Τυχαίοι Αριθμοί. (Random Numbers) Προσομοίωση Βιομηχανικής Παραγωγής & Επιχειρήσεων

Τυχαίοι Αριθμοί (Random Numbers) Προσομοίωση Βιομηχανικής Παραγωγής & Επιχειρήσεων ΚΕΦ. 3 Μοντελοποίηση Τυχαίοι Αριθμοί Διαγράμματα Επαλήθευση Ανάλυση Αποτελεσμάτων

ΣΗΜΑΣΙΑ-ΧΡΗΣΗ ΤΥΧΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ η προσομοίωση Στοχαστικών Διακριτών Συστημάτων στηρίζεται στη δειγματοληψία από κατανομές πιθανοτήτων, καθώς και στις μεθόδους με τις οποίες δημιουργούνται Τυχαίοι Αριθμοί σε ένα υπολογιστή με τη χρήση κατάλληλων αλγορίθμων συναρτήσεων. Παραδείγματα χρήσης Τυχαίων Αριθμών στην προσομοίωση: Δημιουργία αποτελεσμάτων ρίψης Ζαριών Δημιουργία χρόνου Άφιξης κάθε Πελάτη Δημιουργία χρόνου Εξυπηρέτησης κάθε Πελάτη Τα Στοχαστικά Συστήματα είναι αυτά που δεν είναι Προσδιοριστικά (ντετερμινιστικά), δηλ. υπάρχει τυχαιότητα σε κάποια μεταβλητή τους. Παραδείγματα: Υπάρχει τυχαιότητα στο χρόνο άφιξης των πελατών σε ένα σύστημα εξυπηρέτησης, οπότε οι αφίξεις προσδιορίζονται με χρήση τυχαίων αριθμών, για το χρόνο μεταξύ αφίξεων. Υπάρχει τυχαιότητα στο χρόνο εξυπηρέτησης (πιθανόν εξαιτίας διαφορετικών εργασιών εξυπηρέτησης) οπότε ο χρόνος εξυπηρέτησης κάθε πελάτη προσδιορίζεται με χρήση τυχαίων αριθμών. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.2

ΔΕΙΓΜΑΤΟΛΗΨΙΑ Η διαδικασία παραγωγής παρατηρήσεων από κάποια συγκεκριμένη κατανομή πιθανοτήτων με τη βοήθεια τυχαίων αριθμών (random numbers) ονομάζεται δειγματοληψία από την κατανομή. Ως τυχαίοι αριθμοί R i, i=1,2,3,... ορίζονται οι ανεξάρτητες παρατηρήσεις από ομοιόμορφη κατανομή U(0,1) η οποία έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(x) τη συνάρτηση: και συνάρτηση κατανομής F(x) τη συνάρτηση : Όπου P(X x) είναι η «πιθανότητα η τυχαία τιμή Χ να είναι μικρότερη από την τιμή x». Επειδή η Ομοιόμορφη κατανομή U(0,1) λαμβάνει τιμές μόνο στο διάστημα (0,1) με ίση πιθανότητα για την κάθε τιμή, ισχύει η παραπάνω σχέση. Παράδειγμα: Ένας τυχαίος Χ από U(0,1) για x=0.50 έχει πιθανότητα P(X x=0.50)=50%, αντίστοιχα P(X x=0.30)=30%, P(X x=0.95)=95%... ΚΑΙ P(X x=0.80)=100%-80%=20% (συμπληρωματική πιθανότητα) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.3

Ομοιόμορφη Κατανομή U(a, b) Στη στατιστική η Ομοιόμορφη Κατανομή (Uniform Distribution) συμβολίζεται με U(a,b) όπου (a,b) είναι το διάστημα «μέσα» στο οποίο παίρνει τιμές με ίση πιθανότητα την κάθε μια. συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(x): f(x)=1/(b-a) όταν το x είναι στο διάστημα (a,b) και f(x)=0 εκτός του διαστήματος. Αν (a,b)=(0,1) προκύπτει f(x)=1/(b-a)=1/(1-0)=1 συνάρτηση κατανομής F(x): F(x)=0 αν x<a F(x)=(x-a)/(b-a) αν a x b F(x)=1 αν x>a Αν (a,b)=(0,1) προκύπτει F(x)=(x-a)/(b-a)=x αν a x b ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.4

ΔΙΑΚΡΙΤΗ Ομοιόμορφη Κατανομή U(0, 1) Αν επιλέξουμε Ομοιόμορφη Κατανομή (Uniform Distribution) U(0,1) και χωρίσουμε το διάστημα (0,1) σε 1000 ίσα τμήματα, θα έχουμε τους 1000 αριθμούς με ακρίβεια κ=3 δεκαδικά ψηφία: 0.000, 0.001, 0.002, 0.003,, 0.998, 0.999, οι οποίοι είναι ομοιόμορφα κατανεμημένοι και ο καθένας έχει πιθανότητα 1/1000=10-3, αν επιλέξουμε τυχαία ένα από αυτούς. Η διακριτή συνάρτηση πιθανότητας είναι: Μπορούμε αντίστοιχα να χωρίσουμε σε 10000 ίσα τμήματα με ακρίβεια κ=4 δεκαδικά ψηφία: 0.0000, 0.0001,, 0.9999 Η προσέγγιση αυτή θα μας επιτρέπει να «παράγουμε» τυχαίους αριθμούς από οποιαδήποτε κατανομή (συνεχή ή διακριτή). Η ομοιόμορφη κατανομή αποτελεί τη βάση για την δημιουργία τυχαίων αριθμών. Στο excel η συνάρτηση RAND() δημιουργεί ένα τυχαίο από την κατανομή U(0,1). ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.5

Παράδειγμα 3.1: Δημιουργία Τυχαίων από Ιστόγραμμα-1 Έστω ότι σε ένα σύστημα εξυπηρέτησης έχουμε καταγράψει τους χρόνους εξυπηρέτησης των πελατών και προέκυψε το παρακάτω ιστόγραμμα (δηλ. το 0.05=5% των πελατών εξυπηρετήθηκαν σε χρόνο μεταξύ 0-1 λεπτό, το 0.1=10% εξυπηρετήθηκε σε χρόνο μεταξύ 1-2 λεπτά, κοκ) Στον Χ-άξονα του γραφήματος έχουμε τις κλάσεις (τάξεις) του Χρόνου Εξυπηρέτησης που τους χωρίσαμε σε κλάσεις 0-1, 1-2, 2-3,, 9-10 γιατί στην καταγραφή του συστήματος παρατηρήθηκαν χρόνοι εξυπηρέτησης από 0 έως 10. Στον Y-Άξονα του γραφήματος έχουμε τη Σχετική Συχνότητα κάθε κλάσης (τάξης). Στην 1 η κλάση (0-1) η σχετική συχνότητα είναι 0.05 δηλ. το 0.05=5% των εξυπηρετημένων πελατών είχαν χρόνο από 0 έως 1. Στη 2 η κλάση (1-2) η σχετική συχνότητα είναι 0.1, δηλ. το 0.1=10% των εξυπηρετημένων πελατών είχαν χρόνο από 1 έως 2. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.6

Παράδειγμα 3.1: Δημιουργία Τυχαίων από Ιστόγραμμα-2 Αν θέλουμε να δημιουργήσουμε δείγμα τυχαίων αριθμών από την κατανομή του ιστογράμματος μπορούμε να πραγματοποιήσουμε την παρακάτω διαδικασία (απλή και τυχαία δειγματοληψία): 1. Σε ένα κουτί (κληρωτίδα) προσθέτουμε 1000 λαχνούς που 0.05*1000=50 θα έχουν τον αριθμό 1, 0.1*1000=100 θα έχουν τον αριθμό 2, δηλαδή οι 1000 λαχνοί «ακολουθούν» τις σχετικές συχνότητες που έχουμε στο ιστόγραμμα για τις κλάσεις 0-1,1-2,2-3,... 2. Επιλέγουμε τυχαία από το κουτί 1 λαχνό, καταγράφουμε τον αριθμό του και επανατοποθετούμε το λαχνό στο κουτί. Προφανώς μπορούμε να επαναλάβουμε τη διαδικασία όσες φορές θέλουμε και να δημιουργήσουμε δείγματα τυχαίων αριθμών ακόμα και με πλήθος μεγαλύτερο του 1000. Επειδή οι σχετικές συχνότητες είναι ίδιες «αναμένουμε» ότι ένα δείγμα από την κληρωτίδα θα ακολουθεί τις συχνότητες του ιστογράμματος δηλ. την παρατηρούμενη κατανομή των χρόνων εξυπηρέτησης πελατών. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.7

Δημιουργία Τυχαίων από Ιστόγραμμα-1 Πρακτικά είναι ευκολότερο να χρησιμοποιήσουμε την Αθροιστική Σχετική Συχνότητα, δηλ. το άθροισμα των Σχετικών Συχνοτήτων, η 1 η είναι 0.05, η 2 η 0.05+01=0.15, η 3 η 0.05+0.1+0.14=0.29, Το πλεονέκτημα των Αθροιστικών Σχετικών Συχνοτήτων είναι ότι λαμβάνουν τιμές από 0 έως 1 (η τελευταία) οπότε μπορεί να αντιστοιχηθούν στην Ομοιόμορφη Κατανομή U(0,1). ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.8

Δημιουργία Τυχαίων από Ιστόγραμμα -2 Αν αντιστοιχίσουμε τις σχετικές συχνότητες του χρόνου εξυπηρέτησης με την Ομοιόμορφη Κατανομή U(0,1) που έχουμε «χωρίσει» σε 1000 ίσα τμήματα θα έχουμε την «αντιστοιχία» που φαίνεται παρακάτω: 0.05 0.15 0.29 0.425 0.625 Στη Σχετική Συχνότητα χρόνου 0-1 που είναι 0.05 αντιστοιχούν τα 50/1000 τμήματα της Ομοιόμορφης U(0,1) Στη Σχετική Συχνότητα χρόνου 1-2 που είναι 0.1 αντιστοιχούν τα 100/1000 επόμενα τμήματα της Ομοιόμορφης U(0,1) Στη Σχετική Συχνότητα χρόνου 2-3 που είναι 0.14 αντιστοιχούν τα 140/1000 επόμενα τμήματα της Ομοιόμορφης U(0,1) Παρατηρούμε ότι όποια και να είναι η «εμπειρική» κατανομή των χρόνων εξυπηρέτησης μπορούμε να την αντιστοιχίσουμε σε μια Ομοιόμορφη κατανομή U(0,1) όπου τα αντίστοιχα «όρια» είναι οι Αθροιστικές Σχετικές Συχνότητες (για 0-1 είναι 0.05 οπότε αντιστοιχεί στις τιμές της Ομοιόμορφης από 0 έως 0.05, για 1-2 είναι 0.1 οπότε αντιστοιχεί στις τιμές της Ομοιόμορφης από 0.05 έως 0.15, ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.9

Δημιουργία Τυχαίων από Ιστόγραμμα -3 Αν έχουμε τις Αθροιστικές Σχετικές Συχνότητες (δηλ. μια οποιαδήποτε Στατιστική Κατανομή) μπορούμε να την αντιστοιχίσουμε στην Ομοιόμορφη Κατανομή U(0,1) που έχουμε «χωρίσει» σε «αντίστοιχα» τμήματα: 0.05 0.15 0.29 0.425 0.625 Οι Αθροιστικές Σχετικές Συχνότητες (Πιθανότητες) της Κατανομής μας δίνουν τις τιμές για να «διαχωρίσουμε» την Ομοιόμορφη κατανομή U(0,1) σε αντίστοιχα τμήματα. Αν επιλέξουμε από την Ομοιόμορφή κατανομή ένα τυχαίο αριθμό (με οποιοδήποτε τρόπο ή μέθοδο) μπορούμε να τον «αντιστοιχίσουμε» σε τυχαίο αριθμό από την Κατανομή που χρησιμοποιήσαμε για τον διαχωρισμό της U(0,1). Παραδείγματα: Αν επιλέξω τον τυχαίο αριθμό από την U(0,1) 0.550 αυτός βρίσκεται στο διάστημα (0.425,0.625) που αντιστοιχεί στο χρόνο εξυπηρέτησης 4-5 λεπτά. Αν επιλέξω τον τυχαίο 0.11 από την U(0,1) αυτός βρίσκεται στο (0.05,0.15) επομένως αντιστοιχεί στο χρόνο εξυπηρέτησης 1-2. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.10

Δημιουργία Τυχαίων από Ιστόγραμμα -4 Επειδή τις Αθροιστικές Σχετικές Συχνότητες είτε μπορούμε να τις μετρήσουμε «εμπειρικά» σε ένα σύστημα που μας ενδιαφέρει (είτε να τις υπολογίσουμε αν υποθέτουμε κάποια θεωρητική Κατανομή) καταφέραμε να δείξουμε ότι το πρόβλημα μετατρέπεται σε τυχαίους από Ομοιόμορφη U(0,1). 0.05 0.15 0.29 0.425 0.625 Επομένως για οποιοδήποτε πρόβλημα προσομοίωσης μπορούμε να δημιουργήσουμε τυχαίους αριθμούς με την επιθυμητή κατανομή, αν μπορούμε να δημιουργήσουμε τυχαίους από την Ομοιόμορφη U(0,1). Στους υπολογιστές χρησιμοποιούμε αυτή την ιδιότητα. Π.χ. στο excel η συνάρτηση που δημιουργεί τυχαίους αριθμούς ονομάζεται RAND(), δημιουργεί τυχαίους από την Ομοιόμορφη κατανομή U(0,1) δηλ. ένα αριθμό μεταξύ 0-1 με 16 δεκαδικά ψηφία. Αν θέλουμε να δημιουργήσουμε τυχαίους από κάποια κατανομή μπορούμε να τον «μετατρέψουμε» με τη διαδικασία που περιγράψαμε. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.11

Παράδειγμα: Δημιουργία Τυχαίων στο EXCEL-1 Στο παράδειγμα 1.11 είχαμε τον Πίνακα 1.3 για τους χρόνους εξυπηρέτησης των Πελατών συστήματος ουράς αναμονής. Μπορούμε να υπολογίσουμε τυχαίους από την «εμπειρική» κατανομή που έχουμε: Χρόνος Εξυπηρέτησης Πιθανότητα Αθρ. Πιθανότητα 1 0.2 0.2 2 0.4 0.6 3 0.4 1 0.20 0.60 1 Οι πιθανότητες (Σχετικές Συχνότητες) είναι 0.2, 0.4, 0.4, οπότε θα χωρίσουμε την U(0,1) σε 3 περιοχές που αν χρησιμοποιήσουμε διαχωρισμό σε 100 ίσα τμήματα θα έχουμε 20-40-40. Οι τιμές που διαχωρίζεται η U(0,1) σε 3 τμήματα είναι από τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες (αθροιστικές πιθανότητες) 0.20-0.60-1, οπότε τυχαίος από την ομοιόμορφη U(0,1) που είναι μεταξύ (0.00, 0.20) 1, τυχαίος μεταξύ (0.20, 0.60) 2, τυχαίος μεταξύ (0.60, 1) 3 Οπότε το μόνο που χρειαζόμαστε είναι η δημιουργία (γέννηση) τυχαίων της Ομοιόμορφης U(0,1) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.12

Παράδειγμα: Δημιουργία Τυχαίων στο EXCEL-2 Στο παράδειγμα 1.11 είχαμε τον Πίνακα 1.3 για τους χρόνους εξυπηρέτησης των Πελατών συστήματος ουράς αναμονής. Μπορούμε να υπολογίσουμε τυχαίους από την «εμπειρική» κατανομή που έχουμε: Χρόνος Εξυπηρέτησης Πιθανότητα Αθρ. Πιθανότητα 1 0.2 0.2 2 0.4 0.6 3 0.4 1 Τυχαίοι από συνάρτηση RAND() EXCEL TYXAIOI EXCEL RAND() 0.663571368193302000 0.920982720429339000 0.141397777348691000 0.128922099815007000 0.351831442766130000 0.310674059562874000 0.123506503941007000 0.992638103734070000 0.956230095240055000 0.331501993881247000 0.088801713509372500 0.1413 0.6635 0.9209 0.20 0.60 1 Ο 1 ος τυχαίος που δημιούργησε ο υπολογιστής είναι 0.6635, οπότε αντιστοιχεί σε τυχαίο χρόνο Εξυπηρέτησης 3. Ο 2 ος τυχαίος που δημιούργησε ο υπολογιστής είναι 0.9209, οπότε αντιστοιχεί σε τυχαίο χρόνο Εξυπηρέτησης 3. Ο 3 ος τυχαίος που δημιούργησε ο υπολογιστής είναι 0.1413, οπότε αντιστοιχεί σε τυχαίο χρόνο Εξυπηρέτησης 1. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.13

Παράδειγμα: Δημιουργία Τυχαίων στο EXCEL-3 Στο παράδειγμα 1.11 είχαμε τον Πίνακα 1.3 για τους χρόνους εξυπηρέτησης των Πελατών συστήματος ουράς αναμονής. Μπορούμε να υπολογίσουμε τυχαίους από την «εμπειρική» κατανομή που έχουμε: Χρόνος Εξυπηρέτησης Πιθανότητα Αθρ. Πιθανότητα 1 0.2 0.2 2 0.4 0.6 3 0.4 1 Τυχαίος Χρόνου TYXAIOI RAND() U(0,1) Εξυπηρέτησης (1,2,3) 0.550496605082028000 2 0.329262380350003000 2 0.279705675607445000 2 0.824520464449580000 3 0.560438794245686000 2 0.497160995562590000 2 0.064722984355113500 1 0.950105995267462000 3 0.409899440374376000 2 0.674808218303805000 3 0.204820261949357000 2 Στο excel υπάρχει στο εργαλείο ΑΝΑΛΥΣΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ/ΓΕΝΝΗΤΡΙΑ ΤΥΧΑΙΩΝ ΑΡΙΘΜΩΝ η επιλογή Κατανομή Διακριτή όπου δείχνουμε τιμές και αντίστοιχες πιθανότητες για να δημιουργήσει απευθείας τους τυχαίους της «εμπειρικής κατανομής», με τη μέθοδο που αναλύσαμε. Σε οποιοδήποτε λογισμικό αν έχουμε τη δυνατότητα να δημιουργήσουμε τυχαίους από την ομοιόμορφη κατανομή U(0,1) μπορούμε να τους «μετατρέψουμε» σε μια άλλη κατανομή, αν γνωρίζουμε τις πιθανότητες (σχετικές συχνότητες) της κατανομής αυτής. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.14

Γεννήτριες Τυχαίων Αριθμών Είναι οι μηχανισμοί μέσω των οποίων παράγουμε παρατηρήσεις (τυχαίους αριθμούς) προερχόμενες από την Ομοιόμορφη κατανομή U(0,1) με σκοπό τη μετατροπή τους σε οποιαδήποτε άλλη (συνεχή ή διακριτή) κατανομή που μας ενδιαφέρει για τη χρήση τους σε μοντέλο προσομοίωσης. Μπορούμε να «κατασκευάσουμε» μηχανισμούς που παράγουν με «φυσικό» τρόπο τυχαίους αριθμούς: Ρίψη νομίσματος (0-1), Ζάρι (1-2-3-4-5-6), Ρουλέττα (0-1-2- -32), ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.15

Γεννήτριες Τυχαίων Αριθμών-με Φυσικό Τρόπο-1 Αν δεν έχουμε υπολογιστή πως παράγουμε τυχαίους αριθμούς? Αν θέλουμε τυχαίους 0,1 μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε 1 νόμισμα όπου αντιστοιχούμε π.χ. Κεφαλή 1 και Γράμματα 0, μπορούμε να ρίξουμε το νόμισμα όσες φορές θέλουμε. Αν θέλουμε τυχαίους 1,2,3,4,5,6 προφανώς μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ζάρι. Αν θέλουμε τυχαίους από την εμπειρική κατανομή των χρόνων εξυπηρέτησης 0-1, 1-2, 2-3,, 9-10 που είδαμε στα προηγούμενα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια φυσική διαδικασία: Σε ένα τροχό (κυκλικό δίσκο) π.χ. από χαρτί (ή 1 CD!) ξέρουμε ότι η περιφέρεια είναι 360 μοίρες. Μπορούμε να τον χωρίσουμε σε τομείς που ο καθένας θα έχει γωνία που αντιστοιχεί στην αντίστοιχη σχετική συχνότητα. Η 1 η σχετική συχνότητα ήταν 0.05 οπότε η γωνία θα είναι 0.05*360=18 μοίρες, η 2 η σχετική συχνότητα ήταν 0.1 οπότε ο 2 ος τομέας θα έχει γωνία 0.1*360=36 μοίρες, κοκ. Αν περιστρέψουμε τον τροχό (δίσκο) και έχουμε τοποθετήσει δείκτη που να δείχνει ένα σημείο της περιφέρειας όταν σταματήσει, επιλέγουμε την τιμή που αντιστοιχεί στον αντίστοιχο τομέα. Πρακτικά ο δίσκος έχει ίση πιθανότητα να σταματήσει σε οποιοδήποτε σημείο της περιφέρειας (δηλ. συμπεριφέρεται σαν ομοιόμορφη κατανομή) και με την δημιουργία των τομέων αναπαριστούμε την μετατροπή στους επιθυμητούς τυχαίους. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.16

Γεννήτριες Τυχαίων Αριθμών-με Φυσικό Τρόπο-2 Αν δεν έχουμε υπολογιστή πως παράγουμε τυχαίους αριθμούς? Αν θέλουμε τυχαίους από την εμπειρική κατανομή των χρόνων εξυπηρέτησης 0-1, 1-2, 2-3, που είδαμε στα προηγούμενα μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε μια φυσική διαδικασία: Σε ένα τροχό (κυκλικό δίσκο) π.χ. από χαρτί ξέρουμε ότι η περιφέρεια είναι 360 μοίρες. Μπορούμε να τον χωρίσουμε σε τομείς που ο καθένας θα έχει γωνία που αντιστοιχεί στην αντίστοιχη σχετική συχνότητα. Η 1 η σχετική συχνότητα ήταν 0.05 οπότε η γωνία θα είναι 0.05*360=18 μοίρες, η 2 η σχετική συχνότητα ήταν 0.1 οπότε ο 2 ος τομέας θα έχει γωνία 0.1*360=36 μοίρες, κοκ. Με την τυχαία περιστροφή του τροχού παράγουμε 1 τυχαίο ανάλογα με τη θέση του δείκτη! 36 0 18 0 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.17

Τυχαίοι Αριθμοί με Ρίψη Νομίσματος Με τη ρίψη 1 νομίσματος μπορούμε να δημιουργήσουμε τυχαίους 0,1. Αν χρησιμοποιήσουμε το Δυαδικό (Binary) σύστημα αρίθμησης (αντί για το δεκαδικό) θα έχουμε μόνο 2 ψηφία (0,1) για κάθε αριθμό: 0=0*2 0 =0, 1=1*2 0 =1, 01=1, 00=0, 11=3, 110=1*2 2 +1*2 1 +0*2 0 =6, 111=6=1*2 2 +1*2 1 +1*2 0 =7, Αν επιλέξουμε 4ψήφιους δεκαδικούς αριθμούς θα έχουμε 2 4 =16 δυαδικούς 4ψήφιους αριθμούς : 0000=0, 0001=1, 0010=2,, 1111=1*2 0 +1*2 1 +1*2 2 +1*2 3 =1+2+4+8=15, είναι οι αριθμοί από 0 έως 15 δηλ. 16 αριθμοί από 0 έως 2 4-1=16-1=15 (η διαδικασία είναι ακριβώς αντίστοιχη στους δεκαδικούς! 67=6*10 1 +7*10 0 =6*10+7*1=67) Επομένως μπορούμε να δημιουργήσουμε ένα τυχαίο ακέραιο αριθμό στο διάστημα (0,15) με ρίψη νομίσματος, αν ορίσουμε ότι θα ρίχνουμε το νόμισμα 4 φορές και θα δημιουργούμε τον αντίστοιχο 4ψήφιο ΔΥΑΔΙΚΟ αριθμό. Επειδή στη ρίψη («δίκαιου») νομίσματος έχουμε ίση πιθανότητα για Κεφαλή και Γράμματα, ο αριθμός που θα αντιστοιχεί στο αποτέλεσμα 4 ρίψεων θα είναι μεταξύ (0,15) με ίση πιθανότητα δηλ. στατιστικά τυχαίος από διακριτή ομοιόμορφη κατανομή U(0,15). Παράδειγμα: 1 η ρίψη νομίσματος (Κ,Γ) έστω Κ 1 2 η ρίψη νομίσματος (Κ,Γ) έστω Κ 1 3 η ρίψη νομίσματος (Κ,Γ) έστω Γ 0 4 η ρίψη νομίσματος (Κ,Γ) έστω Κ 1 Οπότε προέκυψε ο δυαδικός αριθμός 1101 που είναι ο δεκαδικός 1*2 3 +1*2 2 +0*2 1 +1*2 0 =1*8+1*4+0*2+1*1=13 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.18

Προβλήματα Τυχαίων Αριθμών στην Προσομοίωση Αν χρησιμοποιήσουμε ένα «φυσικό» τρόπο για δημιουργία τυχαίων (κληρωτίδα, δίσκο, νόμισμα, κλπ): 1. Εξασφαλίζουμε ότι στους τυχαίους που δημιουργούμε δεν υπάρχει επαναληψιμότητα. Δηλαδή αν κάποιος επαναλάβει τη διαδικασία είναι αδύνατο να δημιουργήσει την ίδια σειρά (ακολουθία) τυχαίων αριθμών. 2. Η επαναληψιμότητα έχει σχέση με την τυχαιότητα (στοχαστικότητα), αν υπάρχει επαναληψιμότητα ουσιαστικά δεν υπάρχει τυχαιότητα. Παράδειγμα: Στην κλήρωση τυχερού αριθμού λαχείου ή lotto χρησιμοποιούμε μια κληρωτίδα και «μπαλάκια», ένα τεχνητό σύστημα (μηχανισμό) που εξασφαλίζει ότι δεν θα υπάρχει επαναληψιμότητα στην κλήρωση. Μπορεί να προκύψει το ίδιο αποτέλεσμα (τυχερός αριθμός) αλλά αποκλείεται να προκύψει η ίδια ακολουθία τυχαίων αριθμών (αν υπήρχε επαναληψιμότητα δηλ. ίδια ακολουθία θα μπορούσαμε να προβλέψουμε την επόμενη κλήρωση!!!) Στην προσομοίωση συστημάτων χρειαζόμαστε τυχαίους αριθμούς: 1. Είναι χρονοβόρο να τους δημιουργούμε με φυσικό τρόπο, είναι επιθυμητό να δημιουργούνται γρήγορα στον υπολογιστή. 2. Επειδή μια προσομοίωση είναι τελικά ένα πρόγραμμα στον υπολογιστή αν χρησιμοποιήσουμε πραγματικά τυχαίους αριθμούς (χωρίς επαναληψιμότητα), θα έχουμε πρόβλημα κατά την κατασκευή του προγράμματος της προσομοίωσης στον έλεγχο για σφάλματα (debugging), επομένως η επαναληψιμότητα σε κάποια στάδια δημιουργίας προσομοίωσης είναι επιθυμητή! Πριν την εποχή των υπολογιστών χρησιμοποιήθηκαν πίνακες τυχαίων αριθμών συνήθως σε βιβλία Στατιστικής ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.19

Επαναληψιμότητα σε Φυσικά Συστήματα Η ρουλέτα είναι ένα φυσικό σύστημα που δημιουργεί τυχαίους αριθμούς από 0 έως 36 και με κάποιους κανόνες που βασίζονται στις πιθανότητες είναι ΤΥΧΕΡΟ ΠΑΙΧΝΙΔΙ. Η μπίλια και η περιστροφή εξασφαλίζει τη δημιουργία ενός τυχαίου αριθμού σε κάθε επανάληψη του παιχνιδιού. Η επαναληψιμότητα δεν αφορά το ότι δεν μπορεί να έρθει ο ίδιος τυχαίος 2 φορές διαδοχικά ΑΛΛΑ η ίδια σειρά αποτελεσμάτων. Δηλ. αν σε 10 επαναλήψεις είχαμε αποτέλεσμα 1-5-2-31-4-8-12-5-33-19 ξέρουμε ότι μπορεί να επαναληφθεί το 1 στο μέλλον, αλλά σίγουρα όχι με την ίδια συνέχεια -5-2-31-4-8- Αν συνέβαινε η επαναληψιμότητα το παιχνίδι δεν θα ήταν «τυχαίο» ΑΛΛΑ ΠΡΟΒΛΕΨΙΜΟ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.20

Γεννήτριες Τυχαίων Αριθμών Υπολογιστή-1 Στην προσομοίωση χρειαζόμαστε τυχαίους αριθμούς και είναι επιθυμητό να τους δημιουργεί ο υπολογιστής με μεγάλη ταχύτητα. Επειδή ο υπολογιστής δεν μπορεί να χρησιμοποιήσει μια φυσική διαδικασία αλλά μόνο κάποια μαθηματική σχέση ή αλγόριθμο παράγει (δημιουργεί) Ψευδοτυχαίους Αριθμούς (pseudorandom). Επειδή παράγονται με κάποια μαθηματική σχέση οι τυχαίοι από τον υπολογιστή είναι προβλέψιμοι και αναπαραγωγίσιμοι. Δηλαδή μπορούμε να τους αναπαράγουμε (επαναλάβουμε) αν γνωρίζουμε τη μαθηματική σχέση που τους δημιούργησε. Οι Συγκλίνουσες Γεννήτριες (congruential generators) είναι μια κατηγορία Γεννητριών Τυχαίων Αριθμών Αν συμβολίσουμε με x n+1 την n+1 παρατήρηση στην ακολουθία τυχαίων παρατηρήσεων από την Ομοιόμορφη κατανομή U(0,1), τότε οι συγκλίνουσες γεννήτριες έχουν την ακόλουθη γενική μορφή: x n+1 =f(x n ), n=0,1,2, (κάθε τυχαίος δημιουργείται από τον προηγούμενο) Η Μικτή Συγκλίνουσα Γεννήτρια (mixed congruential generator) παράγει μία ακολουθία τυχαίων αριθμών από την σχέση: x n+1 =(a*x n +c) mod m, n=0,1,2, Όπου το α ονομάζεται πολλαπλασιαστής, το c ονομάζεται αθροιστής και το m ονομάζεται διαιρέτης. Υπάρχει και ο όρος x n (προηγούμενος τυχαίος) οπότε χρειάζεται να ορίσουμε και τον αρχικό x 0 που ονομάζεται γεννήτορας ή σπόρος (seed number ή random seed) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.21

Γεννήτριες Τυχαίων Αριθμών Υπολογιστή-2 Μέθοδοι-Γεννήτριες-Μηχανισμοί Παραγωγής Τυχαίων Αριθμών Η Μικτή Συγκλίνουσα Γεννήτρια παράγει μία ακολουθία τυχαίων αριθμών από την σχέση: Mod (Modulo): Υπόλοιπο x n+1 =(a*x n +c) mod m, n=0,1,2, Διαίρεσης Όπου το α ονομάζεται πολλαπλασιαστής, το c ονομάζεται αθροιστής και το m ονομάζεται διαιρέτης. Υπάρχει και ο όρος x n (προηγούμενος τυχαίος) οπότε χρειάζεται να ορίσουμε και τον αρχικό x 0 που ονομάζεται γεννήτορας ή σπόρος (seed number ή random seed) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ: Έστω σπόρος x 0 =45, a=23, c=75 και m=256 (=2 8 ). x 1 =(23 * 45 + 75) mod 256=86 οπότε, R 1 =86/256=0,3359 (στρογγυλοποιήσαμε στα 4 δεκαδικά). x 2 = (23 * 86 + 75) mod 256=5 που δίνει R 2 =5/256=0,0195 x 3 = (23 * 5 + 75) mod 256=190 που δίνει R 3 =190/256=0,7422 x 4 = (23 * 190 + 75) mod 256 = 93 που δίνει R 4 =93/256=0,3633 Φαίνεται ότι η γεννήτρια δημιουργεί τυχαίους αριθμούς με πολύ απλό τρόπο, αυτοί φαίνεται να ακολουθούν ομοιόμορφη U(0,1). ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.22

Γεννήτριες Τυχαίων Αριθμών Υπολογιστή-3 Έστω σπόρος x 0 =45, a=23, c=75 και m=256 (=2 8 ). x 1 =(23 * 45 + 75) mod 256=86 οπότε, R 1 =86/256=0,3359 x 2 = (23 * 86 + 75) mod 256=5 που δίνει R 2 =5/256=0,0195 x 3 = (23 * 5 + 75) mod 256=190 που δίνει R 3 =190/256=0,7422 x 4 = (23 * 190 + 75) mod 256 = 93 που δίνει R 4 =93/256=0,3633 Αν υπολογίσουμε τους 66 τυχαίους από την παραπάνω γεννήτρια βλέπουμε ότι ο 64 ος τυχαίος είναι ο γεννήτορας (σπόρος) x 0 =45 οπότε επειδή: x n+1 =(a*x n +c) mod m και όλοι οι συντελεστές στη σχέση δεν αλλάζουν (a, c, m) η γεννήτρια στη συνέχεια θα δημιουργεί τους ίδιους τυχαίους (την ίδια ακολουθία τυχαίων), οπότε έχουμε επαναληψιμότητα στους τυχαίους (ψευδοτυχαίους) που δημιουργεί η γεννήτρια!!! ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.23

Γεννήτριες Τυχαίων Αριθμών Υπολογιστή-4 μέθοδοι-γεννήτριες-μηχανισμοί παραγωγής τυχαίων αριθμών Η μικτή συγκλίνουσα γεννήτρια (mixed congruential generator) παράγει μία ακολουθία τυχαίων αριθμών: x n+1 =(a*x n +c) mod m, n=0,1,2, Όπου το α πολλαπλασιαστής, το c αθροιστής και το m διαιρέτης. Ο όρος x n (προηγούμενος τυχαίος) ονομάζεται γεννήτορας ή σπόρος (seed number ή random seed). Mod (Modulo): Υπόλοιπο Διαίρεσης Επειδή στη γεννήτρια ο διαιρέτης είναι m, το υπόλοιπο της διαίρεσης (όποιος και να είναι ο αριθμός a*x n +c) μπορεί να είναι: 0,1,2,.., m-2,m-1 δηλαδή m αριθμοί. Επομένως επιλέγοντας το m περιορίζουμε το πλήθος των διαφορετικών τυχαίων σε m. Επίσης αν προκύψει στη γεννήτρια τυχαίος που έχουμε ήδη δημιουργήσει θα επαναληφθούν οι ίδιοι αριθμοί (ίδια ακολουθία-επαναληψιμοτητα). Όσο μεγάλο και να είναι το m η γεννήτρια μπορεί να παράγει έως m διαφορετικούς τυχαίους και σε κάποιο βήμα θα αρχίσει να παράγει τους ίδιους τυχαίους που θα επαναλαμβάνονται (επειδή ο κάθε τυχαίος εξαρτάται από τον προηγούμενο). Το πλήθος των διαφορετικών τυχαίων ονομάζεται περίοδος (period) της γεννήτριας. Το επιθυμητό είναι αυτός ο αριθμός να είναι το m (πλήρης περίοδος), δηλ. πριν αρχίσει η περιοδικότητα (επανάληψη δημιουργίας ίδιων τυχαίων) να έχουν δημιουργηθεί όλοι οι αριθμοί 0,1,2,3,,m. Αν το m είναι «πρώτος» (prime) δηλ. διαιρείται μόνο με το 1, αυξάνονται οι πιθανότητες να έχει μεγάλη περίοδο η γεννήτρια. Καλές επιλογές αποτελούν αριθμοί της μορφής 2 k -1 ή 2 k +1 γιατί μπορεί να είναι «πρώτοι». ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.24

Επιθυμητές Ιδιότητες Γεννήτριας Τυχαίων Αριθμών Οι τυχαίοι αριθμοί (παρατηρήσεις) που παράγονται από μια γεννήτρια υπολογιστή πρέπει: 1. Ο κύκλος (περίοδος) να είναι μεγάλος, δηλαδή, το πλήθος των παρατηρήσεων που παράγονται μέχρι την επανεμφάνιση του γεννήτορα να πλησιάζει όσο περισσότερο γίνεται το m. Είναι επιθυμητό όλοι οι αριθμοί να έχουν προκύψει ήδη μία φορά πριν να ολοκληρωθεί ο κύκλος (γεννήτρια πλήρους περιόδου). Αυτό είναι πιο πιθανό αν επιλέξουμε m (διαιρέτη) «πρώτο» αριθμό. 2. Οι παρατηρήσεις να είναι ομοιόμορφα κατανεμημένες και ανεξάρτητες. Οι ψευδοτυχαίοι αριθμοί πρέπει να έχουν την ίδια πιθανότητα εμφάνισης σε οποιαδήποτε θέση της ακολουθίας. 3. Η ακολουθία τυχαίων πρέπει να παράγεται γρήγορα στον υπολογιστή, χωρίς απαιτήσεις μνήμης, η αναδρομική σχέση x n+1 =(a*x n +c) mod m, n=0,1,2, υπολογίζεται γρήγορα και επίσης απαιτεί να «κρατάμε» στη μνήμη μόνο τα a, x n, c, m, μόνο 4 αριθμούς. ΔΕΝ ΥΠΑΡΧΟΥΝ ΑΠΛΟΙ ΚΑΝΟΝΕΣ ΠΟΥ ΝΑ ΜΑΣ ΥΠΟΔΕΙΚΝΥΟΥΝ ΒΕΛΤΙΣΤΟ ΤΡΟΠΟ ΕΠΙΛΟΓΗΣ ΠΑΡΑΜΕΤΡΩΝ a, x n, c, m. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.25

Παράδειγμα Γεννήτριας Πλήρους Περιόδου Έστω a=6, c=0, m=13, x 0 =1 Η γεννήτρια x n+1 =(a*x n +c) mod m, n=0,1,2, παράγει τους τυχαίους αριθμούς του Πίνακα. Παρατηρούμε ότι είναι πλήρους περιόδου (παράγει m-1=12 διαφορετικούς τυχαίους πριν αρχίσει ο κύκλος-περίοδος επανάληψης ίδιων τυχαίων). Επειδή ο 12 ος X i =1 είναι ίδιος με τον γεννήτορα (σπόρο) στη συνέχεια θα επαναλαμβάνονται οι ίδιοι αριθμοί X i (6-10-8-9 ) και επομένως οι ίδιοι τυχαίοι. Χρησιμοποιήθηκε διαιρέτης m=13 που είναι «πρώτος» αριθμός, οι «Πρώτοι» αριθμοί δίνουν μεγαλύτερη πιθανότητα να έχουμε πλήρη περίοδο. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.26

Δειγματοληψία από Ομοιόμορφη Κατανομή Μια γεννήτρια τυχαίων αριθμών υπολογιστή παράγει τυχαίους στο διάστημα [0,1) ομοιόμορφη U(0,1) (ανοικτό διάστημα δεξιά γιατί δεν μπορεί να παραχθεί ο αριθμός 1!). Αν πολλαπλασιάσουμε όλους τους τυχαίους με το 100, μετατρέπουμε σε τυχαίους στο διάστημα [0,100) και αντίστοιχα μπορούμε να τους μετατρέψουμε σε οποιοδήποτε διάστημα [a,b) με τον μετασχηματισμό *(b-a)+a (πολλαπλασιασμός με το b-a και πρόσθεση του a). Παράδειγμα: Για να μετατρέψουμε τους τυχαίους [0,1) σε τυχαίους [50,80) έχουμε a=50, b=80 οπότε θα πολλαπλασιάσουμε όλους τους τυχαίους με b-a=30 και θα προσθέσουμε το a=50. TYXAIOI *(b-a)=*(80-50)= *(b-a)+a= *30+50 Ακέραιοι RAND() U(0,1) *30 U(0,30) U(50,80) U(50,80) 0.57620 17.28592 67.28592 67 0.57494 17.24826 67.24826 67 0.17809 5.34283 55.34283 55 0.92820 27.84604 77.84604 78 0.02114 0.63407 50.63407 51 0.92100 27.63002 77.63002 78 0.83692 25.10765 75.10765 75 0.67151 20.14520 70.14520 70 0.92352 27.70548 77.70548 78 0.97844 29.35308 79.35308 79 0.12817 3.84505 53.84505 54 1 η στήλη: Οι τυχαίοι του υπολογιστή που προέρχονται από την U(0,1) (από συνάρτηση RAND() excel) Πολλαπλασιάζονται με το b-a=30 και στην 2 η στήλη είναι τυχαίοι U(0,30). Προστίθεται σε κάθε τυχαίο το 50, οπότε στην 3 η στήλη έχουμε δημιουργήσει τυχαίους της U(50,80) Αν θέλουμε τυχαίους U(50,80) ακέραιους (4 η στήλη), ή θα στρογγυλοποιήσουμε τους αριθμούς στον κατάλληλο ακέραιο ή θα «αποκόψουμε» το δεκαδικό μέρος. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.27

Δειγματοληψία από Διακριτή Κατανομή Μέθοδος Κλήρωσης Για τους χρόνους Εξυπηρέτησης που αναλύσαμε στην αρχή της ενότητας θα έχουμε τον παρακάτω πίνακα: 1 η στήλη οι χρόνοι εξυπηρέτησης (στρογγυλοποιήσαμε προς τα πάνω) 2 η στήλη οι Πιθανότητες (Σχετικές Συχνότητες) 3 η στήλη οι Αθρ. Πιθανότητες (Αθρ. Σχετικές Συχνότητες) 4 η στήλη οι αντίστοιχοι τυχαίοι (στους 1000) 5 η στήλη το αντίστοιχο διάστημα στο [0,1) 0,049 Αν παράγουμε στον υπολογιστή με τη γεννήτρια τυχαίων αριθμών τυχαίους στο διάστημα [0,0.999) με την αντιστοίχιση παράγουμε τυχαίους των τιμών της 1 ης στήλης με τις πιθανότητες για την κάθε τιμή της 2 ης στήλης. Ονομάζεται Μέθοδος Κλήρωσης Γιατί είναι ισοδύναμη με τη «φυσική» μέθοδο κλήρωσης που αναφέραμε. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.28

Παράδειγμα 3.7: Kriono Air-Conditioning Co -1 Παράδειγμα στατικής προσομοίωσης (Monte Carlo) σε ένα στοχαστικό πρόβλημα διακριτών κατανομών. Η Kriono Air-Conditioning Company δραστηριοποιείται στον κλάδο του εμπορίου συστημάτων ψύξης. Η έρευνα αγοράς έδειξε ότι η ζήτηση των κλιματιστικών κατά περιόδους χαρακτηρίζεται ως «Υψηλή», «Μέτρια» ή «Χαμηλή» με πιθανότητες 0.30, 0.45 και 0.25 αντιστοίχως. Ο χαρακτηρισμός της ζήτησης εξαρτάται από διάφορους παράγοντες (καιρός, τιμές καυσίμων, κλπ.) Εξετάζουμε τη ζήτηση ανά δίμηνο. Οι μονάδες ζήτησης 1,2,3,4,5, 6 είναι ενδεικτικές, μπορεί να σημαίνουν 10δες ή 100δες κλιματιστικά. 0.30 0.45 0.25 Θέλουμε να δημιουργήσουμε τους τυχαίους που θα χρησιμοποιήσουμε στην προσομοίωση για την ζήτηση της εταιρίας κάθε περίοδο (δίμηνο) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.29

Παράδειγμα 3.7: Kriono Air-Conditioning Co -2 Παράδειγμα στατικής προσομοίωσης (Monte Carlo) σε ένα στοχαστικό πρόβλημα διακριτών κατανομών. Επειδή στην εκτίμηση της ζήτησης έχουμε 2 στάδια (περιβάλλον Ζήτησης: Υψηλή-Μέτρια-Χαμηλή και κατόπιν πιθανότητες για το ύψος των πωλήσεων) θα χρειαστούμε 2 γεννήτριες τυχαίων αριθμών. Η 1 η γεννήτρια θα αντιστοιχεί στο περιβάλλον ζήτησης και με τις πιθανότητες που δίνονται θα έχουμε τον παρακάτω πίνακα Πιθανότητας-Αθροιστικής Πιθανότητας-Εύρους τυχαίων Αριθμών: Επειδή οι πιθανότητες είναι 30-45-25% μπορεί να χρησιμοποιήσουμε εύρος από 00 έως 99, οπότε στην Υψηλή ζήτηση θα αντιστοιχούν οι τυχαίοι 00-29, κοκ. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.30

Παράδειγμα 3.7: Kriono Air-Conditioning Co -3 Παράδειγμα στατικής προσομοίωσης (Monte Carlo) σε ένα στοχαστικό πρόβλημα διακριτών κατανομών. Επειδή στην εκτίμηση της ζήτησης έχουμε 2 στάδια (περιβάλλον Ζήτησης: Υψηλή-Μέτρια-Χαμηλή και κατόπιν πιθανότητες για το ύψος των πωλήσεων) θα χρειαστούμε 2 γεννήτριες τυχαίων αριθμών. Η 2 η γεννήτρια θα αντιστοιχεί στην ποσότητα ζήτησης ανάλογα με το περιβάλλον με τις πιθανότητες που δίνονται θα έχουμε τον παρακάτω πίνακα Πιθανότητας-Αθροιστικής Πιθανότητας-Εύρους τυχαίων Αριθμών: Επειδή οι πιθανότητες είναι με 2 δεκαδικά ψηφία (0.05-0.10- ) μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε εύρος από 00 έως 99, οπότε στην Υψηλή Ζήτηση θα αντιστοιχούν οι τυχαίοι 00-04 σε ζήτηση 1, κοκ. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.31

Παράδειγμα 3.7: Kriono Air-Conditioning Co -4 Παράδειγμα στατικής προσομοίωσης (Monte Carlo) σε ένα στοχαστικό πρόβλημα διακριτών κατανομών. Στην εκτίμηση της ζήτησης έχουμε 2 στάδια (περιβάλλον Ζήτησης: Υψηλή-Μέτρια-Χαμηλή και κατόπιν πιθανότητες για το ύψος των πωλήσεων) χρησιμοποιούμε 2 γεννήτριες τυχαίων αριθμών. Στην προσομοίωση της εταιρίας για 12 χρονικές περιόδους (δίμηνα) με βάση τον 1 ο τυχαίο αριθμό από U(0,1) υπολογίζουμε το περιβάλλον ζήτησης και με το 2 ο τυχαίο από U(0,1) υπολογίζουμε την ποσότητα ζήτησης. Επειδή η τιμή κάθε μονάδας είναι 4000 υπολογίζουμε τα Έσοδα που προκύπτουν στην τελευταία στήλη. Στο 1 ο δίμηνο ο 1 ος τυχαίος είναι 69 ζήτηση Μέτρια, ο 2 ος τυχαίος 56 ποσότητα 3 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.32

Συμβολισμοί Πιθανοτήτων Απλή πιθανότητα P(X=x), πιθανότητα η τυχαία μεταβλητή Χ (π.χ. χρόνος εξυπηρέτησης πελάτη) να έχει την τιμή x, όπου έστω μπορεί να έχει τιμές διακριτές x=0,1,2,3,4,5 (έχουμε 6 τιμές) Επομένως: P(X=0) πιθανότητα το Χ (χρόνος εξυπηρέτησης πελάτη) να είναι 0, P(X=1) πιθανότητα το Χ (χρόνος εξυπηρέτησης πελάτη) να είναι 1, P(X=2) πιθανότητα το Χ (χρόνος εξυπηρέτησης πελάτη) να είναι 2, κοκ. Επειδή έχουμε ορίσει ότι η μεταβλητή Χ μπορεί να πάρει μόνο τιμές x=0,1,2,3,4,5 ισχύει ότι όλες οι πιθανότητες αθροίζονται στο 1 (100%): P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=1=100%, για κάθε μια από τις 6 ισχύει 0 P(X=x) 1 Αθροιστική Πιθανότητα: Η πιθανότητα η μεταβλητή Χ (χρόνος εξυπηρέτησης πελάτη) να είναι έως 2 συμβολίζεται P(Χ 2) και προφανώς ισχύει P(Χ 2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2) [αθροίζουμε τις πιθανότητες από 0 έως 2, ονομάζεται αθροιστική του 2] Μπορούμε να γράψουμε και P(Χ 2)= P(Χ 1)+ P(Χ=2) [πιθανότητα χρόνος εξυπηρέτησης έως 2 είναι ίση με πιθανότητα χρόνος εξυπηρέτησης έως 1 + πιθανότητα χρόνος εξυπ. 2 γιατί P(Χ 1)= P(X=0)+P(X=1), δηλαδή αθροιστική πιθ. του x+1 είναι ίση με αθροιστική του x +πιθανότητα του x+1 Στην επόμενη διαφάνεια δίνουμε παράδειγμα ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.33

Συμβολισμοί Πιθανοτήτων-Παράδειγμα x πιθανότητα P(Χ=x) αθρ. Πιθανότητα P(Χ x) 0 0.10 P(Χ=0)=0.10 1 0.20 P(Χ 0)+P(Χ=1)=0.30 2 0.25 P(Χ 1)+P(Χ=2)=0.55 3 0.30 P(Χ 2)+P(Χ=3)=0.85 4 0.10 P(Χ 3)+P(Χ=4)=0.95 5 0.05 P(Χ 4)+P(Χ=5)=1.00 άθροισμα 1.00 Ισχύουν τα παρακάτω: P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)+P(X=3)+P(X=4)+P(X=5)=1=100% και 0 P(X=x) 1 (πιθανότητα αριθμός μεταξύ 0,1) Αθροιστική Πιθανότητα P(Χ x): Η πιθανότητα η μεταβλητή Χ (χρόνος εξυπηρέτησης πελάτη) να είναι έως 2 συμβολίζεται P(Χ 2) (αθροιστική του x=2) και προφανώς ισχύει P(Χ 2)= P(X=0)+P(X=1)+P(X=2)=0.10+0.20+0.25=0.55 [αθροίζουμε τις πιθανότητες από 0 έως 2, ονομάζεται αθροιστική του 2] P(Χ x+1)= P(Χ x)+p(χ=x+1): Η επόμενη αθροιστική πιθανότητα του (x+1) P(Χ x+1), είναι ίση με την προηγούμενη αθροιστική του x P(Χ x) + την πιθανότητα του (x+1) P(Χ=x+1). Αυτή η παρατήρηση μας επιτρέπει να χρησιμοποιήσουμε την αθροιστική πιθανότητα για να δημιουργήσουμε τυχαίους από την οποιαδήποτε κατανομή θεωρητική Διακριτή κατανομή. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.34 +

Συμβολισμοί Πιθανοτήτων-Παράδειγμα x πιθανότητα P(Χ=x) αθρ. Πιθανότητα P(Χ x) 0 0.10 P(Χ=0)=0.10 1 0.20 P(Χ 0)+P(Χ=1)=0.30 2 0.25 P(Χ 1)+P(Χ=2)=0.55 3 0.30 P(Χ 2)+P(Χ=3)=0.85 4 0.10 P(Χ 3)+P(Χ=4)=0.95 5 0.05 P(Χ 4)+P(Χ=5)=1.00 άθροισμα 1.00 0.67 Αν θέλουμε να δημιουργήσουμε ένα τυχαίο αριθμό για το χρόνο εξυπηρέτησης πελάτη, που να ακολουθεί την κατανομή με τις πιθανότητες P(X=x) και τις αντίστοιχες αθροιστικές P(X x), χρειαζόμαστε μόνο τις αθροιστικές πιθανότητες P(X x): ΓΙΑΤΙ με τον παρακάτω αλγόριθμο: 1. Από τον υπολογιστή δημιουργούμε τυχαίο R από U(0,1) μεταξύ 0-1. 2. Ελέγχουμε διαδοχικά για x=0,1,2,3, για ποια τιμή του x o τυχαίος R<P(X x) (μικρότερος αθροιστικής). 3. Όταν βρούμε την μικρότερη τιμή του x θέτουμε ότι η τιμή του x είναι ο τυχαίος από την διακριτή κατανομή μας. Παράδειγμα: αν R=0.67 θα έχουμε: R=0.67>P(X 0)=0.10, R>P(X 1)=0.30, R>P(X 2)=0.55, R=0.67<P(X 3)=0.85 Επομένως στον τυχαίο του υπολογιστή 0.67 αντιστοιχεί τυχαίος χρόνος εξυπηρέτησης x=3 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.35

Μέθοδος Αντίστροφου Μετασχηματισμού (Inverse Transform Method) Αν θέλουμε να δημιουργήσουμε τυχαίους αριθμούς από μια θεωρητική Διακριτή Κατανομή, δηλ. κατανομή που οι πιθανότητες P(Χ=x) μπορούν να υπολογιστούν σαν μαθηματική συνάρτηση του x και το x=0,1,2,3, Προϋπόθεση είναι να είναι διακριτή και να ισχύει μια αναδρομική σχέση, δηλ. να μπορεί να υπολογιστεί η αθροιστική πιθανότητα P(Χ x+1) σαν συνάρτηση του P(Χ x), μια σχέση της μορφής: P(Χ x+1)=a x+1 *P(Χ x) για x=0,1,2, Παράγουμε την αθροιστική πιθανότητα P(Χ x) και μετά αναζητούμε την αντίστοιχη τιμή της κατανομής με έμμεσο τρόπο (ΜΕΘΟΔΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ) ο οποίος παρουσιάζεται στον αλγόριθμο: 1. Δημιουργούμε ένα τυχαίο αριθμό R από γεννήτρια U(0,1) 2. Ελέγχουμε για ποια τιμή του x=0,1,2,3, ισχύει R<P(Χ x) (δηλ. από ποια αθροιστική πιθανότητα είναι μικρότερος ο τυχαίος R). Υπολογίζουμε τις τιμές P(Χ x+1)=a x+1 *P(Χ x) αν υπάρχει η αναδρομική σχέση! 3. Η 1 η τιμή του x για την οποία R<P(Χ x) είναι η τυχαία τιμή x της κατανομής που αντιστοιχεί στον τυχαίο R. Η μέθοδος ονομάζεται Αντιστρόφου Μετασχηματισμού γιατί ψάχνουμε την τιμή του x για την οποία η αθροιστική συνάρτηση γίνεται μεγαλύτερη από τον τυχαίο R της U(0,1). Επειδή ο τυχαίος R από U(0,1) είναι αριθμός μεταξύ 0-1 και επίσης οι αθροιστικές πιθανότητες είναι αριθμοί μεταξύ 0-1 πάντα θα βρίσκουμε αποτέλεσμα, απλά μπορεί να χρειαστεί να «δοκιμάσουμε» πολλές τιμές του x. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.36

Γεωμετρική Κατανομή Στη Γεωμετρική Κατανομή η συνάρτηση πιθανότητας είναι: P(X=x)=p(1 p) x x=0,1,2,. p παράμετρος Για την αναδρομική σχέση P(Χ x+1)=a x+1 *P(Χ x) μπορούμε να υπολογίσουμε για την Γεωμετρική: P(X=x+1)=p(1 p) x+1 =(1 p)[p(1 p) x ]=(1 p)p(x=x) άρα a x+1 =(1 p) και ισχύει: P(Χ=x+1)=a x+1 *P(Χ=x) x πιθανότητα πιθανότητα πιθανότητα P(X=x) p=0.5 P(X=x) p=0.7 P(X=x) p=0.4 0 0.50000 0.70000 0.40000 1 0.25000 0.21000 0.24000 2 0.12500 0.06300 0.14400 3 0.06250 0.01890 0.08640 4 0.03125 0.00567 0.05184 5 0.01563 0.00170 0.03110 6 0.00781 0.00051 0.01866 7 0.00391 0.00015 0.01120 8 0.00195 0.00005 0.00672 9 0.00098 0.00001 0.00403 10 0.00049 0.00000 0.00242 άθροισμα 0.99951 1.00000 0.99637 Το άθροισμα των πιθανοτήτων δεν είναι ακριβώς 1, γιατί υπάρχουν και οι επόμενες πιθανότητες αλλά είναι πολύ μικρές!!! Η Διακριτή Γεωμετρική Κατανομή έχει χαρακτηριστικό ότι ξεκινά με πιθανότητα P(X=0)=p και στη συνέχεια μειώνεται εκθετικά (απότομα) γιατί η επόμενη πιθανότητα προκύπτει με πολλαπλασιασμό της προηγούμενης με (1-p). Η παράμετρος p είναι η πιθανότητα επιτυχίας σε μια δοκιμή Bernoulli. Η Γεωμετρική αναπαριστά τις δοκιμές που χρειάζονται για την 1 η επιτυχία. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.37

Παράδειγμα 3.8: Τυχαίοι Γεωμετρικής Κατανομής Στη Γεωμετρική Κατανομή η συνάρτηση πιθανότητας είναι: P(X=x)=p(1 p) x x=0,1,2,. Για την αναδρομική σχέση P(Χ x+1)=a x+1 *P(Χ x) μπορούμε να υπολογίσουμε για την Γεωμετρική: P(X=x+1)=p(1 p) x+1 =(1 p)[p(1 p) x ]=(1 p)p(x=x) άρα a x+1 =(1 p) και ισχύει: P(Χ=x+1)=a x+1 *P(Χ=x) Αν έχουμε τη Γεωμετρική με παράμετρο p=0.5 θα είναι a x+1 =(1 p)=1-0.5=0.5 Παράγουμε την αθροιστική πιθανότητα P(Χ x) για x=0,1,2, και μετά αναζητούμε την αντίστοιχη τιμή της κατανομής με τη ΜΕΘΟΔΟ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ ο οποίος παρουσιάζεται στον αλγόριθμο: 1. Δημιουργούμε ένα τυχαίο αριθμό R από γεννήτρια U(0,1) έστω R=0.9 2. Ελέγχουμε για ποια τιμή του x=0,1,2,3, ισχύει R<P(Χ x) (δηλ. από ποια αθροιστική πιθανότητα είναι μικρότερος ο τυχαίος R). x=0: P(Χ 0)=P(Χ=0)=p(1 p) x =0.5*(1-0.5) 0 =0.5 οπότε R=0.9>P(Χ 0) συνεχίζω στο επόμενο x x=1: P(Χ 1)=P(Χ 0)+ P(Χ=1)=0.5+a x+1 P(Χ=0)=0.5+0.5*(0.5)=0.75 οπότε R=0.9>P(Χ 1) συνεχίζω στο επόμενο x x=2: P(Χ 2)=P(Χ 1)+ P(Χ=2)=0.75+a x+1 P(Χ=1)=0.75+0.5*(0.25)=0.875 οπότε R=0.9>P(Χ 2) συνεχίζω επόμενο x x=3: P(Χ 3)=P(Χ 2)+ P(Χ=3)=0.5+a x+1 P(Χ=1)=0.875+0.5*(0.125)=0.9375 οπότε R=0.9<P(Χ 3) τιμή x βρέθηκε 3. Η 1 η τιμή του x για την οποία R<P(Χ x) είναι η τυχαία τιμή x της κατανομής που αντιστοιχεί στον τυχαίο R. Βρέθηκε για x=3 R=0.9<P(Χ 3) άρα ο τυχαίος από τη Γεωμετρική που αντιστοιχεί στο 0.9 της U(0,1) είναι 3 Θα μπορούσαμε να κάνουμε τους υπολογισμούς και χωρίς την αναδρομική σχέση, απευθείας από τον ορισμό. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.38

Κατανομή Poisson e λ λ x Στην Κατανομή Poisson η συνάρτηση πιθανότητας είναι: P(X=x)= x! x=0,1,2, λ παράμετρος Για την αναδρομική σχέση P(Χ x+1)=a x+1 *P(Χ x) μπορούμε να υπολογίσουμε για την Poisson: P(X=x+1)= e λ λ x+1 λe λ λ x x+1 x! = λ x+1 e λ λ x x! = λ P(X=x) άρα a x+1 x+1= λ λ και ισχύει: P(Χ=x+1)= *P(Χ=x) x+1 x+1 x πιθανότητα πιθανότητα πιθανότητα P(X=x) λ=5 P(X=x) λ=8 P(X=x) λ=3 0 0.0067 0.0003 0.0498 1 0.0337 0.0027 0.1494 2 0.0842 0.0107 0.2240 3 0.1404 0.0286 0.2240 4 0.1755 0.0573 0.1680 5 0.1755 0.0916 0.1008 6 0.1462 0.1221 0.0504 7 0.1044 0.1396 0.0216 8 0.0653 0.1396 0.0081 9 0.0363 0.1241 0.0027 10 0.0181 0.0993 0.0008 άθροισμα 0.9863 0.8159 0.9997 Το άθροισμα των πιθανοτήτων δεν είναι ακριβώς 1, γιατί υπάρχουν και οι επόμενες πιθανότητες αλλά είναι μικρές!!! ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.39 (x+1)! Η Κατανομή Poisson έχει χαρακτηριστικό ότι έχει την μεγαλύτερη πιθανότητα στο x=λ όπου λ είναι ο μέσος, αν είναι κατανομή χρόνου εξυπηρέτησης εξυπηρετούνται λ πελάτες στη μονάδα του χρόνου. Οι πιθανότητες μειώνονται αριστερά και δεξιά του μέσου λ. Υπάρχουν μικρές πιθανότητες και για τιμές x πολύ μεγαλύτερες του λ =

Παράδειγμα 3.9: Τυχαίος Κατανομής Poisson e λ λ x Στην Κατανομή Poisson η συνάρτηση πιθανότητας είναι: P(X=x)= x! x=0,1,2,. λ παράμετρος (μέσος) Για την αναδρομική σχέση P(Χ x+1)=a x+1 *P(Χ x) μπορούμε να υπολογίσουμε για την Poisson: P(X=x+1)= e λ λ x+1 λe λ λ x = λ e λ λ x x+1 x! x+1 x! = λ P(X=x) άρα a x+1 x+1= λ λ και ισχύει: P(Χ=x+1)= *P(Χ=x) x+1 x+1 Αν έχουμε την κατανομή Poisson με παράμετρο λ=5 Παράγουμε την αθροιστική πιθανότητα P(Χ x) για x=0,1,2, και με τον αλγόριθμο ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ: 1. Δημιουργούμε ένα τυχαίο αριθμό R από γεννήτρια U(0,1) έστω R=0.1 2. Ελέγχουμε για ποια τιμή του x=0,1,2,3, ισχύει R<P(Χ x) (δηλ. από ποια αθρ. πιθανότητα είναι μικρότερος ο τυχαίος R). x=0: P(Χ 0)=P(Χ=0)= e 5 5 0 =e -5 =0.006738 οπότε R=0.1>P(Χ 0) συνεχίζω στο επόμενο x 0! (x+1)! x=1: P(Χ 1)=P(Χ 0)+P(Χ=1)=0.0067+(λ/x)P(Χ=0)=0.0067+(5/1)*0.0067=0,0404 οπότε R=0.1>P(Χ 1) συνεχίζω στο επόμενο x x=2: P(Χ 2)=P(Χ 1)+ P(Χ=2)=0,0404+(5/2)P(Χ=1)==0,124653 οπότε R=0.1<P(Χ 2) τιμή x βρέθηκε 3. Η 1 η τιμή του x για την οποία R<P(Χ x) είναι η τυχαία τιμή x της κατανομής που αντιστοιχεί στον τυχαίο R. Βρέθηκε για x=2 R=0.1<P(Χ 2) άρα ο τυχαίος από την Poisson που αντιστοιχεί στο 0.1 της U(0,1) είναι 2 Θα μπορούσαμε να κάνουμε τους υπολογισμούς και χωρίς την αναδρομική σχέση, αλλά θα είχαμε δύσκολους υπολογισμούς λόγω P(X=x)= e λ λ x. x! ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.40 =

Κατανομή Διωνυμική (Binomial) Στη Διωνυμική Κατανομή η συνάρτηση πιθανότητας είναι: P(X=x)= n x px (1 p) n x x=0,1,2,. n,p παράμετροι Για την αναδρομική σχέση P(Χ x+1)=a x+1 *P(Χ x) μπορούμε να υπολογίσουμε για την Διωνυμική: P(X=x+1)=)= a x+1 = n x p (x+1)(1 p) n x + 1 px+1 (1 p) n (x+1) = και ισχύει: P(Χ=x+1)= n x p *P(Χ=x) (x+1)(1 p) x πιθανότητα πιθανότητα πιθανότητα P(X=x) p=0.5 P(X=x) p=0.3 P(X=x) p=0.8 0 0.0010 0.0282 0.0000 1 0.0098 0.1211 0.0000 2 0.0439 0.2335 0.0001 3 0.1172 0.2668 0.0008 4 0.2051 0.2001 0.0055 5 0.2461 0.1029 0.0264 6 0.2051 0.0368 0.0881 7 0.1172 0.0090 0.2013 8 0.0439 0.0014 0.3020 9 0.0098 0.0001 0.2684 10 0.0010 0.0000 0.1074 άθροισμα 1.0000 1.0000 1.0000 n! x+1!(n x 1)! p 1 p px+1 (1 p) n x = n x p (x+1)(1 p) P(X=x) άρα Η Διωνυμική Κατανομή έχει χαρακτηριστικό ότι έχει την μεγαλύτερη πιθανότητα στο x που είναι πλησιέστερο στο np, για κάθε τιμή του x=0,1,2,,n ορίζεται μια πιθανότητα που είναι η πιθανότητα να έχουμε x επιτυχίες σε n δοκιμές Bernoulli με πιθανότητα επιτυχίας στην κάθε δοκιμή p. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.41

Παράδειγμα 3.10: Τυχαίος Διωνυμικής Κατανομής Στη Διωνυμική Κατανομή η συνάρτηση πιθανότητας είναι: P(X=x)= n x px (1 p) n x x=0,1,2,. n,p παράμετροι Για την αναδρομική σχέση P(Χ x+1)=a x+1 *P(Χ x) μπορούμε να υπολογίσουμε για την Διωνυμική: P(X=x+1)=)= a x+1 == n x p (x+1)(1 p) n x + 1 px+1 (1 p) n (x+1) = και ισχύει: P(Χ=x+1)= n x p *P(Χ=x) (x+1)(1 p) n! x+1!(n x 1)! p 1 p px+1 (1 p) n x = n x p (x+1)(1 p) P(X=x) άρα Αν έχουμε την Διωνυμική κατανομή με παράμετρο n=10, p=0.1 Παράγουμε την αθροιστική πιθανότητα P(Χ x) για x=0,1,2, και μετά τον αλγόριθμο ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ: 1. Δημιουργούμε ένα τυχαίο αριθμό R από γεννήτρια U(0,1) έστω R=0.8 2. Ελέγχουμε για ποια τιμή του x=0,1,2,3, ισχύει R<P(Χ x) (δηλ. από ποια αθρ. πιθανότητα είναι μικρότερος ο τυχαίος R). x=0: P(Χ 0)=P(Χ=0)= 10 0. 10 (1 0. 1) 10 0 =0.9 10 =0.3487 οπότε R=0.8>P(Χ 0) συνεχίζω στο επόμενο x 0 x=1: P(Χ 1)=P(Χ 0)+P(Χ=1)=0.3487+(10/9)*0.3487=0.7361 οπότε R=0.8>P(Χ 1) συνεχίζω στο επόμενο x x=2: P(Χ 2)=P(Χ 1)+ P(Χ=2)=0.7361+(0.9/1.8)P(Χ=1)=0.9298 οπότε R=0.8<P(Χ 2) τιμή x βρέθηκε 3. Η 1 η τιμή του x για την οποία R<P(Χ x) είναι η τυχαία τιμή x της κατανομής που αντιστοιχεί στον τυχαίο R. Βρέθηκε για x=2 R=0.8<P(Χ 2) άρα ο τυχαίος από τη Διωνυμική που αντιστοιχεί στο 0.8 της U(0,1) είναι 2 Θα μπορούσαμε να κάνουμε τους υπολογισμούς και χωρίς την αναδρομική σχέση, αλλά θα είχαμε δύσκολους υπολογισμούς λόγω P(X=x)= ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.42

Τυχαίοι Διωνυμικής Κατανομής-Αντιστοιχία Στη Διωνυμική Κατανομή η συνάρτηση πιθανότητας είναι: P(X=x)= n x px (1 p) n x x=0,1,2,. n,p παράμετροι. Αν έχουμε την Διωνυμική κατανομή με παραμέτρους n=4, p=0.6 μας δίνονται 10 τυχαίοι της U(0,1) και επιθυμούμε να υπολογίσουμε 10 τυχαίους της παραπάνω Διωνυμικής. 10 τυχαίοι U(0,1) 0.540 0.676 0.719 0.107 0.274 0.338 0.011 0.631 0.807 0.905 Υπολογίζουμε τις πιθανότητες και αθροιστικές πιθανότητες από τον ορισμό P(X=x)= για την Διωνυμική Τιμή Χ αθρ. πιθανότητα Πιθανότητα Διάστημα τιμής Χ 0 0.026 0.026 0.000-0.026 1 0.154 0.179 0.027-0.179 2 0.346 0.525 0.180-0.525 3 0.346 0.870 0.526-0.870 4 0.130 1.000 0.871-1.000 αθροισμα 1.000 Από τις αθρ. Πιθανότητες προκύπτουν τα Διαστήματα που πρέπει να ανήκει η U(0,1) για να αντιστοιχηθεί στην τιμή της Διωνυμικής Χ 10 τυχαίοι U(0,1) Τυχαίος Διωνυμικής n=4, p=06 0.540 3 0.676 3 0.719 3 0.107 1 0.274 2 0.338 2 0.011 0 0.631 3 0.807 3 0.905 4 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.43

ΣΥΝΟΨΗ Δειγματοληψίας από Διακριτή Κατανομή Αν θέλουμε να δημιουργήσουμε ένα δείγμα τυχαίων αριθμών για μια μεταβλητή Χ από μια Διακριτή Κατανομή, δηλ. μια Κατανομή που παίρνει διακριτές τιμές x=0,1,2,.. Μπορεί η Διακριτή κατανομή να είναι: 1. «Εμπειρική», δηλ. να έχουμε μετρήσει τις σχετικές συχνότητες (πιθανότητες) P(X=x) στο σύστημα για τη μεταβλητή και υπολογίζουμε τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες (αθροιστικές πιθανότητες) P(X x). 2. Θεωρητική, δηλαδή να γνωρίζω τη συνάρτηση που υπολογίζει τις πιθανότητες P(X=x)=f(x), οπότε υπολογίζω και τις αθροιστικές πιθανότητες P(X x). Από τον υπολογιστή με χρήση Γεννήτριας Τυχαίων Αριθμών δημιουργώ τυχαίους από την Ομοιόμορφη κατανομή U(0,1). ΜΕΘΟΔΟΣ ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΟΥ ΜΕΤΑΣΧΗΜΑΤΙΣΜΟΥ: Συγκρίνοντας τους τυχαίους από U(0,1) με τις αθροιστικές πιθανότητες P(X x) της Διακριτής Κατανομής (είτε εμπειρικής είτε θεωρητικής) που επιθυμώ, τους μετασχηματίζω σε τυχαίους της επιθυμητής κατανομής. Η μέθοδος αντιστρόφου μετασχηματισμού σε διακριτές κατανομές είναι αποτελεσματική γιατί θεωρούμε ότι έχουμε πεπερασμένο αριθμό διακριτών τιμών x=0,1,2,3,,ν και στην χειρότερη περίπτωση θα εφαρμόσουμε τον αλγόριθμο αντιστρόφου μετασχηματισμού Ν φορές (βήματα) για την δημιουργία κάθε ενός τυχαίου. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.44

Δειγματοληψία από Συνεχή Κατανομή- ΙΔΕΑ Αν η στοχαστική μεταβλητή για την οποία θέλουμε να δημιουργήσουμε τυχαίες τιμές δεν είναι Διακριτή ΑΛΛΑ Συνεχής υπάρχουν προβλήματα στην προηγούμενη προσέγγιση. Μεταβλητές όπως η κατανάλωση καυσίμων σε ένα δρομολόγιο το βάρος ενός φορτίου, κλπ., είναι πρακτικά συνεχείς μεταβλητές, δηλαδή να μπορούν να έχουν άπειρες τιμές σε ένα διάστημα. Το βασικό πρόβλημα είναι ότι μια συνεχής μεταβλητή παίρνει άπειρες τιμές οπότε δεν μπορούμε να «δοκιμάσουμε» την αντιστοιχία με τις τιμές της U(0,1) από τη γεννήτρια τυχαίων αριθμών. Στις συνεχείς κατανομές συμβολίζουμε με f(x) την απλή πιθανότητα (P(X=x) στις διακριτές) και με F(x) την αθροιστική πιθανότητα (P(Χ x) στις διακριτές). Επειδή η x είναι συνεχής μεταβλητή, η αθροιστική πιθανότητα F(X) είναι το ολοκλήρωμα της απλής πιθανότητας f(x) δηλαδή ισχύει: x =( F(x ꝏ f(x) (διαβάζεται ολοκλήρωμα της f(x) από -ꝏ έως x) όπου ισχύει πάλι ότι η αθροιστική πιθανότητα έως την τιμή x είναι το άθροισμα όλων των πιθανοτήτων των προηγούμενων τιμών του x, επειδή η μεταβλητή x είναι συνεχής οι προηγούμενες τιμές είναι από -ꝏ έως x και στο διάστημα αυτό υπάρχουν άπειρες τιμές του x, που το άθροισμά τους μας το υπολογίζει το ολοκλήρωμα. (ΟΡΙΣΜΟΣ ΟΛΟΚΛΗΡΩΜΑΤΟΣ) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.45

Δειγματοληψία από Συνεχή Κατανομή Οι μέθοδοι δειγματοληψίας τυχαίων αριθμών που μπορούμε να εφαρμόσουμε στις Συνεχείς Κατανομές είναι: 1. Μέθοδος του αντίστροφου μετασχηματισμού (inverse transform method) η οποία είναι ανάλογη αυτής που παρουσιάσαμε στις διακριτές συναρτήσεις, 2. Μέθοδος αποδοχής-απόρριψης (acceptance-rejection method) και 3. Μέθοδος της σύνθεσης (composition method). Άλλες μέθοδοι που έχουν αναπτυχθεί αναφέρονται σε συγκεκριμένες κατανομές, όπως η Κανονική κατανομή (μέθοδος Box-Muller, κεντρικό οριακό θεώρημα). ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.46

Μέθοδος του Αντίστροφου Μετασχηματισμού (Συνεχής Κατανομή) Δημιουργούμε με γεννήτρια τον τυχαίο R από την ομοιόμορφη U(0,1). Θέτουμε R=F(x), δηλαδή το γνωστό του αντιστρόφου Μετασχηματισμού ότι η τιμή R είναι ίση με την Αθροιστική πιθανότητα F(x) της κατανομής για κάποιο x. Επειδή η F(x) είναι συνεχής συνάρτηση αν μπορεί να αντιστραφεί (δηλ. να υπολογιστεί η αντίστροφη F -1 ) θα μπορεί να υπολογιστεί το x=f -1 (R). Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι θέτουμε R=F(x) και λύνουμε ως προς x. Γραφικά μπορούμε να δούμε ότι η συνάρτηση αθροιστικής πιθανότητας F(x) αντιστοιχεί κάθε τιμή x σε μια τιμή στο διάστημα (0,1) που είναι μια πιθανότητα. Στο γράφημα της F(x) κάθε τιμή του x (Χ-άξονας) αντιστοιχεί σε μια τιμή του F(x) (Υ-άξονας), επομένως και σε κάθε τιμή F(x)=R μπορεί να υπολογιστεί η αντίστοιχη τιμή του x με την αντίστροφη συνάρτηση. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.47

Μέθοδος Αντίστροφου Μετασχηματισμού f(x)=x/2 ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.11 Έστω η συνεχής τυχαία μεταβλητή X με συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(x) και αθροιστική συνάρτηση κατανομής F(x): Έχουμε f(x)=x/2 και F(x)=x 2 /4, με κάποιους περιορισμούς για να είναι πιθανότητες. Δημιουργούμε με γεννήτρια υπολογιστή τον τυχαίο R από την ομοιόμορφη U(0,1). Θέτουμε R=F(x), δηλαδή τον αντίστροφο Μετασχηματισμό ότι η τιμή R είναι ίση με την Αθροιστική πιθανότητα F(x) της κατανομής για κάποιο x. Επειδή η F(x)=R => x 2 /4=R => x 2 =4R => x = 4R = 2 R =F -1 (R) άρα ισχύει x=2 R Επομένως για τον τυχαίο R=0.5 από την U(0,1) αντιστοιχεί ο x=2 R = 2 0. 5=2*0.707=1.414 Ενώ αν R=0.64 τότε x=2 R = 2 0. 64 = 2 0. 8 = 1. 6 f(x)=x/2 F(x)=x 2 /4 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.48

Μέθοδος Αντίστροφου Μετασχηματισμού: Εκθετική Κατανομή με Παράμετρο λ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.12 Η εκθετική κατανομή με παράμετρο λ έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(x) και αθροιστική συνάρτηση κατανομής F(x): Έχουμε f(x)=λe -λx και F(x)=1-e -λx, με περιορισμούς στο x για να είναι πιθανότητες μεταξύ 0-1. Δημιουργούμε με γεννήτρια υπολογιστή τον τυχαίο R από την ομοιόμορφη U(0,1). Θέτουμε R=F(x), δηλαδή τον αντίστροφο Μετασχηματισμό, ότι η τιμή R είναι ίση με την Αθροιστική πιθανότητα F(x) της κατανομής για κάποιο x. Επειδή η F(x)=R => 1-e -λx =R => e -λx =1-R => ln(e -λx )=ln(1-r) => -λx=ln(1-r) => x=f -1 (R)=ln(1-R)/(-λ) Για τυχαίο R=0.5 από την U(0,1) αν λ=5, αντιστοιχεί ο x=ln(1 R)/( λ)=ln(1 0.5)/( 5)=-0.693/(-5)=0.139 Στη σχέση x=ln(1 R)/( λ) έχουμε την τιμή 1-R, επειδή R είναι στο (0,1) και το 1-R είναι στο (0,1), οπότε R και (1-R) είναι ισοδύναμα, μπορούμε να απλοποιήσουμε: x=ln(r)/( λ)= ln(r) f(x) F(x) F -1 (x) λ ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.49

Εκθετική Κατανομή με Παράμετρο λ Η ΣΥΝΕΧΗΣ εκθετική κατανομή με παράμετρο λ έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(x)=λe -λx και αθροιστική συνάρτηση κατανομής F(x) =1-e -λx με περιορισμό x 0 ώστε f(x) και F(x) πιθανότητες μεταξύ 0-1. Επειδή είναι ΣΥΝΕΧΗΣ κατανομή η κάθε τιμή πιθανότητας f(x) είναι πολύ μικρή, το x παίρνει άπειρες τιμές από 0 έως +ꝏ, το άθροισμα Σf(x)=1 οπότε θεωρητικά κάθε μία από τις f(x) είναι πολύ μικρή! Αντίθετα οι αθροιστικές F(x) που η κάθε μια είναι άθροισμα άπειρων τιμών π.χ. για λ=0.3 έχουμε F(x=1)=0.26 δηλ. η πιθανότητα το x να είναι από 0 έως 1 είναι 0.26=26% Η εκθετική έχει μέση τιμή 1/λ οπότε αν λ=0.5 τότε μέσος 1/0.5=2 Στο σύστημα εξυπηρέτησης Μ/Μ/k υποθέτουμε ότι οι αφίξεις ακολουθούν Poisson αλλά ο χρόνος μεταξύ αφίξεων ακολουθεί Εκθετική και οι αναχωρήσεις ακολουθούν Εκθετική κατανομή. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.50

Μέθοδος Αντίστροφου Μετασχηματισμού: Ομοιόμορφη Κατανομή U(a,b) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.13 Η Ομοιόμορφη κατανομή U(a,b) έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(x) και αθροιστική συνάρτηση κατανομής F(x): Έχουμε f(x)=1/(b-a)και F(x)=(x-a)/(b-a), με περιορισμούς στο x για να είναι πιθανότητες μεταξύ 0-1. Δημιουργούμε με γεννήτρια υπολογιστή τον τυχαίο R από την ομοιόμορφη U(0,1). Θέτουμε R=F(x), δηλαδή τον αντίστροφο Μετασχηματισμό, ότι η τιμή R είναι ίση με την Αθροιστική πιθανότητα F(x) της κατανομής για κάποιο x. Επειδή η F(x)=R => (x-a)/(b-a)=r => x=a+(b-a)r Στον τυχαίο R=0.5 από U(0,1), αν a=50, b=80, αντιστοιχεί ο x=a+(b-a)r=50+(80-50)*0.5=65 της U(50,80) f(x) F(x) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.51

Μέθοδος Αποδοχής-Απόρριψης: Τριγωνική Κατανομή T(a,b,c) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.14 Έστω η Τριγωνική κατανομή Τ(0,2,1) που έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(x): f(x) Στο διάστημα [0,2] που ορίζεται η f(x) έχουμε μέγιστο Μ=1 για x=1 Χρειαζόμαστε μια τυχαία τιμή R 1 στο διάστημα [0,2] οπότε με τη μέθοδο αντιστρόφου μετασχηματισμού για την ομοιόμορφη θα είναι x=a+(b-a)r 1, όπου R 1 τυχαίος από U(0,1), επειδή a=0, b=2 θα έχουμε x=2r 1 Από τον ορισμό της f(x) αν 0 x=2r 1 1 τότε f(2r 1 )=2R 1 ενώ αν 1 x=2r 1 2 τότε f(2r 1 )=2-2R 1 Παράγεται 2 ος τυχαίος R 2 στο διάστημα [0,Μ=1], δηλ. τυχαίος U(0,1) Αποδεχόμαστε τον τυχαίο R 1 αν R 2 f(2r 1 ) Έστω R 1 =0.25 και R 2 =0.75 επειδή x=2r 1 =2*0.25=0.5 1 θα έχουμε f(x)= f(2r 1 )=2R 1 =0.5 αλλά R 2 =0.75 f(2r 1 )=0.5 ΔΕΝ ΙΣΧΥΕΙ, απορρίπτουμε τον τυχαίο R 1 και δοκιμάζουμε άλλο ζευγάρι R 1,R 2 Έστω 2 ο ζευγάρι R 3 =0.25 και R 4 =0.40 επειδή x=2r 3 =2*0.25=0.5 1 θα έχουμε f(x)= f(2r 3 )=2R 3 =0.5 R 4 =0.40 f(2r 1 )=0.5 ΙΣΧΥΕΙ, αποδεχόμαστε τον τυχαίο R 3 επομένως x=2r 3 =2*0.25=0.50 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.52 x

Μέθοδος Σύνθεσης: Κατανομή Laplace (μ,b) ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑ 3.15 Έστω η κατανομή Laplace που έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(x) και αθροιστική F(x): Παρατηρούμε ότι η κατανομή Laplace είναι «σύνθεση» (άθροισμα) 2 κατανομών που η καθεμιά είναι εκθετική F(x)=F 1 (x)+f 2 (x) όπου F 1 (x)=e x /2 αν x 0 και F 2 (x)=1-e -x /2 αν x 0 Επομένως μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε αυτή την ιδιότητα για να παράγουμε τυχαίες τιμές που να ακολουθούν την κατανομή Laplace. Επειδή το x μπορεί να είναι θετικό x 0 ή αρνητικό x 0 με ίση πιθανότητα 50% θα παράγουμε τυχαίους από την εκθετική, οπότε τυχαίος x=ln(r) (το δείξαμε για την εκθετική κατανομή) όπου R τυχαίος U(0,1) και θα αλλάζουμε το πρόσημο του τυχαίου στον επόμενο. Στη γενική περίπτωση σύνθεσης συναρτήσεων αν έχουμε F(x)=p*F 1 (x)+(1-p)*f 2 (x) με 0 p 1 εφαρμόζουμε τον κανόνα: Δημιουργούμε τυχαίο R από U(0,1) αν τυχαίος R<p τότε δημιουργούμε τυχαίο από F 1 (x) διαφορετικά δημιουργούμε τυχαίο από F 2 (x). ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.53

Δειγματοληψία από Κανονική Κατανομή Ν(μ,σ 2 ) Η τυποποιημένη Κανονική (Normal) κατανομή N(0,1) με μέσο μ=0, διασπορά σ=1, έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(x): Αν έχουμε Κανονική κατανομή Ν(μ,σ 2 ) με μέσο μ και διασπορά σ χρησιμοποιούμε τον μετασχηματισμό: Αν Ζ ακολουθεί Ν(0,1) τότε X=μ+σΖ ακολουθεί Ν(μ,σ 2 ) Στην Κανονική κατανομή μπορούμε να παράγουμε τυχαίους της τυποποιημένης Ν(0,1) και να τις μετατρέψουμε σε τυχαίους Ν(μ,σ 2 ). Μέθοδοι Παραγωγής Τυχαίων Αριθμών Κανονικής Κατανομής: 1. Κεντρικό Οριακό Θεώρημα για τυχαίους από την τυπική κανονική κατανομή, 2. Μέθοδος των Box-Muller (1958) 3. Μέθοδος Αποδοχής-Απόρριψης για την κανονική κατανομή. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.54

Κανονική Κατανομή Ν(μ,σ 2 ) Η τυποποιημένη Κανονική (Normal) κατανομή N(0,1) με μέσο μ=0, διασπορά σ=1, έχει συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας f(x): Αν έχουμε Κανονική κατανομή Ν(μ,σ 2 ) με μέσο μ και διασπορά σ χρησιμοποιούμε τον μετασχηματισμό: Αν Ζ ακολουθεί Ν(0,1) τότε η X=μ+σΖ ακολουθεί Ν(μ,σ 2 ) Κανονική N(μ,σ 2 ) Τυποποιημένη Κανονική N(0,1) Διαστήματα Εμπιστοσύνης Ν(0,1) 68% : (-1, +1) 95% : (-2, +2) 99.7%: (-3, +3) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4. 55

Δειγματοληψία από Κανονική Κατανομή Ν(μ,σ 2 ) Κεντρικό Οριακό Θεώρημα Το Κεντρικό Οριακό Θεώρημα της στατιστικής είναι το παρακάτω: Αν η τυχαία μεταβλητή Χ=Χ 1 +Χ 2 +Χ 3 + +Χ n είναι άθροισμα n ανεξάρτητων και ισόνομων τ.μ. X i με μέση τιμή μ και διασπορά σ 2 τότε η Χ τείνει στην κανονική κατανομή με μέσο nμ και διασπορά nσ 2. Αυτό σημαίνει ότι η Χ nμ σ n ακολουθεί την N(0,1), ανεξάρτητα από την κατανομή των X 1, X 2, X n Αυτό το θεώρημα κάνει την Κανονική κατανομή την σημαντικότερη της στατιστικής! Επομένως αν έχουμε R 1, R 2,,R n τυχαίους από την ομοιόμορφη U(0,1), τότε η R= σ 1 n R i 1 2 n n/12 ακολουθεί την Ν(0,1), γιατί η U(0,1) έχει μέσο μ=1/2 και διασπορά σ 2 =1/12 Αν θέσουμε n=12 τότε ο παρονομαστής στο κλάσμα γίνεται 1 και έχουμε R=σ 1 n R i 6 Οπότε η απλούστερη διαδικασία για δημιουργία τυχαίων της N(0,1) είναι να χρησιμοποιήσουμε 12 τυχαίους της U(0,1): Και να υπολογίσουμε: Τυχαίος R=σ 1 n R i 6=6.95816-6=0.95816 ακολουθεί Ν(0,1) Επειδή χρησιμοποιούμε το μέσο, η διαδικασία τείνει να δημιουργεί τυχαίους κοντά στο μέσο και όχι στα άκρα, ΑΥΤΌ ΜΠΟΡΕΙ ΝΑ ΕΊΝΑΙ ΠΡΟΒΛΗΜΑ! ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.56

Δειγματοληψία από Κανονική Κατανομή Ν(μ,σ 2 ) Μέθοδος των Box-Muller Με την μέθοδο Box-Muller δημιουργούμε 2 τυχαίους R 1,R 2 από την U(0,1) και εφαρμόζουμε εναλλακτικά τους παρακάτω μετασχηματισμούς: Οι x 1 και x 2 ακολουθούν την Ν(0,1). Παράδειγμα: Έστω R 1 =0.1684 και R 2 =0.6055 Θα έχουμε x 1 =cos(2πr 2 )*(-2lnR 1 )^0.5=0.4914 Θα έχουμε x 2 =sin(2πr 2 )*(-2lnR 1 )^0.5=-1.4876 (οι τυχαίοι x i της Ν(0,1) με πιθανότητα 99.7% θα είναι αριθμοί μεταξύ -3 και 3) Μειονέκτημα της μεθόδου είναι ο δύσκολος υπολογισμός γιατί περιλαμβάνει τριγωνομετρικές συναρτήσεις (cos=συνημίτονο, sin=ημίτονο) και επομένως ο μεγαλύτερος χρόνος υπολογισμού! ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.57

Δειγματοληψία από Κανονική Κατανομή Ν(μ,σ 2 ) Μέθοδος Αποδοχής-Απόρριψης Με την μέθοδο Αποδοχής-Απόρριψης για την Κανονική κατανομή εφαρμόζουμε τα παρακάτω βήματα (αλγόριθμος): 1. Δημιουργούμε 2 τυχαίους R 1,R 2 από την U(0,1) 2. Υπολογίζουμε τις τιμές w 1 =2R 1 1 και w 2 =2R 2 1 3. Αν w=w 12 +w 22 >1, πήγαινε στο βήμα 1 και επανέλαβε 4. Υπολογίζουμε το c= ( 2lnw)/w και θέτουμε x 1 =cw 1 και x 2 =cw 2. Τα x 1 και x 2 είναι ανεξάρτητες παρατηρήσεις που προέρχονται από τη Ν(0,1) Παράδειγμα: Έστω R 1 =0.1684 και R 2 =0.6055 Θα έχουμε w 1 =2R 1 1=-0.6632 και w 2 =2R 2 1=0.2111 Θα έχουμε w= w 12 +w 22 =0.4844<1 ισχύει Υπολογίζουμε το c= ( 2lnw)/w=1.7300 οπότε x 1 =cw 1 =1.73*(-0.6632)=-1.1473 και x 2 =cw 2 =1.73*0.2111=0.3651 (οι τυχαίοι x i της Ν(0,1) με πιθανότητα 99.7% θα είναι αριθμοί μεταξύ -3 και 3) Πλεονέκτημα είναι ο ευκολότερος υπολογισμός από την μέθοδο Box-Muller, και επομένως ο μικρότερος χρόνος υπολογισμού στον υπολογιστή! ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.58

Δειγματοληψία από Τριγωνική Παράδειγμα 3.16: Batman Airlines Στην προσομοίωση μας ενδιαφέρει το πότε θα συμβεί βλάβη και θα επιδιορθωθεί. Η εταιρία έχει 10 servers για τις online κρατήσεις των πελατών και εμφανίζονται βλάβες στη λειτουργία των server που διορθώνει ο τεχνικός της εταιρίας. Εκτιμήθηκε ότι ο χρόνος επιδιόρθωσης Χ ακολουθεί τριγωνική κατανομή Τ(a, b, c). Tο άνω και κάτω όριο της κατανομής ισούνται με a και b αντίστοιχα, ενώ η πιθανότερη τιμή (mode) είναι η c. Μετράμε τον χρόνο σε εβδομάδες. Υποθέτουμε ότι στην καλύτερη περίπτωση ο χρόνος επιδιόρθωσης ενός server είναι 1 ώρα, στη χειρότερη περίπτωση 1 μέρα και η πιθανότερη τιμή είναι 4 ώρες. Επειδή για τον τεχνικό έχουμε 5 εργάσιμες ημέρες την εβδομάδα και 8 εργάσιμες ώρες την ημέρα (5Χ8=40), προκύπτει ότι το κάτω όριο a=0.025=1/40 και το άνω όριο b=0.2=1/5 εβδομάδες αντίστοιχα, ενώ ο πιο συχνά παρατηρούμενος χρόνος επισκευής c=0.1=4/40=1/10 εβδομάδες. Η μέση τιμή μιας τριγωνικής κατανομής δίνεται από τον τύπο (a+b+c)/3. Ο μέσος χρόνος επιδιόρθωσης ισούται με 0.3253 εβδομάδες (4.33 εργατοώρες) και συνεπώς ο μηχανικός επισκευάζει κατά μέσο όρο 9.24 servers (5Χ8/4.33) την εβδομάδα. Στην προσομοίωση του προβλήματος πρέπει να δημιουργήσουμε τυχαίους χρόνους επισκευής από την Τριγωνική T(a,b,c). ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.59

Δειγματοληψία από Τριγωνική Παράδειγμα 3.16: Batman Airlines Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της τριγωνικής κατανομής T(0.025, 0.2, 0.1): Η Τριγωνική κατανομή αποτελείται από 2 ευθείες: η αριστερή από το c προς τα πάνω η δεξιά από το c προς τα κάτω. Επομένως ανάλογα με τον αν είμαστε αριστερά ή δεξιά από το F(c)=(c-a)/(b-a)=9/21=0.43 χρησιμοποιούμε τον αντίστοιχο αντίστροφο μετασχηματισμό. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.60

Δειγματοληψία από Τριγωνική Παράδειγμα 3.16: Batman Airlines Συνάρτηση πυκνότητας πιθανότητας της Τριγωνικής κατανομής T(0.025, 0.2, 0.1): έχουμε τη γεννήτρια: x=a+ R(b a)(c a), όταν 0 R F(c) και x=b + (1 R)(b a)(b c) όταν F(c) R 1 όπου F(c)=(c-a)/(b-a). Η Τριγωνική κατανομή αποτελείται από 2 ευθείες η αριστερή από το c προς τα πάνω και η δεξιά από το c προς τα κάτω. Επομένως ανάλογα με τον αν είμαστε αριστερά από το F(c)=9/21=0.43 ή δεξιά χρησιμοποιούμε τον αντίστοιχο αντίστροφο μετασχηματισμό. Επομένως για να δημιουργήσουμε τυχαίους της Τριγωνικής θα έχουμε: F(c)=(c-a)/(b-a)=(0.1-0.025)/(0.2-0.025)=0.43=9/21 Έστω R=0.35 από U(0,1) επειδή είναι R=0.35<9/21=0.43 Θα έχουμε x=1/40+(21/40*r)^0.5=0.454 απορρίπτεται! (δεν είναι στο διάστημα a=0.025 έως b=0.2)! Έστω R=0.65 από U(0,1) επειδή είναι R=0.65>9/21=0.43 Θα έχουμε x=1/5-(7/400*(1-r))^0.5=0.121 ΑΠΟΔΕΚΤΗ (γιατί είναι στο διάστημα a=0.025 έως b=0.2)! ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.61

Κατανομές στο Λογισμικό AnyLogic Στα λογισμικά προσομοίωσης έχουμε τη δυνατότητα να χρησιμοποιήσουμε διάφορες θεωρητικές κατανομές πιθανότητας. Δεν χρειάζεται να «προγραμματίσουμε» τη δημιουργία των τυχαίων, αλλά να ορίσουμε την κατανομή με τις παραμέτρους της. Στο Λογισμικό Προσομοίωσης AnyLogic οι διαθέσιμες κατανομές είναι: Bernoulli Gumbel Pert Beta Hypergeometric Poisson Binomial Laplace Rayleigh Cauchy Logarithmic Triangular Chi2 Logistic Triangularav Erlang Lognormal Uniform Exponential Negativebinomial Uniform_discr Gamma Normal Uniform_pos Geometric Pareto Weibull ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.62

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 1. Γιατί χρειαζόμαστε τυχαίους αριθμούς στην προσομοίωση? 2. Γιατί η Ομοιόμορφη κατανομή U(0,1) είναι σημαντική στην προσομοίωση. 3. Πως δημιουργούμε τυχαίους από μια εμπειρική κατανομή. 4. Τι είναι μια γεννήτρια τυχαίων αριθμών. 5. Αναφέρετε 3 «φυσικούς» τρόπους για δημιουργία τυχαίων αριθμών. 6. Για την γεννήτρια: x n+1 =(a*x n +c) mod m, n=0,1,2, ποιος είναι ο σπόρος (γεννήτορας), τι σημαίνει επαναληψιμότητα και τι πλήρης περίοδος. 7. Για την γεννήτρια: x n+1 =(a*x n +c) mod m, n=0,1,2, ποιος όρος καθορίζει την επαναληψιμότητα και τι σημαίνει. 8. Τι σημαίνει η μέθοδος αντιστρόφου μετασχηματισμού για τη δημιουργία τυχαίων από μια διακριτή κατανομή πιθανότητας. 9. Ποιες είναι οι μέθοδοι για δημιουργία τυχαίων αριθμών από συνεχή κατανομή. 10. Ποιες είναι οι μέθοδοι για δημιουργία τυχαίων αριθμών από Κανονική κατανομή. 11. Γιατί με βάση το κεντρικό οριακό θεώρημα μπορούμε να δημιουργήσουμε Τυχαίους Αριθμούς Κανονικής κατανομής. 12. Περιγράψτε πως μπορούμε να δημιουργήσουμε τυχαίους της Ομοιόμορφης U(a,b) στον υπολογιστή. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.63

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 1. Έστω οι 10 τυχαίοι που δημιουργήθηκαν από κάποια γεννήτρια υπολογιστή. Δημιουργείστε 10 τυχαίους της Ομοιόμορφης U(100,200). Τυχαίοι U(0,1) 0.06 0.99 0.20 0.32 0.56 0.83 0.65 0.46 0.96 1.00 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.64

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 2. Έστω οι 10 τυχαίοι που δημιουργήθηκαν από κάποια γεννήτρια υπολογιστή και οι εμπειρικές τιμές και πιθανότητες για μια μεταβλητή Χ στον 2 ο πίνακα. Δημιουργείστε 10 τυχαίους για την μεταβλητή Χ. Τυχαίοι U(0,1) 0.06 0.99 0.20 0.32 0.56 0.83 0.65 0.46 0.96 1.00 Τιμή Χ Πιθανότητα 3 0.10 4 0.15 5 0.20 6 0.25 7 0.15 8 0.10 9 0.05 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.65

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 3. Έστω οι 10 τυχαίοι που δημιουργήθηκαν από κάποια γεννήτρια υπολογιστή και οι εμπειρικές τιμές και αθροιστικές πιθανότητες για μια μεταβλητή Χ στον 2 ο πίνακα. Δημιουργείστε 10 τυχαίους για την μεταβλητή Χ. Τυχαίοι U(0,1) 0.06 0.99 0.20 0.32 0.56 0.83 0.65 0.46 0.96 1.00 Τιμή Χ Αθροιστική Πιθανότητα 2 0.10 3 0.25 4 0.45 5 0.70 6 0.80 7 0.95 8 1.00 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.66

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 4. Έστω οι 60 τυχαίοι που δημιουργήθηκαν από κάποια γεννήτρια υπολογιστή. Δημιουργείστε 5 τυχαίους της Κανονικής κατανομής Ν(0,1). Τυχαίοι U(0,1) 0.70 0.57 0.82 0.36 0.50 0.87 0.30 0.30 0.36 0.18 0.17 0.73 0.30 0.01 0.56 0.76 0.21 0.62 0.15 0.16 0.16 0.90 0.88 0.13 0.31 0.69 0.42 0.84 0.79 0.82 0.31 0.51 0.15 0.78 0.73 0.98 0.54 0.86 0.39 0.84 0.20 0.64 0.87 0.82 0.13 0.21 0.83 0.53 0.97 0.28 0.05 0.49 0.91 0.02 0.54 0.88 0.90 0.98 0.15 0.52 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.67

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 5. Έστω οι 10 τυχαίοι από την Κανονική κατανομή N(0,1). Δημιουργείστε 10 τυχαίους της Κανονικής κατανομής Ν(500,100). Τυχαίοι N(0,1) 0.36 0.86 0.44 2.47-1.03 0.04-0.49 0.44-1.50 0.16 ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.68

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 6. Έστω οι 10 τυχαίοι που δημιουργήθηκαν από κάποια γεννήτρια υπολογιστή. Δημιουργείστε 10 τυχαίους από την Τριγωνική Τ(1,5,2). Τυχαίοι U(0,1) 0.06 0.99 0.20 0.32 0.56 0.83 0.65 0.46 0.96 1.00 x=a+ R(b a)(c a), όταν 0 R F(c) και x=b + (1 R)(b a)(b c) όταν F(c) R 1 όπου F(c)=(c-a)/(b-a) ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.69

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 7. Έστω οι 10 τυχαίοι που δημιουργήθηκαν από κάποια γεννήτρια υπολογιστή. Δημιουργείστε 10 τυχαίους από την Διωνυμική κατανομή (Binomial) Β(n=4, p=70%). Τυχαίοι U(0,1) 0.06 0.92 0.20 0.32 0.56 0.83 0.65 0.46 0.96 1.00 Πιθανότητα Διωνυμικής: P(X=x)= n x px (1 p) n x x=0,1,2,. n ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.70

ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΕΝΟΤΗΤΑΣ 8. Έστω οι 10 τυχαίοι που δημιουργήθηκαν από κάποια γεννήτρια υπολογιστή. Ο αριθμός των πελατών σε ένα κατάστημα ακολουθεί την κατανομή Poisson με λ=3, δημιουργείστε 10 τυχαίους από την κατανομή Poisson P(λ=3). Τυχαίοι U(0,1) 0.06 0.91 0.20 0.32 0.56 0.83 0.65 0.46 0.96 0.25 Πιθανότητα Poisson: P(X=x)= e λ λ x x! x=0,1,2,. ΠΡΟΣΟΜΟΙΩΣΗ 4.71 SIMUL ATION