Κεφάλαιο 4. Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων µε πεπερασµένες διαφορές

Κεφάλαιο 4 Επίλυση ελλειπτικών διαφορικών εξισώσεων µε πεπερασµένες διαφορές 4 Εισαγωγή πρότυπες εξισώσεις Οι πλέον συνηθισµένες ελλειπτικές εξισώσεις µε πλήθος εφαρµογών σε πολλά επιστηµονικά και τεχνολογικά πεδία είναι οι εξισώσεις Laplace u = 0 (4) και Poison u= f (4) όπου = xx + yy + zz ο Λαπλασιανός τελεστής (σε καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων), u u( x, y, z) (,, ) f f x y z = η άγνωστη εξαρτηµένη µεταβλητή και = µία γνωστή συνάρτηση Άλλες ελλειπτικές εξισώσεις που είναι αντιπροσωπευτικές και συναντώνται αρκετά συχνά είναι η εξίσωση Helmholtz u ku 0 + = (43) και η διαρµονική εξίσωση ( u) 4 u = = f (44) Οι ελλειπτικές εξισώσεις περιγράφουν προβλήµατα οριακών τιµών, δηλαδή φαινόµενα ισορροπίας σε µόνιµα (όχι χρονικά µεταβαλλόµενα) προβλήµατα όπως βαρυτικά πεδία, ηλεκτροστατικά πεδία, µόνιµη θερµική αγωγή, ιδανική ή πλήρως ανεπτυγµένη συνεκτική ροή, ελαστικότητα, κτλ Οι ελλειπτικές εξισώσεις ορίζονται σε κλειστά πεδία ορισµού R µε την εξαρτηµένη µεταβλητή να ορίζεται µε οριακές συνθήκες τύπου Dirichlet, Newmann ή µικτές (Robin) στο κλειστό όριο Ω του πεδίου ορισµού Όταν οι εξισώσεις και οι οριακές συνθήκες είναι διαχωρίσιµες τότε επιλύονται µε τη απλή µέθοδο διαχωρισµού των

µεταβλητών, ενώ όταν είναι µη διαχωρίσιµες επιλύονται µε αναπτύγµατα Fourier ή µέσω της επίλυσης του σχετιζόµενου (συγγενούς) προβλήµατος χαρακτηριστικών τιµών Σε πολλές περιπτώσεις η αναλυτική επίλυση των ελλειπτικών µερικών διαφορικών εξισώσεων είναι ιδιαίτερα επίπονη ή ακόµη και αδύνατη Στις περιπτώσεις αυτές οι εξισώσεις επιλύονται αριθµητικά Η πλέον διαδεδοµένη υπολογιστική µέθοδος επίλυσης είναι η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών Η µέθοδος έχει διατυπωθεί µε λεπτοµέρεια στο ο Κεφάλαιο, στην αριθµητική επίλυση προβληµάτων δύο οριακών τιµών, επίσης ελλειπτικού χαρακτήρα που περιγράφονται από συνήθεις διαφορικές εξισώσεις Τώρα η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών επεκτείνεται και εφαρµόζεται στην επίλυση ελλειπτικών µερικών διαφορικών εξισώσεων, όπως οι εξισώσεις (4-44) Το σηµαντικό πλεονέκτηµα των υπολογιστικών µεθόδων σε σχέση µε τις αναλυτικές εστιάζεται στο γεγονός ότι οι υπολογιστικές µέθοδοι δύνανται να εφαρµοσθούν και να επιλύσουν µη γραµµικές διαφορικές εξισώσεις Αντίθετα οι αναλυτικές µέθοδοι επικεντρώνονται, µε ελάχιστες εξαιρέσεις, στην επίλυση γραµµικών µερικών διαφορικών εξισώσεων και σε κάθε περίπτωση η αναλυτική επίλυση µη γραµµικών εξισώσεων αποτελεί ένα ιδιαίτερα δύσκολο πεδίο που απαιτεί εξειδικευµένες µαθηµατικές τεχνικές Βεβαίως στο παρόν κεφάλαιο θα επικεντρωθούµε, για εκπαιδευτικούς λόγους, στην υπολογιστική επίλυση γραµµικών εξισώσεων Επίσης, έχοντας στη διάθεσή µας την αναλυτική και υπολογιστική λύση του ιδίου προβλήµατος µπορούµε να συγκρίνουµε τα υπολογιστικά προσεγγιστικά αποτελέσµατα µε τα αντίστοιχα αναλυτικά και να αξιολογήσουµε και να πιστοποιήσουµε την αριθµητική µεθοδολογία Όµως, θα πρέπει να είναι σαφές ότι οι προτεινόµενες υπολογιστικές προσεγγίσεις µπορούν µε µικρές τροποποιήσεις να εφαρµοσθούν και σε µη γραµµικές εξισώσεις

4 Εξισώσεις πεπερασµένων διαφορών πέντε και εννέα σηµείων Όπως και στη περίπτωση των συνήθων διαφορικών εξισώσεων, έτσι και τώρα η εφαρµογή της µεθόδου των πεπερασµένων διαφορών περιλαµβάνει τρία βήµατα Το πρώτο βήµα αφορά την διακριτοποίηση του πεδίου ορισµού του προβλήµατος και την αντικατάστασή του µε το υπολογιστικό πλέγµα Το δεύτερο βήµα συνδέεται µε την διακριτοποίηση της µερικής διαφορικής εξίσωσης και των οριακών συνθηκών στους κόµβους του πλέγµατος Τέλος το τρίτο βήµα περιλαµβάνει την επίλυση του αλγεβρικού συστήµατος που διαµορφώνεται από τις εξισώσεις πεπερασµένων διαφορών Ας εξετάσουµε σαν παράδειγµα την πρότυπη εξίσωση Poisson u x u y + = (4) στο συνεχές πεδίου ορισµού R : 0< x <, 0 < y< A και u = 0 στο όριο Ω του πεδίου ορισµού (βλέπε Σχήµα 4) Το παραπάνω πρόβληµα αντιπροσωπεύει διάφορες απλές εφαρµογές µία εκ των οποίων είναι και η ροή ρευστού εντός ορθογώνιου αγωγού όπου πλευρών του ορθογωνίου και u u( x, y) ρευστού Όλες οι ποσότητες είναι σε αδιάστατη µορφή A είναι ο λόγος των δύο = η άγνωστη ταχύτητα του y=a R Ω u=0 u = y=0 x=0 x= Σχήµα 4: Πεδίο ορισµού και οριακές συνθήκες 3

Το πρώτο βήµα εφαρµογής της µεθόδου περιλαµβάνει την επιλογή του υπολογιστικού πλέγµατος ιαιρούµε τις αποστάσεις 0< x < και 0 y A < < κατά µήκος των αξόνων x και σε y I και J ίσα τµήµατα αντίστοιχα Το µήκη των ευθυγράµµων τµηµάτων κατά µήκος των αξόνων x και y έχουν µήκος x = και I y = A J Τα σηµεία που ορίζουν την αρχή και το τέλος κάθε διαστήµατος προσδιορίζονται από τις σχέσεις x = x + i x i= 0,,, I i και 0, (4) y = y + j y, j = 0,,, J (43) j 0 Από τα σηµεία y x i και y j φέρνουµε παραλλήλους προς τους άξονες x και αντίστοιχα, µε αποτέλεσµα το συνεχές πεδίο ορισµού να αντικατασταθεί από το υπολογιστικό πλέγµα που απαρτίζεται από I J ίσα ορθογώνια, οι κορυφές των οποίων ονοµάζονται κόµβοι και αποτελούν τα δοµικά στοιχεία του πλέγµατος (βλέπε Σχήµα 4) Ο κάθε κόµβος ( i, j ) του πλέγµατος προσδιορίζεται από το ζεύγος σηµείων ( xi, y j) και j = 0,,, J Συνολικά έχουµε ( I ) ( J ), για i= 0,,, I + + κόµβους Αντίστοιχα, οι τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής στους κόµβους του πλέγµατος ορίζονται από τις σχέσεις (, ) (, ) u x y = u x + i x y + i y = u, i= 0,,, I, j = 0,,, J (44) i j 0 0 i, j Οι άγνωστες τιµές u i, j θα προκύψουν από την υπολογιστική επίλυση του προβλήµατος Οι κόµβοι που βρίσκονται εντός του R ονοµάζονται εσωτερικοί κόµβοι ή για λόγους συντοµίας απλώς κόµβοι, ενώ οι κόµβοι που βρίσκονται στο ονοµάζονται οριακοί κόµβοι Όταν το υπολογιστικό πλέγµα αποτελείται από µικρό αριθµό κόµβων τότε χαρακτηρίζεται σαν αραιό πλέγµα (coarse grid), ενώ στην αντίθετη περίπτωση, όταν δηλαδή Ω πυκνό πλέγµα (fine grid) x << και y<< A, τότε χαρακτηρίζεται σαν 4

y Κόµβος (i,j) y J y J- y J- y j+ y j y j- y y y 0 x 0 x x x i- R x i x i+ x I- x I- x I x Ω Σχήµα 4: Υπολογιστικό πλέγµα και κόµβοι πλέγµατος Το επόµενο βήµα περιλαµβάνει την διατύπωση της εξίσωσης πεπερασµένων διαφορών σε κάθε εσωτερικό κόµβο του πλέγµατος Προσεγγίζουµε µερική διαφορική εξίσωση (4) στον τυχαίο κόµβο ( i, j ) του πλέγµατος και γράφουµε την u x u + =, y i, j i, j i= 0,,, I, j = 0,,, J (45) Στη συνέχεια, επιλέγουµε να προσεγγίσουµε τις δεύτερες παραγώγους µε κεντρώες εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών ης τάξης, κάτι που αποτελεί πάγια τακτική στη περίπτωση των ελλειπτικών εξισώσεων Εποµένως η (45) γράφεται στη διακριτοποιηµένη µορφή u u + u u u + u + x y i, j i, j i+, j i, j i, j i, j+ i=,,, I j =,, J =, (46) για και Η αλγεβρική εξίσωση (46) ονοµάζεται εξίσωση πεπερασµένων διαφορών πέντε σηµείων, αφού η κάθε µία από τις εξισώσεις αυτές εµπλέκει την ποσότητα κόµβους (στον κόµβο u σε πέντε ( i, j ) και στους τέσσερις γειτονικούς ( i, j) ± και 5

( i, j± ) ) Η ακρίβεια του σχήµατος είναι ης τάξης, δηλαδή το σφάλµα είναι O x, y Εφαρµόζοντας την (46) σε κάθε εσωτερικό κόµβο του πλέγµατος σχηµατίζεται ένα αλγεβρικό σύστηµα µε ( I ) ( J ) εξισώσεις Ο αριθµός τω αγνώστων είναι ο ίδιος, αφού στο συγκεκριµένο παράδειγµα οι οριακές συνθήκες είναι τύπου Dirichlet και εποµένως οι τιµές του u στους οριακούς κόµβους είναι γνωστές Όταν οι οριακές συνθήκες είναι τύπου Newmann ή µικτές τότε η διαδικασία της διακριτοποίησης συνεχίζεται µε την διατύπωση εξισώσεων πεπερασµένων διαφορών στους οριακούς κόµβους του πλέγµατος (βλέπε Παράγραφο 45) Στην ειδική περίπτωση που το υπολογιστικό πλέγµα επιλέγεται έτσι ώστε x = y= h, τότε η εξίσωση (46) γράφεται στην απλούστερη µορφή 4u i, j u i, j u i +, j u i, j u i, j + = h (47) Το τελευταίο βήµα της µεθόδου είναι η επίλυση του συστήµατος (46) ή του (47) µε άµεσες ή επαναληπτικές τεχνικές και ο υπολογισµός των u για i=,,, I και j =,, J Μια σύντοµη ανακεφαλαίωση i, j των µεθόδων επίλυσης αλγεβρικών συστηµάτων γίνεται στην επόµενη παράγραφο Εάν η ακρίβεια των αποτελεσµάτων είναι µείζονος σηµασίας τότε βελτιώνουµε την ακρίβεια του αριθµητικού σχήµατος χρησιµοποιώντας εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών µε ακρίβεια ανώτερη της ης τάξης Βεβαίως, στη περίπτωση αυτή κάθε εξίσωση ( i, j ) εµπλέκει την ποσότητα u στον κεντρικό κόµβο (, ) i j και σε περισσότερους από τέσσερις γειτονικούς κόµβους Τυπικό παράδειγµα είναι το σχήµα εννέα σηµείων Για x = y= h η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών εννέα σηµείων που προσεγγίζει την (4) γράφεται στη µορφή u + u + u + u + i, j i+, j i, j+ i+, j+ ( + + ) 4 u + u + u + u 0u = h i, j i, j i, j i, j i, j (48) 6

Το σχήµα εννέα σηµείων είναι ακριβείας 4 ης τάξης O x, y 4 4 σχήµατα των πέντε και εννέα σηµείων είναι τα πλέον συνηθισµένα Τα Η επέκταση της συγκεκριµένης µεθοδολογίας σε τρεις διαστάσεις µπορεί να γίνει χωρίς δυσκολία Βεβαίως αυξάνει ο αριθµός των κόµβων ανά εξίσωση Οι εκφράσεις των πέντε και εννέα σηµείων ανάγονται σε εξισώσεις πεπερασµένων διαφορών επτά και είκοσι επτά σηµείων αντίστοιχα Σηµειώνεται τέλος, ότι ακολουθώντας µε συνέπεια τους κανόνες και τις διαδικασίες που θεσπίσαµε στην επίλυση της εξίσωσης Poisson (4), µπορούµε να επιλύσουµε µε τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών έναν µεγάλο αριθµό ελλειπτικών εξισώσεων 43 Επίλυση συστηµάτων Η υπολογιστική επίλυση ενός προβλήµατος µε τη µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών, αλλά και άλλων υπολογιστικών µεθόδων όπως οι µέθοδοι των πεπερασµένων όγκων, των πεπερασµένων στοιχείων, των φασµατικών µεθόδων, κτλ, καταλήγουν στην αντικατάσταση της ή των µερικών διαφορικών εξισώσεων που περιγράφουν το πρόβληµα µε ένα σύστηµα αλγεβρικών εξισώσεων Η επίλύση του αλγεβρικού συστήµατος αποτελεί το τελευταίο βήµα της υπολογιστικής µεθοδολογίας Επίσης, επειδή τις τελευταίες δεκαετίες µας ενδιαφέρει η επίλυση σύνθετων προβληµάτων σε δύο ή τρεις διαστάσεις, αποτελεί σύνηθες φαινόµενο η τάξη του προκύπτοντος συστήµατος να είναι ή, δηλαδή το σύστηµα να αποτελείται από εκατοντάδες χιλιάδες ή εκατοµµύρια εξισώσεις 0 5 0 6 Το σύστηµα (47) λόγω της απλής δοµής του αποτελεί ένα από τα πρότυπα συστήµατα στη συστηµατική µελέτη και σύγκριση αριθµητικών µεθόδων επίλυσης γραµµικών συστηµάτων Οι νέες αριθµητικές τεχνικές που προκύπτουν θα πρέπει να επιλύουν, σε σχέση µε τις υπάρχουσες τεχνικές, αλγεβρικά συστήµατα όπως το (47) σε ακόµα µικρότερο 7

χρόνο µε ακόµα µικρότερες ανάγκες µνήµης Τα συστήµατα που προκύπτουν µε την εφαρµογή της µεθόδου των πεπερασµένων διαφορών έχουν, τα εξής δύο χαρακτηριστικά: οι πίνακες των συντελεστών είναι αραιοί πίνακες ηλαδή, τα στοιχεία του πίνακα στη µεγάλη πλειοψηφία τους είναι µηδενικά Για παράδειγµα, σε κάθε εξίσωση του στο σύστηµα (46) έχουµε µόνο πέντε µη µηδενικά στοιχεία Καθώς ο αριθµός των κόµβων αυξάνει ο πίνακας των συντελεστών γίνεται όλο και περισσότερο αραιός Η απόλυτη τιµή του διαγωνίου στοιχείου κάθε σειράς του πίνακα είναι µεγαλύτερη ή ίση µε το άθροισµα των απόλυτων τιµών υπολοίπων στοιχείων της ίδιας σειράς, δηλαδή N aij aii i=,,, (43) j= j i όπου η καθαρή ανισότητα ισχύει για τους κόµβους που συνορεύουν µε οριακούς κόµβους, στη περίπτωση των οριακών συνθηκών Divichlet ή για τους οριακούς κόµβους στις περιπτώσεις των οριακών συνθηκών Newmamm και µικτών Πρόκειται λοιπόν για πίνακες µε διαγώνια κυρίαρχα στοιχεία Οι αριθµητικές τεχνικές επίλυσης αλγεβρικών συστηµάτων που προκύπτουν από την εφαρµογή των µεθόδων των πεπερασµένων διαφορών πρέπει να λαµβάνουν υπόψη τα δύο παραπάνω χαρακτηριστικά αλλά και άλλα συµπληρωµατικά στοιχεία των συγκεκριµένων συστηµάτων (τριδιαγώνιοι πίνακες, συµµετρικοί πίνακες, θετικά ορισµένοι πίνακες κτλ) Εποµένως η υπολογιστικά αποτελεσµατική επίλυση αυτών των συστηµάτων κάθε άλλο παρά τετριµµένη µπορεί να θεωρείται και αποτελεί ανοικτό πεδίο έρευνας από τα µέσα του προηγούµενου αιώνα (950) µέχρι και σήµερα Η επίλυση γραµµικών αλγεβρικών συστηµάτων µε συµβατικές τεχνικές έχει εξετασθεί ενδελεχώς στο αντίστοιχο κεφάλαιο του µαθήµατος «Αριθµητική Ανάλυση» του 3 ου εξαµήνου Θα γίνει µια σύντοµη αναφορά στις τεχνικές 8

που έχουν µελετηθεί, ενώ στην επόµενη παράγραφο θα εξετασθεί η νέα επαναληπτική µέθοδος ADI Οι αριθµητικές µέθοδοι επίλυσης συστηµάτων διαχωρίζονται σε δύο µεγάλες κατηγορίες: α) στις άµεσες και β) στις επαναληπτικές Γενικά, οι άµεσες µέθοδοι απαιτούν αριθµό πράξεων της τάξης 3 N, ενώ οι επαναληπτικές µέθοδοι απαιτούν αριθµό πράξεων της τάξης επανάληψη, όπου ανά ο αριθµός των εξισώσεων του συστήµατος Εποµένως, µια επαναληπτική µέθοδος για να θεωρηθεί υπολογιστικά ελκυστική θα πρέπει να συγκλίνει σε λιγότερες από επαναλήψεις N N N Στις άµεσες µεθόδους συµπεριλαµβάνονται, µεταξύ άλλων οι παρακάτω: Απαλοιφή Gauss Η απαλοιφή Gauss αποτελεί την πλέον διαδεδοµένη και κλασσική µεθοδολογία άµεσης επίλυσης αλγεβρικών συστηµάτων Ο αναγκαίος αριθµός πράξεων είναι ιδιαίτερα µεγάλος και σε πολλές περιπτώσεις η χρήση της απαλοιφής Gauss σε τυπικούς προσωπικούς υπολογιστές γίνεται ιδιαίτερα δυσχερής Τονίζεται επίσης ότι η απαλοιφή Gauss πρέπει να γίνεται µε οδήγηση ιαφορετικά, ο αλγόριθµος είναι ασταθής και σε περιπτώσεις αριθµητικά ιδιόµορφων συστηµάτων οδηγεί σε λάθος αποτελέσµατα Απαλοιφή Gauss-Jordan Πρόκειται για µια απλή επέκταση της απαλοιφής Gauss µε τα ίδια ακριβώς χαρακτηριστικά (αριθµός πράξεων, πλεονεκτήµατα µειονεκτήµατα, κτλ) Αλγόριθµος Thomas Ο αλγόριθµος Thomas εφαρµόζεται µόνο σε τριδιαγώνια συστήµατα και στην περίπτωση αυτή αποτελεί την πλέον αποτελεσµατική µεθοδολογία επίλυσης 9

Παραγοντοποιήσεις LU και LDU Ο πίνακας συντελεστών A γράφεται σαν γινόµενου ενός κάτω τριγωνικού πίνακα L και ενός άνω τριγωνικού πίνακα U µε µονάδες στη διαγώνιο Τα άγνωστα στοιχεία των πινάκων L και σχέσεων που βασίζονται στη βασική σχέση πίνακες L και U άγνωστου διανύσµατος για το U υπολογίζονται µέσω αναγωγικών A = LU Αφού βρεθούν οι το σύστηµα επιλύεται µε τη χρήση ενός ενδιαµέσου y ως εξής: Ax b LUx b Ly b Ux = y y = = =, όπου Πρώτα επιλύουµε για το ενδιάµεσο διάνυσµα και στη συνέχεια x Με µικρή τροποποίηση της παραγοντοποίησης LU προκύπτει η παραγοντοποίηση LDU (A = LDU ) Τα τυπικά χαρακτηριστικά των παραγοντοποιήσεων LU και LDU παραµένουν όπως και στην απαλοιφή Gauss Αλγόριθµος Cholesky Στη περίπτωση που ο πίνακας A είναι συµµετρικός προκύπτει, εφαρµόζοντας την παραγοντοποίηση LU, ότι ο πίνακας U = L Η ιδιότητα αυτή είναι ιδιαίτερα σηµαντική και µειώνει δραστικά τον αναγκαίο αριθµό πράξεων Η µεθοδολογία είναι γνωστή σαν αλγόριθµος Cholesky και αποτελεί µία από τις πλέον αποτελεσµατικές µεθόδους επίλυσης συστηµάτων µε συµµετρικούς πίνακες συντελεστών T Σχετικά µε τις άµεσες µεθόδους σηµειώνεται ότι, µε εξαίρεση τους αλγόριθµους Thomas και Cholesky, οι υπόλοιπες τεχνικές, τουλάχιστον στην κλασσική τους µορφή, δεν εκµεταλλεύονται την ειδική δοµή των αλγεβρικών συστηµάτων και θα πρέπει να χρησιµοποιούνται µε φειδώ, µόνο για πιλοτικούς σκοπούς ή στη περίπτωση µικρών συστηµάτων N <0 ( ) Τα τελευταία χρόνια έχουν αναπτυχθεί βελτιωµένες και εξειδικευµένες άµεσες µέθοδοι όπως ο γρήγορος µετασχηµατισµός Fourier (Fast Fourier Transform, FFT) Όταν οι πίνακες συντελεστών είναι αριθµητικά ιδιόµορφοι η προτεινόµενη τεχνική είναι η µέθοδος διάσπασης (αποκλεισµού) των ιδιόµορφων τιµών (Singular Value Decomposition, SVD) 0

Περνούµε τώρα στη δεύτερη κατηγορία µεθόδων επίλυσης, αυτή των επαναληπτικών τεχνικών Στην επίλυση µεγάλων συστηµάτων οι επαναληπτικές µέθοδοι εφόσον διατυπωθούν σωστά φαίνεται να έχουν περισσότερες δυνατότητες από τις άµεσες µεθόδους Η υπεροχή τους οφείλεται στο γεγονός ότι οι περισσότερες επαναληπτικές µέθοδοι αξιοποιούν τα δύο βασικά χαρακτηριστικά των συστηµάτων που προκύπτουν από την µέθοδο των πεπερασµένων διαφορών (αραιοί και διαγώνια κυρίαρχοι πίνακες) Οι περισσότερες επαναληπτικές τεχνικές βασίζονται στην διατύπωση αναγωγικών τύπων επαναληπτικού χαρακτήρα Έστω το σύστηµα Ax= b Προσθέτοντας και στις δύο πλευρές του συστήµατος το διάνυσµα Qx έχουµε ( ) ( ) ( ) Ax = b Ax + Qx = Qx + b Qx = Q A x + b x= Q Q A x+ Q b= I Q A x+ Q b που γράφεται στην γενική επαναληπτική µορφή ( n+ ) ( n) x = Gx + k (43) n όπου είναι ο αριθµός επανάληψης, είναι ο πίνακας επανάληψης, k = Q b και τα διανύσµατα τιµές του αγνώστου διανύσµατος µετά από G = I Q A ( n) x και αντίστοιχα Αφού κάνουµε µια αρχική εκτίµηση ( n ) x + δηλώνουν τις n και n + επαναλήψεις ( 0) x εφαρµόζουµε τον επαναληπτικό αλγόριθµο (43) Η επαναληπτική διαδικασία ολοκληρώνεται όταν όλες οι τιµές του x έχουν συγκλίνει στην επιθυµητή ακρίβεια, δηλαδή όταν ικανοποιούν το κριτήριο τερµατισµού x ( n+ ) ( n) i x όπου ( n+ ) i x i < ε, (433α) max ε max το µέγιστο επιτρεπτό σχετικό σφάλµα Πολλές φορές χρησιµοποιούµε εναλλακτικά κριτήρια τερµατισµού όπως απόλυτο σφάλµα ( n+ ) ( n) i i max το µέγιστο x x < ε (433β) ή την Ευκλείδεια νόρµα

N ( n+ ) ( n) ( x ) i xi < ε max (433γ) i= Ο πίνακας επανάληψης G είναι µείζονος σηµασίας σε σχέση µε τη γρήγορη ή αργή σύγκλιση ή απόκλιση του επαναληπτικού ( n) αλγορίθµου Εάν ορίσουµε το διάνυσµα του σφάλµατος ε µετά από επαναλήψεις σαν την διαφορά ανάµεσα στην αριθµητική λύση αναλυτική λύση x, δηλαδή ( n) ( n) n ( n) x και την ε = x x, (434) εύκολα προκύπτει ότι ( n) ( n ) ( n ) n ( ) ε = Gε = G ε = = G ε 0 (435) Παίρνοντας µία οποιαδήποτε νόρµα β της (434) µπορούµε να εκτιµήσουµε την διάδοση του αρχικού σφάλµατος µετά από επαναλήψεις: ( n) n ( 0) n ( ) 0 ε = G ε < G β ε (436) β Εποµένως η διάδοση του σφάλµατος εξαρτάται άµεσα από την νόρµα του πίνακα επανάληψης ( G) G Αποδεικνύεται ότι G β < όταν ρ ( G) n <, όπου ρ η φασµατική ακτίνα του πίνακα επανάληψης G Εποµένως, η επαναληπτική µέθοδος θα συγκλίνει µόνο όταν ρ ( G) < και βεβαίως όσο µικρότερη είναι η φασµατική ακτίνα τόσο γρηγορότερη θα είναι η σύγκλιση της επαναληπτικής διαδικασίας ρ G Αντίθετα όταν ( ) επιλογή λοιπόν του πίνακα G (ή του > η επαναληπτική διαδικασία θα αποκλίνει Η ) είναι καθοριστικής σηµασίας και η κάθε επαναληπτική µέθοδος ορίζεται ανάλογα µε την µορφή του πίνακα G στον γενικό επαναληπτικό αλγόριθµο (43) Q Ακολουθεί µία σύντοµη ανασκόπηση των τεσσάρων πλέον διαδεδοµένων επαναληπτικών αλγορίθµων Καταρχήν ο πίνακας συντελεστών A του συστήµατος Ax L και U = b διασπάται σε τρεις πίνακες A = D+ L+ U, όπου D, είναι ένας διαγώνιος, ένας κάτω τριγωνικός και ένας άνω

τριγωνικός πίνακας και ο κάθε ένας από αυτούς περιλαµβάνει τα αντίστοιχα στοιχεία του πίνακα A Στη συνέχεια οι επαναληπτικές τεχνικές Jacobi (J), Gauss Seidel (GS), Successive Over Relaxation (SOR) και Symmetric Successive Over Relaxation (SSOR) διατυπώνονται ως εξής: Jacobi ( n ) ( ) ( n) + x D = L U x + D b ή N i = i ij a ii j= j i ( n+ ) ( n) x b a x j Gauss Seidel ( n+ ) ( ) ( n) ( ) x = D+ L Ux + D+ L b ή i N xi = bi aijxj aijx j aii j= j= i+ ( n+ ) ( n+ ) ( n) Successive Over Relaxation (SOR) ( n+ ) ( ) ( ) ( n) ( ) x = D+ ωl ωu + ω D x + ω D+ ωl b ή i N ( n+ ) ( n ) ( n) xi bi aijxj aijxj x i a ω + = + ii j= j= i+ ( ω ) ( n ) Symmetric Successive Over Relaxation (SSOR) ( n+ /) ( ) ( ) ( n) ( ) x = D+ ωl ωu + ω D x + ω D+ ωl b ( n ) ( ) ( ) ( n ) ( ) + = / x = D+ ωu ωl+ ω D x + ω D+ ωu b ή 3

i N ( n+ /) ( n /) ( n) xi bi aijxj aijxj x i a ω + = + ii j= j= i+ ( ω ) ( n ) x b ax ax x i N ( n+ ) ( n /) ( n ) / i i ij j ij j a ω + + = + i ii j= j= i+ ( ω ) ( n+ ) Κλείνοντας την σύντοµη αναδροµή σε τεχνικές επίλυσης συστηµάτων θα πρέπει να αναφέρουµε και τη µέθοδο Newton που αποτελεί τον πλέον διαδεδοµένο αλγόριθµο επίλυσης µη γραµµικών συστηµάτων Η αριθµητική επίλυση µη γραµµικών διαφορικών εξισώσεων οδηγεί στην διατύπωση µη γραµµικών εξισώσεων πεπερασµένων διαφορών Τότε, τα προκύπτοντα µη γραµµικά αλγεβρικά συστήµατα επιλύονται συνήθως µε τη µέθοδο Newton ή µε παραλλαγές της µεθόδου Η µέθοδος Newton έχει αναπτυχθεί λεπτοµερώς στο µάθηµα της Αριθµητικής Ανάλυσης του 3 ου εξαµήνου Οι παραπάνω επαναληπτικές µέθοδοι σε συνδυασµό µε την µέθοδο ADI, που θα εξετάσουµε στην επόµενη παράγραφο καλύπτουν πλήρως τις ανάγκες επίλυσης συστηµάτων στο πλαίσιο του µαθήµατος Όταν όµως η πολυπλοκότητα του προβλήµατος αυξάνει είναι αναγκαίο να ανατρέξουµε σε πιο εξειδικευµένες και αναβαθµισµένες τεχνικές όπως οι µέθοδοι Conjugate Gradient (CG) και Ελαχιστοποίησης Υπολοίπων (Minimal Residual, MINRES και Generalized Minimal Residual, GMRES) Τέλος, σηµειώνεται ότι οι κλασσικές όπως και οι πιο εξειδικευµένες µέθοδοι επανάληψης αποκτούν νέα δυναµική όταν συνδυασθούν µε µεθόδους πολλαπλών πλεγµάτων (Multigrid Methods) 44 Μέθοδος ADI Το ακρώνυµο ADI προέρχεται από τα αρχικά της πλήρους ονοµασίας της µεθόδου που είναι «Alternative Direction Implicit» Η µέθοδος εφαρµόζεται στην επίλυση συστηµάτων που προκύπτούν κατά την αριθµητική επίλυση δισδιάστατων και τρισδιάστατων µερικών διαφορικών 4

εξισώσεων Όταν η διαφορική εξίσωση είναι µονοδιάστατη τότε το προκύπτον σύστηµα έχει τριδιαγώνια µορφή και ο άµεσος αλγόριθµος Thomas έχει αποδειχθεί ιδιαίτερα αποτελεσµατικός στην επίλυση τριδιαγωνίων συστηµάτων Αντίθετα, όταν η διαφορική εξίσωση είναι σε δύο ή τρεις διαστάσεις οι απλούστερες εξισώσεις πεπερασµένων διαφορών έχουν πέντε και επτά µη µηδενικά στοιχεία αντίστοιχα Εποµένως η εφαρµογή του αλγόριθµου Thomas δεν είναι εφικτή Σε µια προσπάθεια κάλυψης αυτού του κενού στη δεκαετία του 950 προτάθηκε µια οικογένεια επαναληπτικών µεθόδων, όπου η κάθε επανάληψη, σε προβλήµατα δύο διαστάσεων, περιλαµβάνει δύο διαδοχικά βήµατα Η µέθοδος έχει κοινά χαρακτηριστικά µε την µέθοδο SSOR που επίσης περιλαµβάνει δύο διακριτά βήµατα ανά επανάληψη Έστω ότι ζητείται η επίλυση του συστήµατος (47) που γράφεται τώρα στην µορφή ui+, j+ ui, j ui, j ui, j + ui, j ui, j+ =h (44) Η κεντρική ιδέα είναι η διάσπαση του πίνακα συντελεστών Α σε δύο πίνακες, δηλαδή A = H + V, (44) όπου οι πίνακες H και V περιλαµβάνουν τους όρους που προκύπτουν από τις εκφράσεις των κεντρώων πεπερασµένων διαφορών στην x (οριζόντια) y και στην (κάθετη) κατεύθυνση αντίστοιχα Το σύστηµα (44) διασπάται σε δύο τριδιαγώνια συστήµατα u + u u = u u + u +h i, j i, j i+, j i, j i, j i, j+ (443) και u + u u = u u + u + h (444) i, j i, j i, j+ i, j i, j i+, j Και στη συνέχεια η µέθοδος ADI ορίζεται από τον επαναληπτικό αλγόριθµο: ( ρ ) ( ) ( ) ( ) ( ρ ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) n+ / n n+ / n+ / n n n n i, j i, j i+, j i, j i, j i, j+ u + + u u = u u + u +h ( ρ ) ( ) ( ) ( ) ( ρ ( ) ) ( ) ( ) + ( ) ( ) (445) n + n n + n + n + / n n + / n + / i, j i, j i, j+ i, j i, j i, j u + + u u = u u + u +h (446) 5

Ο δείκτης n συµβολίζει τον αριθµό επανάληψης και οι παράµετροι ( n) ρ και ( n) ρ είναι σταθερές χαλάρωσης που βελτιστοποιούν την επαναληπτική διαδικασία Παρατηρούµε ότι η πρώτη εξίσωση είναι πεπλεγµένη µόνο στην κατεύθυνση x και η δεύτερη είναι πεπλεγµένη µόνο στην κατεύθυνση y Σε κάθε επανάληψη λύνονται δύο τριδιαγώνια συστήµατα και οι τιµές ( n ) u + i, j ( n) u i, j ( n /) u + i, j υπολογίζονται µε βάση τις τιµές διαµέσου των τιµών Οι παράµετροι ( n) ρ και ( n) ρ προκύπτουν από τις ιδιοτιµές των H και V Εάν οι πίνακες H και V είναι συµµετρικοί και ο πίνακας A είναι θετικά ορισµένος τότε αποδεικνύεται ότι η µέθοδος ΑDΙ πάντα συγκλίνει Στην απλούστερη περίπτωση ορίζουµε ( n) ( n) ρ = ρ = ρ Ο υπολογισµός των βέλτιστων παραµέτρων ρ αποτελεί εξειδικευµένο πρόβληµα που δε θα µας απασχολήσει στο πλαίσιο του µαθήµατος Βλέπουµε λοιπόν ότι ο επαναληπτικός αλγόριθµος ADI σε κάθε επανάληψη προϋποθέτει την επίλυση δύο τριδιαγωνίων συστηµάτων που επιτυγχάνεται µε την εφαρµογή του αλγόριθµου Thomas Γενικεύοντας την µέθοδο ADI σε ελλειπτικές διαφορικές εξισώσεις µε συντελεστές που είναι συναρτήσεις των χωρικών ανεξάρτητων µεταβλητών εξετάζουµε την εξίσωση u u k + k = f x x y y (, x y) (447) Ο αλγόριθµος ADI γράφεται στη µορφή ( n) ( n+ /) ( n) ( n) ρ H ρ I x b V I + = x ( n) ( n+ ) ( n) ( n+/) ρ V ρ I x b H I + = x όπου H = k x x και (448) (448) 6

V = k y y Έχει αποδειχθεί ότι η εφαρµογή της µεθόδου ADI στην επίλυση συστηµάτων είναι ιδιαίτερα αποτελεσµατική Τέλος, ο αλγόριθµος ADI εφαρµόζεται εξίσου αποτελεσµατικά και στη περίπτωση των µερικών διαφορικών εξισώσεων σε τρεις διαστάσεις Στην περίπτωση αυτή ο πίνακας A διασπάται σε τρεις πίνακες που ο καθένας από αυτούς περιλαµβάνουν τους όρους που προκύπτουν από τις εκφράσεις των κεντρώων πεπερασµένων διαφορών στις κατευθύνσεις x, αντίστοιχα Η επαναληπτική διαδικασία τώρα περιλαµβάνει τρία διαδοχικά βήµατα ανά επανάληψη και σε κάθε επανάληψη επιλύονται τρία τριδιαγώνια συστήµατα y και z 45 Οριακές συνθήκες µικτού τύπου και ακανόνιστα όρια Οι οριακές συνθήκες που συνοδεύουν τις µερικές διαφορικές εξισώσεις είναι τύπου Dirichlet ή τύπου Neumann ή µικτού τύπου Όταν οι οριακές συνθήκες είναι τύπου Dirichlet τότε οι τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής στα όρια είναι γνωστές και η επίλυση του προβλήµατος γίνεται µόνο για τους εσωτερικούς κόµβους Όταν όµως είναι τύπου Neumann ή µικτού τύπου τότε οι τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής στα όρια είναι άγνωστες και αποτελούν πλέον τµήµα της υπολογιστικής λύσης Στις περιπτώσεις αυτές είναι αναγκαίο, εφαρµόζοντας εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών, οι αναλυτικές οριακές συνθήκες να αντικατασταθούν µε εξισώσεις πεπερασµένων διαφορών που λύνονται µαζί µε τις υπόλοιπες εξισώσεις Πρόκειται για µια διαδικασία που ανάλογα µε το πρόβληµα και την ζητούµενη ακρίβεια, απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή ώστε να µην αλλοιώνεται η ακρίβεια όλου του αριθµητικού σχήµατος 7

Έστω ότι ζητείται η λύση της εξίσωσης Laplace, u = 0, στο πεδίο ορισµού 0 x, y µε οριακές συνθήκες τύπου Dirichlet στα όρια y = 0, y = και u + αu = β x x =, ενώ στο όριο x = 0 η οριακή συνθήκη είναι µικτού τύπου (45) όπου οι ποσότητες α και β είναι γνωστές Υπάρχουν δύο βασικές µεθοδολογίες διατύπωσης εξισώσεων πεπερασµένων διαφορών στα όρια του προβλήµατος ώστε ο τελικός αριθµός των αγνώστων να ισούται µε τον αριθµό των αλγεβρικών εξισώσεων Η διακριτοποίηση στο όριο x = 0 φαίνεται στο Σχήµα 43 j+ j j- x=0 (i=0) x= x (i=) x= x (i=) Σχήµα 43: ιακριτοποίηση στο όριο x = 0 Η απλούστερη µεθοδολογία είναι η αντικατάσταση της οριακής συνθήκης µε µια εξίσωση πεπερασµένων διαφορών Για παράδειγµα αντικαθιστώντας τον πρώτο όρο της εξίσωσης (45) µε µια πρόδροµη έκφραση πεπερασµένων διαφορών ης τάξης προκύπτει για τον τυχαίο οριακό κόµβο (0, j) η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών ( u, j u0, j) α xu0, j β x O[ x] + = + (45) Εναλλακτικά, προσεγγίζοντας τη πρώτη παράγωγο µε µια πρόδροµη έκφραση πεπερασµένων διαφορών ης τάξης βρίσκουµε ( u, j 4u, j 3u0, j) xu0, j x O x + + α = β + (453) 8

Η (45) ή εναλλακτικά η (453) επιλύονται µαζί µε τις εξισώσεις των εσωτερικών κόµβων Παρατηρούµε ότι η (45) έχει ακρίβεια ης τάξης και εποµένως αλλοιώνεται η συνολική ακρίβεια του αριθµητικού σχήµατος που συνήθως είναι ης τάξης, ενώ αντίθετα η (453) έχει ακρίβεια ης τάξης και είναι συµβατή ως προς την ακρίβεια µε τις εξισώσεις πεπερασµένων διαφορών για τους εσωτερικούς κόµβους Μια δεύτερη βελτιωµένη µεθοδολογία είναι αυτή που βασίζεται όχι µόνο στην οριακή συνθήκη αλλά και στη διαφορική εξίσωση Με τον τρόπο αυτό εξασφαλίζεται η συµβατότητα των εξισώσεων πεπερασµένων διαφορών µεταξύ εσωτερικών και οριακών κόµβων όχι µόνο ως προς την ακρίβεια αλλά και ως προς την δοµή των εξισώσεων Χρησιµοποιώντας το ανάπτυγµα Taylor u x u, j 0, j 0, j x x 0, j 3 u = u + x + + O x (454) βρίσκουµε ότι u u = u u x + O[ x, j 0, j x x x 0, j ] (455) Αντικαθιστώντας στην (455) την πρώτη παράγωγο από την οριακή συνθήκη (45) προκύπτει ότι u x = u, j ( α x+ ) u0, j + b x + O[ x x] (456) Στη συνέχεια προσεγγίζουµε την εξίσωση Laplace µε εκφράσεις πεπερασµένων διαφορών στους οριακούς κόµβους ( ) 0, j, j =,, J Η δεύτερη παράγωγος αντικαθίσταται µε την (456) και προκύπτει η u xx εξίσωση πεπερασµένων διαφορών x u u + u u ( α x+ ) u + b x + = 0 y 0, j+ 0, j 0, j, j 0, j j =,, J, (457) Η χρήση της εξίσωσης (457) θα οδηγήσει σε καλύτερα αποτελέσµατα σε σχέση µε την εξίσωση (45) αλλά η ακρίβεια παραµένει ης τάξης Εάν συµπεριλάβουµε στο ανάπτυγµα (454) όρους 3 ης τάξης τότε η ακρίβεια 9

των εκφράσεων πεπερασµένων διαφορών για τη δεύτερη παράγωγο θα είναι ης τάξης και συµβατή µε την ακρίβεια του αριθµητικού σχήµατος Στην ειδική περίπτωση της οµογενούς οριακής συνθήκης Neumann α = β = ) η εξίσωση (457) και εποµένως, όλο το αριθµητικό σχήµα ( 0 είναι ακρίβειας ης τάξης (βλέπε Παράγραφο 5) Από τα παραπάνω παραδείγµατα φαίνεται ότι η διατύπωση εξισώσεων πεπερασµένων διαφορών στα όρια του προβλήµατος είναι µια διαδικασία σύνθετη και επίπονη αλλά τελείως απαραίτητη ώστε να εξασφαλίζεται η αξιοπιστία του αριθµητικού σχήµατος Στο σηµείο αυτό θα αναφερθούµε συνοπτικά στη περίπτωση των µη κανονικών ορίων Όταν η γεωµετρία του προβλήµατος είναι απλή τότε είναι σχετικά απλό να επιλέξουµε το υπολογιστικό πλέγµα µε τρόπο ώστε οι οριακοί κόµβοι του πλέγµατος να ευρίσκονται πάνω στο φυσικό όριο του προβλήµατος Όµως πολλές φορές αυτό δεν είναι εφικτό όπως όταν έχουµε καµπυλόγραµµα φυσικά όρια και χρησιµοποιούµε ορθογώνια πλέγµατα Στην περίπτωση αυτή αναφερόµεθα στα όρια του προβλήµατος σαν µη κανονικά όρια Το αντικείµενο της ορθολογικής προσαρµογής του πλέγµατος στα φυσικά όρια του προβλήµατος αποτελεί σύγχρονο πεδίο έρευνας που αντιµετωπίζεται µε την εφαρµογή σύνθετων µαθηµατικών και υπολογιστικών εργαλείων Στη παράγραφο αυτή θα παρουσιάσουµε µία πολύ απλή µεθοδολογία που µπορεί να καλύψει µερικώς το συγκεκριµένο πρόβληµα Έστω ότι ζητείται η υπολογιστική λύση της εξίσωσης Laplace σε ένα χωρίο R που περικλείεται από ένα καµπυλόγραµµο όριο Ω µε οριακές συνθήκες Dirichlet Το υπολογιστικό πλέγµα είναι ορθογώνιο Τµήµα του καµπυλόγραµµου ορίου Ω και του υπολογιστικού πλέγµατος φαίνονται στο Σχήµα 44, όπου επίσης ορίζονται και τα σηµεία τοµής του ορίου µε το υπολογιστικό πλέγµα Παρατηρούµε ότι πάνω στο φυσικό όριο του προβλήµατος δεν έχουµε κόµβους Στην συγκεκριµένη περίπτωση αυτό δεν αποτελεί ιδιαίτερο πρόβληµα αφού οι οριακές συνθήκες είναι τύπου Dirichlet Όµως, παρατηρούµε επίσης ότι υπάρχουν εσωτερικοί κόµβοι, 0

όπως ο κόµβος που δεν ισαπέχει από τα γειτονικά του σηµεία Η διατύπωση των εξισώσεων πεπερασµένων διαφορών για κόµβους όπως ο κόµβος θα γίνει µε µία µεθοδολογία ελαφρώς τροποποιηµένη σε σχέση µε την γενικευµένη µεθοδολογία για τους υπόλοιπους εσωτερικούς κόµβους A ah h 3 h bh B Σχήµα 44: Καµπυλόγραµµο όριο και ορθογώνιο υπολογιστικό πλέγµα Θεωρούµε x = y= h και ορίζουµε τις αποστάσεις ανάµεσα στον κόµβο και στους κόµβους Α και Β µε α h και β h αντίστοιχα, όπου α, β < Εφαρµόζοντας αναπτύγµατα Taylor και διατηρώντας όρους µέχρι και ης τάξης έχουµε ότι ( αh) 3 ua = u + αhuy + uyy + O h! (458α) ( h) 3 u3 = u huy + uyy + O h! (458β) ( βh) 3 ub = u + βhux + uxx + O h! (458γ) και ( h) 3 u3 = u hux + uxx + O h! (458δ) Συνδυάζοντας τις εξισώσεις (458) καταλήγουµε στην εξής προσέγγιση της εξίσωσης Laplace στον κόµβο :

+ + + + ( α + β) u u u u3 ua u u B + = + + + + x y h β α α( α ) β( β ) αβ (459) Στη συνέχεια η διαδικασία επαναλαµβάνεται για όλους τους κόµβους του πλέγµατος που είναι αντίστοιχοι του κόµβου και γειτνιάζουν µε το φυσικό όριο Βεβαίως θα πρέπει να ληφθεί υπόψη ότι η ακρίβεια της (459) είναι ης τάξης Η αντίστοιχη επεξεργασία όταν εµπλέκονται οριακές συνθήκες Newmann ή µικτές είναι αρκετά πιο πολύπλοκη [ ] Oh 46 Κυλινδρικές και σφαιρικές συντεταγµένες Μέχρι τώρα η µέθοδος των πεπερασµένων διαφορών έχει επικεντρωθεί στην επίλυση διαφορικών εξισώσεων στο καρτεσιανό σύστηµα συντεταγµένων Στη παρούσα παράγραφο παρουσιάζονται οι βασικές τροποποιήσεις στη µεθοδολογία ώστε η µέθοδος να επεκταθεί αρχικά σε κυλινδρικές και στη συνέχεια σε σφαιρικές συντεταγµένες Έστω ότι ζητείται η αριθµητική επίλυση της εξίσωσης Laplace u u u u + + + = 0, r r r r θ z στο πεδίο ορισµού : (46) R 0 < r < R, 0 < θ < π, 0 < z< L, µε οριακές συνθήκες τύπου Dirichlet u( r, θ,0 ) = u( r, θ, L) = u0, u( R,, z) u (,0, ) (, π, ) θ = και u R z = u R z = u Το πεδίο ορισµού του προβλήµατος και το αντίστοιχο υπολογιστικό πλέγµα απεικονίζονται στο Σχήµα 45 Το πλέγµα είναι τρισδιάστατο και ο κάθε κόµβος ( i, j, k ) του πλέγµατος προσδιορίζεται από τη τριάδα σηµείων ( ri, j, zk) j i= 0,,, I θ, για, = 0,,, J και k = 0,,, K Συνολικά έχουµε ( I + ) ( J + ) ( K + ) κόµβους Αντίστοιχα οι τιµές της εξαρτηµένης µεταβλητής στους κόµβους του πλέγµατος ορίζονται από τις σχέσεις ( θ ) ( θ ),, u r,, z = u i r, j, k z = ui j k (46)

u 0 u u 0 u i+,j+,k i,j+,k i+,j+,k+ i,j+,k+ i+,j,k i,j,k i+,j,k+ i,j,k+ Σχήµα 45: Πεδίο ορισµού και υπολογιστικό πλέγµα Η εξίσωση (46) διακριτοποιείται στον τυχαίο κόµβο του πλέγµατος ( i, j, k ) : u u u u + + + r r r r θ z i,j,k i i,j,k i i,j,k i,j,k = 0, (463) Εφαρµόζοντας κεντρώες σχέσεις πεπερασµένων διαφορών και παρατηρώντας ότι r = r i προκύπτει η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών ( i r) i ui, jk, ui, jk, + ui+, jk, ui+, jk, ui, jk, + + r i r r u u + u u u + u + + θ z i, j, k i, j, k i, j+, k i, j, k i, j, k i, j, k+ για, και = 0 (464) i=,,, I j =,,, J k =,,, K Παρατηρούµε ότι σε κάθε εξίσωση πεπερασµένων διαφορών έχουµε επτά µη µηδενικούς όρους Το αλγεβρικό σύστηµα (464) επιλύεται µε µία επαναληπτική µέθοδο και προκύπτουν οι άγνωστες ποσότητες κόµβους u i, j, k στους εσωτερικούς Η εφαρµογή της µεθόδου των πεπερασµένων διαφορών σε κυλινδρικές συντεταγµένες απαιτεί ιδιαίτερη προσοχή όταν κρίνεται αναγκαία η διατύπωση εξισώσεων πεπερασµένων διαφορών για τους κόµβους που βρίσκονται στον άξονα r = 0 Σηµειώνεται ότι ο Λαπλασιανός 3

τελεστής δεν ορίζεται για r = 0 Θα εξετάσουµε το θέµα αυτό στην ειδική περίπτωση της αξονοσυµµετρικής συµµετρίας Έστω ότι ζητείται η αριθµητική επίλυση της εξίσωσης Laplace u u u + + = 0, r r r z < < 0 < z< L στο πεδίο ορισµού : (465) R 0 r R,, µε οριακές συνθήκες τύπου Dirichlet u( r,0 ) = u( r, L) = 0, u( R, z) u0 = στην εξωτερική επιφάνεια του κυλίνδρου και τη συνθήκη συµµετρίας u r r = 0 = 0 στο άξονα συµµετρίας Το πεδίο ορισµού και το αντίστοιχο πλέγµα απεικονίζονται στο Σχήµα 46 z=l z=l 0 r=0 r=r u r =0 u o z=0 z=0 r=0 0 r=r Σχήµα 46: Αξονοσυµµετρικό υπολογιστικό πλέγµα Θεωρώντας r = z η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών προκύπτει εύκολα τροποποιώντας κατάλληλα την (464) και γράφεται στη µορφή u + + u 4u + u + u i i i, k i+, k ik, ik, + ik, i=,,, I και k =,,, K =0 (466) Η εξίσωση (466) ισχύει για τους εσωτερικούς κόµβους του πλέγµατος ισχύει στον άξονα του κυλίνδρου, αφού για Τονίζεται ότι όπως η (465) δεν r = 0 ο δεύτερος όρος 4

της απειρίζεται, αντίστοιχα και η (466) δεν ισχύει για Το σύστηµα (466) δεν αποτελεί ένα κλειστό αλγεβρικό σύστηµα, αφού ο αριθµός των αγνώστων είναι µεγαλύτερος του αριθµού των εξισώσεων Το πρόβληµα αυτό παρακάµπτεται εφαρµόζοντας τη συµµετρική οριακή συνθήκη στο u r r = 0 r = 0 ηλαδή = u u = 0 u = u, k 0, k, k 0, i = 0 k, k =,,, K (467) Με τις εξισώσεις (467) κλείνει το αλγεβρικό σύστηµα (466) και ο υπολογισµός των αγνώστων είναι εφικτός Όµως η (467) είναι ης τάξης και αλλοιώνει την ακρίβεια του αριθµητικού σχήµατος (466) που είναι ης ότι καθώς το τάξης Η ανακολουθία αυτή διορθώνεται ως εξής Παρατηρούµε r 0 και ο αριθµητής του δεύτερου όρου της (465) επίσης τείνει στο µηδέν Εφαρµόζοντας τον κανόνα του Ηospital παρατηρούµε ότι u lim r u = (468) r 0 r r Αντικαθιστώντας το αποτέλεσµα αυτό στην εξίσωση (465) προκύπτει στο r = 0 u rr u zz η αναλυτική εξίσωση + =0 r = z (469) Εφαρµόζοντας στην (469) κεντρώες πεπερασµένες διαφορές βρίσκουµε για την εξίσωση πεπερασµένων διαφορών ( u, k u0, k u, k) ( u0, k u0, k u0, k+ ) + + + = 0 k =,,, K, (460) Στη συνέχεια προσεγγίζοντας τη συµµετρική οριακή συνθήκη r = 0 u r r= 0 µε κεντρώες πεπερασµένες διαφορές έχουµε ότι = u u = 0 u = u, k, k, k, u r = 0 στο k, k =,,, K, (46) και αντικαθιστώντας τέλος την (46) στην (460) προκύπτει η εξίσωση πεπερασµένων διαφορών ( u, k u0, k) ( u, k u, k u, k+ ) 4 + + = 0 k =,,, K Στις (460) και (46) οι ποσότητες κόµβους (, k ),,,, (46) u,k αναφέρονται στους εικονικούς, k = K Για περισσότερες λεπτοµέρειες ο 5

αναγνώστης µπορεί να ανατρέξει στην Παράγραφο 5 Οι εξισώσεις (460) είναι ης τάξης και είναι συµβατές ως προς την ακρίβεια και ως προς την δοµή µε τις εξισώσεις (466) των υπολοίπων εσωτερικών κόµβων Το προς επίλυση αλγεβρικό σύστηµα απαρτίζεται από τις εξισώσεις (466) και (46) Η επίλυση ελλειπτικών εξισώσεων σε σφαιρικές συντεταγµένες ακολουθεί τους ίδιους ακριβώς κανόνες όπως στις κυλινδρικές συντεταγµένες 6