1. REŢELE ELECTRICE LINIARE DE CURENT CONTINUU

Transcript

1 . ŢL LCTC LNA D CNT CONTN ŢL LCTC LNA NALTĂŢ Vom îţelege pri reţea electrică o mulţime de elemete de circuite itercoectate la bore. elemet de circuit este u domeiu ce are legătură electrică cu exteriorul doar pritr-u umăr fiit de pucte umite bore. elemet se umeşte dipolar doar dacă are două bore. Mărimile electrice ce caracterizează reţelele electrice sut: tesitatea curetului electric mărime fizică scalară (pozitivă sau egativă) asociată uei secţiui orietate pritr-u coductor. Tesiuea electrică mărime fizică scalară (pozitivă sau egativă) asociată uei perechi orietate de bore. Petru a marca faptul că aceste mărimi sut orietate se utilizează săgeţi atât petru itesitate, cât şi petru tesiue (umite sesuri de referiţă). Vom utiliza oţiuea de od al circuitului petru puctul î care se îtâlesc cel puţi trei coductoare. Latura va fi porţiuea de circuit cuprisă ître două oduri, iar ochiul de circuit este o succesiue cotiuă de laturi care formează u cotur poligoal îchis. elaţiile fudametale ale teoriei circuitelor sut relaţiile lui Kirchhoff. elaţia (teorema) îtâi a lui Kirchhoff: Suma algebrică a itesităţilor cureţilor ce cocură la u od al uui circuit electric este ulă. (.) elaţia (teorema) a doua a lui Kirchhoff: Suma tesiuilor electrice orietate î acelaşi ses pe u ochi este ulă. (.) Petru rezolvarea reţelelor electrice (determiarea tesiuilor şi itesităţilor), la ecuaţiile lui Kirchhoff sub forma geerală se adaugă şi relaţiile impuse tesiuii şi itesităţii de către fiecare elemet de circuit î parte. Aceste relaţii (umite şi ecuaţii de fucţioare) sut specifice fiecărui elemet real. Petru a uşura studiul reţelelor electrice se itroduc u umăr de elemete cu proprietăţi idealizate umite elemete ideale.. ezistorul simbolul acestui elemet şi ecuaţia sa de fucţioare sut date î Fig... eeratorul ideal de tesiue simbolul acestui elemet şi ecuaţia sa de fucţioare sut date î Fig.. 3. eeratorul ideal de tesiue simbolul acestui elemet şi ecuaţia sa de fucţioare sut date î Fig.3.

2 P P J P J Fig. ezistorul ideal. Fig. eeratorul ideal de tesiue. Fig.3 eeratorul ideal de curet. Î cazul geeratoarelor reale de tesiue şi curet, descrise î Fig.4, ecuaţiile de fucţioare ale acestora se vor modifica î acord cu teoremele lui Kirchhoff: J Fig.4 eeratoarele reale de tesiue şi curet. Di puct de vedere eergetic, elemetele de circuit sut caracterizate cu ajutorul puterii trasferate pe la bore, mărime ce se calculează la elemetele dipolare cu ajutorul relaţiei: P (.3) Şi această mărime este orietată (poate fi absorbită sau cedată), iterpretarea sesului efectuâdu-se cu ajutorul a două reguli: a) egula de la receptoare (la care tesiuea la bore şi curetul pri elemet au acelaşi ses). Dacă P > puterea P este absorbită. Dacă P <, atuci puterea P este cedată de elemetul respectiv. b) egula de la geeratoare (la care tesiuea la bore şi curetul pri elemet au sesuri opuse). Dacă P >, puterea P este cedată. Dacă P <, atuci puterea P este absorbită de elemetul respectiv. Teorema coservării puterilor precizează că, petru u circuit electric alcătuit di compoete dipolare, suma puterilor algebrice primite la bore de elemetele sale compoete este egală cu zero. (.4) Î relaţia (.4), sesul de referiţă petru tesiuea la fel orietat petru fiecare elemet dipolar de circuit. şi itesitatea curetului este

3 O coseciţă importată a teoremei coservării puterilor o costituie Bilaţul puterilor care arată că suma puterilor cosumate pri efect electrocaloric ireversibil (Joule) î rezisteţele uui circuit electric complet este egală cu suma algebrică a puterilor cedate de sursele de eergie electrică (sursele de tesiue şi ijecţiile de curet). J (.5) Bilaţul puterilor este u istrumet deosebit de util î verificarea rezolvării uui circuit electric. Dacă acesta este verificat di puct de vedere umeric, atuci valorile determiate petru itesităţile curetului electric, respectiv tesiuile la borele elemetelor de circuit, sut cele adevărate.. TOM D CHVALNŢĂ PNT CCT D CNT CONTN Vom spue că două elemete de circuit sut echivalete dacă, avâd aceleaşi tesiui (arbitrare) la bore, cureţii absorbiţi pe la bore sut aceiaşi. emarcăm că îtr-o reţea putem substitui o parte de reţea (subreţea) cu u circuit echivalet, iar cureţii şi tesiuile î restul reţelei rămâ emodificaţi. Această observaţie permite rezolvarea reţelelor reducâdu-le pritr-o succesiue de echivalări la reţele mai simple. Teorema de echivaleţă ditre sursa reală de tesiue şi sursa reală de curet Această teoremă precizează că o sursă reală de tesiue poate fi substituită de o sursă reală de curet şi reciproc, dacă avem următoarele relaţii ître parametrii surselor de eergie: J Fig.5.chivaleţa ditre sursa reală de tesiue şi sursa reală de curet. Coexiuea surselor reale de tesiue. Coexiuea serie Spuem că mai multe surse de tesiue sut coectate î serie dacă acestea sut parcurse de aceeaşi valoare a itesităţii curetului electric. Î acest caz, relaţiile de echivaleţă sut următoarele: 3

4 Fig.6 Surse de tesiue reale coectate î serie. Î Fig.6 u s-a mai reprezetat şi simbolul de rezisteţă petru fiecare sursă î parte şi ici petru sursa echivaletă.. Coexiuea paralel Vom spue că mai multe surse reale sut î paralel dacă la borele acestora vom avea aceeaşi tesiue. Î această situaţie este mult mai comod de lucrat cu coductaţe (iversul rezisteţelor), iar relaţiile de echivaleţă vor devei: ; Fig.7. Coexiuea paralel a surselor de tesiue. Coexiuea rezisteţelor. Coexiuea serie Divizorul de tesiue. Ca şi î cazul surselor de tesiue vom spue că u umăr de rezistoare electrice sut coectate î serie dacă acestea sut parcurse de aceeaşi itesitate a curetului electric. elaţiile de echivaleţă rezultă imediat di teorema a doua a lui Kirchhoff. Fig.8 Coectarea serie a rezistoarelor. 4

5 Divizorul de tesiue este compus di două rezistete electrice coectate î serie. l prezită o importaţă practică î calcului direct al tesiuilor petru cele două rezisteţe dacă se cuoaşte tesiuea ce se aplică asamblului format de cele două rezistoare. Fig.9 Divizorul de tesiue.. Coexiuea paralel Divizorul de curet. ezisteţele vor fi coectate î paralel dacă acestea vor fi supuse la aceeaşi valoare a tesiuii. Î acest caz relaţiile de echivaleţă pot fi scrise di ou mult mai uşor folosid coductaţele. Fig. Coectarea î paralel a rezisteţelor. Divizorul de curet este compus di două rezistete coectate î paralel. Di această cofiguraţie se poate determia, (folosid teoremele lui Kircchoff) î mod direct, curetul pri fiecare rezistor,, î fucţie de curetul de la itrarea î divizor. Fig. Divizorul de curet. 5

6 Trasfigurarea stea-triughi Deseori, petru o simplificare a rezolvării circuitelor este util să se modifice schema de coexiue a uor rezisteţe di coexiuea triughi î coexiuea stea, sau ivers. Fig.Trasfigurarea stea - triughi. elaţiile de trasfigurare, uşor de demostrat î baza relaţiilor lui Kircchhof, sut: Trasfigurarea triughi stea Trasfigurarea stea - triughi (.6) Pasivizarea surselor de eergie Pri pasivizarea surselor de eergie vom îţelege suprimarea acţiuii acestora î fucţie de caracteristicile acestora aşa cum sut prezetate î Fig.3. Fig.3 Pasivizarea elemetelor de circuit. 6

7 Teoremele surselor echivalete. Teorema lui Thevei dipol liiar activ poate fi echivalat î raport cu borele sale cu o sursă reală de tesiue avâd o tesiue electromotoare egală cu tesiuea la borele dipolului de mers î gol şi o rezisteţă egală cu rezisteţa echivaletă a dipolului pasivizat î raport cu aceleaşi bore. Fig.4. Teorema lui Thevei. O teoremă asemăătoare ce are acelaşi scop este teorema lui Norto. ± dacă. Teorema lui Norto. dipol liiar activ poate fi echivalat î raport cu borele sale cu o sursă reală de curet, de itesitate egală cu cea a curetului de scurt-circuit la borele dipolului şi o coductaţă egală cu coductaţa echivaletă a dipolului pasivizat î raport cu borele sale. J ± J dacă J J Fig.5. Teorema lui Norto. Teoremele lui Thevei şi Norto se aplică atuci câd se urmăreşte determiarea itesităţii curetului sau a tesiuii la borele uei sigure laturi a uui circuit electric, evetual variaţia acestor mărimi odată cu parametrii laturii cosiderate, restul circuitului rămââd eschimbat. Teorema traferului maxim de putere Petru u dipol activ, trasferul maxim de putere de la acesta la o rezisteţă de sarciă, se realizează î mometul î care valoarea rezisteţei de sarciă este egală cu rezisteţa iteră a dipolului. Spuem că sarcia exterioară este adaptată dipolului. 7

8 Fig.6 Teorema traferului maxim de putere. Î acest caz, radametul trasferului de putere de la dipol la sarciă este : P η P max g.5 Se observă că î acest caz radametul trasmisiei de putere este iadmisibil de mic. Cu toate acestea, sut aplicaţii î care se doreşte o sarciă adaptată sursei; acesta este cazul demarorului de porire a autovehiculelor alimetate de la bateria de acumulatoare. ste ecesară trasferarea uei puteri maxime petru u timp relativ scurt, radametul putâd avea valori destul de mici..3 MTOD SSTMATC D ZOLVA A CCTLO D CNT CONTN Metodele de rezolvare utilizate î paragraful aterior, bazate pe teoremele de echivaleţă (geeratoare şi rezisteţe echivalete) pot fi aplicate uor clase reduse de probleme (ce pot fi reduse pri grupări serie sau paralel la u sigur ochi). Metodele sistematice vor fi metode ce se pot aplica la orice tip de reţea şi permit calculul tuturor cureţilor şi tesiuilor di reţea. Pri problema directă vom îţelege problema î care datele problemei sut: structura topologica a reţelei, parametrii elemetelor de circuit di reţea,, J,, iar ecuoscutele vor fi tesiuile la borele elemetelor şi cureţii pri acestea. Petru rezolvarea problemei directe se pot utiliza teoremele geerale ale lui Kirchhoff, completate cu relaţiile de fucţioare (relaţiile ditre tesiue şi curet) petru fiecare elemet. Metoda ecuaţiilor lui Kirchhoff presupue scrierea a N- ecuaţii di teorema îtâia (N fiid umărul de oduri), iar a L-N ecuaţii date de a doua teoremă (L fiid umărul de laturi). ezultă astfel u sistem compatibil determiat ce are ca ecuoscute cureţii pri laturile circuitului. 8

9 Metoda ecuaţiilor Kirchhoff Aceasta metodă prezită următorul algoritm:. Se aleg sesurile de referiţă şi se aleg cei L cureţi di reţea. Se aleg sesurile de referiţă şi se otează tesiuile la borele geeratoarelor ideale de curet.. Se scrie prima teoremă a lui Kirchhoff de N- ori petru N- oduri. (.7) Î relaţia (.7), suma este cosiderată algebrică (se trec cu plus cureţii care ies şi cu mius cureţii care itră î od). 3. Se scrie teorema a doua a lui Kirchhoff pe L-N ochiuri idepedete petru care s-au marcat î prealabil sesurile de parcurs: (.8) Î relaţia (.8) toate cele trei sume sut algebrice (termeii se trec cu mius dacă sesul de parcurs este opus sesului lui, sau ). Petru a scrie o ecuaţie pe u ochi trebuie să-l parcurgem de două ori prima dată, să urmărim rezistoarele, geeratoarele ideale de curet şi tesiuile la bore, iar a doua oară umai geeratoarele ideale de tesiue. Ochiurile pe care scriem aceste ecuaţii sut de preferabil alese astfel îcât să aibă u umăr miim de rezistoare. 4. Se rezolvă sistemul format di L ecuaţii cu L ecuoscute (cureţii pri laturi şi tesiuile la borele geeratoarelor ideale de curet) cu ua di metodele matematice cuoscute de rezolvare a sistemelor de ecuaţii liiare (substituţie, reducere, determiaţi sau pri iversare de matrici). 5. Se verifică rezultatele obţiute pri verificarea teoremelor lui Kirchhoff î odul î care u a fost utilizat sau pe alte ochiuri eutilizate. 6. Se verifică bilaţul puterilor pe reţea cu relaţia: 3 J (.9) Î relaţia (.9), suma di stâga este aritmetică ( -umărul de rezistoare), sumele di dreapta sut algebrice ( se trec cu mius doar dacă şi au seme opuse, iar J se trece cu semul mius doar dacă şi J au sesuri de referiţă similare) Metoda cureţilor ciclici O alta metodă sistematică de rezolvare a circuitelor de curet cotiuu este metoda cureţilor ciclici. Petru rezolvarea uei probleme directe cu ajutorul acestei metode se parcurg următoarele etape:. Se umără odurile (două oduri uite pritr-u coductor le vom umi pseudo-oduri şi le vom cosidera ca alcătuid u sigur od). Se umără laturile. Se calculează umărul de ochiuri fudametale cu relaţia O L N. 9

10 . Se aleg O ochiuri idepedete care se cosideră parcurse de cureţi ciclici marcâdu-se pe figură sesurile de referiţă şi valorile acestor cureţi. Dacă problema coţie geeratoare ideale de curet se aleg ochiurile astfel îcât fiecare curet ciclic să u parcurgă decât maxim u sigur geerator de curet. 3. Se scriu O ecuaţii liiare sub forma stadard: (.) 4. Se calculează ii (elemetele de pe diagoala sistemului) ca suma aritmetică a rezisteţelor de pe ochiul i. Dacă pe ochiul i se afla u geerator ideal de curet atuci ii, deci ecuaţia i u are ses şi ea se elimiă di sistem. Se calculează apoi ij ji, ca fiid rezisteţa laturilor comue i cu ochiul j ; ea se trece cu plus dacă cei doi cureţi ciclici au acelaşi ses şi cu mius dacă au sesuri opuse pri latura comuă. 5. Se calculează tesiuile ca suma algebrică a tesiuilor electromotoare ale i geeratoarelor ideale de tesiue pe ochiul i (la fel ca membrul drept di metoda ecuaţiilor lui Kirchhoff). 6. Se completează sistemul obţiut cu valorile cureţilor ciclici ce trec pri geeratoarele ideale de curet (care sut tocmai cureţii de scurt-circuit ai geeratoarelor). 7. Sistemul astfel obţiut se rezolvă cu ua di metodele cuoscute î matematică. 8. Se aleg sesurile de referiţă ale cureţilor di laturi şi se calculează aceşti cureţi ca sume algebrice de cureţi ciclici. 9. Se calculează tesiuea la borele elemetelor aplicâd ecuaţiile de fucţioare sau teorema a doua a lui Kirchhoff.. Verificările ce se pot face se bazează pe teorema a doua a lui Kirchhoff, sau bilaţul puterilor. Metoda poteţialelor la oduri Această metodă presupue următoarele etape:. Se urmăresc laturile reţelei ce coţi umai geeratoare ideale de tesiue (laturi de rezisteţă ulă). ul di odurile reţelei (de preferiţă cel î care coverg cele mai multe laturi de rezisteţă ulă), se alege ca od de referiţă (de poteţial ul). Laturile de rezisteţă ulă care u coverg î odul de referiţă se pasivizează cu ajutorul teoremei lui Vaschy, petru geeratoarele de tesiue obţiâdu-se o reţea echivaletă di puct de vedere al cureţilor cu reţeaua iiţială.. Se umără odurile şi se umerotează poteţialele lor (pseudo-odurile se vor cosidera ca u sigur od): V, V V. 3. Se scriu ecuaţii liiare sub forma stadard:

11 V V V V V V V V sc V sc sc (.) 4. Se calculează ii (elemetele de pe diagoala sistemului) ca suma aritmetică a coductaţelor laturilor ce cocură la odul i. Dacă ître aceste laturi este ua de rezisteţă ulă ii, ecuaţia respectivă se elimiă di sistem ca fiid lipsită de ses. Se calculează apoi ij ji ca fiid suma aritmetică a coductaţelor laturilor ce leagă odul i cu odul j luată cu ses schimbat. 5. Se calculează ijecţiile de curet î oduri sci, ca suma algebrică a cureţilor de scurtcircuit ai laturilor ce cocură î odul i. Cureţii de scurt-circuit ai laturilor se calculează elimiâd latura respectivă di circuit şi uid borele ei extreme. Aceşti cureţi se trec cu plus dacă săgeata geeratorului îţeapă (ijectează) odul şi cu mius dacă pleacă di od. 6. Se completează sistemul obţiut cu valorile poteţialelor de la extremităţile laturilor de rezisteţă ulă (ele sut ± tesiuile electromotoare ale geeratoarelor ideale de tesiue de pe acele laturi). 7. Sistemul obţiut se rezolvă cu ua di metodele cuoscute di matematică. 8. Se aleg sesurile de referiţă ale cureţilor di laturi şi ale tesiuilor la borele laturilor, făcâdu-se otaţiile corespuzătoare. 9. Se calculează tesiuile la borele laturilor ca difereţe de poteţial.. Se calculează itesităţile cureţilor pri laturi aplicâd teorema a doua a lui Kirchhoff pe ochiul format de latură şi sesul de referiţă al tesiuii.. Se calculează tesiuile di reţeaua iiţială utilizâd teorema a doua a lui Kirchhoff.. Se verifică rezultatele obţiute cu ajutorul teoremei îtâi a lui Kirchhoff şi pri bilaţul puterilor. ezolvarea circuitelor pri teorema lui Thevei şi Norto Teorema lui Thevei permite calculul itesităţii curetului îtr-o sigură latură di circuit. Petru aplicarea acesteia trebuie parcurse următoarele etape:. Se aleg borele A şi B de pe latura î care e iteresează curetul astfel îcât ître ele să u se afle ici u geerator (la extremităţile uui rezistor sau de-a lugul uui coductor ).. Se pasivizează reţeaua îlocuidu-se geeratoarele cu rezisteţele lor itere (geeratoarele ideale de tesiue cu, şi geeratoarele ideale de curet cu ). Se elimiă rezisteţa ditre borele A şi B. Petru reţeaua astfel obţiută se calculează rezisteţa, rezisteţa echivaletă ître borele A şi B. 3. Î reţeaua epasivizată se elimiă rezisteţa ditre borele A şi B şi se calculează tesiuea ître aceste pucte (tesiuea de mers î gol ). Această tesiue se calculează cu ua di metodele prezetate aterior (avatajul metodei Thevei este că reţeaua ce trebuie rezolvată la acest puct este mai simplă decât cea iiţială avâd o latură mai puţi).

12 4. Se calculează itesitatea şi tesiuea. O altă metodă de calcul a uei sigure mărimi (tesiue de astă data) este teorema lui Norto. Petru aplicarea acestei metode trebuie parcurse următoarele etape:. Se aleg borele A şi B astfel îcât ître ele să se afle doar u rezistor (chiar de coductaţă ulă).. Se calculează coductaţa echivaletă a reţelei pasivizate (pasivizarea se face ca şi la metoda Thevei): 3. Î reţeaua iiţială se scurt-circuitează puctele şi se calculează itesitatea curetului ce parcurge coductorul de scurt-circuit sc. Calculul acestui curet se face cu ua di metodele prezetate aterior. (ste remarcabil că reţeaua de rezolvat la acest puct are o latură mai puţi decât reţeaua iiţială, lucru ce simplifică î uele cazuri foarte mult reţeaua). 4. Se calculează tesiuea ître borele A şi B cu ajutorul reţelei itesitatea. sc şi Metoda superpoziţiei ste o metodă de rezolvare a circuitelor electrice valabilă petru circuitele liiare şi se poate sublima î următoarea afirmaţie: tesitatea curetului electric di orice latură a uei reţele electrice liiare este suma algebrică a itesităţilor cureţilor pe care i-ar stabili î acea latură fiecare ditre sursele idepedete dacă s-ar găsi sigură î reţea. Trebuie spus că suprimarea acţiuii celorlalte surse de eergie di circuit se face pri pasivizare (Fig.3). Mai trebuie meţioat că trebuie ţiută seama de semul fiecărui curet ales pri latura î care dorim să determiăm itesitatea curetului.