Τηλεπικοινωνίες Ενότητα 2.1: Ανάλυση Fourier Μιχάλας Άγγελος Τμήμα Μηχανικών Πληροφορικής ΤΕ
Άδειες Χρήσης Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό υπόκειται σε άδειες χρήσης Creative Commons. Για εκπαιδευτικό υλικό, όπως εικόνες, που υπόκειται σε άλλου τύπου άδειας χρήσης, η άδεια χρήσης αναφέρεται ρητώς. 2
Χρηματοδότηση Το παρόν εκπαιδευτικό υλικό έχει αναπτυχθεί στα πλαίσια του εκπαιδευτικού έργου του διδάσκοντα. Το έργο «Ανοικτά Ακαδημαϊκά Μαθήματα του ΤΕΙ Δυτικής Μακεδονίας και της Ανώτατης Εκκλησιαστικής Ακαδημίας Θεσσαλονίκης» έχει χρηματοδοτήσει μόνο τη αναδιαμόρφωση του εκπαιδευτικού υλικού. Το έργο υλοποιείται στο πλαίσιο του Επιχειρησιακού Προγράμματος «Εκπαίδευση και Δια Βίου Μάθηση» και συγχρηματοδοτείται από την Ευρωπαϊκή Ένωση (Ευρωπαϊκό Κοινωνικό Ταμείο) και από εθνικούς πόρους. 3
Ανάλυση Fourier
Σκοποί ενότητας Σε αυτό το κεφάλαιο θα ασχοληθούμε με την ανάλυση Fourier. 5
Περιεχόμενα ενότητας (1/2) Σειρά Fourier. Συνθήκες. Σειρά Fourier (συνέχεια). Παράδειγµα. Φάσµα πλάτους και φάσης. Μιγαδική Σειρά Fourier. 6
Περιεχόμενα ενότητας (2/2) Ιδιότητες µιγαδικών συντελεστών. Παράδειγµα: Περιοδική Παλµοσειρά. Η συνάρτηση sin(x)/x. Παράδειγµα: Περιοδική Παλµοσειρά. Παραδείγµατα. Βιβλιογραφία. 7
Σειρά Fourier Ο Jean Baptiste Fourier (1768-1830) απόδειξε ότι κάθε περιοδική y = f(x) συνάρτηση μπορεί να γραφεί ως ένα άπειρο άθροισμα ημιτονοειδών συναρτήσεων Σειρά Fourier. Απλούστερη περιγραφή των σημάτων. Η σειρά Fourier οδηγεί και στην έννοια των φασμάτων που είναι απαραίτητα στην παρακολούθηση των πληροφοριών που μεταφέρουν τα σήματα. 8
Συνθήκες Συνθήκες Dirichlet. Η συνάρτηση f(t) είναι μονοσήµαντη στο διάστημα t1, t2. H συνάρτηση f(t) έχει πεπερασμένο αριθμό μεγίστων και ελαχίστων στο διάστημα t1-t2. H f(t) έχει πεπερασμένο αριθμό ασυνεχειών στο διάστημα t1- t2. H f(t) είναι απολύτως ολοκληρώσιµη στο διάστημα t1-t2. Η συνάρτηση f(t) μπορεί να επεκταθεί σε σειρά Fourier η οποία ισχύει για το διάστημα t1-t2. Αν η f(t) είναι περιοδική συνάρτηση Η επέκταση ισχύει για όλη την περίοδο Τ=t1-t2. 9
Σειρά Fourier (συνέχεια) Κάθε περιοδικό σήµα µπορεί να γραφεί στη µορφή. 10
Έστω για x [0,2π]. Παράδειγµα (1/2) Σχήμα 1. Εξίσωση τριών αρμονικών, και γραφική παράστασή τους, τροποποίηση από: Ιατρέλλης Όμηρος, Κεφάλαιο «Σειρές και μετασχηματισμός Fourier», 2014. 11
Παράδειγµα (2/2) Έστω για x [0,2π]. Είναι φανερό ότι προσθέτοντας και άλλους παρόµοιους όρους το γράφηµα µοιάζει όλο και περισσότερο µε ένα σήµα. Επίσης όταν y=sin(x)+2sin(3x)+0.3sin(100x) το γράφηµα στο διάστηµα [0,2π]. Σχήμα 2. Γραφική παράσταση παραδείγματος 2, τροποποίηση από: Ιατρέλλης Όμηρος, Κεφάλαιο «Σειρές και μετασχηματισμός Fourier». 12
Φάσµα πλάτους και φάσης Το διάγραµµα των συντελεστών a n ως προς τη συχνότητα ονοµάζεται φάσµα πλάτους. Κάθε συχνότητα απέχει από την επόµενη (βήµα συχνότητας) ποσό ίσον µε ω. Η κατανοµή του πλάτους δείχνει το ποσοστό συµµετοχής µιας συχνότητας στην δηµιουργία ενός σήµατος. Το διάγραµµα των φάσεων φ n ως προς της συχνότητα ονοµάζεται φάσµα φάσης. 13
Μιγαδική Σειρά Fourier (1/3) Μπορεί επίσης να γραφτεί σε µια πιο κοµψή µορφή µε τη χρήση µιγαδικών τριγωνοµετρικών συναρτήσεων. 14
Μιγαδική Σειρά Fourier (2/3) Έστω ότι το c n παριστάνει ένα µιγαδικό τελεστή που σχετίζεται µε τα a n και b n ως εξής: cn = a n jbn, n > 0 a 0, n = 0. a n + jbn, n < 0 Τότε η g p (t) απλοποιείται ως ακολούθως: g p t = c n exp( j2πnt n= ). T 0 Οι όροι c n υπολογίζονται από τον τύπο: cn = 1 T g T p t exp j2πnt 0 /2 dt, n =., 2, 1,0,1,2, 0 T 0 /2 T 0. 15
Μιγαδική Σειρά Fourier (3/3) Η αναπαράσταση ενός περιοδικού σήµατος µε µια σειρά Fourier είναι ισοδύναμη µε την ανάλυση του σήµατος σε διάφορες αρμονικές συνιστώσες. Έτσι, χρησιμοποιώντας τη μιγαδική εκθετική σειρά Fourier βρίσκουμε οτι ένα περιοδικό σήµα g p (t), µε περίοδο Τ 0 έχει συνιστώσες f 0, 2 f 0, 3 f 0,K όπου η f 0 1 /T είναι η θεμελιώδης συχνότητα. ηλαδή, ενώ το σήµα g p (t) υπάρχει στο πεδίο του χρόνου μπορούμε να πούμε ότι η περιγραφή του στο πεδίο της συχνότητας περιλαμβάνει τις συνιστώσες µε συχνότητες f 0, 2 f 0, 3 f 0,K που ονομάζεται φάσμα (spectrum). 16
Σειρά Fourier (1/2) Έτσι ένα περιοδικό σήµα g p (t) µπορεί να καθοριστεί µε δυο ισοδύναµους τρόπους: Με την αναπαράσταση στο πεδίο του χρόνου, όπου το g p (t) ορίζεται σαν συνάρτηση του χρόνου. Την αναπαράσταση στο πεδίο της συχνότητας, όπου το σήµα ορίζεται µε το φάσµα του. Οι δυο περιγραφές δεν είναι ανεξάρτητες αλλά δυο διαφορετικές απόψεις του ίδιου φαινοµένου. Γενικά ο συντελεστής Fourier c n είναι ένας µιγαδικός αριθµός που µπορούµε να τον εκφράσουµε στη µορφή: c n = c n exp jθ n, όπου θn = tan 1 b n a n. 17
Σειρά Fourier (2/2) Το c n δηλώνει το πλάτος της n-οστής αρμονικής συνιστώσας του περιοδικού σήµατος g p (t), έτσι ώστε το διάγραμμα του c n συναρτήσει της συχνότητας δηλώνει το πλάτος του διακριτού φάσματος του σήµατος. Το διάγραμμα της c n συναρτήσει της συχνότητας δίνει τη φάση του διακριτού φάσματος του σήµατος. Αναφερόµαστε στο φάσμα σαν διακριτό φάσμα, γιατί τόσο το πλάτος όσο και η φάση του c n έχουν µη μηδενικές τιµές µόνο για διακριτές συχνότητες που είναι ακέραια (τόσο θετικά όσο και αρνητικά) πολλαπλάσια της θεμελιώδους συχνότητας. 18
Ιδιότητες µιγαδικών συντελεστών Για µια περιοδική συνάρτηση g p (t) ισχύει: 1. c n = c n. 2. c n = c n. 3. θ n = θ n. Όπου ο c n ο µιγαδικός συζυγής του c n. 19
Παράδειγμα: Περιοδική Παλµοσειρά Θεωρούμε την περιοδική σειρά ορθογωνίων παλμών διάρκειας Τ και περιόδου Τ 0 g p t = A, T 2 t T 2 0, το υπόλοιπο της περιόδου. Το σήµα αναλύεται σε σειρά Fourier ως εξής: g p t = c n e j2πnf t 0 n=. Όπου: c n = 1 T T 0 /2 T 0 /2 g p (t)e j2πnf 0 t dt. Σχήμα 3. Γραφική παράσταση της περιοδικής σειράς ορθογωνίων παλμών διάρκειας Τ και περιόδου Τ 0. 20
Συνέχεια Παραδείγματος Ο συντελεστής c n υπολογίζεται περαιτέρω ως εξής. 21
Η συνάρτηση sin(x)/x Σχήμα 4. Γραφική παράσταση της συνάρτησης sin(x)/x. 22
Η συνάρτηση sin(x)/x Σχήμα 5. Γραφική παράσταση της συνάρτησης sin(x)/x. 23
Παράδειγµα: Περιοδική Παλµοσειρά (Συνέχεια - 1/2) Γραφική παράσταση πλάτους (μέτρου συντελεστών cn). Απόσταση μεταξύ διαδοχικών συχνοτήτων = 1/Τ 0. Σημεία μηδενισμού περιβάλλουσας φάσματος= πολλαπλάσια του 1/Τα. Όταν Τ 0 (δηλαδή έχουμε µη περιοδικό σήµα) η απόσταση μεταξύ διαδοχικών συχνοτήτων στενεύει και το φάσμα από διακριτό γίνεται συνεχές. Σχήμα 6. Γραφική παράσταση περιοδικής παλμοσειράς. 24
Παράδειγµα: Περιοδική Παλµοσειρά (Συνέχεια - 2/2) Γραφική παράσταση φάσης (γωνίας συντελεστών c n ). Σχήμα 7. Γραφική παράσταση φάσης (γωνίας συντελεστών c n ). 25
Παραδείγµατα (1/2) Να βρεθεί η σειρά Fourier της συνάρτησης: f x = 1 x 2, 1 < x < 1. Υπολογισµός α 0 : α 0 = 1 2 1 1 1 x 2 dx = 1 2 x 1 3 x3 1 1 = 2 3. Υπολογισµός α n : 26
Παραδείγµατα (2/2) 1 1 Υπολογισµός b n : b n = 1 x 2 sin nπx dx = 0. Σειρά Fourier: f x = 2 3 + 4 π 2 cos πx 1 4 cos 2πx + 1 9 cos 3πx = 0. 27
Βιβλιογραφία «Συστήματα Επικοινωνίας», Simon Haykin, Εκδόσεις Παπασωτηρίου. Αρχές και Εφαρμογές Σημάτων και Συστημάτων, Χ. Δουληγέρης, Γ.Α. Τσιχριντζής, Εκδόσεις Βαρβαρήγου, Πειραιεύς, 2003. «Εισαγωγή στις Τηλεπικοινωνίες», Κωνσταντίνου, Καψάλη, Κώττη, Εκδόσεις Παπασωτηρίου. «Αρχές Τηλεπικοινωνιακών Συστημάτων», Taub, Schilling, Εκδόσεις Τζιόλα. 28
Τέλος Ενότητας