. D.Rusu, Teoria măsurii şi integrala Lebesgue 15
MĂSURI RELE Cursul 13 15 Măsuri reale Fie (,, µ) un spaţiu cu măsură completă şi f : R o funcţie -măsurabilă. Cum am văzut în Teorema 11.29, dacă f are integrală pe, atunci funcţia de mulţime ν : R, ν()
Διαβάστε περισσότερα10. STABILIZATOAE DE TENSIUNE 10.1 STABILIZATOAE DE TENSIUNE CU TANZISTOAE BIPOLAE Stabilizatorul de tensiune cu tranzistor compară în permanenţă valoare tensiunii de ieşire (stabilizate) cu tensiunea
Διαβάστε περισσότερα* K. toate K. circuitului. portile. Considerând această sumă pentru toate rezistoarele 2. = sl I K I K. toate rez. Pentru o bobină: U * toate I K K 1
FNCȚ DE ENERGE Fie un n-port care conține numai elemente paive de circuit: rezitoare dipolare, condenatoare dipolare și bobine cuplate. Conform teoremei lui Tellegen n * = * toate toate laturile portile
Διαβάστε περισσότεραGEOMETRIE PLANĂ TEOREME IMPORTANTE ARII. bh lh 2. abc. abc. formula înălţimii
GEOMETRIE PLNĂ TEOREME IMPORTNTE suma unghiurilor unui triunghi este 8º suma unghiurilor unui patrulater este 6º unghiurile de la baza unui triunghi isoscel sunt congruente într-un triunghi isoscel liniile
Διαβάστε περισσότεραLectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane
Subspatii ane Lectia VI Structura de spatiu an E 3. Dreapta si planul ca subspatii ane Oana Constantinescu Oana Constantinescu Lectia VI Subspatii ane Table of Contents 1 Structura de spatiu an E 3 2 Subspatii
Διαβάστε περισσότεραErorile sunt omniprezente. Februarie 2010
Teoria erorilor şi aritmetică în virgulă flotantă Erorile sunt omniprezente Radu Tiberiu Trîmbiţaş Universitatea Babeş-Bolyai Februarie 2010 Radu Tiberiu Trîmbiţaş (Universitatea Babeş-Bolyai ) Teoria
Διαβάστε περισσότερα3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere Aspecte teoretice Aplicaţii rezolvate...4
SEMINAR 3 MMENTUL FRŢEI ÎN RAPRT CU UN PUNCT CUPRINS 3. Momentul forţei în raport cu un punct...1 Cuprins...1 Introducere...1 3.1. Aspecte teoretice...2 3.2. Aplicaţii rezolvate...4 3. Momentul forţei
Διαβάστε περισσότεραCONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 1998 Clasa a V-a
CONCURSUL INTERJUDEȚEAN DE MATEMATICĂ TRAIAN LALESCU, 998 Clasa a V-a. La gara Timișoara se eliberează trei bilete de tren: unul pentru Arad, altul pentru Deva și al treilea pentru Reșița. Cel pentru Deva
Διαβάστε περισσότεραFig Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36].
Componente şi circuite pasive Fig.3.85. Impedanţa condensatoarelor electrolitice SMD cu Al cu electrolit semiuscat în funcţie de frecvenţă [36]. Fig.3.86. Rezistenţa serie echivalentă pierderilor în funcţie
Διαβάστε περισσότερα1 Serii numerice Definiţii. Exemple... 45
Analizǎ matematicǎ Chiş Codruţa 2 Cuprins 1 Serii numerice 5 1.1 Definiţii. Exemple....................... 5 1.2 Criterii de convergenţǎ pentru serii cu termeni pozitivi... 8 1.3 Criterii de convergenţǎ
Διαβάστε περισσότεραSubiecte Clasa a VIII-a
(40 de intrebari) Puteti folosi spatiile goale ca ciorna. Nu este de ajuns sa alegeti raspunsul corect pe brosura de subiecte, ele trebuie completate pe foaia de raspuns in dreptul numarului intrebarii
Διαβάστε περισσότεραPrincipiul incluziunii si excluziunii. Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Pri
Generarea şi ordonarea permutărilor. Principiul porumbeilor. Principiul incluziunii si excluziunii Recapitulare din cursul trecut Presupunem că A este o mulţime cu n elemente. Recapitulare din cursul trecut
Διαβάστε περισσότεραProblema a II - a (10 puncte) Diferite circuite electrice
Olimpiada de Fizică - Etapa pe judeţ 15 ianuarie 211 XI Problema a II - a (1 puncte) Diferite circuite electrice A. Un elev utilizează o sursă de tensiune (1), o cutie cu rezistenţe (2), un întrerupător
Διαβάστε περισσότεραCURS: METODE EXPERIMENTALE ÎN FCS
Cunoaşterea în fizică se bazează pe experimente şi măsurători. Pentru verificarea oricărei teorii => experiment => măsurători. Toate măsurătorile sunt afectate de erori. Nu putem măsura ă ceva cu exactitate
Διαβάστε περισσότεραVectori liberi Produs scalar Produs vectorial Produsul mixt. 1 Vectori liberi. 2 Produs scalar. 3 Produs vectorial. 4 Produsul mixt.
liberi 1 liberi 2 3 4 Segment orientat liberi Fie S spaţiul geometric tridimensional cu axiomele lui Euclid. Orice pereche de puncte din S, notată (A, B) se numeşte segment orientat. Dacă A B, atunci direcţia
Διαβάστε περισσότεραEcuatii exponentiale. Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. a x = b, (1)
Ecuatii exponentiale Ecuatia ce contine variabila necunoscuta la exponentul puterii se numeste ecuatie exponentiala. Cea mai simpla ecuatie exponentiala este de forma a x = b, () unde a >, a. Afirmatia.
Διαβάστε περισσότεραProfesor Blaga Mirela-Gabriela DREAPTA
DREAPTA Fie punctele A ( xa, ya ), B ( xb, yb ), C ( xc, yc ) şi D ( xd, yd ) în planul xoy. 1)Distanţa AB = (x x ) + (y y ) Ex. Fie punctele A( 1, -3) şi B( -2, 5). Calculaţi distanţa AB. AB = ( 2 1)
Διαβάστε περισσότεραProbleme pentru clasa a XI-a
Probleme pentru clasa a XI-a 1 ( ) 01. Fie A si B doua matrici de ordin n cu elemente numere reale, care satisfac relatia AB = A + B. a) Sa se arate ca det(a 2 + B 2 ) 0. b) Sa se arate ca rang A + B =
Διαβάστε περισσότεραEcuatii trigonometrice
Ecuatii trigonometrice Ecuatiile ce contin necunoscute sub semnul functiilor trigonometrice se numesc ecuatii trigonometrice. Cele mai simple ecuatii trigonometrice sunt ecuatiile de tipul sin x = a, cos
Διαβάστε περισσότεραToate subiectele sunt obligatorii. Timpul de lucru efectiv este de 3 ore. Se acordă din oficiu 10 puncte. SUBIECTUL I.
Modelul 4 Se acordă din oficiu puncte.. Fie numărul complex z = i. Calculaţi (z ) 25. 2. Dacă x şi x 2 sunt rădăcinile ecuaţiei x 2 9x+8 =, atunci să se calculeze x2 +x2 2 x x 2. 3. Rezolvaţi în mulţimea
Διαβάστε περισσότερα1.7. AMPLIFICATOARE DE PUTERE ÎN CLASA A ŞI AB
1.7. AMLFCATOARE DE UTERE ÎN CLASA A Ş AB 1.7.1 Amplificatoare în clasa A La amplificatoarele din clasa A, forma de undă a tensiunii de ieşire este aceeaşi ca a tensiunii de intrare, deci întreg semnalul
Διαβάστε περισσότεραVII.2. PROBLEME REZOLVATE
Teoria Circuitelor Electrice Aplicaţii V PROBEME REOVATE R7 În circuitul din fiura 7R se cunosc: R e t 0 sint [V] C C t 0 sint [A] Se cer: a rezolvarea circuitului cu metoda teoremelor Kirchhoff; rezolvarea
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 3. Serii Fourier. a unei funcţii periodice de perioadă Dezvoltarea în serie Fourier
Capitolul Serii Fourier 7-8. Dezvoltarea în serie Fourier a unei funcţii periodice de perioadă Pornind de la discuţia asupra coardei vibrante începută în anii 75 între Euler şi d Alembert, se ajunge la
Διαβάστε περισσότεραStatisticǎ - curs 3. 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2. 2 Teorema limitǎ centralǎ 5. 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7
Statisticǎ - curs 3 Cuprins 1 Seria de distribuţie a statisticilor de eşantioane 2 2 Teorema limitǎ centralǎ 5 3 O aplicaţie a teoremei limitǎ centralǎ 7 4 Estimarea punctualǎ a unui parametru; intervalul
Διαβάστε περισσότερα