Bazele Electrotehnicii 3. Teoremele fundamentale ale electromgnetismului

Transcript

1 Bazele Elecroehicii 3. Teoremele fudameale ale elecromgeismului Daiel Ioa Uiversiaea Poliehica di Bucuresi PUB - CIEAC/LMN daiel@lm.pub.ro Daiel IOAN

2 3.. Teorema coservarii sarciii. Eu: cureul elecric ce parasese orice suprafaa ichisa ese egal cu vieza de scadere a sarciii di ieriorul suprafeei. dqd d. Forma globala/iegrala: i JdA dv d d D D 3. Demo: Γ d S d Legea circuiului mageic: um i s i d d um H avel, S qd Legea fluxului elecric: D Forma locala i medii mobile: H J v ( D v) D H ( J v) ( D v) 4. Forma locala si ( J v) ( J v) da dv iegrala dezvolaa: D D ( ) 5. I medii imobile: divj JdA dv D D Σ S Γ Daiel IOAN

3 Daiel IOAN Cosecie ale eoremei cosevarii sarciii. Forma locala pe suprafee de discoiuiae (ierfee ire medii):. Coservarea cureului oal I medii imobile: I medii mobile: v J D J J J J J J v J D J J J J J J J J D J J v d v d d d d div div ds div div div div,, ; ) (, ude,

4 . I medii liiare omogee: sarcia scade rapid (ide expoeial care zero) Cu I regimul saioar: eorema coservarii (coiuiaii) cureului: 4. I siseme izolae elecric: sarcia ese ivariaa: s i D Relaxarea sarciii. Coiuiaea cureului J ( E) E D / / () e JdA i dq D d J dq D d q D c. 5. Semificaia fizica: Ire cure si sarcia exisa o foare srasa legaura (evidea microscopic). Sarcia se coserva sau migreaza sub forma de cure. Coservarea sarciii ese uul di cele mai geerale adevaruri ale elecromageismului, moiv peru care ese cuoscu si sub umele de legea coservarii sarciii, chiar daca ese o cosecia a celorlale legi. Daiel IOAN

5 Aplicaii, probleme, exerciii. I ca imp se auleaza desiaea de sarcia ir-u coducor di Cu?. Jusificai expresia cureului de deplasare folosid eorema coservarii sarciii i icercarea de a geeraliza eorema lui Ampere i regim variabil. 3. Cum su liiile de cure i regim saioar? 4. I ce codiii se coserva compoea ormala a desiaii de cure la ierfaa ire doua corpuri? Dar compoea sa ageiala? 5. Ese disrusa sarcia ir-o explozie aomica? 6. Care lege ese mai geerala? Legea coservarii sarciii sau cea a masei? 7. I eorema relaxarii, sarcia ide care zero. Ude dispare sarcia iiiala? 8. Procedeu de masurare a sarciii. Coform eoremei coservarii sarciii, cureul ce alimeeaza u corp izola ese egal cu derivaa i imp a sarciii. I cosecia sarcia cu care se icarca u corp se poae masura iegrad i imp iesiaea cureului ce icarca acel corp. Rezula ca aparaul de masura al sarciii ese alcaui dir-u apara de masurare a cureului (ampermeru) si u iegraor i imp. Peru ca procedura sa fie complea mai ese ecesara o meoda peru a verifica daca u corp ese euru. Dupa cum se va vedea ulerior, campul elecric uiform acioeaza asupra uui corp cu o fora proporioala cu sarcia sa, deci cu o fora ula i cazul corpurilor eure. Daiel IOAN

6 . Forma local a eergiei i medii imobile 3..Teorema eergiei el-mg - Poyig -H E Daiel IOAN

7 p = JE - desiaea de puere [W/m 3 ] S = E x H vecorul Poyig [W/m ] w e = DE/ desiaea eergiei elecrice [J/m 3 ] w m = BH/ desiaea eergiei mg. [J/m 3 ] w em = w e + w m desiaea eergiei el-mg D wem divs p P divsdv SdA w p Forma iegrala. Coservarea eergiei el-mg em dv dw Eu: Puerea rasferaa de campul el-mg spre ieriorul uui domeiu pri froiera sa ese egala cu puerea rasferaa corpurilor di domeiu plus vieza de variaie a eergiei el-mg di domeiu. Semificaie: Puerea/eergia se coserva (i acord cu pricipiul I al ermodiamicii). Campul el-mg acumuleaza si raspora eergie si i vid. P c pdv d d d D D D D em w em dv P P P c W em D D SdA pdv D w Pc em ^Wem Daiel IOAN [ W ] [ W ] dv D [ J ]

8 Recapiularea eoremelor de coservale Camp: Sarcia Eergie Global Iegral Local difereial Pe supr de dics. Coserv. Liii de camp i JdA divj J dq d d d D D d d ( J ) J J Liiile de cure su i regim saioar curbe ichise dv s P ( EH) da P D divs dw d J Edv p em Liiile vecorului Poyig idica direcia si sesul rasferului de eergie el-mg c d d D Daiel IOAN DE BH dv w em

9 Daiel IOAN Aplicaii Puerea rasferaa uui coducor parcurs de cure Eergia elecrica proprie a uei sfere elecrizae Eergia elecrica a uei disribuii arbirare de sarcia i regim saic Calculai eergia mageica a uui coducor cilidric parcurs de cure Calculai eergia mageica a uei disribuii de cure P ui rl rl ui da r i l u d P S ) ( A H E i u e r a a a a a a R R e W a q a q a a q r dr q a dr r q dr r r q dr r a qr dr r D dr r D dv DE w dv W / e e R R R R R R e e V q W W dv V dv V da V dv V V dv V dv w dv W ) ( ] ) ( [ ) ( D D D D E D

10 Aplicaii si irebari Eergia uei armauri mageizae uiform W m BH dv u u dv u dv m m m A l Al W m φ um Calculai eergia uei sarcii i camp elecric Eergia uei perechi puciforme : We ( qv qv ) ( qv qv qv qv) q V qv Eergia propriefecarui corp : We, We, ( qv qv) qq Eergia de ieraciue (a sarciii i camp): W e We qv q Edr 4R M Aflai expresia desiaii de eergie elecrica/mageica i medii eliiare. Calculai eergia uui mic corp polariza/mageiza permae i camp elecric/mageic W e pe W m mb Aflai forma eoremei eergiei peru medii i miscare. Ce efece mecaice ale campului rezula di aceasa forma? Daiel IOAN

11 3.3. Prima eorema a forelor geeralizae Lucrul virual = Fora geeralizaa ori variaia coord.: I paricular: dl Fdr, dl Cd, dl TdS dl Di primul pricipiu: I codiii de izolare elecrica/mageica ( ) lucrul mecaic se efecueaza pe baza scaderii eergiei campului el-mg: Wem dl X dx dwem c c dx, x c, c Wem X We Wm X el, X mg x x x cos., cos. qcos., dl pdv Eu: Campul elecric/mageic acioeaza asupra corpurilor cu fore geeralizae egale cu mius derivaa pariala a eergiei elecrice/mageice faa de coordoaele geeralizae asociae, derivae calculae cosiderad fluxurile elecrie (sarciile) /mageice cosae. Semificaie fizica: eorema descrie efecul mecaic al campului el-mg. X c, c dx cos. Daiel IOAN

12 I cazul a doua codcoare paralele, fora Ampere: Fora Lorez Fora uui elecromage Wm um B F l c l c A Cuplul asupra corpurilor polarizae/mageizae We ( pe) C pe si C pe; C mb Aplicaii Fora Coulomb ire doua sarcii puciforme i vid: We ( q V q V V q ) / qq F q q F F qe R q R R R R 4 4 R Fora Laplace, pe care o exercia campul mageic asupra cureului: f JB F F i C Bdr fdv ( JB) dv i Hdr ihl iil /(r ) i l /(r C Jv v f vb F fdv (vb) dv qv B F qc qc ) l / r Daiel IOAN 7 i F A F

13 Masurarea marimilor primiive Cureul elecric se masoara cu balaa de curei alcauia di doua coducoare reciliii si paralele parcurse de cureul de masura, ire care se exercia fora lieica 7 F I l /(d) I N / m Sarcia elecrica se masoara pri procedeeul de euralizare, umarad de cae ori se cupride i ea ealoul de sarcia, defii ca sarcia rasporaa de u cure uiar ir-u imp uiar. Iesiaea campului el. i vid: fora asupra sarciii de proba F qe; Iducia mag. i vid: fora asupra sarciii de proba i miscare F qv B; Momeul elecric : cuplul i camp el. C p E; Momeul mageic: cuplul i camp mg. C mb. Noe: E si B i corpuri su egale cu E si B di vidul uor fae alugie/plae Procedeele de masurare ale acesor marimi se bazeaza exclusiv pe aciuile poderomooare ale campului elero-mageic. Celelele marimi su: J u C di dq dm dp ; ; M ; P ; D E P; H B/ M; da dv dv dv Edr C F / qdr L / q; u m Hdr; DdA; BdA, Cu observaia ca esiuile si fluxurile i corpuri su egale cu cele di vidul uor fae pracicae i jurul curbeleor si fuprafeelor de defiiie (coform formeleor pe suprafee de discoiuiae ale legilo geerale). C S S Daiel IOAN

14 3.4.Codesaoare capaciai Codesaorul: dispoziiv alcaui di doua armauri cosucoare separae de u dielecric izola. Auci cad ese icarca cele doua armauri au sarciile q=+q si q=-q, iar i dielecric liiile de camp pleaca perpedicular de pe prima si se opresc perpedicular pe cea egaiva. Caracerizare locala a campului elecric al codesaorului: E( r), D( r) cu D E i cazul codesaoarelor cu dielecrici liiari. Caracerizare globala: Tesiuea ire armauri: Sarcia armaurii Q U E(r) dr V V U Euul eoremei codesaorului liiar: sarcia Q cu care ese icarca u codesaor cu dielecric liiar ese proporioala cu esiuea U ire armaurile sale: C D(r) da Q Q D E Q U Q CU C def U Pri defiiie, capaciaea C a uui codesaor ese raporul dire sarcia Q si esiuea U. Capaciaea codesaoarelor liiare u depide de sarea de lor de icarcare (Q sau U). Capaciaea C> ese u parameru al codesaorului, care descrie capaciaea sa de a se icarca cu sarcia. D c [F] E Daiel IOAN

15 Codesaorul pla Codesaorul pla: dispoziiv cu armaurile plae si paralele, suficie de apropiae, peru a avea u camp uiform i dielecric. Dae: Aria armaurii A, disaa dire armauri d, permiiviaea dielecricului ε Legea fluxului pe froiera Σ a primei armauri: q D Q, DdA DdA DdA... DdA DdA D da Tesiuea elecrica: U q S E(r) dr D E C C DA Q S dr Ed S6 D Qd A Q / formula de calcul a capaciaii codesaorului pla S C A Q U E S D / AQ dq DA C Q A A d Daiel IOAN

16 Daiel IOAN Eergia si fora Eergia elecrica a cumulaa de u codesaor pla: I geeral: Fora: A doua eorema a forelor geeralizae - eu: Fora geeralizaa cu care campul elecric acioeaza asupra corpurilor ese egala cu derivaa pariala a eergiei elecrice faa de coordoaa geeralizaa asociaa, peru esiui cosae. C Q d A Q Ad D dv w dv W e e E D CU QU C Q W e c u e c u e c u c q c q e c q e x W X d W d CU d C U d C C Q d C Q F A Q d C Q d W F x W X ] / [ ] [/ )] /( [

17 Geeralizare Se cosidera uul sau mai mule armauri coducoare scufudae ir-u dielecric Global, aces sisem ese caraceriza de vecoriii: V, q sarcii: q=[q,q,,q] T poeiale: v=[v,v,,v] T Teorema lui Maxwell peru capaciai: I cazul dielecricilor liiari, sarciile su combiaii liiare ale poeialelor armaurilor: Maricea capaciailor V, q V, q q Cv q q q c c... c c c c c c c v q v q v q c c c v v v c c c v v... v... c... c... c Demo: poeialul di dielecric V ( r) g( r) v j ese superpoziia poeialelor produse pe rad de fiecare armaura v, v, v. Sarcia coducorului ese q D ds dv d ds dg v jds cjv j cu cj d j j Daiel IOAN dg d v v ds v

18 Codesaoare i regim variabil Teorema coservarii sarciii aplicaa pe froiera primei armauri: i i Combiaa cu eoarema codesaorului liiar: q Cu Rezula ecuaia i regim diamic a uui codesaor (relaia ire cure si esiue): du i C d Daca dielecricul codesaorului u ese u izola imperfec, auci acesa ese srabau de u cure de coducie proporioal cu esiuea dire armauri (cosaa de proporioaliae G se umese coducaa de pierderi). Aces cure se adauga la cel capaciaiv (de deplasare) rezulad: du i C d Gu I cazul uui codesaor liiar (mulipolar) cu mai mule armauri vecorul cureilor di coducoarele care alimeeaza armaurile are expresia: dv i C d care i cazul dielecricului cu pierderi devie i q -q Σ dv i C Gv d dq d Daiel IOAN

19 Calculai capaciaea uui codesaor cilidric (cablu coaxial) Aplicaii Ce repreziaa cel paru marimi care iervi i aceasa formula? Calculai capaciaea uui cablu bifilar (si fora ire fire la esiuea U) R R q q R R R q V fir Edr dr l V q l q l l R R rl l R l R R l U u V b a q D Edr V DdA q l q l l b a d a dr r l q DdA Drl q D Sl rl q b l l C l a l( b / a) a d q l l d a C l l( d / a) q rl Calculai maricea capaciailor peru doua sfere coducoare de raza mica Calculai capaciaile a rei sfere plasae la egala disaa i vid Poeialul uui siem de coducoare i vid saisface ecuaia iegrala: dv q dq sda dv da s D ; V dv V V d 4 R 4 R 4 R d 4R E Daiel IOAN R R

20 3.5. Rezisoare, rezisee Rezisorul: dispoziiv alcaui dir-u coducor i care cureul poae ira si iesi pri doua pari disjuce ale suprafeei lui umie bore, care su foare bue coducoare asfel i ca fiecare ese echipoeiala, cu V=V, V=V. Campul saioar di rezisor ese caraceriza local de: cu J E i cazul coducorilor liiari. Caracerizare globala: Tesiuea ire bore: U C E(r) dr V V E( r), J( r) U Cureul rezisorului (coform eoremei coservarii cureului u pedide de poziia suprafeei rasversale Σ: I J(r) da I Euul eoremei rezisorului liiar: esiuea U ire borele uui rezisor ese proporioala cu cureul I ce-i srabae: U RI R def U I c Pri defiiie, rezisea R a uui rezisor ese raporul dire esiuea U cureul I. Iversa G a reziseei ese ca si R idepedea de sarea elecrica (I sau U). Rezisea R> ese u parameru al rezisorului, care descrie rezisea iampiaa de cure la recerea pri dispoziiv. I [ ] I GU G def c [ S] U R J E Daiel IOAN

21 Rezisorul filiform liiar Ese u rezisor a carui lugime ese mul mai mare deca diamerul seciuii rasversale. El ese descris de C - curba sa mediaa, si de felul i care variaza aria seciuii sale rasversale A(s) de-a lugul curbei. Presupuem cuoscu si modul de variaie rezisiviaii ρ(s). La u rezisor filiform elemeul de liie dr ese paralel cu elemeul da al seciuii rasversale, iar liiile de cure su orieae i direcia lor comua. Tesiuea elecrica de-a lugul firului ese: U ude I S Edr C ese formula de calcul a reziseei firului Daca firul ese omoge ρ(s).=c si cu uiform A=c, auci Puerea disipaa C C C C JdA J I Jdr Jdr dr I dr RI A A dr JdA J da JA J I / A si R S S C A R l A P JEdV JEAdr I Edr UI P RI C C dr Daiel IOAN

22 Coducorul are acum relaia cosiuiva Iar esiuea elecrica de-a lugul firului ese: ude ese reziseei firului, iar U Edr Jdr Eidr I dr C C C C A C dr R C A U e E dr i C ese.e.m. a campului imprima Puerea disipaa P JEdV JEAdr i Edr ui Rezisorul filiform eliiar ( RI E dr e coie u erme sric poziiv (icalzirea ireversibila) si alul care descrie puerea reversibil corpului (de ex. Eergia de icarcare a uui acumulaor) i e) i C C J ( E E ) E J i E i RI e P RI Ri ei Daiel IOAN

23 Geeralizare Se cosidera uul sau mai mule armauri supracoducoare (sau cel pui foare bue coducoarea) scufudae ir-u coducor V, i Global, aces sisem ese caraceriza de vecoriii: curei: i=[i,i,,i] T poeiale: v=[v,v,,v] T I cazul liiar, cureii su combiaii liiare ale poeialelor armaurilor: Maricea coducaelor V, i V, i i Gv i i i g g... g g g g g g g v q v q v q g g g v v v g g g... v v v... g... g... g Demo: poeialul di dielecric V ( r) g( r) v j ese superpoziia poeialelor produse pe rad de fiecare armaura v, v, v. Cureul coducorului ese dv dg dg i J ds, ds v jds gjv j gj ds G C d d d j j v v v Daiel IOAN

24 Aplicaii Calculai coducaa de pierderi a uui codesaor cilidric (cablu coaxial) G C Ce repreziaa cel paru marimi care iervi i aceasa formula? Calculai coducaa de pierderi uui cablu bifilar G l l( d / a) l l( b / a) Ce repreziaa cel paru marimi care iervi i aceasa formula? Ce valoare are rezisea dire fire? Calculai maricea coducaelor peru doua sfere supracoducoare de raza mica scufudae ir-u mediu coducor. Cum se calculeaza maricea reziseelor? Calculai maricea coducaelor a rei sfere plasae la egala disaa ir-u mediu coducor. Cum se geerealizeaza relaia ire curei si esiui i cazul uui rezisor mulipolar alcaui dir-u mediu coducor cu caracerisica de coducie afia (cu camp elecric imprima). Daiel IOAN

25 3.6.Bobie, iduciviai Bobia: dispoziiv alcaui dir-u coducor ifasura i aer sau i jurul uui miez mageizabil. Auci cad ese parcursa de cure bobia produce u camp mageic care are liiile de camp curbe ichise ce ilauie spirele. Local campul mageic ese descris de campurile vecoriale H si B. I medii liiare si izorope acesea su proporioale si coliiare: B H Caracerizare globala: Fluxul uei spire: BdA S B Fluxul oal BdA B SS Tesiuea mageo mooare i regim saioar Γ u m Hdr I i H Euul eoremei bobiei liiare: fluxul mageic produs de o bobia cu miez mageic liiar ese proporioal cu cureul I ce srabae bobia: i Li [H] i Pri defiiie, iduciviaea L a uei bobie ese raporul dire fluxul sau oal si curul ce l-a produs. Iduciviaea L> ese u parameru al bobiei, care descrie capaciaea sa de a produce flux mageic. L def Daiel IOAN

26 Iduciviaea soleoidului Soleoid: bobia cu spirele ideice, ifasurae pe u cilidru de lugime mul mai mare daca diamerul lui, asfel ica campul mageic ese pracic uiform Dae: umarul de spire, A aria seciuii miezului l lugimea soleoidului, μ permeabilaea miezului Teorema lui Ampere pe curba Γ: I um Hdr Hdr... d Hdr Hl I H C H r C4 C l Fluxul oal: S S BdA BA HA IA l L A l Γ Eergia campului mageic: W m w dv Fora asupra bobiei: Wm Wm (/ L) X F x l l c c A doua eorema a forelor geeralizae: BH dv H m l Al I A A LI X W I LI m L W x m ic Daiel IOAN I L x

27 Li L L... L L L L Geeralizare. Iducae proprii si muuale Se cosidera u sisem forma di bobie Global, aces sisem ese caraceriza de vecoriii: fluxurilor oale:, T,... cureilor: i i T, i,... i Teorema lui Maxwell peru iduciviai: I cazul mediilor liiare, fluxurile su combiai liiare ale cureilor di bobie Maricea iducaelor proprii si muuale Demo: iducia mageica B( r) g j ( r) i j pe rad de fiecare bobia. Fluxul bobiei ese BdA S j L L L i L i L i L φ i i i g ji jda Lji j cu Lj S j L L L... i i i... L... L Daiel IOAN... L i i i ese superpoziia iduciilor produse S g φ j da φ

28 Bobie i regim variabil Legea iduciei elecromageice aplicaa de-a lugul coducorului bobiei u d d Edr Edr combiaa cu eoarema bobiei liiaer: coduce la ecuaia i regim diamic a uei bobie, care exprima relaia dire esiue si cure: Edr Tesiuea ese suma uui erme iduciv (.e.m. auoidusa) cu uul rezisiv. I cazul uui sisem de bobie cuplae muual, vecorul esiuilor la borele bobielor are expresia (esiuile coi i plus.e.m. iduse pri cuplaj): Jdr Cfir C ex Cfir C u di L Ri d Li Edr ex ri u di di di u L L... L Ri di u L d d d... diag d Ri R ( R... R ) di di di u L L... L Ri d d d i u Daiel IOAN

29 Daiel IOAN Aplicaii Calculai eergia mageica a uui cablu coaxial parcurs de cureul I si exragei duciviaea proprie a acesui cablu Ce repreziaa cel paru marimi care iervi i aceasa formula? Cum depide iduciviaea iera de raza firului ierior? Calculai iduciviaea proprie a uui cablu bifilar si apoi eergia mageica si fora dire fire. Calculai iducaele proprii si muuale a doi soleoizi coaxiali care au raze si umere de spire diferie, dar lugime egala cu cea a miezului comu. A c I m m a d a d a S F d li d W F LI W a d l I L a a d Il ds s d s Il Hds l BdA R I R I H l l a b l L a b l I r dr a dr r l I ldr r I rldr a Ir rldr H dv BH dv w W b a a b a a b m m l 4 l ) / ( 4 3 l r L L l r r r L l r L / ; / ) ( ; /

30 Recapiularea dispoziiveleor elecro-mageice Camp Elecric Coducie Mageic Dispoziivul Codesaor Rezisor Bobia Paramerul Capaciae [F] Rezisea [Ω] Iduciviae [H] Relaie de calcul p camp uiform Eergie/puere Relaie cureesiue Dispoziivul mulipolar C A d q C u W Cu qu q e C i C du d Gu R l A u dv q Cv i C Gv d P L Ri di d ui Ri e u Ri u R i u R L i A L l W Li i m L u L di d Li u Ri Daiel IOAN di L Ri d

31 Eergii si fore - recapiulare Camp Elecric Mageic Eergia Prima eorema a forelor geeralizae A doua eorema a forelor geeralizae Corpuri cu sarcii/curei DE We wedv, we W m wmdv, wm We X Wm x X qc x X Coulomb F qe W x e uc X Lorez Laplace f W x m c ic F qvb; J B BH Corpuri polarizae/mageizae C pe; p Pdv C mb; m Mdv Daiel IOAN

32 3.7. Liii de rasmisie, cu parameri disribuii Dispoziivele aerioare se umesc elemee cu parameri cocerai, deoarece efecele capaciive, iducive si rezisive su separae. La frecvee iale, efecele elecrice si cele mageice se ameseca, iar sisemele au parameri disribuii. U exemplu ipic ese liia de rasmisie: i i (x) i( x x) i u u u (x) u( x x) dq x D du i( x x) i( x) ug C d d ds u u( x x) u( x) ir L d di du Cl Glu; dx d du di Ll Rli; dx d C l L l C lim ; Gl x x L lim ; R x x x hp://e.wiipedia.org/wii/trasmissiolie l x di d lim lim l x i x ec. elegrafisilor (Thomso) x Paramerii G lieici x (devi marice la R liiile mulifilare) x Daiel IOAN

33 3.8. Circuie elecrice filiforme i regim saioar Circui elecric: o mulime de elemee filiforme dipolare (cu doua boreermiale) coecae ire ele pe la ermiale. Graful uui circui: o mulime de puce umie oduri (care reprezia emialele elemeelor) uie pri arce de curba umie lauri (care reprezia elmeele dipolare). Peru o descriere complea, laurile su orieae. Graful descrie opologia circuiului. El poae fi obiu pri reierea curbelor mediae ale elemeelor, dar ele u ese o figura geomerica ci ua opologica. I eoria circuielor, spaiul fizic are doar o srucura opologica si u ua merica, asa cum se iampla i eoria campulu. Aici disaele si ughiurile u au relevaaa, fiid impora doar modul de coexiue. Doua grafuri su echivalee daca descriu aceiasi coexiue. () Coveii ipografice: - Laurile su idexae iar umarul ese L: l,,3,..., L - Nodurile su idexae iar umarul lor ese N: - Buclele (mulime de lauri care alcauiesc o curba ichisa) su orieae si idexae: [ b ],,3,..., B Alcauirea uui graf ese da de relaiile de icidea lauri-oduri: sau lauri-bucle: ( ),,3,..., N l ( ) de ex. :(), (), (), (3),3 (), 3(3), 4(3), 4() l [b] Cale i graf: lauri ce alcauiesc o curba deschisa. () 4 (3) 3 Daiel IOAN

34 Fudamearea eoriei circuielor filiforme Marimile primiive: Cureii di lauri, compoee ale vecorului: Tesiuile laurilor, compoee ale vecorului: Relaiile fudameale ale eoriei (legile/axiomele): Prima relaie (eorema) a lui Kirchhoff: A Suma algebrica a cureilor care cocura la u od ese ula: i Regula de sem: + peru cureii care ies si i caz corar. ( ) Afirmaia ese o cosecia a eoremei coservarii sarciii, aplicaa odurilor: i dq D d JdA ( ) S JdA A doua relaie (eorema) a lui Kirchhoff: Suma algebrica a esiuilor laurilor uei bucle ese ula: A u [ b] ( ) L i [ i, i,..., ] R T u u, u,..., ] R [ T i L u L Regula de sem: + peru esiuile orieae i sesul buclei, - i caz corar. Afirmaia ese o cosecia a legii iduciei el-mg: u d S d Edr A i [ b] C Edr [ b] A u i Σ Daiel IOAN i L ()

35 Teoria circuielor filiforme co. Reaiile cosiuive ale eoriei eorema Jouber: Tesiuea uei lauri depide de cureul di laura asfel: u Ri e Semele se aleg i fucie de oriearea sesurilor de referia peru esiue, cure si.e.m. Daca oae su orieae la fel, auci u Teorema puerii rasferae Ri e Laurile rasfera pe la borele lor puerea P ui Aceasa relaie ese o cosecia a legii rasferului de puere si a fos demosraa la sudiul elemeelor dipolare. Sesul rasferului se sabilese cu regulile: i Regula de la recepoare (u si i au sesuri similare) puerea P=ui ese coveioal cosumaa Regula de la geeraoare (u si i au sesuri opuse) puerea P=ui ese coveioal geeraa Noa: cele paru axiome ale eoriei circuielor su de fap eoareme i eoria campului. Teoria circuielor (eveuefiliforme si i regim diamic) ese deci o sub-eorie a elecromageismului, valabila i ipoezele:. Nodurile u acumuleaza sarcia elecrica;. Buclele au flux mageic ul; 3. Fiecare bora ese echipoeiala. P u i Regula REC P u Regula GEN Daiel IOAN

36 3.9. Circuie mageice Circui mageic: u sisem de armauri mageice si bobie moae pe ele, care dirijeaza campul mageic asfel ica acesa u disperseaza i aer ci srabae doar irefierurile exisee. Graful uui circui mageic ese alcaui di liiile mediae ale rosoaelor compoee; i Sarea mageica a uui roso ese descrisa de marimile gllobale: Fluxul mageic fascicular: BdA S defiia pe o seciue rasversala S Tesiuea mageica: um defiia pe o curba logiudiala exerioara bobiei Hdr s Ecuaiile fudameale ale circuielor mageice i regim saioar su: Relaia lui Kirchhoff peru fluxuri mageice: Demosraie: LFM Γ BdA i A ( ) i BdA S φ Γ ( ) A φ3 φ Rm3 ( ) i A Daiel IOAN

37 Relaia lui Kirchhoff peru esiui mageice: Demosraie: Teorema lui Ampere: u m Hdr A [ b] Hdr C Circuie mageice (co) Relaia lui Ohm peru circuie mageice liiare : Demosraie: Forma globala a legii legaurii B-H pe roso: u Relaia lui Jouber peru circuie mageice: Demosraie: Teorema lui Ampere: u m m [ b] i B l Hdr dr Rm ; R C C A Hdr u m Eergia acumulaa de u roso: BH BH BHAl Wm wmdv dv dv R m A u m i S S i deoarece pri SΓ u rece cure. m u l A m A um [ b] um R m relucaa rosoului cilidric cu camp uiform u m R m soleaia bobiei [Asp] W m u m Daiel IOAN

38 Aplicaie. Iducaa bobiei cu miez de fier. Fora elecromageului Se cosidera o bobia cu spire moaa pe u miez feromageic foare permeabil, care are aria seciuii A si irefierul δ. i i RR 3 3 l ; Rme R R R / ; RFe Rme R R3 A A L L i R me Rm φ Rm i iducaa bobiei ese paraul umarullui de spire supra relucaa mageica echivalea a miezului Eergia permie calculul forei porae a elecromageului: Wm Rm Wm ( Rm Rm Rm 3 ) / F / 3 φ φ3 Rm3 A c Daiel IOAN F

39 Aplicaie umerica. Se cosidera o bobia parcursa de cureul i=ma, cu = spire moaa pe u miez feromageic foare permeabil, care are aria seciuii A=cm si irefierul δ=.5mm. i Rm φ Rm i φ φ3 Rm3 R R F me A 3R A.5e 3 4e 7e 4 / 5.96e6H A B / A.67mT; L A ; e8 8 / R i R me me ( / ) A 3.98e6H e e6 e / 3.98H ; 3 6e 6.78e 9Wb.5mH 3 6e 5N Daiel IOAN

40 Similiudiea ire circuiele elecrice si cele mageice Teorii similare: doua eorii care au maemaic aceleasi ecuaii fudameale, dar marimile care iervi au semificaii fizice si simboluri diferie. Teoria circuielor mageice ese similara cu eoria circuielor elecrice. Tabelul de similiidie ire cele doua eorii: Circuie elecrice Circuie mageice Cure elecric i[a] Flux mageic [Wb] Tesiue elecrica u[v ] Tesiue mageica u m [A] Rezisea elecrica R l [] A Relucaa mageica R m l A R [ H ] T.e.m. e[v ] T.m.m. soleaia i[asp] Puere elecrica P ui Dublul eergiei mageice W m u m Daiel IOAN

41 3..Ecuaiile lui Maxwell. Uiciaea soluiei (opioal) Eu: Ecuaiile lui Maxwell (formele locale ale legilor) i medii liiare cu,, > si surse permaee: B ro E, div D V, D E Pp J (E Ei) D ro H J, div B, B H M p au o soluie uica i domeiul D margii de peru <<T, daca su dae: Sursele iere de camp (SC): Pp(r,); Mp(r,), r D, [,T]; Ji(r,) = Ei(r,), r D, [,T]; Codiiile de froiera pe (C): E (r,), r S E ; H (r,), r S H =- S E, [,T]; Codiiile iiiale (C): B(r,); D(r,), r D, for =. Formulare coreca: exisea, uiciaea si sabiliaea soluiei. Demosraia uiciaii ese bazaa pe lema soluiei riviale: Ecuaiile Maxwell cu SC, C, C ule au doar soluia ula HH EE M p Pp EE dv D dv EJi dv H E dv EH ds D D D E dv H E H E E H,E dv dv dv D D D D D, B, J, Peru exisea se folosese forma slaba a ecuaiilor. Daiel IOAN

42 3.. Problema fudameala, eorema superpoziiei (opioal) Problema fudameala a aalizei campului el-mg: sa se gaseasca: F = [E, D, B, H, J, ] soluie a ecuaiilor lui Maxwell i domeiul D cu froiera = SE + SH, cuoscad sursele de camp iere, exere si recue descrise de codiiile: C = [CS, CΣ, C]. Eu: i medii liiare cu,, > operaorul cauzal care leaga sursele de camp de soluia ecuaiilor ese u operaor liiar: S: C F ese u operaor bie defii peru orice problema de camp corec formulaa, care saisfacua eorema de uiciae a soluiei. Doua soluii F ad F ale aceleiasi probleme rebuie sa fie egale, deoarecea F=F-F saisface aceleiasi ecuaii dar cu surse ule (C=), deci coform lemei soluiei riviale F= F=F. S( C C S() C ) C C F De oa ca i aceasa problema, J si su soluii si u surse! C F S( C C F F ) F F Suma cauzelor deermia suma efecelor, dar umai i medii liiare. Demo: operaorul ese liiar deoarece ecuaiile su liiiare. Superpozia se aplica doar surselor de camp. NU ese valabila superpoziia domeiilor, froierelor sau maerialelor. Daiel IOAN

43 Aplicaii Exmple de probleme bie formulae: O cuie paralelipipedica cu pereii foare bui coducori i ieriorul careia se afla u mediu liiar. Campul elecric si cel mageic su iiala ule. Ideificai sursele iere, codiiile de froiera si cele iiiale. Ce puei spue despre campul elecromageic di ierior i codiiile i care mediul ese coducor si i cediiile i care mediul ese izola. Presupuei ca i problema aerioara se afla i ieriorul cuiei o spira parcursa de u cure cuoscu. Cum se modifica codiiile de froiera daca uul di perei ese u mediu cu permeabiliae foare mare Formulai corec o problema de camp elcromageic peru camera i care va aflai. Exemple de superpoziii: Calculai pri superpoziie campul elecric produs de o disribuie arbirara de sarcii elecrice. Superpoziie gresia: Campul elecric produs de doua corpuri elecrizae si cu permeabiliai diferie u se obie pri superpoziia campurilor produse de fiecare corp i absema celuilal. Cum rebuie aplicaa i mod corec superpoziia i aces caz? Daiel IOAN

44 3..Uiai de masura el-mg -SI Marimea uiae Explicaie Cureul i A Fudameala Desiaea de cure J Sarcia q Desiaea de sarcia ρ Tesiuea V Iesiaea cmp el E Fluxul elecric ψ Iducia elecrica D Tesiuea mageica Um Iesiaea cmp mg H Fluxul mageic φ Iducia mageica B A/m C = As C/m3 V = W/A V/m C C/m A A/m Wb=Vs T=Wb/m i i JdA s dqd d q u dv P ui C Edr q D D S u m is da um Hdr C ds u d BdA S Daiel IOAN

45 Uiai de masura el-mg (co.) Marimea Uiae de masura Explicaie Polarizaie P C/m D ε Momeul elecric p Cm p Pdv Mageizaie M A/m B ( H Momeul mageic m Am m E P M M ) dv T.e.m. imprimaa ei Camp imprima Ei Capaciaea C, perm. ε Rezisea R Rezisiviae ρ Coducaaa G Coduciviae ζ Iduciviaea L Permeabiliaea μ V V/m F, F/m Ω=V/A Ωm S=/Ω S/m H=Wb/A H/m e i i ( E Ei E dr J ) C q / u A/ d R u / i R l / A G / R / L / i L A/ l Daiel IOAN

46 Uiai de masura el-mg (co.) Defiiiile uiailor de masura di SI dae aerior se ciesc asfel: A-Amperul ese cureul care i balaa de cure (alcauia di doua coducorare filiforme, reciliii siuae i vid la disaa de u meru) produce o fora de e-7n pe fiecare meru de coducor C-Coulombul ese sarcia rasporaa de u cure de A imp de o secuda V-Volul ese esiuea la borele uui dispoziiv care cosuma W auci cad ese parcurs de u cure de A Wb-Weberul ese fluxul mageic de pe o suprafaa, care auci cad scade uivorm care zero i imp de s produce pe froiera suprafeei o.e.m. de V T-Tesla ese iducia uui camp mageic uiform care are pe o suprfaa rasversala cu aria de m u flux mageic de Wb F-Faradul ese capciaea uui codesaor liiar care ese icarca cu C, auci cad are esiuea ire armauri de V Ω-Ohmul ese rezisea uui coducor liiar, care ese srabau de A auci cad are esiuea la bore de V S-Siemesul ese uui coducor liiar, care ese srabau de A auci cad are esiuea la bore de V H-Heryul ese iduciviaea uei bobie care produce fluxul de Wb auci cad ese srabaua de cureul de A Daiel IOAN

47 Cosaele uiversale ale el-mg. Vieza lumiii i vid:, valoare exaca di 983, cad merul [m], uiaea de lugime di SI ese defii ca spaiul parcurs de o uda lumioasa i vid i imp de /c secude.. Permeabiliaea vidului 7 valoare exaca, di 948, cad a fos adopaa defiiia uiaii SI peru cure Amperul, pe baza formulei forei lui Ampere: 3. Permiiviaea vidului c 99,79,458 m/ s 4 valoare exaca, deoarece vieza lumuii i vid ese 4. Cosaa lui Faraday: F = 96, C/mol H / m F I l /(d ) /( c ) c / ese corelaa cu ale doua cosae uiversale: F = e N A, ude e ese F/m 5. Sarcia elemeara (a elecroului) e C; 6. N A mol Numarul lui Avogadro, care reprezia umarul de paricule dir-u mol de subsaa. 7. Cosaa lui Pla h = (9) 34 Js ese cosaa de proporoaliae dire eergia uui foo (cuaa de uda elecromageica) si frecvea sa: E=hν Imporaa cosaei lui Pla ese evideiaa si i: hp://e.wiipedia.org/wii/wabalace Isoria SI si lupa peru acuraeea masurarii ilusreaza o fasciaa realizare a speciei omeesi. - Daiel IOAN

48 3.3. Regimurile campului el-mg Regim al campului el-mg: sare pariculara a campului. I care aumie feomee ele-mg dispar sau su eglijabele. Ecuaiile fudameale ale fiecarui regim se obi di legile campului i ipoezeel simplificaoare specifice regimului. Problemele regimurilor pariculare su mul mai simple deca cele di cazul geeral. Cele mai imporae regimui ialie i pracica su:. Regimul elecrosaic campul elecric i corpuri imobile, regim saioar si fara rasformari de eergie. Regimul mageosaic campul mageic i corpuri imobile, regim saioar si fara rasformari de eergie 3. Regimul elecrocieic saioar - disribuia cureului elecric saioar i corpuri imobile 4. Regimul mageo-saioar - campul mageic saioar i corpuri imobile 5. Regimul mageo-qvasisaioar - campul mageic le variabil i corpuri imobile 6. Regimul elecro-cvasisaioar - campul elecric le variabil i corpuri imobile 7. Regimul geeral variabil i medii imobile campul elcromageic i medii imobile Daiel IOAN

49 . D. B B 3. E D 4. H J 5. D E P 6. B H M 7. J ( E E ) 8. p EJ 9. δ J. J. X W x em q, c, W p i p em Sieza: relaii cauzale feomee el-mg fudameale Ecuaiile lui Maxwell DE BH dv P p M p X X E i E, D H, B 4 p, δ 7 4 8,9 ρ J Daiel IOAN

50 Diagrama regimurilor saice. D. B B 3. E D 4. H J 5. D E P ( E ) p EJ J 6. B ( H M 7. J ( E E p i Ipoezele regimului: su elimiae: -variaia i imp, - miscarea - rasferul de eergie (cureul) p ( E)) ( H )) P p M p Mageo- Saica (MS) Diagrama se sparge i doua pari disjuce: ES si MS. 5 6 E i 7 E, D H, B ElecroSaica (ES) ρ Daiel IOAN

51 div Ecuaiile fudameale ale regimurilor saice Ecuaiile de ordiul iai ale Elecrosaicii (ES) divd roe E gradv ; D E Pp;( E Ecuaiile de ordiul doi ale Elecrosaicii (ES) D div( E P ) div( gradv ) divp p ; E ) divp p p ; c V / (Poisso); V (Laplace); Cod. de froiera : V(P) - Ecuaiile de ordiul iai ale Mageosaicii (MS) divb ; roh H gradv m ; B H M Ecuaiile de ordiul doi ale Mageosaicii(MS) divb div( H M ) div( gradv ) ; c / (Poisso); M Modelul coulombia: corpurile polarizae sau mageizae produc acelasi camp ca o disribuie ficiva de sarcii de polarizare/ mageizare: ; V p i cod div( gradv ) ; Dirichle sau dv/d - Neuma p m m m V m m p m p (Laplace) divm p p m Daiel IOAN

52 . D. B B 3. E D 4. H J 5. D E P 6. B H M 7. J ( E E ) 8. p EJ 9. δ J. J. X W x em q, c, W p i p em Ecuaiile lui Maxwell DE BH dv P p M p X X Regimuri saioare E i 7 5 E, D 6 H, B p, δ Elecrocieica-EC ρ 7 J 4 8,9 Regimul Mageo-saioar-MG Daiel IOAN

53 Ecuaiile fudameale ale regimurilor saioare Ecuaiile de ordiul iai ale Elecrocieicii (EC) divj ; roe E gradv ; J ( E Ecuaiile de ordiul doi ale Elecrocieicii (EC) divj div( E E div( E i ); c V Ei i ) div( gradv ) div( E / (Poisso); E i V i ) ) div( gradv ) ; (Laplace) Ecuaiile de ordiul iai ale campului Mageosaioar (MG) divb ; roh J B roa; B H M p H ( B M p) / Ecuaiile de ordiul doi ale campului Mageosaioar (MG) roh J ro( B M p) J; ro( roa) J Jm; Jm ro( M p) / ; c ro( roa) J ; J J J (Ec. Poisso vecoriala); J Modelul amperia: corpurile mageizae produc acelasi camp ca o disribuie de curei de mageizare Jm ficivi. ro( roa) A (Ec. Laplace vecoriala) m Daiel IOAN

54 . D. B B 3. E D 4. H J 5. D E P 6. B H M 7. J ( E E ) 8. p EJ 9. δ J. J. X W x em q, c, W p i p em Regimul mageo-cvasisaioar- MQS Ecuaiile lui Maxwell DE BH dv P p M p X X E i E, D H, B p, δ 7 4 8,9 ρ J Daiel IOAN

55 Regimul elecro-cvasisaioar-eqs. D. B B 3. E D 4. H J 5. D E P 6. B H M 7. J ( E E ) 8. p EJ 9. δ J. J. X W x em q, c, W p i p em Ecuaiile lui Maxwell DE BH dv P p M p 5 X 6 X E i 7 E, D ρ 7 4 H, B 4 J 8,9 p, δ Daiel IOAN

56 Ecuaiile fudameale ale regimurilor cvasisaioare Ecuaiile de ordiul iai ale reg. Mageo-cvasisaioar (MQS) B divb B roa; roe ; roh J; B H; J E Ecuaiile de ordiul doi ale reg. Mageo-cvasisaioar (MQS) B E roe ; c roroe L imp difuzie H roh J; c roroh roe adacime de parudere de ip Helmhoz. Ecuaiile de ordiul iai ale reg. Eelcro-cvasisaioar (EQS) divd ; divj ; roe E gradv; D E; J E divd div( E) divj div( E) div( E) Ecuaiile de ordiul doi ale reg. Eelcro-cvasisaioar (EQS) V div( gradv grad ) Cosaade imp de difuzie : / Daiel IOAN

57 Ecuaiile fudameale ale regimului geeral variabil Ecuaiile de ordiul iai ale reg. geeral (FW= full wave ) divd ; divb E A B gradv; roh B A roa; roe ro( E ) D J ; D E; B H; J E Ecuaiile de ordiul doi ale reg. reg. geeral (FW= full wave ) i medii omogeme (d Alamber): B E roe roroe D roe roh J roroh roe H H i medii fara pierderi (i vid) vieza udei elecromageice: roroh H H c H v max c, ct Daiel IOAN

58 Recapiularea regimurilor campului Regimul geeral variabil feomeul pricipal: propagarea campului, descrisa de ecuaii cu derivae pariale de ip hiperbolic i care iervi cel rei cosae de maerial ε, μ, ζ. Uda elecromageica are vieza fiia u mai mare deca vieza lumiii i vid. Regimurile cvasisaioare feomeul pricipal: difuzia campului elecromageic, descris de ecuaii cu derivae pariale de ip parabolic i care iervi doar doua cosae de maerial μ, ζ (MQS) sau ε, ζ (EQS). Ale efece: cureii urbioari, efecul pelicular, proximiae, reaxarea sarciilor. Regimurile saice si saioare feomeul pricipal: disribuia campului elecric, mageic sau de coducie, descrisa de ecuaii cu derivae pariale de ip elipic, i care iervie doar cae o sigura cosaa de maerial, i fucie de regim: ε (ES), μ(ms si MG) sau ζ (EC). Regimurile sudiaza disribuia campurilor perurbaa de proprieaile de maerial: polarizare, mageizare, coducie. Daiel IOAN

59 Regimul elecrosaic: Regimul mageosaic: Regimul elecrocieic: Regimul mageo-saioar: su similare. I cosecia: C q u u Similiudiea ire regimurile saice si saioare divd div ( E Pp Odaa rezolvaa o problema ir-u regim, soluia poae fi raspusa pri similiudie si i celelale regimuri. I paricular, i cazul campului uiform, su similare formulele: C A d R m ) div( gradv ) ; divb div( H M p) div( gradv m ) m; divj div( E Ei ) div( gradv ) ; divb ; ro( B / M p / ) J ro( roa) J Jm; m / Rm C ; G / um l ; A m A l l ; G / A Peru problemele de camp rezolvae, descriei similarele i ale regimuri. R R R A l i u C A l Daiel IOAN

60 Problema aalizei campurilor saice si saioare (op.) Poeialul scalar saisface ecuaia Poisso geeralizaa iar i paricular, ecuaia Laplace. Forma slaba a acesor ecuaii se obie pri proiecia lor pe o fucie arbirara: divd div ( E Pp ) div( gradv ) ; div( gradv ) udiv( gradv ) dv Rezula uiciaea soluiei ecuaiilor Poisso Laplace liiare i codiiile de froiera: Dirichle (V) sau Neuma (d/d) u dv div( ugradv ) udiv ( gradv ) gradugradv ; gradugradv dv div( ugradv ) dv u dv gradu gradvdv u v u( dv / d) da; u gradv dv V dv u V V ( dv / d) da gradv dv V p., V, dv / d S D S N S D Daiel IOAN

61 Daiel IOAN Aplicaii Efecul pelicular (opioal) Coducor masiv i regim MQS (cu parameri disribuii) Se cosidera o placa de grosime a, lugime h si laime L cu o esiue elecrica logiudiala U, care se auleaza. Se va deermia cureul Pri separarea variabilelor: E x E x E roro ), ( ; E E E x y z Eo Eo i ) ( 8 ), ( ) ( ; ) ( ) ( ) ( cos ; / ) ( cos,) ( ) ( cos ), ( ) / exp( ) ( / ) ( ) ( ;cos cos ) ( ) ( ) ( ), ( a a e LE a dx x E L i E dx a x a E C Fourier h U E a x C x E e a x C x E C T T T a a x x X X X c T T X X XT T X T x X x E

62 3.4. Elemeul de circui mulipolar cu parameri disribuii (opioal) Ese defii ca u domeiu simplu coex cu urmaoarele codii de froiera: A: fara cuplaj mageic; B: coexiue elecrica doar pri ermiale, C: care su echipoeiale A: B M,, M ermials B: H, M S D \ S C: E M,, M S,,,..., Daiel IOAN

63 Pe froiera: coservarea cureului.e.m ula (A: ) Marimile globale caracerisice: Curei i ermiale: i Poeialele erm.: C: Relaiile Kirchhoff : K (B:) K (A:) u j Fudamearea eoriei circuielor elecrice (opioal) D J ds Edr S Edr ro H ds div ro H ds B ro EdS ds b S ro HdS def Hdr J S S Edr E dr v v def Edr Cj MNS MNS E dr Cj v u b D M, vn, D D J ds ro H ds ro H ds i i SD SD S b b Daiel IOAN j ds

64 AB Edr C AB Expresia puerii rasferae pe la bore de u eleme mulipolar dr v ( ) v : R, s.. E grad v E A, vb, idepede of C ro v H grad v H v ro H AB P E H ds grad v H ro v H ds v ro H v S S v ro H ds v ro H ro H ds v i ds S ds P ds P are sesul coveioal comu cu cel al cureilor! v i Daiel IOAN

65 Cazul exciaiilor i poeiale: - Exciaiii (semale de irare): - Raspusuri (semale de iesire): D Relaia cosiuiva a elmeelor mulipolare cu parameri disribuii E dr v C i Hdr H E dv E dv H i D Dae p =,,, - Calculae di soluia de camp p. =,,, Se cosidera u domeiu D cu mediu liiar fara surse permaee ( D=E, B=H, J=E), codiii iiiale ule si codiii de froieara dae de A, B, C si exciaii. Poblema fudameala ese corec formulaa si ese simplificaa asfel: surse de camp: v = [v, v,.., v-], raspusuri i = [i, i,, i-]. Relaia irare-iesire i = Y v ese descrisa de admiaa Y, u operaor liiar, bie defii daoria uiciaii si superpoziiei. Aceasa afirmaie ese o cosecia a lemei soluiei riviale peru elemeul mulipolar de circui elecric: exciaiile ule produc raspusuri ule. v = i = : E dv H E E H dv ds v i D D I cazul dual al exciaiilor i cure: v =Z i, Z ese operaorul de impedaa. Deermiarea modului i care Y sau Z depid de daele geomerice si de maerial ecesia modelarea campului elcromageic (rezolvarea uei probleme de camp). Daiel IOAN

66 3.5. Modelarea umerica a campului elecromageic (opioal) Aerior, problemele de camp au fos rezolvae cu meode aaliice. Aceasa abordare poae fi aplicaa doar la rezolvarea problemelor cu geomerie simpla. Problemele complicae ialie i pracica igiereasca po fi rezolvae doar cu ajuorul ehicii de calcul pri meode umerice. Sudeilor le su uile urmaoarele cuosie si deprideri: - Sa ieleaga modul i care fucioeaza programele de calculaor peru aaliza umerica a campului elecromageic si sa poaa realiza programe simple dedicae rezolvarii uor probleme foare simple de camp ; - Sa sie care su pricipalele fucii ale uui program profesioal de aaliza elecromageica (CAD-Mageics) si sa aiba o experiea miimala i folosirea uui asfel de program. hp://e.wiipedia.org/wii/compuaioalelecrodyamics hp://e.wiipedia.org/wii/fiieeleme hp:// hp://e.wiipedia.org/wii/comsolmuliphysics [MNIE] D. Ioa e al, Meode umerice i igieria elecrica, MATRIX ROM 998 Daiel IOAN

67 Modelarea umerica a campului elecromageic (co.) Programele de aaliza umerica campului elecromageic su srucurae i: - Preprocesare: modulul pri iermediul caruia se descrie problema de camp ce va fi rezolvaa. - Modulul care modulul care discreizeaza domeiul spaial (si cel emporal daca iervie) si apoi discreizeaza ecuaiile cu derivae pariale ale campului, geerad u sisem de ecuaii cu u umar fii de ecuoscue. - Solverul: modul care rezolva sisemul de ecuaii obiu i urma discreizarii. - Posprocesorul: modulul i care se prelucreaza soluia umerica obiua i vederea vizualizarii ei, salvarii, imprimarii sau calculului marimilor derivae de care ese ieresa uilizaorul. Descrierea uei probleme de camp presupue descrierea geomeriei, a maerilelor (pri cosaele de maerial) si a surselor de camp de marimi dedicae iar sursele exere pri codiiile de froiera. Sarea iiiala ese descrisa de codiiile iiiale. Modul cel mai eficie de descriere a geomeriei ese pri iermediul uui edior grafic, ieraciv, iar resul daelor su selecae di baza de dae iera sau iroduse ca exe. Descrierea poae fi facua si eieraciv prir-u limbaj dedica. Daiel IOAN

68 Modelarea umerica a campului elecromageic (co.) Cele mai simple probleme de camp su cele di medii liiare, i regimuri saice sau saioare. O simplifcare majora ese adusa, daca problema ese pla-paralela, adica soluia sa depide doar de doua coordoae careziee (x,y) si u de oae rei (x,y,z). I primul caz problema ese bidimesioala (D) iar i al doilea ea ese ridimesioala (3D). Regimurile di aceasa caegorie au ecuaii similare Poisso geeralizae (de ip elipic) ese suficiea prezearea uuia di cazuri, de exemplu regimul elecrosaic sau elcocieic. Domeiul de calcul ese alcaui di subdomeii omogee. Daele problemei: geomeria problemei: forma si dimesiuile fiecarui subdomeiu; valoarea cosaelor de maerial ε di fiecare subdomeiu; valoare sursei de camp ρ di fiecare subdomeiu; froiera se descompue i pari disjuce, iar peru fiecare se specifica ipul (Dirichle sau Neuma) si valorea codiiei de froiera. Scriei u program MATLAB care permie descrierea uei probleme de camp saioar ir-u domeiu D alcaui pri reuiuea uor drepughiuri cu lauri paralel cu axel Ox si Oy. Scopul ese de a rezolva problemele de es: calculul reziseei uei folii parae si a ueia de forma lierei L. Daiel IOAN

69 Modelarea umerica a campului elecromageic (co.) Ecuaiile campului po fi discreizae is rezolvae pri mai mule ehici: Meoda elemeelor fiie (FEM) Domeiul spaial se descompue i forme geomerice simple (riughiuri, eraedre, hexaedre, ec.) iar i fiecare se presupue o variaii simpla a soluiei (de exemplu afia faa de x, y, z). Necuoscuele problemei (gradele de liberae) su paramerii ce ideifica soluia di fiecare eleme fii sau chiar valoarea soluiei i odurile reelei de discreizare sau i ale elemee geomerice ale reelei (muchii, fee). Peru a geera sisemul de ecuaii algebrice liiare saisfacu de acesi parameri se folosese forma slaba a ecuaiei, obiua pri proiecie (Galeri) sau echivale pri miimizare (variaioala Riz). Se parcurg elemeele si se adauga coribuia lor la maricea sisemului si la ermeul liber: sub-marice de 3x3 si respeciv sub-vecori cu 3 compoee, i cazul elemeelor fiie riughiulare de ordiul uu. Se parcurg apoi laurile de pe froiera si se adauga coribuia lor la maricea sisemului (x peru cod. Neuma) si la ermeul liber. [MNCE] hp:// hp://people.sc.fsu.edu/~jburard/msrc/fem5/fem5.hml Daiel IOAN

70 dv dx Modelarea umerica a campului elecromageic (co.) Meode de ip diferee fiie (FDM), iegrale fiie, volume fiie. I aceasa abordare se folosesc de regula reele de discreizare srucurae (cu opologie regulaa) iar gradel de liberae su valorile soluiei i odurile reelei. I FDM sisemul discre de ecuaii se obie pri aproximarea derivaelor spaiale cu diferea: V V d V V V V V V ; V h dx h x y V ij Vij Vi j Vi j 4 I Tehica iegralelor Fiie (FIT) se discreizeaza forma globala a ecuaiilor. Reele de discreizare peru: FEM, FDM si BEM h V ij Daiel IOAN

71 Modelarea umerica a campului elecromageic (co.) Meoda elemeelor de froiera (BEM) are ca ecoscue (grade de liberae) valorile soluiei i odurile de pe froiera domeiului de calcul. De aceasa daa se discreizeaza doar aceasa froiera (curba i cazul D si suprafa i 3D). Sisemul fii de ecuaii se obie pri discreizara ecuaiilor iegrale ale problemei, forme echivalee ale ecuaiilor cu derivae pariale. hp://e.wiipedia.org/wii/boudaryelememehod Dupa discreizare, se obi siseme de ecuaii algebrice liiare, care i meodele FEM si FDM/FIT au maricele foare rare (dupa acum s-a vazu i fiecare ecuaie geraa cu FDM su cel mul cici ermei euli). Di aces moiv, rezolvarea se face rapid, chiar daca sisemele su de dimesiui foare mari. I cazul FEM maricea sisemului ese simerica, poziiv defiia si diagoal domiaa, ceea ce face ca rezolvarea sa se poae face foare eficie pri meode ieraive, care au u cosum miim de memorie, peru ca u geereaza umpleri. Cuoscad valorile soluiei, de exemplu poeialul scalar i odurile reelei de discreizare la FEM si FDM, se calculeaza i eapa de posprocesare si ale marimi derivae: iesiaea campului, esiui, fluxuri, rezisee, fore,ec. Daiel IOAN

72 Modelarea umerica a campului elecromageic (co.) Coiuai scrierea programului MATLAB capabil sa calculeze rezisisea uei folii de forma lierei L (cu FEM sau FDM). Folosii ca model si referia de validare programul MATLAB FEM cu 5 de isruciui, [MNCE] si [MNIE]. Exidei programul peru a rezolva clase ca mai largi de probleme i modul cel mai eficie (cosum mic de memorie si imp de calcul) Mai dificila ese rezolvarea problemelor de camp saioar i medii eliiare. I urma discreizarii se obie u sisem de ecuaii eliiare. Peru rezolvarea lor se folosesc meode ieraive, cum ese de exemplu meoda Newo-Raphso hp://e.wiipedia.org/wii/newo'smehod La fiecare ieraie se rezolva o problema liiara de camp i care cosaele de maerial (permiiviae, permeabiliae, coducaa) su cele diamice (derivaa caracerisicii eliiare dielecrice, mageice sau de coducie) I regimurile cvasisaioare sau geeral variabile, dupa discreizarea spaiala cu ua di meodele prezeae aerior se obie u sisem de ecuaii difereiale ordiare, care se rezolva pri cuadraura umerica. hp://e.wiipedia.org/wii/numericalmehodsforordiarydiffereialequaios Mai simpla ese problema de cure aleraiv, care se reprezia i complex. Daiel IOAN

73 Aplicaii. FEM i liii de cod MATLAB [MNIE]. ifile % ciese di scripul.m: a,b,c(:e); x,y,z(:); f,vf(:f) A = zeros(od,od); b = zeros(od); v = b; % marice sisem si erme liber for i = :e % parcurge elemeele si adua coribuia lor la maricea A = a(i); = b(i); 3 = c(i)]; % odurile... x=x(); x=x(); x3=x(3); y=y(); y=y(); y3=y(3); cordoaele S = (x*y3-x3*y-x*y3+x3*y+x*y-x*y)/ % si aria elemeului cure c=y-y3; c=y3-y; c3=y-y; di=x3-x; d=x-x3; d3=x-x;% proiecii lauri % coribuiile (3x3) la maricea A ale elemeului cure: c=(c*c+d*d)/(4*a); c=(c*c+d*d)/(4*a); c3=(c*c3+d*d3)/(4*a); c=(c*c+d*d)/(4*a); c=(c*c+d*d)/(4*a); c3=(c*c3+d*d3)/(4*a); c3=(c3*c+d3*d)/(4*a); c3=(c3*c+d3*d)/(4*a); c33=(c3*c3+d3*d3)/(4*a); A(,)=A(,)+c; A(,)=A(,)+c; A(,3)=A(,3)+c3; A(,)=A(,)+c; A(,)=A(,)+c; A(,3)=A(,3)+c3; A(3,)=A(3,)+c3; A(3,)=A(3,)+c3; A(3,3)=A(3,3)+c33; for i=:f % parcurge odurile de pe froiera cu cod. Dirichle =f; v()=vf(i); b()=v(); od pe froiera, vf valoare cod.dirichle for j = :od % ilocuiese ecuaia odului cu: V = valcodfr. a(,j)=; if (j~= & a(j,) ~=) b(j)=b(j)-a(j,)v(); a(j,)=; ed ed; a(,) = ; ed; v=a\b; % soluia problemei: poeialele i odurile reelei Daiel IOAN

74 FDM sub liii de cod MATLAB [MNIE]. % Rezolva ecuaia lui Laplace ir-u para cu codiii Dirichle pe froiera ifile % ciese di scripul.m: roduri pe laura, Vs,Vdr,Vjs,Vss % codiii de froiera, err eroare relaiva impusa, i r maxim de ieraii V = zeros(,); % V soluia: poeialele odurilor reelei V(:,)=Vs; V(:,)=Vdr; V(,:)=Vss; V(,:)=Vjs; impue codiiile Dirichle for = :i % ciclul de ieraii peru rezolvarea sisemului liiar eps = ; % iializarea ormei coreciei for i = :- % parcurge odurile ierioare for j = :- Vou = (V(i-,j)+ V(i+,j)+ V(i,j-)+ V(i,j+))/4; d = abs(vou-v(i,j)); V(i,j) = Vou; % coreceaza soluia if d>eps eps = d ed ed ed % eps = orma max a coreciei if eps < err*max(abs(v)) brea ed % u e ecesara memorarea maricei sisemului! surfc(v) % pos-procesare: poeialul, echipoeialele h=; [Ex,Ey]=-gradie(V,h); quiver(ex,ey); % iesiaea campului elecric MATLAB are si ale fucii uile: G=umgrid(s,) umeroeaza i G(x) odurile dir-o reea D de forma idicaa de s; spy(g) araa odurile; iar A=delsq(G) ioarce maricea laplaceaului discreiza (delsqdemo.m demosreaza rezolvarea ecuaiei Poisso cu codiii de froiera Dirichle i domeiul de forma lierei L). Cu acesea, codul aerior se rescrie i 5 liii scure. Icercai! Daiel IOAN

75 BEM sub liii de cod MATLAB [MNIE]. % Rezolva ecuaia lui Laplace peru poeialul elecrosaic ir-u domeiu D % cu codiii Dirichle si calculeaza sarcia de pe elemeele de froiera ifile % preprocesare, ciese di scripul.m: f rde elemee de froiera, % xi,yi,xf,yf,v(:) coordoaele iiiale/fiale si poeialul fiecarui eleme % eps valorea cosaei de maerial (permiiviaea) for = :f % parcurge elemeele de froiera ed za = xi()+j*+yi(); zb = xf()+j*+yf(); % afixul iiial/fial al elm for = :f % parcurge perechile de elemee de froiera z = (xi()+xf())+j*(yi()+yf())/; % afixul mediu al elm if == A(,)=abs(za-zb)* Real((-log(z-zb))); elseif % geereaza maricea A a sisemului liiar A(,)=(abs(za-zb)*Real(((z-za)*log((z-zb)/(z-za))/(zb-za)+-log(z-zb))); ed ed q = A\v/(*pi*eps); % rezolva sisemul Aq=v si calculeaza sarciile de pe elemee q=; for = :f if (v()==) q=q+q(); ed; q % pos procesare: sarcia masei Expresia poeilului logarimic, al uui fir ifii, iar pri superpoziie de o bada cu ρ s c: z a zb z za z zb V l(/ ) ; Re l l( ) s R ds V Aq A z zb Cab zb za z zb Daiel IOAN

76 Modelarea umerica a campului elecromageic (co.) Dire meodele umerice, cea mai des uilizaa i simularea campului eelcromageic ese meoda elemelor fiie FEM. Explicaiile su: flexibiliae maxima i descrierea geomeriei, a suprafeelor cube si proprieai bue ale maricei sisemului: rara, simerica, poziiv defiia si diagoal domiaa. Acesea fac ca rezolvarea sa fie eficiea emporal si spaial (mem.) Performaele uui program de camp depid, mai ales i cazul 3D, de modul i care se realizeaza discreizarea auomaa a domeiului de calcul. hp://e.wiipedia.org/wii/meshgeeraio MATLAB are fucia delauay peru geerarea reelelor riughiulare. O lisa de pachee sofware publice si comerciale peru aaliza campului ese posaa i hp://e.wiipedia.org/wii/lisoffiieelemesofwarepacages Dire cele publice meioam FEMM: hp:// iar dire cele comerciale ANSYS si COMSOL: hp://e.wiipedia.org/wii/ansys hp://e.wiipedia.org/wii/comsolmuliphysics Daiel IOAN

77 COMSOL Ierfaa cu uilizaorul, fucii La irare, poae aleage: dimesiuea problemei: (D,.5D-uidimesioal axisimeric, D,.5D- bidimesioal axisimeric sau 3D) dar si regimul campului elecromageic: saioar, c.a. sau razioriu (ES, MS, EC, MG, MQS, FW=RF). O caracerisica specifica pacheului COMSOL ese caracerul sau muifizic, permiiad rezolvarea de probleme cuplae, di cele mai diverse domeii: elecromageice, ermice, mecaice, de curgere, acusice. Cu aceasa ocazie se poae alege si ordiul elemelului fi, ire si 5 (implici ). Ecraul pricipal coie bare de comezi (meiu), isrumee, o fereasra de mesaje dar cea mai mare pare a ecraului ese ocupaa de fereasra ediorului grafic. Pricipalele irari i meiu su cele clasice: File, Edi, Opios, Help si cele specifice: Draw (ediarea geomeriei pe cale grafic- ieraciva sau pri comezi exuale), Physics (descrierea proprieailor de aura fizica, pe subdomeii, froiere si i puce: cosae de maerial si codiii de froiera), Mesh (discreizarea auomaa si corolaa a domeului si rafiarea reelei), Solve ( alegerea meodei de rezolvare a siemului discreiza, a paramerilor meodei si rezolvarea acesui sisem), Posprocessig (afisarea umerica si grafica i mai mule meode a soluiei precum si defiirea si calculul diferielor marimi fizice drivae, defiie ca iegrale pe subdomeii, froiere sau i puce), Muliphysics (cuplarea problemelor). Daiel IOAN

78 COMSOL - Exemplu: rezisea foliei L Draw: Se decriu doua drepughiri de X si x, cu colurile (-,), (,) care apoi s ereuesc ir-u domeiu com. Physics: Se specifca valoarea coduciviaii (implici Cu-5.99e7S/m) si se descriu codiiile de froiera: izol elecric pe 4 segmee, la masa u segme si valoare poeialului V=V pe segmeul superior. Mesh: Iializare reea geereaza auoma o reea de 735 riughiuri cu 4 oduri di care 7 pe froiera (534 grade de liberae). Solve: implici cu meoda direca de marice rare UMFPACK, care obie soluia i.5s. Posprocessig: se reprezea grafic soluia i mai mule forme. Se calculeaaza valoarea peru coducaa lieica pri iegrarea cureullui pe ermial. S-a obiu G=I/V= e7S/m =ζλ Λ=.39 /Λ =.5559 File: se salveaza problema i Lshape.m si se geereaza raporul Lshape.hml Daiel IOAN

79 COMSOL - Exemplu: rezisea foliei L (co.) Reprezearea grafica a soluiei: Reeaua de discreizare Hara poeilului Echipoeialele Vecorii campului elecric Liiile de cure Daiel IOAN

80 COMSOL - Exemplu: rezisea foliei L (co.) Hara i culori a poeialului Daiel IOAN