ELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE. SpaŃii vectoriale. Organizarea spańiilor economice ca spańii vectoriale

Transcript

1 EEMENTE DE AGERĂ SUPERIOARĂ CU APICAłII ÎN ECONOMIE SpŃ vetorle. Orgzre spńlor eoome spń vetorle DeŃe Fe V o mulńme evdă de elemete ş K u orp de slr ş e: - o lege de ompozńe teră ottă dtv + : V V V + - o lege de ompozńe eteră ottă multpltv. : V V K Spuem ă trpletul V+. este spńu lr su spńu vetorl peste orpul K ott V/K dă:. V+ ormeză o strutură de grup el. V. stse omele: V stel elemetuluttedorpulk K K V K V K V β α β α β α β α β α β α α α α α OservŃ Dă K este det u R su C tu spńul vetorl peste K este rel respetv omple. Elemetele lu V se umes vetor r elemetele lu K se umes slr. Eemplu m K A K m M m / ; u operńle:

2 de. A+ + ude m A m m de A m Cz prtulr: petru m su se ońe spńul mtrelor u o le su u o oloă ză ş dmesue. Reprezetre uu vetor îtr-o ză DeŃe Fd dń vetor { } v...v umeşte omńe lră vetorlor v ş slr α...α vetorul v α v + αv α v se Spuem ă v este u vetor omńe lră sstemulu de vetor { } I î S vetor v v... v DeŃe Vetor α K v... ş slr α...α stel îât S dă estă v v α v + αv α v v v se umes lr depedeń dă petru ore α v 0 α 0 OservŃe: Dă sstemul de vetor S { v... } susstem l său este tot lr depedet. este lr depedet tu ore v DeŃe Vetor α K OservŃe v... v v se umes lr depedeń dă u sut lr depedeń dă estă u toń ul stel îât α v 0. Dă sstemul de vetor S { v... } este tot lr depedet. este lr depedet tu ore suprsstem l său v

3 Sstemul de vetor { v} ońe vetorul ul este lr depedet. S este lr depedet v 0. Ore sstem de vetor re PropozŃe Vetor { v v... } v sut lr depedeń el puń uul este o omńe lră elorllń. v v... v sut lr depedeń r { v v... v + } sut lr depedeń tu v + este o omńe lră vetorlor { v... v v}. Dă vetor { } DemostrŃe {... } lr depedeń α α α 0. Fe α 0... α α slr α... α u toń ul stel îât Repro: dă α α α... α 0 ude oeeń α... α u sut toń ul 0;... sut lr depedeń α + u toń ul stel îât { } + + α 0 α 0 ltel α 0 α 0 ş se ońe otrdńe u potez + p. l. d. De: α α +... α+ α+ α α +

4 DeŃe Sstemul de vetor { g } G se umeşte sstem de geertor petru V dă ore vetor d V este o omńe lră tă de vetor d G dă v V g... g Gα... α K stel îât v α g DeŃe U sstem de vetor { } I ormeză o ză spńulu vetorl V dă: este sstem de vetor lr depedeń este sstem de geertor petru V. DeŃe SpŃul vetorl V se umeşte t dmesol dă re o ză tă. PropozŃe Îtr-u spńu vetorl ore vetor se sre î mod u o omńe lră de vetor ze: v e ude E { e... } ză. DemostrŃe: Fe V spńu vetorl u z {... }. geertor petru V ş DeŃe v e e v e E e Rezultă ă E este sstem de e v V... se umes oordotele vetorulu v î z E ş vom ot: e 0 0 dă l. d. [ v] E... t...

5 DeŃe Se umeşte dmesue uu spńu vetorl t dmesol X rdlul ue ze umărul de vetor l ue ze. PropozŃe Îtr-u spńu vetorl de dmesue ore sstem de vetor lr depedet ormeză o ză. DemostrŃe dm X ş M {... } lr depedet. Rămâe de rătt ă M este ş sstem de geertor. Fe X ; lră de vetor.... sstemul de vetor {... } lr depedet este o omńe OservŃe Îtr-u sstem vetor lr depedeń odń de sstem de geertor este îloută de relń dmx. Modre oordotelor uu vetor l shmre ze Î spńul V osderăm zele: { e } E H { h } ş oordotele [ ] E [ h ] E uosute. Să se determe oordotele [ ] H.

6 [ ] h E M [ ] E M DeŃe Se umeşte mtre de treere de l z E l z H mtre: C M M M M M M M re drept oloe oordotele vetorlor h eprmte î z E. [ ] [ ] [ ] [ ] H E M h h h C ot E E E.... Notăm [ ] t H... oordotele vetorulu î z H pe re treue să le determăm. Avem: e e h e. Deoree srere îtr-o ză este uă rezultă sstemul lr: M su srs mtrel:

7 C [ ] H [ ] E [ ] H C [ ] E - repreztă relń de trsormre oordotelor uu vetor pr treere de l z oă spńulu l u orere. Î R / R presupuem... [ ] E două ze d. t F G g lte E z oă ş { } ; { } R Avem: [ ] F C [ ] E ş [ ] G D [ ] E C M E F respetv D M E G ş se ońe: u mtrele de treere otte [ ] E C [ ] F D [ ] G [ ] G D C[ ] F repreztă relń de trsormre oordotelor uu vetor pr treere de l o ză orere l lt ude D C M G F este mtre de treere l shmre ze. Metode umere de rezolvre sstemelor lre Metod elmăr omplete Guss Jord permte: rezolvre uu sstem omptl de euń u euosute determre rgulu mtre mtre verse determre oordotelor modte le vetorlor odtă u shmre ze. Sstemul t... t A A elemetre l orm ehvletă: I A... este dus pr trsormăr Se plă sstemulu o trsormre elemetră T stel îât î etp mtre tştă sstemulu să ă olo eglă u e orespuzătore d mtre utte I. 0 se umeşte pvotul trsormăr EuŃ se împrte l pvot r elellte - se îloues u euń ehvletă rolul trsormăr d de ul oeeń lu î este euń ee e mplă următorele etpe l o terńe: - l pvotulu se împrte l pvot; - olo pvotulu se ompleteză u 0; - prmele - oloe rămâ eshmte; - elemetele elorllte oloe se luleză u regul pvotulu regul dreptughulu

8 Shemt regul pvotulu su dreptughulu este: p ; deve p p p Petru l pvotulu 0 se următorele operń: + / ; + / r petru elellte l vem: + l + [ ]/ ; [ ]/ l l l l l Opertor lr pe spń vetorle Fe X K DeŃe Y spń vetorle peste elş orp K. K O uńe T : X Y se umeşte opertor lr dă: X : T + T + T uńe dtvă K X : T α α T α uńe omogeă OservŃe: CodŃle ş d deńe se pot îlou u: X α β K : T α+ β α T + β T Eemple:. T : X X T opertor dettte pe X. T R [ X] R [ X] : T P P opertorul de dervre

9 3. 3 T : R R T + 3 R petru 3 3 t PropozŃe Opertorul lr T : X Y re propretăńle: T 0 0 T T T α α T Notăm X Y { T : X Y / Topertorlr} spńul Y. mulńme opertorlor lr d spńul X î Mtre tştă uu opertor Fe X Y spń vetorle peste elş orp de slr K. K K { e } o ză î X G { g K } K m E o ză î Y. ş [ T e ] Fe T X Y; T e Y G M m DeŃe Mtre A [ T e ] [ T e ] M m K m... se umeşte mtre G ; G opertorulu î zele E ş G. Se v ot u A su [ T ] A [ ] E A T. G T - repreztă srere opertorulu T u utorul mtre tşte T A.

10 Vetor ş vlor propr. DeŃe Fe V u spńu vetorl - dmesol peste orpul de slr K ş T : V V o plńe lră. U slr λ K se umeşte vlore propre petru plń lră T dă estă el puń u vetor eul v V stel îât : Tv λv Vetorul eul v V re veră relń se umeşte vetor propru petru plń lră T sot vlor propr λ.. Determre vetorlor ş vlorlor propr petru o plńe lră Fe T : V V o plńe lră u mtre plńe se m sre: A î z {... } T. RelŃ Tvλ v 0 su: AT λ E v 0V ude: A T M M M 0 E M M M ş 0 v v M v RelŃ odue l sstemul: λ v + v v 0 v + λ v v 0 3 v + v λ v 0 De oordotele vetorulu propru v eul sut soluńle sstemulu omoge 3. SoluŃle sstemulu omoge 3 u sut tote ule um dă determtul sstemulu este ul. Determtul sstemulu 3 este:

11 P λ λ M λ M M M λ se umeşte polomul rterst sot plńe lre T. EuŃ P λ 0 se umeşte euńe rterstă plńe T. Teoremă Fe T : V V λ K este o vlore propre plńe lre T dă ş um dă este rădăă euńe rterste. OservŃ. Polomul rterst de ş euń rterstă u depd de z lesă.. Vetor propr soń plńe lre T : V V petru vlorle propr determte se oń îloud vlorle propr î sstemul 3 ş rezolvâd sstemul. SoluŃle sstemulu vor oordotele vetorlor propr soń plńe T î rport u z. 3. Feăre vlor propr λ î orespud o tte de vetor propr. Sstemul omoge 3 este omptl edetermt deoree P λ 0. MulŃme soluńlor ormeză u suspńu umt suspńu propru spetrul tşt vlor propr respetve. Se oteză: Eλ { v / v V {0} Tv λv} 4. U vetor propru v pote sot vetor propru ue sgure vlor propr sote plńe lre T. OservŃ se demostreză presupuâd ă petru v vetor propru l lu T două vlor propr dă: Tv λv ş Tv βv v 0V λ v βv su λ β v 0 λβ 0 λ β presupuere este ls Orgzre spńlor vetorle spń metre ş spń ormte Fe V spńu vetorl rel

12 DeŃe FuŃ : V V R se umeşte produs slr pe mulńme V dă: V smetre + + V dtvtte î prm vrlă 3 α α α R X omogette î prm vrlă 4 0 X 0 0 OservŃe Produsul slr este lr ş î dou vrlă de este o uńolă lră poztv detă. DeŃe Se umeşte spńu euld u spńu pe re s- det u produs slr. DeŃe FuŃ. :V R u se umeşte ormă spńulu euld. PropozŃe Norm re următorele propretăń: > 0 ş 0 0 V α α α R V V egltte trughulu DeŃe Vetor ş se umes ortogol dă 0 PropozŃe U sstem de vetor eul {... } m ş ortogol do âte do este lr depedet. DeŃe

13 O ză spńulu V se umeşte ortogolă dă ş um dă vetor e sut ortogol do âte do. PropozŃe Îtr-u spńu t dmesol V estă o ză ortogolă. Proedeul Grmm Shmdt de ortogolzre ue ze orere Se pleă de l o ză orere spńulu euld { }... ş se vor ostru vetor:... λ λ λ λ Slr λ se vor determ puâd odń orre do d vetor... să e ortogol λ λ λ Se ońe: λ DeŃe O ză spńulu euld V se umeşte ortoormlă dă: - este o ză ortogolă - orm eăru vetor este Eemplu

14 Î R z oă este ortoormlă. Teoremă Îtr-u spńu euld t dmesol estă o ză ortoormlă. Fe o ză ortogolă A {... } ostrută pr proedeul Grmm-Shmdt. Se v ostru o ză ortoormlă d z A pr împărńre eăru vetor l orm s. Se ońe z:... DstŃ spńu metr DeŃe FuŃ d : V V R d V se umeşte dstńă î V. U spńu vetorl pe re s- det o dstńă se umeşte spńu metr. PropozŃe FuŃ dstńă re propretăńle: d 0 ş d 0 d d V 3 d d z + d z z V FUNDAMENTAREA OPTIMĂ A DECIZIIOR PRIN PROGRAMARE INIARĂ Formulre proleme de progrmre lră PP ş modelulu mtemt Modelre ue proleme u ońut eoom re mplă optmzre lră eestă prurgere următorelor etpe:

15 . Idetre vrlelor modelulu uńe oetv uń de eeńă e se ere optmztă restrńlor ăror le sut supuse vrlele modelulu ş evetul îtomre uu tel de dte;. Determre modelulu mtemt sot proleme de progrmre lră PP rezultte; 3. Aduere PP l orm stdrd e petru re este elort lgortmul de optmzre soluńe prml dmsle de ză; 4. Determre ue ze dmsle; 5. Aplre Algortmulu Smple Prml petru determre progrmulu optm de ză ş optmulu uńe oetv ş verre rezulttelor; 6. Iterpretre rezulttelor d put de vedere eoom ş lure deze optme î pl eoom. Forme udmetle le PP soluń lsre terpretre eoomă PP O prolemă de progrmre mtemtă repreztă determre optmulu mmulu su mmulu ue uń de vrlă vetorlă re îdepleşte umte odń restrń legătur de tp euń su euń preum ş odń de eegtvtte le vrlelor uńe. Dă tote uńle re terv î ormulre proleme de progrmre mtemtă sut lre tu prolem se umeşte prolemă de progrmre lră PP. Î z otrr se umeşte prolemă de progrmre elră. Form stdrd este e re ońe restrń de tp euń optmz restrń de tp egltte d d m + m m dm - odń de eegtvtte Mtrl orm stdrd pote eprmtă stel:

16 optmc T X AX D X 0 ude A X C D m T... T... d d... d T m OservŃ Se pote restrńle de tp egltte să e duse l orm uor restrń de tp egltte dă ele erute de orm stdrd pr dure su sădere uu terme umt vrlă ert su vrlă de ompesre. T z C X - se umeşte uńe oetv uń eoomă - spńul R l vetorulu X respetv C se umeşte spńul tvtăńlor m - vetorul D R se umeşte vetorul resurselor m - spńul R se umeşte spńul resurselor Forme oe m C T AX D X 0 X su m C T AX D X 0 X O prolemă este î ormă oă dă tote restrńle sut oordte ş tote vrlele sut eegtve. Petru prolem de mm oordte sut egltăńle u semul " ". Petru prolem de mm oordte sut egltăńle u semul " ". Algortmul Smple Prml

17 Petru rezolvre prolemelor de progrmre lră s- mpus lgortmul smple dtort lu G.. Dtzg 95.Metod permte eplorre sstemtă mulńm progrmelor pr treere de l u progrm de ză l lt progrm de ză ve re este el puń l el de u progrmul preedet. Metod urzeză rter petru puere î evdeńă ptulu ă prolem re optm t preum ş zulu î re mulńme progrmelor este vdă. Fe sstemul de m euń lre u euosute: m A ude A M R R. m Presupuem rga m. Dă m sstemul re soluń uă A r dă m< sstemul re o tte de soluń. Fe o mtre pătrtă ormtă u m oloe lr-depedete le mtr A umtă ză:... m. _ Notăm: {... m } ş {... }. m Mtre ormtă u oloele lu A re u sut î v ottă u R r R {... }. Notăm u R vetorul ormt u ompoetele lu re u se lă î. Compoetele lu se umes vrle de ză r ompoetele lu vrle seudre. R se umes Sstemul deve: R + R de ude se ońe orm epltă R R O soluńe R sstemulu se umeşte soluńe de ză dă petru ompoetele sle derte de zero orespud oloe lr depedete le lu A. Deoree rg A m< el mult m ompoete le ue soluń de ză pot eule. Dă soluń de ză re et m ompoete eule e se umeşte edegeertă î z otrr degeertă. O soluńe de ză se pote ońe d dă ulăm vrlele seudre:

18 3 R 0 Aestă soluńe de ză orespude ze ormtă u m oloe lr depedete le lu A. Se soză î est mod l ere ză o soluńe de ză. Fe... m. o ză. Cosderă orm epltă sstemulu A : 4 R R. ude R este mtre ormtă u oloele lu A re u sut î. Fe {... m } ş R {... }. Dă otăm ş 4 deve: 5 r pe ompoete: R 6. R SoluŃ de ză orespuzătore ze este dtă de: 7 R 0 Aestă soluńe de ză este progrm dă: 8 0. O ză re veră relń 8 se umeşte ză prml dmslă. FuŃ oetv se pote sre Ńâd semă de relń : z T + T R R T T R R T R

19 ude ş R sut vetor oloă vâd ompoetele ş respetv R. T T Notăm u: z z. Oservăm ă z repreztă vlore uńe oetv petru soluń de ză R 0. Cu otńle de m sus uń z deve: 9 z z z R ere ză utlztă orespude u tel smple re re î prm oloă vrlele de ză vetorul î dou oloă vlorle vrlelor de ză vetorul _ r î următorele oloe vetor. Pe o le suplmetră se tre uń oetv T z vlore s î z dă plre lgortmulu smple. z _ preum ş ttăńle eesre î z Este utl să srem lătur de olo vetorul oeeń d uń oetv. r lătur de lst vrlelor V.. V.V.. z z T z z T z Fe prolem de mm su orm stdrd:

20 m T 0 A 0 Teoremă Fe o ză prml dmslă. Dă 0 R tu progrmul de ză 7 este o soluńe optmă proleme de z progrmre lră 0. RelŃ repreztă testul de optmltte. Teoremă Fe o ză prml dmslă. Dă estă R stel îât să vem: z > 0 ş 0 tu prolem 0 re optm t. Teoremă Fe o ză prml dmslă. Dă estă R stel îât să vem: z > 0 ş >0 ş dă r se determă d odń: r m / 0 tu mtre ~ ońută d pr îloure oloe > r olo progrmul este o ză prml dmslă r progrmul ~ dă z z. r u ~ este el puń l el de u RelŃ repreztă rterul de eşre d ză.

21 Algortmul smple Psul Se determă o ză prml dmslă se luleză se tree l psul. z z ş R Psul Dă z 0 petru ore R STOP: 0 este progrm optm. Dă estă R petru re z > 0 se determă mulńme { R / z > 0} R ş se tree l psul 3. + Psul 3 Dă estă R+ stel îât să vem 0 STOP: prolem re optm t. Dă petru ore R+ vem > 0 determăm R+ olosd rterul de trre î m z z ş po dele R+ ză: 3 { } se tree l psul 4. r u rterul de eşre d ză ş ~ ~ r u olo Psul 4 Se osderă z ~ ońută d pr îloure oloe ~ ~ ~ luleză z z ş se tree l psul îloud u. se OservŃe Î zul ue proleme de mmzre um pş ş 3 lgortmulu treue modń: Psul Dă 0 z petru ore R rterul de optmltte petru prolem de R mm STOP: 0 este progrm optm. Altel se determă mulńme R { R / z < 0} ş se tree l psul 3. Psul determă 3 Dă estă R R stel îât 0 STOP: prolem re optm t. Altel se olosd rterul de trre î ză 4 { z } z olosd rterul de eşre d ză ş se tree l psul 4. m ş r R R

22 Formulele de shmre ze Clulul elemetelor ~ z ~ ~ z ~ de l psul 3 l lgortmulu smple orespuzător ze ~ r ońută pr îloure oloe u olo elemetele telulu smple orespuzător ze pr plre uor ormule. se e u Petru ońere estor ormule presupuem ără restrâge geerltte ă z este ormtă d prmele m oloe le mtre A. Telul smple orespuzător ze este următorul: r - m r - m M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M M r r r r r r M M M M M M M M M M M M M M M M m m m m m m z z z - z - z Elemetul r se umeşte pvot. r telulu smple este umtă l pvotulu r olo olo pvotulu. Avem următorele ormule:

23 ~ r r ~ r r. ~ ~ r r ~ ; \{ }. z z ~ ~ z r z z r r z r r r. Formulele de m sus se umes ormulele de shmre ze ş sut ehvlete u următorele regul de trsormre telulu smple: elemetele stute pe l pvotulu se împrt l pvot elemetele stute pe olo pvotulu dev zero u eepń pvotulu re deve elellte elemete le telulu smple se trsormă după regul dreptughulu: dă e mgăm dreptughul ăru dgolă este determtă de elemetul treue trsormt ş pvotul dereń dtre produsul produsul r r tu ou vlore r ~ re se ońe împărńd l pvot l elemetelor de pe dgol osdertă m sus ş l elemetelor stute pe elltă dgolă dreptughulu. Petru ultm le telulu se pote pl eeş regulă dreptughulu su ormulele Ńle. Form dulă PP. Teorem de dultte ş ońutul eoom l vrlelor dule Fe modelele de progrmre lră P:

24 0 ; m m 0 m X AX X T 0 ; m m g m m 0 m Y A Y Y g T T T DeŃe Modelele ş sut modele de progrmre lră P.. lte î relń de dultte smetră modelul este dulul modelulu ş vers. FuŃ rele de m multe vrle rele Modelre tvtăńlor eoome este relztă pr uń de produńe de oertă de ost de osum de erere de vet re sut eprmte pr uń de m multe vrle rele. Fe o mulńme R A. O uńe R A : detă pr R... se umeşte uńe relă de vrlă vetorlă su uńe relă de m multe vrle rele. Eemplu

25 FuŃle de produńe eprmă legătur dtre rezulttul ue tvtăń de produńe P produs glol vet Ńol ş tor re determă produń respetvă... - mter prme mloe e vestń orń de muă et. De P... : I R R DeŃe Fe : A R R ş... u put de umulre l mulńm de deńe A. Se spue ă l R este lmt uńe î putul dă petru ore ε > 0 estă N ε > 0 stel îât petru ore ş < Nε vem:... l < ε. DeŃe Fe : A R R ş... A. FuŃ este otuă î putul dă estă ş este tă lmt uńe... ş petru vem: lm DeŃe Fe : A R R ş A. FuŃ... este dervlă prńl î rport u vrl dă estă ş este tă lmt: lm Aestă lmtă se oteză... su ş se v um dervt prńlă uńe î rport u ompoet. OservŃ. D deńe rezultă ă tu âd lulăm dervt î rport u u d vrle tote elellte vrle sut osderte ostte.. FuŃ de vrle rele... re dervte prńle de ordul îtâ:....

26 3. Regulle de dervre uosute de l uń de o vrlă rămâ vlle. Dă dervtele prńle de ordul îtâ sut l râdul lor dervle prńl vom ve dervte prńle de ordul do e ormeză o mtre re se umeşte mtre hessă. H OservŃe Petru dervtele de ordul do olosm otńle: se oteză su se oteză su se oteză su se oteză su Proprette FuŃle rele de m multe vrle rele re dmt dervte prńle de ordul do otue î A. u dervtele prńle mte egle. De: DereŃl ue uń... î putul... se v lul stel: d... d d

27 DereŃl de ordul uńe este: d C d d C d d C d d d d Iterpretre eoomă dervtelor prńle Dervt prńlă ue uń... rtă vrń uńe l o reştere vrle. Petru uńle de produńe... P ude... sut tor re determă produń respetvă dervtele prńle determă eeń utlzăr ue utăń suplmetre torulu tu âd ellń tor rămâ eshmń ş se umes rdmete mrgle. Dă otăm u Y-vetul Ńol su produń î utăń ze su produsul sol totl -orń de muă utlztă su odul de slr su umărul de mutor K-ptlul utlzt su odurle e se pote sre uń C.Co P.Dougls pr: K A Y ude: A- osttă poztvă tor de proporńoltte r sut oeeń de elsttte Să lulăm petru K A Y rdmetele mrgle: K K A K Y K A K Y

28 DereŃl uńe de produńe eprmă eetul modărlor vrlelor. DereŃl de ordul îtâ uńe de produńe este: dy Y d+ YKdK Yd+ YdK - eprmă vrń solută produńe K VrŃ reltvă Y dy eprmtă pr: dy d dk + este o omńe lră vrńlor reltve le orńe de muă ş le Y K ptlulu. Dă d 0 este ostt ş d dy se pote ońe oeetul: dy dk : rport ître vrń reltvă produńe ş vrń reltvă ptlulu Y K Alog dă dk 0 se ońe dy : Y d Etremele uńlor de m multe vrle Fe : A R R ş... A DeŃe Putul este u put de mm lol dă petru ore e prńe ue veătăń lu V V A. Putul este u put de mm lol dă petru ore e prńe ue veătăń lu V V A.

29 OservŃe el petru uńle de o vrlă dă estă pute de etrem tu dervtele prńle de ordul îtâ î este pute sut ule dă DeŃe U put petru re dervtele prńle se uleză se umeşte put stńor. OservŃe Nu ore put stńor este ş put de etrem petru uńe. CodŃle suete u put stńor să e put de etrem lol sut dte de următore teoremă: Teoremă Fe R R A : ş A u put stńor. Putul este u put de mm lol l uńe dă mtre hessă smetră este poztv detă dă: " " " " " " " " " H re mor: 0 0 " " " " " > > 0 " " " " >

30 de toń mor hess sut poztv î putul. Putul v u put de mm lol dă: < 0 > 0 3 < 0... > 0 OservŃe Dă 0 u putem prez tur putulu stńor pr estă metodă. Este eesr să se determe semul orme pătrte dereńle de ordul do uńe î putul d. Etremele uńlor de m multe vrle odńote Dă se ere să se determe etremele uńe... î re vrlele p... p sut supuse uor legătur de orm: ϕ ϕ... 0 q< p p q p Se ostrueşte uń lu grge:... p... p + λ ϕ... p λqϕq... p ude λ λ... λ q sut multpltor lu grge. Se ormeză po sstemul de p+ q euń: d ϕ M ϕ q p... p p ; λ λ... λ q u p+ q euosute... p λ λ... λq O odńe suetă de etrem este : d... să păstreze sem ostt. p Dă d este poztv detă tu uń re u put de mm r dă d egtv detă uń re u put de mm odńot. este

31 Itegrle dule NoŃue de tegrlă Rem ue uń de o vrlă relă se pote geerlz petru uń de două su m multe vrle. Fe u domeu D îhs ş mărgt de domeu e pote mărgt de u tervl I d re pote împărńt l râdul său î m tervle dmesol [ ] [ ] [ ] [ ] u... ş... m. Dem orm dvzu stel: m{ } DeŃe O uńe ; : D R R mărgtă pe D este uńe tegrlă Rem pe domeul D dă estă u umăr rel I u proprette ε > 0 estă N ε > 0 stel îât petru ore dvzue domeulu D u < Nε să vem σ I < ε petru ore put M m ş sumă Rem σ Numărul I se umeşte tegrl uńe pe domeul D re se oteză I dd D OservŃe Clulul tegrle dule se redue l lulul ue egrle smple. Dă D R este u domeu smplu î rport u O ş u O de u dreptugh u lturle prlele u ele de oordote ş d tu: d d dd d d d d D Dă D R este u domeu smplu î rport u u d e de eemplu u O; dă estă : ş tu [ ] R otue pe [ ] R / [ ] { } D ş:

32 D dd d d Dă este uńe otuă pe D o ş dă estă două uń u v ş u v re dmt dervte prńle de ordul îtâ otue u determtul uńol: D Du v u u v v 0 u v D tu: petru D u v u v. dudv D u v dd D D Aest z presupue shmre de vrle. Itegrle mpropr geerlzte NoŃue de tegrlă Rem d te r uń este mărgtă pe est tervl. s- studt pe u tervl [ ] ompt dă sut Estă proleme re odu l etdere ońu de tegrlă detă l tegrlă î re uul su mele umere sut te. d d d Fe o uńe lmt tegrle pe [ ] lmtă. Adă: lm :[ R tegrlă pe [ ] petru ore >. Dă estă ş este tă tu tegrl pe [ este overgetă ş este eglă u estă d d

33 Dă lmt u estă su u este tă spuem ă tegrl este dvergetă. Alog: lm d d ş lm + d d Itegrle euleree DeŃe Se umeşte uńe Gm tegrl: Γ p 0 p e d Aestă tegrlă este overgetă petru ore prmetru p > 0. PropretăŃ: Γ p+ p Γ p p> 0 - repreztă relń de reureńă uńe Γ Γ +! N 3 Γ 4 Γ π DeŃe Se umeşte uńe et tegrl:

34 β p q 0 p q d p> 0 q> 0 Itegrl et este overgetă petru ore prmetr p ş q strt poztv. PropretăŃ: β p q β q p Γ p Γ q β p q Γ p+ q 3 β Π pq 4 β p+ q+ β p q p+ q+ p+ q 5 Dă q p0< p< vem: Π Γ p Γ p ormul omplemetelor s p Π OservŃe: Aeste tegrle e ută să lulăm overgeń multor tegrle mpropr. Cu utorul lor se dees o sere de vrle letore d teor proltăńlor. Tpur prple de euń dereńle u plń î eoome Multe modele mtemte d eoome meă ză eprmte u utorul uńlor ş l dervtelor u odus l eestte studer euńlor dereńle. Modele le eoome de pńă sut eprmte pr euń dereńle dă eestă determre ue uń re se găseşte îtr-o euńe e ońe ş dervte le uńe.

35 + Fe F o uńe detă pe u domeu D d R u vlor rele otuă î est domeu. DeŃe O relńe de orm F... 0 se umeşte euńe dereńlă de ordul. Fe ϕ : R o uńe dervlă de or î ore put l tervlulu r pote + ude pote DeŃe Se spue ă uń ϕ este soluńe euńe dereńle dă îloud î euń dereńlă uń u ϕ se ońe o dettte orre r dă F ϕ ϕ... ϕ 0 Dă î sstemul de oordote O se repreztă gr uń ϕ se ońe o ură de euńe ϕ umtă ş ură tegrlă euńe. Î uele zur î loul soluńlor ϕ se găses soluń de orm G 0 re dees soluń mplte u depzâd de r urele pe re se dees se umes ure tegrle. Dă uń F e tră î deń euńe dereńle îdepleşte odń suete petru pute sote d euń F... 0 pe dă... ude uńe de elellte vrle : D R + R este o uńe de + vrle detă pe domeul D u vlor rele ş otuă î est domeu.

36 EuŃ se umeşte tot euńe dereńlă de ordul dr re o ormă prtulră Ńă de euń deoree ońe pe epltt î rport u.... Prolem lu Cuh petru euń dereńlă de ordul de orm ostă î determre soluńe euńe re stse odńle Ńle: ude put ostt D R este u DeŃe Pr soluńe geerlă euńe derńle se îńelege o soluńe ϕ... e e depde ş de ostte... osderte prmetr rel ş u utorul ăre se pote rezolv o prolemă Cuh petru ore put d domeul D. Î ele e urmeză prezetăm âtev tpur de euń dereńle de ordul îtâ tegrle pr metode elemetre EuŃ dereńle u vrle seprle Aeste euń sut de orm: g u g 0 d Dă vom sre dervt tu euń se v pute sre seprâd vrl de : d d d g d d g SoluŃ geerlă euńe se ońe tegrâd memru u memru euń: d C g d+ EuŃ omogee

37 Sut euń de orm: d 3 d ude este o uńe omogeă de grdul zero dă stse odń: t t t t să e î domeul de deńe l uńe. orre r t stel îât Puâd t se ońe ϕ de ude rezultă ă euń dereńlă 3 este de orm: d d ϕ 4 Cu shmre de uńe u su u dervâd se ońe: du 4 se trsormă î u+ ϕu euńe u vrle seprle d EuŃ lre de ordul îtâ d d du u+ ş de euń d Form geerlă estor euń este A + + C 0 5 Presupuem ă uńle AC sut dete ş otue pe u tervl ore put l estu tervl. Dă împărńm euń 5 pr A ońem: ş ă A 0 î + P Q 6

38 ude P ş A C Q A EuŃ + P 0 7 se umeşte euńe lră omogeă OservŃe Omogette euńe 7 se reeră l seń termeulu Q d memrul stâg l euńe 6. EuŃ 7 este o euńe u vrle seprle de: d d d P su P d Itegrâd ere memru vem: l + l P d su l P d Notăm ± ş soluń geerlă este: e P d 8 Petru euń 6 se ută o soluńe de orm 8 ude este osdertă o uńe de. Aestă metodă este uosută su umele de metod vrńe ostte. Dervâd relń 8 ońem: P d + P d P e e ş îloud î 6 rezultă P e P d + e P d + P e P d Q de ude

39 + d e Q e Q d d d P d P SoluŃ geerlă euńe 6 este: + d e Q e d P d P

40

41

42