Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov

Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov Ζαφειράκογλου Απόστολος ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 1 / 40

Μη γραμμική Δυναμική Εισαγωγή Γενικά στοιχεία. Στην Μη-Γραμμική Δυναμική είναι αναγκαίο να βρεθούν εκείνα τα μαθηματικά εργαλεία τα οποία θα μπορούν να μας δώσουν απάντηση για το αν ένα Χαμιλτονιανό σύστημα είναι ολοκληρώσιμο ή όχι. Τα θεωρήματα που μπορούν να μας περιγράψουν την ολοκληρωσιμότητα χωρίζονται στις εξής κατηγορίες: i. Θεωρήματα που βασίζονται σε ιδιότητες των εξισώσεων μεταβολών ii. Θεωρήματα βασισμένα στη διαίρεση των διαχωριστικών επιφανειών iii. Θεωρήματα που βασίζονται σε τοπολογικές ιδιότητες του χώρου μορφής Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 2 / 40

Μη γραμμική Δυναμική Εισαγωγή Διατύπωση Θεωρήματος. Θεώρημα (Melnikov1963 ) Αν η ομοκλινική συνάρτηση Melnikov: M (t 0 ) = ˆ + [H 0, H 1 ] dt όπου το ολοκλήρωμα υπολογίζεται κατά μήκος της ομοκλινικής τροχιάς της H 0, έχει σημείο απλού μηδενισμού t 0 (δηλαδή M (t 0) = 0, dm dt (t 0) 0), τότε το διαταραγμένο σύστημα δεν έχει αναλυτικό ολοκλήρωμα. Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 3 / 40

Μη γραμμική Δυναμική Εισαγωγή Σχόλια. i. Το παραπάνω θεώρημα αποδεικνύει την ύπαρξη χαοτικής δυναμικής 1, ii. Η μέθοδος αυτή μπορεί να γενικευθεί και για μη Χαμιλτονιανό σύστημα, δυο διαστάσεων με περιοδικές τροχιές iii. Έχει γενικευθεί και για Χαμιλτονιανό σύστημα n-βαθμών ελευθερίας (Chow & Yamashita [1992]). 1 ο απλός μηδενισμός της ομοκλινικής συνάρτησης Melnikov δηλώνει την ύπαρξη εγκάρσιων ομοκλινικών τροχιών στο διαταραγμένο σύστημα (που έχουν ως αποτέλεσμα την ύπαρξη χαοτικής δυναμικής) Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 4 / 40

Μη γραμμική Δυναμική Εισαγωγή Γνωστές εφαρμογές. Γνωστές εφαρμογές του θεωρήματος είναι οι ακόλουθες: Gerhard σε Γαλαξιακά Δυναμικά Maciejewski & Godziewski σε προβλήματα Ουράνιας Μηχανικής Bruhn & Koch στη Χημική Δυναμική Kaper & Kovacic σε Αδιαβατικά Συστήματα Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 5 / 40

Μη γραμμική Δυναμική Μορφή του συστήματος Θεωρούμε ένα Χαμιλτονιανό σύστημα της μορφής Μορφή του συστήματος. ẋ = H y (x, y) + εg 1(x, y, t, ε)) ẏ = H x (x, y) + εg 2(x, y, t, ε)) (1) Το παραπάνω σε μορφή διανυσμάτων μπορεί να γραφεί: ( 0 1 όπου J = 1 0 θεωρούμε ότι ισχύει: q = J DH(q) + εg(q, t, ε) ( H x, H y ), DH = ), g = (g 1, g 2 ) για το οποίο είναι διαφορίσιμο στην περιοχή που θα το μελετήσουμε η g είναι περιοδική με περίοδο T = 2π ω Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 6 / 40

Μη γραμμική Δυναμική Μορφή του συστήματος Μορφή του αδιατάρακτου συστήματος. Προφανώς αυτό το σύστημα μπορεί να θεωρηθεί ως διαταραγμένο σύστημα. Η μορφή του αδιατάρακτου συστήματος μπορεί να βρεθεί αν όπου ε βάλουμε ε = 0. Το αδιατάρακτο σύστημα θα δίνεται λοιπόν με την ακόλουθη μορφή: ή σε μορφή διανυσμάτων: ẋ = H (x, y) y ẏ = H (x, y) (2) x q = J DH(q) Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 7 / 40

Μη γραμμική Δυναμική Μορφή του συστήματος Υποθέτουμε επιπλέον: i. στο αδιατάρακτο σύστημα υπάρχει ένα υπερβολικό σταθερό σημείο p 0 το οποίο συνδέεται με τον εαυτό του με μία ομοκλινική τροχιά q 0 (t) (x 0 (t), y 0 (t)) ii. Έστω Γ p0 = {q 0 R 2 q = q 0 (t), t R} {p 0 } = W s (q 0 ) W u (q 0 ) {p 0 }, εσωτερικά της Γ p0 υπάρχει μια οικογένεια περιοδικών τροχιών q a (t) περιόδου T a, με a ( 1, 0), και για την οποία ισχύει ακόμη: lim a 0 q a (t) = q 0 (t) lim a 0 T a = Σχήμα 1: Γ p0 = {q 0 R 2 q = q 0 (t), t R} {p 0} Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 8 / 40

Μελέτη του συστήματος Μεθοδολογία. Η μελέτη με τη μέθοδο Melnikov θα γίνει με τα ακόλουθα βήματα: i. Βρίσκουμε μια παραμετροποίηση για την ομοκλινική πολλαπλότητα του αδιατάρακτου συστήματος. ii. Βρίσκουμε ένα μέτρο για το ``splitting'' των πολλαπλοτήτων της διαταραγμένης περίπτωσης χρησιμοποιώντας τις αδιατάρακτες ``ομοκλινικές συντεαταγμένες''. iii. Βρίσκουμε τη συνάρτηση Melnikov και δείχνουμε πως σχετίζεται με τις αποστάσεις μεταξύ των πολλαπλοτήτων. Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 9 / 40

Μελέτη του συστήματος Αρχικά γράφουμε το σύστημα σαν αυτόνομο σύστημα τριών διαστάσεων (x, y, z) R 1 R 1 S 1 ẋ = H y (x, y) + εg 1(x, y, φ, ε)) ẏ = H x (x, y) + εg 2(x, y, φ, ε)) (3) φ = ω το οποίο σε μορφή διανυσμάτων γράφεται: q = J DH(q) + εg(q, φ, ε) (4) φ = ω Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 10 / 40

Αδιατάρακτο διανυσματικό πεδίο Παραμετροποίηση της ομοκλινικής πολλαπλότητας. Χρησιμοποιώντας το σύστημα 3 διαστάσεων, το υπερβολικό fixed point p 0 του αδιατάρακτου, γίνεται περιοδικό σημείο γ(t) = (p 0, φ(t) = ωt + φ 0 ). Συμβολίζουμε τις 2D σταθερές και ασταθείς πολλαπλότητες του γ(t) με W s (γ(t)) και W u (γ(t)) αντίστοιχα. Οι πολλαπλότητες W s (γ(t)) και W u (γ(t)) συμπίπτουν με μία 2D ομοκλινική πολλαπλότητα, την οποία συμβολίζουμε με Γ γ. Σχήμα 2: Η ομοκλινική πολλαπλότητα Γ γ. Οι γραμμές παριστάνουν μια τυπική τροχιά. Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 11 / 40

Αδιατάρακτο διανυσματικό πεδίο Η παραμετροποίηση της Γ γ μπορεί να γίνει με τη χρήση ομοκλινικών συντεταγμένων. Κάθε σημείο της Γ γ μπορεί να αναπαρασταθεί από (q 0 ( t), φ) Γ γ για t 0 R και φ (0, 2π]. Επί της ουσίας το t 0 είναι ο χρόνος που χρειάζεται για τη μετάβαση από το σημείο q 0 ( t), στο σημείο q 0 (0), ακολουθώντας μια τροχιά q 0 (t) στο αδιατάρακτο. Επειδή το t 0 είναι μοναδικό, έχουμε μία απεικόνιση ``1-1'' της μορφής (t 0, φ 0 ) (q 0 ( t 0 ), φ 0 ). Άρα για δεδομένο (t 0, φ 0 ), το (q 0 ( t 0 ), φ 0 ) πάει σε ένα συγκεκριμένο σημείο της Γ γ. Η Γ γ πλέον μπορεί να γραφεί: Γ γ = { (q, φ)] R 2 S 1 q = q 0 ( t 0 ), t 0 R 1, φ (0, 2π) } Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 12 / 40

Αδιατάρακτο διανυσματικό πεδίο Σε κάθε σημείο p (q 0 ( t 0 ), φ 0 ) Γ γ, ορίζουμε ένα διάνυσμα: ( H π p = x (x 0( t 0 ), y 0 ( t 0 ), ), H ) y (x 0( t 0 ), y 0 ( t 0 ), ), 0 Η παραπάνω πρόταση μπορεί να γραφεί και ως εξής: π p (DH (q 0 ( t 0 )), 0)). (5) Να σημειώσουμε ότι σε κάθε σημείο p Γ γ, οι πολλαπλότητες W s (γ(t)) και W u (γ(t)) τέμνονται εγκάρσια με το π p στο p. Σχήμα 3: Ομοκλινικές συντεταγμένες. Σε κάθε σημείο το p τέμνεται εγκάρσια με το π p Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 13 / 40

Αδιατάρακτο διανυσματικό πεδίο Το 'σπάσιμο' των πολλαπλοτήτων. Πρόταση Για ε ακούντως μικρό, η περιοδική τροχιά γ(t) του αδιατάρακτου πεδίου, παραμένει περιοδική τροχιά γ ε (t) = γ(t) + O(ε) του διαταραγμένου πεδίου, έχοντας τον ίδιο τύπο ευστάθειας. Επιπλεόν, το ίδιο ισχύει για την ασταθή και ευσταθή πολλαπλότητα W s loc (γ(t)) και Wu loc (γ(t)), είναι κοντά με την W s loc (γ ε(t)), και W u loc (γ ε(t)) αντίστοιχα. Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 14 / 40

Αδιατάρακτο διανυσματικό πεδίο Υπάρχει δηλαδή μια περιοχή N(ε 0 ) = { (q, φ) R 2 q p 0 Cε 0 }, όπου C μία θετική σταθερά Σχήμα 4: περιοχή γύρω που περιέχει το γ(t) και γ ε (t) Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 15 / 40

Αδιατάρακτο διανυσματικό πεδίο Μία προβολή στο επίπεδο q, ή σε ένα επίπεδο παράλληλο με το επίπεδο q (έστω το Σ φ 0 { ), περιγράφεται ως } εξής: Σ φ 0 = (q, φ) R 2 φ = φ 0. Για φ0 = 0, προφανώς έχουμε το επίπεδο q. Σχήμα 5: Προφανώς (όπως φαίνεται και στο σχήμα) ισχύουν τα ακόλουθα: γ(t) Σ φ 0 Γ γ Σ φ 0 = p0 = Γp0 Το αδιατάρακτο πεδίο είναι αυτόνομο, ενώ το διαταραγμένο είναι μη-αυτόνομο και εξαρτάται από το φ. Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 16 / 40

Αδιατάρακτο διανυσματικό πεδίο Έστω οι τροχιές (q(t), φ(t)) του αδιατάρακτου και (q ε (t), φ ε (t)) του διαταραγμένου. Οι προβολές αυτών των τροχιών πάνω στο επίπεδο Σ φ 0 είναι αντίστοιχα: (q(t), φ 0 ),και (q ε (t), φ 0 ). Σχήμα 6: (q 0 (t), φ 0 ) Σχήμα 7: (q ε(t), φ 0 ) Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 17 / 40

Απόσταση Ορισμός απόστασης. Τώρα μπορούμε πλέον να ορίσουμε το σπάσιμο των W s (γ ε (t)) και W u (γ ε (t)). Για ένα οποιοδήποτε σημείο p Γ γ, οι W s (γ(t)) και W u (γ(t)) τέμνονται εγκάρσια με το διάνυσμα π p στο p. Η ιδιότητα παραμένει για τις W s (γ ε (t)) και W u (γ ε (t)), για ε αρκούντως μικρό Μπορούμε να ορίσουμε την απόσταση μεταξύ των δύο τελευταίων στο σημείο p ως εξής: d(p, ε) p u ε p s ε. Σχήμα 8: Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 18 / 40

Απόσταση Ένας (λιγότερο προφανής) αλλά πιο εύχρηστος ορισμός είναι ο ακόλουθος: Ορίζουμε ως απόσταση d(p, ε) (pu ε p s ε) (DH (q 0 ( t 0 )), 0)) DH (q 0 ( t 0 )) (6) ( H ) 2 ( H όπου DH (q 0 ( t 0 )) = x (q 0( t 0 )) + y (q 0( t 0 )) ) 2 Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 19 / 40

Απόσταση Σχήμα 9: Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 20 / 40

Απόσταση Τα p u ε, p s ε χάρη στην παραμετροποίηση που είχαμε κάνει πιο πάνω (p = (q 0 ( t 0 ), φ 0 )), μπορούμε να γράψουμε p u ε = (q u ε, φ 0 ) καθώς επίσης και p s ε = (q s ε, φ 0 ), και άρα ο πιο πάνω ορισμός παίρνει τη μορφή: d(p, ε) = d(t 0, φ 0, ε) = (DH (q 0( t 0 ))) (q u ε q s ε) DH (q 0 ( t 0 )) (7) Πριν προχωρήσουμε στην προσέγγιση αυτής της σχέσης πρέπει να βρούμε ένα τρόπο να επιλέξουμε τα p u ε, p s ε αφού μπορεί οι πολλαπλότητες να τέμνονται πιο πολλές φορές με το π p, όπως φαίνεται στο σχήμα: Σχήμα 10: Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 21 / 40

Απόσταση Ορισμοί. Ορισμός Ας είναι p s ε,i W s (γ ε (t)) π p, και p u ε,i W u (γ ε (t)) π p, και ας είναι οι τροχιές του διαταραγμένου συστήματος ( q s ε,i (t), φ(t)) W s (γ ε (t)), ( q u ε,i (t), φ(t) ) W u (γ ε (t)), όπως φαίνεται στο σχήμα: Σχήμα 11: Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 22 / 40

Απόσταση Για κάποιο i = ī, λέμε ότι: p s ε,ī που ανήκει Ws (γ ε (t)) π p, είναι το πλησιέστερο στην γ ε (t) με την ``έννοια του θετικού χρόνου'' ) κατά μήκος της πολλαπλότητας W s (γ ε (t)), ανν t > 0, (q sε,ī (t), φ(t) π p = Ø p u ε,ī που ανήκει Wu (γ ε (t)) π p, είναι το πλησιέστερο στην γ ε (t) με την ``έννοια του αρνητικού χρόνου'' ) κατά μήκος της πολλαπλότητας W u (γ ε (t)), ανν t < 0, (q uε,ī (t), φ(t) π p = Ø Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 23 / 40

Απόσταση Σχόλια. Για p σταθερό ενδιαφερόμαστε μόνο για τα σημεία των W s (γ ε (t)) π p, W u (γ ε (t)) π p που είναι ``O(ε) πλησιέστερα'' στο p, και αυτό επειδή η μέθοδος μας είναι διαταρακτική Για το αδιατάρακτο σύστημα, η τροχιά αφήνει το π p για θετικό και αρνητικό χρόνο, και εισέρχεται στην περιοχή της υπερβολικής τροχιάς, χωρίς να ξαναγυρνάει ποτέ στο π p. Οι τροχιές στο διαταραγμένο σύστημα που συμπεριφέρονται παρόμοια είναι αυτές που ορίσαμε ως ``πλησιέστερες'' πιο πάνω Τα σημεία αυτά είναι μοναδικά, και αυτά χρησιμοποιούμε για τον ορισμό της απόστασης d(t 0, φ 0, ε). Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 24 / 40

Εύρεση της συνάρτησης Melnikov Προσέγγιση της d. Αρχικά προσεγγίζουμε με Taylor της σχέση (6), κρατώντας όρους μεχρι πρώτης τάξης: d(t 0, φ 0, ε) = d(t 0, φ 0, 0) + ε d(t 0, φ 0, 0) ε με d(t 0, φ 0, 0) = 0, και ( ) q u DH (q 0 ( t 0 )) ε d(t 0, φ 0, 0) ε qs ε = ε=0 ε ε=0 ε DH (q 0 ( t 0 )) + O(ε 2 ) Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 25 / 40

Εύρεση της συνάρτησης Melnikov Συνάρτηση Melnikov. Ορισμός Ορίζουμε ως συνάρτηση Melnikov : M(t 0, φ 0 ) DH (q 0 ( t 0 )) ( q u ε ε ) qs ε ε=0 ε ε=0 (8) και επειδή το DH (q 0 ( t 0 )) = ( H x (q 0( t 0 )), H ) y (q 0( t 0 )), δεν γίνεται 0 για πεπερασμένο χρόνο t 0 αν έχουμε DH (q 0 ( t 0 )) = 0 M(t 0, φ 0 ) = 0 d ε (t 0, φ 0 ) = 0 Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 26 / 40

Εύρεση της συνάρτησης Melnikov Χρονοεξαρτημένη συνάρτηση Melnikov. Χρόνοεξαρτημένη Melnikov Ορίζουμε ως χρονοεξαρτημένη συνάρτηση Melnikov ( ) q u M(t; t 0, φ 0 ) DH (q 0 (t t 0 )) ε (t) ε qs ε(t) ε=0 ε ε=0 (9) Σχόλια: Οι τροχιές στις W s (γ ε (t)), W u (γ ε (t)) συμβολίζονται με q s ε(t), q u ε(t) αντίστοιχα, και ισχύει q s ε(0) = q s ε, q u ε(0) = q u ε Η έκφραση q 0 (t t 0 ) συμβολίζει την αδιατάρακτη ομοκλινική τροχιά Ένα κομμάτι της εξίσωσης συμβολίζει το αδιατάρακτο, και ένα το διαταραγμένο σύστημα Προφανώς για t = 0 έχουμε M(0; t 0, φ 0 ) = M(t 0, φ 0 ) Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 27 / 40

Εύρεση της συνάρτησης Melnikov Συμβολισμοί. Επιπλέον ορίζουμε τους συμβολισμούς: q u ε(t) ε q s ε(t) ε q u 1(t) ε=0 q s 1(t) ε=0 Δ u,s (t) DH (q 0 (t t 0 )) q u,s 1 (t) και η χρονοεξαρτημένη εξίσωση παίρνει τη μορφή: M(t; t 0, φ 0 ) = Δ u (t) Δ s (t) (10) Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 28 / 40

Εύρεση της συνάρτησης Melnikov Αν παραγωγίσουμε ως προς τον χρόνο την παραπάνω μορφή: d dt (Δu,s (t)) = d ( DH (q0 (t t 0 )) q u,s 1 dt (t)) Επειδή: = d dt (DH (q 0(t t 0 ))) q u,s 1 (t) + DH (q 0(t t 0 )) d dt d dt (qu,s ε μπορούμε να αναλύσουμε τον όρο: (t)) = J DH(q u,s ε (t)) + εg(q u,s ε (t), φ(t), ε) d ( q u,s 1 dt (t)) = J D 2 H (q 0 (t t 0 )) qu,s ε (t) ε + g (q 0 (t t 0 ), φ(t), 0) ε=0 ( q u,s 1 (t)) d ( q u,s 1 dt (t)) = J D 2 H (q 0 (t t 0 )) q u,s 1 (t) + g (q 0(t t 0 ), φ(t), 0) (11) Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 29 / 40

Εύρεση της συνάρτησης Melnikov και άρα πλέον έχουμε: d dt (Δu,s (t)) = d dt (DH (q 0(t t 0 ))) q u,s 1 (t) +DH (q 0 (t t 0 )) (J D 2 H (q 0 (t t 0 )) q u,s 1 (t)) (12) +DH (q 0 (t t 0 )) g (q 0 (t t 0 ), φ(t), 0) Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 30 / 40

Εύρεση της συνάρτησης Melnikov Λήμμα Ισχύει ότι: d dt (DH (q 0(t t 0 ))) q u,s 1 (t)+dh (q 0(t t 0 )) (J D 2 H (q 0 (t t 0 )) q u,s 1 (t)) = 0 (Η απόδειξη παραλείπεται) Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 31 / 40

Εύρεση της συνάρτησης Melnikov Τελικά η εξίσωση γίνεται : d dt (Δu,s (t)) = DH (q 0 (t t 0 )) g (q 0 (t t 0 ), φ(t), 0) (13) Δ u (t) = Δ s (t) = ˆ0 τ ˆτ 0 DH (q 0 (t t 0 )) g (q 0 (t t 0 ), φ(t), 0) dt DH (q 0 (t t 0 )) g (q 0 (t t 0 ), φ(t), 0) dt Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 32 / 40

Εύρεση της συνάρτησης Melnikov Αλλαγή μορφής. Με την χρήση των παραπάνω μπορούμε να πάρουμε μια ακόμη καλύτερη έκφραση: M(t 0, φ 0 ) = Δ u (0) Δ s (0) M(t 0, φ 0 ) = ˆτ τ DH (q 0 (t t 0 )) g (q 0 (t t 0 ), ωt + φ 0, 0) dt Δ u (τ)+δ s (τ) και επειδή : το DH (q 0(t t 0 )) g (q 0 (t t 0 ), ωt + φ 0, 0) dt συγκλίνει και επιπλέον lim x Δ s (τ) = lim x Δ u ( τ) = 0 Κάνουμε αλλαγή διαφορικού t t + t 0 : M(t 0, φ 0 ) = ˆ DH (q 0 (t)) g (q 0 (t), ωt + ωt 0 + φ 0, 0) dt (14) Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 33 / 40

Κλείσιμο της απόδειξης Κλείσιμο της απόδειξης. Όλη η ανάλυση που έχει προηγηθεί, έχει ως μοναδικό στόχο να καταλήξει στο ακόλουθο συμπέρασμα: Αν έχουμε ένα σημείο (t 0, φ 0 ) = ( t 0, φ 0 ) για το οποίο: M( t 0, φ 0 ) = 0 M t 0 0 ( t 0, φ 0 ) Τότε για ε αρκούντως μικρό, οι W s (γ ε (t)), W u (γ ε (t)) τέμνονται εγκάρσια στο ( q 0 ( t 0 ) + O(ε), φ 0 ) ) Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 34 / 40

Κλείσιμο της απόδειξης Χρήση της απόστασης. Για να το αποδείξουμε, αρχικά παίρνουμε από τη σχέση της απόστασης που κατασκευάσαμε : M(t 0, φ d(t 0, φ 0, ε) = ε 0 ) DH (q 0 ( t 0 )) + O(ε2 ) = ε d(t 0, φ 0, ε) (15) όπου έχουμε θέσει: d(t 0, φ 0, ε) = Προφανώς αν d(t 0, φ 0, ε) = 0 d(t 0, φ 0, ε) = 0. M(t 0, φ 0 ) + O(ε) (16) DH (q 0 ( t 0 )) Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 35 / 40

Κλείσιμο της απόδειξης Στο σημείο (t 0, φ 0, ε) = ( t 0, φ 0, 0) έχουμε M( t 0, φ d( t 0, φ 0, 0) = 0 ) DH (q 0 ( t 0 )) = 0 d 1 = t 0 DH (q 0 ( t 0 )) M t 0 0 ( t 0, φ 0 ) ( t 0, φ 0, 0) Άρα οι πολλαπλότητες τέμνονται O(ε) κοντά στο q 0 (( t 0 ), φ 0 ). Αρκεί να δείξουμε πλέον την εγκαρσιότητα. Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 36 / 40

Κλείσιμο της απόδειξης Μία ( τομή λέγεται εγκάρσια όταν T p W s (γ ε (t)) + T p W u (γ ε (t)) = R 3. q s Τα ε q s ) ( ) ε q u, και ε, qu ε αποτελούν βάσεις των T p W s (γ t 0 φ 0 t 0 φ ε (t)) 0 και T p W u (γ ε (t)) αντίστοιχα. Οι T p W s (γ ε (t)) και T p W u (γ ε (t)) δεν εφάπτονται αν qu ε qs ε 0 και t 0 t 0 q u ε qs ε 0. Παραγωγίζοντας την σχέση (16) την μία φορά ως προς φ 0 φ 0 t 0 και μία ως προς φ 0, και κάνοντας χρηση της δεύτερης προϋποθέσης, καταλήγουμε στο ζητούμενο. Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 37 / 40

Εφαρμογή Εξαναγκασμένο σύστημα Duffing Εξαναγκασμένο σύστημα Duffing. Ας θεωρήσουμε το εξαναγκασμένο σύστημα Duffing: ẋ = y ẏ = x x 3 + ε (γ cosφ δy) (17) φ = ω Για ε = 0 έχουμε τις ομοκλινικές τροχιές q ± 0 (t) = ( x ± 0, ) ( ) y± 0 = ± 2secht, 2secht tanht. Άρα η συνάρτηση Melnikov παίρνει την μορφή: M(t 0, φ 0 ) = ˆ + [ δ ( y ± (t) ) ] 2 ± γy ± (t)cos (ωt + ωt 0 + φ 0 ) dt Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 38 / 40

Εφαρμογή Εξαναγκασμένο σύστημα Duffing Αν αντικαταστήσουμε και ολοκληρώσουμε προκύπτει: Υπολογισμός της Melnikov. M(t 0, φ 0 ) = 4δ 3 ± 2γπω sech πω 2 sin (ωt 0 + φ 0 ) Εύκολα μπορούμε να ( συμπεράνουμε ότι η κρίσιμη επιφάνεια για αυτό το 3πω sech πω ) 2 σύστημα είναι δ = 2 γ. 2 Σχήμα 12: Κρίσιμη επιφάνεια Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 39 / 40

Εφαρμογή Εξαναγκασμένο σύστημα Duffing Αναφορές. [1] Philip Holmes John Guckenheimer. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. Springer, 2002. [2] Stephen Wiggins. Introduction to Applied Nonlinear Dynamical Systems and Chaos. Springer, 2nd edition edition, 2003. [3] Μελετλίδου Ευθυμία. Κριτήρια μη ολοκληρωσιμότητας σε Χαμιλτονιανά Δυναμικά Συστήματα. Α.Π.Θ., 1996. Ζαφειράκογλου Απόστολος (ΠΜΣ Υπολ.Φυσικής) Ομοκλινικό Θεώρημα Melnikov 40 / 40