Πίνακας Περιεχομένων Πρόλογος... 13 Πρώτο Μέρος: Γενικές Έννοιες Κεφάλαιο 1 ο : Αλγοριθμική... 19 1.1 Περιγραφή Αλγορίθμου... 19 1.2. Παράσταση Αλγορίθμων... 21 1.2.1 Διαγράμματα Ροής... 22 1.2.2 Ψευδογλώσσα ή Ψευδοκώδικας... 22 1.2.3 Δομή Αλγορίθμου... 26 1.3 Προβλήματα, Αλγόριθμοι και Λύσεις... 32 1.3.1 Είδη Προβλημάτων... 32 1.3.2 Αντιστοιχία Προβλήματος και Αλγορίθμου... 32 1.3.3 Σύγκλιση Αλγορίθμου... 33 1.3.4 Είδη Αλγορίθμων... 34 Κεφάλαιο 2 ο : Ανάλυση Σφαλμάτων... 37 2.1 Πηγές Σφαλμάτων... 37 2.1.1 Διακεκριμενοποίηση του Προβλήματος... 37 2.1.2 Αποκοπή και Στρογγυλοποίηση... 39 2.1.3 Δεδομένα Εισόδου Περιέχοντα Σφάλμα... 41 2.1.4 Η Λειτουργία του Η/Υ... 41 2.1.5 Επιλογή Αλγορίθμου... 44 2.2 Εκτίμηση Σφάλματος Υπολογισμού... 45 2.2.1 Εκτίμηση Σφάλματος όταν είναι Γνωστή η Πραγματική Τιμή... 45 2.2.2 Εκτίμηση Σφάλματος όταν δεν είναι Γνωστή η Πραγματική Τιμή... 49 2.3 Εξέλιξη Σφαλμάτων... 49 2.3.1 Πρόσθεση... 49 2.3.2 Λοιπές Πράξεις... 50 2.3.3 Συναρτήσεις... 51 2.3.4 Επαναληπτικές Διαδικασίες... 52 2.3.5 Ευστάθεια Μοντέλων... 53 2.4 Η Έννοια της Προσέγγισης... 54 Ασκήσεις... 57
6 Εφαρμοσμένη Αριθμητική Ανάλυση Δεύτερο Μέρος: Επίλυση Εξισώσεων Κεφάλαιο 3 ο : Γενική Θεώρηση της Επίλυσης... 61 3.1 Θεωρητικός Υπολογισμός Αρχικών Τιμών... 61 3.1.1 Επιλογή του Διαστήματος της Αρχικής Τιμής... 62 3.1.2 Επιλογή της Αρχικής Τιμής... 64 3.2 Κριτήρια Διακοπής... 65 3.2.1 Ανώμαλη Διακοπή... 65 3.2.2 Ομαλή Διακοπή... 65 3.3 Ευστάθεια Μοντέλου... 66 3.4 Εύρεση Αρχικών Τιμών με Υπολογιστή... 66 3.4.1 Υπολογιστική Μέθοδος... 66 3.4.2 Γραφική μέθοδος... 68 Κεφάλαιο 4 ο : Μέθοδοι με Διαστήματα... 75 4.1 Μέθοδος της Διχοτόμου ή του Bolzano... 75 4.2 Μέθοδος της Εσφαλμένης Θέσης... 79 Κεφάλαιο 5 ο : Μέθοδοι με Αρχικές Τιμές... 83 5.1 Μέθοδος του Σταθερού Σημείου... 83 5.2 Μέθοδος των Newton Raphson... 87 5.3 Μέθοδος της Τέμνουσας... 94 5.4 Σύγκριση των Μεθόδων... 96 5.5 Γενικές Μέθοδοι Επίλυσης με τις Δυνατότητες του Excel... 98 5.5.1 Χρήση της Κυκλικής Αναφοράς... 98 5.5.2 Xρήση της Επίλυσης (Solver) του Excel... 101 Κεφάλαιο 6 ο : Σχήμα του Horner... 103 6.1 Ορισμός... 103 6.2 Εφαρμογή του Σχήματος του Horner... 104 6.2.1 Υπολογισμός του P n (x 0 )... 104 6.2.2 Υπολογισμός της k Τάξεως Παραγώγου του P n (x 0 )... 105 6.2.3 Σχήμα Horner και Μέθοδος Newton Raphson... 106 Ασκήσεις... 109
Πίνακας Περιεχομένων 7 Τρίτο Μέρος: Επίλυση Συστημάτων Κεφάλαιο 7 ο : Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων... 115 7.1 Στοιχεία από τη Θεωρία Πινάκων... 116 7.1.1 Ορισμοί... 116 7.1.2 Άλγεβρα Πινάκων... 119 7.1.3 Νόρμες Πίνακα... 119 7.1.4 Ιδιοτιμές, Φασματική Ακτίνα... 120 7.2 Κατάσταση Γραμμικών Συστημάτων... 120 7.2.1 Σφάλμα και Αριθμός Κατάστασης... 120 7.2.2 Ευστάθεια Συστήματος... 123 7.2.3 Συμπεράσματα... 126 7.3 Άμεσες Μέθοδοι Επίλυσης Γραμμικών Συστημάτων... 127 7.3.1 Μέθοδος του Gauss... 127 7.3.2 Μέθοδος Jordan... 135 7.3.3 Παραγοντοποίηση LU... 136 7.4 Επαναληπτικές Μέθοδοι... 141 7.4.1 Μέθοδος Jacobi... 141 7.4.2 Μέθοδος Gauss Seidel... 148 7.5 Επίλυση με τη Χρήση των Δυνατοτήτων του Excel... 154 7.5.1 Άμεση Χρήση Συναρτήσεων... 154 7.5.2 Επίλυση Συστημάτων με την Επίλυση (Solver) του Excel... 155 Κεφάλαιο 8 ο : Συστήματα μη Γραμμικών Εξισώσεων... 157 8.1 Ιακωβιανός Πίνακας... 158 8.2 Μέθοδος του Σταθερού Σημείου... 158 8.3 Μέθοδος Newton... 164 8.4 Χρήση της Επίλυσης (Solver) του Excel... 168 Κεφάλαιο 9 ο : Ιδιοτιμές και Ιδιοδιανύσματα... 169 9.1 Περί Ιδιοτιμών και Ιδιοδιανυσμάτων... 169 9.2 Μέθοδος των Δυνάμεων... 172 9.2.1 Προσέγγιση της Απολύτως Μεγαλύτερης Ιδιοτιμής... 172 9.2.2 Προσέγγιση της Απολύτως Μικρότερης Ιδιοτιμής... 176 9.3 Προσέγγιση όλων των Ιδιοτιμών... 177
8 Εφαρμοσμένη Αριθμητική Ανάλυση 9.3.1 Γενική Περίπτωση... 177 9.3.2 Συμμετρικοί Πίνακες... 179 9.4 Αντίστροφη Μέθοδος των Δυνάμεων... 180 9.4.1 Προσέγγιση Ιδιοτιμών και Ιδιοδιανυσμάτων... 180 9.4.2 Προσδιορισμός της Αρχικής Τιμής... 183 9.5 Συνοδεύων Πίνακας του Frobenius... 184 9.6 Επίλυση με τις Δυνατότητες του Excel... 185 Ασκήσεις... 187 Τέταρτο Μέρος: Προσέγγιση Συναρτήσεων Κεφάλαιο 10 ο : Προσέγγιση με Πολυωνυμική Παρεμβολή... 193 10.1 Σφάλμα Πολυωνυμικής Παρεμβολής... 193 10.2 Παρεμβολή Lagrange... 194 10.3 Παρεμβολή Newton... 202 10.4 Παρεμβολή Aitken... 206 10.5 Προβλήματα Παρεμβολής... 210 Κεφάλαιο 11 ο : Προσέγγιση με Φυσική Κυβική Spline... 213 11.1 Έννοια των Splines... 213 11.2 Φυσική Κυβική Spline... 214 Κεφάλαιο 12 ο : Προσέγγιση με τη Μέθοδο των Ελαχίστων Τετραγώνων... 221 12.1 Προσέγγιση Διακεκριμένων Σημείων... 221 12.1.1 Περιγραφή της Μεθόδου... 221 12.1.2 Πολυωνυμική Προσέγγιση... 222 12.1.3 Εκθετική Προσέγγιση... 225 12.1.4 Ποιότητα Προσαρμογής - Δείκτης Προσδιορισμού R 2... 227 12.1.5 Το Γενικό Μοντέλο... 228 12.1.6 Επιλογή της Καμπύλης Παλινδρόμησης... 228 12.2 Προσέγγιση Συνεχούς Συνάρτησης... 229 12.2.1 Περιγραφή της Μεθόδου... 229 12.2.2 Πολυωνυμική Προσέγγιση... 229 12.2.3 Εκθετική Προσέγγιση... 230 12.3 Προσαρμογή Καμπύλης... 232
Πίνακας Περιεχομένων 9 12.4 Επίλυση με το Excel... 234 12.4.1 Καμπύλη Τάσης (Trend line)... 234 12.4.2 Χρήση Συναρτήσεων... 236 12.4.3 Χρήση της Επίλυσης (Solver)... 238 12.4.4 Πολλαπλή Παλινδρόμηση... 240 Ασκήσεις... 243 Πέμπτο Μέρος: Αριθμητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση Κεφάλαιο 13 ο : Αριθμητική Παραγώγιση... 247 13.1 Άμεση Προσέγγιση της Παραγώγου... 247 13.1.1 Πηλίκον Ανιούσας Διαφοράς... 248 13.1.2 Τύποι Κεντρικής Διαφοράς... 250 13.2 Χρήση Πολυωνύμων Παρεμβολής... 253 13.2.1 Παραγώγιση με τα Πολυώνυμα Lagrange... 253 13.2.2 Παραγώγιση με τα Πολυώνυμα Newton... 255 13.2.3 Παραγώγιση Συνεχών Συναρτήσεων... 257 Κεφάλαιο 14 ο : Αριθμητική Ολοκλήρωση... 259 14.1 Ολοκλήρωση με Πολυωνυμική Παρεμβολή... 260 14.1.1 Μέθοδοι Newton-Cotes... 260 14.1.2 Σύνθετοι Κανόνες Ολοκλήρωσης... 266 14.2 Προσαρμοσμένη Ολοκλήρωση... 274 14.2.1 Προσαρμοσμένη Ολοκλήρωση του Τραπεζίου... 274 14.2.2 Προσαρμοσμένη Ολοκλήρωση του Simpson... 275 14.3 Ολοκλήρωση του Romberg... 278 14.4 Γενικευμένα και Πολλαπλά Ολοκληρώματα... 281 14.4.1 Γενικευμένα Ολοκληρώματα... 281 14.4.2 Πολλαπλά Ολοκληρώματα... 283 Ασκήσεις... 285 Έκτο Μέρος: Επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων Κεφάλαιο 15 ο : Επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων... 291 15.1 Σημεία Προσοχής κατά την Αριθμητική Επίλυση... 291
10 Εφαρμοσμένη Αριθμητική Ανάλυση 15.1.1 Ύπαρξη Μοναδικής Λύσης... 291 15.1.2 Επιλογή Μεθόδου Επίλυσης και Σφάλμα... 292 15.1.3 Ευστάθεια της Λύσης... 293 15.2 Μονοβηματικές Μέθοδοι... 293 15.2.1 Μέθοδος του Euler... 293 15.2.2 Μέθοδοι Runge Kutta... 297 15.3 Πολυβηματικές Μέθοδοι... 302 15.3.1 Μέθοδος Adams-Bashforth... 302 15.3.2 Μέθοδος Adams-Moulton... 303 15.3.3 Μέθοδοι Πρόβλεψης-Διόρθωσης... 303 15.4 Σύγκριση Μονοβηματικών και Πολυβηματικών Μεθόδων... 307 Κεφάλαιο 16 ο : Επίλυση Συστημάτων Διαφορικών Εξισώσεων... 309 16.1 Συστήματα Διαφορικών Εξισώσεων Πρώτης Τάξης... 309 16.1.1 Μέθοδος Euler... 310 16.1.2 Μέθοδος Runge-Kutta 4 ης Τάξης... 312 16.1.3 Ευστάθεια Συστημάτων... 314 16.3 Διαφορικές Εξισώσεις Ανώτερης Τάξης... 314 Κεφάλαιο 17 ο : Το Πρόβλημα των Συνοριακών Τιμών... 319 17.1 Γραμμική Μέθοδος της Σκόπευσης... 320 17.2 Μέθοδος των Πεπερασμένων Διαφορών... 323 Ασκήσεις... 325 Παραρτήματα Προγράμματα σε Visual Basic & Delphi Παράρτημα Ι: Προγράμματα σε Visual Basic... 331 ΠΙ.1 Παρατηρήσεις για τη Visual Basic... 331 ΠΙ.2 Επίλυση Εξισώσεων... 332 ΠΙ.3 Επίλυση Συστημάτων... 338 ΠΙ.4 Προσέγγιση Συναρτήσεων... 346 ΠΙ.5 Αριθμητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση... 351 ΠΙ.6 Επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων... 354 Παράρτημα IΙ: Προγράμματα σε Delphi... 363 ΠΙΙ.1 Παρατηρήσεις για τη Delphi... 363
Πίνακας Περιεχομένων 11 ΠΙΙ.2 Επίλυση Εξισώσεων... 365 ΠΙΙ.3 Επίλυση Συστημάτων... 373 ΠΙΙ.4 Προσέγγιση Συναρτήσεων... 379 ΠΙΙ.5 Αριθμητική Παραγώγιση και Ολοκλήρωση... 384 ΠΙΙ.6 Επίλυση Διαφορικών Εξισώσεων... 388 Βιβλιογραφία... 395 Απαντήσεις Ασκήσεων... 397 Ευρετήριο και Γλωσσάρι... 407