ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ

ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΤΗΣ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙΔΕΙΑΣ Του Κώστα Βακαλόπουλου ΑΣΚΗΣΗ (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Το εύρος (R) τω παρατηρούμεω υψώ τω 00 πελατώ εός γυμαστηρίου είαι cm. A) Να ομαδοποιήσετε τα δεδομέα τω υψώ σε ισοπλατείς κλάσεις α γωρίζετε ότι το άθροισμα τω κετρικώ τιμώ τω κλάσεω είαι 887,cm. B) Οι συχότητες τω κλάσεω που θα προκύψου στο ερώτημα Α) είαι: 0 0, 60, 4 0 και 0. Κατατάσσουμε τους πελάτες σε αύξουσα σειρά ύψους. Να βρείτε το ύψος για το οποίο η πιθαότητα οι πελάτες του γυμαστηρίου α έχου ύψος μεγαλύτερο από αυτό α είαι το πολύ 0%. Α) Στις ισοπλατείς κλάσεις α c το πλάτος τω κλάσεω και κ το πλήθος τω κλάσεω ισχύει: R c. Άρα: c cm. Επειδή τα κέτρα τω κλάσεω x,,,,4, αποτελού αριθμητική πρόοδο με ο όρο x διαφορά c και πλήθος, από το τύπο του αθροίσματος τω πρώτω διαδοχικώ όρω της αριθμητικής προόδου: S α ω, έχουμε: 887, x c77 0x 0 77 0x 0 x,. Οπότε οι κλάσεις είαι:,,, 0,6,,6 6,7 6,7 7,8 7,8 8,94 8,94 94, 0 Β) Σύμφωα με τα δεδομέα έχουμε το παρακάτω πίακα καταομής συχοτήτω (περιέχει όσες συχότητες χρειαζόμαστε) Κλάσεις x f% F% 0,6, 0 0 0 6,7 66, 0 7,8 77, 60 0 6 8,94 88, 0 90 94,0 99, 0 0 00 00 00 Το ζητούμεο ύψος είαι η διάμεσος τω παρατηρούμεω υψώ. Για α το προσδιορίσουμε θα χαράξουμε το πολύγωο σχετικώ αθροιστικώ συχοτήτω επί τοις εκατό και θα διαβάσουμε τη τετμημέη του σημείου του με τεταγμέη 0. 8 7 δ 7 7, 77,cm Το ζητούμεο ύψος είαι: 77, (cm) Κώστας Βακαλόπουλος

ΑΣΚΗΣΗ (ΑΝΑΛΥΣΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ) Δίεται η συάρτηση f(x) x x x 0, x. Οι συτελεστές α, β προκύπτου από τη ρίψη εός ζαριού δυο φορές. Α) Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος του πειράματος. Β) Να βρεθεί η πιθαότητα του εδεχομέου,f() της Α: η εφαπτόμεη στο σημείο γραφικής παράστασης της f α σχηματίζει αμβλεία γωία με το άξοα x x. Γ) Α Β το εδεχόμεο το ζάρι α φέρει και στις δύο ρίψεις το ίδιο αποτέλεσμα, α βρεθεί η πιθαότητα του εδεχομέου: «α πραγματοποιηθεί μόο έα από τα εδεχόμεα Α και Β». Α) Συμπληρώουμε το παρακάτω πίακα διπλής εισόδου: 4 6,,,,4,,6,,,,4,,,,,,4,,6 4 4, 4, 4, 4,4 4, 4,6,,,,4,,6 6 6, 6, 6, 6,4 6, 6,6 Άρα: Ω,,,,,,..., 6,, 6,6 με ΝΩ 6 Β) f (x) αx βx, x Πρέπει: f () 0 α β 0 α β Από το παραπάω πίακα έχουμε ότι: Α,,,4,,,,6,,4,,,,6,,,,6, 4,6 με Ν(Α) 0 ΝΑ 0 Άρα: ΡΑ ΝΩ 6 Γ) Β,,,,,, 4,4,,, 6,6 ΝΒ 6 ΝΒ 6. Άρα: ΡΒ ΝΩ 6 με Τα εδεχόμεα Α, Β είαι ασυμβίβαστα αφού Α Β Ρ Α Β 0.. Άρα: Έστω Γ το ζητούμεο εδεχόμεο. Τότε Γ Α Β Β Α Α Β Β Α Ρ Γ Ρ Α Β Β Α ΡΑ Β ΡΒ Α ΡΑ ΡΒ ΡΑ Β 0 6 6 4 6 6 9 ΑΣΚΗΣΗ (ΑΝΑΛΥΣΗ-ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ) Δίεται η συάρτηση: f(x) x x x 0, x A τα α, β παίρου τιμές από το σύολο:,,,4, α βρείτε: Α) Τη πιθαότητα του εδεχομέου Α:η συάρτηση f α μη παρουσιάζει ακρότατο στο. Β) Το σημείο Μ της γραφικής παράστασης της f στο οποίο η f είαι μηδέ. Γ) Τη πιθαότητα του εδεχομέου Β: η εφαπτόμεη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Μ α είαι παράλληλη στη ευθεία : y x. Δ) Τη πιθαότητα ώστε α μη πραγματοποιείται καέα από τα εδεχόμεα Α και Β. Κατ αρχή ο δειγματικός χώρος του πειράματος είαι το σύολο: Ω,,,,,,..., 4,, 4,4 με Ν Ω 6 Α) Η συάρτηση f δε παρουσιάζει ακρότατα στο α η διακρίουσα Δ της παραγώγου είαι μικρότερη ή ίση του μηδεός. Έχουμε f (x) 6αx 6βx, για κάθε x. Πρέπει: Δ 6β 46α 0 6β 4α 0 β α. Για τη διευκόλυσή μας σχεδιάζουμε τους παρακάτω πίακες: α 4 β 4 α 4 6 8 β 7 48 Κώστας Βακαλόπουλος

Έτσι: Α,,,, 4, με ΝΑ Άρα: ΡΑ ΝΩ 6 Ν Α Β) Για κάθε x, f (x) αx 6β β f (x) 0 αx 6β 0 x α Γ) Πρέπει: β β β f 6α 6β α α α 6αβ 6β β 4α β 4α α α Έχουμε: Άρα: Ν Α Β, ΡΒ Ν Β 6 Δ) Επειδή ΑΒ τα Α, Β είαι ασυμβίβαστα. Άρα, ΡΑ Β ΡΑ ΡΒ 6 6 4 Ζητείται η πιθαότητα του εδεχομέου: Α Β. Έτσι: ΡΑ Β ΡΑ Β4 4 4 ΑΣΚΗΣΗ 4 (ΑΝΑΛΥΣΗ-ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Δίεται η συάρτηση x,x 0 x x f(x),x Όπου δ η διάμεσος εός δείγματος που εξετάζεται ως προς μια μεταβλητή Χ που ακολουθεί τη καοική καταομή. Α) Α η συάρτηση f είαι συεχής στο x x του 0 β 4 β 7 48 α υπολογίσετε τη μέση τιμή δείγματος. Β) Α η τυπική απόκλιση του παραπάω δείγματος είαι η μέγιστη τιμή της g(x) ln x ln x, x 0, α συάρτησης υπολογίσετε το εύρος του δείγματος και το συτελεστή μεταβολής. Είαι το δείγμα ομοιογεές; Γ) Να βρείτε το ποσοστό τω παρατηρήσεω που βρίσκοται στο διάστημα,. Δ) Α πάω από βρίσκοται τρεις παρατηρήσεις α βρεθεί το μέγεθος του δείγματος. Α) Επειδή η f είαι συεχής στο θα ισχύει: x lmf (x) f () lm δ x x x lm x x δ x x x x lm δ x x lm x x δ δ δ 9 x Όμως η καταομή είαι καοική οπότε x δ 9. 0, με Β) Η g είαι παραγωγίσιμη στο 4 g (x) ln x ln x ln x x x x g (x) 0 ln x 0 0 x e g (x) 0 ln x 0 x e Άρα: Στο e η f παρουσιάζει μέγιστο το g(e). Οπότε s και ο συτελεστής μεταβολής είαι: s CV. x 9 Γ) Επειδή η καταομή είαι καοική έχουμε το παρακάτω σχήμα: Κώστας Βακαλόπουλος

(s και x 9). Στο διάστημα, 9 68 βρίσκεται το 68 % 8,% τω παρατηρήσεω. Δ) Πάω από βρίσκεται το 0,% τω παρατηρήσεω. Α έχουμε συολικά παρατηρήσεις θα ισχύει: 0,00 0,00 000. ΑΣΚΗΣΗ (ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ) Από τους μαθητές εός σχολείου το 4% είαι αγόρια. Το 70% τω αγοριώ και το 0% τω κοριτσιώ θα ακολουθήσει θετική ή τεχολογική κατεύθυση. Επιλέγουμε τυχαία έα άτομο από τους μαθητές σχολείου. Α) Να βρείτε τη πιθαότητα τω εδεχομέω: ) Το άτομο αυτό α είαι κορίτσι ή α ακολουθεί τεχολογική ή θετική κατεύθυση. ) Το άτομο αυτό α είαι αγόρι και α ακολουθεί θεωρητική κατεύθυση Β) Α τα κορίτσια του σχολείου που ακολουθού θεωρητική κατεύθυση είαι 77 α βρεθεί το πλήθος τω μαθητώ του σχολείου. Θεωρούμε τα εδεχόμεα: Α: Το τυχαία επιλεγόμεο άτομο α είαι αγόρι. P A 4% 0,4 εώ η πιθαότητα Ισχύει: α επιλεγεί κορίτσι είαι PA 0, 4 0, και Β: Το τυχαία επιλεγόμεο άτομο α ακολουθεί θετική ή τεχολογική κατεύθυση. P B 70% 4% 0% % Ισχύει: 0, 0,6 0, 48. Επίσης: P A B 70% 4%,% 0, Α) Ζητείται: ) Η πιθαότητα του εδεχομέου: A B P A B P A P B P A B Όμως: PA PB PB PA B PA PA B 0, 4 0, 0,86 86, %. ) Το ζητούμεο εδεχόμεο είαι: A B P A B P A P A B 0,4 0, Όμως, 0,,% Β) H πιθαότητα του εδεχομέου το τυχαία επιλεγόμεο άτομο α είαι κορίτσι και α ακολουθεί θεωρητική κατεύθυση είαι: % 70% 8,%. Α οι μαθητές του σχολείου είαι τότε: 8,% 77 77 0,8 00. Τις παρακάτω ασκήσεις έστειλε ο συάδελφος ΤΑΣΟΣ ΓΑΒΡΑΣ ΑΣΚΗΣΗ 6 (ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ) Από το έλεγχο απουσιώ του α τετραμήου τω μαθητώ εός σχολείου, προέκυψε ότι για κ μαθητές δε σημειώθηκε καμία απουσία, εώ λ μαθητές απουσίασα ακριβώς μ ημέρες. Έστω s η τυπική απόκλιση του δείγματος τω μαθητώ που απουσίασα το πολύ m ημέρες και ότι για το δείγμα αυτό το εύρος ισούται με R. ) Να υπολογίσετε το μ. ) Nα δείξετε ότι: s. ) Ας θεωρήσουμε Χ τη μεταβλητή που μας δίει το πλήθος τω απουσιώ τω μαθητώ στο α τετράμηο. Επειδή R και έχουμε ήδη τη παρατήρηση x 0 (αφού κ μαθητές δε έκαα απουσία), δεδομέου και ότι οι ημέρες απουσίας είαι φυσικοί αριθμοί, συεπάγεται ότι: R x x x 0 x Έτσι συμπεραίουμε ότι μ και η μεταβλητή Χ θα λαμβάει μόο δύο τιμές, τις x 0 με συχότητα κ και τη x με συχότητα λ. ) Δημιουργείται ο διπλαός σύτομος πίακας. Έχουμε: 0 κ x x 0 κ λ λ λ x κ λ κ λ και συεπώς λ λ 0 κ λ κ λ κ λ s κ λ λ κ κ λ κλ κ λ κλ κ λ κ λ κ λ κλ κλ κ κλ λ κλ 4 Κώστας Βακαλόπουλος

Έχει σημασία η επισήμαση της εκφώησης ότι το s αφορά τους μαθητές που απουσίασα το πολύ μια φορά, αφού σε διαφορετική περίπτωση δε θα μπορούσαμε α δεχθούμε ότι το μέγεθος του εξεταζόμεου δείγματος είαι κ λ! ΑΣΚΗΣΗ 7 (ΣTATIΣTIKH) Έστω έα σύολο τω παρατηρήσεω εός δείγματος με τιμές x,,,,4, και ατίστοιχες απόλυτες συχότητες, σχετικές συχότητες f, αθροιστικές συχότητες N και σχετικές αθροιστικές συχότητες F,,,,4,. ) Να βρείτε τη διάμεσο τω αριθμώ 0,,f,F,,,,F. ) Δίεται ο παρακάτω πίακας καταομής σχετικώ συχοτήτω τω παραπάω μεταβλητώ: x 4 f 0, 0, 0, 0,4 0, Να αποδείξετε ότι το μέγεθος του δείγματος είαι άρτιος αριθμός. ) Να υπολογίσετε τη διάμεσο του δείγματος. v) Να εξετάσετε α το δείγμα είαι ομοιογεές και σε περίπτωση αρητικής απάτησης, α υπολογίσετε το ελάχιστο θετικό ακέραιο που πρέπει α προσθέσουμε στις παρατηρήσεις ώστε το δείγμα α είαι ομοιογεές. ) Έχουμε: 0 f, F f f f F F v H μεταβλητή παίρει τη τιμή x άρα και επειδή Ν Ν Ν Έτσι, οι εέα αριθμοί σε αύξουσα σειρά είαι: 0,f,F,F,,, Ν, Ν,. Η διάμεσος είαι η πέμπτη παρατήρηση, δηλαδή δ. ) Από τα δεδομέα του πίακα παρατηρούμε ότι: f f f 0,0 συεπώς:. Α περιττός, τότε. Άρα άρτιος. ) Έχουμε ότι f f f 0,0 δ, v) Εμπλουτίζουμε το πίακά με έες γραμμές για α διευκολυθούμε στις πράξεις. x Έτσι, η μέση τιμή του δείγματος είαι: και η διακύμαση: x x f, f x f x s x f x, 6,,6 Επομέως, ο συτελεστής μεταβλητότητας,6 ισούται με CV 0,644 6, 44%, οπότε το δείγμα δε είαι ομοιογεές. Έστω y x α οι τιμές του έου δείγματος που θα προκύψει α προσθέσουμε σε όλες τις παρατηρήσεις το σταθερό αριθμό α. Τότε: sy s,6 και y x α, α,7 Πρέπει: CVy 0, 0,, α,7, α α 8, ή α 4,9. Άρα ο ελάχιστος θετικός ακέραιος που πρέπει α προσθέσουμε για α γίει το δείγμα ομοιογεές είαι 9. f 0, 0, 0, 0, 0,4 0,8 0, 0,6,8 4 0,4,6 6,4 0, 0,, Σύολο,,6 Κώστας Βακαλόπουλος