B( t B 11. NOŢIUNILE FUNDAMENTALE ŞI TEOREMELE GENERALE ALE DINAMICII Lucrul mecanic. y O j
|
|
- Ηιονη Αλεξάνδρου
- 6 χρόνια πριν
- Προβολές:
Transcript
1 . Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam. NŢIUNILE FUNDAMENTALE ŞI TEREMELE GENERALE ALE DINAMIII Reolvarea problemelor de damă se fae u ajutorul uor teoreme, umte teoreme geerale, deduse pr aplarea prplor mea, folosd âteva oţu fudametale: lurul mea, puterea meaă, radametul mea, eerga etă, eerga poteţală, eerga meaă, mpulsul sau attatea de mşare, mometul et... Lurul mea... Lurul mea al ue forţe are aţoeaă asupra uu put materal Se osderă î fgura. u put materal M are se deplaseaă pe traetora ( Γ ) sub aţuea ue forţe varable F. La mometul t putul materal se află î poţa M deftă de vetorul de poţe r, ar la mometul t + dt putul se află î poţa M deftă de vetorul de poţe r + dr. ( t ) M 0 = 0 k s A( t A ) r r + dr a M ( t) v M ( t + dt) α d r F B( t B ) j Fg.. Se umeşte luru mea elemetar al forţe F, orespuător deplasăr elemetare d r, o mărme dl egală u produsul salar dtre forţa Fş deplasarea elemetară d r dl = F dr (.) 95
2 Deoaree elemetar ma poate f srsă: Dama d r = vdt ş d r = ds = vdt epresa lurulu mea dl = F v dt = F v dt osα = F ds osα (.) udeα este ughul dtre vetorul forţă ş vetorul vteă. Folosd epresa aaltă a vetorlor F ş d r relaţa (.) deve: dl = F d + F d + F d = F v dt + F v dt F v dt (.3) + D defţa lurulu mea elemetar reultă âteva propretăţ mportate: - Lurul mea elemetar este o mărme salară avâd a utate de măsură î sstemul teraţoal de utăţ joule-ul [J] ( J = N m ). π - Lurul mea elemetar este potv âdα 0, ş se umeşte luru mea motor. π - Lurul mea elemetar este egatv âd α,π ] ş se umeşte luru mea restet. π - Daă α =, dl = 0ş se umeşte luru mea ul. orespuător ue deplasăr fte a putulu ître două poţ A ş B pe traetora urble ( Γ ) sub aţuea forţe varable F, lurul mea ft sau total are epresa: L A B B = F dr = F d + Fd + F d = F vdt + F vdt + F vdt = Fdsos α = = A t t B A B A Fvdtosα t t B A B A (.4) Se demostreaă ă lurul mea elemetar al uu uplu de momet M 0, orespuător ue rotaţ elemetare d θ este egal u: dl = M dθ = M ωdt = ( M ω + M ω M ω )dt (.5) ar lurul mea total sau ft:
3 θ. Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam Lθ M dθ M dθosβ M ωdtosβ ( M ω M ω M ω )dt θ = 0 = 0 = 0 = + + θ θ θ t t (.6) S-a otat u β ughul dtre M 0 ( mometul uplulu) ş ω (vtea ughulară) ş s-a ţut seama ă d θ = ωdt. Î geeral, lurul mea ft al ue forţe depde atât de modul um varaă forţa ât ş de forma traetore... Lurul mea al forţelor oservatve forţă este oservatvă daă dervă dtr-o fuţe de forţă, adă (,) U U U F = grad U = U = + j + k (.7) U = U, oordoatele putulu de aplaţe al forţe. D (.7) reultă ă: t t se umeşte fuţe de forţă a forţe F ş depde uma de F U U U = ; F = ; F = (.8) Petru a o forţă să admtă o fuţe de forţă trebue îdeplte odţle lu auh: F F = ; F F = ; F F = (.9) Î aest a lurul mea al forţe F este: U U U dl = Fdr = d + d + d = du (.0) Lurul mea total va f: Fdr = du = U B L = U (.) A B B A B A A 97
4 Dama A = A A A B B B B Reultă ă lurul mea total al ue forţe oservatve este depedet de forma traetore, depâd uma de poţle ţală ş fală a putulu de aplaţe al forţe. U eemplu de forţă oservatvă este forţa gravtaţoală (fg..). ude U U(,, ), U = U(,, ) h A A B k j G B Fg.. Î aest a: G = G = 0 ; G U = G =. Reultă: U = G + (.) ( ) = Gh L A B = G B A ± (.3) Pr urmare lurul mea al ue greutăţ u depde de forma traetore pe are se deplaseaă putul e de aplaţe, depde uma de poţle reme ître are se efetueaă mşarea, fd egal u produsul dtre valoarea umeră a forţe ş dfereţa de otă dtre poţle ţală ş fală ş avâd semul (+) âd deplasarea se fae î sesul forţe ş semul (-) âd deplasarea se fae î ses otrar. 98
5 . Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam..3 Lurul mea al ue forţe elaste Se osderă î fgura.3 u ar deal u ostata elastă k. Se oteaă u -alugrea ş u F e = k -forţa elastă. l 0 A A B F e M d B Fg..3 Putem sre: F e = k ; dr = d ; dl = -k d (.4) Lurul mea total orespuător ue alugr este: L = k d = k (.5) ar lurul mea total ître poţ A ş B ale apătulu arulu: 0 99 ( ) B L A B = kd = k B A (.6) A..4. Lurul mea elemetar al uu sstem de forţe are aţoeaă asupra uu sold rgd Se osderă î fgura.4 u sold rgd lber supus aţu uu sstem de forţe F ( =,,3,...,) are se redue î putul al orpulu la u torsor avâd elemetele: R = F ; M = r F (.7) 0 = = La u momet dat t rgdul are vtea ughulară ω ş putul vtea v 0. Se ere determarea lurulu mea elemetar al sstemulu de forţe orespuător deplasăr elemetare dr0 a putulu ş rotaţe elemetare d θ a rgdulu.
6 Dama Pr defţe: dl = F dr = F v dt (.8) = = F r A M0 r 0 A ω dθ d r r dr 0 R A v 0 v A.I.R. () F F Fg..4 Dar, Reultă: dl = v = v + ω r (.9) 0 ( v + ω r ) dt = F v dt + F ( ω r ) F 0 0 = = = dt = = F v dt r F 0 + ωdt = R v0dt + M0 ωdt = R dr0 + M0 dθ = = (.0)..5. Lurul mea al forţelor teroare Două pute materale M ş M j aparţâd uu sstem de pute materale teraţoeaă, forţele teroare fd otate orespuător u F, respetv r F j. Vetor de poţe a putelor î raport u putul f sut ş r j (fg..5). oform prpulu aţu ş reaţu Lurul mea elemetar aferet forţelor deplasărlor elemetare ale elor două pute este: 00 F j ş F j = F. j j F j orespuător
7 Deoaree j dl t. Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam = F j = F d j F = λ M M dl t dr + F j ( M M ) = F d( M M ) j j, reultă: dr j = F j j dr F j j dr λ ( M M ) = d( M M ) j = F j d ( r r ) j = (.) λ = λ MM j d j j = d MM j (.) M F j F j M j Daă putele materale aparţ uu sstem materal rgd dstaţa dtre pute M M = j r Fg..5 r j ostat ş a urmare dl t = 0. Putem spue ă î aul uu sstem materal rgd suma lururlor meae elemetare ale forţelor teroare este ulă petru ore deplasare a sstemulu... Puterea meaă Pr puterea meaă a ue maş se îţelege attatea de luru mea produsă de maşă î utatea de tmp. dl = = R v0 + M ω (.3) dt P 0 Utatea de măsură î sstemul teraţoal de utăţ este watt-ul [W]; J W =. Î prată se ma foloseşte ş alul putere (P); kw=,36p. s Puterea este o mărme salară potvă, egatvă sau ulă osttud o araterstă de baă a tuturor agregatelor eergete ş orăre maş. Î aul motoarelor lare: P = R v ar a elor rotatve: P = M ω (s-a otat M mometul uplulu). Daă este uosută puterea uu motor P[W] ş turaţa [rot/m], mometul motor M [N.m] se obţe u relaţa: 0
8 Dama 30 M = P (.4) π Daă puterea P este dată î P, turaţa î rot/m, mometul motor M î N.m este P M = 707 (.5).3. Radametul mea re maşă î tmpul fuţoăr e î regm permaet prmeşte u luru mea motor L m, respetv o putere motoare P m, are î permte să devolte u luru mea utl L u, respetv o putere utlă P u, măsurate la eşrea d maşa respetvă. Dfereţa Lm - Lu = Lp se umeşte luru mea perdut, ar Pm - Pu = Pp se umeşte putere perdută. Raportul dtre lurul mea utl ş el motor, egal u raportul dtre puterle utlă ş motoare se umeşte radamet mea. L L L P P u Pu m p m p η = = = = = ϕ L P L P m m m m (.6) oefetul ϕ = L p = L u P P p m se umeşte oefet de perdere. Radametul total al uu laţ de maş sau measme legate î sere este egal u produsul radametulu maşlor laţulu: η = η = (.7) Radametul total al uu agregat format d maş sau stalaţ motate î paralel este egal u suma produselor dtre radametele maşlor ş otele părţ d puterea absorbtă de feare maşă d totalul puter motoare e almeteaă îtregul agregat. ηα ; α = = = η = (.8) 0
9 .4. Eerga etă.4.. Defţ. Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam r M, a, m t F v ( Γ) M ( m ) v r M, a, m t v F ( Γ) M ( m ) v Fg..6 Fg..7 Se osderă î fgura.6 u put materal M de masă m are se deplaseaă sub aţuea forţe F pe o traetore urble ( Γ ) avâd la mometul t vtea v. Se umeşte eerge etă a putulu materal mărmea salară egală u semprodusul dtre masa ş pătratul vtee putulu: E (& + & + & ) = mv = mv = m (.9) Eerga etă este o mărme salară strt potvă are aratereaă starea de mşare a putulu la u momet dat. Utatea de măsură î sstemul teraţoal de utăţ este joule-ul [J]. Pr defţe eerga etă a uu sstem de pute materale M de mase m (fg..7) avâd vteele v ( =,,..., ) este egală u suma eerglor etă ale putelor ompoete: E = mv = mv = = = = m ( + & + & ) & (.30) U sold rgd poate f osderat ompus dtr-o ftate de pute materale de masă elemetară dm avâd vtea v (fg..8). Petru alulul 03
10 Dama eerge ete se poate utla relaţa (5.30) î are semul se îloueşte u semul, vtea v u vtea v ş masa m u dm. E = v dm = v dm (.3) ( Γ ) r ( ),, M dm t v Fg Teorema lu Kög petru eerga etă ω r δ v ' α ω v M(dm) r v r () Fg ( ) A.I.R.R
11 . Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam Î fgura.9 este repreetat u sold rgd ( ) aflat î mşare geerală. Se uoaşte masa M a orpulu, vtea v a etrulu de masă, vtea ughulară stataee ω ş mometul de erţe mea J al orpulu faţă suportul vetorulu ω plasat î etrul de masă al orpulu. Se demostreaă relaţa: E = Mv + J ω (.3) umtă teorema lu Kög petru eerga etă: Eerga etă a uu sold rgd î mşare geerală este egală u suma dtre eerga etă a etrulu de masă al soldulu rgd î are se osderă oetrată îtreaga masă a orpulu ş eerga etă a soldulu rgd î mşarea relatvă faţă de etrul maselor. D emată se şte ă vtea uu put oareare al rgdulu are epresa: v = v + ω r (.33) E + = Folosd relaţle (.3) ş (.33) se obţ suesv v ( ) ( ) dm = ( ) ( ) ( v + ω r) dm = v dm + v ( ω r) ( ω r) dm = v dm + ( v ω) rdm + ω ( r s ) {} ( ) S-a ţut seama ă ( ω r) = ω r = ω r s α Îtruât, dm = M ; ( ) rdm = Mr ( ) r ( ) ( ) ( ) α dm = δ ( ) dm + α dm = 0 ; s dm = relaţa (.34) deve: E J (.34) = Mv + J ω (.35) 05
12 Dama.4.3. Eerga etă î aul uor mşăr partulare ale uu sold rgd a) Sold rgd î mşare de traslaţe Fe u sold rgd (), avâd masa M ş vtea etrulu de masă aflat î mşare de traslaţe (fg..0). v, r v Fg..0 Deoaree ω = 0, epresa (.35) deve E = Mv (.36) Î oformtate u (.36) eerga etă a uu sold rgd aflat î mşare traslaţe este egală u eerga etrulu de masă ş are se osderă oetrată îtreaga masă a orpulu. b) Sold rgd î mşare de rotaţe î jurul ue ae fe Î fgura. este repreetat uu sold rgd () aflat î mşare de rotaţe î jurul ae fe ( ) u vtea ughulară ω. Se presupue de asemeea uosut ş mometul de erţe mea J al orpulu î raport u aa ( ). D emată se uoaşte ă vtea uu put oareare al rgdulu are epresa: v = ω r (.37) 06
13 . Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam ( ) v = ω r ω δ α r dm Fg.. E = v dm = = ω ( ) δ dm = ( ω r) J ω dm = ω r ( ) dm = ω r ( ) s α dm = (.38) ) Sold rgd î mşare de roto-traslaţe ( ) v = v 0 + ω r v 0 δ ω α r dm Fg.. 07
14 Dama Se osderă î fgura. u sold rgd aflat î mşare elodală î lugul ş î jurul ae( ) u vtea lară v ş vtea ughulară ω. Se uoaşte masa M a orpulu ş mometul de erţe mea J al aestua faţă de aa mşăr de roto-traslaţe ( ). Se şte ă vtea uu put oareare al rgdulu are epresa: E = Deoaree, v = v + ω r (.39) Eerga etă a rgdulu î aest a este: v dm = ( v0 + ω r) dm = v + v0 ( ω r) dm = v0 dm + ω r 0 dm + + ( v ω) 0 ( ω r) rdm dm + (.40) dm = M ; ω r dm = ω r s α dm = ω δ dm = ω J ; v0 ω = 0 epresa eerge ete dată de (.40) deve: E = Mv0 + J ω (.4) Se poate afrma ă eerga etă a uu sold rgd aflat î mşare de roto-traslaţe este egală u suma dtre eerga etă de traslaţe u vtea v 0 ş ea provetă d mşarea de rotaţe î jurul ae fe u vtea ughulară ω. d) Plaă aflată î mşare plaă plaă avâd masa M ş mometul de erţe mea J î raport u aa, ormală î etrul de masă pe plaul plă, se află î mşare îtr-u pla f u vtea etrulu de masă v ş vtea ughulară ω (fg..3). Eerga etă plă este dată de formula lu Kög: E = Mv + J ω (.4) 08
15 . Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam Ître v ş ω substă relaţa: v = ω I = ω d (.43) Îloud (.43) î (.4) se obţe relaţa: E ( J + Md ) = J ω = ω (.44) I î are J I este mometul de erţe mea al plă î raport u aa stataee de rotaţe I. I = A.I.R. r v h ω r I ω h I Fg..3 ( ) P m e) Sold rgd î mşare sferă (mşare de rotaţe î jurul uu put f) ( ) A.I.R. ω α v =ω r δ dm r () Fg..4 09
16 Dama Se osderă î fgura.4 u sold rgd are efetueaă o mşare de ω, ω, ω. Se rotaţe î jurul putulu f u vtea ughulară ω ( ) presupu uosute mometele de erţe meae ale rgdulu î raport u aele sstemulu de referţă. Î mşarea sferă vtea uu put oareare are epresa: E v = ω r (.45) Eerga etă a rgdulu u put f se determă u relaţa: = v dm= ( ω r) dm= ω r = ω r s αdm ω δ dm J ω = = (.46) Ţâd seama de legea de varaţe a mometelor de erţe meae î raport u ae ourete, J = J α + J β + J γ J αβ - J βγ J γα, (.47) ude α, β, γ sut osusurle dretoare ale suportulu al vetorulu ω, ş de relaţle: se obţe: E = α ω = ω ; βω = ω ; γω = ω (.48) ( J ω + J ω + J ω J ω ω J ω ω J ω ω ) (.49) Daă aele sstemulu de referţă mobl sut ae prpale de erţe, mometele de erţe etrfugale sut ule, ar (.49) a forma smplfată: E = J ω + J ω + J ω (.50).5. Eerge poteţală. Eerge meaă Se îtâles ssteme materale (o greutate stuată la o aumtă îălţme, u ar îts sau omprmat, u repet u ga sub presue, et.) are au eerge datortă poţe pe are o oupă, fd apabl să produă luru mea 0
17 . Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam daă se suprmă legăturle e meţ sstemul î poţa respetvă. Eerga de poţe a uor astfel de ssteme se umeşte eerge poteţală. Eerga poteţală a uu orp aflat îtr-o poţe oareare este egală u lurul mea osumat petru a adue orpul dtr-o poţe î are eerga poteţală se osderă ulă î poţa dată, luat u sem shmbat. ( F d + F d + F d ) E = L = = U = U (.5) p = ude U este fuţa de forţe a sstemulu. Utatea de măsură petru eerga poteţală î SI este joule-ul [ J ]. Î aul uu sstem materal suma dtre eerga etă ş eerga poteţală se umeşte erge meaă..6. Impulsul E = E + E (.5) m p Se osderă u put materal M de masă m are se deplaseaă pe traetora ( Γ ), avâd la u momet dat vtea v (fg..5). Se defeşte mpulsul sau attatea de mşare a putulu materal u vetor egal u produsul dtre masa putulu ş vtea sa. p = mv (.53) r M( m) v p = mv k 0 Fg. 5.5 Alegâd u sstem de referţă artea ş proetâd (.53) pe aele aestua se obţ relaţle: p = m; & p = m; & p = m& (.54)
18 Dama î are &,, & & sut ompoetele arteee ale vtee putele M. Utatea de măsură a mpulsulu î SI este klogram metru pe sudă [ kg m/s]. M ( m ) v K 0 r r v M ( m ) p = m v v P = Mv v Fg..6 Î aul uu sstem de pute matrale aflat î mşare (fg.5.6) mpulsul sstemulu este egal u suma mpulsurlor putelor. P = m v (.55) = Aeastă relaţe se poate pue ş sub o altă formă ţâd seama ă vtea stataee a putulu este egală u dervata î raport u tmpul a vetorulu de poţe al putulu. P = = m dr dt = d dt = m r = d dt ( Mr ) = Mr& = Mv& (.56) Aşadar mpulsul total al uu sstem de pute materale este egal u mpulsul total al uu sstem de pute materale este egal u mpulsul etrulu de masă al sstemulu î are se presupue oetrată î îtreaga masă a aestua. ompoetele arteee ale mpulsulu se obţ proetâd relaţa (.56) pe aele sstemulu de referţă. P = M& ; P = M& ; P = M& (.57)
19 . Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam Soldul rgd poate f osderat ompus dtr-o ftate de pute materale de masă dm ş vteă v (fg..7). a urmare mpulsul total se obţe u relaţa P = vdm (.58) dm v ω K K r r v P = Mv r Fg..7 a ş î aul preedet dr d d P = dm = rdm = ( Mr ) = Mr& = Mv dt dt (.59) dt Relaţa (.59) arată ă mpulsul uu rgd este egal u mpulsul etrulu de masă î are ar f oetrată îtreaga masă a rgdulu..7. Mometul et.7.. Defţ a) Mometul et al uu put materal Pr defţe mometul et al uu put materal aflat î mşare (fg..5) î raport u u pol f este egal u mometul vetorulu mpuls faţă de aelaş pol. k = r mv (.60) 3
20 Dama Proeţle aestu vetor pe aele uu sstem de ae u orgea î putul vor f: k ( & & ); k = m( & & ); k = m( & & ) = m (.6) Utatea de măsură petru mometul et î SI este klogram metru pe seudă [kg m /s]. b) Mometul et al uu sstem de pute materale Pr defţe mometul et al uu sstem de pute materale aflat î mşare (fg..6) î raport u u put f este egal u suma mometelor ete ale putelor î raport u aelaş. K = r mv (.6) = ) Mometul et al uu sold rgd Î aul uu sold rgd (fg..7) se defeşte mometul et faţă de putul f, pr relaţa: K = r vdm (.63) ş mometul et al rgdulu î mşarea relatvă faţă de etrul maselor pr relaţa: ( v v ) ( ) K = r dm = r ω r dm (.64) Relaţa (.64) poate f trasrsă matreal: K K K J = J J J J J J J J ω ω ω ; sau [ K ] = [ J] [ ω] (.65) Matrea: J J J [ J] = J J J (.66) J J J 4
21 . Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam se umeşte matrea mometelor de erţe sau tesor erţal..7.. Teorema lu Kög petru mometul et Se osderă u rgd () aflat î mşare geerală faţă de u sstem de referţă f, avâd la u momet dat t vtea etrulu de masă v ş vtea ughulară ω (fg..7). Fd uosută masa M a orpulu ş mometele de erţe meae ale aestua î raport u sstemul de ae, legate de orp, se ere determarea relaţe dtre mometul et al orpulu faţă de putul f ş mometul et al orpulu î mşarea relatvă faţă de etrul de masă. Îloum î (.63) egaltăţle r = r + r; v = v + ω r K ( r + r) ( v + ω r) = dm = r + r v dm + r ( ω r) dm = v dm + + r ( ω r) dm + = r v dm + r ω rdm + rdm v + ( ) r ω r dm (.67) Îtruât, dm = M; rdm = M r = 0; r ( ω r) dm = K, relaţa (.67) deve: K = r Mv + K (.68) Relaţa (.68) eprmă teorema lu Kög petru mometul et oform ărea, mometul et al uu sold rgd (sstem materal) î raport u u put f este egal u suma dtre mometul et al etrulu de masă î are se osderă oetrată îtreaga masă a orpulu (sstemulu materal) ş mometul et K reultat d mşarea relatvă a orpulu (sstemulu materal) î raport u etrul maselor. 5
22 Dama.7.3. Mometul et î aul uor mşăr partulare ale rgdulu a) sold rgd aflat î mşare de traslaţe Fe u sold rgd aflat î mşare de traslaţe (fg..8), avâd masa M ş vtea stataee a etrulu de masă v. r v K Fg..8 Îtruât ω = 0 K = 0 (.69) K = r Mv (.70) b) Sold rdg aflat î mşare de rotaţe î jurul uu put f Se osderă u sold rgd are efetueaă o mşare de rotaţe î jurul putulu f (fg..9) u vtea ughulară ω. Se uos mometele de erţe meae ale orpulu î raport u aele sstemulu de referţă, soldar u rgdul. oform (.63), daă = ş r = r, 6 K = r vdm (.7) Avâd î vedere legea dstrbuţe vteelor î mşarea sferă a rgdulu v = ω r (.7) ( ω r) ( ) K = r dm = r ωdm ω r rdm (.73)
23 . Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam v ( ) A.I.R ω r K,, M dm Fg. 5.9 () Epresle aalte ale vetorlor are terv (.73) sut K = K + K j + K k; r = + j + k; ω = ω + ω j ω k (.74) + Îloud (.74) î (.73) ş ţâd seama de epresle mometelor de erţe meae aale ş etrfugale, pr detfarea oefeţlor versorlor d e do membr, se obţ proeţle vetorulu momet et pe aele sstemulu de rferţă mobl. Aestea pot f eprmate sub formă matreală: K J J J ω K = J J J ω (.75) K J J J ω sau restrâs [ K ] = [ J ] [ ω] (.76) Daă aele sstemulu de referţă mobl sut ae prpale de erţe, atu mometele de erţe etrfugale sut ule ş: K J ; K J ; K = J = ω = ω ω (.77) ) Sold rgd î mşare de rotaţe î jurul uu a f Î fgura (.0) este repreetat u sold rgd aflat î mşare de rotaţe î jurul uu a f oareare ( ). Se uos vtea ughulară ω ş mometele 7
24 Dama de erţe aale ş etrfugale ale rgdulu î raport u sstemul de referţă, legat varabl de soldul rgd. Mometul et al rgdulu î raport u putul f de pe aa ( ) se poate alula a ş î aul mşăr sfere deoaree mşarea de rotaţe î jurul uu a f este u a partular al mşăr sfere î are aa stataee de rotaţe deve fă. Astfel, proeţle vetorulu momet et pe aele sstemulu de referţă mobl sut date de (.75) sau (.77), după um aest sstem u este sau este sstem de ae prpale de erţe.,, M dm v ( ) r ω K 0 ( ) Fg. 5.0 Daă aa ( ) ode u aa, atu K Daă î plus aa ( ) = J ω; K = J ω; K J ω (.78) = este aă prpală de erţe, atu: K = K = 0; K = Jω; K = Jωk (.79) d) Plaă aflată î mşare plaă Se osderă o plaă moblă ( P m ) î mşare î plaul f u vtea etrulu de masă v ş vtea ughulară ω (fg..). Se uoaşte masa plă ş mometul de erţe J faţă de aa, ormală î etrul de masă al plă pe plaul plă. D putul de vedere al dstrbuţe de vtee mşarea plaă repretă o suprapuere a două mşăr: o mşare de traslaţe u vtea v a etrulu de masă ş o mşare de rotaţe u vtea ughulară ω î jurul ue ae perpedulare î pe plaul mşăr. 8
25 . Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam Fg.. Mometul et î mşarea relatvă faţă de etrul de masă este dat de relaţa (.79) K = Jω k; K = Jω (.80) ar mometul et faţă de de formula lu Kög. K [ M( v v ) + J ω] k = r Mv + K = (.8).8. Teorema de varaţe a eerge ete M ( m ) F a k K 0 M ( m ) r r v ϕ ω v Fg.. k K F t F ( ) I A.I.R. I ( Γ ) a F + F a j j ϕ ( ) P m t M ( m ) F 9
26 Dama Se osderă u sstem de pute materale M, avâd masele m, vteele v, aeleraţle a ş vetor de poţe r îtr-u sstem de referţă, aflat î mşare sub aţuea uu sstem de forţe eroare F (=,,,). Asupra putulu M aţoeaă forţa F ş reultata t forţele teroare F = F, j =, j, u are elelalte - pute j= j teraţoeaă u putul M (fg..). Petru feare put materal putem sre legea fudametală a dam: t m a = F + F (.8) Îmulţd salar amb membr a relaţe (.8) u relaţle obţute petru =, reultă d r ş îsumâd Dar = = = 0 m a dr = F dr + F dr (.83) dv d d m a dr = m dr = mv dv = mv = mv = de = dt = = dt dt = (.84) = F dr = dl ; = t = t F dr = dl t, (.85) t ude dl ş dl repretă repretă lurul mea al forţelor eroare, respetv al forţelor teroare. Se obţe: t de = dl + dl (.86) relaţe e eprmă matemat teorema de varaţe a eerge ete sub formă elemetară sau dfereţală î aul uu sstem de pute materale: varaţa elemetară a eerge ete a uu sstem de pute materale este egală u suma dtre lurul mea elemetar al forţelor eroare ş lurul mea al forţelor teroare, orespuător deplasăr elemetare a sstemulu materal î tervalul de tmp dt. Itegrâd relaţa (.86) se obţe forma ftă sau tegrală a teoreme de varaţe a eerge ete.
27 . Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam î are E etă a sstemulu la mometul t, + t E = L L (.87) E este eerga etă a sstemulu la mometul t, E este eerga L repretă lurul mea total al t forţelor eroare î tervalul de tmp t tş L repretă lurul mea total al forţelor teroare î aelaş terval de tmp. Î aul soldulu rgd, avâd î vedere ă dl t t = 0 ; dl = 0 (.88) forma dfereţală a teoreme de varaţe a eerge ete este: ar ea ftă: E de = dl (.89) E = L (.90).9. Teorema de varaţe a mpulsulu M ( m ) P & = Ma F R K & M r r a M ( m ) Fg..3 M ( m ) v F F a t F F + F t Aeastă teoremă va f demostrată tot î aul uu sstem de pute materale, reultatele fd apo se petru u sold rgd sau u sstem de orpur rgde. Fe u sstem de pute materale vteele F ( ) v ş aeleraţle M de mase m aflat î mşare u a sub aţuea uu sstem de forţe eroare =. Asupra putulu M aţoeaă atât forţa F ât ş reultata
28 j= Dama t F = F ( j =, j ) a forţelor teroare u are elelalte pute j teraţoeaă u putul M (fg..3). Petru feare put separat d sstem este valabl prpul al dolea al mea srs sub forma: t m a = F + F (.9) Srd relaţ de forma (.9) petru toate putele sstemulu ş îsumâdu-le membru u membru obţem: = Dar, dv d d ma = m = dt dt dt = = t m a = F + F (.9) = = = d dt ( m v ) = m v = ( P) = P = î raport u tmpul a vetorulu mpuls total; F = = t F = = R 0 -vetorul reultat al forţelor eroare; &, adă dervata -deoaree forţele teroare sut două âte două egale î modul, avâd aelaş suport ş sesur otrar. Reultă: P & = R (.93) Relaţa (.93) eprmă teorema de varaţe a mpulsulu petru u sstem de pute materale: dervata î raport u tmpul a vetorulu mpuls total al uu sstem de pute materale este egală u vetorul reultat al forţelor eroare aplate putelor sstemulu. Deoaree P = Mv, P & = Mv& = M a, (.94) ude: M-este masa sstemulu de pute materale; v -este vtea etrulu de masă al sstemulu de pute materale; a -este aeleraţa aeluaş etru de masă,
29 . Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam se obţe: M a = R (.95) Teorema de varaţe a mpulsulu sub forma (.95) poartă umele de teorema mşăr etrulu de masă u următorul euţ: etrul de masă al uu sstem de pute materale are mşarea uu sgur put a ăru masă este egală u masa totală a sstemulu âd asupra ărua ar aţoa vetorul reultat al forţelor eroare. Ehvaleţele salare ale euaţlor vetorale (.93) ş (.95) sut: P & = M & = R ; P & = M & = R ; P & = M & = R (.96) Itegrâd (.93) petru două ofguraţ la mometele t ş t obţem forma ftă a teoreme de varaţe a mpulsulu: t P P = R dt (.97) ude: P = Mv, P = Mv Daă vetorul reultat al forţelor eroare este ul sau proeţa sa pe o aă fă este permaet ulă ( R = 0, respetv de eemplu R = 0 ), mpulsul total, respetv proeţa mpulsulu pe aea aă este varabl î tmp (se oservă). Se obţ astfel tegralele prme: t P = Mv = t., respetv P = M& t. (.98) = Î aest a etrul de masă are o mşare retle ş uformă sau, î partular, rămâe î repaus, respetv proeţa etrulu maselor pe aea aă se mşă uform sau, î partular, rămâe pe lo. Reultatele obţute sut valable ş petru u sold rgd sau u sstem de orpur rgde..0. Teorema de varaţe a mometulu et î raport u u put f Fe u sstem de pute materale M de mase m, avâd vteele ş aeleraţle stataee v ş a ş vetor de poţe r îtr-u sstem de referţă f. Putele se află î mşare sub aţuea uu sstem de forţe 3
30 eroare F ( ) Dama =. Asupra putulu M aţoeaă forţa eroară t ş reultata F F, ( j =, j ) = j= j 4 F a forţelor eroare u are elelalte - pute teraţoeaă u M (fg..3). Srem petru putul M legea fudametală a dam t m a = F + F (.99) Îmulţm vetoral la stâga e do membr a relaţe (.99) u r ş îsumăm relaţle obţute dâd lu valor de la la. Se obţe: Î relaţa (5.00): = = t r m a = r F + r F (.00) = = d dr d ma = dt dt = dt = r ( r mv ) mv = r mv = K = K adă dervata î raport u tmpul a mometulu et faţă de putul ; = = r F = M t - mometul reultat al forţelor eroare faţă de polul. r F = 0 - deoaree forţele teroare sut două âte două egale î modul, avâd aelaş suport ş sesur opuse. Reultă: K & = M d dt &, (.0) Relaţa (.0) eprmă teorema mometulu et î raport u u put f petru u sstem de pute materale, oform ărea: dervata vetorală î raport u tmpul a mometulu et al uu sstem de pute materale alulat faţă de u put f este egală u mometul reultat al sstemulu forţelor eroare aplate putelor sstemulu, alulat faţă de aelaş put f. Daă mometul reultat al forţelor eroare î raport u u put f este ul ( M 0) = atu K & = 0 ş de K = t. (.0)
31 . Noţule fudametale ş teoremele geerale ale dam adă mometul et se oservă. Euaţa (.0) este o tegrală prmă a teoreme mometulu et. Ehvaletele salare ale euaţe (.0) sut K & = ; M K & = ; M K & = (.03) M Daă mometul reultat al forţelor eroare î raport u o aă fă (de eemplu ) este ul atu faţă de aa respetvă mometul et se oservă: M = 0 ; K& = 0 ş de K = t. (.04) Itegrâd (.0) se ajuge la forma ftă a teoreme de varaţe a mometulu et t K K = M dt (.05) t Reultatele obţute sut valable ş î aul sstemelor de orpur rgde... Teorema de varaţe a mometulu et î raport u etrul maselor Se osderă u rgd () aflat î mşare î raport u u sstem de referţă f sub aţuea uu sstem de forţe eroare F (,,..., ) =. De orp este varabl legat de sstemul de referţă, u orgea î etrul de masă (fg..4). Se urmăreşte determarea relaţe dtre mometul et al orpulu î mşarea relatvă faţă de etrul de masă ş mometul reultat al forţelor eroare faţă de aelaş put. Srem teorema lu Kög petru mometul et ş o dervăm î raport u tmpul & K & = r Mv + r Ma + K (.06) oform teoreme mometulu et faţă de putul f ş teoreme mşăr etrulu de masă se poate sre: & ude: K & = M ; M a = R (.07) 5
32 Dama M = r F este mometul reultat al forţelor eroare faţă de ş = R = F este vetorul reultat al forţelor eroare. = Termeul, r & Mv = v Mv = 0 r dm r A v r r A ω F ε v a & K = M K & P = Ma = R K r F A P F & K = M Fg..4 Astfel, relaţa (.06) deve: M = r R + K sau & K & = M r R (.08) oform leg de varaţe a mometulu reultat la shmbarea polulu de reduere : M r R = M ; M = r F (.09) = Se obţe: K & = M, (.0) relaţe e eprmă teorema de varaţe a mometulu et î raport u etrul maselor oform ărea: dervata î raport u tmpul a vetorulu momet et al uu sstem materal î mşarea relatvă faţă de etrul de masă al sstemulu este egală u mometul reultat al forţelor eroare alulat î raport u aelaş etru de masă. 6
Cursul 7. Spaţii euclidiene. Produs scalar. Procedeul de ortogonalizare Gram-Schmidt. Baze ortonormate
Lector uv dr Crsta Nartea Cursul 7 Spaţ eucldee Produs scalar Procedeul de ortogoalzare Gram-Schmdt Baze ortoormate Produs scalar Spaţ eucldee Defţ Exemple Defţa Fe E u spaţu vectoral real Se umeşte produs
Διαβάστε περισσότεραNote de curs "Mecanica teoretică"
UNIVERSITATEA DE STAT B. P. HASDEU DIN AHUL FAULTATEA DE ENIE, INFRATIĂ ŞI ATEATIĂ ATEDRA DE INGINERIE ȘI ȘTIINȚE APLIATE Note de curs "ecaca teoretcă" Elaborat: lect. uv. Buea ara uprs Itroducere...4
Διαβάστε περισσότεραdef def punctul ( x, y )0R 2 de coordonate x = b a
Cetrul de reutte rl-mhl Zhr CENTE E GEUTTE Î prtă este evoe să se luleze r plălor ple de ee vom det plăle ple u mulńm Ştm ă ms este o măsură ttăń de mtere dtr-u orp e ms repreztă o uńe m re soză eăre plă
Διαβάστε περισσότερα9. CIRCUITE ELECTRICE IN REGIM NESINUSOIDAL
9. CRCE ELECRCE N REGM NESNSODAL 9.. DESCOMPNEREA ARMONCA Ateror am studat regmul perodc susodal al retelelor electrce, adca regmul permaet stablt retele lare sub actuea uor t.e.m. susodale s de aceeas
Διαβάστε περισσότεραSisteme cu partajare - continut. M / M /1 PS ( numar de utilizatori, 1 server, numar de pozitii pentru utilizatori)
Ssteme cu partajare - cotut Recaptulare: modelul smplu de trafc M / M / PS ( umar de utlzator, server, umar de pozt petru utlzator) M / M / PS ( umar de utlzator, servere, umar de pozt petru utlzator)
Διαβάστε περισσότεραNICOLAE PERIDE MIHAELA-GRETI CHIŢU CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI
NICLAE PERIDE MIHAELA-GRETI CHIŢU CURS DE MECANICĂ PENTRU INGINERI N R' T R T M [P] [S] R N R VLUMUL I STATICA Refereţ ştţfc: Prof. uv. dr. doc. g. RADU P. VINEA Preşedtele Academe Româe de Ştţe Tehce
Διαβάστε περισσότεραT R A I A N. Numere complexe în formă algebrică z a. Fie z, z a bi, Se numeşte partea reală a numărului complex z :
Numere complexe î formă algebrcă a b Fe, a b, ab,,, Se umeşte partea reală a umărulu complex : Re a Se umeşte coefcetul părţ magare a umărulu complex : Se umeşte modulul umărulu complex : Im b, ş evdet
Διαβάστε περισσότερα2. Sisteme de ecuaţii neliniare
Ssteme de ecuaţ elare 9 Ssteme de ecuaţ elare Î acest catol abordăm roblema reolvăr umerce a sstemelor de ecuaţ alebrce elare Cosderăm următorul sstem de ecuaţ î care cel uţ ua d ucţle u este lară Sub
Διαβάστε περισσότεραCurs 3. Spaţii vectoriale
Lector uv dr Crsta Nartea Curs Spaţ vectorale Defţa Dacă este u îtreg, ş x, x,, x sut umere reale, x, x,, x este u vector -dmesoal Mulţmea acestor vector se otează cu U spaţu vectoral mplcă patru elemete:
Διαβάστε περισσότεραCu ajutorul noţiunii de corp se defineşte noţiunea de spaţiu vectorial (spaţiu liniar): Fie V o mulţime nevidă ( Ø) şi K,,
Cursul 1 Î cele ce urmează vom prezeta o ouă structură algebrcă, structura de spaţu vectoral (spaţu lar) utlzâd structurle algebrce cuoscute: mood, grup, el, corp. Petru îceput să reamtm oţuea de corp:
Διαβάστε περισσότεραSondajul statistic- II
08.04.011 odajul statstc- II EŞATIOAREA s EXTIDEREA REZULTATELOR www.amau.ase.ro al.sac-mau@cse.ase.ro Data : 13 aprle 011 Bblografe : ursa I,cap.VI,pag.6-70 11.Aprle.011 1 odajul aleator smplu- cu revere
Διαβάστε περισσότεραProcese stocastice (2) Fie un proces stocastic de parametru continuu si avand spatiul starilor discret. =
Xt () Procese stocastce (2) Fe u proces stocastc de parametru cotuu s avad spatul starlor dscret. Cu spatul starlor S = {,,, N} sau S = {,, } Defta : Procesul X() t este u proces Markov daca: PXt { ( )
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 2 SERII FOURIER. discontinuitate de prima speţă al funcţiei f dacă limitele laterale f ( x 0 există şi sunt finite.
CAPITOLUL SERII FOURIER Ser trgoometrce Ser Fourer Fe fucţ f :[, Remtm că puctu [, ] se umeşte puct de b dscotutte de prm speţă fucţe f dcă mtee tere f ( ş f ( + estă ş sut fte y Defţ Fucţ f :[, se umeşte
Διαβάστε περισσότεραSisteme cu asteptare - continut. Modelul simplu de trafic
Ssteme cu asteptare - cotut Recaptulare: modelul smplu de trafc Dscpla cadrul cozlor de asteptate M / M / Modelul ( server, pozt de asteptare ) Aplcat modelarea trafculu de date la vel de pachete M / M
Διαβάστε περισσότεραAnaliza bivariata a datelor
Aaliza bivariata a datelor Aaliza bivariata a datelor! Presupue masurarea gradului de asoiere a doua variabile sub aspetul: Diretiei (aturii) Itesitatii Semifiatiei statistie Variabilele omiale Tabele
Διαβάστε περισσότεραTEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE. Obiective:
TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE 77 TEMA 9: FUNCȚII DE MAI MULTE VARIABILE Obiective: Deiirea pricipalelor proprietăţi matematice ale ucţiilor de mai multe variabile Aalia ucţiilor de utilitate şi
Διαβάστε περισσότερα2. Metoda celor mai mici pătrate
Metode Nuerce Curs. Metoda celor a c pătrate Fe f : [a, b] R o fucţe. Fe x, x,, x + pucte dstcte d tervalul [a, b] petru care se cuosc valorle fucţe y = f(x ) petru orce =,,. Aproxarea fucţe f prtr-u polo
Διαβάστε περισσότεραNumere complexe. a numerelor complexe z b b arg z.
Numere complexe Numere complexe Forma algebrcă a numărulu complex este a b unde a ş b sunt numere reale Numărul a se numeşte partea reală a numărulu complex ş se scre a Re ar numărul b se numeşte partea
Διαβάστε περισσότεραEvaluare : 1. Continuitatea funcţiilor definite pe diferite spaţii metrice. 2. Răspunsuri la problemele finale.
Modulul 4 APLICAŢII CONTINUE Subecte :. Cotutatea fucţlor defte pe spaţ metrce.. Uform cotutatate. 3. Lmte. Dscotutăţ lmte parţale lmte terate petru fucţ de ma multe varable reale. Evaluare :. Cotutatea
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada Naţională de Matematică Etapa locală Clasa a IX-a M 1
Calea 13 Septembrie, r 09, Sector 5, 0507, București Tel: +40 (0)1 317 36 50 Fax: +40 (0)1 317 36 54 Olimpiada Naţioală de Matematică Etapa locală -00016 Clasa a IX-a M 1 Fie 1 abc,,, 6 şi ab c 1 Să se
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE TEORIA PROBABILITĂŢILOR
CAPITOLUL ELEMENTE DE TEORIA PROAILITĂŢILOR Câmp de evemete U feome îtâmplător se poate observa, de regulă, de ma multe or Faptul că este îtâmplător se mafestă pr aceea că u ştm date care este rezultatul
Διαβάστε περισσότεραPlanul determinat de normală şi un punct Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Planul determinat de 3 puncte necoliniare
1 Planul în spaţiu Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru 2 Ecuaţia generală Plane paralele Unghi diedru Fie reperul R(O, i, j, k ) în spaţiu. Numim normala a unui plan, un vector perpendicular pe
Διαβάστε περισσότεραCURS 10. Regresia liniară - aproximarea unei functii tabelate cu o functie analitica de gradul 1, prin metoda celor mai mici patrate
Y CURS 0 Regresa lară - aproxmarea ue fuct tabelate cu o fucte aaltca de gradul, pr metoda celor ma mc patrate 30 300 90 80 70 60 50 40 30 0 y = -78.545x + 33.4 R² = 0.983 0 0. 0.4 0.6 0.8. X Fe o fucţe:
Διαβάστε περισσότεραCOMBINATORICĂ. Mulţimile ordonate care se formează cu n elemente din n elemente date se numesc permutări. Pn Proprietăţi
OMBINATORIĂ Mulţimile ordoate care se formează cu elemete di elemete date se umesc permutări. P =! Proprietăţi 0! = ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )! =!! =!! =! +... Submulţimile ordoate care se formează cu elemete
Διαβάστε περισσότεραUNIVERSITATEA POLITEHNICA DIN BUCUREŞTI TFACULTATE A DE EN ERGE BAZELE ELECTROENERGETICII
NVERSTATEA POLTEHNCA DN BCREŞT FACLTATEA DE ENERGETCǍ BCREST TFACLTATE A DE EN ERGE CA LCA DMTR CĂTĂLN DMTR BAZELE ELECTROENERGETC BCREŞT, 004 CPRNS CAP.. BAZELE TEORE MACROSCOPCE A ELECTROMAGNETSML..
Διαβάστε περισσότεραSunt variabile aleatoare care iau o infinitate numărabilă de valori. Diagrama unei variabile aleatoare discrete are forma... f. ,... pn.
86 ECUAŢII 55 Vriile letore discrete Sut vriile letore cre iu o ifiitte umărilă de vlori Digrm uei vriile letore discrete re form f, p p p ude p = = Distriuţi Poisso Are digrm 0 e e e e!!! Se costtă că
Διαβάστε περισσότεραCurs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate.
Curs 10 Funcţii reale de mai multe variabile reale. Limite şi continuitate. Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Fie p, q N. Fie funcţia f : D R p R q. Avem următoarele
Διαβάστε περισσότεραSEMINARUL 3. Cap. II Serii de numere reale. asociat seriei. (3n 5)(3n 2) + 1. (3n 2)(3n+1) (3n 2) (3n + 1) = a
Capitolul II: Serii de umere reale. Lect. dr. Lucia Maticiuc Facultatea de Hidrotehică, Geodezie şi Igieria Mediului Matematici Superioare, Semestrul I, Lector dr. Lucia MATICIUC SEMINARUL 3. Cap. II Serii
Διαβάστε περισσότεραSUBGRUPURI CLASICE. 1. SUBGRUPURI recapitulare
SUBGRUPURI CLASICE. SUBGRUPURI recapitulare Defiiţia. Fie (G, u rup şi H o parte evidă a sa. H este subrup al lui G dacă:. H este parte stabilă a lui G;. H îzestrată cu operaţia idusă este rup. Teorema.
Διαβάστε περισσότεραELECTROTEHNICĂ ŞI ELECTRONICĂ
MIHAI PUIU - BERIZINŢU ELECTROTEHNICĂ ŞI ELECTRONICĂ CURS OBIECTUL ŞI IMPORTANŢA CURSULUI DE ELECTROTEHNICĂ ŞI ELECTRONICĂ Electrotehca este ua d ramurle mportate ale ştţelor tehce care se ocupă cu studul
Διαβάστε περισσότεραTEMA 3 - METODE NUMERICE PENTRU DESCRIEREA DATELOR STATISTICE
TEMA 3 - METODE NUMERICE PENTRU DESCRIEREA DATELOR STATISTICE Obectve Cuoaşterea metodelor umerce de descrere a datelor statstce Aalza rcalelor metode umerce etru descrerea datelor cattatve egruate Aalza
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL 2. Definiţia Se numeşte diviziune a intervalului [a, b] orice submulţime x [a, b] astfel încât
Cp 2 INTEGRALA RIEMANN 9 CAPITOLUL 2 INTEGRALA RIEMANN 2 SUME DARBOUX CRITERIUL DE INTEGRABILITATE DARBOUX Defţ 2 Se umeşte dvzue tervlulu [, ] orce sumulţme,, K,, K, [, ] stfel îcât = { } = < < K< <
Διαβάστε περισσότεραIII. TERMODINAMICA. 1. Sisteme termodinamice
- 80 - III. ERMODINMI. steme termodamce.. tăr ş procese termodamce. rcpul geeral ermodamca studază procesele zce care au loc î ssteme cu u umăr oarte mare de partcule, î care terv ş eomee termce. sstem
Διαβάστε περισσότεραDin această definiţie a probabilităţilor rezultă următoarele proprietăţi ale acestora:
FIABILIAE Î proectarea ş costrucţa dfertelor ecpamete este ecesară asgurarea sguraţe î fucţoare a acestora; această codţe a codus la utlzarea î proectare a aumtor coefceţ de sguraţă. Noţule de fabltate
Διαβάστε περισσότεραTeoria aşteptării- laborator
Teora aşteptăr- laborator Model de aşteptare cu u sgur server. Î tmpul zle la u ATM (automat bacar care permte retragerea de umerar s alte trazacţ bacare electroce) avem î mede 4 de cleţ pe oră, adcă.4
Διαβάστε περισσότεραr t t r t t à ré ér t é r t st é é t r s s2stè s t rs ts t s
r t r r é té tr q tr t q t t q t r t t rrêté stér ût Prés té r ré ér ès r é r r st P t ré r t érô t 2r ré ré s r t r tr q t s s r t t s t r tr q tr t q t t q t r t t r t t r t t à ré ér t é r t st é é
Διαβάστε περισσότεραPRELEVAREA SI PRELUCRAREA DATELOR DE MASURARE
Lucrarea r. PRELEVAREA SI PRELUCRAREA DATELOR DE MASURARE. GENERALITATI I electrotehcă ş electrocă terv umeroase mărm fzce ca: tesue, curet, rezsteţă, eerge, etc., care se caracterzează pr mărme ş pr aumte
Διαβάστε περισσότερα3.5. Forţe hidrostatice
35 oţe hidostatice 351 Elemente geneale lasificaea foţelo hidostatice: foţe hidostatice e suafeţe lane Duă foma eeţilo vasului: foţe hidostatice e suafeţe cube deschise foţe hidostatice e suafeţe cube
Διαβάστε περισσότερα7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE
7. ECUAŢII ŞI SISTEME DE ECUAŢII DIFERENŢIALE 7. NOŢIUNI GENERALE. TEOREMA DE EXISTENŢĂ ŞI UNICITATE Pri ecuaţia difereţială de ordiul îtâi îţelegem o ecuaţie de forma: F,, = () ude F este o fucţie reală
Διαβάστε περισσότεραAnaliza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM 1 electronica.geniu.ro
Analiza în curent continuu a schemelor electronice Eugenie Posdărăscu - DCE SEM Seminar S ANALA ÎN CUENT CONTNUU A SCHEMELO ELECTONCE S. ntroducere Pentru a analiza în curent continuu o schemă electronică,
Διαβάστε περισσότερα(a) se numeşte derivata parţială a funcţiei f în raport cu variabila x i în punctul a.
Definiţie Spunem că: i) funcţia f are derivată parţială în punctul a în raport cu variabila i dacă funcţia de o variabilă ( ) are derivată în punctul a în sens obişnuit (ca funcţie reală de o variabilă
Διαβάστε περισσότεραSeminariile Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reziduurilor
Facultatea de Matematică Calcul Integral şi Elemente de Analiă Complexă, Semestrul I Lector dr. Lucian MATICIUC Seminariile 9 20 Capitolul X. Integrale Curbilinii: Serii Laurent şi Teorema Reiduurilor.
Διαβάστε περισσότερα4. Metoda Keller Box Preliminarii
Cptolul I. Metode umee î teo tseulu de ălduă ovetv 4. Metod Kelle o 4.. Pelm Metod Kelle o este o metod e utlzeză deeţe te polemele de ezolvt eduâdu-se l ezolve uo ssteme de euţ lgee. Metod ost todusă
Διαβάστε περισσότεραCapitole fundamentale de algebra si analiza matematica 2012 Analiza matematica
Capitole fudametale de algebra si aaliza matematica 01 Aaliza matematica MULTIPLE CHOICE 1. Se cosidera fuctia. Atuci derivata mixta de ordi data de este egala cu. Derivata partiala de ordi a lui i raport
Διαβάστε περισσότερα6 n=1. cos 2n. 6 n=1. n=1. este CONV (fiind seria armonică pentru α = 6 > 1), rezultă
Semiar 5 Serii cu termei oarecare Probleme rezolvate Problema 5 Să se determie atura seriei cos 5 cos Soluţie 5 Şirul a 5 este cu termei oarecare Studiem absolut covergeţa seriei Petru că cos a 5 5 5 şi
Διαβάστε περισσότεραR R, f ( x) = x 7x+ 6. Determinați distanța dintre punctele de. B=, unde x și y sunt numere reale.
5p Determinați primul termen al progresiei geometrice ( b n ) n, știind că b 5 = 48 și b 8 = 84 5p Se consideră funcția f : intersecție a graficului funcției f cu aa O R R, f ( ) = 7+ 6 Determinați distanța
Διαβάστε περισσότεραFormula lui Taylor. 25 februarie 2017
Formula lui Taylor Radu Trîmbiţaş 25 februarie 217 1 Formula lui Taylor I iterval, f : I R o fucţie derivabilă de ori î puctul a I Poliomul lui Taylor de gradul, ataşat fucţiei f î puctul a: (T f)(x) =
Διαβάστε περισσότεραMinisterul Educaţiei Naționale Centrul Naţional de Evaluare şi Examinare
Miisterul Educaţiei Națioale Cetrul Naţioal de Evaluare şi Eamiare Eameul de bacalaureat aţioal 08 Proba E c) Matematică M_mate-ifo Clasa a XI-a Toate subiectele sut obligatorii Se acordă 0 pucte di oficiu
Διαβάστε περισσότεραCURS 6 TERMODINAMICĂ ŞI FIZICĂ STATISTICĂ (continuare)
CURS 6 ERODIAICĂ ŞI FIZICĂ SAISICĂ (cotuare) 6.1 Prcpul II al termodamc Să e reamtm că prmul prcpu al termodamc a arătat posbltatea trasformăr lucrulu mecac, L, î căldură, Q, ş vers, fără a specfca î ce
Διαβάστε περισσότεραBILANT DE MATERIALE legii conservarii masei Gin = Gout consum specific Randamentul de produse finite pierderi de materiale Gin = Gout + Gp
BILANT DE MATERIALE Este o exrese a leg coservar mase sstemele chmce: greutatea G a materalelor care tra roces trebue sa e egala cu greutatea G a materalelor care es d roces: G = G Este ecesar etru a determa:
Διαβάστε περισσότερα5. FUNCŢII IMPLICITE. EXTREME CONDIŢIONATE.
5 Eerciţii reolvate 5 UNCŢII IMPLICITE EXTREME CONDIŢIONATE Eerciţiul 5 Să se determine şi dacă () este o funcţie definită implicit de ecuaţia ( + ) ( + ) + Soluţie ie ( ) ( + ) ( + ) + ( )R Evident este
Διαβάστε περισσότεραCARACTERISTICI GEOMETRICE ALE SUPRAFEŢELOR PLANE
CRCTERSTC GEOMETRCE LE SUPRFEŢELOR PLNE 1 Defnţ Pentru a defn o secţune, complet, cunoaşterea are ş a centrulu de greutate nu sunt sufcente. Determnarea eforturlor, tensunlor ş deformaţlor mpune cunoaşterea
Διαβάστε περισσότεραm r = F m r = F ( r) m r = F ( v) F = F (x) m dv dt = F (x) vdv = F (x)dx d dt = dx dv dt dx = v dv dx
m r = F m r = F ( r) m r = F ( v) x F = F (x) m dv dt = F (x) d dt = dx dv dt dx = v dv dx vdv = F (x)dx 2 mv2 x 2 mv2 0 = F (x )dx x 0 K = 2 mv2 W x0 x = x x 0 F (x)dx K K 0 = W x0 x x, x 2 x K 2 K =
Διαβάστε περισσότεραECUATII NELINIARE PE R n. (2) sistemul (1) poate fi scris si sub forma ecuatiei vectoriale: ) D
ANALIZA NUMERICA ECUATII NELINIARE PE R (http://bavara.utclu.ro/~ccosm) ECUATII NELINIARE PE R. INTRODUCERE e D R D R : s sstemul: ( x x x ) ( x x x ) D () Daca se cosdera aplcata : D R astel ca: ( x x
Διαβάστε περισσότεραLaborator 4 Interpolare numerica. Polinoame ortogonale
Laborator 4 Iterpolare umerica. Polioame ortogoale Resposabil: Aa Io ( aa.io4@gmail.com) Obiective: I urma parcurgerii acestui laborator studetul va fi capabil sa iteleaga si sa utilizeze diferite metode
Διαβάστε περισσότεραa) (3p) Sa se calculeze XY A. b) (4p) Sa se calculeze determinantul si rangul matricei A. c) (3p) Sa se calculeze A.
Bac Variata Proil: mate-izica, iormatica, metrologie Subiectul I (3 p) Se cosidera matricele: X =, Y = ( ) si A= a) (3p) Sa se calculeze XY A b) (4p) Sa se calculeze determiatul si ragul matricei A c)
Διαβάστε περισσότεραa. 11 % b. 12 % c. 13 % d. 14 %
1. Un motor termic funcţionează după ciclul termodinamic reprezentat în sistemul de coordonate V-T în figura alăturată. Motorul termic utilizează ca substanţă de lucru un mol de gaz ideal având exponentul
Διαβάστε περισσότεραPentru această problemă se consideră funcţia Lagrange asociată:
etoda ultplcatorlor lu arae ceastă etodă de optzare elară elă restrcţle de tp ealtate cluzâdu-le îtr-o ouă fucţe oectv ş ărd sulta uărul de varale al prolee de optzare. e urătoarea proleă: < (7. Petru
Διαβάστε περισσότεραDETERMINAREA ACCELERAŢIEI GRAVITAŢIONALE PRIN METODA PENDULULUI FIZIC
UNIVERSITATEA "POLITEHNICA" DIN BUCUREŞTI DEPARTAMENTUL DE FIZICĂ LABORATORUL DE FIZICĂ BN - 1 B DETERMINAREA ACCELERAŢIEI GRAVITAŢIONALE PRIN METODA PENDULULUI FIZIC 004-005 DETERMINAREA ACCELERAŢIEI
Διαβάστε περισσότεραCurs 4 Serii de numere reale
Curs 4 Serii de numere reale Facultatea de Hidrotehnică Universitatea Tehnică "Gh. Asachi" Iaşi 2014 Criteriul rădăcinii sau Criteriul lui Cauchy Teoremă (Criteriul rădăcinii) Fie x n o serie cu termeni
Διαβάστε περισσότεραCALCULUL BARELOR CURBE PLANE
CPITOLUL 0 CLCULUL BRELOR CURBE PLE 0.. Tesiui î bare curbe plae. Formula lui Wikler Barele curbe plae sut bare care au axa geometrică o curbă plaă. Vom stuia bare curbe plae cu raza e curbură costată,
Διαβάστε περισσότεραMETODE DE ESTIMARE A PARAMETRILOR UNEI REPARTIŢII. METODA VEROSIMILITĂŢII MAXIME. METODA MOMENTELOR.
Curs 6 OI ETOE E ETIARE A ARAETRILOR UNEI REARTIŢII. ETOA VEROIILITĂŢII AIE. ETOA OENTELOR.. Noţu troductve Î legătură cu evaluarea ş optzarea proceselor oraţoale apar ueroase problee de estare cu sut:
Διαβάστε περισσότεραStatistica descriptivă. Şef de Lucrări Dr. Mădălina Văleanu
Statstca descrptvă Şef de Lucrăr Dr. Mădăla Văleau mvaleau@umfcluj.ro MĂSURI DE TENDINŢA CENTRALA Meda artmetca, Medaa, Modul, Meda geometrca, Meda armoca, Valoarea cetrala MĂSURI DE DE DISPERSIE Mm, Maxm,
Διαβάστε περισσότεραProf. univ. dr. Constantin ANGHELACHE Prof. univ. dr. Gabriela-Victoria ANGHELACHE Lector univ. dr. Florin Paul Costel LILEA
Metode ş procedee de ajustare a datelor pe baza serlor croologce utlzate î aalza tedţe dezvoltăr dfertelor dome de actvtate socal-ecoomcă Prof. uv. dr. Costat ANGHELACHE Uverstatea Artfex/ASE - Bucureșt
Διαβάστε περισσότεραPhysique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté
Physique des réacteurs à eau lourde ou légère en cycle thorium : étude par simulation des performances de conversion et de sûreté Alexis Nuttin To cite this version: Alexis Nuttin. Physique des réacteurs
Διαβάστε περισσότεραREZUMAT CURS 3. i=1. Teorema 2.2. Daca f este (R)-integrabila pe [a, b] atunci f este marginita
REZUMAT CURS 3. Clse de uctii itegrbile Teorem.. Dc :, b] R este cotiu tuci este itegrbil pe, b]. Teorem.2. Dc :, b] R este mooto tuci este itegrbil pe, b]. 2. Sume Riem. Criteriul de itegrbilitte Riem
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL I. PRELIMINARII Elemente de teoria mulţimilor
CAPITOLUL I. PRELIMINARII.. Elemete de teora mulţmlor. Mulţm Pr mulţme vom îţelege o colecţe (set, asamblu) de obecte (elemetele mulţm), be determate ş cosderate ca o ettate. Se subâţelege fatul că elemetele
Διαβάστε περισσότεραFizica atomului si moleculei
Fzca atomulu s molecule. Spectre atomce. Regul emprce (formula almer formula Rydberg sera Pcerg) Rezolvare: Spectrele atomce (de emse sau absorbte) sut spectre de l. Prmele spectre de l au fost obtute
Διαβάστε περισσότερα1. Operaţii cu numere reale Funcţii Ecuaţii şi inecuaţii de gradul întâi Numere complexe Progresii...
Cupris 1. Operaţii cu umere reale... 1 1.1. Radicali, puteri... 1 1.1.1. Puteri... 1 1.1.. Radicali... 1 1.. Idetităţi... 1.3. Iegalităţi... 3. Fucţii... 6.1. Noţiuea de fucţii... 6.. Fucţii ijective,
Διαβάστε περισσότεραCapitolul 2 REDRESOARE TRIFAZATE
.. Itroucere Captolul EDESOAE TIFAZATE Almetarea cu eerge electrcă a cosumatorlor se face prtr-o reţea moo sau trfazată e curet alterat (c.a.). Î foarte multe aplcaţ sut ecesare surse e curet cotuu (c.c.),
Διαβάστε περισσότεραOlimpiada de Fizică Etapa naţională- ARAD 2011 TEORIE Barem. Subiect Parţial Punctaj 1. Barem subiect 1 10 A. Condiţiile de echilibru pentru pârghii:
Olipiaa e Fiziă Etapa naţională- ARAD Pagina in 6 Subiet Parţial Puntaj. subiet A. Coniţiile e ehilibru pentru pârghii: =( + 4), 4e=f, O ( + + 4)a=b a b e f + 4 = f 4= e 4,5 4 4 4 =, =8g f + e =4g a =
Διαβάστε περισσότερα( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
5..8 Ecuaţia difereţială Riccati Ecuaţia difereţială de ordiul îtâi de forma: d q( ) p( ) r( ) d + + (4) r sut fucţii cotiue pe u iterval, cuoscute, iar fucţia ude q( ), p ( ) şi ( ) este ecuoscuta se
Διαβάστε περισσότεραParts Manual. Trio Mobile Surgery Platform. Model 1033
Trio Mobile Surgery Platform Model 1033 Parts Manual For parts or technical assistance: Pour pièces de service ou assistance technique : Für Teile oder technische Unterstützung Anruf: Voor delen of technische
Διαβάστε περισσότεραIII. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar seria modulelor divergentă.
III. Serii absolut convergente. Serii semiconvergente. Definiţie. O serie a n se numeşte: i) absolut convergentă dacă seria modulelor a n este convergentă; ii) semiconvergentă dacă este convergentă iar
Διαβάστε περισσότεραEcuaţia generală Probleme de tangenţă Sfera prin 4 puncte necoplanare. Elipsoidul Hiperboloizi Paraboloizi Conul Cilindrul. 1 Sfera.
pe ecuaţii generale 1 Sfera Ecuaţia generală Probleme de tangenţă 2 pe ecuaţii generale Sfera pe ecuaţii generale Ecuaţia generală Probleme de tangenţă Numim sferă locul geometric al punctelor din spaţiu
Διαβάστε περισσότεραCLASA a V-a CONCURSUL INTERJUDEŢEAN DE MATEMATICĂ ŞI INFORMATICĂ MARIAN ŢARINĂ EDIŢIA A IV-A MAI I. Să se determine abcd cu proprietatea
EDIŢIA A IV-A 4 6 MAI 004 CLASA a V-a I. Să se determie abcd cu proprietatea abcd - abc - ab -a = 004 Gheorghe Loboţ II Comparaţi umerele A B ude A = 00 00 004 004 şi B = 00 004 004 00. Vasile Şerdea III.
Διαβάστε περισσότεραCAPITOLUL IV CALCULUL DIFERENŢIAL PENTRU FUNCŢII REALE DE O VARIABILA REALĂ
CAPITOLUL IV CALCULUL DIFEENŢIAL PENTU FUNCŢII EALE DE O VAIABILA EALĂ Fucţii derivabile Fucţii difereţiabile Derivata şi difereţiala sut duă ccepte fudametale ale matematicii, care reprezită siteză pe
Διαβάστε περισσότεραACI sécurité informatique KAA (Key Authentification Ambient)
ACI sécurité informatique KAA (Key Authentification Ambient) Samuel Galice, Veronique Legrand, Frédéric Le Mouël, Marine Minier, Stéphane Ubéda, Michel Morvan, Sylvain Sené, Laurent Guihéry, Agnès Rabagny,
Διαβάστε περισσότεραIntegrala nedefinită (primitive)
nedefinita nedefinită (primitive) nedefinita 2 nedefinita februarie 20 nedefinita.tabelul primitivelor Definiţia Fie f : J R, J R un interval. Funcţia F : J R se numeşte primitivă sau antiderivată a funcţiei
Διαβάστε περισσότεραMETODE DE ANALIZĂ STATISTICĂ A LEGĂTURILOR DINTRE FENOMENE
METODE DE ANALIZĂ STATISTICĂ A 0. LEGĂTURILOR DINTRE FENOMENE Asura feomeelor de masă studate de statstcă acţoează u umăr de factor rcal ş secudar, eseţal ş eeseţal, sstematc ş îtâmlător, obectv ş subectv,
Διαβάστε περισσότεραJeux d inondation dans les graphes
Jeux d inondation dans les graphes Aurélie Lagoutte To cite this version: Aurélie Lagoutte. Jeux d inondation dans les graphes. 2010. HAL Id: hal-00509488 https://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00509488
Διαβάστε περισσότεραProductia (buc) Nr. Salariaţi Total 30
Î vederea aalze productvtăţ obţute î cadrul ue colectvtăţ de salaraţ formată d 50 de persoae, s-a extras u eşato format d de salaraţ. Datele refertoare la producţa zle precedete sut prezetate î tabelul
Διαβάστε περισσότεραElemente de teoria probabilitatilor
Elemete de teora probabltatlor CONCEPTE DE BAZA VARIABILE ALEATOARE DISCRETE DISTRIBUTII DISCRETE VARIABILE ALEATOARE CONTINUE DISTRIBUTII CONTINUE ALTE VARIABILE ALEATOARE Spatul esatoaelor, pucte esato,
Διαβάστε περισσότεραP r s r r t. tr t. r P
P r s r r t tr t r P r t s rés t t rs s r s r r t é ér s r q s t r r r r t str t q q s r s P rs t s r st r q r P P r s r r t t s rés t t r t s rés t t é ér s r q s t r r r r t r st r q rs s r s r r t str
Διαβάστε περισσότεραStatisticǎ - curs 2. 1 Parametrii şi statistici ai tendinţei centrale 2. 2 Parametrii şi statistici ai dispersiei 5
Statisticǎ - curs Cupris Parametrii şi statistici ai tediţei cetrale Parametrii şi statistici ai dispersiei 5 3 Parametrii şi statistici factoriali ai variaţei 8 4 Parametrii şi statistici ale poziţiei
Διαβάστε περισσότεραm i N 1 F i = j i F ij + F x
N m i i = 1,..., N m i Fi x N 1 F ij, j = 1, 2,... i 1, i + 1,..., N m i F i = j i F ij + F x i mi Fi j Fj i mj O P i = F i = j i F ij + F x i, i = 1,..., N P = i F i = N F ij + i j i N i F x i, i = 1,...,
Διαβάστε περισσότεραA 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3
16 0 17 0 17 0 18 0 18 0 19 0 20 A A = A 1 î + A 2 ĵ + A 3ˆk A (x, y, z) r = xî + yĵ + zˆk A B A B B A = A 1 B 1 + A 2 B 2 + A 3 B 3 = A B θ θ A B = ˆn A B θ A B î ĵ ˆk = A 1 A 2 A 3 B 1 B 2 B 3 W = F
Διαβάστε περισσότεραCOMISIA DE SUPRAVEGHERE A SISTEMULUI DE PENSII PRIVATE
COMISIA DE SUAVEGHEE A SISTEMULUI DE ENSII IVATE Nora r. 7/200 rivid ratele de retabilitate ale fodurilor de esii adiistrate rivat ublicată î Moitorul Oficial al oaiei, artea I, Nr. 369 di 4 iuie 200 Î
Διαβάστε περισσότερα3. INDICATORII STATISTICI
3. INDICATORII STATISTICI 3.. Necestatea folosr dcatorlor statstc. Idcator statstc prmar. Idcator statstc dervaţ Am văzut că obectul de studu al statstc îl costtue feomeele ş procesele de masă. Acestea
Διαβάστε περισσότερα7. METODE TERMODINAMICE DE STUDIU
7. MEODE ERMODINAMICE DE UDIU Câd se vorbeşte desre metoda termodamcă de studu a feomeelor fzce, se are î vedere studul care se bazează e folosrea rmulu ş celu de-al dolea rcu al termodamc. Folosrea rclor
Διαβάστε περισσότεραaşteptării pot fi înţelese cu ajutorul noţiunilor de bază culese din acest volum. În multe cazuri hazardul, întâmplarea îşi pun amprenta pe
Cuprs Prefaţă... 5 I. ELEMENTE DE ALGEBRĂ LINIARĂ... 7 Matrc... 8 Matrc partculare... 9 Iversa ue matrc... Ssteme de ecuaţ lare... 5 Problema compatbltăţ sstemelor... 7 Problema determăr sstemelor... 8
Διαβάστε περισσότερα2. MATERIALE SEMICONDUCTOARE
2. MATERIALE SEMICONDUCTOARE Materalele semcoductoare stau la baza realzăr de dsoztve electroce ş de crcute tegrate. Acestea se caracterzează r valor ale coductvtăţ electrce cursă î tervalul de valor σ=
Διαβάστε περισσότεραComponente şi Circuite Electronice Pasive. Laborator 3. Divizorul de tensiune. Divizorul de curent
Laborator 3 Divizorul de tensiune. Divizorul de curent Obiective: o Conexiuni serie şi paralel, o Legea lui Ohm, o Divizorul de tensiune, o Divizorul de curent, o Implementarea experimentală a divizorului
Διαβάστε περισσότερα2. Conducţia electrică în solide. Purtători de sarcină
Catolul Coducta electrca solde.purtător de sarcă. Coducţa electrcă î solde. Purtător de sarcă.1 Itroducere Soldele sut substaţele care au volum costat ş formă rore. Soldele au o structură crstală formată
Διαβάστε περισσότεραByeong-Joo Lee
yeg-j ee OTECH - ME alphad@psteh.a.k yeg-j ee www.psteh.a.k/~alphad ufae Tast ad Allyg Effet N.M. Hwag et al., 000. ue W W 0.4wt% N Vau Aealg yeg-j ee www.psteh.a.k/~alphad Abal a wth f N.M. Hwag yeg-j
Διαβάστε περισσότεραa n (ζ z 0 ) n. n=1 se numeste partea principala iar seria a n (z z 0 ) n se numeste partea
Serii Laurent Definitie. Se numeste serie Laurent o serie de forma Seria n= (z z 0 ) n regulata (tayloriana) = (z z n= 0 ) + n se numeste partea principala iar seria se numeste partea Sa presupunem ca,
Διαβάστε περισσότεραPROBLEME (toate problemele se pot rezolva cu ajutorul teoriei din sinteze)
Uverstte Spru Hret Fcultte de Stte Jurdce Ecoome s Admstrtve Crov Progrmul de lcet Cotbltte ş Iormtcă de Gestue Dscpl Mtemtc Aplcte î Ecoome tulr dscplă Co uv dr Lur Ugureu SUBIECE ote subectele se regsesc
Διαβάστε περισσότεραELEMENTE DE ALGEBRĂ SUPERIOARĂ CU APLICAłII ÎN ECONOMIE. SpaŃii vectoriale. Organizarea spańiilor economice ca spańii vectoriale
EEMENTE DE AGERĂ SUPERIOARĂ CU APICAłII ÎN ECONOMIE SpŃ vetorle. Orgzre spńlor eoome spń vetorle DeŃe Fe V o mulńme evdă de elemete ş K u orp de slr ş e: - o lege de ompozńe teră ottă dtv + : V V V + -
Διαβάστε περισσότερα1. ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE
ŞIRURI ŞI SERII DE NUMERE REALE Noţiui teoretice şi rezultate fudametale Şiruri de umere reale Presupuem cuoscute oţiuile de bază despre mulţimea N a umerelor aturale, mulţimea Z a umerelor îtregi, mulţimea
Διαβάστε περισσότεραCouplage dans les applications interactives de grande taille
Couplage dans les applications interactives de grande taille Jean-Denis Lesage To cite this version: Jean-Denis Lesage. Couplage dans les applications interactives de grande taille. Réseaux et télécommunications
Διαβάστε περισσότερα