Ρίζες πργμτικώ ριθμώ Τετργωική ρίζ πργμτικού ριθμού Ορισμός: Η τετργωική ρίζ εός μη ρητικού ριθμού είι ο μη ρητικός ριθμός β που ότ υψωθεί στο τετράγωο μς δίει το, δηλδή: = β β =,, β Πρτήρηση: Η ορίζετι ότ κι είι (το = ισχύει γι = ). Ιδιότητες: = = =, ( ) β = β,, β κι γεικότερ γι ριθμούς... =...,,,..., β = β, κι β > κ ( ) κ =, κι κ + β = β, β Πρτήρηση: < β < β,, β -οστή ρίζ πργμτικού ριθμού Ορισμός: Η -οστή ρίζ εός μη ρητικού ριθμού είι ο μη ρητικός ριθμός β που ότ υψωθεί στη μς δίει το, δηλδή: = β β =,, β Γι = γράφουμε =. Γι = γράφουμε =. Πρτήρηση: Η ορίζετι ότ κι κι είι (το = ισχύει γι = ). www.samaras.info
Ιδιότητες: Α άρτιος, τότε Α περιττός, τότε ( ) = = =, =, β = β,, β κι γεικότερ γι ριθμούς... =...,,,..., β = β, κι β > κ ( ) κ =, κι κ + β = β,, β μ ρ μ =, μρ μ =, Πρτήρηση: < β < β,, β Δυάμεις με ρητό εκθέτη Ορισμός: Α >, μ κέριος κι θετικός κέριος, τότε ορίζουμε μ Ακόμ, μ, θετικοί κέριοι, ορίζουμε = μ = μ Η εξίσωση x = x x= ή x = άρτιος v v v > = περιττός v = v x x= άρτιος v x =, δύτη < περιττός v x = x= v x = v = x= www.samaras.info
ΛΥΜΕΝΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ν βρείτε τις τιμές του x γι τις οποίες ορίζοτι οι πρκάτω πρστάσεις: i. x ii. x + 6+ x iii. iv. ( x ) + v. vii. x + x viii. H a ορίζετι (έχει όημ) ότ a x vi. x x + x ix. x x i. Η x ορίζετι ότ x x ii. Η 6+ x ορίζετι ότ 6+ x x 6 x x + iii. Η ορίζετι ότ x+ x+ x+ 8 x 6 x iv. Η ( x ) v. Η + ορίζετι ότ ( ) ( ) ( x+ ) x+ x+ x+ = x= x ορίζετι ότ vi. Η x ορίζετι ότ x x x x x x x x ή x x ή x vii. Η x + x ορίζετι ότ x κι x x κι x x x + viii. Η ορίζετι ότ x x + κι x> x κι > x x< ix. Η x x ορίζετι ότ x x, x x, x x= x x x x x x x, x< x, x< x< www.samaras.info
. Ν πλοποιηθεί η πράστση: 8 + Αλύουμε τους ριθμούς που βρίσκοτι στ υπόριζ σε γιόμεο δύο ριθμώ, ώστε ο ές είι τέλειο τετράγωο κι ο άλλος μη έχει πράγοτ που είι τέλειο τετράγωο Είι 8 + = 9 6 + = = + = 6 + =. Ν πλοποιήσετε τις πρκάτω πρστάσεις: i. ( ) ii. x, ότ x < x x ότ x +, iii. x 6x+ 9 x + 6x+ 9 + x x+, ότ x < Σε πράστση που περιέχει τετργωική ρίζ με υπόριζο τέλειο τετράγωο, χρησιμοποιούμε τη ιδιότητ i. Είι ( ) a x = x = x+, διότι x < ii. Είι ( ) = a x x+ = x = x = x, διότι x ( x ) ( x+ ) x 6x+ 9 x + 6x+ 9 iii. Είι + = + x x+ x x+ x x+ ( x ) x + = + = + = + =, x x+ x x+ διότι x < < x<, άρ x < κι x + >. Επομέως x = ( x ) κι x + = x + =. Ν υπολογίσετε τις πρστάσεις: i. + ii. + i. Είι ( )( ) ( ) + = + = = = 9 = 6 = 8 = 9 = ii. Είι ( )( ) + = + = ( ) = = = = 9 www.samaras.info
. Ν γράψετε με τη μορφή μις ρίζς τις πρστάσεις: i. ii. iii. iv. v. : i. Είι = = = = = = 6 6 7 ii. Είι 6 = = = = 6 6 6 9 9 8 8 8 = = = = = = 8 Ότ εχουμε ρίζες που δε είι της ίδις τάξης, τις μεττρέπουμε σε ρίζες της ίδις τάξης (βρίσκοτς το Ε.Κ.Π τω τάξεω) iii. Είι iv. Είι v. Είι 6 6 6 = = = = = = 6 6 8 9 6 = = = = 8 9 6 : = : = : = 6. Ν μεττρέψετε τις πρστάσεις σε ισοδύμες με ρητό προομστή: i. ii. iii. 7 Γι μεττρέψουμε έ κλάσμ της μορφής, με > κ, σε ισοδύμο με κ β ρητό προομστή, πολλπλσιάζουμε κι τους δύο όρους του κλάσμτος με κ β i. Είι = = = ( ) 7 7 7 7 7 ii. Είι = = = = = 7 7 7 7 7 7 κ Γι μεττρέψουμε έ κλάσμ της μορφής, σε ισοδύμο με ρητό ± β προομστή, πολλπλσιάζουμε κι τους δύο όρους του κλάσμτος με τη συζυγή πράστση του προομστή ( β ) ( )( ) β = β iii. Είι ( ) ( )( ) κι χρησιμοποιούμε τη τυτότητ ( ) ( ) ( ) + + + = = = = + ( + ) www.samaras.info
7. Ν μεττρέψετε τις πρστάσεις σε ισοδύμες με ρητό προομστή: i. ii. iii. iv. 7+ + 6 + + i. Είι ii. Είι ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 7 7 = = 7+ 7+ 7 7 7 7 = = = 6 7 7 ( ) ( 6 + ) = = + + + ( + ) ( + ) ( 6 + ) ( 6 + ) ( 6 + ) ( ) ( 6 + ) ( 6 + + ) + ( 6 + ) + 6 6 6 = = = 6 8 = = = = 6 + 6 = 6 Χρησιμοποιούμε τις τυτότητες ( )( ) ( )( β + β ) = + β iii. Είι β β β β + + = κι ( ) ( + + ) ( ) ( ) + + ( ) ( + + ) ( + + ) ( ) ( ) = = = = = = + + = iv. Είι ( ) + + ( ) ( ) + ( 9 + ) ( 9 + ) ( ) + + = = + = = = 9 + 6 www.samaras.info
8. Ν λυθού οι εξισώσεις: i. 6x = ii. x = iii. x + = iv. 7x + = v. ( x 6) = i. Είι: 6x = 6x = x = x= ή x= x= ή x = 6 6 6 ii. Είι x x x 8 x 8 = = = = x = iii. Είι iv. Είι v. Είι ( ) x + = x = x =, που είι δύτη 7x + = 7x = x = x= 7 7 x 6 = x 6= x=6 9. Ν λυθού οι εξισώσεις: i. ( ) 8 8 x = x ii. ( x ) + = x x =, ότ x iii. ( ) ( ) i. Είι: ( ) 8 8 x = x x = x ή x = x x= ή x= x= ή x = ii. Είι: iii. Είι: ( x ) ( x ) ( x ) + = = = x = x = x = x ( x ) ( x) x x ( x) ( x ) = = = x x+ = x= x=, που είι δεκτή 7 www.samaras.info
. Ν δείξετε ότι: i. + > ii. + < 8+ 6 iii. + < 7+ iv. < 7 Ότ τ μέλη ισοτήτω είι μη ρητικοί ριθμοί, τ υψώουμε σε δύμη με κτάλληλο εκθέτη, ώστε κτλήξουμε σε μι ισότητ που ισχύει i. Είι + > ( + ) > ( ) + 6+ > 6 >, που ισχύει ii. Είι + < 8+ 6 ( + ) < ( 8+ 6) 9+ 6 + < 8+ 8+ 6 6 < 8 6 < ( ) ( ) < < 9 < 6 < 8, που ισχύει iii. Είι ( ) ( ) + < 7+ + < 7+ + + < 7+ 6< 7, που ισχύει 6 6 < 7 <, που ισχύει iv. Είι < 7 ( ) < ( 7 ) ( ) < ( 7 ). Ν συγκρίετε τους ριθμούς: i. κι ii. 7 + κι + i. Είι < κι >, οπότε < Ότ οι ριθμοί είι θετικοί, ρκεί συγκρίουμε τ τετράγωά τους ii. Είι: ( 7 + ) = 7 + + = + κι ( + ) = + + = + Πρτηρούμε ότι + < +, οπότε 7+ < + 8 www.samaras.info
. i. Ν υπολογίσετε τις πρστάσεις: ii. Ν πλοποιήσετε τη πράστση: i. Είι: ( + ) κι ( ) A = + ( + ) = + + = + κι ( ) = + = ii. Είι: () i ( ) ( ) Α= + = + = = + = ( + ) ( ) = + + =. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: i. + 6 ii. 6 Μετσχημτίζουμε τις υπόριζες ποσότητες σε τέλει τετράγω, βσιζόμεοι στις τυτότητες ( ) = + β +β κι ( ) β = β + β i. Είι + 6 = 9 + + = ( + ) = + = + ii. Είι ( ) 6 = + = = =. i. Ν ποδείξετε ότι ( ) = 8 ii. Ν βρείτε τις κέριες λύσεις της ίσωσης i. Είι ( ) = 6 8 + = 8 8 x ii. Είι: ( ) () i x 8 x x x ( ) x x x= ή x = ή x = 9 www.samaras.info
. Ν βρείτε τους,, x + y x + x y z =. x yz ( ) Το άθροισμ μη ρητικώ ριθμώ είι μηδέ ότ οι ριθμοί είι μηδέ Είι: ( ) x + y x + x y z = x = κι y x= κι x y z = x= κι y = κι z = 6. i. Ν εξετάσετε πότε ισχύει η ισότητ = ii. Α, β, ποδείξετε ότι i. - Α <, τότε <, που είι άτοπο - A β Επομέως η ισότητ ii. Είι: + = + + = + +, τότε β β ( β ) ( β) = + β + β β = = β = = +β ισχύει ότ: = κι β ή β = κι ( ) ( ) ( ) ( ) β, + β + β β, που ισχύει 7. Ν δείξετε ότι γι κάθε x R ισχύει - Α x <, τότε προφώς ισχύει x x + > x + > x. ή - Α, τότε x ( ) Επομέως ισχύει x + > x x + > x x + > x >, που ισχύει x + >x γι κάθε x R www.samaras.info
8. Α < β, ποδείξετε ότι: i. β ii. β β β β iii. β iv. β i. Αρκεί ποδείξουμε ότι κι β. Είι : β, που ισχύει β β β, που ισχύει Πράγμτι λοιπό, έχουμε β ii. Επειδή β, > β β β β κι β β. Είι:, ρκεί ποδείξουμε ότι β β ( β) β β β β β ( β ) β, που ισχύει διότι > κι β, που ισχύει διότι β > κι β Πράγμτι λοιπό, έχουμε β β β β β iii. Αρκεί ποδείξουμε ότι κι β β. Είι: + β> β ( ) β + β β β, που ισχύει πό (ii) + β> β β β β ( ) β β + β β β, που ισχύει πό (ii) β Πράγμτι λοιπό, έχουμε β iv. Αρκεί ποδείξουμε ότι β β β κι β. Είι: + β> β> ( + ) ( ) ( + ) β β β β β β β ( ) β > β + β + β β β + β + β +, που ισχύει β β β β β β ( β ) ( β ) ( β, > + + ) β + β + β β + β β, που ισχύει Πράγμτι λοιπό, έχουμε β β ( ) www.samaras.info
9. i. Α xy>,, ποδείξετε ότι: x + y xy ii. Α xyz>,,, ποδείξετε ότι: a. ( )( ) b. x + y + xy + + + + x y z xy yz xz xy> i. Είι ( ) ( ), x + y xy x+ y xy x + xy+ y xy ( ) x xy+ y x y, που ισχύει ii.. Σύμφω με το ερώτημ (i) είι: x> x + x x + x () y> y + y y + y () Πολλπλσιάζοτς κτά μέλη τις ισότητες () κι () (φού τ μέλη τους είι θετικά), πίρουμε: x + y + xy ( )( ) b. Σύμφω με το ερώτημ (i) είι: + + () x y x y x y xy + + () y z y z y z yz + + () x z x z x z xz Προσθέτοτς κτά μέλη τις ισότητες (), () κι (), πίρουμε: + + + + + + + + x y z xy yz xz x y z xy yz xz ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΠΡΟΣ ΛΥΣΗ Α Ομάδ. Ν υπολογίσετε τη πράστση: 8 +. Α = + κι β =, υπολογίσετε τις πρστάσεις: a. β b. c. β + β www.samaras.info
. i. Α x = + + 7 +, βρείτε το x. ii. Α x = + +, βρείτε το. Ν ποδείξετε ότι: a. ο ριθμός + είι η τετργωική ρίζ του ριθμού + 6 b. ο ριθμός είι η τετργωική ρίζ του ριθμού + β + β, όπου, β x.. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: a. 6 6 + ( ) ( ) b. ( ) c. ( ) 6 6 6 6. i. Ν υπολογίσετε τις πρστάσεις: ii. Ν πλοποιήσετε τη πράστση: 7. Ν ποδείξετε ότι ( + ) κι ( ) A = + + =. + 6 6 8. Ν μεττρέψετε σε ισοδύμη με ρητό προομστή τη πράστση: + 9. Ν λυθού οι εξισώσεις: a. x + x = b. x 6x = c. ( x ) 8=. i. Ν λύσετε τη εξίσωση x x =. ii. Α ρ είι η μεγλύτερη ρίζ της εξίσωσης του ερωτήμτος (i), ποδείξετε ότι: ρ + ρ 8 ρ = ρ ρ + ρ www.samaras.info
. i. Ν λύσετε τη εξίσωση ( ) x + 7 =. ii. Α η εξίσωση + x 8= έχει κοιή λύση με τη εξίσωση του ερωτήμτος (i), βρείτε το.. Ν λύσετε τις εξισώσεις: a. b. x x x + = x + x = x 9 7. Ν ποδείξετε ότι: a. ( )( ) b. ( )( ) β + β =, όπου, β β + β + β = β, όπου, β. Ν λυθού οι εξισώσεις: a. 6 x = a b. 9 x = a c. 6 x = a B Ομάδ. Ν ποδείξετε ότι ο ριθμός είι η κυβική ρίζ του ριθμού. 6. Ν υπολογίσετε τη πράστση: + + 6+ + 7. a. Ν συγκρίετε τους ριθμούς 6+ κι 6. b. Α κ = 6+ 6, τότε: i. ποδείξετε ότι κ = 8 8 ii. βρείτε τ ( κ + ), ( κ ) 8. Ν βρείτε τ xy,, γι τ οποί ισχύει ότι + + 8=. x y x y 9. Α Κ= x x+ + x + x+, λύσετε: a. τη εξίσωση Κ= 7 b. τη ίσωση Κ 7. Ν λυθού οι εξισώσεις: a. x x + 7x 7 = b. 7 x + 8x 8x = 68 www.samaras.info
. Ν λύσετε τη ίσωση d( x,).. Δίετι η πράστση Π= κ +, με κ. a. Ν δείξετε ότι Π. b. Ν βρείτε τις τιμές του κ γι τις οποίες η πράστση Π λμβάει τη ελάχιστη κι τη μέγιστη τιμή της.. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: a. Κ= b. Λ= x x x x + + + + x y y x + + +, ότ x + y =. Ν πλοποιήσετε τις πρστάσεις: a. + b. c. 9. Γι ποιες τιμές του x η πράστση του x ; 6. Ν ποδείξετε ότι: x + y a. x + y, όπου xy, b. 6 + 7 + 9 + 8 7. Ν ποδείξετε ότι: a. β β, όπου, β b. + + + ( x ) x + Π= είι εξάρτητη x =, όπου ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ ΣΥΓΓΡΑΦΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΟΙ www.samaras.info