STUDIUL DEZINTEGRĂRILOR RADIOACTIVE. VERIFICAREA DISTRIBUȚIEI POISSON

Transcript

1 UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" BUCUREȘTI CATEDRA DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICĂ ATOMICĂ Ș FIZICĂ NUCLEARĂ BN STUDIUL DEZINTEGRĂRILOR RADIOACTIVE VERIFICAREA DISTRIBUȚIEI POISSON 997

2 STUDIUL DEZINTEGRĂRILOR RADIOACTIVE VERIFICAREA DISTRIBUȚIEI POISSON Scopul lucrăr Se verfcă codțle epermetle de relzre dstrbuțe Posso, flâdu-se estmtele prmetrulu ceste dstrbuț Teor lucrăr Să cosderăm u detector rdt cu u fsccul de prtcule ozte, ce sut sttstc depedete u de lt, c de eemplu u fsccul de rze cosmce su d fodul turl de rdț Ajugere ue d prtcule î detector costtue u feome îtâmplător (letoru) De cee, î cursul dfertelor tervle de tmp egle pr detector v trece u umăr dfert de prtcule Cre este î ceste codț probbltte p () t c î cursul tervlulu de tmp t î detector să jugă prtcule? O stfel de problemă este tpcă petru u umăr mre de feomee le fzc uclere, cele m multe dtre ele deosebdu-se de ce prezettă um pr cee că î locul umărulu de prtcule ce jug î detector este lut î cosderre umărul ltor feomee, c de eemplu umărul de deztegrăr le ue substțe rdoctve dtr-u umt tervl de tmp, umărul de stele α pe o umtă suprfță dtr-o emulse ucleră rdtă uform, etc Petru smplfcre, î coture se v vorb um despre umărul de evemete ce u loc îtr-u tervl de tmp t Să cosderăm u tervl de tmp dt forte mc (l lmtă ft mc) ș să presupuem că probbltte relzăr î cursul cestu tervl de tmp uu sgur evemet p ( dt ) este proporțolă cu dt, dcă: p ( dt)= dt () î cre mărme, de obce, este deumtă testte Î geerl testte pote să depdă de tmp, îsă vom presupue că e este costtă Petru c î tmpul dt să bă loc două evemete, este ecesr c după prmul evemet, î cursul tmpulu cre m răms pâă l sfârștul tervlulu dt, să bă loc cel de l dole evemet Probbltte fecăru d ceste czur este dtă de o relțe de form (), fd u ft mc de ordul îtî dtortă lu dt Avâd î vedere depedeț sttstcă celor două evemete, probbltte p ( dt) de relzre celor două evemete este eglă cu produsul probbltățlor lor, dcă v f u ft mc de ordul do î rport cu dt Î mod log e covgem că probbltățle p3( dt), p4( dt), de relzre 3,4, evemete î cursul tervlulu de tmp dt sut fț mc de ordul tre, ptru, De cee, î egltte evdetă: p0( dt) + p( dt) + p( dt) + p3( dt) + =, cre eprmă fptul că î tervlul de tmp dt re loc cu certtude u umăr orecre de evemete, se pot eglj terme de l ordul do î sus, rezultâd că: p0( dt) = p( dt), cre împreuă cu relț () dă: p0 ( dt) = dt D cestă relțe rezultă că: p0 ( dt) = () Codț () eprmă fptul că î cursul uu tervl de tmp de mărme ulă u pote ve loc c u evemet ș dec: p0( 0) = p( 0) = 0 ( )

3 Petru clculre probbltăț p ( t) vom îcepe cu cel m smplu cz, cel l probbltăț p0 ( t) c î cursul tervlulu de tmp t să u bă loc c u evemet Să cosderăm petru îceput u tervl de tmp t + dt u pre mre ș să clculăm p0 ( t + dt ) Petru c î tervlul t + dt să u bă loc c u evemet este ecesr ș sufcet c să u este c u evemet tât î tervlul t, cât ș î tervlul dt Dtortă depedețe sttstce evemetelor ce u loc î tervle depedete (esuprpuse), probbltte relzăr smulte celor două czur este eglă cu produsul probbltățlor fecăru cz î prte, dec: p0( t + dt) = p0() t p0( dt) = p0()( t dt) Pe de ltă prte, cu o precze pâă l termeul de ordul ( dt), vem că: dp0 () t p0( t + dt) = p0( t) + dt dt D cele două epres le lu p0 ( t+ dt ), după smplfcărle corespuzătore, obțem ecuț dferețlă: dp0 () t + p0 = 0 (3) dt petru determre lu p0 ( t) Rezolvâd ecuț (3) cu codț țlă (), obțem că: p0 ()= t e t (4) Să clculăm cum p () t, presupuâd C ș m îte, să clculăm petru îceput p ( t + dt) Petru c î tervlul t + dt să bă loc evemete, este ecesr ș sufcet să se relzeze uul d următorele czur: - î tervlul t u vut loc evemete, î dt c uul; - î tervlul t u vut loc evemete, î dt u evemete; - î tervlul t u vut loc evemete, î dt evemete; - î tervlul t u vut loc c u evemet, î dt u vut loc evemete Dtortă depedețe sttstce evemetelor ce u loc î tervlele esuprpuse, rezultă că: p( t + dt) = p() t p0( dt) + p () t p( dt) + p () t p( dt) p0 ( t) p ( dt) Negljâd fț mc de ordul do ș m mre, relț de m sus deve: p ( t + dt) = p () t p0( dt) + p () t p ( dt), dcă: p ( t + dt) = p ( t)( dt) + p ( t) dt Pe de ltă prte: dp () t p( t + dt) = p( t) + ( dt ) dt Comprâd cele două epres le lu p ( t + dt ) după smplfcărle corespuzătore, obțem ecuț dferețlă: dp + p = p (5) dt petru probbltte p ( t), cre trebue rezolvtă mpuâd codțle ( ) Îlocud succesv = 3,,, î ecuț (5) ș țâd cot de relț (4), obțem probbltățle p(), t p( t), ș ș m deprte Se pote vefc că soluț sstemulu de ecuț (5) ș (3) este: ( t) t p () t = e (6)!

4 Notâd t =, cre este o mărme costtă petru u tervl t ft ș o testte costtă, relț (6) deve: p e = (7)! cre repreztă lege de dstrbuțe Posso Rezulttul obțut pote f terprett î două modur Cosderâd u umăr forte mre de stlț complet detce, compuse d surse de prtcule detce, î cursul uu tervl de tmp t prmul detector îregstreză prtcule, l dole prtcule ș ș m deprte Atuc vlorle,, sut dstrbute după lege Posso (7) Cosderâd cum um u sgur detector ș o sgură sursă, detectorul v îregstr u umăr,, 3, de prtcule î cursul uu umăr mre de tervle de tmp egle ître ele Dcă testte este costtă, dec prmetrul este costt, vlorle vor f de semee dstrbute după lege Posso: p e ( ) = (8)! Fg O mărme, cre repreztă u umăr de evemete (vrbl î rport cu u umt fctor - tmp, suprfță, volum, etc), este dstrbută Posso dcă stsfce codțle: ) este u umăr îtreg ș poztv, clusv zero: b) îtr-u tervl forte mc l domeulu de vrțe se pote produce su u sgur evemet su c uul (probbltte producer două su m multe evemete î cest tervl este ulă); c) probbltte producer uu sgur evemet îtr-u semee tervl forte mc este proporțolă cu mărme tervlulu De c rezultă petru dsperse: σ = = + = (9) Dec prmetrul l dstrbuțe Posso repreztă sperț mtemtcă vrble letor, precum ș dspers σ Estmre prmetrulu l dstrbuțe Repetre de or, î codț detce, măsurăr drecte ue mărm dstrbută Posso oferă u colectv de vlor umerce,, 3,,, evdet uele vlor putâdu-se repet Probbltte W relzăr smulte tuturor celor vlor dvdule este eglă cu produsul probbltățlor dvdule: 3

5 W = e e e = e!!!! căre vlore u pote f clcultă dtortă ecuoșter prmetrulu Î potez pluzbltăț mme, drept estmt l prmetrulu se cosderă ce vlore petru cre fucț W îș tge mmul său, tuc estmtul prmetrulu l dstrbuțe se obțe d codț: lw = 0 () Logrtmâd relț (0), obțem: lw = + l l! ș dervâd î rport cu : lw = +, stfel că d codț () se obțe estmtul: * (0) = est( ) = = () cre este u estmt cosstet ș edeplst Dec, coform relțe (0), estmtul prmetrulu l dstrbuțe Posso este med rtmetcă șrulu de vlor obțute epermetle Dstrbuț vlor med Vlore mede șrulu de vlor epermetle este l râdul său o mărme fluctută Petru stbl lege s de dstrbuțe, să clculăm fucț geertore dstrbuțe Î coformtte cu Teor erorlor, fucț geertore dstrbuțe mede este: m m t ( ) = Deorece vrbl este dstrbută Posso, î coformtte cu relț (9), obțem că: stfel că: m ( ) = e e e m ( ) = e e = e e e Dervtele ceste fucț geertore sut: m ( ) = e e = e e ( e ) m ( ) = e e + e Petru = 0 se obț sperțele mtemtce: (3) (4) 4

6 = (5, 6) = + stfel că dspers este: σ = = + = (7) Dec med șrulu de vlor epermetle este o mărme dstrbută Posso cu sperț mtemtcă ș dspers Estmtul dsperse mede este dec: est( ) S = = (8) Numărul de prtcule cre jug îtr-u detector rdt de o sursă rdoctvă cu o testte costtă ș dec cdeț mpulsurlor îregstrte de detector, dcă umărul de mpulsur îregstrte î tervle de tmp egle, preztă fluctuț Petru u umăr ft de îregstrăr, presupuâd că durtele cestor sut rguros egle, umerele de mpulsur obțute sut dstrbute după lege Posso: P ( ) = e (9)! ude P( ) repreztă probbltte c l îregstrre să se obță mpulsur, r repreztă med sttstcă (sperț mtemtcă) mpulsurlor îregstrte: = P( ) (0) = 0 Petru u umăr lmtt N de îregstrăr se pote presupue că formul () îș păstreză vlbltte dor dcă N este sufcet de mre Î cest cz umărul de îregstrăr î cre se obțe celș umăr de mpulsur v f: Kc ( ) = P( ) N () ude dcele c re semfcț că cestă vlore se obțe pr clcul Kc ( ) este deft c frecveț de prț feomeulu, dcă de câte or î ser celor N îregstrăr vor f îregstrte mpulsur Î cestă lucrre se urmărește se compr petru u umăr N mre de îregstrăr, dstrbuț epermetlă vlorlor cu o dstrbuțe Posso clcultă, dcă comprre frecvețelor de prțe epermetle Ke ( ) cu frecvețele clculte Kc ( ) Petru determre probbltățlor Posso este ecesră cuoștere prmetrulu l dstrbuțe Îsă cest este ecuoscut, vlore lu depzâd de testte surse rdoctve (umărul de prtcule emse î utte de tmp), tpul detectorulu ș tesue s de fucțore, geometr îregstrăr D cestă cuză prmetrul v f îlocut cu estmtul său, cre s- demostrt f vlore mede rtmetcă șrulu de vlor epermetle: î cre K N e( ) est = = j = Ke( ) = N N j= Ke( ) repreztă umărul de vlor dferte obțute () 5

7 Î scopul îlesr clculelor, vlorle probbltățlor Posso se găsesc îtr-u tbel d e lucrăr, petru vlor le prmetrulu ître 7,0 ș 5,0 î ps de 0, Petru comprre dstrbuțlor epermetlă ș clcultă, se utlzeză testul X (Perso) Î cest scop se clculeză mărme X, deftă c: [ ] X = K K e( ) c( ) K c( ) X este, l râdul său, o mărme fluctută, prezetâd o dstrbuțe cu u umăr = grde de lbertte, îtrucât dstrbuțe Posso teoretcă s- mpus codț de ve ceș vlore mede cu dstrbuț epermetlă Probbltte de relzre ue vlor m mr decât o umtă vlore X, petru u umăr de grde de lbertte, este: Vlorle P( X y, ) = y e d y X Γ P( X, ) sut dte îtr-u tbel d e lucrăr petru vlor (3) X [ 30, ] ș [ 65, ] Se cosderă că dstrbuț epermetlă vlorlor cocordă cu o dstrbuțe Posso dcă P( X, ) re o vlore cuprsă ître 5% - 95% P (, ) repreztă probbltte c u lt smblu de determăr epermetle să prezte o btere fță de dstrbuț Posso clcultă m mre su cel puț eglă 3 Dspoztvul epermetl Motjul cuprde u detector cu sctlțe coectt l u umărător electroc NUMEPORT 537A 4 Istrucțu de utlzre umărătorulu electroc Pe poul frotl sut ptru comuttore: ALIMENTARE, IMPULSURI, CICLU UNIC, STOP Se trece comuttorul de STOP pe T, tmp, comuttorul de CICLU UNIC pe cfr, cre corespude l o puză de sec ître îregstrăr cosecutve, comuttorul de IMPULSURI pe cfr cre mrcheză umărul de secude î cre se fce îregstrre de mpulsur Se lmeteză umărătorul de l rețeu de curet ș se trece comuttorul de ALIMENTARE pe pozț LUCRU Numărul de mpulsur este fșt electroc î cset IMPULSURI r tmpul corespuzător î cset SECUNDE Î ceste codț umărătorul îregstreză tmp de două secude umărul de mpulsur detectte ș becul START este prs după cre fșeză tmp de secude (becul START este sts), șterge îregstrre teroră ș porește utomt o ouă îregstrre 6

8 5 Modul de lucru Se îtocmește u tbel î cre pe le se cosderă umărul de mpulsur fște după secude, r pe vertclă se mrcheză prț umărulu de mpulsur fșt corespuzător l fecre îregstrre cosecutvă Se recomdă c vlorle fște să fe cuprse ître 0 ș 0 Dcă umărul de mpulsur îregstrte depășesc 0 de mpulsur se mărește prgul de sesbltte l umărătorulu 6 Prelucrre dtelor epermetle Se îtocmește u tbel c cest: Ke( ) K e( ) P ( ) Kc( ) K ( )- K e c ( ) [ K ( ) K ( )] e c Kc( ) Sum N X Pe prm coloă sut trecute umerele de mpulsur dferte obțute, r pe ce de dou coloă sut trecute frecvețele de prțe epermetle Ke( ) cre se socotesc cu jutorul dtelor îscrse î prmul tbel Sum vlorlor Ke( ) repreztă umărul totl N de măsurător îregstrte Sum vlorlor K e( ) d ce de tre coloă servește l determre estmtulu prmetrulu cu () Pe ce de ptr coloă se trec vlorle probbltățlor Posso P ( ) clculte după relț (9) î cre prmetrul este îlocut cu estmtul său Aceste vlor se etrg d tbelul cu probbltăț Posso d e lucrăr Următore coloă cuprde frecvețele de prțe Kc( ) clculte cu jutorul relțe () cu o precze de o sgură zecmlă ș se promeză cu vlore îregă, pr rotujre corespuzătore Î scopul clculăr mărm X se completeză ultmele două coloe, sum vlorlor cuprse î ultm coloă reprezetâd vlore X Cu vlore X obțută ș umărul = se determă d tbelul de vlor le probbltățlor P( X, ) d e lucrăr vlore probbltăț P( X, ) Se costruesc po pe hârte mlmetrcă hstogrm teoretcă ș hstogrm epermetlă, pe celș grfc, evetul cu culor dferte; pe bscsă se cosderă umărul de mpulsur, r î ordotă frecvețele de prțe clculte Kc( ), respectv epermetele Ke( ) Refertul supr lucrăr v cuprde u rezumt l teore, cel de l dole tbel, grfcul cu cele două hstogrme ș vlore probbltăț P( X, ) 7 Utltte lucrăr; plcț î ecoome Obșure studețlor cu plcre metodelor sttstce î prelucrre evemetelor letore ș lțurlor stochstce 7

9 8 Îtrebăr prelmre ) Ce este dstrbuț sttstcă? ) Cre este prmetrul dstrbuțe Posso? 3) Cre sut codțle de vlbltte dstrbuțe Posso? 4) Î ce costă metod mme pluzbltăț? 5) Cre sut estmtele de mmă pluzbltte petru dstrbuț Posso? 6) Ce este fucț geertore ue dstrbuț? 7) Î ce costă testul X? 8) Imgț o orggrmă petru prelucrre l clcultor dtelor epermetle 9) Cre este motjul utlzt î cdrul lucrăr 0) Ce legătură cuoșteț ître dstrbuț Posso, Guss ș bomlă 9 Observț T estul este o metodă sttstcă prcplă de verfcre fptulu dcă o dstrbuțe este de tp Posso, îtrucât cest test este rpd plcbl, ș ușor de modelt î clculele eecutte utomt Deorece ître dstrbuțle Posso, Guss ș Beroull estă relț de legătură medte, obțute pe bz formule lu Stclg, se pot elbor metode sttstce de verfcre uor stfel de dstrbuț, pr etdere rezulttelor prezete lucrăr Aceste dstrbuț, fd cele m des îtâlte î formtcă, sttstcă mtemtcă, modelre procedeelor d ecoome ș tehcă, mportță ceste lucrăr se etde î fr studlor d cdrul lbortorelor de fzcă X 8