Capitolul 3 EŞANTIONAREA ŞI CUANTIZAREA IMAGINILOR

Transcript

1 Capioll 3 EŞANTIONAREA ŞI CUANTIZAREA IMAGINILOR 3. INTRODUCERE Penr prelcrarea digială a imaginilor c ajorl ni calclaor avem nevoie de forma digială a acesora, respeciv de o marice compsă din "cvine" binare de dimensini finie. Penr digiizare, imaginea se eşanionează c ajorl nei reţele discree, iar fiecare eşanion (sa piel), ese caniza folosind n nmăr fini de biţi. Penr afişare, imaginea digială se convereşe din no în formă analogică. O meodă simplă de eşanionare ese eplorarea (scanarea) imaginii, linie dpă linie, şi eşanionarea fiecărei linii. De eempl, camera video c b vidicon sa având n dispoziiv videocapor de ip CCD, face o asemenea scanare a imaginii chiar în procesl de capare. Ale ipri de imagini, cm ar fi filmele sa paginile ipărie, se scanează în mod analog, c ajorl nor echipamene nmie scanere. În figra 3. ese prezena principil de obţinere a imaginilor digiale, precm şi ransformarea inversă în formă analogică. f(,y) f s (,y) (m,n) Eşanionare Canizare Calclaor Calclaor (m,n) Digiizare Conversie D/A Monior Redare Fig 3. Eşanionarea, canizarea şi afişarea imaginilor 45

2 Cap.3 Eşanionarea şi canizarea imaginilor Sandarde de elevizine Da fiind fapl că marea majoriae a imaginilor folosie în aplicaţiile zale sn obţine pornind de la imagini de elevizine, considerăm ilă prezenarea sccină a sandardelor de elevizine în clori folosie în momenl de faţă. Ese vorba de sandardl nord-american - NTSC ("Naional Television Sysem Commiee"), cel german - PAL ("Phase Alernaion Line") şi de cel francez - SECAM ("Seqeniel a Memoire"), c arii diferie de răspândire în diferie ţări şi coninene. Siseml NTSC foloseşe 55 linii de baleiaj şi o frecvenţă de eplorare pe vericală de 6 Hz. Semnall videocomple color se poae scrie ca : () = Y() + I() cos(πf sc + ϕ) + Q () sin (πf sc + ϕ) (3.) nde ϕ = 33, iar f sc ese frecvenţa sbprăoarei de crominanţă. Termenii Y() şi (I, Q) reprezină componenele de lminanţă, respeciv de crominanţă, care se obţin prin ransformări liniare ale semnalelor primare de cloare E R, E B, E G. Lărgimea de bandă a semnalli Y() ese de 4, MHz, iar a semnalelor I() şi Q() ese de,3 şi respeciv,5 MHz. Frecvenţa sbprăoarei de crominanţă ese de 3,58 MHz, ceea ce reprezină a 455-a armonică a f h / (f h - frecvenţa liniilor în NTSC Hz.). Siseml SECAM foloseşe o eplorare înreţesă c 65 de linii, c 5 de cadre/secndă. Pe fiecare linie se ransmie semnall de lminanţă Y() şi câe nl dinre semnalele de crominanţă D R () sa D B () modlae în frecvenţă. Folosirea acesi ip de modlaţie ese posibilă ocmai daoriă ransmisiei secvenţiale a semnalelor de crominanţă. Sbprăoarele celor doă semnale de cloare a frecvenţele respeciv de 4,5 şi 4,4 MHz. Siseml PAL ese n sisem simlan, la fel ca şi siseml NTSC (cele doă informaţii de crominanţă se ransmi simlan, pe fiecare linie) dar se deosebeşe esenţial de acesa prin modaliaea de ransmisie aleasă. Penr diminarea erorilor de fază, nl dinre semnalele de crominanţă se ransmie c o fază ce alernanează c 8 dpă fiecare linie. Semnall videocomple color PAL reprezină sma dinre semnall de lminanţă, semnalele de crominanţă, la care se adagă, eviden, celelale componene ale semnalli TV color: salvele de sincronizare a clorii şi semnalele de singere şi sincronizare. Semnall videocomple color PAL are rmăoarea formă maemaică: () = Y() + U() cos πf sc + (-) m V() sin πf sc (3.) nde m ese indicele liniei. Semnalele de crominanţă a aceeaşi bandă de frecvenţă, de,3 MHz, iar sbprăoarea ese la 4,43 MHz. Având în vedere schimbarea fazei li V() dpă fiecare linie, precm şi dependenţa semnalelor n nmai de imp ci şi de coordonaele spaţiale ale fiecări pnc din imagine, semnall videocomple color PAL se mai poae scrie: (,y,) = Y(,y,) + U(,y,) cos [πf sc + (πf h /4)y - (6πf v /8)] + + V(,y,) sin [πf sc - (πf h /4)y -(6πf v /8)] (3.3) Aceasă relaţie se ilizează penr implemenarea algorimilor de eşanionare a semnalli de elevizine color PAL. Se po dedce din relaţia (3.3) paramerii 46

3 PRELUCRAREA DIGITALĂ A IMAGINILOR semnalli TV care a imporanţă din pncl de vedere al eoriei eşanionării şi se po face evenale prelcrări ale acesia, dpă cm se va vedea în paragrafele rmăoare. Relaţii similare se po scrie şi penr celelale semnale de elevizine în clori. 3. TEORIA EŞANTIONĂRII ÎN SPAŢIUL BIDIMENSIONAL Imagini c specr limia Procesl de digiizare aplica imaginilor poae fi înţeles prin modelarea c ajorl semnalelor c specr limia. Deşi în realiae imaginile c specr limia sn rare, oşi ele po fi aproimae în genere ca fncţii c specr limia. F(ξ, ξ ) ξ ξ y ξ ξ -ξ ξ ξ -ξ y -ξ y ξ Transformaa Forier a fncţiei c specr limia Reginea de definiţie Fig. 3. Transformarea Forier a fncţiilor c specr limia Fncţia f(,y) se nmeşe fncţie c specr limia dacă ransformaa sa Forier F(ξ,,ξ ) ese zero în afara nei regini delimiae din planl frecvenţei (fig.3.): F( ξ, ξ), ξ ξ, ξ ξy = > > (3.4) nde ξ şi ξ y se nmesc lărgimile de bandă, respeciv y. Dacă specrl are o simerie circlară, anci lărgimea de bandă va fi ξ =ξ =ξ y. Eşanionarea Eşanionarea poae fi şor înţeleasă dacă ne adcem amine că ransformaa Forier a nei fncţii eşanionae ese dplical scala respeciv periodic al ransformaei Forier a fncţiei originale. Penr a demonsra aceasa, vom considera o y y Fig. 3.3 Reţea de eşanionare imagine eşanionaă ideal, care se reprezină ca n ablo bidimensional de fncţii Dirac dela, siae pe o reţea drepnghilară c pasl, y (fig. 3.3), definiă de: 47

4 Cap.3 Eşanionarea şi canizarea imaginilor gp(, y;, y) = δ (, y y) (3.5) m= n= Imaginea eşanionaă ese definiă prin rmăoarea ecaţie: f( y, ) = f( yg, ) ( y, ;, y) = f( m n, y) δ ( m y, n y) (3.6) s p mn, = Transformaa Forier a fncţiei g p c pasl, y ese o fncţie c pasl (/, / y) noaă c G p şi ese definiă de: G ( ξ, ξ ) = Forier{ g (, y;, y)} = ξ, ξ δ( ξ ξ, ξ lξ ) p p s ys s ys l, = = ξs, ξysgp( ξ, ξ ; /, / y) (3.7) nde ξ s =/, ξ ys =/ y. Prin aplicarea proprieăţii de mliplicare din domenil imp, ransformaa Forier a imaginii eşanionae f s (,y) va fi: F ( ξ, ξ ) = F( ξ, ξ ) G ( ξ, ξ ) = ξ ξ F( ξ, ξ ) δ( ξ ξ, ξ lξ ) s p s ys s ys l, = = ξξ F( ξ ξ, ξ lξ ) s ys s ys l, = (3.8) Din ecaţia (3.8), ransformaa Forier a imaginii eşanionae ese replica periodică şi, respeciv, scalaă a ransformaei Forier a imaginii de inrare, pe o reţea al cărei pas ese (ξ,ξ ) (fig.3.4). ξ / ξ ys ξ ys -ξ y ξ y ξ y R R / y R 3 R ξ ξ s -ξ ξ ξ s ξ s ξ Fig.3.4 Specrl imaginii eşanionae Refacerea imaginii ilizând eşanioanele sale Din proprieaea de niciae a ransformaei Forier se şie că, dacă specrl imaginii originale se poae reface folosind specrl imaginii eşanionae, anci vom pea obţine şi imaginea inerpolaă pe baza imaginii eşanionae. Dacă frecvenţele de eşanionare pe cele doă ae, şi y, sn de doă ori mai mari decâ lărgimea de bandă, respeciv dacă: ξ > ξ, ξ > ξ (3.9) s ys y 48

5 PRELUCRAREA DIGITALĂ A IMAGINILOR sa dacă inervalele de eşanionare sn mai mici decâ jmăae din (/lărgimea de bandă) corespnzăoare, <, y < (3.) ξ ξ y anci F(ξ,ξ ) poae fi refăcă prinr-o filrare rece jos c caracerisica de frecvenţă: (, ) ( ξξ ), ( ξ, ξ ) R, ]n res H ξ ξ = s ys (3.) nde R ese orice regine ale cărei margini R se află Ţn sprafaţa cprinsă Ţnre drepnghirile R şi R, aşa cm se poae observa şi din fig.3.4. Vom pea deci scrie: ~ F( ξ, ξ ) = H( ξ, ξ ) F ( ξ, ξ ) = F( ξ, ξ ) (3.) s rezlând ocmai imaginea refăcă prin filrarea imaginii eşanionae. Raa Nyqis, efecl "alias" şi frecvenţele de sprapnere Valorile minime ale raei de eşanionare, ξ, ξ y, se nmesc raele Nyqis sa frecvenţele Nyqis. Complemenarele din domenil imp se nmesc inervale Nyqis. Teoria eşanionării precizează că o imagine c specr limia, eşanionaă c frecvenţele Nyqis, poae fi refăcă fără nici o eroare prin filrarea imaginii eşanionae. Uneori, dacă frecvenţele de eşanionare sn mai mici decâ frecvenţele Nyqis, respeciv: ξ < ξ, ξ < ξ s ys y anci replicile periodice ale li F(ξ,ξ ) se vor sprapne, rezlând n specr disorsiona F s (ξ,ξ ) (fig. 3.5), de nde rezlă că F(ξ,ξ ) n va mai pea fi refăc c eaciae. ξ ξ y ξ y ξ Fig. 3.5 Efecl "alias" - frecvenţele de sprapnere Frecvenţele mai mari decâ jmăae din frecvenţele de eşanionare (mai mari decâ ξ s, respeciv ξ ys din figra 3.4) se nmesc frecvenţe de sprapnere. Aceasă sprapnere parţială de perioade sccesive din specr cazează apariţia frecvenţelor de sprapnere în imaginea originală. Fenomenl se nmeşe efec "alias". Erorile de "alias" n po fi eliminae prin filrarea ce rmează ransformării. El poae fi înlăra ξ ξ 49

6 Cap.3 Eşanionarea şi canizarea imaginilor nmai prinr-o filrare rece jos a imaginii iniţiale asfel încâ lărgimea de bandă să fie mai mică decâ jmăae din frecvenţa de eşanionare, saisfăcând-se în fell acesa condiţia (3.9). Teorema eşanionării O imagine c specr limia f(,y) care saisface condiţia (3.4) şi care ese eşanionaă niform pe o reţea drepnghilară c pasl (, y), poae fi refăcă fără erori din valorile eşanioanelor f(m, n y), dacă şi nmai dacă raa de eşanionare ese mai mare decâ raa Nyqis : = ξs > ξ = ξys > ξ y y Imaginea reconsiiă ese obţină ilizând rmăoarea formlă de inerpolare: m y m s ys f (, y) f ( m, n y) sin( ξ ) π sin( ξ ) π = mn, ( s m) ( y ys m) = ξ π ξ π (3.3) Ecaţia (3.3) relevă fapl că fncţia f(,y) se obţine prin inerpolarea infiniă a eşanionelor f(m,n y). În pracică însă ese posibilă doar o inerpolare finiă. C oae acesea, se poae spne că eoria eşanionării redce nmărl infini de eşanioane ale fncţiei f(,y), corespnzăoare ariei y, la n singr eşanion. Energia efecli alias reprezină energia acmlaă în domeniile de frecvenţă nde apar sprapneri ale specrelor şi ese egală c energia imaginii în zonele în care specrl aceseia depăşeşe drepnghil R. Spre eempl, o imagine descrisă de fncţia: fy (,) = cos π ( 3+ 4y) ese eşanionaă c = y=,. Fncţia f(,y) ese c specr limia, deoarece: F( ξ, ξ ) = δ( ξ 3, ξ 4 ) + δ( ξ + 3, ξ + 4 ) ese zero penr ξ >3, ξ >4. De aici rezlă că ξ =3, ξ y =4 şi ξ s =ξ ys =/,=5, valori mai mici decâ frecvenţele Nyqis ξ şi ξ y. Specrl imaginii eşanionae ese: F s (, ) 5 ξ ξ = [ δ ( ξ 3,l 5, ξ 4 5l) + δ ( ξ + 3 5, ξ + 4 = 5l)] Penr filrare vom considera n filr care aie frecvenţele mai mari decâ / din frecvenţele de eşanionare:,,5,5,,5,5 H(, ) = 5, înres Aplicând ecaţia (3.), se obţine: ~ F( ξ, ξ ) = δ( ξ, ξ ) + δ( ξ +, ξ + ) care prin ransformare inversă dce la obţinerea imaginii reconsiie: f Ă (,y)=cosπ(+y). Aces rezla ne araă că orice componenă de frecvenţă din imaginea de inrare, care iese din domenil (ξ s /, ξ s /) c ( ξ, ξ y ), ese reprodsă ca o frecvenţă de valoare (ξ s /- ξ, ξ ys /- ξ y ). 5

7 Reţele de eşanionare nerecanglare şi înreţese PRELUCRAREA DIGITALĂ A IMAGINILOR În general ese avanajoasă folosirea reţelelor de eşanionare drepnghilare dacă specrl F(ξ,ξ ) ese limia de drepnghil R. Eisă însă şi reţele de eşanionare nerecanglare care sn ml mai eficiene din pnc de vedere al densiăţii de eşanionare (nmăr de eşanioane/sprafaţă), dacă domenil de definiţie penr F(ξ,ξ ) n ese drepnghilar. Vom la în considerare specrl din figra 3.6.a, care poae fi asemi c forma ni diaman. Penr o reţea recanglară G, inervalele de eşanionare Nyqis vor fi = y= =. Dacă se foloseşe reţeaa de eşanionare G ( ) (fig.3.6.c), obţină prin roirea reţelei G c 45, dar având disanţa înre eşanioane, specrl imaginii eşanionae va fi repea (replica) pe o reţea asemănăoare c G. Din cază că =, efecl "alias" n va apărea, dar densiaea de eşanionare se redce la jmăae. Deci, dacă o imagine n conţine frecvenţe înale simlan în ambele direcţii, anci raa de eşanionare poae fi redsă la jmăae. Aceasă eorie se foloseşe penr înreţeserea liniilor din semnall de elevizine, da fiind fapl că observaorl man ese insensibil la frecvenţele spaţiale înale. Semnall analogic de elevizine poae fi considera ca n semnal ridimensional f(,y,), eşaniona pe (y) respeciv pe (). Dacă ξ şi ξ reprezină frecvenţele, emporală respeciv vericală, anci fig. 3.6.e reprezină proiecţia în planl (ξ,ξ ) a specrli ridimensional al semnalli de elevizine. -/ / ξ / F(ξ, ξ )= / ξ n n -/ - 3 m - - m a) Specrl b) reţea drepnghilară G c) reţea c înreţesere G ξ ξ - ξ ξ d) specrl penr G e) Specrl penr G Fig.3.6 Eşanionarea înreţesă Eşanionarea opimală 5

8 Cap.3 Eşanionarea şi canizarea imaginilor Din cele discae anerior s-a deds fapl că procesl de eşanionare ransformă o fncţie conină f(,y) înr-o secvenţă f (m,n y), din care se poae apoi reface fncţia conină. Prin rmare, coeficienţii oricărei dezvolări în serie convergenă a fncţiei f(,y) po fi consideraţi ca fiind o formă generalizaă de eşanionare. De aici rezlă fapl că eşanionarea n ese resricţionaă la fncţii c specr limia. În cazl fncţiilor c specr limia, fncţiile sinc sn opimale penr refacerea fncţiei originale f(,y) din eşanioanele sale. Penr câmpri aleaoare c specr limia, câmpl aleaor refăc converge spre câmpl original în sensl erorii păraice medii minime. Tabell 3. Fncţii de inerpolare a imaginilor Fncţia de inerpolare nidimensională Reprezenare grafică Definiţia p() Fncţia de inerpolare bidimensională p a (,y)=p()p(y) Răspnsl Ţn frecvenţă p a (ξ,ξ ) p a (ξ,) / Drepnghilar (filr ordinzero) p () - / / rec p( ) p( y) ξ ξ sinc sinc ξ ξ y 4ξ Tringhilar (filr ordinn) p () - / ri p ( ) p ( ) p ( ) p ( y) ξ ξ sinc sinc ξ ξ y 4ξ filr ordin-n n=, păraic n=3, spline cbic p n () p ( ) p ( ) n convol@ii p ( ) p ( y) n n ξ ξ sinc sinc ξ ξ y n+ 4ξ Gassian p g () σ ep πσ σ ( + y ) ep πσ σ [ πσ ξ + ξ ] ep ( ) Sinc sinc y ξ ξ sinc sinc y rec rec y ξ ξ y ξ În general se poae spne că eisă fncţii care sn opimale, în sensl că ele eşanionează o imagine aleaoare, obţinând-se o secvenţă finiă, asfel încâ eroarea medie păraică dinre original şi imaginea refăcă să fie minimă. O asfel de dezvolare ese dezvolarea în serie Karhnen-Loeve a ni câmp aleaor: 5

9 PRELUCRAREA DIGITALĂ A IMAGINILOR f (, y) = a mn, Φ mn, mn, = (3.4) nde {Φ m,n (,y)} sn valorile proprii ale fncţiei de aocorelaţie corespnzăoare câmpli aleaor f(,y), iar a m,n sn variabile aleaoare orogonale. Penr n nmăr da de ermeni, eroarea medie păraică în imaginea refăcă ese minimă în comparaţie c oricare ală fncţie de eşanionare. Aceasă proprieae se foloseşe în domenil ehnicilor de compresie a imaginilor. Penr a face o eşanionare opimală în cazl imaginilor reale, principala dificlae în ilizarea rezlaelor precedene consă în calcll coeficienţilor a m,n, pe când în cazl nei eşanionări convenţionale, folosind fncţia sinc, coeficienţii sn valori simple, şor de obţin. C oae acesea, eoria dezvolării K-L poae fi folosiă ca modaliae de comparaţie penr diferiţi algorimi de procesare a imaginilor. Limiări în procesl de eşanionare şi reconsrcţie Procesele de eşanionare prezenae anerior sn bazae pe concepe idealizane. Imaginile reale n a specr limia, ceea ce dce la apariţia erorilor de ip "alias", care po fi redse prinr-o filrare iniţială a imaginii (înainea eşanionării), dar c dezavanajl aenării frecvenţelor înale. În consecinţă, imaginea va fi înceţoşaă ("blrred"), lcr care se perece şi în procesl de achiziţie, deoarece sisemele de descompnere a imaginii a, în pracică, o aperră finiă. Fncţia de ransfer a filrli rece-jos de reconsrcţie n va fi ideală, aceasa depinzând de aperra sisemli de afişare. Imagine inrare Aperra sisemli de scanare p s (-,-y) g(,y) Sisem de eşanionare ideal, y g s (,y) Sisem de afişare p a (-,-y) g ~ (,y) Model de scaner real Fig. 3.7 Schema-bloc a ni sisem de eşanionare real În figra 3.7 ese prezena n sisem real de eşanionare, respeciv de reconsrcţie a imaginilor. Un sisem perfec de refacere a imaginii necesiă n proces de inerpolare infiniă înre eşanionele f(m,n y). Penr siseml de afişare, asa înseamnă că "spol" acesia rebie să aibă o disribţie a inensiăţii lminoase daă de fncţia sinc, care are o draă infiniă şi prezină lobi negaivi. În abell 3. sn prezenae câeva fncţii folosie penr inerpolare. Inerpolarea bidimensională poae fi realizaă prinr-o sccesine de inerpolări pe rândri, respeciv pe coloane. Filrele de ordin zero respeciv de ordin n, da inerpolări în repe, respeciv liniare înre eşanioane. Filrele de ordin sperior po dce la inerpolări păraice (n=) respeciv spline cbice (n=3). Penr n, filrele de ordinl n po să conveargă spre o fncţie gassiană. 53

10 Cap.3 Eşanionarea şi canizarea imaginilor P a (ξ,) Filr de refacere sa specrl sisemli de afişare -ξ s / ξ s / ξ Specrl imaginii eşanionae Specrl imaginii refăce Specrl imaginii de inrare Pierderile de specr - ξ -ξ s / ξ s / Eroarea de inerpolare Fig. 3.8 Efecl real al inerpolării În figra 3.8 ese prezena efecl real al implemenării inerpolării în refacerea imaginii conine. Rezolţia în frecvenţă, pierdă daoriă filrli de reconsrcţie, depinde de dimensinea lobli principal. Deoarece sinc() n < penr orice, lobl principal al filrli de ordinl n va deveni o mai îngs, pe măsră ce n creşe. Prin rmare, dinre oae fncţiile prezenae în abell 3., filrl de ordin zero ese singrl care prezină pierderi minime de specr (rezolţie), dar va avea eroare maimă de inerpolare. În pracică, inerpolarea c fncţii de ordinl înâi (liniară) oferă n compromis saisfăcăor înre pierderea de rezolţie şi acraeţea imaginii reconsrie. 3.3 CUANTIZAREA IMAGINILOR Pasl lerior eşanionării în digiizarea imaginilor ese canizarea. Un canizor face corespondenţa dinre o variabilă conină şi o variabilă discreă care ia valori dinr-n se fini de nmere {r,, r L }. Aceasă alocare se face în general c o fncţie scară (fig.3.9) şi regla ese rmăoarea: se defineşe { ; =,,L+} n se de ranziţii crescăoare sa nivele de decizie, nde şi L+ sn valoarea Canizor r L I e[ irea canizorl r L r r Eroarea de canizare r Fig. 3.9 Canizor şi fncţia de canizare 54

11 PRELUCRAREA DIGITALĂ A IMAGINILOR minimă şi, respeciv, maimă a li. Dacă ese în inervall (, + ), anci i se alocă nivell r, al -lea nivel de reconsrcţie.cel mai simpl şi mai zal canizor ese cel niform. Considerăm ieşirea ni senzor de imagine c valori înre, şi,. Dacă eşanioanele sn canizae niform c 56 de nivele, anci nivelele de ranziţie şi de reconsrcţie sn: ( ) =, =,..., r = +, =,..., Inervall q= - - =r -r - ese consan penr diferie valori ale li şi ese nmi inerval de canizare. În aces capiol vom la în considerare doar canizarea c memorie zero, care operează la n momen da nmai aspra ni eşanion de inrare, iar valoarea de ieşire depinde nmai de acel eşanion. Asemenea canizori sn ili în ehnicile de codare de imagine ca, de eempl, modlaţia implsrilor în cod (PCM), modlaţia diferenţială PCM, codarea prin ransformări şi alele. Ese de noa că operaţia de canizare ese ireversibilă deoarece, penr o valoare daă de ieşire, n se poae deermina în mod nic valoarea de la inrare. Din aces moiv, n canizor inrodce disorsini, pe care orice meodă de proiecare rebie să încerce să le minimizeze. 3.4 CUANTIZORUL OPTIMAL (LLOYD - MAX) Canizorl opimal în sensl erorii păraice medii, sa, cm se mai nmeşe, canizorl Lloyd-Ma, minimizeză eroarea păraică medie penr n nmăr da de nivele de canizare. Fie o variabilă aleaoare reală scalară, care are o fncţie de probabiliae conină p (). Problema consă în găsirea nivelelor de decizie şi a nivelelor de reconsrcţie r, penr n canizor c L nivele, asfel încâ eroarea păraică medie: să fie minimă. Rescriind aceasa ca: L+ (3.5) e= E[( ' ) ] = ( ' ) p ()d ε = L i+ i= i ( r) p ( ) d i (3.6) condiţiile necesare penr minimizarea li ε se obţin prin diferenţierea ecaţiei în rapor c şi r şi egalând rezlaele c zero: ε = ( r ) ( r) p( ) = L i+ ε = ri p d= L r ( ) ( ) Uilizând fapl că -, simplificarea ecaţiilor anerioare dă: i= i r = + r (3.7) 55

12 Cap.3 Eşanionarea şi canizarea imaginilor r + p ()d p ()d [ ] = = E ϑ (3.8) + nde ϑ ese inervall de ordinl, (, + ). Acese rezlae araă că nivelele opime de ranziţie se găsesc la jmăaea disanţei dinre nivelele de reconsrcţie opimă, care, la rândl lor, se găsesc în cenrl de masă al densiăţii de probabiliae, înre nivelele de ranziţie. Împrenă, ecaţiile (3.7) şi (3.8) sn ecaţii neliniare care rebiesc rezolvae simlan, având dae condiţiile de graniţă şi L+. În pracică, acese ecaţii po fi rezolvae prin meode nmerice ieraive ca, spre eempl, meoda Newon. Anci când nmărl nivelelor de canizare ese mare, o solţie aproimaivă se poae obţine prin modelarea fncţiei densiae de probabiliae p () ca fncţie consană pe inervale (ca în fig. 3.): p( ) p( j), j = ( j + j+ ), j < j+ (3.9) Uilizând aceasă aproimare în ecaţia (3.6) şi făcând minimizările cere, se poae obţine o solţie aproimaivă penr nivelele de decizie: + z + 3 / A [ p ( )] d + L + 3 / [ p ( )] d (3.) nde A= L+ - şi z =(/L)A, =,,L. Aceasă meodă cere ca valorile şi L+, nmie şi pnce de graniţă, să fie finie. Valorile pncelor de graniţă, ce deermină gama dinamică A a canizorli, rebie să fie cnosce înaine de plasarea nivelelor de decizie şi reconsrcţie. O daă ce nivelele { Î a fos deerminae, nivelele de reconsrcţie { Î se po deermina şor ca media li şi +. Disorsinea medie păraică a canizorli se obţine prin: ε = L L + [ p ( )] / d (3.) 3 3 p ( ) j j+ L+ Fig. 3. Aproimarea în repe a fncţiei p() 56