Τριγωνομετρία Κώστας Γλυκός ΙΙ Ι δδ ιι ι αα ίί ί ττ εε ρρ αα μμ αα θθ ήή μμ αα ττ αα 6 9 7.. 8 8. 8 8 Kgllykos..gr / 7 / 8 Άλγεβρα Κεφάλαιο 9 ασκήσεις και τεχνικές σε 6 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 Τα πάντα για την τριγωνομετρία Τριγωνομετρικοί αριθμοί γωνιών 95. Αν,, να βρεις τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς 5,,,,, 5 a Αν α ακτίνια και μ μοίρες : 8 96. Ομοίως αν, Τριγωνομετρικές ταυτότητες,,, 97. Ομοίως αν, 95 έως 9,, Τα παραπάνω χρησιμοποιούνται σε ασκήσεις : (π.χ.) 98. Δίνεται, Σ ή Λ Αν, τότε να 99. Δίνεται, Σ ή Λ 5. Δίνεται, Σ ή Λ. Αν 6. Ν.δ.ο... a y a y, 9 ; ημω συνω εφω 6 σφω - βρεις τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς. -
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 5. 6. 7. 8. 9. Μετατροπή τριγωνομετρικών αριθμών. Να υπολογίσεις τους τριγωνομετρικούς αριθμούς : ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ). ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ). ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ). ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ). (5 ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ),, 5. Ν.δ.ο. ισχύουν οι σχέσεις : 6. Ν.δ.ο. 7. Αν y, y a 8. Ν.δ.ο.,,, 9. Να αποδείξεις ότι :.. Να υπολογίσεις :, H O E
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88... 5. 6. 7. 8. 9. Αν. Αν, ; 5 5,, να βρεις τους άλλους τριγωνομετρικούς αριθμούς,, 5 5. Να υπολογίσεις τους τριγωνομετρικούς αριθμούς : ημ,συν,εφ,σφ,ημ6,εφ,,,,, 5 5 5. Να υπολογίσεις :,,, 6 6. Αν,,, 8 5, να βρεις τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των 7 ο 5 8. Σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ να δείξεις ότι :, ( ) ( ) 5. Να υπολογίσεις : 7 ( ) ( )
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 6. Να υπολογίσεις ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) (7 ) 7. ήά A 7 (9 ) 8. ίόό ( ) ίόύύ 9. άύύώ έύύί. έ ( ) ( ) ( ) ( ). A, ( ) ( ) ( ) ( ) ήά (8 ) (5 ) (5 ). ήά (9 ) (8 ) ( 7). ίώ. άέ 5. a 9 675 9 675 6. ή 7. (, )... ( ) ( ) 8. Να σχεδιάσεις τις συναρτήσεις : Γραφικές παραστάσεις f ( ), g( ), h( ), k( ) 5 9. Να σχεδιάσεις τις συναρτήσεις : f ( ), g( ), h( ) 5. Ομοίως : f g h ( ), ( ), ( )
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 5. Με μία ματιά να βρεις τα μέγιστα, ελάχιστα, περίοδο των συναρτήσεων : f ( ), g( ), h( ) f :,,, g :,,, h :,, 5. Ομοίως : f ( ), g( ) 5, v( ) 5 6 f :,,6, g :,,, h :,, 5 5. Δίνεται συνάρτηση f 5 Να αποδείξεις ότι η συνάρτηση είναι περιοδική με περίοδο π Να βρεις τα σημεία τομής της με τους άξονες Να λύσεις την εξίσωση : f f 8 f a b, g a b a b, a, b, όπου έχουν την 5. Δίνονται οι συναρτήσεις ίδια μέγιστη τιμή και την ίδια περίοδο, να βρεις: α,β A f g Να λύσεις την εξίσωση : f g 55. Δίνεται η συνάρτηση f, στο διάστημα, Να βρεις μέγιστη, ελάχιστη τιμή της συνάρτησης και την περίοδο Να σχεδιάσεις τη C f Να βρεις τα σημεία τομής της C f με την ευθεία Να λύσεις την εξίσωση : f f 56. Δίνεται συνάρτηση :,, Να βρεις τη συνάρτηση 5 y f T και C f διέρχεται από το σημείο A, Να βρεις μέγιστη και ελάχιστη τιμή 5
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 Να σχεδιάσεις τη 57. Δίνεται συνάρτηση Να βρεις πεδίο ορισμού f Να απλοποιήσεις τον τύπο της συνάρτησης Να βρεις πότε η βρίσκεται πάνω από την y,, 58. Δίνεται συνάρτηση : f Να γίνει Να βρεις μέγιστη, ελάχιστη τιμή και περίοδο Να βρεις πότε f 59. Δίνεται συνάρτηση : f Να βρεις πεδίο ορισμού της C βρίσκεται κάτω από y,, Ν.δ.ο. είναι περιοδική με περίοδο π f f Να λύσεις την εξίσωση : 6. Δίνεται συνάρτηση : Να βρεις πεδίο ορισμού Να βρεις συμμετρία 7 5 Να λύσεις την εξίσωση : 6. Δίνεται συνάρτηση : f f Να παραγοντοποιήσεις τη συνάρτηση Ν.δ.ο. η βρίσκεται πάνω από τον οριζόντιο άξονα Να βρεις που τέμνει τους άξονες η C f Ν.δ.ο. είναι άρτια Ν.δ.ο. είναι περιοδική με περίοδο π Ν.δ.ο. έχει μέγιστο το f,, 6. Δίνεται συνάρτηση Να βρεις που τέμνει τους άξονες η C f 6
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 9 a a a Αν α η μεγαλύτερη ρίζα της εξίσωσης, ν.δ.ο. A 7 8 a a a f 6. Δίνεται η συνάρτηση Να βρεις πεδίο ορισμού και σύνολο τιμών της Για ποιες τιμές του παίρνει ελάχιστη τιμή Να λύσεις την εξίσωση : f 9 f f f f Ν.δ.ο. είναι ανεξάρτητη του η ποσότητα : A f f Να βρεις πεδίο ορισμού Ν.δ.ο. f Ν.δ.ο. η παρουσιάζει συμμετρία ως προς τον κατακόρυφο άξονα 6. Δίνεται συνάρτηση : f k Ν.δ.ο. f f Να λύσεις την εξίσωση : f 8 7 Τριγωνομετρικές εξισώσεις 65. Να λυθούν οι εξισώσεις :,, 66. 67. 68. 8 9 69. k 7. 5 k, k 6 6 a a 7
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 7. k, k,, 7. 7,,, 7. 7. 7 75. 76. 77. 78. 5 79. 8. 6 5 8. 8. 8. 8. 85. k k, 86. k k, 8 6 87. 88. 5 6 89. 9. 9. 8 Ανωμαλίες σε τριγωνομετρικές εξισώσεις : ΤΥΠΟΙ ΑΛΛΑΓΗΣ με τετράγωνο :,,, Χωρίς τετράγωνο :,, Με - :, ( ), ( )
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 9. 9. k, k, k 5 k, k,, 9.,, 7 9 5 7,,, 8 8 8 8 95. 5 k, k, k 6 6 96. k, k 97. k 98. k 8 99. k, k 5. k 5. k 8 5. k, k 5. 5. k k, k, k 9
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 55. k, k, k 56. 57. k, k 58. ίί k 6 59. ί k, k 5. k 5. k 5 k, 5. 5 k, k 5. k 5 5. k a 55. 5 k, k 6 6 56. 5 k, k 6 6 57. 58. ύί 5 8 8, 59.
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 5. k 5 5. 5. 5 k, k, k 8 8 5. k, k 5. k 8 55. k 56. Έστω η εξίσωση, να βρεις πότε ορίζεται η εξίσωση αυτή.να λύσεις για, k,,, t 57. Το βάθος νερού σε λιμάνι κατά της διάρκειας της ημέρας δίνεται από τύπο : ht ( ) 5 σε μέτρα 6 t, να βρεις ποια ώρα της ημέρας το βάθος του νερού είναι μέτρα, ποιο το μέγιστο και ποιο το ελάχιστο βάθος του νερού.ποια ώρα της ημέρας το νερό έχει το μέγιστο βάθος t,,5,7, ma 5, min 5, t,5 ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 5.,,, 55.,,, 56.,, 6, 57. 58.,, 59. 5.,,
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 5. 5. k,,, 5.,,, 6 5. 55.,, 56. 57.,, 58.,, 59. 5,, 5 5 5. 5.,, 6,, 5., 5, 5 5.,, 5.,, Δύσκολες 55. Να μελετήσεις της τριγωνομετρικές συναρτήσεις ως προς περίοδο, άρτια και περιττή. 56. Να σχεδιάσεις f ( ) σε διάστημα πλάτους μιας περιόδου και την ίδια σε πλάτος π. 57. Αν f( ) να βρεις : μέγιστο, ελάχιστο,περίοδο και γραφική παράσταση,, 58. Να μελετήσεις τη συνάρτηση f ( ) 59. Να βρεις τη χρονική στιγμή όπου η συνάρτηση Άρτια συμμετρία Περιττή συμμετρία ( t) t παίρνει την τιμή /8 χχ Αρχή των αξόνων
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 5, 8 8 5. Να βρεις τα εύρος της συνάρτησης y=ημt 6 5. Η θερμοκρασία σε πλανήτη t ώρες μετά τα μεσάνυχτα t δίνεται από τύπο ( t), t,.να βρεις το κ αν στις 8 το πρωί η θερμοκρασία είναι 5.Πότε έχει ελάχιστη θερμοκρασία ο πλανήτης και ποια η μέγιστη θερμοκρασία του. k, t 8, t 6 min ma 5. Να λυθεί η εξίσωση :,,. Να παραστήσεις τη λύση σε τριγωνομετρικό κύκλο και να βρεις το είδος και το εμβαδό του σχήματος που δημιουργείται. E Περιοδική f ( T) f ( ) Άρτια f ( ) f ( ) Περιττή f ( ) f ( ) 5. Αν f ( ), να βρεις πότε η f παίρνει τη μέγιστη και ελάχιστη τιμή. 5. Να βρεις για ποιο χ η ποσότητα, έχει τη μέγιστη τιμή. 55. Δίνεται συνάρτηση f a b, a, η οποία έχει μέγιστο το και η κατακόρυφο άξονα στο Να βρεις α,β Να βρεις που τέμνει η τους άξονες τέμνει τον Ν.δ.ο. f f Να λύσεις την εξίσωση : f 6 f,, 56. Δίνονται οι συναρτήσεις : f, g 8 Ν.δ.ο. οι συναρτήσεις έχουν την ίδια περίοδο Να βρεις τα σημεία τομής των C f, C Ν.δ.ο. f f f f Να υπολογίσεις : 57. Δίνεται συνάρτηση f g g 6 f a b, όπου η C f διέρχεται από A,, B,
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 Να βρεις τα α,β Να βρεις μέγιστη και ελάχιστη τιμή και περίοδο Να γίνει η Να λύσεις : f Να υπολογίσεις : 58. Δίνεται συνάρτηση Ν.δ.ο. είναι περιοδική 5 7 9 f f f f f f Ν.δ.ο. κανένα σημείο της Να βρεις τα σημεία της Να λύσεις : f f δεν βρίσκεται κάτω από τον οριζόντιο άξονα, στο 59. Δίνεται συνάρτηση Ν.δ.ο. είναι περιοδική Ν.δ.ο. η με τεταγμένη f έχει ελάχιστο το Να βρεις τα κοινά σημεία της Να βρεις τα κοινά σημεία της 8 Να λύσεις : f f,, 55. Δίνεται συνάρτηση f Να βρεις πεδίο ορισμού Να γίνει η με τον οριζόντιο άξονα Να υπολογίσεις Να λύσεις την εξίσωση : με τη C, g g f 55. Το βάθος του νερού σε μέτρα κάτω από γέφυρα της Χαλκίδας δίνεται από τη συνάρτηση : t f t, t, σε ώρες. Να βρεις περίοδο συνάρτησης Να βρεις μέγιστο και ελάχιστο βάθος νερού και σε ποια ώρα Αν το ύψος της γέφυρας από πυθμένα θάλασσας είναι μ, να εξετάσεις αν ένα σκάφος ύψους 8μ από την επιφάνεια της θάλασσας μπορεί να περάσει κάτω από τη γέφυρα στις το μεσημέρι Να βρεις το βάθος του νερού πμ και 5μμ. Ποιες άλλες ώρες της ημέρας το νερό θα έχει το ίδιο βάθος
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 t 55. Οι μηνιαίες πωλήσεις προιόντος σε χιλιάδες κομμάτια δίνονται από τύπο : t ( ) 75 5, όπου 6 to χρόνος σε μήνες. 55. Αν 55. Αν Να βρεις σε πόσους μήνες θα έχω πωλήσεις. Να βρεις τις μέγιστες πωλήσεις. Να βρεις το μήνα με τις μέγιστες πωλήσεις. t,5, ma 5, t,, να υπολογίσεις την παράσταση : 5,, να βρεις το συνχ 555. Ν.δ.ο. 556. Ν.δ.ο. 557. Ν.δ.ο. 558. Να υπολογίσεις την τιμή της παράστασης : a b 559. Να υπολογίσεις (5 ) ( ) 7 ( ) ( ) 56. Να βρεις μέγιστο, ελάχιστο και περίοδο με μία ματιά στις συναρτήσεις : f ( ), g( ), h( ) ( ) f :,,, g :,,, h :,, 56. Να σχεδιάσεις τις συναρτήσεις : y, y ΝΑ ΛΥΘΟΥΝ ΟΙ ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 56. 6 k, k 6 56. 5
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 k 56. 5 5 k, k 6 565. 566. 567. 568. 569. 57. 57. 57. 57., 9, 7 57. 575. 576. 577. 6 5 ( ) 578. 579. 58. ( ) 58., 58. 58. Να λυθούν οι τριγωνομετρικές εξισώσεις : 58. 585. 586. 6
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 587. 588. 589. 59. 5 7 8 9 59. Να βρεις τη σχέση των α,β αν γνωρίζεις ότι οι συναρτήσεις έχουν την ίδια περίοδο : f ( ) a, g( ) b 59. Να βρεις τις τιμές του χ ώστε 59. Να λυθεί η εξίσωση : 59. Να συγκρίνεις, &, 595. Δίνεται η συνάρτηση 5 f ( ) a με μέγιστη τιμή το 596. Σε τρίγωνο ΑΒΓ με γωνίες Α<Β<Γ=Α, ισχύει τις γωνίες του και ν.δ.ο. 7. Να βρεις τη γωνία α., να βρεις το είδος του τριγώνου ως προς Τριγωνομετρικοί αριθμοί αθροίσματος γωνιών 5 5 597. Υπολόγισε : 598. Υπολόγισε : 65 5 65 5 599. Υπολόγισε : a 6. Υπολόγισε : 65 5 5 65 7 a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b ab ab ab ab ab
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 6. Ν.δ.ο. 6. Ν.δ.ο. 9 9 6. Υπολόγισε : 6. Ν.δ.ο. ( ) ( ) 65. Αν ( ), να αποδείξεις ότι : ( ) 66. Να λύσεις την εξίσωση : 67. Ν.δ.ο. 68. Αν 69. Να υπολογίσεις την τιμή της παράστασης : 57 6. Ν.δ.ο. 5 6. Ν.δ.ο. 6. Ν.δ.ο. 6. Ν.δ.ο. ( ) ( ) 6. Ν.δ.ο. 65. Ν.δ.ο. y y 66. Δίνεται 67. Δίνεται y, y ; y 6, y ; 5 8
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 68. Δίνονται y k y m y, ; 69. Αν a b a b, να αποδείξεις ότι : a b a b 6. Ν.δ.ο. 5 5 y 5 5 y y a b a b a b 6. Ν.δ.ο. 6. Αν ab c 9, να αποδείξεις ότι : ab a c b c 6. Αν ab c 9, να αποδείξεις ότι : ab c b c 6. Να λυθεί η εξίσωση : 65. Ν.δ.ο. 66. Ν.δ.ο. 67. Αν, να λυθεί στο διάστημα [,π] η εξίσωση : 68. Ν.δ.ο. Τριγωνομετρικοί αριθμοί διπλασίου τόξου 69. Υπολόγισε : 6. Υπολόγισε : 6. Υπολόγισε : 5 5 8 5 a a a a a a a a a a a a a,5 6. Υπολόγισε :,5 9 a a a a a a a
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 6. Ν.δ.ο. 6. Ν.δ.ο. 65. Ν.δ.ο. 66. Ν.δ.ο. 67. Ν.δ.ο. 68. Να λύσεις την εξίσωση : 69. Αν,,, ; 7,, 9 9 7 6. Ν.δ.ο. 6. Ν.δ.ο. 6. Ν.δ.ο. 8 6. Ν.δ.ο. 6. Ν.δ.ο. 65. Ν.δ.ο. 66. Ν.δ.ο. 67. Να λυθεί η εξίσωση : 5 68. Να λυθεί η εξίσωση : 69. Να λυθεί η εξίσωση : 65. Να λυθεί η εξίσωση : 65. Να λύσεις την εξίσωση :
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 65. Να λύσεις την εξίσωση : 65. Να λύσεις την εξίσωση : 65. Ν.δ.ο. 655. Ν.δ.ο. 656. Να βρεις τριγωνομετρικούς αριθμούς της γωνίας : 657. Να λυθεί η εξίσωση : :, Επαναληπτικές δύσκολες f 658. Δίνεται συνάρτηση, Ν.δ.ο. f f 8 f Ν.δ.ο. η παράσταση τιμή Ν.δ.ο. f f y f f y f Να λύσεις την εξίσωση : έχει σταθερή f 659. Δίνεται συνάρτηση, Ν.δ.ο. η συνάρτηση είναι περιοδική με περίοδο π Ν.δ.ο. f C, C, g Να σχεδιάσεις στο ίδιο σύστημα αξόνων : Να λύσεις την εξίσωση : f g
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 Ν.δ.ο. f f f 66. Δίνεται συνάρτηση f Να βρεις το Ν.δ.ο. Αν Αν A f f f f f f 6 6 f, ; f 5 ; 66. Δίνεται συνάρτηση, Ν.δ.ο. f 5 Να λύσει την εξίσωση : f f Να βρεις την περίοδο της g f Να σχεδιάσεις στο ίδιο σύστημα αξόνων C, C,, f Ν.δ.ο. f Δίνεται τρίγωνο ΑΒΓ με A,, ν.δ.ο. f A f f 66. Αν εφα,εφβ οι ρίζες της εξίσωσης : a b f g ; 66. Να λύσεις το σύστημα : y y 66. Να λύσεις την εξίσωση : 6 665. Ν.δ.ο. 5 5 666. 667. Να λυθεί η εξίσωση :
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88 668. Ποιο το είδος του τριγώνου ΑΒΓ όπου : 669. Ποιο το είδος του τριγώνου ΑΒΓ όπου : 67. Να λυθεί η εξίσωση : 67. Αν σε τρίγωνο ΑΒΓ ισχύει : A A B 9 67. Ν.δ.ο.σε κάθε τρίγωνο ΑΒΓ : 67. Ν.δ.ο. 5 67. Ν.δ.ο. 6 675. Ν.δ.ο. 676. Να λύσεις εξίσωση : 677. Να λύσεις εξίσωση : 678. Να λύσεις την εξίσωση : 679. Ν.δ.ο. 68. Να λύσεις την εξίσωση : 8
τηλ. Οικίας : -6.78 κινητό : 697-.88.88