Παράγωγοι Κώστας Γλυκός Για αρχή 598 ασκήσεις και τεχνικές σε 4 σελίδες Ι δ ι α ί τ ε ρ α μ α θ ή μ α τ α 6 9 7. 0 0. 8 8. 8 8 Kglykos.gr 7 / / 0 7 εκδόσεις Καλό πήξιμο
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 Τα πάντα είναι παράγωγοι Παραγώγιση συναρτήσεων.. Να υπολογίσεις τις παραγώγους των συναρτήσεων 4 f () f (). f () 4. f () 5. f () 6. f () 7. f () 8. () 9. () 0. f f f () f. (). f () ln. f () ln 4. f () ln f 5. () 6. 7. 8. f () f () f () ' 0 ' ' 0 a' 0 a' ' ' ' ' ' ' ' v v a ' v ln ' ' ' Κανόνες παραγώγισης f g ' f ' g ' f g ' f ' g f g ' f f ' g f g ' ' g g
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 9. f () f 0. (). f () f. (). 4. 5. f () f () ln f () 6. f () ln 7. f () 8. () f 9. f () ln 0... f () f () f (). f () 4. 5. 6. f () ln f () f () f 7. () 4 8. f () ln 9. f ()
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 f 40. () 4. 4. 5 f () f () f 4. () 5 4 44. 45. 46. 47. 48. 49. f () 4 ln f () f () ln f () f () f () 50. () 5. 5. 5. 54. 55. 9 5 f f () ln f () f () ln f () f () 5 56. f () ln Παραγώγιση συναρτήσεων
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 Να υπολογίσεις τη μονοτονία και τα ακρότατα των παρακάτω συναρτήσεων 57. 58. f () 4 f () 59. f () ln 60. 6. () 6. 6. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. f () f f () ln f () 8 f () 7 f () f () f () 4 f () f () 7. () 4 f () 4 f 7. f (),, Μονοτονία Ακρότατα Υπολογίζω f '() Λύνω f '() 0 Φτιάχνω πινακάκι για f '() Πεδία Ορισμού f () g() 0 g() f ()() 0 f ln()() f 0 f 7. f () f 74. () 75. 76. 77. () f () f () f 78. f () ln 4
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 79. 80. 8. 8. f () f () f () 6 f () 6 5 8. f () 84. 85. f () 4 f () 86. f () ln 87. 88. f () f () 89. () 90. f f () ln 9. f () ln Το νου σου 0 0 0 0 P() 0()() P 0 Q Q() 9. f () ln 9. 94. 95. 96. f () f () f () f () 97. f () ln 98. f () ln 99. 00. 0. f () f () ln f () 5
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 0. f () 4 0. f () ln f 04. () 05. 06. 07. 08. 09. 0.... f () 4 ln f () f () f () f () f () 9 5 ln f () f () f () 5 4. f () 5. 6. 7. 8. f () f () f () f () Σύνθετη παραγώγιση Να υπολογίσεις τις παραγώγους των συναρτήσεων 6
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 9. f () 0. f (). f () ln. f (). f () 4. f () 5 5. 6. f () 4 f () 6 5 7. f () ln 8. f () ln 9. f () ln 0. f ()( ). f (). f () ln f ()() f ' f '() f () ' f'() () f f () '() '() f f f () '() '() f f ()() v v f v'() f f ln() f ' '() f f () f () ' f () f '() f () ' f () f '(). f () 4. f () ln 5. f () 6. f () 7. f () 8. f () 9. 40. f () f () 4. f () ln f () 4. 4. f () 44. f () f 45. () 7
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 46. f () 47. f () ln 5 48. f () ln 49. f () 50. f () ln 5. f () ln 5 5. 5. f () f () 54. f () ln 55. f () ln f () 56. 0 57. f () 58. f () ln Το νου σου a ' a ln a ln ln ' ' '... 59. f () Να βρεις μονοτονία και ακρότατα 60. f () 6. f () ln 6. f () ln 9 f () 6. f () 64. 4 f () 65. 66. f () 4 67. f () ln 68. f () 6 9 69. () f 8
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 70. 7. f () f () 5 7. f () 7 7. 74. 4 8 f () f () 75. f () 76. 77. f () f () 78. 79. 80. 8. () f () ln f () ln f () f Προβλήματα παραγώγων 8. Απ όλα τα ορθογώνια τρίγωνα με εμβαδό 5, ποιο είναι εκείνο που έχει την ελάχιστη υποτείνουσα 8. Από όλα τα ορθογώνια με περίμετρο 00 να βρεις εκείνο με το μέγιστο εμβαδό 84. Απ όλα τα ορθογώνια με εμβαδό 64 να βρεις εκείνο με την ελάχιστη περίφραξη 85. Ένα ορθογώνιο φύλλο με εμβαδό 600, έχει περιθώρια πάνω κάτω 4 ενώ δεξιά και αριστερά. Να βρεις τις διαστάσεις του φύλλου ώστε η ωφέλιμη επιφάνεια να γίνεται μέγιστη 86. Σε σφαίρα ακτίνας να εγγράψεις κύλινδρο με μέγιστο όγκο 87. Ένα ορθογώνιο τρίγωνο έχει περίμετρο 0 και χ μία οξεία του γωνία. Ν.δ.ο. η υποτείνουσα 0 a. Να βρεις το χ ώστε η υποτείνουσα να γίνεται ελάχιστη 88. Αγρότης δουλεύει στο χωράφι του που απέχει από το κοντινότερο σημείο Α του δρόμου που οδηγεί στο σπίτι του. Ενδιαφέρεται να φτάσει στον ελάχιστο δυνατό χρόνο στο σπίτι Σ που απέχει 0 από το Α, Ποια διαδρομή να ακολουθήσει αν στο χωράφι βαδίζει με ταχύτητα ενώ στο δρόμο με διπλάσια ταχύτητα 9
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 89. Κυλινδρικό δοχείο ανοικτό από πάνω έχει χωρητικότητα 6. Ποιες πρέπει να είναι οι διαστάσεις του να χρειαστεί για την κατασκευή του ελάχιστο υλικό Μορφή εφαπτομένης y y o o y0 f o f ' 90. Δίνεται f () a, να βρεις το α ώστε ο συντελεστής διεύθυνσης της εφαπτομένης στο σημείο με τετμημένη να είναι 4 9. Δίνεται o f τετμημένη 0 o (ε) () Εφαπτομένη συνάρτησης, να βρεις την εφαπτομένη στο σημείο με Θυμίζω : τετμημένη, o τεταγμένη y, yo (ε) διέρχεται από :, y (ε) στο :, y (ε) / / ' 0 o (ε) / / y (ε) y o (ε) σχηματίζει γωνία ω με ' () 9. Δίνεται 9. Δίνεται f () 5 6, να βρεις την εφαπτομένη που είναι // στον οριζόντιο άξονα f () a, να βρεις το α ώστε η εφαπτομένη στο σημείο με τετμημένη να σχηματίζει 45 με οριζόντιο άξονα 94. Να βρεις τη γωνία που σχηματίζει η εφαπτομένη της f (), ' στο σημείο με τετμημένη 4 95. Να βρεις τα σημεία όπου οι εφαπτομένες της 96. Δίνεται f () / / ' f (), να βρεις το λ των εφαπτομένων στα σημεία με τεταγμένη 6 97. Δίνεται η συνάρτηση f (), να βρεις την εφαπτομένη που σχηματίζει 5 με οριζ. άξονα 98. Να βρεις την εφαπτομένη της 99. Να βρεις την εφαπτομένη της f () που είναι / / y f () που είναι 4y 0 00. Να βρεις τα α,β ώστε οι συναρτήσεις σημείο με τετμημένη χ= f () a,() b g, να έχουν κοινή εφαπτομένη στο 0. Να εξετάσεις αν η ευθεία y είναι εφαπτομένη της f () Εφαρμογή «Frmat 0
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 0. Αν b. Να βρεις α,β όταν f (), f '() f () a f''() () f f () a b f''()() 0a f 0. Αν 04. Αν f () f''() '()() f 0 f 05. Αν f () () ''() f0 f b 06. Αν f () a 4, να βρεις τα α,β ώστε να έχει μέγιστο στο - με τιμή FERMAT Έστω συνάρτηση f, ορισμένη σε ένα διάστημα Δ και παρουσιάζει ακρότατο στο εσωτερικό σημείο τότε f '() o 0 o 07. Αν, να βρεις τα α,β αν η συνάρτηση έχει στο τοπικό μέγιστο με τιμή 5 4 f () a b 08. Αν f () a b, να βρεις τα α.β ώστε να έχει ακρότατο στο και να διέρχεται από το Α(0,) 09. Αν f () a, να βρεις το α ώστε η συνάρτηση να έχει ακρότατο στο π/ 0. Να βρεις πολυώνυμο ου βαθμού με P ''() 0,() P, P'() 0,() P a b. Να βρεις τα α,β για να έχει ακρότατο στο Α(,-) η συνάρτηση f () Όρια 0 0 και συνέχεια συναρτήσεων. Να υπολογίσεις τα όρια :, 7 5 6 4 6., 8 5 4. Να υπολογίσεις τα όρια : 5 5 5 5, 5. 6. 0 4, 4, 6 9 6 8 7. Να υπολογίσεις τα όρια :, 4 Σε όριο Α.Μ. 0 0 έχεις επιλογές Hornrσε αριθμητή- παρονομαστή Συζυγή παράσταση σε άρρητες μορφές D l Hospital Σε ριζικά με το ίδιο υπόριζο διαφορετικών τάξεων βρίσκεις το ΕΚΠ των τάξεων και θέτεις f () y
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 8. 9. 0.. 4 4, 4, 6, 0 0 4, 7 49 0, 5 4 5. Να υπολογίσεις τα όρια : 5 5, 6 8. 4., 4 8 5 4 0 4 5 h 4 5,,, 5 0 5 h h 6 a, 5. Αν f (), να βρεις το α ώστε να έχει όριο στο,, 6. Αν f () 5,, να βρεις τα όρια της συνάρτησης στους αριθμούς :,-,0,,, 7. Αν f () 8, 4 4 6, 4, να εξετάσεις αν είναι συνεχής στο 4 Η f είναι συνεχής στο o () f ()() f f o o o 8. Αν (), f, να εξετάσεις αν είναι συνεχής στο πεδίο ορισμού 5, 9. Αν f () 5, a,, να βρεις την τιμή του α ώστε να είναι συνεχής η συνάρτηση a, 0. Αν f (), να βρεις την τιμή του α ώστε να υπάρχει το 5 a, () f. Να βρεις τα όρια : ( ) a a,, a a. Να υπολογίσεις :. Να υπολογίσεις :,, 9 4 a, a a
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88 4 5 4. Να υπολογίσεις :, 0 4 5, 5. Αν f (), (),(),(),() f f f f 5, a 6. Αν f (),,, 0 να υπολογίσεις (), f () f 7. Υπολόγισε τα όρια : 6 9 6,, 4 8. 4,, 0 g() f () 9. Αν () f,() g (), f, 0 0 0 0 f ()() 0 g, 40. Να εξετάσεις τη συνέχεια της συνάρτησης f () 5, στο χ= και στο πεδίο ορισμού της 4. Να εξετάσεις τη συνέχεια της συνάρτησης f () 9, 09, στο χ= και στο πεδίο ορισμού της 4. Αν 4. Αν f () () f ;,() ; f 9 f ()()()() h f f h f f ()(),(), f f, h ; h h 0 h 44. Να υπολογίσεις τα όρια : 6 6, 45. 46. 9 7, 0 4, 6 9 6 8 5 47. Να υπολογίσεις τα όρια :, 5 4 5 48. 4, 8 4 f () a, 49. Αν,, να βρεις το α ώστε να έχει όριο στο
τηλ. Οικίας : 0-60.78 κινητό : 697-00.88.88, 50. Αν f () 5,, να βρεις τα όρια της συνάρτησης στους αριθμούς :,-,0,,, 5. Αν f () 8, 4 4 6, 4, να βρεις το όριο της συνάρτησης στο και στο 4 5. Αν (), f, να βρεις το όριο στο, στο και στο 5 5, 5, 5. Αν f (), να βρεις την τιμή του α ώστε να έχει όριο στο a, a, 54. Αν f (), να βρεις την τιμή του α ώστε να υπάρχει το () f 5 a,, 55. Αν f (), (),(),(),() f f f f 5, a 56. Αν f (),,, 0 να υπολογίσεις (), f () 57. Στην παραπάνω να βρεις την τιμή του α ώστε να υπάρχει το όριο, 58. Δίνεται συνάρτηση f () 5,, να βρεις : f (),(),(),() f f f f 59. Δίνεται συνάρτηση f () 9, 09, να βρεις f (0),(),(),() f f f 60. Δίνεται συνάρτηση f () a b η οποία διέρχεται από τα σημεία Α(0,) και Β(,5), να βρεις α,β 6. Δίνεται συνάρτηση f () a b, να βρεις τα α,β όταν () f,() 4f 0 6. Δίνεται συνάρτηση f () a, να βρεις α,β ώστε b () f και να διέρχεται από Α(,) 4