1 ΧΡΟΝΙΚΑ ΑΜΕΤΑΒΛΗΤΟ ΦΙΛΤΡΟ KALMAN Για το χρονικά αμετάβλητο μοντέλο, όπου οι μήτρες F( k 1, k) F, H( k 1) H, Q( k) Q και R( k 1) R είναι σταθερές (χρονικά αμετάβλητες), προκύπτει το χρονικά αμετάβλητο φίλτρο Kalman (ime Invariant Kalman Filter): Χρονικά αμετάβλητο φίλτρο Kalman ime Invariant Kalman Filter (IKF) x( k 1/ k) Fx( k / k) (1) P( k 1/ k) FP( k / k) F Q (2) K( k 1) = P( k 1 /k) H [ HP( k 1 /k) H + R] x( k 1/ k 1) [ I K( k 1) H] x( k 1/ k) K( k 1) z( k 1) P( k 1/ k 1) [ I K( k 1) H] P( k 1/ k) 1 (3) (4) (5) για k 0,1,... με αρχικές συνθήκες x(0/0) x 0 P(0/0) P 0 Το φίλτρο Kalman είναι ένα αναδρομικό φίλτρο ακόμη και στην περίπτωση του χρονικά αμετάβλητου μοντέλου, γιατί το κέρδος είναι χρονικά μεταβαλλόμενο. Παρατήρηση. Η περίπτωση του άπειρου θορύβου μετρήσεων. Εξετάζοντας την περίπτωση του άπειρου θορύβου μετρήσεων, μπορούμε να θεωρήσουμε ότι η διασπορά θορύβου μετρήσεων είναι άπειρη, δηλαδή R. Τότε προκύπτουν τα ακόλουθα: - από την εξίσωση (3) το κέρδος είναι μηδέν: Kk ( 1) 0 - από την εξίσωση (4) η εκτίμηση είναι ίση με την πρόβλεψη:
2 x( k 1/ k 1) x( k 1/ k) - από την εξίσωση (5) η συνδιασπορά λάθους εκτίμησης είναι ίση με τη διασπορά λάθους πρόβλεψης: P( k 1/ k 1) P( k 1/ k) Οπότε η εκτίμηση είναι: x( k 1/ k 1) Fx( k / k) (6) και η αντίστοιχη διασπορά λάθους εκτίμησης είναι: P( k 1/ k 1) FP( k / k) F Q (7) Αλγόριθμος Kalman διακριτού φίλτρου Θα ξεκινήσουμε αυτό το τμήμα με μια γενική επισκόπηση, που καλύπτει την "υψηλού επιπέδου" λειτουργία μιας μορφής του διακριτού φίλτρου Kalman. Μετά την παρουσίαση αυτή την άποψη υψηλού επιπέδου, που θα περιορίσετε την εστίαση στις συγκεκριμένες εξισώσεις και τη χρήση τους σε αυτήν την έκδοση του φίλτρου. Το φίλτρο Kalman υπολογίζει μια διαδικασία με τη χρησιμοποίηση μιας μορφής ελέγχου ανατροφοδότησης: το φίλτρο υπολογίζει το κρατική διαδικασία σε κάποιο χρονικό διάστημα και στη συνέχεια λαμβάνει την ανατροφοδότηση υπό μορφή (θορυβώδη) μετρήσεων. Ως τέτοια, οι εξισώσεις για το φίλτρο Kalman χωρίζονται σε δύο ομάδες: 1)ενημέρωση ώρας εξισώσεων και 2) μέτρηση ενημέρωση εξισώσεων. Οι εξισώσεις χρονικών αναπροσαρμογών είναι αρμόδιες για να προβάλουν προς τα εμπρός (στο χρόνο) το τρέχουσα κατάσταση και συνδιακύμανσης σφάλματος εκτιμήσεις για την απόκτηση των προτέρων εκτιμήσεις για το επόμενο χρονικό βήμα. Οι επικαιροποιημένες εξισώσεις μέτρησης είναι αρμόδιες για την ανατροφοδότηση, δηλαδή για την ενσωμάτωση μιας νέας μέτρησης, για να αποκτήσει βελτιωμένη εκ των υστέρων εκτίμηση. Οι εξισώσεις χρονικών αναπροσαρμογών μπορούν επίσης να θεωρηθούν ως εξισώσεις προαγγέλων, ενώ οι μετρήσεις των εξισώσεων αναπροσαρμογών μπορούν να θεωρηθούν ως εξισώσεις διορθωτών. Πράγματι, ο τελικός αλγόριθμος
3 εκτίμησης μοιάζει με εκείνη ενός αλγορίθμου πρόβλεψης-διόρθωσης για την επίλυση αριθμητικών προβλημάτων, όπως φαίνεται παρακάτω: Σχήμα : Ο τρέχων ιδιαίτερος κύκλος φίλτρων Kalman. Η ενημέρωση ώρας προβάλλει την τρέχουσα κατάσταση εκτίμηση μπροστά στο χρόνο. Η ενημέρωση μέτρησης ρυθμίζει την προβλεπόμενη εκτίμηση από πραγματική μέτρηση εκείνη τη στιγμή. Οι συγκεκριμένες εξισώσεις για τις αναπροσαρμογές χρόνου και μέτρησης παρουσιάζονται κατωτέρω στον Πίνακα 1 και Πίνακα 2. Πίνακας 1.Φίλτρο Kalman διακριτού χρόνου εξισώσεις ενημέρωσης. = A + B (8) = AP + Q (9) Παρατηρήστε πώς οι χρονικές εξισώσεις ενημέρωσης στο έργο Πίνακας 1 της κατάστασης και η συνδιασπορά εκτίμησης διαβιβάζονται από το βήμα του χρόνου k-1 στο βήμα k. Πίνακας2. Φίλτρο Kalman διακριτής μέτρησης ενημέρωσης εξισώσεων. = (10) = + ( - H ) (11) = ( I - H) (12) Ο πρώτος στόχος κατά την ενημέρωση της μέτρησης είναι να υπολογιστεί το κέρδος Kalman,. Παρατηρήστε ότι η εξίσωση δίνεται από (10). Το επόμενο βήμα είναι να μετρηθεί πραγματικά η διαδικασία για να ληφθεί το, και στη συνέχεια να δημιουργήσει μια κατάσταση εκ των υστέρων εκτίμηση, ενσωματώνοντας τη μέτρηση όπως στο (11). Πάλι από (11) είναι απλά επαναλαμβανόμενος για την
4 πληρότητα. Το τελικό βήμα είναι να ληφθεί μια εκ των υστέρων εκτίμηση συνδιασπορά σφάλματος μέσω της εξίσωσης (12). Μετά από κάθε φορά που και επαναλαμβάνεται το ζευγάρι αναπροσαρμογών μέτρησης, η διαδικασία με εκ των υστέρων εκτιμήσεις χρησιμοποιείται στο πρόγραμμα για την προβολή ή την πρόβλεψη νέων εκτιμήσεων. Αυτή η αναδρομική φύση είναι ένα από τα πολύ ελκυστικά χαρακτηριστικά του φίλτρο Kalman και καθιστά πρακτικές εφαρμογές πολύ πιο εφικτές από (για παράδειγμα) εφαρμογές ενός φίλτρου Wiener το οποίο έχει σχεδιαστεί για να λειτουργεί σε όλα τα δεδομένα άμεσα για κάθε εκτίμηση. Το φίλτρο Kalman αντ' αυτού κατ' επανάληψη ρυθμίζει την τρέχουσα εκτίμηση σε όλες τις προηγούμενες μετρήσεις. Η εικόνα παρακάτω προσφέρει μια πλήρες εικόνα της λειτουργίας του φίλτρου, συνδυάζοντας το διάγραμμα υψηλού επιπέδου του σχήματος με τις εξισώσεις από τον Πίνακα 1 και Πίνακα 2. Μια πλήρης εικόνα της λειτουργίας του φίλτρου Kalman, συνδυάζοντας το διάγραμμα υψηλού επιπέδου του σχήματος με τις εξισώσεις από τον Πίνακας 1 και τον Πίνακα 2. Κλείνοντας σημειώνουμε ότι κάτω από συνθήκες όπου Q και R είναι στην πραγματικότητα σταθερές, τόσο στην εκτίμηση συνδιασπορά σφάλματος και το κέρδος Kalman θα σταθεροποιηθούν γρήγορα και στη συνέχεια παραμένουν σταθερές (βλέπε το φίλτρο ενημέρωσης εξισώσεων στο παραπάνω σχήμα). Εάν
αυτό συμβαίνει, αυτές οι παράμετροι μπορούν να προ-υπολογιστούν είτε με τη λειτουργία του φίλτρου off-line είτε παραδείγματος χάριν με τον καθορισμό της αξίας κατάστασης από. 5