ΕΙΣΑΓΩΓΙΚΕΣ ΑΣΚΗΣΕΙΣ ΜΕ ΕΛΑΤΗΡΙΑ. Ένα σώμα μάζας m = kg βρίσκεται άνω σε λείο δάεδο και είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = N/m, το άλλο άκρο του οοίου είναι στερεωμένο σε κατακόρυφο τοίχο. Τη χρονική στιγμή t = εκτοξεύουμε το t = σώμα αό τη θέση ισορροίας του με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 4 m/s και με φορά ρος τα δεξιά. α. Να αοδείξετε ότι το σώμα μετά την εκτόξευση του θα εκτελέσει αλή αρμονική ταλάντωση. β. Να υολογίσετε το λάτος Α της ταλάντωσης. γ. Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της αομάκρυνσης του σώματος αό τη θέση ισορροίας του θεωρώντας ως θετική τη φορά της ταχύτητας εκτόξευσης. Λύση l. = υ α. Όταν το σώμα βρίσκεται στη θέση ισορροίας του, δε δέχεται δυνάμεις στη διεύθυνση της κίνησης του (οι κατακόρυφες δυνάμεις δεν έχουν σχεδιαστεί). Η θέση ισορροίας της ταλάντωσης του σώματος ταυτίζεται με τη θέση του φυσικού μήκους του ελατηρίου. Fελ Σε μια τυχαία θέση αομάκρυνσης αό τη του το σώμα στη διεύθυνση της κίνησης του δέχεται μόνο τη δύναμη αό το ελατήριο. Έχουμε: F F Θεωρούμε θετική τη φορά της αομάκρυνσης ου σχεδιάσαμε. Άρα F F k D Εειδή η συνισταμένη δύναμη είναι της μορφής ΣF = D, συμεραίνουμε ότι το σώμα εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά εαναφοράς D = k. β. Τη χρονική στιγμή t = ου αρχίζει η ταλάντωση το σώμα εκτοξεύεται αό τη θέση ισορροίας του με οριζόντια ταχύτητα μέτρου 4 m/s, αλλά στη ισχύει υ = υ ma υ ma = 4 m/s. Ισχύει: k D m k m m rad ω = s Άρα ma ma 4 Α =,4m ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 6975663 W.U.
γ. Η χρονική εξίσωση της αομάκρυνσης του σώματος αό τη θέση ισορροίας του είναι ημιτονική συνάρτηση του χρόνου χωρίς αρχική φάση: Άρα = Αημωt =,4ημt (S.I.) ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 6975663 W.U.
. Το σώμα μάζας m = kg του διλανού σχήματος βρίσκεται άνω σε λείο οριζόντιο δάεδο και είναι δεμένο στο ένα άκρο οριζόντιου ελατηρίου σταθεράς k = N/m, το άλλο άκρο του οοίου είναι δεμένο σε ακλόνητο υ σημείο. Εκτρέουμε οριζόντια το σώμα αό τη θέση ισορροίας του κατά =, m και τη χρονική στιγμή t = το εκτοξεύουμε αό τη θέση αυτή με οριζόντια ταχύτητα μέτρου υ = 3 m/s, όως φαίνεται στο σχήμα. Το σώμα μετά την εκτόξευση του εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση. Θεωρώντας ως θετική τη φορά της ταχύτητας εκτόξευσης, να υολογίσετε: α. το λάτος Α της ταλάντωσης του σώματος, β. την αρχική φάση της ταλάντωσης του. γ. Την χρονική εξίσωση της δύναμης του ελατηρίου. Λύση α. Η ταλάντωση του σώματος αρχίζει τη χρονική στιγμή t = με την εκτόξευση του. Αυτή τη χρονική στιγμή το σώμα βρίσκεται στη θέση αομάκρυνσης, έχοντας ταχύτητα υ. Για να υολογίσουμε το λάτος της ταλάντωσης, εφαρμόζουμε την Α.Δ.Ε. για την αλή αρμονική ταλάντωση. Είναι: m E K U k m k A A, 4 k A =,4m β. Τη χρονική στιγμή t = το σώμα δε διέρχεται αό τη του με υ >. Εομένως η ταλάντωση του έχει αρχική φάση και η χρονική εξίσωση της αομάκρυνσης αό τη θέση ισορροίας έχει τη μορφή: = Αημ(ωt + φ ) Για να βρούμε την αρχική φάση, θέτουμε στη χρονική εξίσωση = Αημ(ωt + φ ) όου t = και όου =. k 6 6 Άρα:,,4 5 5 k 6 6 Εειδή τη στιγμή t = η ταχύτητα του σώματος είναι θετική, ρέει και η χρονική εξίσωση της ταχύτητας για t = να δίνει υ >. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 6975663 W.U. 3
ma 6 και ma 5 6 Άρα η δεκτή φάση είναι φ =. 6 γ. Η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης είναι: k D m k m m rad ω = s Η χρονική εξίσωση της αομάκρυνσης είναι: A ( t ) =,4ημ(t + ) 6 (S.I.) Η συνισταμένη δύναμη για την ταλάντωση είναι: F D F D F, 4 (t ) 6 F ελ = 4ημ(t + ) (S.I) 6 ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 6975663 W.U. 4
3. Σώμα μάζας m = kg είναι δεμένο στο κάτω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k = N/m, το άλλο άκρο του οοίου είναι στερεμένο στην οροφή. Το σώμα αρχικά ισορροεί ακίνητο με το ελατήριο ειμηκυμένο κατά, όως φαίνεται στο σχήμα. Μετακινούμε το σώμα με τη βοήθεια κατακόρυφης μεταβλητής δύναμης F αό τη θέση ισορροίας του μέχρι τη θέση, όου το ελατήριο βρίσκεται στο φυσικό του μήκος, και αό τη θέση l t = Fελ w αυτή το αφήνουμε ελεύθερο να κινηθεί χωρίς αρχική ταχύτητα τη χρονική στιγμή t =. α. Να αοδείξετε ότι το σώμα αό τη στιγμή ου αφέθηκε ελεύθερο και μετά θα εκτελέσει αλή αρμονική ταλάντωση και στη συνέχεια να υολογίσετε την ερίοδο της. β. Να υολογίσετε την ενέργεια ου ροσφέραμε στο σύστημα, μέσω του έργου της δύναμης F, κατά τη μετακίνηση του σώματος αό τη θέση ισορροίας του μέχρι τη θέση Φ.Μ. γ. Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της ταχύτητας του σώματος κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης του θεωρώντας ως θετική τη φορά της αρχικής εκτροής. δ. Να υολογίσετε την δυναμική ενέργεια του ελατηρίου όταν το σώμα βρίσκεται στην κατώτερη θέση της ταλάντωσης του. Λύση α. Για να αοδείξουμε ότι το σώμα εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση, εξετάζουμε αρχικά το σώμα και τις δυνάμεις ου αυτό δέχεται όταν βρίσκεται στη θέση ισορροίας του, όου το ελατήριο έχει ειμηκυνθεί κατά. Εφαρμόζοντας τη συνθήκη ισορροίας ( F ) για τη θέση ισορροίας του σώματος ροκύτει: F F w F mg k mg () Εξετάζουμε στη συνέχεια το σώμα και τις δυνάμεις ου δέχεται σε μια τυχαία θέση αομάκρυνσης αό τη του (θετική ειλέγω τη φορά ρος τα κάτω). F'ελ w Τ.Θ. Έχουμε: () F F w F F w k( ) mg k k k F k D Άρα το σώμα εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση με σταθερά εαναφοράς D = k ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 6975663 W.U. 5
Η ερίοδος της αλής αρμονικής ταλάντωσης υολογίζεται αό τον τύο: m T T Τ = k 5 s β. Το σώμα όως αοδείξαμε θα εκτελέσει Α.Α.Τ. με αρχική φάση φ αφού τη χρονική στιγμή t = δεν βρίσκεται στη Η ταλάντωση του σώματος ξεκινά με μηδενική ταχύτητα, άρα η. αοτελεί την μία αό τις δύο ακραίες θέσεις της ταλάντωσης, οότε = Α. Αό την () υολογίζουμε την αραμόρφωση ου έχει το ελατήριο όταν βρίσκεται στη () k mg mg k Δ =,m Άρα και Α = =, m. Η ενέργεια της ταλάντωσης είναι: E ka E, E = J Αρχικά το σύστημα δεν ταλαντωνόταν, οότε δεν είχε ενέργεια ταλάντωσης. Στη συνέχεια, μέσω της μεταβλητής δύναμης F, ροσφέραμε ενέργεια στο σύστημα και αυτό ξεκίνησε να ταλαντώνεται με ενέργεια ταλάντωσης Ε. Άρα η ενέργεια ου ροσφέραμε είναι και η ενέργεια της ταλάντωσης W F = E = J γ. Η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης είναι: rad ω = s Την χρονική στιγμή t = έχουμε: A A k φ = rad Η μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης είναι υ ma = ωα υ ma = m/s. Άρα ma ( t ) υ = συν(t + ) (S.I.) δ. Η κατώτερη θέση της ταλάντωσης αέχει αό τη αόσταση όση και το λάτος της ταλάντωσης, δηλαδή η αραμόρφωση του ελατηρίου εκείνη τη στιγμή είναι:,, Δ =,m Και η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου είναι: U k U,4 U ελ = J Α Άκρο ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 6975663 W.U. 6
4. Στο άνω άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k = N/m είναι δεμένο σώμα μάζας m = kg, ενώ το άλλο άκρο του ελατηρίου είναι στερεωμένο στο δάεδο. Το σώμα αρχικά ισορροεί ακίνητο με το ελατήριο συμιεσμένο κατά σε σχέση με το φυσικό του μήκος. Μετατοίζουμε το σώμα ρος τα άνω κατά αό τη θέση ισορροίας του και αό τη θέση υ αυτή το εκτοξεύουμε κατακόρυφα ρος τα άνω με αρχική ταχύτητα μέτρου υ = 3 m/s, οότε το σώμα αρχίζει να εκτελεί κατακόρυφη αλή αρμονική ταλάντωση, λάτους Α =, m. α. Να υολογίσετε την αρχική μετατόιση του σώματος αό τη θέση ισορροίας του. β. Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της δύναμης εαναφοράς, θεωρώντας ως t = τη στιγμή της εκτόξευσης και ως θετική φορά τη φορά της ταχύτητας εκτόξευσης. γ. Να υολογίσετε τη μέγιστη κατά μέτρο δύναμη ου δέχεται το σώμα αό το ελατήριο κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης του. δ. Ποια χρονική στιγμή το σώμα ερνά για ρώτη φορά αό τη θέση ισορροίας της ταλάντωσης; Λύση α. Η ταλάντωση του σώματος αρχίζει τη στιγμή της εκτόξευσης του. Τη χρονική στιγμή της εκτόξευσης το σώμα βρίσκεται σε αομάκρυνση = + αό τη θέση ισορροίας του, έχοντας ταχύτητα υ = +υ. Εειδή κατά τη διάρκεια της αλής αρμονικής ταλάντωσης η ενέργεια της ταλάντωσης αραμένει σταθερή, έχουμε: m 3 E K U k m k A, 4 k =,m β. Τη χρονική στιγμή t = το σώμα δε διέρχεται αό τη του με θετική ταχύτητα. Εομένως η ταλάντωση του έχει αρχική φάση και η χρονική εξίσωση της αομάκρυνσης έχει τη μορφή: = Αημ(ωt + φ ) Ισχύει: D k m k m rad ω = s Για να βρούμε την αρχική φάση, θέτουμε στην αραάνω χρονική εξίσωση όου t = και =. Άρα:,, k 6 6 5 5 k 6 6 ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 6975663 W.U. 7
Εειδή τη στιγμή t = η ταχύτητα του σώματος είναι θετική, ρέει και η χρονική εξίσωση της ταχύτητας για t = να δίνει υ >. ma 6 και ma 5 6 Άρα η δεκτή φάση είναι 6. Άρα έχουμε: =,ημ(lt + 6 ) (S.I.) και F D, (t ) 6 ΣF = -4ημ(t + ) 6 (S.I.). γ. Το μέτρο της δύναμης ου δέχεται το σώμα αό το ελατήριο υολογίζεται αό τη σχέση: F ελ = k ma, όου ma η μέγιστη αραμόρφωση του ελατηρίου. Κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης του σώματος το ελατήριο βρίσκεται στη μέγιστη αραμόρφωση του όταν το σώμα φτάνει στην κάτω ακραία θέση της ταλάντωσης του. Στη της ταλάντωσης έχουμε: Α κάτω άκρο ma F F w k mg mg k Δ =,m Άρα ma = + Α ma =, +, ma =,3 m. Άρα: F ελ, ma = k ma F ελ, ma =,3 F ελ, ma = 6 N. Την μέγιστη δύναμη του ελατηρίου μορούμε να την υολογίσουμε και αό χρονοεξίσωση της δύναμης εαναφοράς. ΣF = 4ημ(t + ) F w = 4ημ(t + ) F = 4ημ(t + ) (S.I.) 6 6 6 Άρα όταν το ημίτονο άρει την τιμή έχουμε την μέγιστη τιμή για την δύναμη του ελατηρίου F ελ,ma = 6 N. δ. Στη έχουμε 6k, ημ(t + ) ημ(t + ) = t + k t (S.I.) 6 6 6 6 Άρα για ρώτη φορά t 5 6 t = s. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 6975663 W.U. 8
5. Στο διλανό σχήμα, το ένα άκρο του ελατηρίου σταθεράς k = N/m είναι ακλόνητα στερεωμένο, ενώ στο άλλο άκρο του έχει συνδεθεί σώμα μάζας m = kg, το οοίο ισορροεί ακίνητο άνω στο λείο κεκλιμένο είεδο γωνίας κλίσης υ θ = 3 ο. Τη χρονική στιγμή t = εκτοξεύουμε το σώμα με αρχική ταχύτητα ) θ μέτρου m/s και με φορά ρος τα άνω, την οοία θεωρούμε ως θετική, όως φαίνεται στο σχήμα. α. Να αοδείξετε ότι το σώμα θα εκτελέσει αλή αρμονική ταλάντωση και να υολογίσετε τη γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσής του. β. Να υολογίσετε το λάτος της ταλάντωσης. γ. Να βρείτε μετά αό όσο χρόνο αό τη στιγμή της εκτόξευσης το σώμα θα βρεθεί στη θέση όου το ελατήριο θα έχει για ρώτη φορά τη μέγιστη ειμήκυνση του. δ. Να βρείτε το μέτρο της δύναμης εαναφοράς όταν το ελατήριο έχει ειμήκυνση =, m. Λύση α. Για να αοδείξουμε ότι το σώμα εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση, εξετάζουμε αρχικά το σώμα και τις δυνάμεις ου δέχεται όταν βρίσκεται στη θέση ισορροίας του, όου το ελατήριο είναι ειμηκυμένο κατά. Fελ Σχεδιάζουμε και αναλύουμε τις δυνάμεις ου δέχεται το σώμα στη θέση αυτή w και εφαρμόζουμε τη συνθήκη ισορροίας ( F ): ) θ F F w k w () Στη συνέχεια σχεδιάζουμε τις δυνάμεις ου δέχεται το σώμα σε μια τυχαία θέση αομάκρυνσης αό τη του (Δεν είναι ααραίτητο για την αόδειξη της Α.Α.Τ. να ακολουθήσουμε την θετική φορά ου ορίζει το σώμα για την γραφή των χρονοεξισώσεων). w ) θ F'ελ Τ.Θ. Θεωρώντας ως θετική φορά τη φορά της τυχαίας αομάκρυνσης έχουμε: () F F w F w F k k( ) k D ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 6975663 W.U. 9
Αφού η συνισταμένη δύναμη ου δέχεται το σώμα είναι της μορφής ΣF = D, το σώμα εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση με D = k = N/m. Η γωνιακή συχνότητα της ταλάντωσης υολογίζεται αό τον τύο: k rad D m m s. β. Το σώμα εκτοξεύεται αό τη θέση ισορροίας του. Αυτό σημαίνει ότι το μέτρο της ταχύτητας εκτόξευσης ισούται με τη μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης του. Άρα: ma ma Α =,m γ. Το ελατήριο ειμηκύνεται μέγιστα τις χρονικές στιγμές ου το σώμα το οοίο ταλαντώνεται φτάνει στη μέγιστη αρνητική του αομάκρυνση ( = Α). Συνεώς ζητάμε τη χρονική στιγμή t ου το σώμα θα φτάσει για ρώτη φορά στη μέγιστη αρνητική του αομάκρυνση. Τη χρονική στιγμή t = το σώμα εκτοξεύεται αό τη του ( = ) με θετική ταχύτητα. Αυτό σημαίνει ότι, για να φτάσει το σώμα στη μέγιστη αρνητική του αομάκρυνση για ρώτη φορά μετά την εκτόξευση του, χρειάζεται χρόνο: t 3 3 t 4 4 Δt =,5 s δ. Η δύναμη εαναφοράς έχει μέτρο ΣF = D, όου η αομάκρυνση αό τη η οοία δεν ταυτίζεται με την αραμόρφωση του ελατηρίου. Στη ' το ελατήριο έχει ειμήκυνση ου υολογίζεται αό την (). () k mg Δ =,5m. Άρα η αομάκρυνση αό τη είναι:,,5 =,5m. ) θ Άρα: ΣF =,5 ΣF = 3 N. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 6975663 W.U.
6. Σώμα μάζας m = kg ισορροεί ακίνητο σε λείο κεκλιμένο είεδο γωνίας κλίσης θ = 3, δεμένο στο ένα άκρο ελατηρίου σταθεράς k, το οοίο είναι ειμηκυμένο κατά =, m. Τη χρονική στιγμή t = εκτοξεύουμε το σώμα αό τη θέση ισορροίας υ του με ταχύτητα μέτρου υ και με φορά ρος τα κάτω, όως φαίνεται στο σχήμα, οότε αρχίζει να εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση λάτους Α =,4 m. θ ( α. Να υολογίσετε τη σταθερά εαναφοράς της ταλάντωσης καθώς και το μέτρο της ταχύτητας εκτόξευσης, β. Να γράψετε τις χρονικές εξισώσεις της αομάκρυνσης, της ταχύτητας και της ειτάχυνσης του σώματος, θεωρώντας ως θετική φορά τη φορά ρος τα άνω, και στη συνέχεια να σχεδιάσετε τις αντίστοιχες γραφικές αραστάσεις σε βαθμολογημένους άξονες. γ. Να βρείτε τη χρονική στιγμή ου το σώμα φτάνει για ρώτη φορά μετά την εκτόξευση του στη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου. Δίνεται η ειτάχυνση της βαρύτητας g = m/s. Λύση α. Στη το σώμα δέχεται τη δύναμη του ελατηρίου, το βάρος του και την κάθετη αντίδραση του δαέδου. Στη θέση αυτή ισχύει: F ελ k F F w k w k mg mg N k = 5 m w Η σταθερά του ελατηρίου ισούται με τη σταθερά εαναφοράς της ταλάντωσης. Συνεώς: D = k = 5N/m θ ( Η κυκλική συχνότητα της ταλάντωσης είναι: D m D m ω = 5 rad s Αφού το σώμα εκτοξεύεται αό τη θέση ισορροίας της ταλάντωσης ου εκτελεί, το μέτρο της ταχύτητας εκτόξευσης ισούται με τη μέγιστη ταχύτητα της ταλάντωσης. Δηλαδή: υ ma = ωα υ ma = 5,4 υ ma = m/s ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 6975663 W.U.
β. Οι ζητούμενες χρονικές εξισώσεις έχουν τη μορφή: = Αημ(ωt + φ ), υ = υ ma συν(ωt + φ ) και α = α ma ημ(ωt + φ ) Τη χρονική στιγμή t = το σώμα εκτοξεύεται αό τη Θ.Ι της ταλάντωσης του. Συνεώς την t = το σώμα βρίσκεται στη Θ.Ι του, αλλά η ταχύτητα του είναι αρνητική (αφού το σώμα εκτοξεύεται με αντίθετη φορά αό τη θετική). Συνεώς έχει αρχική φάση Την t = είναι ma ma ma k φ rad Η ερίοδος της ταλάντωσης υολογίζεται αό τη σχέση: Τ =,4s και α ma = ω Α α ma = m/s. Οι ζητούμενες εξισώσεις είναι: =,4ημ(5t + ) (S.I.), υ = συν(5t + ) (S.I.), α = ημ(5t + ) (S.I.) Οι γραφικές αραστάσεις των εξισώσεων φαίνονται στο εόμενο σχήμα: (m),4 υ (m/s) α (m/s ),4 t (s),4 t (s),4 t (s),4 γ. Η θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου αέχει αό τη της ταλάντωσης αόσταση =,m. Εειδή η θετική φορά είναι ρος τα άνω, τη στιγμή ου το σώμα διέρχεται για ρώτη φορά αό τη θέση φυσικού μήκους του ελατηρίου, η αομάκρυνση του αό τη του ισούται με =, m. Για να βρούμε τη χρονική στιγμή κατά την οοία το σώμα διέρχεται για ρώτη φορά αό τη θέση, θέτουμε αυτή την τιμή στην χρονοεξίσωση της αομάκρυνσης και έχουμε:,, 4 (5t ) (5t ) k 5 5t k t 6 3 s 5 k 5t k t 6 3 s Άρα για ρώτη φορά: 7 t = s 3 ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 6975663 W.U.
7. Ένα σώμα μάζας m = 4 kg ισορροεί ακίνητο, δεμένο στο ένα άκρο κατακόρυφου ελατηρίου σταθεράς k = 4 N/m, το άλλο άκρο του οοίου είναι στερεωμένο στην οροφή. Εκτρέουμε κατακόρυφα το σώμα αό τη θέση ισορροίας του κατά d =, m και με φορά ρος τα κάτω και τη χρονική στιγμή t = το αφήνουμε ελεύθερο χωρίς ταχύτητα αό τη θέση όου το εκτρέψαμε. Το σώμα μετά την αελευθέρωση του εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση, d Αρχική θεση α. Να υολογίσετε την ενέργεια ου ξοδέψαμε για την εκτροή του σώματος κατά d αό τη θέση ισορροίας του. β. Να γράψετε τη χρονική εξίσωση της συνισταμένης δύναμης ου δέχεται το σώμα κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης του, θεωρώντας ως θετική φορά τη φορά ρος τα άνω. γ. Να βρείτε τη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης και τη δυναμική ενέργεια του ελατηρίου τη χρονική στιγμή t s 5. Δίνεται η ειτάχυνση της βαρύτητας g = m/s. Λύση α. Αφού το σώμα ήταν αρχικά ακίνητο στη Θ.Ι του, η ενέργεια ου ξοδέψαμε για την εκτροή του αό τη ώστε να ξεκινήσει η ταλάντωση του ισούται με την ενέργεια της ταλάντωσης. Η σταθερά εαναφοράς D της ταλάντωσης ισούται με τη σταθερά του ελατηρίου (D = k = 4 N/m). Το λάτος Α της ταλάντωσης ισούται με την κατακόρυφη εκτροή d (A = d =, m). Αυτό συμβαίνει διότι το σώμα το αφήσαμε ελεύθερο να κινηθεί χωρίς ταχύτητα αό τη θέση όου το εκτρέψαμε, άρα η θέση αυτή είναι ακραία θέση της ταλάντωσης του. Εομένως: W E ka 4, 4 W = 8J β. Η χρονική εξίσωση της αομάκρυνσης έχει τη μορφή: = Αημ(ωt + φ ) Για τη γωνιακή συχνότητα έχουμε: D k m k m rad ω = s ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 6975663 W.U. 3
Τη χρονική στιγμή t = το σώμα βρίσκεται στην αρνητική ακραία του θέση οότε η αρχική φάση της 3 ταλάντωσης είναι: A k φ 3 rad Εομένως: ( t ) 3 =,ημ(t + ) (S.I.) Η συνισταμένη δύναμη ΣF ου δέχεται το σώμα κατά τη διάρκεια της ταλάντωσης του και η αομάκρυνση αό τη θέση Ισορροίας του συνδέονται με τη σχέση: 3 F D F 4, (t ) 3 ΣF = 8ημ(t + ) (S.I.) γ. Για να βρούμε τη δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης τη χρονική στιγμή t, ρέει να βρούμε την αομάκρυνση του σώματος αό τη του την ίδια χρονική στιγμή. 3 3 3 3 =,ημ(t + ) =,ημ( + ) =,ημ( ) =,ημ( ) 5 3 6 =,m Η δυναμική ενέργεια της ταλάντωσης υολογίζεται αό τη σχέση: U D U 4, U J Η δυναμική ενέργεια του ελατηρίου υολογίζεται αό τη σχέση: U k όου η ειμήκυνση ή η συσείρωση του ελατηρίου (η οοία μετριέται αό τη. του ελατηρίου). Αφού τη χρονική στιγμή t το σώμα βρίσκεται στη θέση =, m, η ειμήκυνση του ελατηρίου τη χρονική αυτή στιγμή είναι: = όως φαίνεται και στο διλανό σχήμα. Για να βρούμε την αόσταση της. του ελατηρίου και της της ταλάντωσης, εφαρμόζουμε τη συνθήκη ισορροίας για τη : F ελ w F F w F w k mg mg k Δ =,m Αντικαθιστώντας τις τιμές των μεγεθών ροκύτει: =,, =. Δηλαδή βρισκόμαστε στη. και το ελατήριο δεν έχει υοστεί αραμόρφωση, άρα: U ελ =. ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 6975663 W.U. 4
8. Στο διλανό σχήμα το σώμα Σ μάζας m = kg ισορροεί ακίνητο, δεμένο σε δύο ελατήρια με σταθερές k = 5 N/m και k = 5 N/m, τα.().() l l οοία έχουν φυσικό μήκος l =,6 m. Η αόσταση των δύο οριζοντίων Fελ() Δ Fελ() τοιχωμάτων είναι S = m. Εκτρέουμε το σώμα ρος τα δεξιά άνω στο λείο οριζόντιο δάεδο ώσου το ελατήριο σταθεράς k να έχει S d ειμήκυνση d =, m (θέση Δ) και τη χρονική στιγμή t = αφήνουμε το σώμα ελεύθερο να κινηθεί χωρίς αρχική ταχύτητα. α. Να υολογίσετε τις αραμορφώσεις ου έχουν τα δύο ελατήρια όταν το σώμα Σ βρίσκεται στη του. β. Να αοδείξετε ότι η κίνηση του σώματος είναι αλή αρμονική ταλάντωση. γ. Να υολογίσετε τη χρονική στιγμή t ου το ελατήριο σταθεράς k θα συσειρωθεί για ρώτη φορά μετά τη χρονική στιγμή t = κατά d =, m. δ. Να υολογίσετε το ρυθμό μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος τη χρονική στιγμή t ου το ελατήριο σταθεράς k βρίσκεται στο φυσικό του μήκος για ρώτη φορά. Λύση α. Στη έχουμε: F F, F, F, F, k k () k k 5 5,6 Σύμφωνα με το σχήμα έχουμε: l l S S S,6,,6 Δ =,5m άρα και =,3 m. β. Για να αοδείξουμε ότι το σώμα εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση, θα ρέει να αοδείξουμε ότι η συνισταμένη δύναμη F F'ελ() F'ελ() ου δέχεται το σώμα και η αομάκρυνση του αό τη του ικανοοιούν τη σχέση ΣF = D. Σχεδιάζουμε όλες τις δυνάμεις ου ασκούνται στο σώμα σε μια τυχαία θέση αομάκρυνσης αό τη και βρίσκουμε τη συνισταμένη δύναμη για τη θέση αυτή. Θεωρώντας ως θετική τη φορά ρος τα δεξιά σε τυχαία θέση αομάκρυνσης έχουμε: ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 6975663 W.U. 5
F F F k ( ) k ( ) k k k k (k k ) D,, () Δηλαδή η συνισταμένη δύναμη είναι της μορφής ΣF = D. Εομένως το σώμα εκτελεί αλή αρμονική ταλάντωση με D = k l +k = 4 Ν. γ. Το σώμα ξεκινά την ταλάντωση του με μηδενική ταχύτητα. Συνεώς η θέση (Δ) είναι ακραία θέση της ταλάντωσης του, οότε Α = d =,4 m. Τη χρονική στιγμή t ου θα συσειρωθεί το ελατήριο k κατά d το σώμα Σ φτάνει για ρώτη φορά μετά την t = στην άλλη ακραία θέση της ταλάντωσης του, αφού θα αέχει αό τη = + d =,4 m = Α. l l d Ο χρόνος ου χρειάζεται το σώμα για να μεταβεί αό τη μια ακραία θέση στην άλλη ισούται με T. Άρα: m T T D 4 T = s, οότε t Δt = s δ. Ο ρυθμός μεταβολής της κινητικής ενέργειας του σώματος Σ υολογίζεται ως εξής: dk W dk F d dk dk W F () dt dt dt dt dt l l υ F''ελ() Αφού το ελατήριο σταθεράς k βρίσκεται στο φυσικό του μήκος η μόνη δύναμη στην διεύθυνση της κίνησης ου δέχεται το σώμα είναι αυτή αό το ελατήριο σταθεράς k (το οοίο θα έχει ειμήκυνση = + όως φαίνεται στο σχήμα), ενώ για ρώτη φορά σ αυτή τη θέση θα φτάσει με αρνητική ταχύτητα. E K U m m m,6, 9 υ = 7 m dk Άρα αό τη () k ( ) 5,8 ( 7) dt dk dt = 4 7 J s ΔΟΥΚΑΤΖΗΣ ΒΑΣΙΛΗΣ ΦΥΣΙΚΟΣ 697 7, 6975663 W.U. 6