Πολυώνυμα Κώστας Γλυκός Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 66 99 77... 00 00... 88 88... 88 88 Kgllykos..gr 1 0 / 1 / 0 1 8 Άλγεβρα Κεφάλαιο 4 174 ασκήσεις και τεχνικές σε 1 σελίδες εκδόσεις Καλό πήξιμο
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Τα πάντα για τα πολυώνυμα 908. Δίνονται τα πολυώνυμα Πολυώνυμα P( ) 5, Q( ) 1 P( ) Q( ) ;, P( ) Q( ) ; P( ) Q( ) ;, P ( ) ; 909. Να βρεις τα α,β,γ,δ ώστε να είναι μηδενικό το πολυώνυμο : 910. Αν a 1, b 0, c 1, d 1 P( ) ( 1) ( 1) ( ) P Q P Q ( ) ( ) 1, ( ) ( ) ( ), ( ) ( ),, ; P( ) a 4a 4a a 911. Να βρεις το βαθμό του, 4:, 0:1 91. Αν το πολυώνυμο έχει ρίζα το 91. Αν 1, ( ) ( ) 4 5 ( 4 ) 1 ; P a a a a 8 a P P a a a a a 1 4 (1) 5, ( ) ( ) 5 ( 4 ) 1 ; 914. Αν a 1 1,,, ; a 1, b, c 1 P( ) a b a b a 4 b a, b ; 915. Αν το πολυώνυμο έχει ρίζες τα,-, a0, b 0 P Q P Q a ( ) ( ), ( ) 511 19, ( ) 5,, ; 916. Αν Βαθμός πολυωνύμου :κοίταξε τη μεγαλύτερη δύναμη του χ, η οποία έχει συντελεστή διάφορο του μηδέν. Τι βαθμού είναι το πολυώνυμο P a a a a : ( ) ( 1) ( 1) είναι ου βαθμού εκτός αν α-1=0 δηλαδή α=1 οπότε θα πρέπει να αντικαταστήσεις όπου α=1 για να δεις τι βαθμού είναι. P( ) a να Αν βρεις πότε είναι βαθμού : ου : a 0, 0, ου : 0 1 ου : 0, 0, 0ου: 0, 0 χωρίς βαθμό : 0 a 1, b, c 1
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 917. Αν f g h f g h m m ( ) 8, ( ), ( ), ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ; 918. Αν 4 m f g h a b f g h a b ( ) 4 1, ( ) 4 1, ( ), ( ) ( ) ( ), ; a1, b 1 919. Να γράψεις το a, b 14, c 14 90. Να γράψεις το a 0, b 1, c, d 1 91. Αν P( ) 11 6 στη μορφή a( 1)( ) ( 1) P( ) 1 στη μορφή a ( 1) ( 1)( ) ( 1)( )( ) a 1 ( ),, ; a, b, c 9. Να βρεις τα α,β,γ,δ ώστε : 4 1 a 9. Να γράψεις το 4 ως γινόμενο δύο δευτεροβάθμιων πολυωνύμων 1 a 4 4 94. Να βρεις τα α,β,γ ώστε : Μηδενικό πολυώνυμο το P ( ) 0 Μηδενικού βαθμού ή σταθερό : P( ) a, a 0 95. Ν.δ.ο. είναι σταθερό το P a ( ) ( ) ( ) ( ) 96. Να βρεις τα α,β ώστε να είναι ανεξάρτητο του χ το κλάσμα : b a a b a (5a b 1) 4a 0 P( ) : P( ) 4 1 9 97. Να βρεις το, 98. Να βρεις το ( ) : P( ) 4 1 1 4 P 4 P( ) : P( ) 8 1 6 1 99. Να βρεις το 90. Ν.δ.ο. γράφεται ως τέλειο τετράγωνο το P 4 ( ) 4 10 1 9 91. Δίνονται τα πολυώνυμα P Q P Q P Q P Q P ( ), ( ) 1 ( ) ( ) ; ( ) ( ) ;, ( ) ( ) ;. ( ) ; 9. Να βρεις την τιμή του α ώστε το πολυώνυμο P( ) ( a ) ( a a ) a 4 να είναι το μηδενικό a 9. Ν.δ.ο. το πολυώνυμο είναι διάφορο του μηδενικού : P a b a b ( ) ( ) ( 6)
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 94. Να βρεις τις τιμές των a, b, c : P( ) a ( a b) c b, Q( ) ( c a) 4 a b να είναι ίσα a 6, b, c 1 95. Να βρεις το α ώστε το a 8 96. Να βρεις το πολυώνυμο Κ(χ) ώστε : P να πάρει μορφή a( ) ( )( 9) ( ) 9 8 7 4 K ( ) 4 4 97. Να βρεις πολυώνυμο δευτέρου βαθμού ώστε να ισχύει : P 1 P 98. Να βρεις τα πολυώνυμα P, Q : P Q PQ σταθερά 99. Ν.δ.ο. για κάθε α το πολυώνυμο δεν έχει ρίζα το 940. Να βρεις το πολυώνυμο 1, ( ) ( 1) ( ) 5 P a a a P P 5 4 ( ) : 1 ( ) 941. Δίνεται το a P P a a ( ) 5, ( 1) 1 ; Διαίρεση πολυωνύμων 94. Να γίνουν οι διαιρέσεις : 5 11 4 1 5 : 5 4 1 6 4 19 15 6 : 4 5 1 : 1 6 1 : 1 : 1 Ταυτότητα της διαίρεσης : πολυώνυμο P(), διαιρέτης το δ(χ), πηλίκο το π(χ) και υπόλοιπο το υ(χ) τότε : P()=δ(χ)π(χ)+υ(χ), όπου ο βαθμός του υπολοίπου μικρότερος του βαθμού του διαιρέτη. 4 : ( 1) 94. Αν P P 944. Αν ( ) 5 4 ( ) : ; f f f f ( ) ( ) ( 1) : (1 ) ; 945. Να γίνουν οι διαιρέσεις : a 5a a : a a
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 a : ( a) 6 6 946. Με τη χρήση του Horner να γίνουν οι διαιρέσεις : 5 6 1 : ( ) 8 1 : ( 1) Τέλεια διαίρεση : το υ(χ)=0 947. Αν 1 : a 5 a : ( a) 4 4 P P P 5 4 ( ) 50 70 60 40 07 (10), ( 1) ; a : ( ) 948. Να βρεις το α ώστε η διαίρεση να είναι τέλεια, a P( ) a 1 5a 6 a 1 949. Να βρεις το α ώστε το χ+1 να είναι παράγοντας του : 4 a 9 950. Να βρεις το α ώστε το υπόλοιπο της διαίρεσης να είναι 5. ( a 1) (5a ) 7 :( ) 4 a 6 P( ) a 4 a ( a ) είναι πρώτου βαθμού, να βρεις το α 951. Αν το 95. Αν a P a a a a είναι σταθερό, να βρεις το α. ( ) ( 4) ( ) ( ) 8 P( ) a 1 a a a 1, να βρεις το βαθμό του 95. Αν 954. Αν a 0 P a Q a a P Q a 955. Αν 956. Αν 957. Αν ( ) 6, ( ) 6, ( ) ( ) ; 6 4 P P 1 ( ) 5 8 ( ) ; P( ) a ( a), Q( ) ( ) 4 a, να βρεις α,β,γ ώστε να είναι ίσα a 6, b, c 1 P( ) ( a ) ( 6) a b, να βρεις τα α,β ώστε να είναι μηδενικό a, b 4
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 958. Αν P Q a, να βρεις το α ώστε να είναι ( ) 9 8 7, ( ) ( ) ( )( 9) ίσα 959. Αν 960. Αν a 8 P Q P Q 4 ( ) 4 4, ( ) ( ) ( ) ; P P a a ( ) 5, ( ) 1 ; a 4, 961. Ν.δ.ο. αν το πρώτο πολυώνυμο έχει ρίζα το -1 τότε το ίδιο ισχύει και για το δεύτερο, όπου P( ) ( a 1) a, Q( ) 4 ( a 1) 96. Να αποδείξεις ότι το διαιρεί το πολυώνυμο g ( ) * P( ) 1 1, 96. Να αποδείξεις ότι το g ( ) P( ) 1 1, διαιρεί το πολυώνυμο * 1 1 964. Να βρεις τα α,β ώστε το P( ) a 1 b να διαιρείται με το 965. Να αποδείξεις ότι οι καμπύλες της μορφής : σταθερό σημείο 966. Να αποδείξεις ότι οι καμπύλες σημείο 967. Να αποδείξεις ότι οι καμπύλες σημεία A B 968. Να βρεις τα Α,Β : 7 1 4 1 A B 969. Να βρεις τα Α,Β : 4 1 A B 970. Να βρεις τα Α,Β : 1 1 A B C 971. Να βρεις τα Α,Β,C : 1 1 k 1 k 1 y 4k 0, k διέρχονται από k k 1 k k y k 1 0, k διέρχονται από σταθερό k 1 k 1 y k 0, k διέρχονται από δύο σταθερά Ρίζα, παράγοντας πολυωνύμων α είναι ρίζα Pa ( ) 0 α ρίζα ( a) παράγοντας P() διαιρείται με χ-α το α ρίζα, το χ-α παράγοντας 5
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 97. Να βρεις α,β ώστε να είναι παράγοντες τα a, b 1, του P a b a b b b ( ) ( ) ( 5 ) 6 1 97. Αν P a έχει παράγοντες τα 1, 1, 1,, ; 4 ( ) a 5, b 5, c 5 974. Να εξετάσεις αν έχει πρωτοβάθμιο παράγοντα το P 6 4 ( ) 975. Να βρεις το πολυώνυμο όπου όταν διαιρεθεί με 1, δίνει πηλίκο χ-1 και υπόλοιπο χ+5 4 976. Να βρεις τα a, b : P( ) 1, Q( ) a b, η διαίρεσή τους αφήνει υπόλοιπο 0 a, b 1 977. Να βρεις τα α,β ώστε το P u P a b ( ) : 6 0, ( ) 4 5 11 a, b P( ) a a a 1 (4a 1) δια 978. Ν.δ.ο. το υπόλοιπο της διαίρεσης είναι ανεξάρτητο του α : χ+ 979. Ν.δ.ο. αν το P ( ) 980. Να βρεις τα α,β ώστε το έχει παράγοντα το χ-5 τότε το πολυώνυμο P() έχει παράγοντα το χ-4 P a b ( ) ( 1) 5 έχει παράγοντα το 1 7 a, b 981. Να βρεις τα α,β ώστε το να έχει παράγοντα το P a b ( ) ( ) 10 a5, b P( ) :( ) u 10, P( ) :( ) u 5, P( ) : u ; 98. Το P( ) :( 1) u, P( ) :( ) u 8, P( ) : u ; 98. Το 984. Αν ν άρτιος φυσικός, ν.δ.ο. το χ+1 διαιρεί το 1 985. Πότε το χ+1 είναι παράγοντας του 1 : ό 986. Αν ν είναι παράγοντας του μ, ν.δ.ο. 1 είναι παράγοντας του 1 987. Ν.δ.ο. το 16 διαιρεί το 17 1 Ο αριθμός α καλείται ρίζα του πολυωνύμου αν το Pa ( ) 0. Το πολυώνυμο για το χ= έχει τιμή 5 : P() 5,δηλαδή βάλε όπου χ το και το αποτέλεσμα ίσο με 5 988. Ν.δ.ο. το 15 11 1 είναι πολλαπλάσιο του 1 6
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 989. Αν χ+ είναι παράγοντας του P() τότε ν.δ.ο. το χ-1 είναι παράγοντας του P(-5) 990. Ν.δ.ο. οι διαιρέσεις f ( ):( ), f (4 6):( 1) έχουν το ίδιο υπόλοιπο 991. Αν P( ) :( 1) τότε να βρεις το υπόλοιπο της f f P ( ) :( ), ( ) ( 5) 1 99. Να βρεις τα α,β αν το χ- είναι κοινός παράγοντας των : a1, b 10 P a b Q a b ( ) 6, ( ) 4 1 99. Ν.δ.ο. το 4 είναι παράγοντας του P 5 4 ( ) 6 14 11 994. Να βρεις τα α,β ώστε το να διαιρείται με το 1 P( ) a b a, b 995. Να βρεις τα α,β ώστε το P a b να έχει παράγοντα το 1 ( ) 1 1 P 1 1 1 996. Να αποδείξεις ότι το διαιρείται με το 997. Δίνονται P 1, Q PP( ) P, να αποδείξεις ότι το 1 Q ( ) a b : 1, 1 998. Να βρεις τα α,β ώστε να είναι τέλεια η διαίρεση P είναι παράγοντας του 999. Αν ποιο το πηλίκο ; a 1, b P( ) 1, *, ν.δ.ο. είναι τέλεια η διαίρεση να βρεις το πηλίκο και να δείξεις ότι P( ) 0, 0 1000. Να βρεις τα α,β ώστε το P( ) : ( 1), P a b να έχει παράγοντα το 4 ( ) 5 1 Το P() έχει ρίζα το τότε P()=0 Horner με, υ=0 Διαίρεση χ-,υ=0 Το P() έχει παράγοντα χ+ τότε : P(-)=0 Horner με -, υ=0 Διαίρεση χ+,υ=0 1 a 6, b 1 1001. Ποια θα ήταν τα α,β αν στην παραπάνω άσκηση, ο παράγοντας ήταν a 0, b 5 1 100. Οι διαιρέσεις ενός πολυωνύμου f() με τα χ-,χ+5 αντίστοιχα δίνει υπόλοιπο,-7. Να βρεις το υπόλοιπο της διαίρεσης f ( ) :( )( 5) P( ):( 1), P( ):( ) 1, P( ): ; 100. Αν 7
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 1004. Αν 1 5 4 P( ) a b 5 7 1, Q( ), P( ): Q( ) ( ) 5, να βρεις τα α,β 1005. Να βρεις τα α,β ώστε το 6 να διαιρεί το Το P() έχει παράγοντα το (χ-1)(χ+) f ( ) a 1 b 1006. Να βρεις τα α,β ώστε το P a b να 5 4 ( ) 4 8 8 P(1)=0,P(-)=0 Hornerμε 1,υ=0 και με -,υ=0 Διαίρεση με, 0 διαιρείται με 4 4 1007. Αν α+β+γ=0 με P( ) a, ν.δ.ο. το P() διαιρείται με -1. Να βρεις το πηλίκο π(). Να βρεις το υπόλοιπο της διαίρεσης του π() με -1 * 1008. Αν P( ) 1 1,, ν.δ.ο. διαιρείται με 1009. Αν πολυώνυμο με βαθμό, a, b, a b, ν.δ.ο. το υπόλοιπο της διαίρεσης P( ) : a b ( ) f ( a) f ( b) af ( b) bf ( a) a b a b είναι 1010. Για πολυώνυμο βαθμού ου και άνω ν.δ.ο. P( ) : ( ) P() P(1) P(1) P() 1011. Ένα πολυώνυμο P( ) : 1, P( ) : 11, P( ) : 6, να βρεις το υπόλοιπο της διαίρεσης του P( ) : 1 101. Ποιο το υπόλοιπο της διαίρεσης του 1 1 : 101. Να κάνεις τις διαιρέσεις : 5 9 : 1 4 7 15 : 5 1014. Αν ( ) : 1. f έχει πηλίκο 5χ-1 και υπόλοιπο χ+, να βρεις τη συνάρτηση Το P() έχει παράγοντα το 5 6 P()=0,P()=0 Horner με,,υ=0 Διαίρεση με 5 6, υ=ο Το P() έχει παράγοντα το Horner με το,υ=0 και στο πηλίκο ξανά Horner με, υ=0 Διαίρεση με Το P() έχει παράγοντα το 6 9, υ=0 Το μόνο που μπορείς να κάνεις 1 και το είναι διαίρεση με υπόλοιπο να απαιτήσεις να είναι 0. Κουράγιο Προσοχή το ίδιο θα γινόταν αν στις εκφωνήσεις αντί για παράγοντα ζητούσα να διαιρείται το πολυώνυμο με την αντίστοιχη ποσότητα. 1 8
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 1015. Αν η διαίρεση 4 1: a b δίνει υπόλοιπο 0, να βρεις τα α,β 1016. Αν P a b διαιρείται με χ+1 και για χ= έχει τιμή 8, να βρεις τα α,β ( ) 4 1017. Αν 1018. Αν 1019. Αν 100. Αν 5 4 a, b P ( ) έχει παράγοντα το χ-, ν.δ.ο. το P( ) a 1 b a1, b 14 διαιρείται με P a b ( ) ( 1) 5 7 11 a, b P(1) έχει παράγοντα το χ-5 6, να βρεις τα α,β έχει παράγοντα το 1 P a b έχει παράγοντα το ( ) ( ) 10 a, b 11 101. Αν P( ):( ) 10, P( ):( ) 5 a 1, b 8, να βρεις τα α,β ( 1), να βρεις το υπόλοιπο του P( ) : Εξισώσεις - Ανισώσεις 10. Να λύσεις τις παρακάτω εξισώσεις : 4 7 5 6 0, 7,, 0 7 a : 0,,, b : 0,, c : 0, 1, d : 1, 10. Να λύσεις τις εξισώσεις : 8 0 4 4 11 0 5 5 16 40 0 5 a : 4, b :..., c :, 104. Να λύσεις τις ανισώσεις : 1 8 7 9
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 105. Αν 4 5 6 a : 0, 6,, b :,, c :,, P ( ) να λύσεις την ανίσωση P 1 P( ) 106. Να λύσεις τις εξισώσεις : Να λυθεί η εξίσωση P()=0 : 0 0 15 9 0 a : 1, b :1,, c :1,7 40 107. Να λύσεις τις εξισώσεις : 5 9 0 8 1 0 6 1 8 0 a : 1,, b:, c : 108. Να λύσεις τις ανισώσεις : 17 15 4 10 4 16 0 5 4 1 6 0 a :, 5 1,, b :,, 4,, c :,, 109. Να εξετάσεις αν έχουν ακέραιες ρίζες οι εξισώσεις : Βρίσκω τους διαιρέτες του σταθερού όρου και κάνω Horner με καθέναν από αυτούς μέχρι να πετύχω τον πρώτο που δίνει υ=0. Συνεχίζω την ίδια διαδικασία με το πηλίκο. Προσοχή αν δεν υπάρχει σταθερός όρος τότε βγάλε κοινό παράγοντα το χ και επανέλαβε την διαδικασία. Ιδέες : Αν το άθροισμα συντελεστών των δυνάμεων του χ είναι 0 τότε κάνε Hornerμε το 1. Αν όλοι οι συντελεστές είναι θετικοί τότε κάνε Hornerμόνο με αρνητικούς αριθμούς. ΠΑΡ : πιθανές ακέραιες ρίζες : οι διαιρέτες του σταθερού όρου. ΠΡΡ : πιθανές ρητές ρίζες : τα κλάσματα που έχουν τη μορφή : έ ύ έ ά 4 0 4 0 8 8 1 0 100. Να βρεις τα διαστήματα όπου η γραφική παράσταση είναι πάνω από χχ :,1, f ( ) 7 6 101. Να βρεις τα διαστήματα όπου η γραφική παράσταση της την γραφική παράσταση της g( ), 1, f βρίσκεται πάνω από 4 ( ) 6 10
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 10. Ποια τα σημεία τομής των συναρτήσεων : f ( ) 84 5, g( ) 14 54 4 7 77,4, 10. Ποια τα σημεία τομής των συναρτήσεων : 4 f ( ) 6, g( ) 10 5 104. Να βρεις την τιμή του α ώστε η εξίσωση να έχει τουλάχιστο μία ακέραιη ρίζα : 4 5a 0 105. Να λύσεις τις εξισώσεις : 8 7 0 6 5 4 0 6 9 5 4 1 0 a:1,, c: 1 106. Να λύσεις τις εξισώσεις : Να λυθεί η ανίσωση P()>0, P()<0 Λύνεις την εξίσωση P()=0 και μετά κάνεις πινακάκι επιλέγοντας τις περιοχές με + (>0) ή με (<0). Παγίδες : το πρόσημο ξεκινά από δεξιά και αλλάζεις κάθε φορά που συναντάς ρίζα (κυκλάκι).το νου σου, αν έχεις διπλή ρίζα δεν αλλάζεις πρόσημο. 17 16 0 8 4 6 1 9 1 8 0 Προσοχή : P ( ) 0 P( ) Q( ) 0 Q ( ) : 1,, : 1, 107. Να λύσεις τις εξισώσεις : 1 4 4 1 5110 a:, b:1,5, 108. Να λύσεις τις εξισώσεις (αντίστροφες) : 4 4 1 0 4 5 7 5 0 5 a : 1,, b : 109. Να λύσεις τις εξισώσεις : 4 0 1 1 6 6 4 a: 1,, b: 1, 8 11
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 1040. Να λυθούν οι εξισώσεις : 9 8 0 6 6 9 8 0 8 4 4 0 1 a : 1,, b :1, 4, 1041. Να λυθούν οι εξισώσεις : 1 1 5 6 0 1 5 0 1 a : 1,, b : 104. Να λυθούν οι εξισώσεις : 1 1 1 5 5 0 4 1 6 1 7 0 Προσοχή σε εξισώσεις Άρρητες (περιορισμοί και τρόπος επίλυσης) Μορφές που επαναλαμβάνονται : Θέτω Αντίστροφες εξισώσεις 44 a :, b : k, c : k, k 4 104. Να λύσεις τις κλασματικές ανισώσεις : 4 0 5 4 1 1 7 71 0 0 1 4 1 1044. Να λυθούν οι εξισώσεις 4 1 0 1
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 4 0 1045. Να λύσεις τις εξισώσεις : 15 6 6 5 5 10 1046. Να λυθούν οι εξισώσεις : 16 4 1 1 a :, b :, c : 1047. Να λυθούν οι εξισώσεις : 87 4 4 4 4 1 Το πολυώνυμο P()τέμνει άξονες : για βάζω όπου y=0 και βρίσκω το, για yy βάζω όπου =0 y. 1048. Να λύσεις τις εξισώσεις : 6 4 1049. Να λύσεις τις ανισώσεις : 1 1 Να βρεις πότε η γραφική παράσταση του P() : 6 6 1050. Να λύσεις τις εξισώσεις (αντίστροφες) : βρίσκεται πάνω από : λύσε την P()>0 βρίσκεται κάτω από : λύσε την P()<0 βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της Q() : λύσε την ανίσωση P()>Q() 4 5 8 5 1 0 1
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 5 4 4 4 1 0 1051. Να λυθούν οι εξισώσεις και ανισώσεις : 6 6 1 5 1 1 105. Να λύσεις τις εξισώσεις και ανισώσεις : 8 7 0 4 5 6 0 0 5 9 4 4 6 9 8 0 6 6 9 8 0 8 4 4 0 1 1 5 6 0 105. Να λυθούν οι ανισώσεις : 0 5 9 4 6 4 a : 1,1,, b : 1,, c :,1, 1054. Να λυθούν οι εξισώσεις : 9 8 0 6 6 1055. 9 8 0 8 4 4 0 14
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 1056. 1057. 1058. 1059. 1 5 0 1 1 5 6 0, 1 1 1 5 5 0 4 1060. 1 6 1 7 0 1061. 4 1 0 106. 4 106. 0 1064. 1065. 1066. 16 4 1067. 1 1 1068. 87 4 1069. 1070. 4 4 4 1 6 6 1 1071. 5 107. 1 107. 1 1074. Περίεργα θέματα Δίνεται το πολυώνυμο Τι βαθμού είναι το πολυώνυμο P P με παράγοντες : a, b, a, b. Να βρεις την τιμή της παράστασης apa bpb 15
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Να δείξεις ότι το πολυώνυμο Q( ) P( ) P ( ) έχει ως παράγοντες όλους τους παράγοντες του P Αν το P είναι 4 ου βαθμού να βρεις τα σημεία τομής με τον χχ. P 6 5 0 6 διαιρούμενο με το πολυώνυμο Το πολυώνυμο 5 4 Q ( ) δίνει πηλίκο 5 και υπόλοιπο u ( ). Να προσδιορίσετε τα Q ( ) και u ( ). P 10 7 διαιρούμενο με το k αφήνει υπόλοιπο 6.Να βρεις το k Το 4 Δίνεται το πολυώνυμο P( ) 10 0 0 0 0 Τι βαθμού είναι Ποιες οι ρίζες της εξίσωσης P ( ) 0 Ποιες οι ρίζες της εξίσωσης P( ) 10 Να λυθεί η ανίσωση P ( ) 0 Δίνονται οι εξισώσεις 019 a b b 8 0, 9 0 οι οποίες έχουν κοινή ακέραια αρνητική ρίζα.να βρεις τα α, β. Να βρεις το υπόλοιπο της διαίρεσης 019 018... 1 : 1 Να δείξεις ότι το P 1 1έχει παράγοντες όλους τους παράγοντες του 5 4 Για ποιες τιμές των α,β το έχει παράγοντα το 1 P a b Έστω πολυώνυμο P ( ). Να δείξεις ότι οι διαιρέσεις 1 1 P( ) :, P 1 : 1, P : έχουν το ίδιο υπόλοιπο. 1 Για ποιες τιμές των α,β το έχει παράγοντα το 1 P b a Ν.δ.ο. η εξίσωση 00 k 0, k δεν έχει ακέραιες ρίζες. Να λυθεί η εξίσωση 4 6 5 6 5 6 0 Αν το πολυώνυμο P έχει παράγοντα το 5, ν.δ.ο. το P έχει παράγοντα το 4 Δίνεται το P( ) 4 4, ν.δ.ο. το χ=1 είναι ρίζα του πολυωνύμου. Να βρεις το πηλίκο του πολυωνύμου διά χ-1. 16
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Να λύσεις την εξίσωση : Να λύσεις την ανίσωση : 4 4. P ( ) 0 Δίνεται το πολυώνυμο P a b b. Αν το 1 είναι ρίζα και το υπόλοιπο ( ) ( 1) 6 της διαίρεσης με το χ+1 είναι ίσο με το ν.δ.ο. α=,β=4. Να λύσεις την ανίσωση P ( ) 0 Έστω πολυώνυμο P k. ( ) 1 Να βρεις το κ ώστε το πολυώνυμο διαιρούμενο με το χ-κ να αφήνει υπόλοιπο κ. Να λύσεις την ανίσωση P ( ) 1. P( ) : 1 u, P( ) : 1 u 6, P( ) : 1 u ; Το Να λύσεις τις εξισώσεις : 4 5 4 5 5 1 0, 4 4 0 Δίνεται πολυώνυμο P( ) a b 6, το οποίο όταν διαιρεθεί με το, αφήνει υπόλοιπο 0 και όταν διαιρεθεί με το 1 αφήνει υπόλοιπο -1. Να γραφεί η ταυτότητα διαίρεσης του P( ) : 1 Να λυθεί η ανίσωση P( ) 4 8. Έστω πολυώνυμο με παράγοντα το P a b ( ) ( 1).Αν P1( ), P( ) το πηλίκο των διαιρέσεων του πολυωνύμου με P ( ) 8 P ( ) 0 1 Θεωρούμε το P( ) ( a ) (a ) a, αντίστοιχα, να λυθεί η εξίσωση :,Να σχηματίσεις το πολυώνυμο Να βρεις τις τιμές του για τις οποίες το Qa να είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Ν.δ.ο. οι τιμές του είναι ρίζες του P Q a. 17
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Θέματα από ΒΛ για τη ΓΛ Το νου σου : Πεδία ορισμού : Κλάσμα : ο παρανομαστής διάφορος του 0 Ρίζα : το όρισμά της μεγαλύτερο ή ίσο με το 0 Λογάριθμος : το όρισμά του μεγαλύτερο του 0 1096. (Άσκ 1 σελ 145) Ποιο είναι το πεδίο ορισμού των συναρτήσεων : 1 f ( ), g( ) 1, f ( ), g( ) ln 1 e (Άσκ σελ 145) Για ποιες τιμές του χ η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τον χχ : f ( ) 4, f ( ), f ( ) e 1 1 1 (Άσκ σελ 145) Για ποιες τιμές του χ η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της g * f g * ( ) 1, ( ) 1 f g 4 ( ), ( ) a b f f f a (Άσκ 7 σελ 148) Αν ( ) ( ) f ( ) 1, g( ) a, f g( ) g f ( ) a ; (Άσκ 8 σελ 148) Θέματα Δίνεται f ( ) 1, να βρεις πεδίο ορισμού, να βρεις f(),f(-), να λύσεις την εξίσωση f()=1, να βρεις που τέμνει τους άξονες Δίνεται 1 f( ), Α. να βρεις πεδίο ορισμού, Β. να βρεις πεδίο ορισμού της g( ) f ( ), Γ. να βρεις που τέμνει άξονες, Δ. να βρεις πότε η f είναι πάνω από τον χχ Δίνεται f ( ) 7, g( ) 7, Α. να βρεις πεδία ορισμού των συναρτήσεων, 18
τηλ. Οικίας : 10-610.178 κινητό : 697-00.88.88 Β. να βρεις πότε η γραφική παράσταση της f βρίσκεται πάνω από τη g, g ( ) Γ. να βρεις το πεδίο ορισμού της h( ) f ( ) Α. Να βρεις που τέμνει τους άξονες η 4 f ( ) 6 9 Β. Να βρεις τα σημεία τομής των συναρτήσεων f g 4 ( ) 9, ( ) 91 00 Γ. Να βρεις το πρόσημο της h ( ) 5 4 1 Αν το πολυώνυμο έχει ρίζα το 1 πολλαπλότητας, να βρεις a,b,c και να λυθεί η ανίσωση 4 P( ) 0, P( ) a b 5 c 1106. Να λυθεί η ανίσωση : Να λυθούν οι εξισώσεις : 1 1 4 4 4 1, 4 0, 6 6 1 Περίεργες εξισώσεις : 10 5 49 0, 1 8 1 0, 4 5 8 5 1 0, 7 4 5 1 4 0, 4 17 0, 1 7 1 4 1 0 19