4o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

Σχετικά έγγραφα
( ) = ( ) για κάθε. Θέμα Δ. x 2. Δίνονται οι συναρτήσεις f x

4ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

3ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

β ] και συνεχής στο ( a, β ], τότε η f παίρνει πάντοτε στο [ a,

με x1 x2 , τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Α. β) Αν για μια συνάρτηση f: ισχύει ότι f x , τότε το σύνολο τιμών της δεν μπορεί να είναι της μορφής,

just ( u) Πατρόκλου 66 Ίλιον

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο)

γραπτή εξέταση στo μάθημα ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΘΕΜΑΤΑ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2006 ΘΕΜΑ 23

ΘΕΜΑΤΑ ΘΕΩΡΙΑΣ. 1. y - -2 x + π. f (x) = 3x, x = 1. π y = 9 x - 6. δ. f (x) = x, x0. 4. y = -9 x + 5. (2000-1ο) ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Α2. Πότε μία συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2006 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ' ΛΥΚΕΙΟΥ (27 /5/ 2004)

α) Στο μιγαδικό επίπεδο οι εικόνες δύο συζυγών μιγαδικών είναι σημεία συμμετρικά ως προς τον πραγματικό άξονα

ΝΕΟ ΦΡΟΝΤΙΣΤΗΡΙΟ. Λύσεις. Θέμα Α. Α1. Σχολικό βιβλίο σελίδα 262. Α2. Σχολικό βιβλίο σελίδα 169. Α3. α) (1) κάτω, (2) το σημείο επαφής τους

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2012

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΕΠΑ.Λ. Α ΟΜΑ ΑΣ 2011 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012

ρ3ρ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ Επιμέλεια: Τομέας Μαθηματικών της Ώθησης

Τάξη Γ. Κεφάλαιο. Εμβαδόν Επιπέδου Χωρίου Θεωρία-Μεθοδολογία-Ασκήσεις. Ολοκληρωτικός Λογισμός

ΟΜΟΣΠΟΝ ΙΑ ΕΚΠΑΙ ΕΥΤΙΚΩΝ ΦΡΟΝΤΙΣΤΩΝ ΕΛΛΑ ΟΣ (Ο.Ε.Φ.Ε.) ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ Ηµεροµηνία: Μ. Τετάρτη 11 Απριλίου 2012

1995 ΘΕΜΑΤΑ ίνονται οι πραγµατικοί αριθµοί κ, λ µε κ < λ και η συνάρτηση f(x)= (x κ) 5 (x λ) 3 µε x. Να αποδείξετε ότι:, για κάθε x κ και x λ.

Τετάρτη, 20 Μα ου 2009 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ Λυκείου ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ. συνάρτηση φ: α,β. Ορισμός Έστω f συνάρτηση ορισμένη στο., αν. κάθε xo.

Σάββατο, 27 Μαΐου 2006 Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ. A.1. Έστω συνάρτηση f, η οποία είναι συνεχής σε ένα διάστηµα Δ. Να αποδείξετε ότι:

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g µε πεδίο ορισµού το έχουν πρώτη και δεύτερη παράγωγο και g(x) f(α) g(α) f(x) g (x) για κάθε x { α}

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ ΣΤΑ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ 2

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2004

Α) Να αποδείξετε ότι η νιοστή παράγωγος της συνάρτησης f µπορεί να πάρει. )e όπου α ν, β ν είναι συντελεστές

ολοκληρωτικος λογισμος

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4ο: ΟΛΟΚΛΗΡΩΤΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 3: Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ. F(x) = f(t)dt Μέρος Β του σχολικού βιβλίου]. ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ ΘΕΜΑ Β

ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΝΟΤΗΤΑ 4: ΕΜΒΑΔΟΝ ΕΠΙΠΕΔΟΥ ΧΩΡΙΟΥ

114 ασκήσεις ένα ερώτημα - σε όλη την ύλη. x και g x ln 1 2x ln x. ισχύει η σχέση: είναι περιττή και ισχύει ότι. f x x 2 2x, για κάθε x

Μαθηµατικά Κατεύθυνσης Γ Λυκείου Θέµατα Θεωρίας

ΘΕΜΑ Α Α1. Τι ονομάζεται διάμεσος δ ενός δείγματος ν παρατηρήσεων που έχουν διαταχθεί σε αύξουσα σειρά;

ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΑ-ΑΟΡΙΣΤΟ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑ

1 η ΕΚΑ Α ΜΑΘΗΜΑ 45 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ

Επαναληπτικό Διαγώνισµα Μαθηµατικών Γ Λυκείου ΕΠΑΛ

Ο Λ Ο Κ Λ Η Ρ Ω Μ Α Τ Α

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. I. Να αποδείξετε ότι η γραφική παράσταση της f δεν έχει σηµεία που να βρίσκονται πάνω από τον άξονα. x x.

ΠΕΡΙΚΛΗΣ Γ. ΚΑΤΣΙΜΑΓΚΛΗΣ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΟ ΠΡΩΤΟ ΘΕΜΑ ΕΚΔΟΣΕΙΣ ΟΡΟΣΗΜΟ ΖΩΓΡΑΦΟΥ

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΠΕΜΠΤΗ 30 ΜΑΪΟΥ 2002 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ στο ΔΙΑΦΟΡΙΚΟ ΛΟΓΙΣΜΟ

E f (x)dx f (x)dx E. 7 f (x)dx (3). 7 f (x)dx E E E E.

Μαθηματικά θετικής & τεχνολογικής κατεύθυνσης

είναι μιγαδικοί αριθμοί, τότε ισχύει , z 2 Μονάδες 2 β. Μία συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέμε ότι παρουσιάζει (ολικό) ελάχιστο στο x 0

ΑΠΟΛΥΤΗΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΤΕΤΑΡΤΗ 20 ΜΑΪΟΥ 2009 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΤΙΚΗΣ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ

Ο μαθητής που έχει μελετήσει το κεφάλαιο αυτό θα πρέπει να είναι σε θέση:

Σ ΣΤΑ ΘΕΜΑ. f x0. x x. x x. lim. lim f. lim x. lim f x. lim. lim f x f x 0. lim. σχήμα. 7 μ Α1. ,οπότε. 4 μ. f x0 0 0 αφού η f είναι.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΥΛΗ ΔΙΑΓΩΝΙΣΜΑΤΟΣ:ΠΑΡΑΓΩΓΟΙ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΘΕΜΑΤΑ. Α. Έστω συνάρτηση f παραγωγίσιµη δύο φορές στο [, ] f''! 0 για κάθε χ [ a, β ] και έστω η

ΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΚΑΤΑΝΟΗΣΗΣ I

ίνονται οι πραγµατικές συναρτήσεις f, g που έχουν πεδίο ορισµού το σύνολο

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ 2002 ΕΚΦΩΝΗΣΕΙΣ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ ΣΥΝΕΧΕΙΑ ΕΠΙΜΕΛΕΙΑ: ΧΡΑΣ ΓΙΑΝΝΗΣ ΚΕΝΤΡΙΚΟ Ν. ΣΜΥΡΝΗΣ

) f (x) = e x - f(x) ΜΑΘΗΜΑ Η ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ F(x) = ΑΣΚΗΣΕΙΣ. Ασκήσεις Εύρεση συνάρτησης Ύπαρξη ρίζας. f (t)dt

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΣΤΑ ΘΕΜΑΤΑ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ 2009.

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Θετικής - Τεχνολογικής κατεύθυνσης Γ Λυκείου

ΟΛΗ Η ΘΕΩΡΙΑ ΣΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΕΝΙΑΙΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ

Επανάληψη Τελευταίας Στιγμής. για εξάσκηση

ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ Δευτέρα 10 Ιουνίου 2019 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ. (Ενδεικτικές Απαντήσεις)

ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ ΘΕΜΑΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΘΕΤΙΚΗΣ ΚΑΙ ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ ΘΕΜΑ 1 Ο Α. Απόδειξη σελ

1. Να σημειώσετε το Σωστό ( ) ή το Λάθος ( ) στους παρακάτω ισχυρισμούς:

2 ο Διαγώνισμα Ύλη: Συναρτήσεις

Ερωτήσεις πολλαπλής επιλογής. 1. * Αν η γραφική παράσταση µιας συνάρτησης f είναι αυτή που φαίνεται στο σχήµα, τότε λάθος είναι

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΕΛΛΗΝΙΚΗ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΗ ΕΤΑΙΡΕΙΑ ΕΠΑΝΑΛΗΠΤΙΚΑ ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 2010

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

Προτάσεις που χρησιμοποιούνται στη λύση ασκήσεων και χρειάζονται απόδειξη. Πρόταση 1

Θεωρήματα, Προτάσεις, Εφαρμογές

ΠΑΝΕΛΛΑ ΙΚΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ Γ ΤΑΞΗΣ ΗΜΕΡΗΣΙΟΥ ΓΕΝΙΚΟΥ ΛΥΚΕΙΟΥ ΕΥΤΕΡΑ 11 ΙΟΥΝΙΟΥ 2018 ΕΞΕΤΑΖΟΜΕΝΟ ΜΑΘΗΜΑ: ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΠΡΟΣΑΝΑΤΟΛΙΣΜΟΥ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ Γ ΗΜΕΡΗΣΙΩΝ

ΜΑΘΗΜΑ 52 ΓΕΝΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ 8 η ΕΚΑ Α

Α.4 α β γ δ ε Σωστό Σωστό Λάθος Λάθος Λάθος. Άρα υπάρχουν δύο εφαπτόμενες που διέρχονται από το σημείο A(1,4). M 0, 5 με εξίσωση y 9x 5

Χαράλαμπος Στεργίου Χρήστος Νάκης ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ Γ2. Υποδείξεις Απαντήσεις των προτεινόμενων ασκήσεων

5ο Επαναληπτικό διαγώνισμα στα Μαθηματικά κατεύθυνσης της Γ Λυκείου Θέμα A

( 0) = lim. g x - 1 -

Τα παρακάτω είναι τα κυριότερα θεωρήματα και ορισμοί από το σχολικό βιβλίο ακολουθούμενα από δικά μας σχόλια. 1 ο ΠΡΩΤΟ.

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

Κ Ο Λ Λ Α Σ Α Ν Τ Ω Ν Η Σ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΤΕΛΟΣ 1ΗΣ ΑΠΟ 4 ΣΕΛΙ ΕΣ

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω συνεχής συνάρτηση f:[ α, β ] με παράγουσα συνάρτηση F. Τι ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης f από το α έως το β;

ΘΕΜΑ Α Α1. Έστω συνεχής συνάρτηση f:[ α, β ] με παράγουσα συνάρτηση F. Τι ονομάζεται ορισμένο ολοκλήρωμα της συνάρτησης f από το α έως το β;

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

1.3 ΜΟΝΟΤΟΝΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ - ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ

µε Horner 3 + x 2 = 0 (x 1)(x

5o Επαναληπτικό Διαγώνισμα 2016

ΑΡΧΗ 1ΗΣ ΣΕΛΙ ΑΣ. Α.3 Πότε η ευθεία y = λέγεται οριζόντια ασύμπτωτη της γραφικής παράστασης της f στο + ; Μονάδες 3

ΜΑΡΙΑ ΓΚΟΥΝΤΑΡΟΠΟΥΛΟΥ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΘΕΤΙΚΗΣ & ΤΕΧΝΟΛΟΓΙΚΗΣ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ

ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΤΕΥΘΥΝΣΗΣ Γ ΛΥΚΕΙΟΥ 24 / 5 / 08 ΕΝΔΕΙΚΤΙΚΕΣ ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ. Άρα ο γεωμετρικός τόπος του z είναι κύκλος με κέντρο Κ(0, 0) και ακτίνα ρ = 2

άρα ο μετασχηματισμός Τ είναι κανονικός 1 1 (ε) : 2x - y + 5 = y - - x + 5 =

ΥΠΟΥΡΓΕΙΟ ΠΑΙΔΕΙΑΣ ΚΑΙ ΠΟΛΙΤΙΣΜΟΥ ΥΠΗΡΕΣΙΑ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ ΠΑΓΚΥΠΡΙΕΣ ΕΞΕΤΑΣΕΙΣ 2018

ΘΕΜΑΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΠΑΝΕΛΛΑΔΙΚΩΝ ΕΞΕΤΑΣΕΩΝ 2015

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΣΩΣΤΟΥ-ΛΑΘΟΥΣ

Μαθηματικά Προσανατολισμού Γ' Λυκείου

Θεωρήματα και προτάσεις με τις αποδείξεις τους

η οποία ονομάζεται εκθετική συνάρτηση με βάση α. Αν α 1, τότε έχουμε τη σταθερή συνάρτηση f x 1.

Transcript:

wwwaskisopolisgr ΘΕΜΑ A 4o Επνληπτικό Διγώνισμ 6 Διάρκει: ώρες Α Έστω μι συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ,, με εξίρεση ίσως έν σημείο του f διτηρεί πρόσημο στο,,, ν,στο οποίο όμως η f είνι συνεχής Αν η ποδείξετε ότι το f δεν είνι τοπικό κρόττο κι η f είνι γνησίως μονότονη στο (,) Α Πότε το σημείο A, f ονομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της f; μονάδες 7 Α Έστω f μι συνάρτηση ορισμένη σε έν διάστημ Δ Ποι σημεί ονομάζοντι κρίσιμ σημεί της f στο Δ; Α4 Ν χρκτηρίσετε τις προτάσεις που κολουθούν, γράφοντς στο τετράδιό σς την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλ στο γράμμ που ντιστοιχεί σε κάθε πρότση Αν f συνεχής στο, τότε fd fd Αν f,g συνεχής στο, με fd gd, τότε γ Αν συνάρτηση f είνι κυρτή κι δύο φορές πργωγίσιμη στο,τότε f g γι κάθε, f γι κάθε δ Έν τοπικό μέγιστο μις συνάρτησης f, μπορεί ν είνι μικρότερο πό έν τοπικό ελάχιστο της f ε Αν γι μι συνάρτηση f εφρμόζετι το θεώρημ Rolle στο,, τότε εφρμόζετι κι το θεώρημ της μέσης τιμής, στο ίδιο διάστημ μονάδες 5 ΘΕΜΑ Β Έστω η συνεχής συνάρτηση f : R R γι την οποί ισχύουν: f lim f κι η f είνι γνησίως ύξουσ f f Β Ν ποδείξετε ότι Β Ν ποδείξετε ότι υπάρχει μονδικό ξ, τέτοιο, ώστε η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f στο σημείο ξ, fξ ν είνι πράλληλη προς τον άξον Β Ν ποδείξετε ότι f fξ γι κάθε Β4 Αν F ρχική της f κι fξ, ν ποδείξετε ότι η εξίσωση F F μονάδες 8 μονάδες 5

wwwaskisopolisgr έχει κριώς μι ρίζ στο διάστημ, ΘΕΜΑ Γ f 6 ln, Έστω η συνάρτηση Γ Ν ποδείξετε ότι η f έχει ολικό ελάχιστο Γ Αν η θέση ελχίστου της f, ν ποδείξετε ότι, Γ Ν ρείτε το πλήθος των ριζών της εξίσωσης 6ln 6 μονάδες 8 μονάδες 8 μονάδες 5 Γ4 Ν υπολογίσετε το εμδόν του χωρίου που περικλείετι πό τη C, τον άξον κι f τις ευθείες κι ΘΕΜΑ Δ Δίνετι συνάρτηση f πργωγίσιμη στο f f e f γι κάθε, με σύνολο τιμών το, κι f Δ Ν ποδείξετε ότι η f είνι γνησίως ύξουσ στο, Δ Ν ποδείξετε ότι f e f γι κάθε Δ Ν ποδείξετε ότι η f είνι ντιστρέψιμη κι ν ρείτε την ντίστροφή της Δ4 Ν υπολογίσετε το εμδόν Eλ της f, την εφπτομένη της στο Δ5 Ν υπολογίσετε το όριο lim Ε λ λ γι την οποί ισχύει: μονάδες 5 του χωρίου που περικλείετι πό τη γρφική πράστση κι την ευθεί λe λ, λ > Στέλιος Μιχήλογλου

wwwaskisopolisgr ΘΕΜΑ A Α Έστω ότι f() Λύσεις, γι κάθε (, )(,) Επειδή η f είνι συνεχής στο θ είνι γνησίως ύξουσ σε κάθε έν πό τ διστήμτ (, ] κι [,) Επομένως, γι ισχύει f() f() f() Άρ το f() δεν είνι τοπικό κρόττο της f Θ δείξουμε, τώρ, ότι η f είνι γνησίως ύξουσ στο (,) Πράγμτι, έστω, (,) με Αν, (, ], επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ στο (, ], θ ισχύει f() f() Αν, [,), επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ στο [,), θ ισχύει f() f() Τέλος, ν, τότε όπως είδμε f() f() f() Επομένως, σε όλες τις περιπτώσεις ισχύει f() f(), οπότε η f είνι γνησίως ύξουσ στο (,) Ομοίως, ν f() γι κάθε (, )(,) Α Έστω μι συνάρτηση f πργωγίσιμη σ έν διάστημ (,), με εξίρεση ίσως έν σημείο του Αν η f είνι κυρτή στο (, ) κι κοίλη στο (,), ή ντιστρόφως, κι η Cf έχει εφπτομένη στο σημείο A(,f()), τότε το σημείο A(,f()) ονομάζετι σημείο κμπής της γρφικής πράστσης της f Α Τ εσωτερικά σημεί του Δ στ οποί η f δεν πργωγίζετι ή η πράγωγός της είνι ίση με το μηδέν, λέγοντι κρίσιμ σημεί της f στο διάστημ Δ Α4 ) Σ ) Λ γ) Λ δ) Σ ε) Σ ΘΕΜΑ Β f h, lim f lim h f B Έστω f f f Είνι lim lim f, τότε f h f h, οπότε B Επειδή η f είνι συνεχής στο,, πργωγίσιμη στο, κι f f υπάρχει, τέτοιο, ώστε f f, σύμφων με το θrolle, Επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ, το ξ είνι μονδικό Β Γι κάθε f f f, κι γι κάθε f f f, Η f έχει ελάχιστο στο ξ, άρ f f γι κάθε Β4 Έστω g F F,, Επειδή η F είνι πργωγίσιμη στο, με F f κι η g είνι συνεχής στο Είνι g F F κι g F F Είνι f f γι κάθε, οπότε κι f, είνι κι συνεχής στο διάστημ υτό, οπότε, ως άθροισμ συνεχών συνρτήσεων

wwwaskisopolisgr f d f d f f F F g, άρ gg οπότε σύμφων με το ΘBolzano, η εξίσωση g F F έχει τουλάχιστον μι στο Είνι g F f Επειδή f f κι γι κάθε,, είνι g g,, οπότε η προηγούμενη ρίζ είνι μονδική, ΘΕΜΑ Γ f 6 ln 6 6 f 6 f, lim f lim 6ln 6 Γ Η f είνι πργωγίσιμη στο, με Η f είνι πργωγίσιμη στο, με Είνι lim f lim 6ln 6 κι Επειδή η f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο διάστημ, τιμών της είνι f Επειδή f, υπάρχει, τέτοιο, ώστε γνησίως ύξουσ, το είνι η μονδική της ρίζ f Γι κάθε f f f, f κι γι κάθε f f f, 6ln 6, το σύνολο f κι επειδή η f είνι Η f έχει ελάχιστο στο Γ Είνι f 6ln6 κι f είνι συνεχής, η εξίσωση f έχει τουλάχιστον μί ρίζ στο είνι η μονδική ρίζ της f, άρ, f 6ln 6 6 6ln, κι επειδή η, Όμως το 6ln 6 6 ln 6 ln f Γ f, Είνι f f 9 Είνι lim f lim 6 ln, γιτί ln lim ln lim lim lim lim f lim 6 ln DLH Επίσης Επειδή η f είνι συνεχής κι γνησίως φθίνουσ στο, τιμών της είνι το f f, lim f f, Επειδή f υπάρχει μονδικό τέτοιο, ώστε Επειδή η f είνι συνεχής κι γνησίως ύξουσ στο, τιμών της είνι: f f, Επειδή f υπάρχει μονδικό τέτοιο, ώστε Επομένως η εξίσωση f έχει κριώς ρίζες f, το ντίστοιχο σύνολο, το ντίστοιχο σύνολο f

wwwaskisopolisgr f Γ4 Είνι f f f ln 4 Όμως e ln ln e ln 4 ln 4 f, άρ γι κάθε, f Επειδή f f 9 ζητούμενο εμδό είνι:, είνι f E f d 6 ln d E d 6 ln d d d γι κάθε, 4 5 4 4 E ln d 6 ln, οπότε το 5 49 49 9 67 f d 8 E 6 ln ln 6 ln ln 4 4 4 4 ΘΕΜΑ Δ Δ Είνι f t e, κι f γι κάθε φού f, άρ κι f f, f Δ Είνι f f f e f f f e f f f f e f e f f e c, c Γι είνι f f e c c f f f e f e, οπότε f f f e f f e f e γι κάθε Δ Επειδή η f είνι γνησίως ύξουσ στο,, είνι κι κι ντιστρέφετι f e,, άρ f e, Δ4 Γι f Η εφπτομένη της γρφικής πράστσης της f στο e : f f είνι f είνι η ευθεί f f e e f f Είνι f f f f Επειδή η f είνι κοίλη, ρίσκετι κάτω πό κάθε εφπτομένη της στο διάστημ υτό, εκτός έι του σημείου επφής, άρ ρίσκετι κάτω κι πό την ε, οπότε ισχύει: f γι κάθε e E f d f d e e Είνι Επειδή f f κι f e f e d e e d, τότε Γι είνι κι γι e, γι κάθε είνι Τότε, οπότε η f είνι κοίλη στο, έχουμε: e f e e E e e d e d Θέτουμε

wwwaskisopolisgr e E e e d E e e d e E e e d e E e e e d e E e e e e e E e e e E e e lim E lim e Δ5 lim E lim e e e e e