ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ Καθηγητής Τσιριγώτης Γεώργιος
Τα κεφάλαια του μαθήματος 1 ο κεφάλαιο: Σήματα & Συστήματα 2 ο κεφάλαιο: Ανάλυση Fourier 3 ο κεφάλαιο: Απόκριση κατά συχνότητα 4 ο κεφάλαιο: Δειγματοληψία 5 ο κεφάλαιο: Φίλτρα
1 ο κεφάλαιο: Σήματα & Συστήματα Τι είναι σήμα;
Σύμφωνα με έναν ορισμό, «Σήμα είναι η φυσική αναπαράσταση μιας πληροφορίας»
Υπάρχουν βέβαια και άλλοι ορισμοί οι οποίοι προσεγγίζουν την έννοια του σήματος λίγο διαφορετικά: «Σήμα είναι μια ανιχνεύσιμη ποσότητα ή παλμός (π.χ. τάση, ρεύμα, μαγνητικό πεδίο), δια του οποίου μπορεί να μεταδοθεί πληροφορία»
«Σήμα είναι μια συνάρτηση ανεξάρτητων μεταβλητών, που μπορεί να εμπεριέχει πληροφορία» «Σήμα είναι μια πηγή πληροφορίας, μιας φυσικής ποσότητας γενικώς, που μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου, του χώρου, της θερμοκρασίας, όπως κάθε ανεξάρτητη μεταβλητή»
«Σήμα είναι μια φυσική ποσότητα που μεταβάλλεται συναρτήσει του χρόνου, του χώρου, η της όποιας άλλης ανεξάρτητης μεταβλητής, δια της οποίας (ποσότητας) μπορεί να μεταδοθεί πληροφορία»
Με τις ανωτέρω έννοιες θα προσεγγίσουμε τα σήματα στα πλαίσια του μαθήματος «Σήματα & Συστήματα». Για παράδειγμα, τα ηχητικά σήματα είναι διακυμάνσεις της πίεσης του αέρα που μεταφέρουν στο αυτί μας μια πληροφορία. Τα οπτικά σήματα είναι κύματα φωτός που μεταφέρουν μια πληροφορία στο μάτι μας.
σχέση σήματος και συστήματος
Ταξινόμηση σημάτων και συστημάτων Το σήμα αναπαριστάται με μια συνάρτηση, μιας ή περισσοτέρων μεταβλητών. Συνήθως είναι συνάρτηση μιας μεταβλητής και αυτή η μεταβλητή είναι ο χρόνος.
Ταξινόμηση σημάτων και συστημάτων Ο χρόνος μπορεί να είναι συνεχής ή διακριτός. Στην περίπτωση του συνεχούς χρόνου, έχουμε αναλογικό σήμα και στην περίπτωση του διακριτού χρόνου έχουμε διακριτό σήμα ή δειγματολημένο σήμα.
Ταξινόμηση σημάτων και συστημάτων Το ίδιο μπορεί να συμβαίνει και με το πλάτος του σήματος, το οποίο μπορεί επίσης να είναι συνεχές ή διακριτό.
Ταξινόμηση σημάτων και συστημάτων Ένα αναλογικό σήμα του οποίου το πλάτος είναι διακριτό, λέγεται κβαντισμένο σήμα. Ένα διακριτό σήμα του οποίου το πλάτος είναι επίσης διακριτό, λέγεται ψηφιακό σήμα.
Κβαντισμός Συνεχές πλάτος Διακριτό πλάτος Δειγματοληψία α) Αναλογικό σήμα β) Δειγματολημένο σήμα γ) Κβαντισμένο σήμα Συνεχής χρόνος δ) Ψηφιακό σήμα Διακριτός χρόνος
Κατ ανάλογο τρόπο, ένα σύστημα ταξινομείται σύμφωνα με την μορφή των σημάτων εισόδου και εξόδου που δέχεται προς επεξεργασία και αναπαραγάγει.
Αναλογικά Συστήματα είναι αυτά που δέχονται στην είσοδό τους και δίνουν στην έξοδό τους, αναλογικά σήματα. Δειγματοληπτικά Συστήματα είναι αυτά που δέχονται και δίνουν δειγματολημένα σήματα. Ψηφιακά Συστήματα είναι αυτά που δέχονται και δίνουν ψηφιακά σήματα.
Ντετερμινιστικά σήματα Το ντετερμινιστικό σήμα ορίζεται από μία συγκεκριμένη μαθηματική σχέση και για κάθε χρονική στιγμή t, η τιμή του X(t) είναι μια συγκεκριμένη τιμή, πραγματική ή μιγαδική.
Εκθετικό σήμα: x = 2*exp(-0.2*t)
Ημιτονικό σήμα: x = 5*sin(10*t)
Στοχαστικά (Τυχαία) σήματα Τυχαίο ή στοχαστικό σήμα είναι αυτό του οποίου η τιμή X(t) δεν μπορεί να προβλεφθεί στον χρόνο t ή δεν μπορεί να παραχθεί από μία ορισμένη μαθηματική συνάρτηση.
Στοχαστικά (Τυχαία) σήματα Το στοχαστικό σήμα μπορεί να μοντελοποιηθεί με την χρήση στατιστικών πληροφοριών του. Μερικά παραδείγματα φυσικών στοχαστικών σημάτων είναι το σήμα της ομιλίας, η μουσική, τα σεισμικά σήματα.
Τυχαίο σήμα που δημιουργεί το Matlab
Ηχητικό σήμα
Περιοδικά και μη περιοδικά σήματα Ένα σήμα είναι περιοδικό, όταν υπακούει στην σχέση: x(t) = x(t + kt 0 ). Όταν δεν υπακούει, δεν είναι. Όπου: k ακέραιος T 0 περίοδος επανάληψης
Περιοδικά και μη περιοδικά σήματα Αναλογικά περιοδικά και μη περιοδικά σήματα
Περιοδικά και μη περιοδικά σήματα Ψηφιακά περιοδικά και μη περιοδικά σήματα
Πραγματικά και μιγαδικά σήματα Για μία δεδομένη τιμή της ανεξάρτητης μεταβλητής t η τιμή της x(t) μπορεί να είναι πραγματική ή μιγαδική. Ένα πραγματικό σήμα παίρνει τιμές στο πεδίο των πραγματικών αριθμών [x(t) Є R]. Ένα μιγαδικό σήμα παίρνει τιμές στο πεδίο των μιγαδικών αριθμών [x(t) Є C].
Πραγματικά και μιγαδικά σήματα Όπως οι μιγαδικοί αριθμοί, έχουν δύο μέρη: το πραγματικό και το φανταστικό, έτσι και τα μιγαδικά σήματα αναπαριστώνται με δύο πραγματικά σήματα, τα οποία αντιστοιχούν στο πραγματικό και στο φανταστικό μέρος του μιγαδικού σήματος αντίστοιχα, ή ακόμα στο πλάτος και στην φάση του. Τα μιγαδικά σήματα χρησιμοποιούνται συχνά στις τηλεπικοινωνίες, για να αναπαραστήσουν ένα σήμα που εμπεριέχει πληροφορία για το πλάτος και την φάση.
Πραγματικά και μιγαδικά σήματα Π.χ. το μιγαδικό σήμα x(t) ορίζεται: x t = Ae jωt με Α > 0 Ή σε τριγωνομετρική μορφή: Όπου: x r t x i t x t = Ae jωt = Α(cos2πft + jsin2πft) = x r t + jx i t = Αcos2πft :πραγματικό μέρος = Αsin2πft :φανταστικό της μέρος
Σήμα x t = Ae jωt = Α cos2πft + jsin2πft πραγματικό και φανταστικό τμήμα
Πραγματικά και μιγαδικά σήματα Το σήμα x(t) μπορεί επίσης να δοθεί με το μέτρο και το όρισμά του: x t = x r 2 t + x i 2 t = A Arg x t = ωt
Σήμα x t = Ae jωt
Αιτιατά (Causal) και μη αιτιατά (non causal) σήματα Η έννοια της αιτιότητας (causality) είναι σημαντική στην ταξινόμηση των σημάτων και έχει να κάνει με την δυνατότητα πραγματοποίησής τους. Τα αιτιατά σήματα (causal signals) θεωρούμε πως παράγονται από φυσικά υπαρκτά συστήματα, όταν αυτά τίθενται σε λειτουργία κατά την χρονική στιγμή t=0.
Αιτιατά (Causal) και μη αιτιατά (non causal) σήματα Τα σήματα αυτά είναι στο μηδέν για αρνητικές τιμές του χρόνου, ενώ τα anticausal είναι στο μηδέν για τις θετικές τιμές του χρόνου. Τα non-causal έχουν μη μηδενικές τιμές και στις αρνητικές και στις θετικές τιμές του χρόνου.
Σήμα causal
Σήμα anti causal
Σήμα non causal
Σήματα άρτιας και περιττής συμμετρίας Ένα σήμα λέγεται άρτιο (even), όταν είναι: x(-t) = x(t) = x e (t). Το άρτιο σήμα είναι συμμετρικό ως προς τον κάθετο άξονα Υ.
Σήματα άρτιας και περιττής συμμετρίας Ένα σήμα λέγεται περιττό (odd), όταν είναι: x(-t) = -x(t) = x o (t). Το περιττό σήμα για t=0 είναι μηδέν, δηλαδή περνάει απ την αρχή των αξόνων: x(0) = -x(0) = 0, και είναι συμμετρικό ως προς το 0.
Σήματα άρτιας και περιττής συμμετρίας Κάθε σήμα μπορεί να γραφεί σαν συνδυασμός άρτιων και περιττών συνιστωσών: x(t)= x e (t)+ x o (t) Η άρτια x e (t) και η περιττή x o (t) συνιστώσα ενός σήματος x(t) ορίζονται ως: x e t = x t +x t 2 x o t = x t x t 2 x e t + x o t = x t + x t 2 + x t x t 2 = x t x e t x o t = x t + x t 2 x t x t 2 = x t
x(t) 1-1 1 t
x(t) Είναι το 2/πλάσιο της άρτιας συνιστώσας 2 2x e t t x(-t) + 1 - t -1 σήμα άρτιο 1 t Άρτια συνιστώσα: x e t = x t +x t 2
x(t) Είναι το 2/πλάσιο της περιττής συνιστώσας t 2x ο t x(-t) - -1 1 1 t t σήμα περιττό Περιττή συνιστώσα: x ο t = x t x t 2
χ e (t) Η άρτια και η περιττή συνιστώσα 1 x(t) 1-1 χ ο (t) 1 t + -1 1 t -1 1/2 1 t Επαλήθευση: x e t + x o t = x t
Η συνεχής συνιστώσα είναι η μέση τιμή ενός σήματος όταν αυτό δεν επικεντρώνεται πάνω στον άξονα των χ. Εάν αυτή η τιμή (η συνεχής συνιστώσα) αφαιρεθεί από το σήμα, τότε αυτό επικεντρώνεται στον άξονα των χ. Εξ ορισμού είναι: A 0 = 1 T Τ 2 Τ 2 f t dt
Συνεχής συνιστώσα σήματος (DC=-1)
Περίοδος Σήματος Τ=2L. Εάν το σήμα μετακινηθεί κατά μισή περίοδο (δηλαδή κατά L), τότε θα είναι το αντίστροφο του αρχικού. Δηλαδή: f t L = f t, ή ακόμα: f t Τ 2 = f t.
Η συμμετρία ημιπεριόδου σημαίνει ότι το 2 ο μισό του σήματος είναι το ακριβώς αντίθετο με το 1 ο μισό. Ένα τέτοιο σήμα δεν χρειάζεται να είναι άρτιο ή περιττό, καθώς η ιδιότητά του αυτή απαιτεί μόνο το μετατοπισμένο σήμα να είναι αντίθετο. Αυτό που χρειάζεται είναι η συνεχής συνιστώσα να είναι μηδενική για να μπορεί να μηδενισθεί το άθροισμα του αρχικού και του μετατοπισμένου. Όταν υπάρχει συνεχής συνιστώσα, δεν μηδενίζεται.
Εάν ένα σήμα είναι συμμετρικό ημιπεριόδου και άρτιο ή περιττό στο τέταρτο της περιόδου, τότε είναι συμμετρικό τετάρτου περιόδου. Ένα τέτοιο σήμα μπορεί να γίνει άρτιο ή περιττό, μετακινούμενο μπρός ή πίσω στον άξονα του χρόνου. α) Άρτιο & β) Περιττό Σήμα με συμμετρία τετάρτου περιόδου
Για να είναι ένα σήμα συμμετρικό τετάρτου περιόδου, δεν χρειάζεται να είναι άρτιο ή περιττό, αλλά για να βρεθεί το σημείο του τετάρτου της περιόδου πρέπει να μετακινηθεί πάνω ή κάτω. Το σήμα, συμμετρικό τετάρτου περιόδου (κόκκινο), δεν δείχνει την ιδιότητά του αυτή πριν μετακινηθεί πάνω στον άξονα του χρόνου (πράσινο). Ασύμμετρο Σήμα με συμμετρία τετάρτου περιόδου
Ένα σύστημα LTI υπακούει σε δύο απαιτήσεις: Στην προσθετικότητα: Εάν έχουμε μία είσοδο που αποτελείται από το άθροισμα δύο εισόδων: x 3 t = x 1 t + x 2 t, τότε θα προκύπτει έξοδος που αποτελείται από το άθροισμα των δύο αντίστοιχων εξόδων: y 3 t = y 1 t + y 2 t. Στην ομοιογένεια: Σε μία είσοδο ax 1 t αντιστοιχεί μία έξοδος ay 1 t
Y(t) ay 1 (t) Y 1 (t)+y 2 (t) Y 2 (t) Y 1 (t) X 1 (t) X 2 (t) X 1 (t)+x 2 (t) ax 1 (t) X(t) Χαρακτηριστική γραμμικού συστήματος
Το σύστημα LTI είναι και χρονικά αμετάβλητο, όταν έχει την ίδια συμπεριφορά στην πάροδο του χρόνου. Αυτό συμβαίνει όταν η Συνάρτηση Μεταφοράς του συστήματος (οι συντελεστές της δηλαδή) δεν είναι συνάρτηση του χρόνου, αλλά παραμένουν αμετάβλητοι. Tο σύστημα έχει την ίδια έξοδο αν του εφαρμοστεί η ίδια είσοδος, σε διαφορετικές χρονικές στιγμές. Εάν είναι: x(t) y(t) x(t + δ) y(t + δ)
X(t) Y(t) F 0 t 0 t X(t-t 0 ) Y(t-t 0 ) F 0 t t 0 0 t 0 t Συμπεριφορά χρονικά αμετάβλητου συστήματος
sgn t = 1, 0, 1, t > 0 t = 0 t < 0 Συνάρτηση προσήμου (sgn(t))
Δ t = 1/a, t < a/2 0, t > a/2 Στιγμιαίος παλμός
u t = 1, 1 2, 0, t > 0 t = 0 t < 0 απλοποιημένη εκδοχή Βηματική Συνάρτηση (Heavyside)
ramp t = t, t > 0 0, t 0 = u t dt = τ. u t τ Συνάρτηση Αναρρίχησης (Ramp)
x t = Ae t τ < τ < Εκθετική συνάρτηση
sinc t = sin(πt) πt 1 t 0 t = 0 Σήμα Sinc
x t = A. sin ωt ± φ = A. sin 2πft ± φ = A. sin( 2π Τ t ± φ) Ημιτονικό Σήμα
x 1 t = 4. sin x t = Α. sin ω. t + φ = Α. sin 2. π. f. t + φ = Α. sin 2. π 8. t + 0 = 4. sin π 4. t x 2 t = 4. sin Το +φ σημαίνει προήγηση και το φ καθυστέρηση x 3 t = 4. sin 2. π T. t + φ 2. π 8. t + π 2 = 4. sin π. t + 90o 4 2. π 8. t π 2 = 4. sin π. t 90o 4 φ = +90 o προήγηση φ = 90 o καθυστέρηση
Τετραγωνικό σήμα
Τριγωνικό σήμα
Πριονωτό σήμα
Η ενέργεια ενός σήματος x(t) ορίζεται ως: Ε x = + x t 2 dt
Όπως φαίνεται, η ενέργεια του σήματος, που υπολογίζεται από το ορισμένο ολοκλήρωμα του τετραγώνου της απολύτου τιμής του, απεικονίζεται με το εμβαδόν της επιφάνειας.
Η ισχύς του σήματος είναι η μέση τιμή της ενέργειάς του στην διάρκεια του χρόνου. Όταν αυτό είναι περιοδικό, δίδεται από την σχέση: P x = 1 T T x t 2 dt Και αν δεν είναι περιοδικό: 1 P x = lim T T T/2 T/2 x t 2 dt
Έστω η συνάρτηση ράμπας με προφανή περίοδο 12, που περιγράφεται ως εξής: x t = ramp 1 5 0 t 4 < t < 0 0 < t < 8
x t = ramp 1 t, 4 < t < 0 5 P x = 1 T T x t = 1 12 0 4 = 0,0711 2 dt t 2 25 dt = 1 12 8 4 = 1 300 1 5 t 2 dt 0 t 3 3 4 = 1 12 0 4 = 0 64 3 300 1 5 t 2 dt = 16 225
Με την ραγδαία εξέλιξη της ηλεκτρονικής και της πληροφορικής καθίσταται δυνατή η ψηφιακή πλέον επεξεργασία των σημάτων, σε πραγματικό ή σε μεταγενέστερο χρόνο. Η επεξεργασία αυτή προϋποθέτει την μετατροπή των αναλογικών σημάτων σε ψηφιακά και το αντίστροφο, προκειμένου αυτά να τύχουν της ψηφιακής επεξεργασίας.
Όπως και στα αναλογικά σήματα έτσι και στα ψηφιακά υπάρχουν ορισμένα ευρέως γνωστά και χρησιμοποιούμενα σήματα. Τα ψηφιακά σήματα που παρουσιάζονται παρακάτω είναι οι ψηφιακές εκδοχές των αντίστοιχων αναλογικών. Βέβαια οι περιπτώσεις είναι οι πιο απλουστευμένες. Υπάρχουν και άλλες εκδοχές με ελαφρώς διαφοροποιημένη μορφή. Ανάλογη με την βιβλιογραφία, είναι επίσης και η χρήση των μαθηματικών μορφών περιγραφής των σημάτων.
δ n = 0, n 0 1, n = 0 Μια σημαντική χρησιμότητα του στιγμιαίου παλμού είναι ότι βοηθάει στην αναπαράσταση μιας σειράς παλμών, ως άθροισμα στιγμιαίων παλμών με καθυστέρηση. Για παράδειγμα η σειρά p[n] μπορεί να παρασταθεί με την σχέση: p[n] = α 3 δ[n + 3] + α 1 δ[n 1] + α 2 δ[n 2] + α 7 δ[n 7] x[n] = x k δ[n k] k=
u n = 1, 0, n 0 n < 0 Ο βηματικός παλμός συνδέεται με τον στιγμιαίο με την σχέση: n u[n] = δ[k] k= Δηλαδή η τιμή της βηματικής σειράς σε μια δεδομένη τιμή του δείκτη n, ισούται με το άθροισμα όλων των μέχρι τότε τιμών της σειράς μέχρι το n.
Μια εναλλακτική παρουσίαση της βηματικής σειράς μπορεί να δοθεί ως άθροισμα καθυστερημένων στιγμιαίων παλμών, σύμφωνα με τη σχέση: u n = δ n + δ n 1 + δ n 2 + ή ακόμα: u[n] = δ[n k] k=0 Από αυτή την σχέση μπορεί να δοθεί και ο στιγμιαίος παλμός, ως διαφορά δύο βηματικών σειρών: δ[n] = u[n] u[n 1]
Έχει την γενική μορφή: x n = Aα n Εάν Α και α είναι πραγματικοί αριθμοί τότε η σειρά είναι πραγματική. Εάν 0<α<1 και Α>0 τότε η τιμές της σειράς είναι θετικές και τείνουν μειούμενες με το n αυξανόμενο. Για -1<α<0, οι τιμές της σειράς εναλλάσσουν πρόσημο αλλά βαίνουν μειούμενες με το n αυξανόμενο. Εάν α >1, τότε η σειρά αυξάνεται όσο το n αυξάνεται.
Έχει την γενική μορφή: x n = A sin 2π N k + k 0 Το ημιτονικό σήμα είναι ίσως το πιο γνωστό και διαδεδομένο σήμα. Έχει πάρα πολλές εφαρμογές και χρήσεις στην επεξεργασία σήματος εν προκειμένω- αλλά όχι μόνον. Υπάρχουν επίσης και αρκετές εκδοχές, ως προς την παρουσίασή του (με φάση, με συνεχή συνιστώσα, συνημίτονο, κ.λ.π).
Μέση τιμή (Mean value) Η μέση τιμή ενός σήματος x(t), στην διάρκεια της εξέλιξής του, προκύπτει αθροίζοντας όλες τις τιμές των δειγμάτων του σήματος και διαιρώντας με τον αριθμό τους. Ν μ = 1 Ν i=1 x i
Τυπική απόκλιση (Standard Deviation) Η έκφραση x i μ περιγράφει την απόλυτη τιμή της διαφοράς μεταξύ της μέσης τιμής και του δείγματος i. Παίρνουμε την απόλυτη τιμή, γιατί διαφορετικά μπορεί να μας προκύψει μηδενική μέση απόκλιση, καθώς θετικές και αρνητικές τιμές στην άθροιση, αλληλοαναιρούνται. Η μέση τιμή της απόκλισης στο σήμα μπορεί να υπολογισθεί αθροίζοντας όλες τις διαφορές για όλα τα δείγματα και διαιρώντας δια του αριθμού των δειγμάτων Ν.
Τυπική απόκλιση (Standard Deviation) Η μέση αυτή απόκλιση είναι ένας αριθμός που δίνει την τυπική απόσταση που έχουν τα δείγματα από την μέση τιμή και υπολογίζεται εύκολα. Παρ όλα αυτά δεν χρησιμοποιείται στην επεξεργασία σήματος γιατί δεν εναρμονίζεται με την φυσική υπόσταση του σήματος. Αντί τούτου, χρησιμοποιείται η τετραγωνική ρίζα του τετραγώνου της απόστασης. Το μέγεθος αυτό λέγεται σ x = 1 Ν τυπική απόκλιση, συμβολίζεται x Ν i μ 2 με σ i=1 x και μας δίνει την απόκλιση που έχει το σήμα από την μέση τιμή του.
Τυπική απόκλιση (Standard Deviation) Εάν η τυπική απόκλιση είναι μικρή, αυτό σημαίνει πως οι περισσότερες τιμές του x θα είναι κοντά στην μέση τιμή. Εάν είναι μεγάλη, σημαίνει πως οι τιμές του x είναι πιο απλωμένες. Η τυπική απόκλιση δεν υπολογίζεται εύκολα και δεν είναι εύχρηστη στους υπολογισμούς. Συνδέεται όμως με την διακύμανση. σ x = 1 Ν Ν x i μ 2 i=1
Διακύμανση ή διασπορά (Variance) Είναι το τετράγωνο της τυπικής απόκλισης σ x 2 και δηλώνει πόσο συγκεντρωμένες γύρω από τη μέση τιμή είναι οι τιμές των δειγμάτων του σήματος. σ x 2 = 1 Ν Ν i=1 x i μ 2
Μέση τιμή, τυπική απόκλιση και διακύμανση ενός τυχαίου σήματος